十字相乘法分解因式经典例题和练习
十字相乘法-因式分解(经典版)
ax+（-ax）=0
③首项有负号时（也是提取公因式时第一要点）
- x2 x 6 - (x 2)(x 3)
转化到我们熟悉分解方式
- x2 x 6 （- x2 - x - 6）
x 2
x 3 3x 2x -x
总结：
- x2 2ax - a2（- x2 - 2ax a2） 完全平方公式
（ 2 y2 1） -（ 3 y2 1）
x ⑥ 2 系数不为1
2x 2 -11xy - 6y 2
则需对前后两个因式的系数均分解，口算，心算能 力不足时需要在草稿纸上写出多种十字交叉分解的 情形，特别是当前后两项系数数值比较大。
2xx- 6yy (x y)(x 6y)
⑦首项和末项为多个因式相乘，如abc
中间项多了一个因式（y2 1）
回到我们熟悉的分解方式
x 2
x 3
只需在右边分解的因式 分别乘以多了的那个因 式
题型④ x2 - xy - 6y 2
x
2 分别乘以
x
2y
x
x 3 另一个因式y
3y
题型⑤ x2 - x（y2 1）-（6 y2 1）2
x x 2
分别乘以
x x 3 另一个因式（y2+1）
这种的分解方式比较多，难度较大，建议 后期的学习中再慢慢了解
最后：关于十字相乘法的项数及次数问题，笔者认 为，这个没有特定要求，如前面的例子平方差公式， 只有两项也能用这种思想，再比如题型⑤
x2 - x（y2 1）-（ 6 y2 1）2
如果（）里面是一个很项数的很多项式，同样 看作一个整体，那也是可以用这种思想的，我 认为类似于三个整式的代数和形式代数式均可 考虑使用十字相乘法。
初中数学《运用十字相乘法分解因式》专项练习(含答案)
运用十字相乘法因式分解一、填空题（本大题共5小题）1.我们已经学过用面积来说明公式．如：（x+y）2=x2+2xy+y2就可以用下图甲中的面积来说明．①请写出图乙的面积所说明的公式x2+（p+q）x+pq= ；②请利用①中得到的公式因式分解：x2﹣7x+10= ．2.如果二次三项式x2﹣ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a的值为（只填写一个你认为正确的答案即可）．3.一个长方形的面积为m2+m﹣2（m＞1），其长为m+2，则宽为．4.分解因式：267x x+-=5.多项式x2+px+12可分解为两个一次因式的积，整数p的值是（写出一个即可）．二、解答题（本大题共11小题）6.分解因式：⑴256x x++⑵256x x-+⑶276x x++⑷276x x-+7.分解因式：268x x++278x x+-8.分解因式：212x x+-2612x x-+-9.分解因式：22121115x xy y--=10.分解因式：42730x x+-2273320x x--11.分解因式：2214425x y xy+-22672x xy y-+12.分解因式：2383x x--25129x x+-13.已知221547280x xy y-+=，求xy的值14.分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-； ⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-15.分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+16.分解因式：257(1)6(1)a a ++-+运用十字相乘法因式分解答案解析一 、填空题1.根据题意可知，①x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）；②∵（﹣2）×（﹣5）=10，（﹣2）+（﹣5）=﹣7∴x 2﹣7x+10=（x ﹣2）（x ﹣5）．2.根据题意，﹣a 是15分解成两个因数的和，15可以分解两个因数有几种，任意选取一种就可以．a=-8/8/16/-163.（m 2+m ﹣2）÷（m+2）=（m+2）（m ﹣1）÷（m+2）=4.(7)(1)x x +-5.12=（±2）×（±6）=（±3）×（±4）=（±1）×（±12），所以p=（±2）+（±6）=±8，或（±3）+（±4）=±7，或（±1）×（±12）=±13．∴整数p 的值是±7（或±8或±13）．二 、解答题6.⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --7.268(2)(4)x x x x ++=++；278(8)(1)x x x x +-=+-8.221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+；22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+- 9.22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+10.4222730(3)(10)x x x x +-=-+；2273320(94)(35)x x x x --=+-11.2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--；22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--12.2383(31)(3)x x x x --=+-；25129(3)(53)x x x x +-=+-13.221547280(37)(54)0x xy y x y x y -+=⇒++=，∴370x y +=或540x y += 由题意可知:0y ≠，73xy =-或45x y =-14.⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.15.[][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=---- 16.[][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+。
十字相乘法 因式分解专项练习30题(有答案)
