七年级数学下册从面积到乘法公式乘法公式教案
人教版七年级数学下册《从面积到乘法公式》全部教案共9课时_2472
人教版七年级数学下册《从面积到乘法公式》所有教学设计共 9 课时情形设置：同学们，此刻我们家里都有电视机，大家都知道电视机的横切面是个长方形，下边我们一同来研究这样一个问题：将几台型号同样的电视机叠放在一同构成“电视墙” ，计算图中这些电视墙的面积。
（每一个小长方形的长为a，宽为 b）我们能够看到，“电视墙”是一个长方形，由9 个小长方形组成。
从整体上看，“电视墙”的面积为长方形的长与宽的积：3a ·3b；从局部看，“电视墙”中的每个小长方形的面积都是ab，“电视墙”的面积是这些小长方形的面积和：9ab。
于是，我们有：3a ·3b = 9ab.新课解说：1.探究研究一同来察看上边这个等式：3a ·3b = 9ab，依据上学期的学习，同学们知道， 3a、 3b 都是单项式， 9ab 也是个单项式，那么计算时能否有必定的规律性？4ab ·5b 这两个单项式的积是20ab 吗？请学生回答，教师加以总结概括：两个单项式3a 与 3b 相乘，只需把两个单项式的系数 3 与 3相乘，再把这两个单项式的字母 a 与 b 相乘，即 3a ·3b =（3×3）·（ a·b） = 9ab.4ab·5b 这两个单项式的积是20ab。
同学们回答的太棒了，两个单项式相乘，其实是运用了乘法互换律与联合律。
由此，我们能够获得单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同样字母的幂分别相乘，关于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式。
2.例题计算：（1） a·（ 6ab）；（2）（2x）·（－ 3xy ） .解：（1）a·（6ab）=（×6）·（ a·a）·b=2ab；（教师规范格式）（2）（2x）·（－3xy ） . = 8x ·（－ 3xy）=【 8×（－ 3）】（ x·x） y=－ 24xy.。
201x版七年级数学下册 第9章 从面积到乘法公式 9.4 乘法公式(2)教案 苏科版
2019版七年级数学下册 第9章 从面积到乘法公式 9.4乘法公式（2）教案 （新版）苏科版教学目标:1．会推导平方差公式，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算；2．经历探索平方差公式的过程，进一步感悟数与形的关系，感悟数形结合的思想，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性． 教学重点：探索平方差公式的过程，运用平方差公式计算．教学难点：探索平方差公式的过程．教学方法：教学过程：一.【情景创设】1．计算下列各式：（1）))((y x y x -+； （2）)3)(2(-+a a ；（3）)2)((d c b a -+； （4）)4)(4(+-m m ．2．观察几个式子计算所得的结果，哪几个项数更少？这些式子有何特征？你有何猜想？二.【问题探究】问题1:活动一（1）怎样计算上图中阴影部分的面积？（2）将图中的纸片只剪一刀，拼成一个长方形，面积可以如何表示？（3）你有何发现？活动二 （1）用多项式乘法法则说明(a ＋b ) (a －b )＝a 2－b 2的正确性，从而得出平方差公式．（2）判断下列各式可以利用平方差公式吗？为什么？①(5x ＋y )(5x －y )； ②(a ＋2b )(2a －b )； ③(2n ＋m )(－m ＋2n )；④(c ＋d )(－c －d )； ⑤(2a ＋b )(2a －c )； ⑥(3y －x )(－x －3y )．问题2例1 用平方差公式计算：（1）(5x ＋y )(5x －y )； （2）(2n ＋m )(－m ＋2n )； （3）(3y －x )(－x －3y )．a ab ba －a －例2 用简便方法计算：（1）101×99； （2）1203×2193三【变式拓展】问题4 1．填空：① 4))(2(2-=+a a ② 225)5)((x x -=- ③)42(b a +（ ）=22416a b - ④ )(n n y x +（ ）=n n y x22- ⑤（ ）（ ）=22196169y x - ⑥ =+-)5)(5(22m n n m （ ）2.用平方差公式计算：（1）()()222332y x x y --- （2）()()()()3311y y y y +-----3.计算：（1）()()()()111142-+++x x x x （2）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）4．观察下式，你会发现什么规律？3⨯5=15 而15=24—15⨯7=35 而35=26—1 …11⨯13=143 而143=212—1 … 请你将猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来四.【总结提升】通过本节课的学习，你有哪些收获？如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
2021版七年级数学下册 第9章 从面积到乘法公式 9.4 乘法公式(3)教案 (全国通用版)人教版
通用版）人教版乘法公式（3）教案 （全国通用版）人教版教学目标:1．进一步熟练掌握乘法公式，能灵活运用公式进行混合运算和化简；2．在应用公式的过程中，感受整体思想．教学重点：理解单项式相乘的法则，会进行单项式的乘法运算．教学重点:正确熟练地运用乘法公式进行混合运算和化简．教学难点：准确地判断并运用合适的乘法公式，构造“整体”的方法解决问题．． 教学方法：教学过程：一.【情景创设】计算：（1）)3)(3(-+x x ； （2）)32)(32(-+x x ；（3）)2)(2(a b b a -+； （4）2)3(b a -二.【问题探究】问题1:例题讲解例1 计算：（1）()()()9332++-x x x ； （2）()()223232-+x x ；（3）()()()2322b a a b b a ---+．问题2例2 课本P79练一练第3题问题3如何计算()2c b a +-？通用版）人教版问题4 （1）()[]()[]z y x z y x -+++ （2）()()44-+++y x y x（3）()()44--++y x y x （4）()()44-++-y x y x三【变式拓展】问题51.a ＋b =5, a b =3，求：(1) (a - b )2 ；(2) a 2＋ b 2 ；(3) a 4＋ b 42．已知31=+x x ，求⑴ 221x x + ，⑵ 2)1(x x -3．a 、b 满足a 2＋ b 2-4 a ＋6 b ＋13=0，求代数式(a ＋ b )xx 的值四.【总结提升】通过本节课的学习，你有哪些收获？【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】通用版）人教版。
