初中数学中考复习--二次三项式的最值教学案(答案不全)

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《二次函数最值问题》教学设计

《二次函数最值问题》教学设计一、教材分析本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质后，对二次函数性质的应用课。

主要内容包括：运用二次函数的最大值解决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点(最低点)，因此，可利用顶点坐标求实际问题中的最大值(或最小值).在最大利润这个问题中，应用顶点坐标求最大利润，是较难的实际问题。

本节课的设计是从生活实例入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。

按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：1、知识与技能通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法。

2、过程与方法通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。

进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。

渗透转化及分类的数学思想方法。

3、情感态度价值观(1)通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。

(2)在知识教学中体会数学知识的应用价值。

本节课的教学重点是探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题的方法，教学难点是如何将实际问题转化为二次函数的问题。

二、学情分析在解决函数的实际问题时，要善于从实际问题的情境中抽象出数学模型，使实际问题转化为数学问题。

通过数学方法解决问题。

学生刚刚学习了二次函数的概念、图象及性质，因此，只要教师能为学生搭建一个有梯次的研究型学习的平台，学生完全有可能由对具体事例的自主分析，建立数学模型，如再经教师巧妙引领，势必会激发学生对学习的兴趣，从而体会学习的快乐。

三、实验研究：作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材。

充分发挥教师自己的智慧，把学生置于教学的出发点和核心地位，应学生而动，应情境而变，课堂才能焕发勃勃生机，课堂上才能显现真正的活力。

因此我对教材进行了重新开发，从学生熟悉的生活情境出发，与学生生活背景有密切相关的学习素材来构建学生学习的内容体系。

初中数学九年级《二次函数最值问题专题复习》公开课教学设计

1、通过研究生活中实际问题，让学生体会建立数学建模的思想．
2、通过学习和探究 “面积 ”“利润 ”问题，渗透转化及分类的数学思想方法．
3、通过研究生活中实际问题，反映实际问题中自变量取值产生限制，再通过数形结合找到最值，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题．教学目标
1、会通过配方或公式求出二次函数 y ax 2 bx c( a 0) 的最大或最小值；
1800 元。
（ 1）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数
y 和每亩
蔬菜的收益 z 与政府补贴数额 x 之间的函数关系式；
（ 2）在政府未出台补贴措施前，
该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（ 3）要使全市这种蔬菜的总收益 w（元）最大，政府
应将每亩补贴数额 x 定为多少？并求出总收益 w 的最大值。
变式 3、如图，二次函数 y ＝ x 2＋2x－ 3 的图象与 x 轴交于点 A( － 3，0) 和点 B，以 AB为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP的垂线与 y 轴交于点 E.
(1) 请直接写出点 D 的坐标：； (2) 当点 P 在线段 AO(点 P 不与 A，O重合 ) 上运动至何处时，线段 OE的长有最大值，求出这0
2、二次函数 y ＝ ax2＋ bx 的图象如图，若一元二次方程
ax2＋bx=m 有实数根．则 m 的最小值为
()
A．0
B ． -3
C． 3
D．1
3. （面积问题）如图，有长为 30 米得篱笆，利用一面墙，围成中间隔有一道篱笆（平行于
BC）的
矩形花圃。设花圃的一边 BC为 x 米，面积为 y 平方米。
种蔬菜一次性补贴菜农若干元。经调查，种植亩数

人教版九年级数学上册《二次函数复习》教学设计

二次函数复习教学设计一、教材分析二次函数是中考的重点内容之一，二次函数的应用是培养学生数学建模和数学思想的重要素材，是每年必考的压轴题。

本部分包括了初中代数的所有数学思想和方法，复习时必须高度重视。

二次函数在学习函数内容上起着承上启下的作用，与前面学习的二次三项式、一元二次方程有着密切联系，为今后学习高中的函数和不等式打下基础，积累经验，提供可以借鉴的方法。

通过对二次函数的复习，加深学生对函数知识的理解和应用。

复习目标：1、理解二次函数的意义，会画二次函数的图象，会求二次函数的解析式。

2、会用配方法把二次函数的表达式化为顶点式，并能利用性质解决简单的实际问题，体会模型思想。

3、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

复习重点：二次函数的图象、性质和应用。

复习难点：二次函数的应用和图象法解一元二次方程。

二、教材处理针对初三复习时间紧、任务重的实际情况，我决定利用以题代纲的复习方法，以问题组的形式展开复习，每一道题让学生说出知识点和考点及其解题的思路，每一部分在整个知识体系中的位置等等，刚开始学生说不全，其他同学再补充，时间长了，学生就能掌握。

在复习时将二次函数部分分为四个模块，（一）二次函数的图象和性质（二）二次函数的平移（三）二次函数解析式的求法（四）二次函数的应用。

对学生容易出错的知识点，可进行形式多样的变式练习，以提高学生运用知识分析问题、解决实际问题的能力。

三、学情分析二次函数部分在年前学习时由于时间比较紧，大部分同学掌握不好，有的学生二次函数的顶点坐标公式都忘了；再者，函数是初中数学的难点，学生理解和学习起来有一定的难度，所以，基础比较差一些。

