第7章 梁的强度问题

A
y dA A
zC
Sy A

A
z dA A
y
O
工程力学
第7章 梁的强度问题
静矩与形心的关系：
z
yC
C
Sz yC A zC Sy A
zC
y
O
S z y C A , S y zC A
工程力学
第7章 梁的强度问题
根据静矩的定义和静矩与形心的关系可以看出：
同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩 对于不同的坐标轴，其静矩可能为正也可能为负 对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。 如果已经计算出静矩，则可确定形心位置； 如果已知形心在某一坐标的位置，则可计算图形对于这一
32

D 4 1 4
32
d
d ( ) D

d O
D
工程力学
第7章 梁的强度问题
圆截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为：
I
d
4
64
对于圆环截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为：
d I (1 ), 64 D
4
D
4
工程力学
第7章 梁的强度问题
极惯性矩
z
y
I p r dA
2 A
dA
图形对点o的截面二次极矩 （极惯性矩）
r
z
y

r y z
2 2
2
I p I y Iz
O
极惯性矩恒为正。
惯性积
z
y
dA
I yz yz d A
A
z
O
y
惯性积由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。
工程力学 a. 对于实心圆截面：
7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各 点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。 由于横截面上的应力是看不见的，而梁的变形是可以看
见的，应力又和变形有关，因此，可以根据梁的变形情
形推知梁横截面上的正应力分布。
平面假定
变 形 应变分布
物理关系
工程力学
F F
第7章 梁的强度问题
F
平面弯曲：所有外力都作用在梁的同一主轴平面 内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线 位于外力作用平面内。
a A Q
P
P B
a
纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没 有剪力时，该段梁的变形称 为纯弯曲。如AB段。
x
x M
工程力学
第7章 梁的强度问题
横向弯曲：梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面 上将同时产生剪力和弯矩。此时，梁的横截面上不仅有正应 力，还有切应力。此弯曲为横向弯曲。
坐标系中坐标轴的静矩。
工程力学
第7章 梁的强度问题
对于组合图形，分解为若干个可以直接确定形心位置的
图形，然后分别计算对于给定坐标轴的静矩，求代数和即：
S z A1 yc1 A2 yc 2 ...... An ycn Ai yci
i 1
n
n
S y A1 zc1 A2 zc 2 ...... An zcn Ai zci
第7章 梁的强度问题
I P A dA A d d
2 2
2
0

D 2 0
d d
3
D4
32
d

O
D
工程力学 b. 对于空心圆截面：
第7章 梁的强度问题
I P A dA
2
2
0

D 2 d 2
3d d
D4 d 4
i 1
工程力学 组合图形的形心坐标为：
第7章 梁的强度问题
Sz yC A
Ay
i 1 n i
n
ci
A
i 1
i
zC
Sy A

Az
i 1 n
n
i ci
A
i 1
i
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 截面二次轴矩（惯性矩）
z
y
dA
I z y dA
2 A
������ ������ ������ ������ ������ ������ 杆件的内力(轴力、扭矩、剪力和弯矩）—取决于外力 的大小。������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
矩形截面对于通过其形心、平行于矩形周边坐标轴 的惯性矩
Байду номын сангаас
hb Iy 12
3
bh Iz 12
3
工程力学
第7章 梁的强度问题
组合图形的惯性矩和惯性积
组合图形对于某一轴的惯性矩和（惯性积）等于 各组合图形对于同一轴的惯性矩（惯性积）之和。
§7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力
7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念 对称面：梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴 组成的平面。 主轴平面：所有相同的形心主轴组成的平面。
d
4
64
4 4
WZ

d3
32
4
(D d )
64
WZ
D
64
(1 4 )
d
D
D
32
3
(1 4 )
d
D
（6）梁弯曲后其轴线的曲率计算公式 梁的轴线弯曲后的曲率数学表达式
Mz C Iz
C
EI z
E

Mz EI z
1
梁的弯曲刚度。
结果表明：梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正 比，与弯曲刚度成反比。
应力分布
静力 方程
应力公式
工程力学
第7章 梁的强度问题
（1）平面假设与应力分 布 梁的纯弯曲实验

a b M a
b
c d M
c d
纵向线变为曲线，且上缩 下伸； 横向线变形后仍为直线，

有转动的角度；

横向线与纵向线变形后仍 保持正交。
工程力学
第7章 梁的强度问题
① 平面假设：横截面变形后仍为平面，并且与变形后梁的轴线
A
结果表明：中性轴Z通过截面形心，并且垂直于对称轴， 所以，确定中性轴的位置，就是确定截面的形心位置。
对于有两根对称轴的截面，两根对称轴的交点就是截面 的形心。
（5）最大正应力公式与弯曲截面模量 横截面上的最大正应力，即横截面上到中性 轴上最远点上的正应力，Y坐标值最大，将Ymax 代入正应力式。
工程力学
第7章 梁的强度问题
§ 7.3.3 梁的弯曲正应力公式的应用与推广
计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题：
关于正应力的正负号：
1）首先确定横截面上的弯矩的实际方向，确定中 性轴的位置； 2）根据“弯矩是分布正应力合成的合力偶矩”。
工程力学
第7章 梁的强度问题
关于最大正应力计算：
（1）若梁具有一对相互垂直的对称轴，其加载方向与其中一 根对称轴一致，则中性轴与另一对称轴一致，此时最大拉应 力与最大压应力绝对值相等；
b
h
z
z
y
y
工程力学
第7章 梁的强度问题
（2）若梁的横截面只一根对称轴，且加载方向与对称轴一致 ，则中性轴过截面形心并垂直于对称轴。此时最大拉应力与 最大压应力绝对值不相等。 yc，max
2 y dA I z A
s dA dA
z y
Mz C Iz
Mz y Iz
负号表示：当弯矩为正时，y坐 标为正的点处将产生压应力。实际 中可根据拉压定正负
y
z
（4）中性轴的位置
E
y