苏科版初中七年级数学下册第九章《从面积到乘法公式》课堂教学设计
9
六、课后作业 课本习题 9.2．
地纳入学生的认 知结构．
巩固教学的 成果检验学生掌 握新知的情况， 又让教师发现问 题，及时弥补教 与学中存在的不 足．
教学目标
教学重点 教学难点
9．3 多项式乘多项式
1．理解多项式乘多项式运算的算理，会进行多项式乘多项式的运算（仅指一次式之间以及一次式与二次式之间相乘）； 2．经历探究多项式乘多项式运算法则的过程，感悟数与形的关系，体验转化思想，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性． 多项式乘多项式的运算法则． 利用单项式乘多项式的运算法则来推导多项式乘多项式的运算法则．
式，再根据今天所学内容计算．
3
练习 3： 计算：（1）(a2)2·(－2ab) ；
（2）－8a2b·(－a3b2) ·14b2 ； （3）(－5an＋1b) ·(－2a)2； （4）[－2(x－y)2]2·(y－x)3． 四、思维拓展 1．已知 3x y m－3 5－n 与－8x 的乘积是 2x4y9 的同类项，求 m、n 的值． 2．若(2anb·abm)3＝8a9b15，求 m＋n 的值．
10
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、情境创设
学生思考并口答．
此问题情境富有较强的数学味和挑战性，直
提问：前面已经学习了单项式乘单项式，单项式乘多项式，那多项式
可能学生不会解决此问题，也可能学生会阐述自己 奔主题．学生回答不正确不予否定，可产生争议，
乘多项式如： (a + b)(c + d ) 应该如何计算？
苏科版初中七年级数学下册第九章《从面积到乘法公式》课堂教学设计
教学目标
教学重点 教学难点
七年级数学下册从面积到乘法公式乘法公式精品教案
9.4乘法公式（1）一、教材依据：二、设计思路：1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。
首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。
通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。
学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。
2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。
三、学生分析：1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能：①同类项的定义。
②合并同类项法则的正确应用。
③多项式乘以多项式法则。
2、学生对即将学习的内容已经具备的水平：在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。
这节课的目的就是让学生从特殊性的计算上升到一般性的规律,得出公式，并能正确的应用公式。
四、教学／学习目标及其对应的课程标准：（一）教学目标：1、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
2、通过图形面积的计算，感受完全平方公式的直观解释。
3、经历探索完全平方公式的过程，发展学生的符号感和推理能力。
（二）知识与技能：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的能力,并给公式的应用打下坚实的基础。
（三）数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的推断或大胆的猜测；（四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
（五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难勇气和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；体验数、符号和图形是有效的描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。
9.4乘法公式(1)
1 1 ( x 2 y )( x 2 y ) 2 2 计算： （1） 2
（2）(－4a－1)(4a－1)
B 组题：
1.思考： ( a b) 与 (a b) 相等吗？ ( a b) 与 (b a ) 相等吗
2 2 2 2
作业
第 82 页 1、2、4
板 复习 …… …… …… …… …… 教
书
设
计 例1 …… …… 例2 …… …… 板演 …… …… …… …… ……
学
后
记
完全平方公式、平方差公式通常称为乘法公式，在计算时可以直接使用。 练习：第 80 页 第 1、2、3、4 小结： 今天我们学习了乘法公式
(a b) 2 = a 2 2ab b 2 (a b) 2 a 2 2ab b 2 (a b)( a b) a 2 b 2
(a b) 2 a 2 2ab b 2
也可利用多项式乘法法则证明对于任意 a、b 上式都成立
(a b) 2 = a 2 2ab b 2 (a b) 2 a 2 2ab b 2
例题 1：计算 板演 —— 完全平方公式
