三角形外角的性质及证明.
三角形的外角的定义和定理
三角形的外角的定义和定理三角形的外角定义和定理三角形是由三条边连接而成的一个平面图形。
在三角形中，我们可以定义和研究三角形的内角和外角。
本文将重点讨论三角形的外角的定义和定理。
首先，让我们先来了解一下三角形的外角的定义。
在任何一个三角形的顶点上，都可以找到一个外角。
对于一个三角形ABC来说，如果我们在顶点A处向外画一条射线，使得射线与边AB和边AC都不重合，则射线与边AB和边AC所围成的角就是顶点A上的外角。
同样的，我们也可以找到顶点B和顶点C上的外角。
三角形的外角总共有3个。
现在，我们将重点介绍三角形外角的定理。
在三角形中，外角和内角之间存在一定的关系。
下面是三角形外角的定理：定理1：三角形的外角之和等于360度。
也就是说，三角形的外角A、B、C的度数之和等于360度。
证明：我们以三角形顶点A为例，来推导外角之和等于360度。
我们将顶点A的外角记为α，顶点B的内角记为β，顶点C的内角记为γ。
根据三角形的性质，可以得出β+γ=180度，可以表示为β=180度-γ。
由定义可知，外角α与内角β之和等于180度，即α+β=180度。
把β的表达式代入上式，得到α+(180度-γ)=180度，整理得α=γ。
同理，我们可以推导出顶点B和顶点C的外角与其对应的内角的关系。
根据上述证明，我们可以知道三角形外角之和是360度，即：α+β+γ=360度。
由此可见，无论是哪个顶点上的外角，其外角之和都等于360度。
定理2：三角形的外角与其对应的内角之间有如下关系：外角等于其对应的内角的补角。
换句话说，顶点的外角加上其对应的内角等于180度。
证明：我们同样以顶点A为例来推导外角与内角的关系。
假设顶点A的外角为α，内角为β。
由定义可知，外角α与内角β之和等于180度，即α+β=180度。
根据三角形的性质，内角β与其对应的外角γ之和等于180度，即β+γ=180度。
我们将α+β的结果代入到β+γ的等式中，得到α+β+γ=180度。
三角形的外角
引言概述：
正文内容：
一、外角的定义
1.外角是指一个三角形的某个角与另外两个角的内角之和相等的角。
2.外角的度数等于不相邻的两个内角的度数之和。
3.三角形的每个角都有一个对应的外角。
二、外角的性质
1.三角形的外角和等于360°。
a.由于三角形的内角和等于180°，所以三角形的外角和等于180°的补角，即360°。
b.这个性质表明，一个三角形的所有外角的和总是等于360°。
2.外角与内角的关系
a.外角与其对应的内角之和等于180°。
b.对任意一个三角形的外角及其对应的内角做补角，可以得出外角和内角之和为180°的结论。
3.外角与角标的关系
a.三角形的外角的度数等于其对应的角标的度数。
b.这意味着我们可以通过测量一个三角形的外角，来确定对应的角标的度数。
4.外角之间的关系
a.三角形的三个外角之间是线性相关的。
b.任意两个外角的度数之和等于第三个外角的度数。
5.外角与角平分线的关系
a.三角形的外角与其对应的角平分线相交于三角形的外心。
b.这个性质可以用来构造三角形的外心，从而进一步研究三角形的特性。
结论：
三角形的外角具有一些独特的性质和关系。
它们的度数等于对应内角的度数，且总和为360°。
外角与内角之间有一定的线性关系。
外角与角平分线也存在一定的关系。
这些性质和关系可以帮助我们更好地理解和应用三角形的几何特性。
三角形的外角性质定理
三角形的外角性质定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它的性质及定理数不胜数。
本文将讨论三角形的外角性质定理，通过论述和推导，我们将揭示出这一性质的内涵和相关特点。
一、三角形的外角定义与性质我们首先来定义三角形的外角。
对于三角形ABC，若点D在边BC 的延长线上，且∠ADB为三角形ABC的外角，则称∠ADB为三角形ABC的外角，其性质如下：1. 外角定理三角形的外角等于其不相邻内角之和。
设∠ABC和∠ACB为三角形ABC的两个内角，∠ADB为该三角形的外角，根据外角定理，我们可以得到以下等式：∠ADB = ∠ABC + ∠ACB该等式表明，三角形的外角与其不相邻内角之和相等。
2. 外角大小三角形的外角是相邻内角的补角。
根据补角的概念，我们知道相邻的两个内角之和为180度。
因此，我们可以得到以下等式：∠ADB + ∠ABC = 180°∠ADB + ∠ACB = 180°这意味着三角形的外角与相邻的两个内角之和的和为180度。
3. 外角的性质三角形的外角可以大于、等于或小于360度。
当三角形的内角为锐角时，其外角为钝角；当内角为直角时，外角为直角；当内角为钝角时，外角为锐角。
这一性质与三角形的内角性质相对应，增加了我们对三角形的认识和理解。
二、外角性质定理的证明接下来，我们将证明外角性质定理。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 根据直角三角形的性质，证明直角三角形的外角等于90度。
2. 假设三角形ABC内角∠ABC + ∠ACB = α，三角形ABC外角∠ADB = β，通过对∠ADB进行角平分，我们得到角∠ADE = β/2。
3. 因为α + β/2 = α + (∠ADB/2) = 180度（直角三角形性质），所以有α + β/2 = 180度，从而推导出β = 2（180度 - α），即β = 360度 - 2α。
通过以上证明，我们可以得出结论：三角形的外角等于360度减去两个相邻内角的和的两倍。
直角三角形外角定理
直角三角形外角定理1. 介绍直角三角形是一种特殊的三角形，具有一个角为90度（直角）。