十字相乘法分解因式专项练习30题（有答案）1．x3+5x2+6x．2．（x2+x）2﹣8（x2+x）+12．3．（1）a2﹣4a+3；（2）2m4﹣16m2+32．4．3x2﹣5x﹣2．5．x（x﹣5）﹣6．6．x2﹣5x+6．7．x3+5x2y﹣24xy2．8．﹣2x2+10x﹣12．9．16﹣8（x2﹣3x）+（x2﹣3x）2．10．2ax2﹣10ax﹣100a．11．x2﹣x﹣12．12．（x2+2x）2﹣11（x2+2x）+24．13．x4﹣2x2﹣8．14．（x2﹣2x）2﹣11（x2﹣2x）+24．15．ax8﹣5ax4﹣36a．16．x2﹣x﹣6．17．x2﹣x4+12．18．x4﹣13x2+36．19．（a2﹣a）2﹣14（a2﹣a）+24．20．﹣a4+13a2﹣36．21．3ax2﹣18ax+15a．22．x2﹣3x﹣10．23．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．24．（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．25．2ab4+2ab2﹣4a．26．x2﹣11x﹣2627．阅读下面因式分解的过程：a2+10a+9=a2+2•a•5+52﹣52+9=（a+5）2﹣16=（a+5）2﹣42=（a+5+4）（a+5﹣4）=（a+9）（a+1）请仿照上面的方法，分解下列多项式：（1）x2﹣6x﹣27（2）a2﹣3a﹣28．28．在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3= （x+2）（x+3）．你能运用上述方法分解多项式x2﹣5x﹣6吗？29．根据多项式的乘法与因式分解的关系，可得x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3），右边的两个一次两项式的系数有关系11×﹣32，左边上、下角两数积是原式左边二次项的系数，右边两数积是原式左边常数项，交叉相乘积之和是原式左边一次项的系数．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题．（1）填空：①分解因数：6x2﹣x﹣2=_________．②解方程：3x2+x﹣2=0，左边分解因式得（_____）（_____）=0，∴x1=______，x2=_______．（2）解方程．30．我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如：（1）x2+5x+6=x2+（3+2）x+3×2=（x+2）（x+3）；（2）x2﹣5x﹣6=x2+（﹣6+1）x+（﹣6）×1=（x﹣6）（x+1）．请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：（1）x2﹣8x+7；（2）x2+7x﹣18．参考答案：1．x3+5x2+6x=x（x2+5x+6）=x（x+2）（x+3）2．（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=（x2+x﹣2）（x2+x﹣6）=（x﹣1）（x+2）（x﹣2）（x+3）3．（1）a2﹣4a+3=（a﹣1）（a﹣3）；（2）2m4﹣16m2+32=2（m4﹣8m2+16）=2（m2﹣4）2=2（m+2）2（m﹣2）2．4．3x2﹣5x﹣2=（x﹣2）（3x+1）．5．x（x﹣5）﹣6=x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）6．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x-3）7．原式=x（x2+5xy﹣24y2）=x（x+8y）（x﹣3y）．8．﹣2x2+10x﹣12=﹣2（x2﹣5x+6）=﹣2（x﹣3）（x﹣2）．9．16﹣8（x2﹣3x）+（x2﹣3x）2=（x2﹣3x﹣4）2=[（x﹣4）（x+1）]2=（x﹣4）2（x+1）2．10．2ax2﹣10ax﹣100a=2a（x2﹣5x﹣50）=a（x+5）（x﹣10）．11．x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）12．原式=（x2+2x﹣3）（x2+2x﹣8）=（x+3）（x﹣1）（x+4）（x﹣2）13．x4﹣2x2﹣8x4﹣2x2﹣8=（x2﹣4）（x2+2）=（x+2）（x﹣2）（x2+2）．14．原式=（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x﹣8）=（x﹣3）（x+1）（x﹣4）（x+2）15.ax8﹣5ax4﹣36a=a（x8﹣5x4﹣36）=a（x4﹣9）（x4+4）=a（x2+3）（x2﹣3）（x4+4）=a（x2+3）（x﹣）（x+）（x4+4）．16．x2﹣x﹣6=（x﹣3）（x+2）17．原式=﹣（x4﹣x2﹣12）=﹣（x2﹣4）（x2+3）=﹣（x+2）（x﹣2）（x2+3）18.x4﹣13x2+36=（x2﹣4）（x2﹣9）=（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）19．原式=（a2﹣a﹣2）（a2﹣a﹣12）=（a+1）（a﹣2）（a+3）（a﹣4）20．﹣a4+13a2﹣36=﹣（a4﹣13a2+36）=﹣（a2﹣9）（a2﹣4），=﹣（a﹣3）（a+3）（a﹣2）（a+2）．21．3ax2﹣18ax+15a=3a（x2﹣6x+5）=3a（x﹣1）（x﹣5）．22．x2﹣3x﹣10=（x﹣5）（x+2）．23．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15=（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5）=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）24．