第六章自旋与全同粒子
全同粒子体系
第六章 全同粒子体系6.1 全同粒子体系之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。
首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。
1、全同粒子我们称质量m ，电荷q ，磁矩M，自旋S 等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。
其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。
全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。
2、量子力学基本假设全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。
由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。
在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。
3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。
在量子力学情况下，微观粒子不存在严格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。
但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N = ），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N = 各有一个粒子。
电子自旋全同粒子
61第六章自旋与全同粒子§6-1 电子自旋的实验证据（一）斯特恩－盖拉赫实验Z（1）实验描述基态的氢原子束经非均NS基态的氢原子束，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。
处于基态的氢原子（2）结论I 。
氢原子有磁矩，因而在磁场中发生偏转。
II 。
氢原子磁矩只有两种取向，即空间量子化的。
III 。
处于基态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。
钠原子光谱中的一条亮黄线（二）光谱线精细结构钠原子光谱中的条亮黄线λ≈5893Å，用高分辨率的光谱仪观测可以看到该谱线其实是由3p观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。
5893ÅD 1D 2很两条线其他原子光谱中也可以发5896Å5890Å现类似现象，称之为光谱线的3s精细结构。
该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释。
（三）电子自旋假设乌伦贝克和高斯密特1925年根据上述现象提出了电子自旋假设：（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值方向上的投影只能取两个数值：2z s SS m =±=m s 称为自旋磁量子数。
（2）每个电子都具有与自旋角动量对应的自旋磁矩，它们的关系为：S e M S−= μ因此自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2S zBe MMμ=±=± Bohr Bohr磁子6-2§62 角动量的普遍性质简介ˆ （一）角动量算符的普遍定义A定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ⎡⎡⎡定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符：,,,x y z y z x z x y A A i A A A i A A A i A ⎤⎤⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系：2222ˆˆˆˆ=++x y zA A A A 2ˆˆ⎡(),0,,A A x y z α⎤==ˆA ˆ（二）与的本征值2zA 角动量平方算符与角动量算符各分量对易故角动量平方算符与角动量算符各分量对易，故有共同的本征函数系，在共同本征态下，同时具有确定值（本征值）。
自旋与全同粒子
√
电子自旋(1/2)
斯特恩-革拉赫实验
照相片 PP ，不均匀磁场，狭缝 BB ，s 态的氢原子源 K s 态的氢原子束通过狭缝 BB 和不均匀磁场， 射到照相片 PP 上，出现两条分立线 分立线：氢原子具有磁矩 两条线：磁矩只有两种取向 s 态的氢原子：角量子数 l = 0，没有轨道角 动量，磁矩是固有的(自旋磁矩)
√
小结(1/3)
电子的自旋 自旋算符： 对易关系： 平方算符：
泡利矩阵： 自旋算符函数 自旋算符函数 对自旋求平均： 对坐标和自旋求平均：
自旋波函数：
无自旋与轨道相互作用的电子波函数：
的本征函数：
√
小结(2/3)
两电子体系的自旋函数：
算符
和
在
中的本征值
简单塞曼效应：
的共同本征函数
耦合表象的基矢：
的共同本征函数
)
有自旋与轨道相互作用的哈密顿量(
√
光谱的精细结构(2/4)
微扰的自旋与轨道相互作用
耦合表象的基矢 零级近似波函数(简并情况) 矩阵元、久期方程和能量的一级修正 用到的公式
矩阵元
久期方程
√
光谱的精细结构(3/4)
能量的一级修正
对易关系
本征值
自旋角动量算符的矩阵形式 态矢量(自旋的表象)
√
电子的自旋算符和自旋函数(3/3)