现在学生已经复习了一次函数和反比例函数，对函数的认识有了一定程度的加深，复习起来应该比讲新授课时要顺利的多。

在复习时要针对学生的实际，先掌握基础知识，再让学生构建二次函数的知识体系，然后通过一些应用性的题目提升学生的能力。

一轮复习一定要注重基础，要注重实效。

中考数学二次函数中最.值问题的教学设计

中考数学二次函数中最.值问题的教学设计中考考情分析:二次函数的表达式、图像和性质问题题屡屡出现在中考试卷压轴题中，考察学生在图形的运动变化中探究几何元素之间位置关系和数量关系的能力，体现新课程对学生几何探究、推理能力的要求。

尤其是“二次函数中的最.值问题”是中考试题的常考题型，但初三学生往往不能很好掌握。

本节课通过一道压轴题教学评析，以探求提高中考数学复习课的效率。

学情分析：相对于初一、初二的学生来说，中考第二轮复习阶段的初三学生已有比较扎实的数学基础，理解能力，运算能力，思维能力等方面都有所提升。

但对于较复杂的综合性问题，仍然不能独立思考，有心理的畏惧、能力的不足。

教学目标：一、知识与技能目标：1、掌握用待定系数法求二次函数的关系式。

2、掌握二次函数中最.值问题的解题思路和步骤。

二、过程与方法目标：1、经历探究利用函数式的模型求最.值问题的过程，了解和体验分类讨论思想、数形结合思想、转化思想的具体体现和运用。

2、在变式应用中，提高学生分析问题、解决问题的能力。

三、情感、态度与价值观目标：1、通过探究，互相讨论、发表意见等学习活动，培养合作精神和认真倾听的习惯。

2、经历拓展探究问题，体会二次函数模型的深奥。

教学重点：二次函数中最.值问题的代数法处理方式的基本思路和步骤。

教学难点：最.值问题处理方式是运用化归思想及合情推理。

教学方法：问题串设计、教师启发引导、自主合作探究策略。

教学手段：多媒体教学过程：（一）真题呈现，试题探究已知二次函数y =x2 - 2mx +m2 -1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点 O(0,0)时,求二次函数的解析式;(2)如题 23 图,当m = 2 时,该抛物线与 y 轴交于点 C,顶点为 D,求C、D两点的坐标；(3)在(2)的条件下, x 轴上是否存在一点 P,使得 PC+PD 最.短?若 P 点存在, 求出 P 点的坐标;若 P 点不存在,请说明理由。

设计意图：真题再现唤醒学生探究试题欲望，探究过程训练学生思维通过问题（1）使学生复习回顾二次函数解析式的三种基本形式并选用合适的形式求解让学生获得成功的体验激发他们的兴趣。

中考复习最值教学案(2)无答案-word文档

2018中考复习专题课——最值（2）教学内容：最值（2）教学目标：通过典型例题的学习提炼出解决最值问题的策略，并尽可能的帮助学生突破中考图形部分最值问题这一难点。

教学重难点：根据不同问题的特征，通过转化解决不同类型的最值问题。

教学仪器：多媒体教者：教学过程：引入新课唐朝诗人李颀的诗《古从军行》头两句：白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河诗中隐含着一个有趣的数学问题：问题1:将军在观望烽火后从山脚下的点A 出发，走到小河边的P 处给马喝水后再到河对岸的点B 宿营，他怎么走才能使路程最短呢，你能找到路程最短时P 的位置吗？例1：已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，则CP ＋DP 的最小值为______ 。

练习1:已知平面直角坐标系中点A(0，2)、点B （-2，n ），且点B 在反比例函数y=- 2x上,点P 为x 轴上一动点,求PA+PB 取最小值时点P 的坐标。

问题2：当点P 到A ，B 两点距离之差的绝对值最大时点P 又在何处呢？例2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，1)，B(1，2)，点P 在x 轴上运动，当点P 到A ，B 两点距离之差的绝对值最大时，求点P 的坐标．练习2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 分别为坐标轴上的三个点，且OA ＝1，OB ＝3，OC ＝4.(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(2)当点P 的坐标为(5，3)时，若点M 为该抛物线上一动点，请求出当|PM －AM|的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM －AM|的最大值．例3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B ′的中点，连结PM ，若BC ＝2，∠BAC ＝30°，求线段PM 的最大值．再看一模第16题：如图，点P 为函数y = （x ＞0）的图像上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P 半径为2，A （3，0），B （6，0），点Q 是⊙P 上的动点，点C 是QB 的中点，则AC 的最小值是( )A ．B ．C ．4D ．2 本节课的收获：思考题：如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，求点D 到点O 的最大距离。

