空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O
M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O
空间向量的正交分解及其坐标表示 .ppt
用基底表示向量
N向在量BaC，上b，，且c表空B示间N＝四2面NC体，，O设AA→BNC. 中M＝，→NaMO→，在A OA＝上bO，→，BOM＝＝Oc3→，MCA用，
解析：A→N＝－a＋13b＋23c， M→N＝－34a＋13b＋23c.
跟踪训练
＝b，O2→．P四＝棱c，锥EP、—FO分A别BC是的P底C和面P为B一的矩中形点，，设用aO→，Ab＝，ac，表O→示C
(1)(2)式为直线的向量表达式．
7．共面向量
(1)空间任意两个向量______；
(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面 ⇔______________，________________；
(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量 ______．
7．(1)共面 (2)存在唯一实数对x、y
使c＝xa＋yb (3)共面
2．课本及我们研究所建坐标系均为右手系．
3．空间中任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三 个坐标平面的平行平面分别交坐标轴于A、B、C三点，x＝ OA，y＝OB，z＝OC，当OA与i方向相同时x＞0，反之x＜0， 同理可确定y、z.
祝
您
空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1．掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任 意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而 且这种表示是唯一的．
2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一 空间向量．
3．空间向量的基本定理及其推论．
基础梳理
C．a＋2b
D．a＋2c
基底的判断
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c} 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，② {x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以 作为空间的基底的向量组有( )
空间向量正交分解及坐标表示
例1、已知空间四边形OABC中， M,N分别是OA,BC 的中点, P,Q是MN的三等分点.用向量
OA , OB , OC 表示 OP , OQ .
O
M
A
P
Q
B
N
C
例 2．已知空间四边形 OABC，M，N 分别是 OA，BC 的中 点， → ＝a，→ ＝b，→ ＝c， a， c 表示向量 MN 为( 且OA OB OC 用 b， 1 1 1 A.2a＋2b＋2c 1 1 1 C．－2a＋2b＋2c 1 1 1 B.2a－2b＋2c 1 1 1 D．－2a＋2b－2c )
x, y, p k j O i
x
P
y Q
p xi y j zk .
P ( x, y, z)
空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系O – x y z 中，对空 间任一点A,对应一个向量 O A ,于是存在唯 z a 一的有序实数组 x, y, z,使
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标. 空间向量坐标运算法则，关键是注意空 间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在 利用向量的坐标运算判断空间几何关系时， 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的 坐标。
练习
1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底． 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
3.1.5空间向量的标准正交分解与坐标表示
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1) a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9) 8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40) a b (2, 3,5) (3,1, 4) 2 (3) (3) 1 5 (4) 29 a (2a b) (2, 3,5) (1, 5,6) 2 1 (3) (5) 5 6 47
a, b, c 都叫做基向量
注：任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，即 不是基底的三个向量必共面。
例1、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA， BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量OA， OB，OC表示OP和OQ。
O M
A
Q P N B
C
二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表 示。 则空间中任意一个向量p可表示为
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
【温故知新】
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 {x,y,z}， p，存在一个唯一的有序实数组 使 p xa yb zc.
一、空间向量基本定理：
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
z
O’ A’ O
A D
A' B的坐标是 _____.