直角三角形外角定理是指直角三角形的三个外角之和等于360度。
在直角三角形ABC中，角A是直角，则角B和角C是直角三角形ABC的两个外角。
直角三角形外角定理可以表示为：角B + 角C = 180度2. 证明为了证明直角三角形外角定理成立，我们需要借助一些基本几何知识和公式。
首先，我们可以利用三角形内角和的定理得到：角A + 角B + 角C = 180度由于角A是直角，即角A = 90度，代入上面的等式中：90度 + 角B + 角C = 180度整理得到：角B + 角C = 180度这说明直角三角形的两个外角的和等于180度，即直角三角形外角定理成立。
3. 应用直角三角形外角定理在几何学中具有广泛的应用，可以帮助我们解决一些与直角三角形有关的问题。
3.1 寻找第三个角度当我们已知一个直角三角形的两个角度，想要求解第三个角度时，可以利用直角三角形外角定理。
例如，已知直角三角形ABC的角A = 90度，角B = 30度，我们可以通过直角三角形外角定理求解角C：角B + 角C = 180度30度 + 角C = 180度从中可以解得角C = 150度。
3.2 判断三角形类型利用直角三角形外角定理，我们还可以判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的两个外角之和等于180度，那么这个三角形就是一个直角三角形。
例如，我们有一个三角形DEF，角D + 角E = 180度，我们可以得出结论：三角形DEF是一个直角三角形。
3.3 证明勾股定理直角三角形外角定理也可以用于证明勾股定理。
勾股定理是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方的和。
假设我们有一个直角三角形ABC，其中AB为斜边，AC和BC为两直角边。
利用直角三角形外角定理有：角A + 角B = 180度角A = 90度 - 角B又根据三角函数的定义，我们可以得到：sin(A) = sin(90度 - B) = cos(B)sin(B) = sin(90度 - A) = cos(A)根据平方和公式，我们可以得到：sin^2(A) + sin^2(B) = cos^2(A) + cos^2(B) = 1再使用三角函数的定义 sin^2(A) + cos^2(A) = 1 和 sin^2(B) + cos^2(B) = 1，我们可以得到：cos^2(A) + cos^2(B) = 1由此可见，勾股定理得到了证明。
什么是三角形的外角
引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形的外角则是与三角形相关的一个重要概念。
本文将详细介绍什么是三角形的外角以及它的特性和性质。
正文内容：1.外角的定义1.1三角形的内角三角形由三条线段组成，而每个顶点都对应一个角度，称为内角。
三角形的内角之和一定为180度。
1.2外角的概念在三角形的一条边的延长线上，取一点使其与另外两条边的一条延长线上的点相连，所形成的角度称为三角形的外角。
一个三角形有三个外角，分别对应于三个顶点。
2.外角与内角的关系2.1外角与内角的关系2.2外角的性质2.2.1外角的度数三角形的外角可以是锐角、直角或钝角，具体取决于三角形的内角。
当内角为直角时，外角为直角；当内角为锐角时，外角也是锐角；当内角为钝角时，外角为钝角。
2.2.2外角与三角形的顶点三角形的外角是以三角形的顶点为中心的角度，外角的度数等于不与它相邻的两个内角的度数之和。
3.外角的特性3.1外角定理外角定理是三角形的一个重要性质，表明三角形的一个外角等于它不相邻的内角之和。
即一个三角形的外角A等于不与它相邻的内角B和C之和，也就是A=B+C。
3.2外角与内角和的关系对于任意一个三角形，它的三个外角之和等于360度。
即外角A+外角B+外角C=360度。
4.外角的应用4.1利用外角求内角通过知道三角形的一个外角的度数，可以利用外角与内角的关系推导出该外角对应的内角的度数。
4.2利用外角定理求解问题根据外角定理，可以求解一些与三角形的内角和外角相关的问题，例如寻找缺失的角度或计算三角形的内角和外角之和。
5.总结三角形的外角是相对于三角形顶点的角度，在三角形中具有重要的性质和特性。
外角与内角之间存在着一定的关系，可以利用这些关系求解三角形相关的问题。
通过对外角的研究，可以更好地理解三角形的性质和特点。
什么是三角形的外角(一)
什么是三角形的外角（一）引言：三角形是几何学中的基本形状之一，而外角是三角形中一个重要的概念。
在本文中，我们将深入探讨三角形的外角及其性质。
通过了解外角的定义、计算方法和性质，我们能更好地理解三角形的构造和性质。
正文：一、外角的定义和计算方法1. 外角是指相邻两边的延长线所形成的角度，它与三角形内部的角形成补角关系。
2. 外角的计算方法是通过两内角之和减去180度，即外角 = 180度 - 内角1 - 内角2。
二、外角的性质1. 外角和对应内角的关系：外角等于对应的内角和。
2. 外角和三角形其他两个内角的关系：外角等于其他两个内角的和。
3. 外角和内角的关系：三角形内角和等于180度，所以三角形的三个外角之和也等于180度。
4. 外角和直角三角形的关系：直角三角形的一个外角是90度。
5. 外角的度数范围：外角的度数范围在0度到360度之间。
三、外角的应用1. 判断三角形类型：通过测量三角形的外角，我们可以判断三角形的类型，如直角三角形、锐角三角形或钝角三角形。
2. 解题应用：在解决三角形问题的过程中，外角的性质可以作为推理的依据，帮助我们得出结论或计算未知的角度。
四、外角与其他概念的联系1. 内角与外角的关系：内角与外角是互补角，它们的和等于180度。