江苏省金湖县实验中学中考数学二次三项式的因式分解(公式法)复习教案(1)新人教版

二次三项式的因式分解（用公式法）（一）二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．三、教学步骤（一）明确目标二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．（二）整体感知一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．（三）重点、难点的学习与目标完成过程1．复习提问（1）写出关于x的二次三项式？（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．①x2-2x+1=0；解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0；解原方程可变为（x-2）（x-3）=0∴ x1=2，x2=3．③6x2+x-2=0解：原方程可变为（2x-1）（3x+2）=0．观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．②推导出公式=a（x-x1）（x-x2）．这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．③公式的应用例1 把4x2+8x-1分解因式解：∵方程4x2+8x-1=0的根是教师板书，学生回答．由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．练习：将下列各式在实数范围因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3学生板书、笔答，评价．解2 用两种方程把4x2-5分解因式．方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．练习：将下列各式因式分解．（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（四）总结与扩展（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c 在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．四、布置作业教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．五、板书设计12.5 二次三项式的因式分解（一）结论：在分解二次三项式例1．把4x2+8x-1分解因式ax2+bx+c的因式时解：………可先用公式求出方程：……ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成练习：………ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）六、作业参考答案教材 P.38中A1（1）（5x+6）（x+1）；（2）（2y-3）（3y-2）；（3）-（2x-6）（2x+5）；（4）（5p-3）（2p+1）；（5）（a+16）（a+24）；（6）（3xy-7）（xy-1）；（7）3（x+2）（2x-7）；（8）（3x+5y）（5x-3y）；A2。

九年级数学下册30.4二次函数的应用求二次函数表达式解实际最值问题学案无答案冀教版

求二次函数表达式解实际最值问题一、明确学习目标1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题和解决问题的能力和应用数学的意识.2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型.3.通过学习和合作交流，了解数学带给人们的价值及美感.二、自主预习1.求下列函数的最大值或最小值.（1）（2）2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少？学生展示，师生互评.商场的服装，经常出现涨价、降价，这其中有何奥妙呢？商家的利润是否随涨价而增大，随降价而减小？三、合作探究活动1 1.阅读教材并思考：（1）涨价的情况；（2）如何确定函数关系式？（3）变量x有范围要求吗？2.教师分层引导：（1）销售额为多少？（2）进货额为多少？（3）利润y与每件涨价x元的函数关系式是什么？（4）变量x的范围如何确定？（5）如何求最值？3.解决问题：活动2 例某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15m（图中所有线条长度之和），当x等于多少时，窗户通过的光线最多（结果精确到0.01m）？此时，窗户的面积是多少？教师点拨：此题较复杂，特别要注意：中间线段用x 的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内.四、当堂检测1.如图所示，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE.DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？2.如图所示，有一块空地，空地外有一面长10m的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32m长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1m的通道及在左右花圃各放一个1m宽的门，花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？五、拓展提升某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？六、课后作业一、选择题1.在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么y关于x的函数是（）A.B.C.D.2.一件工艺品进价为100元，标价是135元售出，每天可售出100件，根据售销统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（）A.5元B.10元C.0元D.36元二、填空题3.我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售。

二次函数的最值问题教案

一、教学目标：1.了解二次函数的概念和特点；2.掌握求二次函数的最值的方法；3.学会应用最值的概念解决实际问题。

二、教学重点：1.二次函数的最值问题；2.如何应用二次函数的最值解决实际问题。

三、教学难点：怎样将实际问题转化为二次函数的最值问题，并求解出最优解。

四、教学准备：黑板、彩色粉笔、教学PPT、实例练习题。

五、教学过程：1.导入新课（5分钟）通过引导学生回顾二次函数的概念和特点，例如二次函数的图像形状是抛物线、对称轴方程、顶点坐标等，为今天的课堂引入做铺垫。

2.探究二次函数的最值问题（20分钟）引导学生思考二次函数的图像特点以及对称轴的位置，然后通过实例来说明二次函数的最值问题。

3.求解二次函数的最值（15分钟）教师以简单的二次函数为例，引导学生掌握求解二次函数最值的方法。

首先，通过求得二次函数的导数来判断最值的存在性；其次，应用一元二次方程的求解方法来求最值点横坐标；最后，带入横坐标得到纵坐标。

4.拓展应用实例（15分钟）通过给出一些实际问题的例子，教师引导学生将问题转化为二次函数的最值问题，并通过求解最值来解决实际问题。

例如，有一块矩形草地，其中一边与一堵墙紧贴，另外三边用篱笆围起来，若只有10米篱笆，求该矩形的最大面积。

5.练习与拓展（20分钟）学生自主进行练习题，巩固所学的求解二次函数最值的方法和实际问题的转化。

六、课堂小结（5分钟）对本节课的内容进行总结归纳，并对学生提出的问题进行答疑。

七、课后作业：1.完成教材上相关课后练习；2.自主寻找和解决实际问题，并将其转化为二次函数的最值问题。

八、教学反思：通过本节课的教学，学生在导入环节对二次函数的概念和特点进行了回顾，为学习后续的内容打下了基础。

在探究和求解二次函数最值的过程中，通过引导学生自主思考和举一反三，提高了学生的参与积极性。

在拓展应用环节，通过实际问题的转化，培养了学生应用二次函数求解实际问题的能力。

通过练习与拓展，巩固了学生的求解二次函数最值的方法。

初中数学中考复习二次三项式的最值教学案(答案不全)