B’
B
y
x
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示
第二章 空间向量与立体几何第三节 向量的坐标表示和空间向量基本定理第3课时 ３.１空间向量的标准正交分解与坐标表示【课堂互动】新知1 空间向量的坐标表示例1. 已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标笔记：新知2 坐标运算例2. 已知(2,3,5)a =- ，(3,1,4)b =-- ，求a b + ，a b - ，||a,8a笔记：【堂中精炼】3.若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则 A.x =1，y =1 B.x =21，y =－21 C.x =61，y =－23 D.x =－61，y =234在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ）A.0B.1C.2D.35已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是 A.1B.51 C.53 D.576设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG = x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为A.（41，41，41） B.（43，43，43） C.（31，31，31） D.（32，32，32）7已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角θ的大小是_________.8已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若AP =2PB ，则|PD |的值是__________.点睛：求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴要交E‘点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标点睛：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则1122(,,a b a ba b+=++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈【反馈测评】1.给出下列命题：①若点（x ，y ，z ）在xoy 平面内，则z=0 ②若点（x ，y ，z ）在yoz 平面内，则x=0③若点（x ，y ，z ）在zox 平面内，则y=0 ④若点（x ，y ，z ）在y 轴上，则y ≠0其中正确的命题个数是： ( )A 、1B 、2C 、3D 、4 2.下列命题错误的是； ( )A 点（x ，y ，z ）关于xoy 平面的对称点是（x ，y ，-z ）B 点（x ，y ，z ）关于yoz 平面的对称点是（-x ，y ，z ）C 点（x ，y ，z ）关于zox 平面的对称点是（x ，-y ，z ）D 点（x ，y ，z ）关于原点的对称点是（-x ，-y ，z ） 3．设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．b a 或4. 下列叙述:①在空间直角坐标系中,在x 轴上的点的坐标一定是),,0(c b ;②在空间直角坐标系中,在yoz 平面上的点的坐标一定可写成),,0(c b ;③在空间直角坐标系中,在z 轴上的点的坐标一定可写成),0,0(c ;④在空间直角坐标系中,在xoz 平面上的点的坐标是),0,(c a ;其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4 ５.已知点A （3，-5，7），点B （1，-4，2），则→--AB 的坐标是___ _______，AB 中点坐标是__________。
空间向量的标准正交分解与坐标表示、空间向量基本定理课件
如果向量e1、e2、e3是空间三个 不共面 的向量，a是
空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3使得a＝ λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 .
其中e1、e2、e3叫作这个空间的一个 基底 ．
a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3
表示向量a关于基底e1，e2，e3
的分解．
空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知 向量a，b，c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是 不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向 量的基底．
解：如图，过 A 点作 AM⊥平面 xOy 于
M，则直线 AM 过点 C，且 CM＝AM， uuur
则 点 C 的 坐标 为 (1,2,1)， 此 时 OC ＝ uuur
(1,2,1)，该向量与OA＝(1,2，－1)关于平
面 xOy 对称．
过 A 点作 AN⊥x 轴于 N，则直线 AN 过点 B，且 BN＝AN， uuur
直的直线，并分别为x，y，z轴进行建系．
(2)若表示向量
uuur AB
的坐标，只要写出向量
uuur AB
关于i，
j，k的标准正 交分解式，即可得坐标．
1.在如图所示的空间直角坐标系中，正方体
ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，B1E1＝14 uuuur
A1B1，则 DE1 的坐标为________．
D1D 上，且 BE＝13BB1，DF＝23DD1.
(1)证明 A、E、C1、F 四点共面；
uuur
uuur uuur
(2)若 EF ＝x＋y AD＋z AA1 ，求 x＋y＋z uuuur
uuur
[思路点拨] 要证明四点共面只需证明 AC1 可用 AE ，
uuur
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示1
精彩互动
例1、已知PA垂直于正方形ABCD所表示的平面，M,N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD=1.求 、 的坐标
例2、在棱长为1的正方体 中，M,N分别是面 和面 的中心。
（1）求点M、N的坐标，及 关于 的分解式；
（2）求向量 在 上的投影.
检测案
1、在空间四边形 中 是 的重心，若 ，则 等于（）
二、预习自测
1.设 ，则向量 的坐标为.
探究案
一、基础知识探究
新知：
1空间向量的正交分解：
2空间向量基本定理：
反思：空间任意一个向量的基底有个.
3单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.
4空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 ，使得 ，则称有序实数组 为向量a的坐标，记着 .