（a2+a）2﹣8（a2+a）+12=（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）=（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）25．2ab4+2ab2﹣4a=2a（b4+b2﹣2）=2a（b2﹣1）（b2+2）=2a（b2+2）（b+1）（b﹣1）26．x2﹣11x﹣26=（x﹣13）（x+2）27．（1）原式=x2﹣2•x•3+32﹣32﹣27=（x﹣3）2﹣36=（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）=（x+3）（x﹣9）；（2）原式=a2﹣2•a•+（）2﹣（）2﹣28=（a﹣）2﹣=（a﹣+）（a﹣﹣）=（a+4）（a﹣5）．28．x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）29．（1）①、6x2﹣x﹣2=（2x+1）（3x﹣2）．②、3x2+x﹣2=0，左边分解因式得（x+1）（3x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=；（2）解方程两边都乘以（x2﹣3），得x2（x2﹣3）+2=0，化简得x4﹣3x2+2=0设y=x2，则原方程为y2﹣3y+2=0，解这个方程得y1=1，y2=2，即x2=1或x2=2，解这两个方程得，经检验，均为原方程的根30．（1）x2﹣8x+7=x2﹣（1+7）x+（﹣1）×（﹣7）=（x﹣1）（x﹣7）；（2）x2+7x﹣18=x2+（﹣2+9）x+（﹣2）×9=（x﹣2）（x+9）。
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解【典型例题】[例1] 把下列各式分解因式。
（1）232++x x （2）672+-x x 解：（1）因为212⨯=，并且213+=，所以)2)(1(232++=++x x x x（2）因为)6()1(6-⨯-=，并且)6()1(7-+-=-，所以)6)(1(672--=+-x x x x [例2] 把下列各式因式分解。
（1）22-+x x （2）1522--x x解：（1）因为2)1(2⨯-=-，并且2)1(1+-=，所以)1)(2(22-+=-+x x x x（2）因为3)5(15⨯-=-，并且3)5(2+-=-，所以)3)(5(1522+-=--x x x x [例3] 把下列各式因式分解。
（1）3722+-x x （2）5762--x x （3）22865y xy x -+解：（1）)12)(3(3722--=+-x x x x1231--7)1(1)3(2-=-⨯+-⨯（2）)53)(12(5762-+=--x x x x5312-713)5(2-=⨯+-⨯（3）)45)(2(86522y x y x y xy x -+=-+yy4521-y y y 6)2(5)4(1=⨯+-⨯[例4] 将40)(3)(2----y x y x 分解因式。
解：因为5)8(40⨯-=-，并且5)8(3+-=-，所以40)(3)(2----y x y x )5)(8(]5)][(8)[(+---=+---=y x y x y x y x [例5] 把222265x y x y x --分解因式。
)1)(6()65(222+-=--y y x y y x解：)1)(6()65(652222222+-=--=--y y x y y x x y x y x [例6] 将xy y x 168155-分解因式。
解：xy y x 168155-)49)(49()1681(222244-+=-=y x y x xy y x xy)23)(23)(49(22-++=xy xy y x xy专项练习题;1.把下列各式分解因式：(1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；(3)18x 2－21x+5； (4) 20－9y －20y 2；2．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；3．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --； （2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；【模拟试题】 一. 填空题：1. =--2832x x （ ）（ ）2. =--22352y xy x )7(y x -（ ）3. =+-22144320y xy x )74(y x -（ ）4. =+-519182x x （ ）（12-x ）5. =++-6113522mn n m －（ ）（ ）6. =--235116a a （ ）（ ）7. =-+652x kx （23-x ）（ ）=k8. )25)(74(14432y x y x y xy m --=+-，则=m9. )5)(74(43202n x y x m xy x +-=+-，则=m ，=n 10. 分解因式=++-+16)3(8)3(2242x x x x 。
初二上册双十字相乘法因式分解100道及答案
