三角形培优训练100题集锦(学生用)

三角形培优训练专题

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】

1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

1、已知，如图ABC ∆中，5=AB ，3=AC ，求中线AD 的取值范围。

分析：本题的关键是如何把AB ，AC ，AD 三条线段转化到同一个三角形当中。 解:延长AD 到E ，使DA DE =，连接BE 又∵CD BD =，CDA BDE ∠=∠ ∴()SAS CDA BDE ∆≅∆，3==AC BE

∵BE AB AE BE AB +- (三角形三边关系定理) 即822 AD ∴41 AD

2、如图，ABC ∆中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DF DE ⊥，D 是中点，试比较CF BE +与

EF 的大小。

证明：延长FD 到点G ，使DF DG =，连接BG 、EG ∵CD BD =，DG FD =，CDF BDG ∠=∠ ∴CDF BDG ∆≅∆

E C A

B

D

A

∴CF BG = ∵DF DE ⊥ ∴EG EF =

在BEG ∆中，EG BG BE + ∵CF BG =，EG EF = ∴EF CF BE +

3、如图，ABC ∆中，AC DC BD ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠.

证明方法一：利用相似论证。 证明：∵AC DC BD == ∴BC AC 2

1

=

∵E 是DC 中点

∴AC DC EC 21

21==，BCA ACE ∠=∠

∴BCA ∆∽ACE ∆ ∴CAE ABC ∠=∠ ∵DC AC =

∴DAC ADC ∠=∠，BAD ABC ADC ∠+∠=∠ ∴CAE DAE BAD ABC ∠+∠=∠+∠ ∴DAE BAD ∠=∠ 即AD 平分BAE ∠

证明方法二：利用全等论证。

证明：延长AE 到M ，使AE EM =，连结DM 易证CEA DEM ∆≅∆ ∴MDE C ∠=∠，DM AC = 又∵AC DC BD ==

∴DM BD =，CAD ADC ∠=∠

又∵CAD C ADB ∠+∠=∠，ADC MDE ADM ∠+∠=∠ ∴ADB ADM ∠=∠ ∴ADB ADM ∆≅∆ ∴DAE BAD ∠=∠ 即AD 平分BAE ∠

4、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，

︒=∠=∠90CAE BAD ，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点。探究：AM 与DE 的位置关系及

数量关系。

（1）如图1 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；

（2）将图1中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ（︒︒︒900 θ）后，如图2所

E C

A

B

D

M

E C

A

B D

图 1

M N

C

A

B

D

N

E

C

A B D

M 图 2

示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。

∴DE AM ⊥，DE AM 2

1

=

5、如图，ABC ∆中，AC AB 2=，AD 平分BAC ∠，且BD AD =，求证：AC CD ⊥ 证明：过D 作AB DM ⊥，垂足为M ∴︒=∠=∠90BMD AMD 又∵BD AD =，DM DM =

A

∴BDM ADM ∆≅∆ ∴BM AM = ∵AC AB 2= ∴AM AC = ∵AD 平分BAC ∠ ∴CAD BAD ∠=∠ 在ADC ∆和ADM ∆中

AM AC =，CAD BAD ∠=∠，AD AD =

∴ADC ADM ∆≅∆ ∴︒=∠=∠90ADM ACD 即: AC CD ⊥

6、如图，BD AC //，EA ，EB 分别平分CAB ∠，DBA ∠，CD 过点E ，求证：BD AC AB += 证明：在AB 上截取AC AF =，连接EF 在CAE ∆和FAE ∆中 ⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE CAE AF AC ∴FAE CAE ∆≅∆ ∴FEA CEA ∠=∠

∴︒=∠+∠=∠+∠90FEB FEA BED CEA 即DEB FEB ∠=∠ 在DEB ∆和FEB ∆中 ⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠DBE FBE BE

BE DEB FEB ∴FEB DEB ∆≅∆（ASA ） ∴BF BD =

∴BD AC BF AF AB +=+=

7、如图，已知在ABC ∆内，︒=∠60BAC ，︒=∠40C ，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BP AB AQ BQ +=+

证明：延长AB 到D ，使BP BD =，连接PD ．则5∠=∠D

∵AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线，︒=∠60BAC ，︒=∠40C ∴︒=∠=∠3021，︒=︒-︒-︒=∠804060180ABC ，C ∠=︒=∠=∠4043 ∴QC QB =

又︒=∠+∠=∠+∠80435D ∴︒=∠40D 在APD ∆与APC ∆中

AP AP =，21∠=∠，︒=∠=∠40C D

∴APC APD ∆≅∆（AAS ）

F

E

D

A B

C

4 5 2

3D

Q

A B

1