(A) (B) (C) (D)
2、设 ，且 是空间的一个基底，给出下列向量组① ② ③ ④ 其中可作为空间基底的有_____________
4、已知 是两两垂直的单位向量， 则 等于（）
(A) -2 (B)-1 (C) (D) 2
5、已知单位正方体 ，求：
（1）求向量 在 上的投影；
（2）求向量 在 上的投影。
课题
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示
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目标
1、掌握空间向量的正交分解及坐标表示。
2、了解投影的概念与坐标的意义
重点
空间向量的标准正交分解
难点
空间向量的标准正交分解
空间向量的正交分解及其坐标表示坐标运算
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OQ OM MQ 1 OA 1 MN 1 OA 1 (ON OM）
23
2 3O
1 OA 1 (ON 1 OA)
23 2 1 OA 1 1 (OB OC)
M
3 32
Q
1 OA 1 OB 1 OC 36 6
A
P
C
B
N
练习 2.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、b 、c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
（1）当 cos a , b 1时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时， a b 。
思考：当0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时， 夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R) ; a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ( ;R)
a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 . a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
a, b, c都叫做基向量
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道 a,b,c不共面，还应明确：
（1）任意不共面的三个向量都可做为空间 的一个基底.
（2 ） 由于可视0为与任意一个非零向量共线, 与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共 面,就隐含着它们都不是 0 .
3.1.4空间向量的正交分解和坐标表示.
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.
（2 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任意两个 非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是 0.
（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中 的某一个向量,二者是相关连的不同概念.
C
1 OA 1 OB 1 OC
633
B
N
例 2.如图，M，N分别是四面体OABC的边
OA，BC的 中 点 ，P，Q是MN 的 三 等 分.用 向
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OQ OM MQ 1 OA 1 MN 1 OA 1 (ON OM）
23
23
y
面上的正投影 由平面向量基本定理有
Q
x
一、空间向量的坐标分解
z
在OQ, k所确定的平面上, 存在
实数z, 使得OP OQ zk
pP
在i, j所确定的平面上, 存在 实数x, y, 使得OQ xi y j
k iO j
y
Q
OP OQ zk xi y j zk x
由此可知,如果 i, j, k 是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一
y
C
...。
[例3]已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M 、N 分别 是AB、PC的中点，并且PA AD 1，试建立适当的空间
直角坐标系，并写出MN、DC. 变式如图：
课下思考：
（1）提示：课本P98页A组11T
(2)
(2)答：OG 1 a+b+c ；GH - 1 a。
空间向量的正交分解及其坐标表示
在空间中，如果用任意三个不共面向量a，b，c代 替两两垂直的向量i，j，k ，你能得出类似的结论吗？
空间向量基本定理：
已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向 量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( D )
A．a C．a＋2b B．b D．a＋2c
平 面
空 间
平面向量加减法、 数乘运算 平面向量基本定理 平面向量正交分解
空间向量加减法、 数乘运算
空间向量基本定理
空间向量正交分解
平面向量的坐标表示
空间向量的坐标表示
平面
空间
坐ห้องสมุดไป่ตู้系
单位正交基底
i , j
a xi yj
a x, y
e1 , e2 , e3
p xe1 ye2 ze3
正交分解
坐标
p x, y , z
O
M A
3.1.4 空间向量的正交分解及其 坐标表示
孔子
共线向量定理：
向量 a（a≠0）与 b 共线，当且仅当有唯 一一个实数 ，使 b= a.