初二上册双十字相乘法因式分解100道及答案(1)2228431021337u uv v u v-++--(2)229131017122x xy y x y+--+-(3)222828639172x y z xy yz xz+--++ (4)2221121153728x xy y x y+-+++ (5)226303623304m mn n m n+-+--(6)2292714212410x xy y x y-++-+ (7)24035622824m mn m n++++(8)22248415382354a b c ab bc ac++--+(9)22236355433029x y z xy yz xz-+-+-(10)224267212985x xy y x y++++-(11)222235159413a b c ab bc ac-+---(12)2235521224164x xy y x y++--+ (13)2245275430u uv v u v---++ (14)22288230815x y z xy yz xz---++ (15)28118181015m mn m n+---(16)2223125151114a b c ab bc ac+-+++(17)2251714151820x xy y x y -+-+-(18)226191477x xy y x y ++++-(19)2242228226528x xy y x y -+-++(20)2228176122816m mn n m n +-++-(21)2225212381311a b c ab bc ac +++--(22)22276914635230x xy y x y -++-+(23)22243615301217x y z xy yz xz +-+++(24)2212243129a ab b a b +-+--(25)223093231314a ab b a b +--+-(26)2249425732a ab b a b -+++-(27)221433184942m mn n m n++--(28)22242630292471x y z xy yz xz-+--+(29)2254992a ab b a b -----(30)2212186451a ab b a b ++++-(31)228136121083235x xy y x y +-+++(32)2215228181624p pq q p q -+-+-(33)22184220333112u uv v u v +++++(34)2221562217a b c ab bc ac+-+--(35)22143910354121x xy y x y+++++ (36)2228251230204a b c ab bc ac+-+++ (37)2228493491411a b c ab bc ac-++--(38)2222492015347x y z xy yz xz-+-+-(39)22403628195714x xy y x y---+-(40)222855251620m mn n m n++--(41)22256123611690x y z xy yz xz-++++ (42)22249824423270a b c ab bc ac++-+-(43)245152864x xy x y++++(44)222451218443039x y z xy yz xz--++-(45)224822534265x xy y x y+----(46)22421924914x xy y x y-+-+(47)222245572637x y z xy yz xz----+ (48)25632912035x xy x y--++(49)221216282149x xy y x y+---(50)2225421221218x y z xy yz xz+-+++ (51)22241024132220x y z xy yz xz+--+-(52)2222863546x y z xy yz xz-+-++(53)229491535x y x y -+-(54)2221661242726x y z xy yz xz --+++(55)2228284202314a b c ab bc ac --+-+(56)22102718321x xy y x y ++-+-(57)22224212434614x y z xy yz xz ---++(58)22992422149a ab b a b -++-+(59)2223030861148x y z xy yz xz +---+(60)2224155172019a b c ab bc ac --++-(61)228113371720x xy y x y -++-+(62)2221520413247x y z xy yz xz--+++(63)22313141228m mn n m n-++-(64)272484767x xy x y -++-(65)2226352029157x y z xy yz xz+-+--(66)22210318171536a b c ab bc ac+++--(67)22492118491512x xy y x y --+-+(68)2221243371312m mn n m n ++--+(69)222402412283417x y z xy yz xz--+-+(70)22212161841233x y z xy yz xz-+++-(71)21525182024p pq p q----(72)2263681225102m mn n m n+++++ (73)2223274361624x y z xy yz xz+++--(74)228381015337x xy y x y--+-+ (75)22102312403930p pq q p q-++-+ (76)2281012781x xy y x y-----(77)22162041483x xy y x y-++-+ (78)2222149114912x xy y x y-+-++ (79)223535127236a b a b-++-(80)2243121155514x xy y x y-+-++ (81)22271618241227x y z xy yz xz-+--+ (82)22240356753743x y z xy yz xz+-+++ (83)22182779132x xy y x y-++--(84)2222213011574x y z xy yz xz-----(85)2243121244320x xy y x y++--+ (86)2232402860217x xy y x y+-+-+ (87)225127364836m mn n m n-+-++ (88)2222851227115x y z xy yz xz+-+++(89)223514219172m mn n m n ---+-(90)22245615352a b c ab 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