第10章 湍流边界层

第10章 湍流边界层10.1 壁面湍流特性和速度分布规律当边界层内流体及管内流体处于层流流动状态时，流体受到壁面的限制仅仅表现在粘性切应力作用下，进行粘性旋涡的扩散；而当处于湍流流动状态时，流体受到壁面的限制则是在粘性切应力和湍流附加切应力的同时作用下，进行旋涡的扩散。

由于湍动旋涡的扩散速度远大于粘性旋涡扩散的速度，因此，在相同条件下，湍流速度边界层的厚度要比层流速度边界层厚。

但在高雷诺数的条件下，湍流速度边界层仍是贴近壁面的薄层，因此，建立湍流边界层方程的前提条件与层流时相同。

但是，由于两种切应力的作用，湍流速度边界层的结构要比层流速度边界层复杂得多。

因此，一定要先了解壁面湍流的分层结构和时均速度分布规律。

10.1.1 壁面湍流分层结构及其特性在壁面湍流中，随着壁面距离的变化，粘性切应力和湍流附加切应力各自对流动的影响也发生变化。

以y 表示离开壁面的垂直距离，随着y 的增加，粘性切应力的影响逐渐减小，而湍流附加切应力的影响开始不断增大，而后逐渐减小。

这就形成了具有不同流动特征的区域。

壁面湍流速度边界层可以分为内层（壁面区），包括粘性底层、过度层（重叠层）和对数律层（完全湍流层）；外层，包括尾迹律层和粘性顶层（间歇湍流层）。

定义()ρτwx v v ==** (10.1.1) 因为*v 具有速度的量纲，故称为壁面切应力速度，它在湍流中是一个重要的特征速度。

以下对各层的划分做详细说明。

粘性底层：所在厚度约为*50v y ν≤≤，其内粘性切应力起主要作用，湍流附加切应力可以忽略，流动接近于层流状态，因此在早期研究中称之为层流底层。

由于近期的实验研究，观察到该层内有微小旋涡及湍流猝发起源的现象，因此称为粘性底层。

过渡层：所在厚度约为**305vy vνν≤≤，其内粘性切应力和湍流附加切应力为同一数量级，流动状态极为复杂。

由于其厚度不大，在工程计算中，有时将其并入对数律层的区域中。

对数律层：所在厚度约为()δνν2.01030*3*≈≤≤v y v ，其内流体受到的湍流附加切应力大于粘性切应力，因而流动处于完全湍流状态。

由这三层组成的内层，称为三层结构模式，若将过度层归入对数律层，则称为两层结构模式。

外层中的尾迹律层和粘性顶层所在厚度分别约为δν4.010*3≤≤y v和δδ≤≤y 4.0。

对于尾迹律层，层内流体受到的湍流附加切应力远远大于粘性切应力，流动处于完全湍流状态，但与对数律层相比，湍流强度已明显减弱；对于粘性顶层，由于湍流的随机性和不稳定性，外部非湍流流体不断进入边界层内而发生相互掺混，使湍流强度显著减弱，同时，边界层内的湍流流体也不断进入临近的非湍流区，因此，湍流和非湍流的界面是瞬息变化的，具有波浪的形状。

因此，所谓湍流速度边界层厚度δ是平均意义上的厚度。

实际上，湍流峰可能伸到δ之外，而外流的势流也可以深入到δ之内。

这就是导致粘性顶层内的流动呈现间歇性的湍流，即在空间固定点上的流动有时是湍流，有时是非湍流。

10.1.2 光滑壁面内层的时均速度分布这个区域一般假设为常应力区域。

若用ν*yv y =+表示无量纲离壁面距离，则对于光滑壁面，存在如下无量纲函数关系：()+=y f vv x * (10.1.2) 其中 x v 表示湍流的时均速度。

1．粘性底层（*50v y ν≤≤）这一层紧贴壁面，在早期的研究中一度认为该层流态是层流，直到最近才在研究中发现这一层的流动中有小涡存在，湍流的猝发大都起始于该层。

该层中，湍流的附加切应力很小，通常可以忽略不记。

根据Prandtl 的混合长度理论，有：d d x w tv yτμ= (10.1.3)对上式进行积分，考虑到当y=0时，0=x v ，可以得到时均速度的分布式为：y y v w w x ρντμτ==(10.1.4) 注意到无量纲速度和无量纲离壁面距离：*vv v x=+， ν*yv y =+所以有 ++=y v x可见，速度分布是线性的。

因此，粘性底层又称为线性底层。

2．过渡层（**305vy vνν≤≤）由于在该层中，两种切应力为同一数量级，流动现象极为复杂，分析起来也极为困难，因此，通常由实验来确定时均速度的分布：***151ln 3.055ln 5xv v y v y v νν⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (10.1.5)3．对数律层（()δνν2.01030*3*≈≤≤vy v）该层处于内层的外部区域。