初中数学中考复习二次三项式的最值教学案（答案不全）二次三项式ax 2+bx+c 的最值问题此类题型是一元二次方程中的一类重要题型，它在考试题中主要以大题的形式出现。

而且，二次三项式的最值问题和后面要学的二次函数的最值紧密相关。

所以同学们一定要清楚它的重要性。

一元二次方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0）二次三项式：ax 2+bx+c它们两者一个是等式，一个是代数式，一元二次方程的配方是根据等式的性质，在等式两边同时乘或除以系数，而二次三项式的配方是恒等边形，利用系数分离的技巧。

配方过程：一元二次方程：ax 2+bx+c=0解：①步：等式两边同时除以二次项系数ax2+b a x+ca=0 ②步：凑完全平方，等式左边+一次项系数一半的平方，—一次项系数一半的平方x2+b a x+（b 2a ）2—（b 2a ）2+ ca=0 ③配完全平方：（x —b 2a ）2—b24a2+ca =0（x —b2a ）2+4ac−b24a2=0（x —b 2a ）2=b2−4ac4a2二次三项式：ax2+bx+cS △PBQ =12（6-x ）2x=-x 2+6x 二次三项式的配方=—（x 2—6x ）分离二次项系数-1=—（x 2—6x+32—32）配完全平方 =—[（x —3）2—9] =—（x —3）2+9 去中括号分析：x 0 1 2 3 4 5 6 —（x —3）2+958985所以，当x 取值为3时，式子—（x —3）2值最大，是也就是△PBQ 的最大面积为9cm 2∴无论x 运动多少秒，△PBQ 的面积都不可能达到10cm 2。

例2：小林准备把一根长40cm 的铁丝剪成两段，围成两个正方形。

（1）要使小林围成的两个正方形的面积之和等于58cm 2，该怎么剪？（2）这两个正方形的面积之和能不能等于48cm 2？请什么理由。

解：（1）设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为（10—x）cm，依据题意列方程 x2+（10—x）2=58解得x1=3，x2=73×4=12cm∴小林应该从12cm处剪。

九年级中考数学复习教案第13课时二次三项式的因式分解(2)

九年级中考数学复习教案第13课时二次三项式的因式分解（2）1、熟练地运用公式法在实数范围内将二次三项式因式分解．2、通过本节课的教学，提高学生研究问题、解决问题的能力．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．教学难点：一元二次方程的根和二次三项因式分解的关系．教学过程：对于含有一个字母在实数范围内可分解的二次三项式，学生利用十字相乘法或用公式法可以解决．对于含有两个字母的二次三项式如何用公式法进行因式分解是我们本节课研究的目标．本节课是上节课的继续和深化，上节课主要练习了利用公式法将含有一个字母的二次三项式因式分解，这节课研究含有两个字母的二次三项式的因式分解，实际上可设二次三项式为零，把一个字母看成是未知数，其它看成已知数，求出方程的两个根，然后利用公式法将问题解决．本节课较上节课有一定的难度．通过本节课，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．上节课是本节课的基础，本节课是上节课的加深和巩固．一、新课引入：（1）如果x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，则ax2+bx+c如何因式分解？（2）将下列各式因式分解？①4x2+8x-1；②6x2-9x-21．二、新课讲解：例1 把2x2-8xy+5y2分解因式．解：∵关于x的方程2x2-8xy+5y2=0的根是引导、板书，学生回答．注意以下两个问题：（1）把x看成未知数，其它看成已知数．（2）结果不能漏掉字母y．练习：在实数范围内分解下列各式．（1）6x2-11xy-7y；（2）3x2+4xy-y2．学生板书、笔答，评价．注意（1）可有两种方法，学生体会应选用较简单的方法．例2 把（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）分解因式．分析：此题有两种方法，方法（一）∵关于x的方程（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=0∴（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=[（m-1）x-m][mx-（m+1）]=（mx-x-m）（mx-m-1）．方法（二）用十字相乘法．（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=m（m-1）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=[（m-1）x-m][mx-（m+1）]=（mx-x-m）（mx-m-1）．方法（二）比方法（一）简单．由此可以得出：遇见二次三项式的因式分解：（1）首先考虑能否提取公因式．（2）能否运用十字相乘法．（3）最后考虑用公式法．以上教师引导，学生板书、笔答，学生总结结论．练习：把下列各式因式分解：（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）；（2）（x2+x）2-2x（x+1）-3．解：（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=m（m-1）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=[mx-（m+1）][（m-1）x-m]=（mx-m-1）[（m-1）x-m）]．（因式分解法）（2）（x2+x）2-2x（x+1）-3…第一步=（x2+x-3）（x2+x+1）…第二步（1）题用十字相乘法较简单．（2）题第一步到第二步用十字相乘法，由第二步到第三步用公式法．注意以下几点：（1）因式分解一定进行到底．（2）当b2-4ac≥0时，ax2+bx+c在实数范围内可以分解．当b2-4ac＜0时，ax2+bx+c在实数范围内不可分解．三、课堂小结：启发引导、小结本节课内容．1．遇见二次三项式因式分解．（1）首先考虑能否提取公因式．（2）其次考虑能否选用十字相乘法．（3）最后考虑公式法．2．通过本节课的学习，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．注意以下几点；（1）在进行2x2-8xy+5y2分解因式时，千万不要漏掉字母y．（2）因式分解一定进行到不能再分解为止．（3）对二次三项式ax2+bx+c的因式分解，当b2-4ac≥0时，它在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．四、作业：1．教材P.39中A2（8）．2．教材P.39中B1．3．把下列各式分解因式：（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）；（2）（x2+x）2-3x（x+1）-4．参考题目：一、选择题(20分)将下题中唯一正确答案的序号填在题后括号内在实数范围内把2x2+5xy-6y2分解因式的结果是A、2(x+y)(x+y)B、2(x-y)(x-y)C、 (x-y)(x-y)D、2(x－)(x-)二、填空题(每题20分，共40分)1、在实数范围内把x2-5xy+3y2分解因式的结果是_________2、在实数范围内把2x2-4xy-5y2分解因式的结果是__________三、把下列各式在实数范围内分解因式(每题20分，共40分)1、-3x2-4xy+y22、2x2+7y(x-y)选作题(每题10分，共20分，不记入总分)把下列各式在实数范围内分解因式：1、(x2+x)2-2x(x+1)-82、3x2(x2-x+1)-2x2+2x-2教学后记：。