⑴
( x 2)
2
1 ( y )2 2 ⑵
教学方法 教 师
学 生 活 动
情景设置：
b a ab a
学生回答
b
ab
怎样计算上图的面积？它有哪些表示方法？ 新课讲解： 1.完全平方公式 如果把上图看成一个大正方形，它的面积为 ( a b)
2
由学生自己先做(或互 相讨论)，然后回答，若 有答不全的，教师(或其 他学生)补充．
第九章《从面积到乘法公式》(小结与思考)教案(苏科版初一下)
第九章《从面积到乘法公式》（小结与思考）教案（苏科版初一下）进一步明白得本章的有关内容，把握有关的运算法那么，并会应用法那么 进行运算。
了解公式的几何背景。
反思本章的学习过程，进一步感受从图形面积运算得出整式乘法法那么、 整式乘法公式的过程，并会明白得运算的算理，进展符号感，进展有条理 的摸索和表达能力。
教学重、难点：灵活运用整式乘法法那么和乘法公式进行运算。
教学过程：一、由学生自己回忆本章所学的内容，在学生独立摸索的基础上，开展小组交流和全班交流，使学生在反思与交流的过程中逐步建立知识体系：乘法公式因式分解、让学生自己举出整式乘法与因式分解的例子， 体会整式乘法的运算法那么和乘法公式以及因式分解与整式乘法的互逆关系。
例1、 运算：例2、 把以下各式分解因式:教学目标:1、2、 3整式乘法〔1〕 (2m 3n)2 ；〔2〕(3a b)(b 3a)(2b a)( 2b a)；(2x 2)3 6x 3(x 32x 2x)；(2)0 ( 1)4 (2362)32 ；〔5〕( a)7 a 3 (a)2 (a 2)3。
〔1〕(x 2)(x 4)〔2〕(a b)2 4(a b 1)；〔3〕(a b)2 (ab)2 ； 〔4〕2x (x y) 2x(xy) (yx)。
例3、 化简后求值：(2a 3b)2 2(2a 3b)(2a 3b) (2a 3b)2，其1中 a 2, b - o3三、把几个图形拼成一个新图形，再通过图形面积的运算，常常能够得到一些 有用的式子。
例4、〔 1〕两个边长分不为 a,b,c 的直角三角形和一个两条直角边差不多上c 的直角三角形拼成一个新的图形。
试用不同的方法运算那个图形的面积，你能发觉什么？〔2〕由四个边长分不为 a,b,c 的直角三角形拼成一个新的图形。
试用两种不同的方法运算那个图形的面积，并讲讲你发觉了什么。
写出第n 行的式子，并证明你的结论。
(2)运算以下各式，你发觉了什么规律?① 20012003 20022 •，② 99 1011002 :③9999 10001 100002 。
七年级数学下册《乘法公式的综合运用》教案、教学设计
5.教师及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一步教学提供依据。
d.总结：引导学生总结乘法公式的特点、应用规律和注意事项。
e.作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识。
4.教学评价：
a.过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。
b.终结性评价：通过课后作业和阶段测试，评价学生对乘法公式的掌握程度。
c.个性化评价：针对学生的个体差异，给予有针对性的指导和鼓励。
2.完全平方公式：继续采用具体数字，让学生观察并归纳出完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²。同时，引导学生了解完全平方公式的变式，如a² - 2ab + b² = (a - b)²。
3.公式的推导与应用：通过几何图形、实际例题等方式，讲解乘法公式的推导过程和应用方法，让学生理解乘法公式的实际意义。
2.情境导入：展示一个与学生生活相关的实际问题，如计算一个正方形与一个长方形的面积差，引发学生思考如何简化计算过程，从而引出乘法公式的学习。
（二）讲授新知
1.平方差公式：以具体的数字为例，引导学生观察并发现两个数的平方差与这两个数的和与差之间的关系。通过实际计算，总结出平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)。
七年级数学下册《乘法公式的综合运用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握乘法公式的综合运用，包括平方差公式、完全平方公式以及它们的变式。
2.培养学生运用乘法公式进行简便计算的能力，提高运算速度和准确性。
3.通过对乘法公式的运用，使学生能够解决一些实际问题，如面积计算、速度问题等。
七年级初一数学下册第章从面积到乘法公式单项式乘多项式教学案苏科
单项式乘多项式【教学目标】1、从计算面积得出单项式乘多项式的法则.2、能熟练地进行单项式乘多项式的计算.3、灵活运用乘法对加法的分配律，把单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. 【教学重点】多项式乘多项式的运算法则 【教学难点】探索多项式乘多项式的运算法则教 学 过 程导 学 过 程师生活动【自主学习】 要养成阅读、思考的好习惯哦！※请同学们仔细阅读数学课本P.69—70内容，认真完成下面的练习，相信你一定行！A1、用课前制作的长与宽分别为a 与b 、a 与c 、a 与d 的小长方形拼成大长方形，计算拼成图形的面积，并交流 不同的计算图中长方形面积的方法．⑴若把这个图形看成一个大长方形，长等于______________，宽等于____，它的面积可以表示为_____________________． ⑵若把这个图形看成由三个长方形组成的，则每个小长方形的面积分别是______、______和______，它的面积可以表示为_____________________．⑶显然，⑴和⑵中求得的面积一样.由此可得出的结论是：____________=______________.上述结果是根据面积计算得到的，还有其它方法吗？【课中交流】爱动脑筋让你变得更聪明！ 探索研究如何进行单项式与多项式的乘法运算？