七年级初一数学下册511相交线学案新人教版

相交线

学习目标1表述对顶角、邻补角的概念性质，并能利用它进行简单的推理和计算；

2通过对顶角性质的推理过程，提高推理和逻辑思维能力；

3通过变式图形的识图训练，提高识图能力。

重点：是对顶角的概念和性质；

难点：对顶角的概念，以及对顶角与邻补角的区别与联系。

学习过程

一、自主学习

1.课前预习：读一读,看一看

握紧把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角边相应变小. 如果改变用力方向,随着两个把手之间的角逐渐变大,剪刀刃之间的角也相应变大我们生活的世界中,蕴涵着大量的相交线和平行线. 本章要研究相交线所成的角和它的特征,相交线的一种特殊形式即垂直,垂线的性质, 研究平行线的性质和平行的判定以及图形的平移问题..

2.自主探究：认识邻补角和对顶角,探索对顶角性质

1.学生画直线AB、CD相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角?

各对角的位置关系如何?根

(1)

O

D C B A

据不同的位置怎么将它们分类? 3..概括形成邻补角、对顶角概念.

有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.

如果两个角有一个公共顶点, 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角.

二、合作探究

直线AB 、CD 、EF 相交于点O,∠BO E 的对顶角是_______,∠COF 的邻补角是________.

图中一共有对顶角 对，邻补角 对。

三、拓展延伸

1.如图,直线AB 、CD 相交于点O.

(1)若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数.

(2)若∠BOC 比∠AOC 的2倍多33°,求各角的度数.

2.两条直线相交,如果它们所成的一对对顶角互补, 那么它的所成的各角的度数是多少?

三.牛刀小试 一、判断题:

1.如果两个角有公共顶点和一条公共边而且两角

互为

)

2.两条直线相交,如果它们所成的邻补角相等,那么一对对顶角就互补.

( ) 二、填空题:

1.如图1,直线AB 、CD 、EF 相交于点O,∠BOE 的对顶角是_______,∠COF 的邻补角是________.若∠AOC:∠AOE=2:3,∠EOD =130°,则∠

BOC=_________.

2.如图2,直线AB 、CD 相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=________.

O D C

B

A

(1)

O D

C

B A

四、课后反思

七年级下学期期末数学试卷

一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．下列运算正确的为（ ） A ．2(3)9-=-

B ．382-=-

C ．

42

93

=±

D ．2

(1)1-=-

【答案】B

【解析】根据有理数的乘方、开方的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A ，平方结果为正，错误. B,正确.

C,二次开方为正，错误. D, 二次开方为正，错误. 故选B. 【点睛】

此题考查了有理数的乘方、开方，熟练掌握运算法则是解题的关键．

2．如图，A 、B 的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB 平移至A 1B 1，则a+b 的值为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【答案】B

【解析】根据平移的性质，由对应点横坐标或纵坐标的变化情况推出a 和b,再求a+b 的值.

【详解】由平移的性质可得，a=0+2=2,b=0+2=2,所以.a+b=2+2=4. 故选B 【点睛】

本题考核知识点：用坐标表示平移.解题关键点：熟

记平移中点的坐标变化规律.

3．下列各数中是无理数的是( ) A 39B 9

C ．

22

7

D ．3

【答案】A

【解析】根据无理数的定义解答即可． 9，

22

7

，3是有理数， 3

9

故选A ． 【点睛】

本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等这样的数． 4．下列分解因式正确的是（ ） A ．－a ＋a 3=－a(1＋a 2)

B ．

2a －4b ＋2=2(a －2b) C ．a 2－4=(a －2)2 D ．a 2－2a ＋1=(a －1)2

【答案】D

【解析】根据因式分解的定义进行分析.

【详解】A 、-a+a 3=-a （1-a 2）=-a （1+a ）（1-a ），故本选项错误；

B 、2a-4b+2=2（a-2b+1），故本选项错误；

C、a2-4=（a-2）（a+2），故本选项错误；

D、a2-2a+1=（a-1）2，故本选项正确．

故选D．

【点睛】

考核知识点：因式分解.

5．下列调查最适合于抽样调查的是（）

A．某校要对七年级学生的身高进行调查

B．卖早餐的师傅想了解一锅茶鸡蛋的咸度

C．班主任了解每位学生的家庭情况

D．了解九年级一班全体学生立定跳远的成绩

【答案】B

【解析】解：A. 某校要对七年级学生的身高进行调查，调查范围小，适合普查，故A错误；

B. 卖早餐的师傅想了解一锅茶鸡蛋的咸度无法进行普查，适合抽样调查，故B正确；

C. 班主任了解每位学生的家庭情况，适合普查，故B错误；

D. 了解九年级一班全体学生立定跳远的成绩，适合普查，故D错误；

故选B.