中考专题复习教案《求二次函数的最值》

中考专题复习教案《求二次函数的最值》中考专题复习教案《22.3求二次函数的最值》【教材分析】《二次函数》是人民教育出版社-九年级上册-第二十二章的内容，求二次函数最值问题是教材的内容完成后教师引导学生所作的归纳小结。

总所周知，“二次函数”是初中阶段有关函数知识的重点内容，与前面学生学习的正比例函数、一次函数、反比例函数等，都是高中学习基本初等函数的基础。

因此，此内容有着承上启下的作用，对培养、提高学生运用函数模型解决问题的能力有非常大的作用。

此外，二次函数在广州市中考中占了非常大的比值，也是压轴题的偏爱，如2014年24题、2015年25题、2016年24题等，最值问题也是常考。

【学情分析】学生已经系统的复习了一次函数、二次函数等基础内容，对研究函数的一般方法和过程都有了一定程度的理解和掌握，需要对二次函数最值的求法进行一下归纳。

面对中考，除了掌握知识点，数学思想和方法的总结也是必须的，只有这样，学生的思维和解题能力才能得到提升。

【教学目标】1．能熟练把二次函数的一般式转化为顶点式，并会求二次函数在整个定义域的最值；2．掌握二次函数在某一段取值范围内求最值的方法；3．理解用分类讨论的思想求二次函数的最值．【重难点】重点：二次函数在某一段取值范围内最值的求法；难点：含有字母参数的二次函数最值的求法．【教法学法】教法主要是教师引导及讲授法，学法主要是学生采用自主学习法、探究学习法、合作学习法等.【教学过程】一、基础演练1．（1）对于二次函数222y x x =-+，当x =_________时，y 有最________值，为__________．（2）对于二次函数222y x x =--+，当x =________时，y 有最________值，为__________．设计意图：通过复习，巩固化一般式为顶点式的方法，会根据二次函数的开口方向判断二次函数在顶点处的最值。

二、能力提升2．对于二次函数2(1)1y x =-+，（1）当20x -≤≤时，y 的最大值为__________，最小值为___________；（2）当03x ≤≤时，y 的最大值为__________，最小值为___________；（3）当34x ≤≤时，y 的最大值为__________，最小值为___________．3．某学校课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40的篱笆围成（如图）．已知墙长为30m ，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m ．（1）求苗圃园的面积的最大值；（2）若平行于墙的一边长不小于22m 大值和最小值，如果没有，请说明理由．设计意图：主要是通过这几个题让学生明白，并不是所有的最值都是在顶点处取得的，要根据取值范围去判断。

《二次函数的最值》数学教案

《二次函数的最值》数学教案
《二次函数的最值》数学教案
教学目标
熟练地掌握二次函数的最值及其求法。

重点
二次函数的的最值及其求法。

难点
二次函数的最值及其求法。

一、引入
二次函数的最值：
二、例题分析：
例1：求二次函数的最大值以及取得最大值时的值。

变题1：⑴、⑵、⑶、
变题2：求函数（）的最大值。

变题3：求函数（）的最大值。

例2：已知（）的最大值为3，最小值为2，求的取值范围。

例3：若，是二次方程的两个实数根，求的最小值。

三、随堂练习：
1、若函数在上有最小值，最大值2，若，
则 =________， =________。

2、已知 , 是关于的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（）
A、0
B、1
C、－1
D、2
3、求函数在区间上的最大值。