由理论和实验研究表明，该层中，湍流附加切应力远远大于粘性切应力，粘性切应力可以略去不计。

有：yvy v x m x tw ∂∂=∂∂=ρεμτ (10.1.6) 对于内层，通常假设y kv m *=ε，代入上式，并且考虑到()ρτwx v v ==**，整理可得： yv kyv x∂∂=* (10.1.7) 转换成相应的无量纲形式得d 1d x v y ky+++=(10.1.8) 积分上式，得C y kv x +=++ln 1(10.1.9) 通常根据实验取k=0.4，C=5.5（或5），于是对数律层的速度分布为5.5ln 5.2+=++y v x (10.1.10)如果采用不计过度层的两层结构模式，可以认为粘性底层与对数律层的分界面在8.10=+y 处，由于该处也属于粘性底层，因此有8.10==++y v x (10.1.11)对式(10.1.8)进行积分得10.810.811d d x v y x v y k y +++=⎰⎰ (10.1.12)即8.10ln 18.10++=-y k v x(10.1.13)取k=0.41，整理上式，可得0.5ln 44.2+=++y v x (10.1.14)可见，上式与式（2）相符合，这说明了内层若按两层划分，只要适当选取粘性底层与对数律层的分界面，所得的对数律层的速度分布与按三层划分的对数律层的分布是一致的。

可以看出对数律层内的时均速度分布是对数形式，虽然这是在某些限定的简化条件下得出的，但是却与实验相符合。

10.1.3 外层时均速度分布根据实验观察，由于壁面的滞止作用，外层中的时均速度仍然低于边界层外的势流速度V ，但其受壁面的影响比内层要大大减弱，并且比较明显的受到沿壁面在流动方向上压力梯度d d px的影响。

当引用亏损速度x v V -时，根据实验存在函数关系式：d ,,,,d x w p V v f y x τρδ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(10.1.15)1．尾迹律层（δν4.010*3≤≤y v）这一层中，流动已经完全进入湍流状态，湍流应力起主要作用。

湍流强度与对数律层相比已经明显减弱。

这一层中的时均速度分布用亏损速度来表示是：A yk vv V x +-=-δln 1*(10.1.16) 前面已经介绍过k=0.4，由实验研究表明，对于管内流动和边界层流动，k 都是此值。

而常数C 的数值对于这两种流动有明显的不同：对于管内的流动65.0≈C ，而对于边界层流动35.2≈C 。

2．粘性顶层（δδ≤≤y 4.0）由于粘性顶层内流动呈现间歇性的湍流，流动现象十分复杂，时均速度分布主要由实验来确定，可表示为：2*16.9⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-δy v v V x (10.1.17)10.1.4 通用速度分布公式上面应用了湍流时均动量方程与Prandtl 混合长度理论的假设，以及量纲分析和实验材料，分别得出壁面湍流的各层速度分布。

实际上，这种机械地将湍流分层，所得到的时均速度分布表达式有可能使速度分布在某些层与层之间不连续，以致于当利用热量和动量比拟的方法求解温度分布时，在相应层间，温度梯度也可能是不连续的。

特别是温度分层公式在应用上是不方便的，因此，许多学者都力图求得适合整个内层的时均速度分布的表达式，进而可以求得相应的温度分布表达式。

湍流时均动量方程在某些简化条件下，利用壁面的边界条件及Prandtl 混合长度理论，得到d d d d x x tw v v yyμμτ+=22d d d d xx w v v l y y μρτ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(10.1.18) 由此式出发，若能给出混合长度l 或湍流粘度t ν的函数表达式，可以求出相应的时均速度分布。

范·德来斯特于1956年提出了适用于整个内层的混合长度表达式1exp y l y A χ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (10.1.19)将上式的l 表达式代入，则对整个内层有2222*2d d 1exp d d xx v v y y v y A y νχ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭ (10.1.20)无量纲化为()2d d 10d d x xv v a y y y +++++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(10.1.21) 式中()()22ex p 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++++A y y y a χν*yv y =+， *v v v xx =+其中 41.0=χ或0.4，范·德来斯特通过实验确定3.25*==+νAv A由式(10.1.21)得d 12d x v a y ++-+==(10.1.22) 积分上式，并利用0=+y ，0=+x v 的边界条件，得122222d 1141exp 25.3y x y v y y χ+++++=⎧⎫⎡⎤⎛⎫-⎪⎪++-⎢⎥⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰(10.1.23)上式适用于粘性底层、过度层、对数层的整个内层区，称为内层关系式。

但是，由于它是积分形式，因此应用起来不太方便。

另外，1956年Coles.D 提出适合于整个边界层的时均速度分布关系式⎪⎭⎫⎝⎛∏++=++δχχy W B y v x ln 1(10.1.24) 可以看出，上式是在内层的对数律层时均速度分布的基础上加一修正项，由于湍流边界层中，压力梯度对外层特性影响明显，显然修正项与压力梯度d d px成函数关系，称 1d d w pxδβτ=为平衡参数，它反映了压力梯度的大小，将β为常数的湍流边界层称为平衡湍流边界层，否则为非平衡湍流边界层。

根据Coles.D 的设想，认为式(10.1.24)中的∏是反映压力梯度影响的剖面参数，称为尾迹参数，()β∏=∏。

而⎪⎭⎫⎝⎛δy W 称为尾迹律函数。

Coles.D 通过实验和计算得出了⎪⎭⎫⎝⎛δy W 和()β∏=∏得近似函数拟合形式：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎪⎭⎫ ⎝⎛δπδπδy y y W cos 12sin 22 (10.1.25) 对于平衡湍流边界层，当∞≤≤-β5.0时，()β∏=∏可以拟合为()75.05.08.0+≈∏β (10.1.26)不过，在β很大时，也可以认为β1.21+≈∏ (10.1.27)将以上()β∏=∏和⎪⎭⎫⎝⎛δy W 的经验函数表达式代入到式（10.c ）中，就可以得出适合于整个湍流边界层的时均速度分布表达式。