第六章自旋与全同粒子

第六章：自旋与全同粒子

[1]在x σ

ˆ表象中，求x σˆ的本征态 （解） 设泡利算符2

σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2

1 和()z s x

2

1

- （1）

或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ

ˆ的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ

ˆ的本征函数可表示：

β

αχ21c c += (2)

21,c c 待定常数，又设x σ

ˆ的本征值λ，则x σˆ的本征方程式是： λχχσ

=x ˆ (3) 将（2）代入（3）：

()()βαλβασ

2121ˆc c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ

ˆ对z σˆ表象基矢的运算法则是： βασ

=x ˆ αβσ=x ˆ 此外又假设x σˆ的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）：

βλαλαβ2111c c c c +=+

比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：

)

6()6()

6(12221

1

221c b a c c c c c c ------------------------------------⎪⎩⎪

⎨⎧=+==λλ 前二式得12

=λ，即1=λ，或1-=λ

当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2

11=

δi e c 2

12=

δ 是任意的相位因子。

当时1-=λ，代入（6a ）得

21c c -=

代入(6c)，得：

δi e c 2

11=

δi e c 2

12-

=

最后得x σ

ˆ的本征函数： )(21βαδ+=

i e x 对应本征值1

)(2

2βαδ-=

i e x 对应本征值-1

以上是利用寻常的波函数表示法，但在2

ˆˆσσ

x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01α ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=10β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c c χ （7）

x σ

ˆ的矩阵已证明是 ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=0110ˆx σ

因此x σ

ˆ的矩阵式本征方程式是： ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ

ˆ本征矢的矩阵形式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121δi e x ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=1122δi e x

[2]在z σ表象中，求n

⋅σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn 是)

,(ϕθ方向的单位矢。

（解） 方法类似前题，设n

⋅σ算符的本征矢是：

βα21c c x += (1)

它的本征值是λ。又将题给的算符展开：

z y x n σθσϕθσ

ϕθσˆcos ˆsin sin ˆcos sin ++=⋅

(2) 写出本征方程式：

()()()βαλβασθσ

ϕθσϕθ2121ˆcos ˆsin sin ˆ

cos sin c c c c z y x

+=+++ (3) 根据问题（6）的结论，x σ

ˆ,y σˆ对2

ˆˆσσz 的共同本征矢α，β，运算法则是 βασ

=x ˆ ， αβσ=x ˆ ， βασi y =ˆ ， αβσ

i y =ˆ ， αασ=z ˆ ， ββσ-=z ˆ （4） 将这些代入（3），集项后，对此两边α，β的系数：

⎩⎨

⎧=-+=++2

21

1cos )sin sin cos (sin )sin sin cos (sin cos c c i c i c λθϕθϕθλϕθϕθθ （5）

或 ⎩⎨⎧=+-⋅=⋅+--0

)(cos sin 0

sin )(cos 2121c c e c e c i i λθθθλθϕ

ϕ （6） （6）具有非平凡解（平凡解01=c ，02=c ）条件是久期方程式为零，即

0cos sin sin cos =----λ

θθθλθϕ

ϕi i e e 它的解12

=λ （7） 1=λ 时，代入（6）得：

122

c e tg

c i ⋅=ϕθ

（8）

（1） 的归一化条件是： 12

2

2

1=+c c

将（8）代入（9），得： 2cos )

(1θϕδ-=i e

c 2

sin 2θ

δi e c =

归一化本征函数是： ⎭⎬⎫⎩

⎨

⎧+=--βθαθχϕ

δ

2sin 2cos 1i i e e

（10） 1-=λ时，21,c c 的关系是：

122

c e ctg

c i ⋅-=-ϕθ

归一化本征函数是：