2. 三角形的三个内角和外角的关系：三角形的三个内角和等于180度，同时三个外角之和也等于180度。
五、总结通过本文的介绍，我们了解到外角是指相邻两边的延长线所形成的角度，并深入探讨了外角的定义、计算方法和性质。
了解三角形外角的概念和性质对我们理解和研究三角形的属性和关系起到了重要的作用。
在以后的学习和解题中，我们可以灵活运用外角的性质和计算方法，更好地理解和应用于三角形的相关问题中。
同时，深入研究三角形外角的更多性质和应用可以拓宽我们对三角形的认识，探索更多有趣的现象和定理。
（文中的大点和小点数量，仅供参考，可根据实际情况进行调整）。
三角形外角性质
引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多有趣的性质和定理。
其中之一就是三角形的外角性质。
在本文中，我们将详细讨论三角形外角的定义、性质以及与内角之间的关系。
正文内容：一、三角形外角的定义1.外角是指一个三角形的某一个角和该角所对的边的外侧角。
2.外角的度数等于其相邻内角的度数之和。
二、三角形外角的性质1.三角形的外角之和等于360度（或2π弧度）。
这意味着一个三角形的三个外角的度数之和始终等于一个圆的度数。
例如，对于任意三角形ABC，外角A、外角B和外角C的度数之和等于360度。
2.外角大于对应的内角。
对于任意三角形ABC，对于任意一条边，其外角大于对应的内角。
例如，对于边AB，外角A大于内角ABC。
3.外角与其相邻的两个内角之间存在关系。
外角等于其相邻两个内角的和。
例如，对于三角形ABC，外角A等于内角B和内角C的和。
4.三角形的三个外角可以构成一条直线。
对于任意三角形ABC，通过连接外角A和外角B可以得到一条直线。
例如，连接外角A和外角B，即可得到直线AB。
5.外角与其不相邻的两个内角之间存在关系。
外角等于所对内角的补角。
例如，对于三角形ABC，外角A等于内角ABC的补角。
三、三角形外角的证明与推导1.证明外角之和等于360度。
可以通过利用平行线、内角和补角的性质来证明此定理。
2.证明外角大于对应的内角。
利用外角和内角的定义以及相关的几何定理，可以证明外角大于对应的内角。
3.证明外角等于相邻两个内角的和。
利用内角之和等于180度的性质以及平行线和内角的性质，可以推导出外角等于相邻两个内角的和。
4.证明三角形的三个外角可以构成一条直线。
可以通过利用外角和内角的定义、平行线和内角的性质，以及三角形内角和等于180度的性质来证明此定理。
5.证明外角与其不相邻的两个内角之间存在关系。
利用内角和补角的性质、平行线和内角的性质以及三角形内角和等于180度的性质，可以证明外角等于所对内角的补角。
三角形的外角与内角
三角形的外角与内角三角形是几何学中最基本的图形之一。
在三角形中，我们可以通过角度来描述其形状和特性。
其中，外角和内角是我们常常研究和讨论的两个角度。
本文将介绍三角形的外角和内角的概念、性质以及它们之间的关系。
一、三角形的外角1. 外角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过延长其中一条边（比如边AB）来得到一个外角。
外角定义为该外角和与之相邻的内角的和。
2. 外角的性质（1）任何一个三角形的外角都小于360度。
这是因为在三角形中，所有的内角的和已经等于180度，如果再加上外角，总和将超过360度，这是不可能的。
（2）三角形的相邻外角互补。
这是因为相邻两个外角加上与之相邻的内角，总和等于180度。
3. 外角与其他角度的关系（1）外角与内角的关系：一个外角等于与之相邻的两个内角的和。
即外角A等于内角B和内角C的和，外角B等于内角A和内角C的和，外角C等于内角A和内角B的和。
（2）外角与对应内角的关系：对于一个三角形的任意一对对应内角和外角来说，它们的度数之和等于180度。
即外角A等于内角C的度数，外角B等于内角A的度数，外角C等于内角B的度数。
二、三角形的内角1. 内角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过三个顶点来确定三个内角，分别为角A、角B、角C。
2. 内角的性质（1）三个内角的和等于180度。
这是因为三个内角加起来就是三角形所有内角的总和，而任何一个三角形的所有内角总和都等于180度。
（2）任意两个内角的和大于第三个内角。
这被称为三角形的内角和定理。
例如，在三角形ABC中，角A + 角B大于角C，角A + 角C 大于角B，角B + 角C大于角A。
三、三角形的外角与内角之间的关系根据前文提到的性质可知，一个三角形的外角与其对应的内角之间存在以下关系：（1）外角等于与之相邻的两个内角的和。
（2）外角与对应内角的度数之和等于180度。
（3）三个内角与三个外角的对应关系：外角等于相应内角的度数。
综上所述，三角形的外角与内角之间有着密切的关系。
三角形外角定理
数学定理
目录
01 基本介绍
03 推论及证明
02 的证明
三角形外角定理(exterior angle theorem of a triangle)是平面几何的重要定理之一，指三角形的一个 外角等于与它不相邻的两个内角的和。由此可得：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
基本介绍
反证法 图3 假设∠ACD ∠CAB，那么∠ACD=∠CAB，或∠ACD<∠CAB。 (1)若∠ACD=∠CAB(图3)， 在CD上截取CF= AB，连AF， 在△ABC和△FCA中， ∵AB=CF，AC=AC，∠CAB=∠ACD， ∴△ABC≌△FCA ∴∠BCA=∠FCA， 但是，∠BCA+∠FCA= 180°， ∴∠CAF+∠BAC= 180°.