四、回顾小结
本节课了以下内容：
1、二次函数的的最值及其求法。

课后作业
班级：（）班姓名__________
一、基础题：
1、函数（）
A、有最大值6
B、有最小值6
C、有最大值10
D、有最大值2
2、函数的最大值是4，且当 =2时， =5，则 =______， =_______。

二、提高题：
3、试求关于的'函数在上的最大值 ,高三。

4、已知函数当时，取最大值为2，求实数的值。

5、已知是方程的两实根，求的最大值和最小值。

三、题：
6、已知函数，，其中，求该函数的最大值与最小值，
并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量的值。

九年级数学下册《二次函数求实际问题中的最值》教案、教学设计

4.小组合作题：
（6）以小组为单位，讨论以下问题：
a.总结二次函数的图像特征及其在实际问题中的应用；
b.分享求解二次函数最值的方法和技巧；
c.选取一个实际问题，共同解决，并将解题过程和结果整理成报告。
作业要求：
1.学生需独立完成基础知识巩固题和应用题，以检验对课堂所学知识的掌握程度；
2.探究题和小组合作题旨在培养学生的观察力、思考能力和团队协作能力，鼓励学生积极参与；
3.设想三：数形结合，强化直观感知
利用图形和实际例题，帮助学生形象地理解二次函数的顶点式及其几何意义。通过数形结合的方法，使学生更好地掌握二次函数的性质。
4.设想四：分层教学，满足不同学生需求
针对不同学生的学习水平，设计不同难度的练习题。使优秀生得到提高，中等生巩固知识，学困生跟上进度。
5.设想五：小组合作，提高课堂参与度
（二）教学设想
1.设想一：情境导入，激发兴趣
通过生活中的实例，如篮球投篮、抛物线等，引出二次函数最值问题。让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。
2.设想二：启发式教学，培养学生自主探究能力
教学过程中，教师应以问题为导向，引导学生通过观察、猜想、验证等方式，自主探究二次函数的性质和求解最值的方法。
3.培养学生合作交流的意识，学会倾听、尊重他人意见，提高团队协作能力；
4.引导学生运用数学知识为生活服务，培养学生的社会责任感和应用数学解决实际问题的能力。
二、学情分析
九年级学生在经历了前两年的数学学习后，已经具备了基本的代数运算能力和一定的几何图形感知能力。在此基础上，他们对二次函数的概念和性质有了一定的了解，但在实际问题的求解过程中，对最值问题的处理仍存在一定难度。因此，在本章节的教学中，应关注以下学情：

青岛市中考数学专题复习——最值问题导学案

《中考二轮专题复习---最值问题》导学案【使用说明及学法指导】最值有关的知识点总结归纳知识，并画出知识树或结构导图完成课前导学案在老师的指导下完成课中导学案【学习目标】1、能用有关几何的概念或图形代表的数学模型求出某几何量的最大值或最小值问题2、能用二次函数或一次函数数学求出特定条件下有关量的最大值或最小值3. 提高的分析、转化、建模和用模等综合应用能力【教学重、难点】用数学模型，求的最大值或最小值，提炼总结出最值问题的解答思路与方法课前任务单【导学流程】一、自主复习试试看：与最值有关的知识点能想起多少？让我们翻开记忆，搜索一下，把你能想到的列出来吧，你还能进行简单的归纳吗？二、知识回顾：1.应用两点之间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值基本模型：两点之间最短针对练习：边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是（）.（A ）3 （B )√ 5 （C ）2 （D 1 B 2.应用垂线段最短的性质求最值基本模型：垂线段的性质：直线外一点与直线上各点的所有连线中，最短。

A 针对练习：（2012·山东莱芜）在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是．A AB3.应用轴对称的性质求最值基本模型：如图，点A 、B 位于直线m 的同侧（异侧），在直线m 上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小针对练习：【微课助学】工人师傅要在菱形框架内做一个造型PMN,已知菱形框架ABCD 的边长为10，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一动点，为了节约材料，要使PM+PN 的值最小，这个最小值= ．4.应用直径是圆中最长的弦求最值（2013•陕西）如图，AB 是⊙O 的一条弦，AB=6，点C 是⊙O 上一动点，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G 、H 两点．若⊙O 的半径为7，则GE+FH 的最大值为．5.应用一次函数的增减性求最值基本模型：一次函数y ＝kx ＋b 若k ＞0，y 随x 的增大而若k ＜0，y 随x 的增大而_____针对练习：如图，已知一次函数y=2x+3 （1）函数y 有最大值吗?（2）当1≤x ≤3时，y 最小=_____ ， y 最大=_____6.应用二次函数的增减性求最值基本模型：二次函数y=ax 2+bx +c 顶点坐标是（），对称轴是直线 _____当a ＞0时 x= 时函数有最小值y= ；当a ＜0时，x= 时函数有最大值y= ；当a ＞0时，开口向上，在对称轴的左边，y 随x 的增大而，在对称轴的右边，y 随x 的增大而；当a ＜0时，开口向下，在对称轴的左边，y 随x 的增大而，在对称轴的右边，y 随x 的增大而 .针对练习：已知二次函数y=2(x-1)²-5，y 有（最大或最小）值为若-1≤X ≤5当X=_____时y 最小=_____; 当X=_____时 y 最大=_____.若2≤X ≤5 y 最小=_____,y 最大=_____.【自我测学】1.如图，已知长方体的长为AB ＝4cm ，宽BC ＝2cm ，高AA 1=1cm ，求一只蚂蚁沿长方体的表面从A 点爬到C 1点的最短路径。

