贝叶斯决策例题(精选.)
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例:某工程项目按合同应在三个月内完工,其施工费用与工程完工期有关。假定天气是影响能否按期完工的决定因素,如果天气好,工程能按时完工,获利5万元;如果天气不好,不能按时完工,施工单位将被罚款1万元;若不施工就要付出窝工费2千元。根据过去的经验,在计划实施工期天气好的可能性为30%。为了更好地掌握天气情况,可以申请气象中心进行天气预报,并提供同一时期天气预报资料,但需要支付资料费800元。从提供的资料中可知,气象中心对好天气预报准确性为80%,对坏天气预报准确性为90%。问如何进行决策。
解:采用贝叶斯决策方法。
(1)先验分析
根据已有资料做出决策损益表。
根据期望值准则选择施工方案有利,相应最大期望收益值EMV*(先)=0.8
(2)预验分析
完全信息的最大期望收益值:EPPI=0.3×5+0.7×(-0.2)
=1.36(万元)
完全信息价值: EVPI=EPPI- EMV*(先)=1.36-0.8=0.56(万元)
即,完全信息价值大于信息成本,请气象中心进行预报是合算的。
(3)后验分析
①补充信息:气象中心将提供预报此时期内两种天气状态x 1(好天气)、x 2(坏天气)将会出现哪一种状态。
从气象中心提供的同期天气资料可得知条件概率: 天气好且预报天气也好的概率 P (x 1/θ1)=0.8 天气好而预报天气不好的概率 P (x 2/θ1)=0.2 天气坏而预报天气好的概率 P (x 1/θ2)=0.1 天气坏且预报天气也坏的概率 P (x 2/θ2)=0.9
②计算后验概率分布:根据全概率公式和贝叶斯公式,计算后验概率。
预报天气好的概率
1111212()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.31
预报天气坏的概率
2121222()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.69 预报天气好且天气实际也好的概率:
111111()(/)
(/)()
P P x P x P x θθθ⋅=
=0.3×0.8/0.31=0.77
预报天气好而天气坏的概率:
212211()(/)
(/)()
P P x P x P x θθθ⋅=
=0.7×0.1/0.31=0.23
预报天气坏而实际天气好的概率:
121122()(/)
(/)()
P P x P x P x θθθ⋅=
=0.3×0.2/0.69=0.09
预报天气坏且实际天气也坏的概率: 222222()(/)
(/)()
P P x P x P x θθθ⋅=
=0.7×0.9/0.69=0.91
上述计算可以用表格表示:
③ 后验决策:
若气象中心预报天气好(x1),则每个方案的最大期望收益值 E(d1/x1)=0.77×5+0.23×(-1)=3.62 E(d2/x1)=0.77×(-0.2)+0.23×(-0.2)=-0.2
选择d1即施工的方案,相应在预报x1时的最大期望收益值E (X1)
=3.62
若气象中心预报天气不好(x2),各方案的最大期望收益值 E(d1/x2)=0.09×5+0.91×
(-1)=-0.46 E(d2/x2)=0.09×(-0.2)+0.91×(-0.2)=-0.2
选择d2即不施工的方案,相应在预报x2时的最大期望收益值E (X2)=-0.2
④ 计算补充信息的价值:
得到天气预报的情况下,后验决策的最大期望收益值:
1122*()()()()()EMV P x E x P x E x =⋅+⋅后=0.31×3.62+0.69×(-0.2)
=0.9842
则
补
充的信
息
价值为
:
EMV*(
后
)-
EMV*(先)=0.9842-0.8=0.1842
补充信息价值大于信息费(800元),即这种费用是合算的。
⑤ 画出决策树(略)