的证明
证法一
证法二
利用三角形内角和定理证明有 ∠1=∠A，∠2=∠B，∴ ∠1+∠2=∠A+∠B(图2) . 图2
全等形证法 如图2,设E为AC的中点，连BE且延长到F，使EF= BE，连CF。 在△ABE和△CEF中， ∵∠AEB=∠CEF，BE= EF，AE= EC ∴ △ABE≌△CEF ∴∠1=∠A ∴CF// AB ∴∠2=∠ABC， ∴∠1 +∠2=∠A+∠ABC， 即 ∠ACD=∠A+∠B.
三角形外角定理三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。如图1，△ABC的一个外角 ∠CBE=∠A+∠C。
这个定理的证明，如图1所示，利用平行线的性质证明；也可以直接用三角形内角和定理证。
图1
由三角形外角定理不难推出：三角形任意一个外角，大于和它不相邻的任意一个内角。如图1，∠CBE>∠A， ∠CBE>∠C 。
三角形的外角及常见结论的证明复习课件人教版八年级上册
4、如图，已知△ABC中，∠A沿着EF翻折到∠A’,
解：因为∠ADC是△ABD的外角. 说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
（1）位置关系：相邻和不相邻.
外角大于不相邻的任何一个内角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80ห้องสมุดไป่ตู้.
探究1：三角形外角的性质 解：因为∠ADC是△ABD的外角. 如图，求证：∠BDC= ∠B+ ∠C+ ∠BAC
＿＿36＿0°＿.
B
A
C
1
P
N3
2M
F
D
E
2 .如图，D 是△ABC 的BC边上一点,∠B =∠BAD, ∠ADC =80°， ∠BAC =70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
所以B 80 1 40, 在△ABC中： 2
.
80 ° ∠ACD = ∠A +∠B.
∠C=180º-40º-70º=70°. 1、如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =＿＿＿＿.
6、如图所示，已知△ABC ，∠CBD和∠BCE的角平分
60 ° 1 请用三种不同的方法证明该结论！
如图，求证：∠BDC= ∠B+ ∠C+ ∠BAC ∠1+ ∠2+ ∠3=？
∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°.
A
70°
40°
80°
B
D
C
课堂 小结
三角形的内角和外角的计算与证明技巧
三角形的内角和外角的计算与证明技巧三角形是几何学中最基础的图形，具有丰富的性质和特点。
在三角形中，内角和外角是两个重要的概念。
本文将详细介绍三角形的内角和外角的计算方法和证明技巧。
一、内角和外角的定义在任意三角形ABC中，我们可以定义如下角度：1.内角：三角形的内角是指该角的顶点在三角形内部，两边分别位于三角形的两侧。
三角形的内角总和是180度，即∠A+∠B+∠C=180°。
2.外角：三角形的外角是指该角的顶点在三角形外部，两边分别延长到三角形的另外两边上。
三角形的外角总和是360度，即∠D+∠E+∠F=360°。
内角的计算与证明可以使用以下几种方法：1.三角形内角和公式：根据定义，三角形的内角和总和为180度。
因此，可以直接通过计算已知角度来求解未知角度。
例如，如果∠A=60°，∠C=90°，那么∠B=180°-∠A-∠C=30°。
2.内角关系定理：在三角形中，存在一些内角的关系定理，可以帮助我们计算和证明角度。
例如，三角形的补角定理：如果∠A和∠B是一对补角，那么它们的度数之和为90度。
三角形的余角定理：如果∠A和∠B 是一对余角，那么它们的度数之和为180度。
利用这些定理，我们可以推导出一些角度的值。
3.角平分线定理：在三角形中，角平分线把一个角平分成两个相等的角。
因此，如果我们知道一个角被角平分线平分成两个相等的角，那么我们可以通过计算其中一个角的度数来得到另外一个角的度数。
4.使用三角函数：三角函数是一个强大的工具，可以帮助我们计算和证明角度。
例如，如果我们知道一个三角形的两边长度和夹角，可以使用正弦定理或余弦定理来计算另外两个内角的度数。
外角的计算与证明可以使用以下几种方法：1.三角形外角和公式：根据定义，三角形的外角和总和为360度。
因此，可以通过计算已知角度来求解未知角度。
例如，如果∠D=120°，∠E=150°，那么∠F=360°-∠D-∠E=90°。
三角形外角定理
三角形外角定理三角形外角定理是指一个三角形的外角等于其两个不相邻内角的和。
该定理用于求解三角形内角或外角的关系，为解决三角形相关问题提供了重要的数学工具。
在本文中，我将详细介绍三角形外角定理的概念、证明方法以及应用实例。
一、概念三角形外角即指一个三角形的内角的补角。
为了方便讨论，我们分别用A、B、C表示一个任意三角形的三个内角，而用X、Y、Z表示其对应的外角。
根据三角形内角的性质，我们知道三个内角的和等于180度，即A+B+C=180度。
根据外角的定义，有X=180度-A、Y=180度-B和Z=180度-C。
二、证明方法要证明三角形外角定理，我们可以通过几何推理进行证明。
具体步骤如下：1. 假设存在一个任意三角形ABC，将其一个内角A的补角记作X。
2. 连接点A和点C，构成线段AC。
3. 在线段AC上选取一点D，使得线段BD与线段AC重合。
4. 连接点A和点D，构成线段AD。
5. 通过B点画一条平行于线段AC的直线，与线段AD相交于点E。
6. 观察三角形ABC和三角形ABE。
