拉伸.压缩、剪切、扭转

的横截面 面积是CD段横截面面积A的2倍。求杆内最大
轴力，最大正应力，最大剪应力与所在位置。
2 C 3F 2 3
O
1
B
4 F
D
2 F
1
3
解： 1、计算左端支座反力
FR
O
1 4 F 1
B
2
C 3F
3
D
2 F
FR 3F 4F 2F 0
2、分段计算轴力 O B 2
2
FR 3F ()
-F
FN -图
FN max 3F （在OB段）
O
1 4 F 1
B
C 3F
3
D
2 F
4、分段求 max
3
max
5、求 max
2F 3 A
（在CD段）
FN 1 3F 1 , 2A 2A FN 3 2 F 3 A A
max
1 F max 2 A
Fl l A
引入比例常数E,则
Fl FN l l EA EA
（虎克定律）
E——表示材料弹性性质的一个常数，称为拉压弹
性模量，亦称杨氏模量。单位：Mpa、Gpa. 例如一般钢材: E=200GPa。
elasticity modulus
拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形 1 B 2 C O 1 ） 虎克定律另一形式： 4 3F F
3、理论分析
拉杆横截面上分布力系为
均匀分布的正应力
拉杆横截面上分布力系为均匀分布的正应力。
F
F FN=F
F
F
根据静力平衡条件：

N dN A d A A
正应力：
N A
轴力 横截面面积
符号规定：
拉应力为正值；压应力为负值！
具有最大正应力 max 的截面——危险截面
一、拉压杆横截面上的应力 二、拉压杆斜截面上的应力
3
FN 1 FR 3F (拉)
FN 2
FR
4 F
2
FN 2 4F FR 0
FN 2 F
(压 )
FN 3 2F (拉)
3、作轴力图
O 1 B 4 F 1 3F +
2 C 3F 2
3
D
2 F
3
2F
+ -
注意:在集中外力作 用的截面上，轴力 图有突变，突变大 小等于集中力大小.

或
称为泊松比( Poisson's ratio)，如一般钢材， =0.25-0.33。 四、刚度条件
l [l ] （许用变形）
根据刚度条件，可以进行刚度校核、截面设计及 确定许可载荷等问题的解决。
第四节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
材料在拉伸和压缩时的力学性质(mechanical property)
（在CD段与杆轴
成45°的斜面上）
第三节
轴向拉（压）时的变形及胡克定律
Hooke's law
拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形
一、轴向伸长（纵向变形）
b1
F
l
F
b
l1
纵向的绝对变形
l l1 l
纵向的相对变形（轴向线变形）
l l
拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形
二、胡克定律
实验证明：
Axial Tension and Compression

内力类型(inner force type)
计算方法(calculation method) 内力图(inner force diagram)


3 1
轴向拉伸与压缩变形
在一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴 线相重合的轴向外力的作用下，杆件发生长度
方向的伸长或缩短。
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴 线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩， 伴随横向缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
力学模型
(mechanical model)
FP
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
FP
实验证明：斜截面上既有正应力(normal stress) ， 又有剪应力(shear stress) ， 且应力为均匀分布。
F

F
F
FNV
FN F
Fs FNV

FS

法线(normal)与x轴的夹角，以逆时针转向为正
n F
FN F
F
p
FN F F p cos cos A A / cos A
横截面在变形前后均保持为一平面——平面截面假设。 任意两个横截面之间的纵向纤维的伸长变形相等
1、实验观察
F
a a
c c
F
2、假设:
b b 变形前： ab // cd
d d 变形后： ab // cd // ab // cd
横截面在变形前后均保持为一平面——平面截面假设。 任意两个横截面之间的纵向纤维的伸长变形相等
sin 2
2
1、当 0, cos0 1, sin 0 0,
max
而剪应力为零。
0
即横截面上的正应力为杆内正应力的最大值

2、

2
1 cos 2
sin 2
2
当 45 , cos 2 0, sin 2 1,
o


E
E
4、局部颈缩阶段ef
明显的四个阶段 1、弹性阶段ob P — 比例极限 e — 弹性极限
tan
塑性指标
0
两个塑性指标(plasticity index):
l1 l0 A0 A1 断后伸长率 100% 断面收缩率 100% l0 A0 5% 为塑性材料 5% 为脆性材料
式中
A
为斜截面的面积，
oblique section

