空间向量的标准正交分解与坐标表示

A1
D1
C1
B1
D C B
(1)向量CA1在CB上的投影;
解 : (1)向量CA1在CB上的投影; | CA1 | cosA1CB | CB | 1
A
D1
C1
B1
例2.如图,已知单位正方体
A1 D
ABCD-A1B1C1D1,求
(2) BC是单位向量, 且垂直于平面
A
C
B
ABB1 A1 , 求向量CA1在BC上的投影.
我们把a i x, a j y, a k z分别称为 向量a在x轴, y轴, z轴正方向上的投影.
向量的坐标等于它在坐 标轴正方向上的投影 .
一般地, 若b0为b的单位向量, 称a b0 | a | cos a, b 为向量a在向量b上的投影 .
例2.如图,已知单位正方体 ABCD-A1B1C1D1,求
我们学习过平面向量的 标准正交分解和坐标表示.
在空间中,如何确定向量的坐标呢?
在给定的坐标系中 , 令i, j, k为直角坐标系中 x轴, y轴, z轴正方向上的单位向量 , 设a是空间任意向量 , 作OP a.
z
C P O
a
B y
k
j
D
根据向量的加法运算 ,有 OP OA AD DP
练习 1.如图, 在直角坐标系中有长方体 ABCD A1 B1C1 D1 , AB 2, BC 3, AA1 5. (1)写出B1的坐标, 给出AB1关于i, j , k的分解式; (2)求 BD1的坐标. (1) B1为(0,2,5)
AB1 2 j 5k
(A) O D x C D1 z A1 B1 C1
A x
i
பைடு நூலகம்
z
C P O
根据向量的加法运算 ,有 OP OA AD DP
B D y
k
j
A x
i
OA OB OC
根据向量共线定理 OA xi, OB y j, OC z k
所以OP xi y j z k
在给定的空间直角坐标系中, 令i, j , k分别为 x轴, y轴, z轴正方向上的单位向量, 对于空间任意向量a,
在空间直角坐标系中 , 点P的坐标为( x, y, z ), 向量OP的坐标也是( x, y, z ).
例1.如图, 在直角坐标系中有长方体 ABCD A1 B1C1 D1 , AB 2, BC 3, AA1 5. (1)写出C1的坐标, 给出AC1关于i, j , k的分解式; (2)求AD的坐标.
解 : (2)向量CA1在BC上的投影为 | CA1 | cos( A1CB) | CB | 1
D1
C1
B1
练习2.如图,已知单位正方体
A1 D
ABCD-A1B1C1D1,求
C
向量CA1在CA上的投影。
解 :向量CA1在CA上的投影： | CA1 | cos A1CB | CA | 2。
(A) O D x C B y D1 z A1 B1 C1
解: (1)
因为AB=2,BC=3,AA1=5
D1
z A1 C1
B1
所以C1为(3,2,5)
从而 AC1 (3,2,5) 3i 2 j 5k
(2)因为点D1为(3,0,5)
(A) O
D x C
B y
所以AD 1 (3,0,5)
A
B
小结
空间向量的坐标表示
向量a在向量b上的投影
B y
(2) (3,-2,5)
设a xi y j z k , 那么 a i ( xi y j z k ) i xi i y j i z k i
由于i i | i | 1,
2
而i j , i j 0同理k i 0
所以a i x同理a j y, a k z
存在唯一一组三元有序实数 ( x, y, z ), 使得a xi y j zk。
我们把a xi y j z k叫做a的标准正交分解 , 把i, j, k叫做标准正交基 .
( x, y, z )叫做空间向量a的坐标. 记作a ( x, y, z ). a ( x, y, z )叫做向量a的坐标表示 .