根据平行线性质，我们可以得出∠A和∠ECD为同位角，它们是对应线段AC的内角，因此它们相等，即∠A=∠ECD。
又根据三角形内角的性质，得出∠A+∠B+∠C=180度，即∠ECD+∠ECA+∠B=180度，整理得∠ECD=∠B。
由此可知∠A=∠B。
同理，我们可以利用同样的方法证明三角形内角A与其对应的外角X相等。
综上所述，我们证明了三角形外角定理的正确性。
三、应用实例三角形外角定理在解决实际问题时具有广泛的应用。
以下举例说明：例1：已知一个三角形的两个角分别是40度和70度，求其第三个角的度数以及对应的外角。
解：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到第三个角的度数为180度-40度-70度=70度。
根据三角形外角定理，外角X的度数等于对应内角的补角，即X=180度-40度=140度。
例2：已知一个三角形的两个外角的度数分别为120度和150度，求其第三个外角的度数。
三角形的外角性质及证明
三角形的外角性质及证明三角形是几何学中最基本的图形之一。
它具有丰富的性质和关系，其中之一就是外角性质。
本文将介绍三角形的外角性质，并给出相应的证明。
一、外角的定义首先，我们来定义三角形的外角。
在任意三角形ABC中，我们可以选择一条边AB，并将其延长到D点。
则角ADC和角B是三角形ABC的外角。
如下图所示：[插入示意图]二、外角性质三角形的外角具有一些特殊的性质。
我们来逐一介绍。
1. 性质一：一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
证明：设三角形ABC的外角ADC和角B，内角分别为角A和角C。
根据角度的定义，可以得出：角ADC + 角A = 180°（内角和为180°）角ADC + 角C = 180°（内角和为180°）将上述两个等式相加，即可得到：2角ADC + (角A + 角C) = 2角ADC + 180° = 360°而两个外角之和为360°。
因此，得证角ADC = 角A + 角C，即一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
2. 性质二：三角形的所有外角之和等于360°。
证明：在三角形ABC中，有三个外角，分别为角ADC、角B和角C。
根据性质一可知，角ADC = 角A + 角C。
将此等式代入外角之和的计算中，得：角ADC + 角B + 角C = (角A + 角C) + 角B + 角C= 角A + 2角C + 角B根据内角和为180°的性质，可知角A + 角B + 角C = 180°。
将此等式代入上述等式中，即可得到：角ADC + 角B + 角C = 180° + 2角C又根据角ADC + 角B + 角C = 360°的定义，可以得到：180° + 2角C = 360°解以上方程，得到2角C = 180°，即角C = 90°。
因此，角ADC + 角B + 角C = 180° + 2(90°) = 360°，三角形的所有外角之和为360°。
三角形的外角性质
三角形的外角性质三角形是几何学中最基本的图形之一，由三个不共线的点和它们之间的边构成。
在三角形中，有一些特殊的角称为外角。
本文将详细介绍三角形外角的性质。
一、外角的定义外角是指一个三角形的其中一个内角的补角，也就是与该内角相邻且不在同一条直线上的角。
在任何三角形中，每个内角都对应着一个唯一的外角。
二、三角形外角的性质1. 外角和内角关系在任何三角形中，一个外角等于另外两个不相邻的内角的和。
换句话说，三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
例如，在三角形ABC中，∠A是一个外角，它等于∠B和∠C的和（∠A = ∠B + ∠C）；同样地，∠B是一个外角，它等于∠A和∠C的和（∠B = ∠A + ∠C）；∠C也是一个外角，它等于∠A和∠B的和（∠C = ∠A + ∠B）。
2. 外角和直角在三角形中，三个外角的和恒等于直角（90度）。
也就是说，三个外角的度数之和总是等于90度。
证明：设三角形ABC的三个外角分别为∠A、∠B、∠C，根据三角形的内角和定理可知∠A + ∠B + ∠C = 180度。
根据外角的定义可知∠A = ∠B + ∠C。
将∠A代入前一个等式中得到∠B + ∠C + ∠B +∠C = 180度，整理得到2∠B + 2∠C = 180度，化简得到∠B + ∠C =90度。
3. 外角与内角的关系在同一个三角形中，一个内角的外角与其他两个内角之和相等。
也就是说，一个内角的外角等于其他两个内角的和。
例如，在三角形ABC中，∠A对应的外角是∠D，∠B对应的外角是∠E，∠C对应的外角是∠F。
根据外角的定义可知∠D = ∠B + ∠C，∠E = ∠A + ∠C，∠F = ∠A + ∠B。
4. 外角的性质总结根据上述讨论，我们可以总结出三角形外角的性质：- 一个三角形的外角等于其余两个内角的和。
- 三个外角的和等于90度（直角）。
- 同一个三角形中，一个内角的外角等于其他两个内角的和。
结论：本文详细介绍了三角形外角的性质，包括外角的定义、外角和内角的关系、外角和直角的关系以及外角与内角的关系。
三角形的外角和推导与证明
三角形的外角和推导与证明三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，每个角都有一个对应的外角。
本文将探讨三角形的外角特性，并推导和证明相关定理。
一、外角定义及性质三角形的外角指的是三角形内一角的补角。
例如，对于三角形ABC，若角A为内角，则角A的外角为角A'，满足角A+角A'=180度。
同理可得，角B的外角C'和角C的外角B'满足角B+角C'=180度，角C+角B'=180度。