为横截面上的应力。
cross section
n F
FNV
n
Fs
FN F

F
F

p


p cos cos
2

2
1 cos 2
1 sin 2 2
p sin cos sin
拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形 1 B 2 C 3 1） O 4 3F F 1
D 2 F
(OB段、BC段、
应分段计算总变形。
n
2
3
CD段长度均为l.)
即
FNili l i 1 Ei A i
l loB lBC
FN 1l FN 2l FN 3l lCD EA EA2 EA3 1
2
哪个杆先破坏?
100kN
A=100m 2 m 100kN
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力； ②材料承受荷载的能力。
原因：
轴力只是杆件横截面上分布内力系的合
力，而要判别杆件是否会发生强度不足而破 坏，还必须知道分布内力大小的分布内力集
度。以及杆件的荷载承受能力。
对所留部分而言是外力）。
轴力的正负规定:
N 与外法线同向,为正轴力(拉力)
(Outward normal)
FN FN
FN FN
FN>0 FN<0
N与外法线反向,为负轴力(压力)
(Inner normal)
图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、
P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA N1 A PA B PB B PB C PC C PC
低碳钢的 20 — 30% 60% 为塑性材料
卸载定律及冷作硬化

e P
d
e
b
b
f
即材料在卸载过程中 应力和应变是线形关系， 这就是卸载定律。 材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
a c
s
o

d g
f h

1、弹性范围内卸载、再加载
2、过弹性范围卸载、再加载
FP
轴向压缩，对应的力称为压力。
FP
直杆横截面(cross section)上的内力:
求解方法——截面法
内力类型——轴力
以拉力为正，压力为负
例： 截面法求FN
P
截开：
A A
简图
P P
P
代替：
P
A
FN
平衡：
X 0
PN 0
PN
轴力——轴向拉压杆的内力，用FN 表示。
截面法(section method）的基本步骤： ①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力
D
PD D PD
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷
轴力图—— FN (x) 的图象表示。 意 义 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； ②确定出最大轴力的数值
FN
及其所在横截面的位置，
即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
P
+
x
§7-2 应力（STRESS）的概念
10kN 10kN
A=10mm
EA , l EA ——杆件的抗拉压刚度( Stiffness)
3
1
2

D 2 F
(OB段、BC段、
CD段长度均为l.)
E
3
虎克定律的适用条件： （1）材料在线弹性范围内工作，即 p （p
称为比例极限）； （2）在计算杆件的伸长l 时，l长度内其 FN , E , A
均应为常数，否则应分段计算或进行积分。例如
其 它 材 料 拉 伸 时 的 力 学 性 质
对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力 应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现 象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。 为典型的脆性材料。

bt
o

目录
σbt—拉伸强度极限（约为140MPa）。它是
衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。
12.5.5 压缩试验
lim
1GPa 110 N
9
mm Q
2
2
A0 A 与截面相切
一、拉压杆横截面上的应力 二、拉压杆斜截面上的应力
研究方法：
实验观察 作出假设 理论分析 实验验证
1、实验观察
F
a a
c c
F
2、假设:
b b 变形前： ab // cd
d d 变形后： ab // cd // ab // cd
3Fl 3Fl ( Fl ) 2 Fl EA E (2 A) E (2 A) EA
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三、横向变形 泊松比
横向的绝对变形
b1
b b1 b
横向的相对变形（横向线变形lateral deformation） b
b b
拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形
实验证明：

金属材料的材料力学性质：包括低碳钢和铸铁 非金属材料的力学性质：包括混凝土、木材及玻璃钢、复合材料等
材料力学性质的定义
材料在外力作用下，强度和变形方面所表现出的性能。
常温、静载条件下
弹性模量 泊松比 极限应力( limit stress)
12.5.1 拉伸试验 标准试件（低碳钢、铸铁）
工作段长度l
lo=10do 或 5do do
试验设备：
标距lo
万能试验机：用来强迫 试样变形并测定试样抗 力的机器。 变形仪：用来将试样的 微小变形放大到试验所 需精度范围内的仪器。
1、低碳钢(C≤0.3%)拉伸实验及力学性能

e
b
b
f
e P
a c
s
2、屈服阶段bc（失去抵 抗变形的能力） s — 屈服极限 3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力） b — 强度极限
应力是受力杆件某一截面上一点处的内力集度
正应力： Direct Stress
单位：
帕斯卡Pa：
1Pa 1 N
3
1kPa 110 N 1MPa 110 N
6
m m
2
N dN lim A0 A dA
垂直于截面 剪应力： Shear Stress
2
m m
2
1MPa 1 N

为横截面上的应力。


2
1 cos 2
sin 2
正负号规定
(Tensile stress) Pressure stress
2
：拉应力为正，压应力为负；
：对脱离体内一点产生顺时针力矩的剪应
力为正，反之为负；
讨论：


2
1 cos 2
, 2 2
max
即与杆件成45°的斜截面上剪应力达到最大值 而正应力不为零。

3、
当 90 , cos 0, sin 2 0,

2
1 cos 2
sin 2
2
0,
0
即纵截面上的应力为零，因此在纵截面不会破坏。

4、 当 135 45 , cos

2
1 cos 2
sin 2
2
2 , sin 2 1, 2
,135 45 2 2

45

例题1-1
阶段杆 OD ，左端固定，受力如图，OC段