平面向量基本定理：
若i，j，k为空间中三个两两垂直的向量， 且有公共起点O.对于空间中任意一个向量 p， 如何用向量i，j，k表示？
Q
P
B
N
C
O
M A
Q
P B N
C
今天这节课你的收获是什么？
28
【与你共勉】
一个国家只有数 学蓬勃发展，才能表 现她的国力强大。
——拉普拉斯
（法国数学家、物理学家）
课后作业
基础巩固 学案巩固练习部分. 能力发展 空间向量基本定理与课本88页“思考”栏目中的
第2个问题有什么联系？你有何体会？
§2.3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示
一、学习目标1．掌握空间向量的标准正交分解与坐标表示，会建立适当的空间直角坐标系写出相应点的坐标. 2.理解某个向量在坐标轴正方向上的投影.3.类比平面向量的标准正交分解与坐标表示来学习空间向量的标准正交分解与坐标表示，体会数学思想方法.二、学习重、难点1、重点：空间向量的标准正交分解与坐标表示；2、难点：向量的坐标确定和投影概念. 三、提炼精要，理清脉络1、复习平面向量的标准正交分解与坐标表示？2、阅读P33-P34回答(1)如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k为分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，则存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使a x i y j z k =++ ，有序实数组(,,)x y z 叫作向量a在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)a x y z =．其中标准正交分解为_____________，标准正交基为__________,OP=____________（2）空间任意向量a在x 轴，y 轴，z 轴正方向的分别为______________ （3）向量a 在向量b上的投影为______________.四、典例探究，深化理解例1（P34例1）如图在直角坐标系中有长方体''''ABC D A B C D -,且2,3,'5AB BC AA ===(1) 写出点'C 的坐标，给出'AC 关于,,i j k的分解式(2) 求'AD的坐标例2（P34例2）已知单位正方体''''ABC D A B C D -，求（1）向量'C A 在C B上的投影，（2）向量'C A 在BC上的投影变式练习：P34练习1、2§2.3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示五、学而练之，消化新知1、正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=2，A 1C 1∩B 1D 1=O ，写出以下各点的坐标____________ B________________________ D____________ 1____________ B 1____________ 1 ____________ D 1 ____________轴上的点的坐标可写为____________ 轴上的点的坐标可写为____________ 轴上的点的坐标可写为____________2、长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=4，AD=2，AA 1=1, 写出以下各向量的坐标1A B =____________ 1AB=____________ 11B C =____________ 1BC=____________ 11A C =____________ 1FB=___________与x O y 平面平行的向量坐标的特点为_______________ 与y O z 平面平行的向量坐标的特点为______________ 与x O z 平面平行的向量坐标的特点为__________六、小结1、空间向量坐标表示_______________2、向量a 在向量b上的投影_______________六、能力提升，练中升华1.如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→=c ，则下列向量中与BM →相等的向量是 ( ) A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c2、如图在边长为2的正方体AC 1中，取D 点为原点 AC 、DD 1、 CC 1、A 1B 1的中点，写出下列向量的坐标： ______________AM = ______________OB1=________________PQ =3、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱,若AB ＝2，'A A ＝4，R 是'B B 的中点，取AB 标系如图，写出下列向量的坐标： ______________AP = ______________CQ = ______________PQ = _________R 'A =AA '。
空间向量的标准正交分解与坐标表示
班级 标题 主备课人
▲ 知识与技能
♣ 题型一 向量的坐标表示 时间
例 1 如图，在直角坐标系中有长方体 ABCD ABCD ，且 AB 2 , BC 3 , AA 5. （1） 写出点 C 的坐标，给出 AC 关于 i , j , k 的分解式 （2） 求 AD 的坐标.
※重、难点※ ※高考预测※
※ 合 作 探 究 ※
♣ 题型二 空间向量的投影问题
例 2 如图，已知单位正方体 ABCD ABCD .求 （1） 向量 CA 在 CB 上的投影 （2） 向量 CA 在 BC 上的投影
预习课本 P33－P34 ,完成下列问题：
1. 空间向量的标准正交分解与坐标表示 (1)在给定的空间直角坐标系中， i , j , k 分别为 x 轴， y 轴， 轴正方向的单位向量，对于
※ 自 主 学 习 ※
空间 任意向量 a ，存 在唯一一 组三元有序实 数 ( x, y, z ) ，使得 a xi y j zk ， 我们把 a xi y j zk 叫作 a 的 ，我们把 i , j , k 叫作 . ，记为 ， a ( x, y, z ) 叫作向量 a 坐标表示. ( x, y, z ) 叫作空间向量 a 的 (2)在空间直角坐标系中，点 P 的坐标为 ( x, y, z ) ，向量 OP 的坐标是 .