由此可以得出三角形的一个基本定理：三角形的三个外角的度数之和等于180度。
这个定理可以通过角度之和的性质进行证明。
对于任意一个三角形ABC，我们可以将其扩展为一个平行四边形ABCD，其中BD是三角形的外角A'的延长线。
根据平行四边形的性质，AD与角B'相等，由此可得角A+角A'=180度。
同理可证角B+角C'=180度，角C+角B'=180度。
二、外角与内角的关系三角形的内角和外角具有一定的关系。
特别地，一个三角形的内角和其对应的外角相加等于180度。
例如，对于三角形ABC，角A的外角为角A'，则有角A+角A'=180度。
这一定理可以通过补角关系进行证明。
三、外角推导及证明1. 外角与内角的关系推导在三角形中，我们可以针对某个角的外角进行推导。
假设角A的外角为角A'，则角A和角A'的和等于180度。
由此可以推论出角A'=180度-角A。
同理可得，角B'=180度-角B，角C'=180度-角C。
2. 外角和的证明根据三角形外角和的定理，三角形的三个外角的度数之和等于180度。
我们可以通过如下的证明来验证这个定理。
假设三角形ABC的内角分别为角A、角B和角C，对应的外角分别为角A'、角B'和角C'。
我们需要证明：角A'+角B'+角C'=180度。
外角的性质
外角的性质角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。
本文谈谈三角形外角的性质及应用。
一. 三角形外角的概念及特征如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。
图1外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
二. 性质1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4. 三角形的外角和等于360°。
三. 应用1. 求角的度数例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）A. 115°B. 120°C. 125°D. 130°-55=125°。
解析：如图2，∠A的外角为：180°︒∠B的外角为：180°－65°=115°∠ACB的外角为：55°+65°=120°所以选D 。
图2例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD ，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（ ） A. 23°B. 42°C. 65°D. 19°图3解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED 是△EDF 的外角则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。
例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ） A.α21B. α31C.α41D.α32图4解析：设∠EDC=x ° 因为∠ADC 是△ABD 的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+α（1）因为AB=AC ，AD=AE 所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 而∠AED 是△DEC 的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C（2）将（2）代入（1）得：α+∠=+∠+ABC x C x所以α=21x 所以选A 。
三角形的内角和外角
三角形的内角和外角三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边组成。
在三角形内部，存在三个内角，而在三角形外部，也存在着三个外角。
本文将深入讨论三角形的内角和外角的性质和关系。
一、三角形内角的性质1. 内角定义：三角形内角是三角形的内部角度，具体可分为三个角度，分别记为∠A、∠B和∠C，对应于三角形的三个顶点A、B和C。
2. 内角和定理：在任意三角形ABC中，三个内角的和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
3. 内角的大小：根据内角和定理可知，对于普通三角形，其中至少一个内角小于90度，至少一个内角大于90度。
4. 直角三角形内角：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度，另外两个内角之和必然为90度。
5. 三角形内角的分类：根据大小可将三角形的内角分为锐角、直角和钝角。
当三角形中的一个内角为锐角时，其余两个内角分别为钝角；当三角形中的一个内角为直角时，其余两个内角都为锐角；当三角形中的一个内角为钝角时，其余两个内角都为锐角。
二、三角形外角的性质1. 外角定义：三角形外角是指三角形的一个内角的补角，即等于360度减去该内角的度数。
2. 外角和定理：在任意三角形ABC中，三个外角的和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
3. 外角与内角的关系：三角形内角与其对应的外角之和为180度，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠E = 180°，∠C + ∠F = 180°。
4. 外角的分类：根据大小可将三角形的外角分为锐角和钝角。