《二次函数的最值问题》教案

二次函数的最值问题一、内容与内容解析1.内容含参二次函数在m x n ≤≤内的最值问题.２.内容解析本节课在讨论了影响0a ＞时二次函数在m x n ≤≤内最值的因素后对0a ＞时含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题进行探究.主要的研究方法是从函数图像入手，通过几何画板动态演示，确定分类标准，进行分类讨论,进而对分类标准进行优化，得到解决此类问题的一般方法，并运用此方法解决相关的最值问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从函数图像入手，运用分类讨论思想求含参二次函数在m x n ≤≤内最值.二、目标和目标解析1.目标(1)通过复习二次函数图像的特征和性质，能够借助二次函数的图像研究二次函数的最值.(2)通过对二次函数在m x n ≤≤内最值问题初探、对含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题的探究，经历直观感知、抽象概括、运算求解、反思与构建等思维过程，体会函数思想，分类讨论等数学思想方法，发展数学感知、数学表征、抽象概括、运算能力等.2.目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助二次函数的图像研究二次函数在m x n ≤≤内的最值，并能由此得到二次函数在m x n ≤≤内最值的影响因素，进一步体会函数思想.达成目标(2)的标志是：借助二次函数的图像求解含参二次函数在m x n ≤≤内最值，进一步体会函数思想和分类讨论的思想.三、教学问题诊断分析学生已学习了二次函数的概念、图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力、数学说理能力，这为本节课的学习奠定了基础.但对于含参二次函数在m x n ≤≤内的图像及最值问题，由于其抽象程度较高，学生可能会在为什么要进行分类讨论以及如何确定分类标准这两个问题上产生一定的困难.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何确定分类标准.四、教学过程设计引言:(展现生活实例，体现研究二次函数在m x n ≤≤内最值的必要性)本节课，我们将结合二次函数的相关知识深入研究二次函数的最值问题.1.复习导入，自主发现问题1如图，(5,),(8,),(1,),( 3.9,)A B C D A y B y C y D y --在二次函数2134y x x =--的图像上，请比较： (1) B y A y ；（2） D y C y ；（3）D y B y ；（4）C y A y .问题2根据问题1的结论填空：（1）二次函数2134y x x =--（58x ≤≤），当x = 时，y 取到最大值；当x = 时，y 取到最小值.（2）二次函数2134y x x =-- ( 3.91x -≤≤-)，当x = 时，y 取到最大值；当x = 时，y 取到最小值.（3）二次函数2134y x x =--（ 3.98x -≤≤），当x = 时，y 取到最大值；当x = 时，y 取到最小值.（4）二次函数2134y x x =--（15x -≤≤），当x = 时，y 取到最大值；当x = 时，y 取到最小值.师生活动: 教师提出问题，学生尝试用已有知识解决这些问题，并交流问题中蕴含的函数知识和对这些知识的理解.追问1：这些二次函数的图像是完整的抛物线吗？追问2：为什么有的（二次函数的）最值能在顶点处取到，有的却不能呢？追问3：通过对上面问题的研究，你认为二次函数在内的最值的取得与什么有关？师生活动:通过对前面问题的研究，自主发现影响二次函数在内的最值的因素：对称轴和m x n ≤≤的相对位置.若对称轴不在m x n ≤≤内时，最值在端点处取得；对称轴在m x n ≤≤内时，最值在顶点和端点处分别取得.遇到这类问题时，我们通常要结合函数图象进行分析.设计意图：引导学生通过观察函数图像，直观地发现对称轴和的相对位置影响了二次函数的最值. 为下一步解决0a ＞时含参二次函数在内的最值问题做铺垫.2.问题剖析，合作探究探究1：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值. 师生活动:教师引导学生先观察函数解析式，分析参数t 的变化对二次函数图像的影响，然后借助计算机软件，直观感受对称轴和m x n ≤≤的相对位置如何影响二次函数的最小值.最后全班交流，确定分类标准，学生独立补全解题过程.追问1：观察本题中的函数解析式与前面有什么区别？追问2：随着参数t 的变化，二次函数2134y x tx =--图象的开口方向和开口大小会改m x n ≤≤2134y x x =--m x n ≤≤m x n ≤≤m x n ≤≤变吗？对称轴呢？追问3：二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值是唯一确定的吗？师生活动:关注学生是否明确此处为什么要进行分类讨论，体会分类讨论的必要性. 追问4：如何确定分类标准？如何用数学符号表达这种关系呢？师生活动: 师生共同讨论写出分类标准.教师规范格式以后要求学生将过程补齐. 设计意图：探究0a ＞时含参二次函数在内的最小值问题，让学生体会解决这一类问题的基本方法.培养学生直观感知、抽象概括、数学表征能力，激发自主学习的积极性和探究意识.引导观察，发现分类依据，培养探究意识.探究2：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最大值. 师生活动：要求学生独立解决，写出分析过程，小组内交流讨论，最后全班汇报交流.对于学生展示的分类方法，教师适当引导和纠正，让学生理解如何进行分类讨论（不重复，不遗漏），并对分类方法进行优化.最后共同归纳出求含参二次函数在m x n ≤≤内最值的一般方法：一般先确定对称轴与m x n ≤≤的相对位置关系，分别画出示意图，确定分类标准，再进行分类讨论.设计意图：在探究1的基础上进一步探究时含参二次函数在内的最大值问题，重点体会解题过程中分类标准的确定.师生活动：回顾探究1和探究2的过程，体会它们的相同与不同之处.追问1：为什么有时候分3类，有时候分2类就可以了？什么时候分2类，什么时候分3类呢？min 2min min 2min 10242,12,2211,2321111,1,2422(1)13()2111()42x t t t x y t t t x t y t t t x y t t t y t t t t =--=-=---==---==--⎧⎪--⎪⎪=---⎨⎪⎪--⎪⎩解：＞，对称轴：（1）当2＜即＜时：（2）当2≤2≤即1≤≤时：，（3）当2＞即＞-时：＜综上所述：1≤≤＞-10241110.5,1,4410.5,2,224111()44122()4x t t t x y t t t x y t t t y t t =--==---=-=-⎧---⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩最大最大最大解：＞，对称轴：（1）当2≤即≤时：（2）当2＞即＞-时：≤综上所述：＞-m x n ≤≤m x n ≤≤0a ＞追问2：你能直接判断它们分别分几类进行讨论吗：变式一：求二次函数2134y x tx =---（21x -≤≤）的最小值. 变式二：求二次函数2134y x tx =---（21x -≤≤）的最大值. 师生活动：通过类比探究1和探究2归纳：求二次函数在m x n ≤≤上的最值不仅要看对称轴与m x n ≤≤的相对位置，还要看开口方向.开口向下时，可类比开口向上的数学模型进行讨论.设计意图：讨论0a ＜时含参二次函数在内最小值的分类问题，体会开口方向对函数最值的影响.3.拓展应用若223(0)y mx mx m =++≠当32x -≤≤时有最大值4，求m 的值.师生活动：巩固训练，引导学生借助上面解决问题的经验,逆向思考，解决此问题. 设计意图：巩固本节课所学内容，利用前面归纳的结论来解决二次函数最值的相关问题，加深对含参二次函数在内的最值问题的认识.体会函数思想.提升学生分析问题，解决问题的能力.4.归纳总结师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们研究了哪些问题？（2）我们是如何分析、解决这些问题的？（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？设计意图：通过小结，理清本节课的研究内容和研究方法.让学生体会提出问题、分析问题、解决问题的方法.5.课外作业(1) 必做题：①求二次函数223y x ax =--+（45x -≤≤）的最值.②已知二次函数221y ax ax =++（12x -≤≤）有最大值4，求实数a 的值.(2) 选做题：求二次函数223y x x =-+（2t x t ≤≤+）上的最值.（3）兴趣作业：通过本节课的学习，你能自己提出一个二次函数最值相关的问题并进行解答吗？试试看，和同伴交流你的想法. 1(1)0(2)0x m m =-分析：对称轴：＞时...＜时...m x n ≤≤m x n≤≤。