先讨论，再概括.A2、单项式乘多项式法则：____________________________ ___________ ______________________________________________________________ A3、计算下列各题：dc b a① a(5a+3b) ② (x-2y)2x③ )2(3x -·)24(-x ④ )343(22ab b a -·b a 231【课堂小结】【目标检测】有目标才能成功！4、计算：A ① ()()x y x 63-- ② ()232a a a ⋅-B ③ ()43252+-x x x ④222(323)x y x x -+-B ⑤()2233xy y x xy - ⑥()⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅-1944322x xxB ⑦23223(2)()a b ab a b a --+ ⑧ ()()b a b b a a --+【拓展延伸】挑战自我，走向辉煌！ C5、思考题：先化简，再求值：()22225212ab b a a b ab a -⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-，其中2,1==b a 。
七年级数学下册 9.4乘法公式(第2课时)教案 苏科版
制作若干张长方形和正方形硬纸片，通过图形计算(a+b+c)2的公式，并通过运算推导这个公式。
练习：已知3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2，求证:a=b=c
小结：
能够根据题目的要求灵活的运用乘法公式。
教学素材：
A组题：
1．利用乘法公式进行计算：
(1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)
教学方法
讲练结合、探索交流
课型
新授课
教具
投影仪
教师活动
学生活动
情景设置：
回忆上节课所学的乘法公式：
=
这节课我们利用乘法公式解决实际问题
新课讲解：
例1：用乘法公式计算
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷
例2：计算
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷[(a-b)2-(a+b)2]2
能够根据实际情况灵活运用乘法公式解题。
课堂练
由学生自己先做(或互相讨论)
板演
教师与同学共同订正
学生讨论
共同总结
作业
第83页3、5、6
板书设计
复习例1板演
………… ……
………………
……例2……
………………
………… ……
教学后记
(2) (3x+2)2-(3x-5)2
(3) (x-2y+1)(x+2y-1)
(4) (2x+3y)2(2x-3y)2
(5) (2x+3)2-2(2x+3) (3x-2)+(3x-2)2
(6) (x2+x+1)(x2-x+1)
七下数学期末温习教案从面积到乘法公式
七下数学期末温习教案 从面积到乘法公式［要紧概念］ 1、 单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂别离相乘，关于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式。
2、 单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。
m(a+b －c)＝ma+mb －mc 3、 多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 4、 乘法公式：① 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2； (a -b)2=a 2-2ab+b 2 ② 平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b 25、 因式分解：步骤：先看是不是能够提公因式（看系数，看字母），在看项数，两项大体考虑用用平方差，三项大体考虑完全平方公式，四项考虑组合［考点归纳］考点1：整式的混合运算 考点2：平方差公式的应用 考点3：完全平方公式的运用 考点4：因式分解 考点5： 幂的有关性质在其它方面的应用［考点例题］ 例1：计算：（1） (2×103)× (3×104)×(-3×105)（2）a n b 2·(a n+1·b 4)2（3） (-3x 2y)3·xyz ·(-13xy)2（4）(-12m 3n)3·(-2m 2n)4（5）223(12)2(31)x x x x x -+-+ （6）22a -a(2a-5b)-b(5a-b) （7）22213(2)2()2(3)3b a b a ab a b --+--+（8）222213(-xy+y -x )(-6xy )32例2：计算：（1）)12)(12(+-+x x （2）(2a －21b 2)2 （3）()()223131x x +- （4）)1)(1)(1)(1(42-+++x x x x（5）)2)(2(z y x z y x ++-+- （6）（a+2b －3c ）（a －2b+3c ）（7）)12()12)(12)(12(242+⋅⋅⋅+++n（8）232999⎪⎭⎫ ⎝⎛-例3： 填空（1）假设))(3(152n x x mx x ++=-+，那么m = ；（2）已知(a+b)2=7，(a —b)2=3，那么ab= ；（3）假设x 2+mx+1是完全平方式，那么m= ；（4）已知2249x mxy y -+是关于,x y 的完全平方式，那么m = ；（5）假设二项式4m 2+1加上一个单项式后是一含m 的完全平方式，那么单项式为 ； （6）假设m 2+n 2－6n ＋4m ＋13＝０，那么m 2－n 2 =_________；（7）假设3,2a b ab +=-=，那么22a b += ，()2a b -= ；（8）假设1,2=-=-c a b a ,那么=-+--22)()2(a c c b a ； （9）若,x x 09612=+-那么x2= ； （10）已知2m ＝x ，43m ＝y ，用含有字母x 的代数式表示y ，那么y ＝_____________。