当三角形中的一个内角为锐角时，其对应的外角也为锐角；当三角形中的一个内角为钝角时，其对应的外角也为钝角。
三、三角形内角和外角的关系1. 内角和外角的关系：在任意三角形ABC中，三角形内角和其对应的外角之和等于180度，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠E = 180°，∠C + ∠F = 180°。
三角形的外角性质及其证明
三角形的外角性质及其证明三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和特点。
其中之一就是三角形的外角性质，它在解决几何问题和推导定理时起到了重要的作用。
一、三角形的外角性质在任意一个三角形中，三个外角的和等于360度。
证明：假设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C。
我们将三角形的内角延长，分别得到外角∠D、∠E和∠F。
由于外角是与内角相互补充，所以有以下关系：∠D = 180度 - ∠A∠E = 180度 - ∠B∠F = 180度 - ∠C现在我们来证明∠D + ∠E + ∠F = 360度：∠D + ∠E + ∠F= (180度 - ∠A) + (180度 - ∠B) + (180度 - ∠C)= 540度 - (∠A + ∠B + ∠C)由于三角形的内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180度，所以：∠D + ∠E + ∠F = 540度 - 180度= 360度因此，三角形ABC的外角∠D、∠E和∠F的和等于360度。
二、外角与内角的关系在三角形中，一个外角等于不相邻的两个内角的和。
证明：仍以三角形ABC为例，我们来证明∠D等于∠A和∠C的和：∠D = 180度 - ∠A （根据外角与内角的关系）∠D = 180度 - (∠A + ∠B + ∠C) （根据三角形内角和为180度）∠D = 180度 - (∠A + ∠C) （∠B + ∠C = 180度 - ∠A）∠D = ∠A + ∠C （整理推导过程）因此，外角∠D等于不相邻的两个内角∠A和∠C的和。
结语：三角形的外角性质是几何学中的重要定理，它的应用范围广泛。
通过对外角性质的研究，我们可以更深入地理解三角形的结构和性质，并应用它们解决实际问题。
三角形外角定理
三角形外角定理在学习几何学的过程中，我们经常会遇到各种各样的三角形问题。
其中，三角形外角定理是我们探究三角形性质时一个重要的定理。
本文将介绍三角形外角定理的概念、证明及应用。
一、三角形外角定理的概念三角形外角定理是关于三角形外角与三角形内角之间关系的一个重要定理。
它的表述是：“三角形的一个外角等于它对应的两个内角的和”。
具体来说，对于任意三角形ABC，若D是BC延长线上一点，那么∠ACD = ∠ABC + ∠ACB。
这里BC是三角形ABC的一条边，∠ACD 称为三角形ABC的外角，∠ABC和∠ACB称为三角形ABC的内角。
二、三角形外角定理的证明下面我们来证明三角形外角定理。
证明：三角形ABC中，延长边BC至一点D。
我们假设延长线BD相交于点E。
根据直线平行定理，可以得出∠BCD = ∠BEC。
根据内角和定理，可以得出∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°。
由此可以得出∠ACB = 180° - (∠ABC + ∠BAC)。
进一步，根据∠BCD = ∠BEC和∠BAC = ∠ACB，可以得出∠ACD = ∠ABC + ∠ACB。
因此，根据∠ACD = ∠ABC + ∠ACB和∠ACB = 180° - (∠ABC + ∠BAC)，我们可以得出∠ACD = 180° - ∠BAC。
三、三角形外角定理的应用三角形外角定理在解决三角形问题时有广泛应用。
1. 利用三角形外角定理推导其他定理通过三角形外角定理，我们可以推导出其他的三角形定理。
例如，利用三角形外角定理可以证明三角形内角和为180度的定理。
2. 计算三角形内角已知三角形的一个外角和另外两个内角，可以利用三角形外角定理求解第三个内角。
这对于解决相关的几何问题非常有用。
3. 解决三角形的旁心定理问题三角形的旁心是指三角形外接圆的圆心，与三角形的顶点分别相连的线段被称为角平分线。
利用三角形外角定理可以推导出三角形的旁心定理，即三角形的三条角平分线交于一点，这个点就是三角形的旁心。
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练一练（1）
B A
1
P
N
3
F
C
2 M E
D
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ 360° .
（2）.已知图中∠A、∠B、∠C分别为80°， 20°，30°，求∠1的度数
(3)求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
A
G
B
E
F
解：∵∠A+ ∠C= ∠EFA ∠B+ ∠D= ∠EGD D
C
∠EGD + ∠EFA + ∠E = 180°
C D A B
将一副三角板按如图方式放置，则两条
斜边所形成的钝角∠1＝______
1
∴ ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E= 180°
（4）如图，试计算∠BOC的度数．
A
90º D 30º
110°
20º
B
O
C
（5）如图，在直角△ABC中，CD是 斜边AB上的高，∠BCD＝35°， 求∠A与∠EBC的度数.