九年级数学“二次函数的最值问题”教学设计

y=（60－x－40）（300+20x）
=-20 +100x+6000
自变量x的取值范围：
0≤x≤20
当x=2.5时，y的最大值为6125
由学生分析得出：
应对市场作全面调查，有降价的情况，那么涨价的情况呢？
设每件涨价x元，每星期售出的商品的利润y随x的变化：
y=（60+x－40）（300－10x）
=-10 +100x+6000
问题：我班某同学的父母开了一个小服装店，出售一种进价为40元的服装，现每件60元，每星期可卖出300件．该同学对父母的服装店很感兴趣，因此，他对市场作了如下的调查：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件．请问同学们，该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？
问题：
能否说最大利润为6125元吗？
问题：
活动3归纳、总结
活动4运用新知拓展训练
活动5课堂小结布置作业
教师提出矩形面积问题，引导学生思考，培养学生的求知欲
教师与学生共同分析，寻找解决问题的方法，培养学生的探索精神，让学生初步感受数学的使用价值．
利用二次函数的顶点坐标解决生活中的最大值（或最小值）问题是一种常用的方法．
运用函数知识解决实际问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
（2）二次函数是现实生活中的模型，可以用来解决实际问题；
（3）利用函数的观点来认识问题，解决问题．
在活动中，教师应重点关注：
（1）学生是否能从面积问题中体会到函数模型的价值；
（2）学生能否利用函数的观点来认识问题，解决问题．
通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值．
[活动4]
九年级数学“二次函数的最值问题”教学设计