七年级数学下册第9章从面积到乘法公式9.4乘法公式1教案1新版苏科版
规范格式，巩固公式．
让学生在实践中体验“学以致用”的道理，另外通过灵活运用公式可以简化运算，培养学生的综合能力．
四、当堂练习
1．用完全平方公式计算：
（1）(1＋x)2；（2）(y－4)2；（3）(－3x＋2)2．
2．请你来诊断：
（1）(x＋y)2＝x2＋y2；
（2）(x－y)2＝x2－y2；
、．
由此得到：(a＋b)2＝．
你能用前面学习的多项式的乘法公式来推导上面的公式吗？
(a＋b)2＝．
这个公式称为完全平方公式（出示课题）．
观察、思考、回答问题．
在作业本上完成，一学生板演．
学生通过自己动手，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．
三、例题教学
例1计算：(a－b)2．
分析：你准备如何来解方公式
9.4乘法公式（1）——完全平方公式
教学目标
1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；
2．通过图形面积的计算，感受乘法公式的直观解释；
3．经历探索完全平方公式的过程，发展学生的符号感和推理能力．
教学重点
运用完全平方公式进行简单的计算．
教学难点
完全平方公式的应用．
第（1）题由学生口答，教师板书．
第（3）题可能会出现两种解法，教师予一讲解；若只出现一种，教师也可适当补充．
例3计算：
（1）9982；（2）20012．
学生思考尝试，相互补充．
小组讨论总结，全班交流．
读口诀，体会其内容．
（2）、（3）两题由两个学生板演．
独立思考，作业本上完成，两学生板演．
尝试多种方法解题并找出最优化方法，可以提高学生解题的策略性．把两数差转化为两数和，引导学生感受转化的思想以及知识之间的内在联系．
人教版七年级数学下册《从面积到乘法公式》全部教案共9课时
人教版七年级数学下册《从面积到乘法公式》全部教
案共9课时
情景设置：
同学们，现在我们家里都有电视机，大家都知道电视机的横切面是个长方形，下面我们一起来研究这样一个问题：将几台型号相同的电视机叠放在一起组成“电视墙”，计算图中这些电视墙的面积。
（每一个小长方形的长为a，宽为b）
我们可以看到，“电视墙”是一个长方形，由9个小长方形组成。
从整体上看，“电视墙”的面积为长方形的长与宽的积：3a-3b；
从局部看，“电视墙”中的每个小长方形的面积都是ab，“电视墙”的面积是这些小长方形的面积和：9ab。
于是，我们有：3a-3b=9ab.
新课讲解：
1.探索研究
一起来观察上面这个等式：3a-3b=9ab，根据上学期的学习，同学们知道，3a、3b都是单项式，9ab也是个单项式，那幺计算时是否有一定的规律性？4ab-5b这两个单项式的积是20ab吗？
请学生回答，教师加以总结归纳：
两个单项式3a与3b相乘，只要把两个单项式的系数3与3相乘，再把这两个单项式的字母a与b相乘，即3a-3b=（3x3）-（a-b）=9ab.
4ab-5b这两个单项式的积是20ab。
同学们回答的太棒了，两个单项式相乘，实际上是运用了乘法交换律与结。
4.14七年级数学下册_第九章从面积到乘法公式复习教案_苏科版 2
第九章从面积到乘法公式单元总结提升班级____________姓名____________学号___________备课时间: 主备人:单元总结归纳一、本章的知识框图二、重点、难点突破重点：(一)单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（二）单项式乘以多项式1.单项式与多项式的相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即a（b＋c＋d）= ab＋ac＋ad.2.其几何意义为：3.单项式与多项式相乘的步骤：（1）按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；（2）进行单项式的乘法运算.（三）多项式乘以多项式1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.2.其几何意义为：3.多项式与多项式相乘的步骤：（1）用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项；（2）把所得的积相加.（四）乘法公式1. 完全平方式公式：（a±b）2= a2±2ab+b2.（1）特征：完全平方公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”.（2）语言叙述：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的差（3）几何意义：（a+b）2= a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b22.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.（1）特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.（2）语言叙述：两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差.（3）几何意义：5.因式分解（1）因式分解与整式乘法的区别与联系：把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解. 它与整式乘法是两种互逆的恒等变形.（2）提公式法分解因式：提公因式的依据是乘法分配律，其实质是分配律的“逆用”；提公因式分解因式的步骤是：a.找出多项式各项的公因式；b.提出多项式的公因式；提公因式分解因式的关键是正确找出各项的公因式，当一个多项式的公因式正确找出后，需要提取公因式，此时可以直接观察出提出公因式后剩下的另一个公因式；也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后，剩下的另一个因式.（3）公式法分解因式：平方差公式分解因式：a2－b2=(a+b)(a－b)，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.