自旋角动量算符的矩阵形式
(
、 和
称泡利矩阵)
其它关系 正交归一关系：
量子力学 6-1 电子自旋的实验证据
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全888—1969），
1888年2月17日出生于德国。1906年开 始学习物理化学，1912年在布雷斯劳大 学获博士学位。同年他到布拉格当爱因 斯坦的助手，以后又随爱因斯坦转到苏 黎世，1913年成为物理化学私人讲师。 1943年诺贝尔物理学奖授予斯特恩，表 彰他发展分子束方法和发现了质子的磁矩。
M sz e Sz
7
S
自旋回旋磁比率：
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
注意
此节重点
(1)理解电子自旋是一种纯粹的量子力学效应，没有经 典图象与之对应。（不是电子自转之类的空间运动）
(2)验证电子自旋存在的实验是斯特恩—盖拉赫实验 (3)每个电子具有自旋角动量 向的取值只能有两个 S z 。 2
1922年，他和合作，成功地做了斯特恩-盖 拉赫实验，通过这个著名实验，他们用分 子束方法证明了空间量子化的真实性，并 为进一步测定质子之类的亚原子粒子的磁 矩奠定了基础。
2
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
格拉赫（Walther Gerlach）
1889出生于德国. 1912年于图宾根大学获得物理学博士学位。 他的研究对象是黑体辐射和光电效应。一战期间, 盖拉赫和 维恩一起发展无线电报技术。在工业界呆了一段时间后, 盖 拉赫于1920年在法兰克福的实验物理研究所谋到了一个助手 的位置, 该所紧捱着玻恩的理论物理所。后来和斯特恩合作 完成了斯特恩-盖拉赫实验. 3
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
从薛定谔方程出发可以解释许多微观现象，例如计 算谐振子和氢原子的能级从而得出它们的谱线频率 等。计算结果在相当精确的范围内与实验符合。
第六章 自旋与全同粒子)
第六章自旋与全同粒子非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。
这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。
在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。
§6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点一．实验事实1．斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验：现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。
解释：氢原子具有磁矩，设沿Z方向如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条,说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态 , ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。
即自旋磁矩。
2．碱原子光谱的双线结构如钠原子光谱中一条很亮的黄线，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两条谱线组成3．反常塞曼(Zeeman)效应1912年，Passhen 和 Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。
二．乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设1．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值2．每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是为玻尔磁子这个比值称为电子自旋的回转磁比率.轨道运动的回转磁比率是三．电子自旋的特点乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。
但把电子的自转看成机械的自转是错误的。
设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个玻尔磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。
第六章 全同粒子体系
第六章 全同粒子体系§6.1 电子自旋及其描述 1. 电子自旋的发现Stern-Gerlach 实验：测量氢原子的磁矩。
经典理论的预言是M M M z≤≤-，连续变化。
实验结果是：.B z M M ±= eB m e M 2≡(Bohr 磁子) 结论：电子有磁矩，其投影是量子化的。
推论：电子有自旋（内禀角动量），其投影也是量子化的。
Uhlenbeck-Goudsmit 假设(1925)：电子有自旋角动量，其投影只能取两个值：,2±=z S这自旋角动量又导致电子有自旋磁矩，其投影为.2B ez e z M m e S m e M ==-= (SI 制) 写成矢量关系，自旋角动量算符记为∧S ，自旋磁矩算符记为s M ∧，则.∧∧-=S m e M es2. 电子自旋的描述自旋有纯量子力学的起源，只能用矩阵描写。
自旋的分量只有两个可能的测量值，所以算符zy x S S S ˆ,ˆ,ˆ都是22⨯矩阵。