Cy
dA F
A
N
0
dA CydA 0
A
sz ydA 0
Me z h
b
工程力学
第7章 梁的强度问题
例题7-4 承受均布载荷的简支梁如图所示，已知：梁的 截面为矩形，矩形的宽度b=20mm, 高度h=30mm, 均布载 荷集度q=10KN/m; 梁的长度l=450mm. 求： 梁最大弯矩 截面上1、2两点处的正应力。 y q A
§ 7.4 平面弯曲正应力公式应用举例
例题7-3 图中所示的矩形截面悬臂梁有两个对称面;由横截面铅
垂对称轴所组成的平面称为铅垂对称面;由横截面水平对称轴所 组成的平面,称为水平对称面.梁在自由端承受外加力偶作用,力 偶矩为Me,力偶作用在铅垂对称面内。试画出梁在固定端处横截 面上正应力分布图。 y
E
y
E
y

Cy
C
E

O s dA dA z y y
z
横截面上的弯曲正应力 沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。
工程力学
第7章 梁的强度问题
若要计算横截面上的各点的正应力，需要解决两个问题:
y坐标是从中性轴开始计算的，中性轴的位置没有确定； 中性面的曲率半径也没有确定；
������ ������ ������ ������ ������ ������ 杆件的应力、变形-取决于内力分量的类型和大小、杆
件的尺寸及横截面形状等几何量。 横截面几何性质：面积、形心、静矩、惯性矩、惯性半 径、极惯性矩、惯性积、主轴等。
7.2.1 静矩和形心及其相互关系
z
y
dA
Sz y d A
正交，只是绕截面内某一轴旋转了一个角度。 ② 单向受力假设：梁看成许多纵向纤维组成。变形后纵向直
线与横向直线保持正交，可认为纵向纤维没有收到横向的 剪切和挤压，只受到单向的拉伸或压缩。 两个概念 中性层：梁内一层既不受拉伸也 不受压缩的纤维 中性轴：中性层与横截面的交线。 中性轴 中性层
A O
O
π Iz Iy D4 d 4 64 4 πD 1 4 64 z 式中 d / D




D d
y
Iz πD 3 4 Wz 1 Wy D/2 32


(4) 型钢截面：参见型钢表
弯曲截面模量
bh IZ 12
3
bh 2 WZ 6
IZ
IZ
h
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y
d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy b/2 6
z
y
πd 4 Iz Iy 64 Iy Iz πd 3 Wz W y d /2 d /2 32
工程力学 ⑶ 空心圆截面
第7章 梁的强度问题
工程力学 （3）应用静力学方程待定常数
第7章 梁的强度问题
纯弯曲时，横截面上只能有弯矩一个内力分量，轴力 必须为零。所以有：
dA FN 0
A
z
x
dA
( dA) y M z
A
y
( dA) y M
A
z
E
y

Cy
O
A
2 ( CydA ) y C y dA M z A
A’ O’
dx AA OO1 dx OO1
'
( y )d d y d

y

工程力学 其中:
第7章 梁的强度问题
d dx 1

为中性面弯曲后的曲率半径.即梁的轴线弯曲后的曲 率半径,与Y坐标无关.
（ 2）胡克定律与应力分布
胡克定律:
A
图形对于z 轴和y轴的 截面一次 矩（静矩）
S y zd A
A
z
y
O
dA视为垂直于图形的力，ydA和zdA为dA对于z轴和y轴 的力矩，Sz和Sy分别为A对z轴和y轴之矩。
形心：图形几何形状的中心。若将面积视为垂直图形 平面的力，形心即为合力的作用点。
z
yC
C
zC
Sz yC A
max
M z ymax M z Iz Wz
弯曲截面系数
Wz I z / ymax
单位是mm3 或 m3
工程力学
第7章 梁的强度问题
中性轴 z 不是横截面的对称轴时
yt，max yc，max
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
简单截面的弯曲截面系数 b ⑴ 矩形截面
工程力学
第七章 梁的强度问题
§ 7.1 工程中的弯曲构件
工程力学
第7章 梁的强度问题
工程力学
第7章 梁的强度问题
§7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
图形对z 轴和y轴 的截面二 次轴矩
z
O
I y z dA
2 A
y
惯性矩恒为正。
工程力学
第7章 梁的强度问题
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方 的乘积，即
I y A iy
2
iy
Iy A
I z Aiz
2
iz
Iz A
i y 、iz

分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
yt，max
O y
z
b max
（拉）
M z yb max Iz
bc max
M z ybc max Iz
（压）
工程力学 最大正应力与危险截面：
第7章 梁的强度问题
（1）某一个横截面上的最大正应力不一不定就是梁内的最 大正应力，应先判断危险截面； （2）比较所有危险截面上的最大正应力，其中最大者才是 梁内横截面的最大正应力。保证梁安全工作的关键就是 保证这种最大正应力不得超过允许的数值。