完全平方公式分解因式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.难点：1. 单项式与单项式相乘，应注意：（1）先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，即进行有理数的乘法运算，先确定积的符号，再计算绝对值；（2）相同字母相乘时，利用同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”；（3）对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数一起写在积里，注意不能漏掉这部分因式；（4）单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行；（5）单项式与单项式相乘的积仍是单项式，对于字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算；（6）对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍适用.2. 单项式与多项式相乘应注意：（1）单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，为了避免发生符号上的错误，计算时可以分为两步：先把“-”号放在括号外，把单项式与多项式相乘，然后去括号；（3）在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要进行合并.3. 多项式乘以多项式应注意：（1）运算时要按一定的顺序进行，防止漏项，积的项数在没有合并同类项之前，应是两个多项式项数的积；（2）多项式是几个单项式的和，每项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号；（3）运算结果有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列.4.乘法公式（1）运用完全平方公式时应注意：明确使用和的完全平方公式还是差的完全平方公式；分清公式中的a、b分别代表什么；结果是三项式，首尾两项分别是左边二项式的每一项的平方，中间项是左边两项的积的二倍，尤其是中间项的二倍不能忘记.（2）运用平方差公式时应注意：首先明确能否利用平方差公式计算（能利用平方差的标准是一个二项式是两数的和，另一个二项式是这两数的差，我们把符号相同的数看作是a，把符号相反的项看作是b）；结果是平方差，且两个数(项)的位置不能弄错；必须注意系数、指数的变化（3）灵活应用乘法公式首先必须做到心中牢记公式的“模样”，在此前提下再认真地对题目进行细致观察，想法设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模样”，然后就可以应用公式进行计算了，这里关键是要善“变”.5.因式分解（1）对因式分解结果的约定：a.与原多项式相等；b.为积的形式，即从整体上看，最后结果应是一些因式的乘积；c.每个因式都是整式；d.在指定数集里，每个多项式不能再分解.e.形式最简.（2）用提公因式法分解因式应注意：a.公因式要提尽；b.小心漏项，提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数应该相同；c.提取公因式后的多项式首项一般取正号；d.分解因式与整式的乘法是互逆的过程，所以可以用整式的乘法来验证因式分解的正确性；e.把含有相同字母的式子作为公因式提出来时，要特别注意统一式子中字母的顺序；f.提公因式要干净彻底，也就是说当把多项式提出公因式后，剩下的另一个因式中应该再不能提出公因式了.(3)使用公式法分解因式：如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式；如果多项式是三项，其中两项同号，且能写成两数的平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍，可以运用完全平方公式分解.有时多项式不能直接使用公式时，还可以适当将它们变形.(4)综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意: 1.如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解; 2.分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止; 3.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即：“一提”、“二套”、“三查”.特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.整合拓展创新类型之一、基本概念型例1 下列变形中哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法？ (1)8a 2b 3c=2a 2b ·2b 3·2c (2)3a 2+6a=3a(a+2)(3)x 2－21y=(x+y1)(x －y1)(4)x 2－4+3x=(x+2)(x －2)+3x (5)ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b) (6)(2a+5b)(2a －5b)=4a 2－25b 2【思路分析】因式分解必须是左边是多项式，右边整体是积，且每个因式都是整式，它与整式乘法是互逆的恒等变形.变式题 下列变形中，因式分解对不对？为什么？ (1)x 2y －xy 2=xy(x －y)(2)a 3－2ab+ab 2=a(a －b)2=a(a 2－2ab+b 2) (3)62ab －4ab 2+2ab=2ab(3a －2b) (4)4a 2－100=(2a+10)(2a －10) (5)a 2－b 2=(a －b)2提示： 第（2）题提取公因式a 后，括号里是a2-2b+b2，不是完全平方式；第（3）出现了漏项；第（4）题没有分解彻底，应先提取公因式4，再用平方差公式；第（5）题混淆了两个乘法公式.