通常选z S ˆ是对角矩阵，这些矩阵是： .10012ˆ,002ˆ,01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x S i i S S 引入Pauli 矩阵.1001,00,0110⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=z y x ii σσσ则.2σ=∧SPauli 矩阵的主要性质是：,z x y y x i σσσσσ=-= 和x z y x →→→的轮换,222I z y x ===σσσ I 是22⨯单位矩阵显然，zS ˆ的对应于本征值2±的本征矢量是：,01,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+v S z.10,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-v S z3. 带有自旋的电子波函数现在电子的波函数还应该同时描写它的自旋状态。
由叠加原理，-+⋅ψ+⋅ψ=ψv t r v t r t r ),(),(),(21,),(),(21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψψ=t r t r 这称为电子的二分量波函数，又称为旋量。
6自旋与全同粒子
§6.2 电子自旋角动量
第六章 自旋与全同粒子
本征值
x 1, y 1, z 1
性质
2 x
2 y
2 z
1
ˆ xˆ y ˆ yˆ x
单位算符
1 2i
(ˆ yˆ z
ˆ zˆ y )ˆ y
1 2i
ˆ
y
(ˆ
yˆ
z
ˆ zˆ y )
1 2i
(ˆ yˆ zˆ
y
ˆ
zˆ
2 y
ˆ
y2ˆ z
ˆ yˆ zˆ
y
)
1 2i
(ˆ
zˆ
2 y
ˆ y2ˆ z )
1 2i
(ˆ z
ˆ z )
0
§6.2 电子自旋角动量
第六章 自旋与全同粒子
同理可得
ˆ yˆ z ˆ zˆ y 0
ˆ zˆ x ˆ xˆ z 0
定义算符的反对易关系
则有
{Aˆ, Bˆ} Aˆ Bˆ BˆAˆ
{ˆ x ,ˆ y } 0 {ˆ y ,ˆ z } 0
sz
2
（2）每个电子都具有自旋磁矩 MS，它与自旋角动量 S的关系为：
§6.1 电子的自旋
第六章 自旋与全同粒子
MS
e
e
S, S,
c
(SI) (CGS)
自旋磁矩 MS 在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
M Sz
e
2
e
2c
M B, M B,
(SI) (CGS)
玻尔磁子
自旋的本质 有新的自由度 相对论效应
§6.2 电子自旋角动量
第六章 自旋与全同粒子
一、自旋角动量
由角动量算符定义 Lˆ Lˆ iLˆ
第六章：对称性与全同粒子
第六章：对称性与全同粒子对称性是一个体系最重要的性质。
1.守恒量定义：若力学量的平均值不随时间变化0d Fdt=，则称力学量F 为守恒量。
由ˆF Fψψ=和Schroedinger 方程ˆi H tψψ∂=∂ ，有ˆˆˆˆ1ˆˆ,d F F F F dtt t t F F H t i ψψψψψψ∂∂∂=++∂∂∂∂ =+∂若ˆF不显含时间t ， 1ˆˆ,d F F H dt i =按照定义，若ˆF与ˆH 对易，则ˆF 为守恒量。
例如：a ）对于自由粒子体系，2ˆˆ2p H m=，动量ˆp 不显含时间t ，且ˆˆ,0p H = ，有动量守恒；b ）对于一般体系，()2ˆˆ2p H V x m=+，ˆˆ,0p H ≠ ，动量不守恒； c ）对于中心场体系，()()222222ˆˆˆ222p L H V r r V r m mr r r mr∂∂ =+=−++ ∂∂ ，轨道角动量算符2ˆL , ˆi L 均不显含时间t ，且2ˆˆˆˆ,,0i L H L H ==，有轨道角动量及其任意分量守恒；d ）若ˆH 不显含时间t ，ˆˆ,0H H =，有能量守恒。
一个力学量是否为守恒量，由体系的ˆH决定。
守恒量的性质：a ）在任意态的平均值与时间无关（定义）；b ）在任意态的取值几率与时间无关 证明：ˆˆ,0F H =，ˆF ，ˆH 有共同完备本征矢n ， ˆnF n F n =，ˆn Hn E n =对于任一态()()nt nn t ψψ=∑， ()()n C t n t ψ=，ˆF 取值为n F 的几率为2()n C t 。
因为1ˆ()()()()()n n n n E E dC t n t n H t n t C t dtt i i i ψψψ∂====∂，故()(0)n i E t n n C t C e−= ，22()(0)n n C t C =与时间无关。
推论：a ）若体系初始时处于守恒量的本征态，则恒处于该本征态；b ）若体系初始时不处于守恒量的本征态，则恒不处于该守恒量的本征态；c ）量子力学中习惯用描述力学量本征值的量子数来标志状态，例如中心场中的状态nlm 用能量，角动量，角动量分量的量子数描述。
7 自旋与全同粒子
A. 电子自旋算符表示：
h 自旋角动量与轨道角动比较：方向投影值是 ，而不是 h ； 2
与电子坐标、动量无关；满足相同的对易关系。 用 S 表示自旋角动量，则有
∧
S × S = ih S
∧
∧
∧
（7.1.7）
S x S y S y S x = ih S z ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S y S z S z S y = ih S x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S z S x S x S z = ih S y ∧ ∧ 泡利算符：引入算符 σ ，它与 S 的关系是
