集合与命题

八、根的分布问题
求实系数一元二次方程 x 2 ax 1 0的两根 都比1小的实数a的取值范围
二次方程x kx 2k 1 0的两根x1 , x2
2
当 2 x1 1且1 x2 2时， 求实数k的取值范围
B x log2 x 2 5 x 8 1 , C x x 2 2 x 8 0 若A B 且A C ，求实数a的值








A B A A B
CU A CU B CU A B CU A CU B CU A B
互否
否命题： 如果两个数不都是整数 那么这两个数的和不为整数
互 逆
逆否命题： 如果两个数的和不为整数 那么这两个数不都是整数
六、等价命题
1、如果甲、乙两个命题，从命题甲可以推出命题乙，从 命题乙也可以推出命题甲，则称甲乙两个命题为等价命题
即：甲 乙
例如：甲：“ A B B” 乙：“A B”




B C I A x x 1, x Z
C I A C I B , 求：集合A, B
I
-3 -2 -1 2
A
0 1
B
5
3 4
x3 例5、记f ( x) 2 的定义域为A x 1 g ( x) lgx a 12a x a 1的定义域为B （ 1 ）求A。（2）若B A，求实数a的取值范围
结论
条件
2、条件
结论
则条件是充分条件
若反之不然，则条件是充分非必要条件 结论 条件 则条件是必要条件
若反之不然，则条件是必要非充分条件 结论 条件 则条件是充要条件
若都不成立，则条件是既非充分又非必要条件
例、
(1)" x1 0且x2 0"是" x1 x2 0且x1 x2 0"
A B A B A
例3
设A x x 2 4 x 0


B x x 2 2a 1x a 2 1 0


若A B B, 求实数a的值
四、两种图示法
例4、已知全集I x x 1 4, x Z , A CI B x x 2 5 x 6 0
(2,3)
？
(2,3)， 4， 5
另有 1,2, 3,4
2) 描述法： A
x x 所满足的性质
A x y 4 x2
B y y 4 x2


=R


2 * 2
x, y y 4 x D x, y y 4 x , x N , y N (1,3) E
2、如果两个命题互为逆否命题，则这两个命题是等价命题
命题：“若 a M , 则b M”的等价命题是_______
说明
当证明某个命题比较困难时，可以证明它 的逆否命题来代替证明原命题
七、充分条件和必要条件
1、认清条件和结论 情况1：“……”是“……”的_______条件 条件 结论
情况2：“……”的_____条件是“……”
B B
2a
a+1
-1
1 2a
a+1
2x 1 例6、设集合A x x a 2 , B x 1 x2 若A B, 求实数a的取值范围
改题：（ 1 ）若A B呢？ （2）若A a 2, a 2 ，A B呢？ （3）若A x 2m 1 x m 1 求实数m的取值范围 Ｂ＝x 2 x 3，A B
另有Z , Q , Q , R , R
最特殊的集合：空集
N Z Q RC

空集中不含有任何元素,记作
集合有几种表 示方式？
1）列举法：把集合中的元素一一列举出来。
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例：方程x 2 5x 6 0的解的集合 可表示为 2， 3
x y 5 ？ 那么方程组 的解用集合又该如何表 示? x y 1
的_________________条件
(2)" x1 2且x2 3"是" x1 x2 5且x1 x2 6"
的_________________条件
(3)" x1 a且x2 b"是" x1 x2 a b且x1 x2 ab"
的_________________条件
集合与命题
一、集合的概念
集合的概念：我们把能够确切指定的一些对象看成
一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。 集合中的各个对象叫做这个集合的元素。 元素与集合的关系： a A 集合与集合的关系：
a A
A B
B A

等
全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N， 不包含0的自然数集组成的集合，记作 N * 全体整数组成的集合，即整数集，记作Z 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q 全体实数组成的集合，即实数集，记作R
2 * *
C y y 4 x , x N , y N 0,3
二、集合元素的互异性
例1
已知集合A 1, a, b B a, a 2 , ab 且A B 求：实数a和b


要注意检验
三、集合间的运算
例2、已知集合A x x 2 ax a 2 19 0



五、四种命题形式
“且” “或”
“是”
“都是” “至少一个”
“不是”
“不都是” “一个也没有”
命题：两个整数的和是整数
条件： 如果两个数都是整数
结论： 那么这两个数的和是整数
原命题： 如果两个数都是整数 那么这两个数的和为整数 互否
互 逆 互逆否
逆命题： 如果两个数的和为整数 那么这两个数都是整数