解：只有（1）是正确的.类型之二、基本运算型 1.整式乘法的运算例2 先规定一种运算：a ＊b=ab+a-b ，其中a 、b 为有理数，则a ＊b+（b-a ）＊b 等于（ ）A.a 2-b ；B.b 2-b ；C.b 2；D.b 2-a. 【点评】解决这类问题，理清题目意思是解题关键. 变式题 已知：A=2x 2+3xy-y 2，B=-21xy ，C=81x 3y 3-41x 2y 4.求：2AB 2-C.提示：直接代入计算，在复杂的式子计算中，先算乘方，再算多项式乘法，最后合并同类项例3 计算：（1）3（m+1）2-5（m+1）（m-1）+2（m-1）2（2）[（4x n+1-21y ）2+4y （x n-16y ）]÷8x 2.变式题 计算：（1）（a+b+c-d ）（a-b+c+d ）； （2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）.解：（1）观察运算符号，两多项式中a 、c 符号相同，b 、d 符号相反，因此可以把a 、c 结合在一起，看成一项，把b 、d 结合在一起，看成另一项，应用平方差公式计算.（2）经过观察1+4=2+3，因此将（x+1）（x+4）和（x+2）（x+3）先分别相乘，出现相同部分x 2+5x ，再视其为整体进行运算.2.因式分解例4 （1）分解因式:2x 2-18= ; (2) 分解因式:a 3-2a 2b+ab 2= ; (3) 分解因式:x 2-y 2+ax+ay= .【思路分析】(1)、(2)先提公因式，再用公式法；（3）要利用分组分解法.【点评】中考对因式分解的要求不太高，都以基本题为主.但有不少学生在解答第（1）、（2）题时常常在提公因式后就结束答题，从而失分.因此，在做因式分解时，最后一定要检验，使每个因式不能再分解才能结束.变式题 先阅读，再分解因式：x 4+4=（x 4+4x 2+4）-4x 2=（x 2+2）2-（2x ）2=（x 2+2x+2）（x 2-2x-2）. 仿照这种方法把多项式644＋x 分解因式.提示 仿照例题，运用添项、减项（配方），使其可以用平方差公式分解. 解：644＋x =（x 4+16x 2+64）-16x 2=（x 2+8）2-（4x ）2=（x 2+4x+8）（x 2-4x+8） 类型之三、基本应用型例5 若x 2－4x ＋y 2－10y ＋29=0，求x 2y 2＋2x 3y 2＋x 4y 2的值.【思路分析】一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性求出x 、y ，再化简所求代数式后代入求值.解：因为x 2－4x ＋y 2－10y ＋29=0，所以（x 2－4x+4）＋（y 2－10y ＋25）=0， （x-2）2+（y-5）2=0，所以x=2，y=5.x2y2＋2x3y2＋x4y2= x2y2（1+2x+x2）= （xy）2（1+x）2=（2×5）2×（1+2）2=900.【点评】利用因式分解，根据完全平方式的非负性是由一个方程解两个未知数的常用方法之一.变式题矩形的周长是28cm，两边长为x，y，若x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．提示把已知等式分解因式，利用矩形边长的非负性寻求解题途径.解：因为x3＋x2y－xy2－y3＝0，所以（x3＋x2y）－（xy2+y3）＝0，x2（x+y）－y2（x+y）=0，（x2－y2）（x+y）=0，（x+y）（x-y）（x+y）=0，（x+y）2（x-y）=0，又因为矩形的边长总是非负数，即（x+y）2＞0，所以有x-y=0，即x=y.而由矩形的周长是28cm得到x+y=14，所以x=y=7.矩形的面积为49C㎡.答：矩形的面积为49C㎡.例6 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.【思路分析】令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d),再对比系数求得m.解:设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+a cy2+(b+d)x+(a d+bc)y+bd.对比多项式的系数得由③，⑤两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.(1)当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，⑥(2)当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.⑦∴m=-18.【点评】本题实质考查了学生对待定系数法的理解与运用能力. 变式题 已知多项式2x 3-x 2+m 有一个因式(2x+1),求m 的值.解答： 由已知条件可以设2x 3-x 2+m=(2x+1)(x 2+a x+b),则2x 3-x 2+m=2x 3+(2a +1)x 2+ (a +2b)x+b.对比多项式系数可得类型之四、思想方法型 1.整体转化思想例7 a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，e 的绝对值是2，并且x=ｅ＋３ba 3+2cd+２１e 2，求9x 2+[x （4x-3）-2x （x-3）]的值.【思路分析】整体确定a+b 、cd 的值，进而得到x 的值，将求值式化简后再代入. 解：根据题意，a+b=0，cd=1，|e|=2，所以x=ｅ＋b a 33+2cd+２１e 2=ｅ）＋b a (3+2cd+２１e 2=e 03×+2×1+21×22=2+2=4.原式=9x 2+（4x 2-3x-2x 2+6x ）=11x 2+3x=11×42+4×3=6+12=188.【点评】本题综合性强，涉及到以前学过的互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，题目较复杂，但还是应依据先化简，再求值的原则.