+ 1 2
(7.1.24)
几率密度是：
w( x, y , z, t ) = Ψ Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 = w1 ( x, y , z, t ) + w2 ( x, y , z, t )
+
2
2
当电子的自旋和轨道运动的相互作用可忽略： 一般情况下电子的自旋和轨道运动的相互作用由 Ψ 中的 Ψ 1 , Ψ 2 是x,y,z的不同函数来表示。当电子的自旋和轨道运动的相互作 用可忽略时， 1 , Ψ 2 对x,y,z的依赖关系是相同的，于是 Ψ
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。
则原子 z 方向所受到的力为
Fz = U H =M cos θ z z
实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于 cos θ = +1 和 cos θ = 1两个值。
电子的自旋和磁矩是电子的内禀属性，也称为内禀角动量和 内禀磁矩，标志电子的一个新的自由度。斯特恩与革拉赫实验直 接证实了这一属性。 无数实验表明，各种基本粒子也具有这一属性。
∧
0 i σy = i 0
∧
E. 平均值问题
自旋与全同粒子
SZ 是对角矩阵，对角 矩阵元是其本征值 ±h/2。
⎛1 0 ⎞ σz =⎜ ⎜ 0 − 1⎟ ⎟ ⎝ ⎠
7.2 电子自旋算符和自旋函数
（2） 泡利算符的矩阵形式 σX 的矩阵形式 令
⎛1 ⎜ 得： ⎜0 ⎝ σX 简化为：
⎛0 σx =⎜ ⎜c ⎝ ⎛0 σx =⎜ ⎜c ⎝
同理可证: x, y 分量的反对易关 系亦成立. [证毕]
由对易关系和反对易关 系还可以得到关于 Pauli 算符的如下非常有用性质：
3）二式相加
ˆy σ ˆz −σ ˆ yσ ˆ zσ ˆ y = 2 iσ ˆ yσ ˆx σ ˆz −σ ˆ yσ ˆ zσ ˆ y = 2 iσ ˆ yσ ˆx σ
钠原子光谱中的一条亮黄 线 λ ≈ 5893Å，用高分辨率的 光谱仪观测，可以看到该谱线 其实是由靠的很近的两条谱线 组成。 5893Å 5896Å 5890Å
3s
3s1/2
7.1 电子自旋
3、斯特恩—盖拉赫实验（1922年） 基态银原子束通过不均匀磁场后，分离成朝相反方向 的两束。
[实验] 施特恩-格拉赫（Stern-Gerlach实验） （1921年）
分量 形式
1. Pauli 算符的引进
⎧ ⎪S ⎪ ⎪ ⎨S ⎪ ⎪ ⎪S ⎩
x
y
z
h σ 2 h σ = 2 h σ = 2 =
x
y
z
对易关系：
r r r ˆ ˆ ˆ S × S = ih S
⇒
r r r ˆ ˆ σ × σ = 2 i σˆ
分量形式：
⎧ σˆ x σˆ y − σˆ y σˆ x = 2 i σˆ z ⎪ ⎨ σˆ y σˆ z − σˆ z σˆ y = 2 i σˆ x ⎪ ˆ ˆ ⎩ σ z σ x − σˆ x σˆ z = 2 i σˆ y
山东大学量子力学 第六章 自旋与全同粒子
2 2 r , t r , , t 表示t时刻， r 处找到电子自旋s z 的几率密度 2 2
于是，
1 dr 自 旋 朝 上 的 几 率 2 2 dr 自旋朝下的几率
2
2 2 1 2
4. 波函数归一化表示为：
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x 2i ˆz 证明:由 ˆ x ˆ x ˆ y ˆ x ˆ y ˆ x 2i ˆ x ˆz ˆ x 左乘上式两边 用 ˆ x 右乘上式两边 ˆ x ˆ y ˆ x ˆ y ˆ x ˆ x 2i ˆ z ˆx 用 在把两式相加 ˆ x ˆz ˆ z ˆx 0
即
a b 1 1 2 c d 0 2 0
有
a 1 1 0 b 1
得
a 1 c0
同理，电子处于 Sz 自 旋 态 时 ， 有 2 a b 0 0 ˆ 即 S z 1 1 2 c d 2 2 2 2 2 2
(7.1 3)
M B玻尔磁子。
3.电子自旋的回转磁比率：电子自旋磁矩和自旋角动量之比
M Sz M Sz e e , ( SI ); , (CGS ) sz sz c
(7.1 4)
轨道角动量与轨道磁距的关系：
e e ML L, ( SI ); M L L, (CGS ) 2 2c
ˆ ˆ ˆ ˆ S i Sx j S y k Sz
1. 自旋角动量满足的对易关系
ˆ S ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z
量子力学自旋与全同粒子共79页PPT
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
量子力学自旋与全同粒子
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
自旋与全同粒
第6章自旋与全同粒子非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。
这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。
在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。