【点睛】

一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

6．如图AD∥BC,∠B=30,DB平分∠ADE,则∠DEC的度数为（）A．30B．60

C．90

D．

120

【答案】B

【解析】∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵DB平分∠ADE，

∴∠ADB=∠ADE，

∵∠B=30°，

∴∠ADB=∠BDE=30°，

则∠DEC=∠B+∠BDE=60°．

故选B．

【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB的度数是解题关键．

7．某种商品的进价为80元，出售时的标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多打（）A．九折B．八折

C．七折

D．六折

【答案】C

【解析】设打x折，利用销售价减进价等于利润得

到120?

10

x

-80≥80×5%，然后解不等式求出x的范围，从而得到x的最小值即可．

【详解】解：设打x折，

根据题意得120?

10

x

-80≥80×5%，

解得x≥1．

所以最低可打七折．

故选C．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的应用：由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．注意打x 折时，标价要乘0.1x 为销售价． 8．下列计算正确的是（ ）． A ．2233a a -= B ．236a a a ?= C ．()

3

2

6

a a =

D ．623+=a a a

【答案】C

【解析】根据整式的加减与幂的运算法则逐一解答判断.

【详解】A. 22232a a a -=，故错误； B. 23235a a a a +?==，故错误； C. ()

3

2

6a a =，该选项正确；

D. 62a a ，不是同类项，不能相加减，故错误. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了整式的加减与幂的运算，熟练运用法则进行计算是关键.

9．定义：对任意实数x ，[]

x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.143=，[]11=，[]1.22-=-.对数字

65进行如下运算：①658??=??；②82??=??；③21??=??，这样对数字65运算3次后的值就为

1，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为1，则数字255经过（ ）次运算后的结果为1. A ．3 B ．4 C ．5

D ．6

【答案】A

【解析】先估算要被开方的数的取值在那两个整数之间，根据[a]表示不超过a 的最大整数计算，可得答案．

【详解】255进行此类运算：①25515??=??；②153??=??；③31??=??，即对255经过了3次运

算后结果为1，故选A. 【点睛】

本题考查估算无理数的大小，熟记1至25的平方，在初中阶段非常重要，在解决本题时可提高效率.

10．在方程组2122

x y m

x y +=-??

+=?中，若未知数x ，y

满足x+y ＞0，则m 的取值范围在数轴上的表示应是如图所示的（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】解：2122x y m x y +-??

+?＝

①＝②

，

①+②得，3（x+y ）=3-m ， 解得x+y=1-3

m

， ∵x+y ＞0，

∴1-

3

m

＞0， 解得m ＜3， 在数轴上表示为：．

故选B ． 二、填空题题 11．因式分解：

=______．

【答案】2（x +3）（x ﹣3）．

【解析】试题分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即=2（x 2-9）=2（x+3）

（x-3）. 考点：因式分解.

12．分解因式：2a 3—2a=____________． 【答案】2a(a-1)(a+1). 【解析】3

22a a - =22(1)a a - =2(1)(1)a a a +-.

13．数据0.0005用科学记数法表示为______． 【答案】5510?﹣

【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×

10n -，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】0.0005=5510?﹣ 故答案为：5

510?﹣. 【点睛】

此题考查科学记数法—表示较小的数，解题关键在

于掌握其一般形式.

14．如图的七边形ABCDEFG 中，AB 、ED 的延长线相交于O 点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的

外角的角度和为220°，则∠BOD 的度数是________.

【答案】40°

【解析】∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°=4×180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=500°，

∵五边形OAGFE 内角和=(5?2)×180°=540°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°， ∴∠BOD=540°?500°=40°， 故答案为40°. 15．使分式

1

3

x x --有意义，x 的取值应满足__________． 【答案】3x ≠

【解析】根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，再根据不等式的基本性质解不等式即可得解． 【详解】解：∵分式1

3

x x --有意义 ∴30x -≠ ∴3x ≠

∴x 的取值应满足3x ≠． 故答案是：3x ≠ 【点睛】

本题考查了分式有意义的条件---分母不为零以及解不等式，解决本题的关键是能够根据分式有意义

的条件列出关于x的不等式．

16．将方程2x+y＝25写成用含x的代数式表示y 的形式，则y＝_____．

【答案】25-2x

【解析】试题分析：将方程2x+y=25移项即可得y=—2x+25.

考点：二元一次方程的变形.

17．计算()13

27-=__________．

【答案】1 3

【解析】根据乘方的运算，即可得到答案.

【详解】解：()1

3

3

1

27

3

27

-==；

故答案为：1 3 .