B
E
D
35°
A
C
1、三角形外角的两条性质 ① 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。 ②三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。 2、三角形的外角和是360°。
A
B
C
D
探索： （1）你能从理论上证明刚才的猜想吗？
A
B
C
D
∵∠ACD + ∠ACB=180 °， ∠A+ ∠B+ ∠ACB=180 ° ∴∠ACD= ∠A+ ∠B。
（２）如图：
过点C作C E∥A B 。 ∴∠1=∠ B，∠2=∠A。 ∴∠A CD=∠1+∠2=∠B+∠A。
A
E
E
2 1
B C D
7.2.2 三角形外角的 性质及证明
一、 打好基础
(1)什么是三角形的内角？ (2)三角形的内角和是多少？
1、画一个△ABC。 2、指出它所有的内角。 3、延长线段BC至D，给∠ACD取名。
A
B
C
D
1、外角的概念：三角形的一边与另 一边的延长线所组成的角叫做三角形 A 的外角。
B
思考：
C
D
1、
30
C
∴ ∠BOC=∠1+∠C= 71 + 30°= 101°
A
你能写出推理过程吗？
51
20
B
O
1
2
30
C
A
A
51
51
20ห้องสมุดไป่ตู้
O
20
B
30
C
O
30
CA
B
51
20
B
O
30
C
A
如图,探究∠1与 ∠A. ∠B. ∠C的关 系?
1
C B
一个零件的形状如图所示，按规定 ∠BAC=90°, ∠B=21°, ∠C=20°,检验 工人量得∠BDC=130°，就断定这个零件 不合格，你能运用所学的知识说出其中的 道理吗？
练习３、△ABC中，点D在BC上，点F
在BA的延长线上，DF交AC于点E，
∠B=42° ，∠C=55° ，∠DEC=45， 求∠F
思考：同样还是△ABC，你能不能过A点或C 点作它们对边的平行线，来说明 ∠CBD=∠ACB+∠CAB吗？试一下吧！并试着 用语言或文字表述证明过程。
E
E
三角形外角性质的其它解法：
A
B
D
C
练习1：求下列各图中∠1的度数。
A
l
1
30° B
75° C
C
D 1
25° A
95° B
D 1 A
E
55°
D 145° C 1 A
B
30° C
20° B
把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的 顺序排列
∠1 ＞ ∠2 ＞ ∠3
例1.已知，如图，AE∥CD， ∠C=80°，∠A=45°， B 求∠B的度数。
A
1
3 B 2 C
证明：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的外角， ∴ ∠1= ∠4+ ∠5，∠2= ∠4+ ∠6
∠3= ∠5+ ∠6 ∴∠1+∠2+∠3 =∠4+ ∠5+∠4+ ∠6+∠5+ ∠6 A =2(∠4+ ∠5 +∠6) 1 =360° B
2
3 C
（3）三角形三个外角和是 360°
练习2：在△ ABC中， ∠A+ ∠B=100°， ∠C=4∠A， 求∠A，∠B及与∠C相邻的外角。
如图，计算∠BOC
A
51
20
B
O
30
C
解：延长BO交AC于点F
A
∵∠1＝ ∠A+ ∠B
（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和） 且∠A＝ 51° ∠B ＝ 20°（已知） ∴ ∠1=∠A+∠B= 51 + 20°= 71°
51
F
1
20
B
O
（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和） 又∵∠C＝ 30°
判断题： 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ） ）
）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （ ） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。 （ ）
三、归纳：
三角形外角的性质：
（１）三角形的一个外角等于
和它不相邻的两个内角的和；
（２）三角形的一个外角大于任
何一个和它不相邻的内角。
如图：D是△ABC边BC上一点， ∴∠ADC= ∠DAB + ∠B 。
∠DAB , ∠ADC> ∠B 。 ∴∠ADC>
问：
DAC ∠C 。 ∠ ADB= ∠ _____+ _____
A
C
F
D
E
例2：已知D是△ＡＢＣ的BC边上一 点，∠B=∠BAD， ∠ADC=80° ， ∠BAC=70 ° ，求∠Ｂ， ∠Ｃ的 度数。
A
B
D
C
我们知道三角形的内角和是180°， 那么三角形的外角和是多少？ 注意：我们讲三角形的外角和时， 在三角形的每一个顶点处只取一个 外角。
例3.如图，已知∠1，∠2，∠3是△ABC 的外角，求证： ∠1+∠2+∠3=360°
△ABC有多少个外角？ 2、作出△ABC的所有外角，并说出来。
判断下列∠1是哪个三角形的外角：
A 1 D B A A
1
C
C
B
（ 1）
D
（ 2）
A
D
1
E
1
F
G
C B
（ 3）
B
（ 4）
C
二、新知探索 做一做： 如图，在△ABC中，∠A=80°、 ∠B=45°你能的得到∠ACD的度数吗？ ∠ACD与∠ A，∠B有什么关系？若任意 三角形，看看会出现什么结果？