b cos (2)一般地，若 b0 为 b 的单位向量，称 a 0 | a | a, b 为向量 a 在向量 b 上的
※巩固练习※ ※ 作 业 ※
※存在问题※
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空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基 底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六 面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱 对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关 的判断．
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任 一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋ zc，其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c 都叫作 基向量．
2．空间向量的正交分解及坐标表示 (1)单位正交基底：由三个两两垂直的有公共起点的 单位向量组成的基底称为单位正交基底． (2)空间向量的正交分解：在空间直角坐标 系 Oxyz 中，沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向各有 一个单位向量 i，j，k(组成空间一个单位正交 基底{i，j，k})，那么对于空间任意一个向量 p ＝O→P，可以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即 存在一个有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这 样的分解称为空间向量的正交分解．
类型 2 用基底表示向量 [典例 2] 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，D 为 BC 的中点．试用向量 a，b，c 表示向量O→G和G→H.
解：因为O→G＝O→A＋A→G，
而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A， 又 D 为 BC 中点， 所以O→D＝12(O→B＋O→C)， 所以O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A)＝O→A＋23×12 (O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G，
空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4-3.1．5空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示； 2.掌握空间向量的坐标运算的规律；3掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式； 4会用这些公式解决有关问题. 学习过程复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量P ，,a b 是平面上两个 向量，总是存在 实数对(),x y ，使得向量P 可以用,a b 来表示，表达式为 ，其中,a b 叫做 . 若a b ⊥，则称向量P 正交分解. 复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的 向量,i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+，，则称有序对(),x y 为向量a 的 ，即a ＝ . 复习3：设在平面直角坐标系中，A (1,3)，B (1,2)-，则线段︱AB ︱＝ . 复习4：已知()()3,2,5,1,5,1a b =-=-，求：⑴a ＋B. ⑵3a －b ； ⑶6A. ； ⑷a ·b .二、新课导学探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？ 新知：⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ，对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ .⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++. 当堂练习1. 设23a i j k =-+，则向量a 的坐标为 .2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ， a －b ，8a ，a ·b例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+ q a b =-构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面. 探究任务二：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝2. 两个向量的夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ， 由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞，又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ，由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝当堂练习① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 .反思：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴ a //B. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为 ； ⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x yz ，则线段AB 的长度为：AB .4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: . .例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体1111ABCD A B C D -中，1111113A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.变式：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，求1DB 与CM 所成角的余弦值.。
3空间向量的正交分解及其坐标表示
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 4
D1F1
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解：设正方体的棱长为1，如图建
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
数量积运算的证明：
设i, j, k为单位正交基底，则
所以a b (a1 i a2 j a3 k ) (b 1 i b2 j b 3 k)
利用向量数量积的分配律及
a a1i a2 j a3 k , b b1i b2 j b3 k
(0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
X Y面内 Y Z面内 Z X面内
点P的位置
坐标形式
(x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
z
(1)坐标平面内的点: •
1 E
•
F
C
•
x
1
O
•
•
D
B y
xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0 xoz平面上的点纵坐标为0
设M=（x，y，z），若M是线段AB的中点， x1 x 2 +x 3 y1 y 2 y3 z1 z 2 x ,y ,z 2 2 2
z3
2.平面向量的数量积、距离与夹角
设a (a1, a2 ), b (b1, b2 ), A ( x1, y1), B ( x2 , y2 )则
设M=（x，y），若M是线段AB的中点，
空间向量的正交分解及坐标表示167
d A, B ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
已知 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) 则 cos a , b
ab ab x1 x2 y1 y2 z1 z2 x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
O
M
Q
A
P
N
C
B
1 1 1 OA (ON OA ) 2 3 2 1 1 1 OA (OB OC ) 3 3 2
练习3
（1）
(2)
OB a b c BA c b CA a b c 1 1 OG a b c 2 2
练习 .空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c
1 则 AD ( 1,0,0), D1F (0, , 1), 1 2 AD D1F (1,0,0) (0, , 1) 0. 2
建立如图的空间直角坐标系
C1 B1
A1 D A
E F
B C
y
x
小结：
1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键：
=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个
向量的有向线段的终点的坐标减去起点1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
已知 a ( x, y, z) ,则 a x y z
2 2
2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
2、下图中，如何用两个不共线向量 来表 a , b 示p？
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在空间直角坐标系中 , 点P的坐标为( x, y, z ), 向量OP的坐标也是( x, y, z ).