【点睛】

本题考查了乘方的运算，解题的关键是熟练掌握乘方的运算法则进行解题.

三、解答题

18．如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔．

（1）求图中阴影部分面积（用含a、b的式子表示）（2）用分解因式计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积．

【答案】 (1) 2（a2﹣b2）；(2)1.

【解析】（1）影部分面积等于大长方形的面积减去中间两个正方形的面积；

（2）把a＝15.7，b＝4.3带入（1）中的最终结果，即可求出阴影部分的面积．【详解】解：（1）2a?a﹣2b2＝2（a2﹣b2）；

（2）当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积2（a2﹣b2）＝2（a+b）（a﹣b）＝2（15.7+4.3）（15.7﹣4.3）＝1．

【点睛】

本题主要考查了矩形面积的计算以及因式分解中

的公式法，熟练矩形面积的计算以及因式分解的方法是解题关键．

19．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2），

（1）写出点A、B的坐标：A（，）、B（，）

（2）将△ABC先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A′B′C′，画出

△A′B′C′

（3）写出三个顶点坐标A′（、）、B′（、）、C′、）（4）求△ABC的面积．

【答案】（1）A(2,-1)、B(4,3)；

（2）如图所示：

（3）A′(1, 1)、B′(3,5)、C′(0,4)；

（4）5

【解析】（1）根据图可直接写出答案；

（2）根据平移的方向作图即可；

（3）根据所画的图形写出坐标即可；

（4）利用长方形的面积减去四周三角形的面积可得答案．

【详解】

（1）A(2,-1)、B(4,3)；

（2）如图所示：

（3）A′(1, 1)、B′(3,5)、C′(0,4)；

（4）△ABC的面积：

111

34-13-24-13=5

222

???????

【点睛】

本题考查了作图-平移变换，确定平移的方向和平移的距离，通过关键点作出平移后的图形.

20．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30只，这些球除颜色外其余完全相同，为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球实验.他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：

模球的

次数n 50 100 300 500 800

10

00

20

00

摸到红

球的次数m 14 33 95 155 241

29

8

60

2

摸到红

球的频

率

m

n

0.2

8

0.3

3

0.3

17

0.3

1

0.3

01

0.2

98

0.

30

1

（1）请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频

率将会接近______；（精确到0.1）

（2）假如你去摸一次，则估计摸到红球的概率为

______；

（3）试估算盒子里红球的数量为______个，黑球

的数量为______个.

【答案】(1)0.3;(2)0.3;(3)9,21

【解析】（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红

球的频率逐渐靠近于0.3可得；

（2）概率接近于（1）得到的频率；

（3）红球个数=球的总数×得到的红球的概率，让

球的总数减去红球的个数即为黑球的个数，问题得

解．

【详解】（1）当次数n足够大时，摸到红球的频率

将会接近0.3，

（2）摸到红球的概率的估计值为0.3，

（3）估算盒子里红球的数量为30×0.3=9个，黑球

的个数为30-9=21个.

【点睛】

考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定

值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总

体数目×相应频率．

21．在Rt ABC中，AC BC

=，90

C=

∠，D

为AB边的中点，90

EDF?

∠=，EDF

∠绕D点

旋转，它的两边分别交AC和CB（或它们的延长

线）于E，F.

（1）当DE AC ⊥于E 时（如图1），可得

DEF CEF S S +=△△______________ABC

S

.

（2）当DE 与AC 不垂直时（如图2），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出DEF S △，CEF S △，ABC

S

的关系.

（3）当点E 在AC 延长线上时（如图3），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出DEF S △，CEF S △，ABC

S 的关

系.

【答案】（1）

1

2；（2）成立，理由详见解析；（3）1

2

DEF

CEF ABC S S S -=△△△

【解析】（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 时，四边形CEDF 是正方形，边长是AC 的一半，即可得出结论；

（2）成立；先证明△CDE ≌△BDF ，即可得出结论；

（3）不成立；同（2）得：△DEC ≌△DBF ，得出

12

DEF CFE DBC CFE ABC

DBFEC S S S S S S ?????==+=+五方形

【详解】解:（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 时，四边形CEDF 是正方形；设△ABC 的边长

AC=8C=a ，则正方形CEDF 的边长为号1

2

a ，

∴2

12

ABC S a =，正方形CEDP 的面积

2

211

24CEDF

S a a ??== ???

；

∴1

2ABC CEDF S S =

△,故答案为：12

；

（2）成立.