§6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点一．实验事实1．斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验：现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。
解释：氢原子具有磁矩，设沿Z方向如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态, ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。
即自旋磁矩。
2．碱原子光谱的双线结构如钠原子光谱中一条很亮的黄线，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两条谱线组成3．反常塞曼(Zeeman)效应1912年，Passhen 和Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。
二．乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设1．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值2．每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是为玻尔磁子这个比值称为电子自旋的回转磁比率.轨道运动的回转磁比率是三．电子自旋的特点乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。
但把电子的自转看成机械的自转是错误的。
设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个玻尔磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。
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第六章：自旋与全同粒子[1]在x σˆ表象中，求x σˆ的本征态 （解） 设泡利算符2σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 21 和()z s x21- （1）或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σˆ的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σˆ的本征函数可表示：βαχ21c c += (2)21,c c 待定常数，又设x σˆ的本征值λ，则x σˆ的本征方程式是： λχχσ=x ˆ (3) 将（2）代入（3）：()()βαλβασ2121ˆc c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σˆ对z σˆ表象基矢的运算法则是： βασ=x ˆ αβσ=x ˆ 此外又假设x σˆ的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）：βλαλαβ2111c c c c +=+比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：)6()6()6(122211221c b a c c c c c c ------------------------------------⎪⎩⎪⎨⎧=+==λλ 前二式得12=λ，即1=λ，或1-=λ当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 211=δi e c 212=δ 是任意的相位因子。
当时1-=λ，代入（6a ）得21c c -=代入(6c)，得：δi e c 211=δi e c 212-=最后得x σˆ的本征函数： )(21βαδ+=i e x 对应本征值1)(22βαδ-=i e x 对应本征值-1以上是利用寻常的波函数表示法，但在2ˆˆσσx 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。
可用矩阵表示算符和本征矢。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c c χ （7）x σˆ的矩阵已证明是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ因此x σˆ的矩阵式本征方程式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σˆ本征矢的矩阵形式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121δi e x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1122δi e x[2]在z σ表象中，求n⋅σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn 是),(ϕθ方向的单位矢。
（解） 方法类似前题，设n⋅σ算符的本征矢是：βα21c c x += (1)它的本征值是λ。