例1.如图, 在直角坐标系中有长方体 ABCD A1 B1C1 D1 , AB 2, BC 3, AA1 5. (1)写出C1的坐标, 给出AC1关于i, j , k的分解式; (2)求AD的坐标.
A
B
小结
空间向量的坐标表示
向量a在向量b上的投影
B y
(2) (3,-2,5)
设a xi y j z k , 那么 a i ( xi y j z k ) i xi i y j i z k i
由于i i | i | 1,
2
而i j , i j 0同理k i 0
所以a i x同理a j y, a k z
A1
D1
C1
B1
D C B
(1)向量CA1在CB上的投影;
解 : (1)向量CA1在CB上的投影; | CA1 | cosA1CB | CB | 1
A
D1
C1
B1
例2.如图,已知单位正方体
A1 D
ABCD-A1B1C1D1,求
(2) BC是单位向量, 且垂直于平面
A
C
B
ABB1 A1 , 求向量CA1在BC上的投影.
存在唯一一组三元有序实数 ( x, y, z ), 使得a xi y j zk。
我们把a xi y j z k叫做a的标准正交分解 , 把i, j, k叫做标准正交基 .
( x, y, z )叫做空间向量a的坐标. 记作a ( x, y, z ). a ( x, y, z )叫做向量a的坐标表示 .
我们学习过平面向量的 标准正交分解和坐标表示.
在空间中,如何确定向量的坐标呢?
在给定的坐标系中 , 令i, j, k为直角坐标系中 x轴, y轴, z轴正方向上的单位向量 , 设a是空间任意向量 , 作OP a.
z
C P O
a
B y
k
j
D
根据向量的加法运算 ,有 OP OA AD DP
解 : (2)向量CA1在BC上的投影为 | CA1 | cos( A1CB) | CB | 1
D1
C1
B1
练习2.如图,已知单位正方体
A1 D
ABCD-A1B1C1D1,求
C
向量CA1在CA上的投影。
解 :向量CA1在CA上的投影： | CA1 | cos A1CB | CA | 2。
我们把a i x, a j y, a k z分别称为 向量a在x轴, y轴, z轴正方向上的投影.
向量的坐标等于它在坐 标轴正方向上的投影 .
一般地, 若b0为b的单位向量, 称a b0 | a | cos a, b 为向量a在向量b上的投影 .
例2.如图,已知单位正方体 ABCD-A1B1C1D1,求
A x
i
z
C P O
根据向量的加法运算 ,有 OP OA AD DP
B D y
k
j
A x
i
OA OB OC
根据向量共线定理 OA xi, OB y j, OC z k
所以OP xi y j z k
在给定的空间直角坐标系中, 令i, j , k分别为 x轴, y轴, z轴正方向上的单位向量, 对于空间任意向量a,
练习 1.如图, 在直角坐标系中有长方体 ABCD A1 B1C1 D1 , AB 2, BC 3, AA1 5. (1)写出B1的坐标, 给出AB1关于i, j , k的分解式; (2)求 BD1的坐标. (1) B1为(0,2,5)
AB1 2 j 5k
(A) O D x C D1 z A1 B1 C1
(A) O D x C B y D1 z A1 B1 C1
解: (1)
因为AB=2,BC=3,AA1=5
D1
z A1 C1
B1
所以C1为(3,2,5)
从而 AC1 (3,2,5) 3i 2 j 5k
(2)因为点D1为(3,0,5)
(A) O
D x C
B y
所以AD 1 (3,0,5)