证明：连接CD ，∵AC BC =（已知） ∴A B ∠=∠（等边对等角） ∵90ACB ∠=（已知），

180A B ACB ?∠+∠+∠=（三角形内角和为180

度）

∴45A B ?∠=∠=（等式性质）

∵AC BC =（已知），BD AD =（中点的意义） ∴CD AB ⊥（等腰三角形的三线合一） ∴90CDB =∠（垂直的意义）

∵180DCB B CDB ?∠+∠+∠=（三角形内角和为180度）

∴45DCB =∠(等式性质)

∴DCB B ∠=∠（等量代换） ∴CD DB =（等角对等边） ∵CD AB ⊥（已证）

∴90CDF FDB ?∠+∠=（垂直的意义） ∵90EDF =∠（已知）

∴CDE BDF ∠=∠（等式性质） 在CDE △与BDF 中，

ECD B

CD BD

EDC BDF ∠=∠??

=??∠=∠?

（已证）（已证）（已证） ∴(...)CDE BDF A S A △≌△

∴CDE BDF S S △≌△（全等三角形的面积相等） ∴1

2

DEF CEF CDB ABC S S S S +==

△△△△（等量代换）

（3）不成立；1

2

DEF CEF ABC S S S -=△△△；理由如下：连接CD ，如图3所示： 同（2）得：

,135DEC DBF DCE DBF ?∠=∠=≌

∴DEF DBFEC

S S ?=五方形1

2

CFE DBC CFE ABC S S S S ????=+=+

1

2

DEF CFE ABC S S S ???∴-=

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键.

22．如图，已知AB ∥DC ，AE 平分∠BAD ，CD 与AE 相交于点F ，∠CFE ＝∠E ．试说明AD ∥BC ，并写出每一步的根据．

【答案】见解析

【解析】由AB 与CD 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AE 为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】证明：∵AB ∥DC （已知） ∴∠1＝∠CFE （两直线平行，同位角相等）

∵AE 平分∠BAD （已知） ∴∠1＝∠2（角平分线的定义） ∴∠CFE ＝∠2（等量代换）

∵∠CFE ＝∠E （已知） ∴∠2＝∠E （等量代换）

∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）． 【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

23． “村村通”是国家的一个系统工程，其中包涵公路、电力、生活和饮用水、电话网、有线电视网、互联网等等，现计划在,,A B C 周边修公路，公路从A 村沿北偏东65?方向到B 村，从B 村沿北偏西25方向到C 村，那么要想从C 村修路,CE 沿什么方向修，可以保证CE 与AB 平行？

【答案】CE 应沿北偏东65?方向修．

【解析】根据平行线的性质定理得115ABF ∠=?，

90ECB ABC ∠=∠=?，过点C 作MN ∥BF ，可

得∠MCE=65°，进而即可得到结论．

【详解】使CE 沿北偏东65?方向，即可保证CE 与

AB 平行．理由如下：

如图，由题意得，//AD BF ，

18065115ABF ∴∠=?-?=?， 1152590ABC ∴∠=?-?=?，

要使//CE AB ，则90ECB ABC ∠=∠=?， 过点C 作MN ∥BF ， ∴∠BCN=∠CBF=25°，

∴∠MCE=180°-90°-25°=65°， ∴CE 应沿北偏东65?方向修．

【点睛】

本题主要考查方位角，掌握平行线的性质定理是解

题的关键．

24．为了响应国家“节能减排，绿色出行”号召，长春市在多个地区安放共享单车，供行人使用.已知甲

站点安放518辆车，乙站点安放了106辆车，为了使甲站点的车辆数是乙站点的2倍，需要从甲站点调配几辆单车到乙站点？ 【答案】甲调102辆车到乙站点.

【解析】设从甲站点调配x 辆单车到乙站点，根据甲站点单车数量-x=2（乙站点单车数量+x ）列出方程解答即可．

【详解】设从甲站点调配x 辆单车到乙站点，根据题意得， 518-x=2×(106+x) 解得，x=102

答：从甲站点调配102辆单车到乙站点 【点睛】

考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

25．为迎接边境贸易博览会，组织部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

(1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

(2)若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一

个B 种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

【答案】设搭配A种造型x个，则B 种造型为

个，

依题意，得：解得：，∴

∵x是整数，x可取31、32、33，

∴可设计三种搭配方案：

①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；

②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；

③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．（2）方法一：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：

33×800+17×960=42720（元）

方法二：方案①需成本：31×800+19×960=43040（元）；

方案②需成本：32×800+18×960=42880（元）；

方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）；

∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．【解析】解：设搭配种造型个，则种造型为个，依题意，得：

解这个不等式组，得：，.

是整数，可取，所以可设计三种搭配方案：①种园艺造型个，种园艺造型个；②种园艺造型个，种园艺造型个；③种园艺造型个，种园艺造型个．（2）由于种造型的成本高于种造型，所以种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：（元）