又将题给的算符展开：z y x n σθσϕθσϕθσˆcos ˆsin sin ˆcos sin ++=⋅(2) 写出本征方程式：()()()βαλβασθσϕθσϕθ2121ˆcos ˆsin sin ˆcos sin c c c c z y x+=+++ (3) 根据问题（6）的结论，x σˆ,y σˆ对2ˆˆσσz 的共同本征矢α，β，运算法则是 βασ=x ˆ ， αβσ=x ˆ ， βασi y =ˆ ， αβσi y =ˆ ， αασ=z ˆ ， ββσ-=z ˆ （4） 将这些代入（3），集项后，对此两边α，β的系数：⎩⎨⎧=-+=++2211cos )sin sin cos (sin )sin sin cos (sin cos c c i c i c λθϕθϕθλϕθϕθθ （5）或 ⎩⎨⎧=+-⋅=⋅+--0)(cos sin 0sin )(cos 2121c c e c e c i i λθθθλθϕϕ （6） （6）具有非平凡解（平凡解01=c ，02=c ）条件是久期方程式为零，即0cos sin sin cos =----λθθθλθϕϕi i e e 它的解12=λ （7） 1=λ 时，代入（6）得：122c e tgc i ⋅=ϕθ（8）（1） 的归一化条件是： 12221=+c c将（8）代入（9），得： 2cos )(1θϕδ-=i ec 2sin 2θδi e c =归一化本征函数是： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--βθαθχϕδ2sin 2cos 1i i e e（10） 1-=λ时，21,c c 的关系是：122c e ctgc i ⋅-=-ϕθ归一化本征函数是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-βθαθχϕδ2cos 2sin 2i i e e （11）δ是任意的相位因子。
本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00ˆi i y σ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001ˆz σ （12）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅-θθθθσϕϕcos sin sin cos i i ee n (13)本征方程式是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2222cos sin sin cos c c c c e e i i λθθθθϕϕ (14) n⋅σ的本征矢是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-δϕδθθi i e e 2sin 2cos 1)( , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-δϕδθθi i e e 2cos 2sin 2)( (15) 补白：本征矢包含一个不定的 相位因式δi e ，由于δ可以取任意值，因此21,χχ的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。
[3]在自旋态下⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01)(21z s χ，求2x s ∆和2y s ∆（解）2x s ∆是2ˆx s 的均方偏差 222)(x x x s s s -=∆ 2ys ∆是，2ˆy s 的均方偏差 222)(y y y s s s -=∆)(4)(ˆ212212z z xs s s χχ =4)(ˆ)(2212212==z xz xs ss s χχ)()(2)(2)()(ˆ)(212121212121====--z z z z z x z x s s s s s ss s χχχχχχ因此422=∆xs 在)(21z s χ态下，x sˆ,y s ˆ对称，因而 422 =∆ys[4]求在下列状态下2ˆj 和z j ˆ的可能测值。
（1）),()(11211ϕθχψY =z s (1)（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧Y +Y =-),()(),()(231112110212ϕθχϕθχψz z s s (2) （3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧Y +Y =--),()(2),()(31102111213ϕθχϕθχψz z s s (3)（4）),()(11214ϕθχψ--Y =z s (4)（解） 依§8.2总角动量理论，若电子的轨道运动的态用量子数()m l ,表示，在考虑到自旋的情形下，若用)ˆ,ˆ,ˆ(22z j j l共同表象，则电子的态可有四种；若m l >，有以下二态： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡Y +-Y +++=+=+),(12),(121),,(,211,,ϕθϕθϕθφm l m l z l m l l m l s l j （5） ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡Y +++Y +--=-=+),(121),(12),,(,211,,ϕθϕθϕθφm l m l z l m l l ml s l j （6） 若m l =，有以下的二态：⎥⎦⎤⎢⎣⎡Y =+=0),(),,(,21,ϕθϕθφl l z s l j （7）⎥⎦⎤⎢⎣⎡Y =-=-),(0),,(,21,ϕθϕθφl l z s l j （8）将题给的态和一般公式对照，发现（1）（2）（3）式与（7）（5）（6）（8）式相当，总角动量平方算符2ˆj ，总角动量分量算符z j ˆ可能测值如下：[5]令 121ˆ+⋅++=Λ+l l l l σ ，)1(12ˆ-+⋅-=Λ-l l l l σ ，1ˆˆ=Λ+Λ-+ll 证明：⎪⎩⎪⎨⎧-=+==Λ+)21(0)21(ˆl j l j ljmj ljmjl φφ ⎪⎩⎪⎨⎧-=+==Λ-)21()21(0ˆl j l j ljmj ljmjl φφ （证明）本题的+Λl ˆ,-Λl ˆ是两个带有相加的常数分子的算符 z z y y x x l l l l ˆˆˆˆˆˆσσσσ++=⋅根据总角动量理论内，前两算符可变形如下：)2()1()ˆˆˆ(121121121121ˆ)ˆˆˆ(121121121121ˆ222222⎪⎩⎪⎨⎧--⋅+-+=⋅+-+=Λ--⋅+++=⋅++++=Λ-+s l j l l l l l s l j l l l l l l ll σσ 假设m l >，试将（1）式运算于合成角动量的本征态ljmj φ（22ˆ,ˆj l 共同本征态），首先，对于21+=l j 有：ljmjm l m l m l m l m l m l m l m l ljmj l b l a l l l l l l l l b l l l l l l a l l l j j l b l l j j l a l b a s l j l l l φφ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Y +Y ++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡Y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-++++Y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡Y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+++Y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Y Y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅++++=Λ+++++1,,1,,1,,1,,222)12()12(12143)1()23)(21()1(43)1()23)(21()1(12143)1()1()1(43)1()1()1(121)ˆˆˆ(121121ˆ （3）式中121+++≡l m l a ；12+-≡l ml b 。
其次，可对于21-=l j 的本征态计算： 0}43)1()21)(21(1{}43)1()21)(21(1{121)}ˆˆˆ(121121{ˆ1,,1,,222,,,=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-++-+-+-++-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---++++=Λ+++m l m l m l m l j m j l l Yl l l l l a Y l l l l l b l aY bY sl j l l l φ 又因为1=Λ+Λ-+l l ，所以)21()21(0)ˆ1(ˆ,,,,,,,,,-=+=⎪⎩⎪⎨⎧=Λ-=Λ+-l j j j j m j l jm j l l j m j l l φφφ[6] 一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。
证明自旋轨道耦合作用 s )(γξ。
L对能量无贡献。
[解]、整个原子的角动量看作每一个电子角动量矢量和，此外每一电子角动量又包括轨道运动和自旋。
222111212121ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆs l j s l j s s S l l L j j J +=+=+=+=+= (1) 整个体系的哈氏算符是：S L H H⋅+=)(ˆˆ0γξ （此式中r 是电子相对位矢）将自旋轨道相互作用算符用角动量算符表示，由于：S L J ˆˆˆ +=S L S L S L S L J ˆˆ2ˆˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ222 ⋅++=+⋅+=)ˆˆˆ)((21ˆˆ2220S L J H H --+=γξ(2)原子的状态可以用（ZJ J L ˆ,ˆ,ˆ22）的共同本征函数Z J J L ,,ψ表示，将算符（2），运算于这个本征函数，可以求的能量贡献（修正量）ZZ ZZ J J L J J L J J L J J L S S L L J J H S L J H H ,,222,,0,,2220,,})1()1()1(){(21ˆ}}ˆˆˆ){(21ˆ{ˆψ+-+-++ψ=ψ--+=ψ γξγξ(3)但当原子处在自旋的单重态时，0,21=-=S S S总自旋量子数s=0，有从（1）式的关系看出L l l s l s l j j J 21221121=+=+++=+=因此J=L ，（3）式成为：Z Z J J L J J L H H ,,0,,ˆˆψ=ψ所以，轨道自旋的耦合作用对能量本征值没有影响，因0ˆH 不含L S ˆˆ ⋅[7]设两个自旋为21的粒子的相互作用为： 12)()()(S r V r V r V T O += 第一项为中心力，第二项为张量力的证明：（1） 宇称л、总自旋2S 、总角动量2ˆJ及总的z 向分角动量J ˆ均为守恒量，但2ˆL 和S ˆ不是守恒量。