变式题 （1）已知（a+b ）2=144 ， (a-b)2=36, 求ab 与a 2 + b 2 的值. （2）设m 2+m-1=0，求m 3+2m 2+2004的值. 提示：本题在解题时要运用整体思想. 解：（1）已知（a+b ）2=144， (a-b)2=36,a2 +2ab+ b2=144，a2 -2ab+ b2=36，把ab 与a2 + b2分别看作是整体，两式相加得到2（a2 + b2）=180，即a2 + b2=90，两式相减，得到4ab=108，即ab=27.答：ab=27，a2 + b2=90.（2）∵m2+m-1=0，∴m2+m=1.∴m3+2m2+2004=m(m2+m)+m2+2004=m·1+m2+2004=m2+m+2004=1+2004=2005.答：m3+2m2+2004=2005.2.数形结合思想例8 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A.（a+b）（a-b）=a2-b2；B.（a+b）2=a2+2ab+b2；C.（a-b）2=a2-2ab+b2；D.（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2.a图2图1【思路分析】先写出图中面积的不同表达形式，再比较作出判断.解：原阴影部分的面积为a2-b2，移动后阴影部分的面积为（a+b）（a-b），因此有（a+b）（a-b）=（a-b）2，选A.【点评】从面积到乘法公式，从乘法公式到面积表达式，充分展示了数学里的“数”与“形”的和谐美.由“数”到“形”，有“形”到“数”，这样反复观察思考、操作运算，对提高我们对数学的认识，锻炼我们的数学思维是大有益处的.变式题（苏科版课课练P63 6）如图，利用图形因式分解：a2+7ab+12b2. Array提示：结合图形寻求答案.解：a2+7ab+12b2=（a+3b）（a+4b）.五、实践型1.思维实践型例9 多项式9x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是 .（填上一个你认为正确的即可）【思路分析】许多学生在解答此题时，由于受思维定势的影响，习惯于依据课本上的完全平方公式得9x 2+1+6x=（3x+1）2，或9x 2+1-6x=（3x-1）2，只要再动动脑筋，还可以得出：9x 2+1+481x 4=（29x 2+1）2，9x 2+1-1=（3x ）2，9x 2+1-9x 2=12.解：所加的单项式可以是±6x 或481x 4或-1或-9x 2.【点评】这是一个适度的开放题，对思维要求能力比较高.变式题 观察一组式子：32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，… 猜想一下，第n 个式子是 .提示： 通过观察几个具体的等式，而抽象出一般规律，本题可以通过变形产生平方差，再反复用平方差公式得解.解：观察已知式子，可知每个等式左边第二项的底数与右边的结果的底数为相邻的两个连续整数，变形可得52-42=32，132-122=52，252-242=72，412-402=92，…且有关系5=2×1×（1+1）+1，13=2×2×（2+1）+1，25=2×3×（3+1）+1，41=2×4×（4+1）+1，…从而第n 个式子中右边的底数为2n （n+1）+1，因此有：[2n ·（n+1）+1]2-[2n （n+1）]2={[2n ·（n+1）+1]+[2n （n+1）]}{[2n （n+1）+1]-[2n （n+1）]}=4n 2+4n+1=（2n+1）2.故第n 个式子为（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=（2n 2+2n+1）2. 2.动手实践型例10 现有足够的2×2，3 ×3的正方形和2×3的矩形图片A 、B 、C （如图），先从中各选取若干个图片拼成不同的图形，请你在下面给出的方格纸（每个小正方形的边长均为1）中，按下列要求画出一种拼法的示意图（要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠，画图时必须保留作图痕迹）.（1）选取A 型、B 型两种图片各1块，C 型图片2块，拼成一个正方形；（2）选取A型图片4块、B型图片1块，C型图片4块，拼成一个正方形；（3）选取A型图片3块、B型图片1块，再选取若干块C型图片，拼成一个矩形.【思路分析】按常规思路是用画图（或实物图片）尝试去拼接，这样费时费力，效率低.若设A形纸片的边长是a，B型纸片的边长为b（b＞a），则C型纸片的长为b、宽为a，抓住“拼接前后面积不变”这一条件，运用因式分解，可使解题目标的实施更明确，过程更简明.如（1）因拼接前后的总面积不变是a2+b2+2ab，分解因式得（a+b）2，则所拼接正方形边长为a+b.可拼接如图1所示的草图（注：没在提供的方格图中画）.（2）由拼接前后的面积是4a2+b2+4ab，分解因式得（2a+b）2，则所拼接正方形边长为2a+b.可拼接如图2所示的草图.（3）拼接图形面积为3a2+b2+（）ab，（）为整数，能够拼接为某一图，则其必能分解，结合因式分解，知b2+4ab+3a2=（b+a）（b+3a），即选4张C型纸片即可拼接成一矩形，由分解因式的特点，可拼出如图3的草图.变式题（苏科版课课练P63 6）已知3种形状的长方形和正方形纸片（如图1）：用它们拼成一个长为（3a+2b）、宽为（a+b）的长方形，各需多少块？并画出图形.提示：根据拼接前后面积不变知道长方形的面积为（3a+2b ）（a+b ）=3a 2+5ab+2b 2，显然需要A 正方形纸片3张、B 正方形纸片2张、C 长方形纸片5张，共10张纸片.解：需要A 正方形纸片3张、B 正方形纸片2张、C 长方形纸片5张，共10张纸片. 画图如图2所示. 中考名题欣赏1.计算：（-1-2a ）（2a-1）= ； 化简：（21m+n ）（m-2n ）= .解：（1）方法1：（-1-2a ）（2a-1）=-2a+1-4a 2+2a=1-4a 2；方法2：（-1-2a ）（2a-1）=-（2a+1）（2a-1）=-（4a 2-1）=1-4a 2； 方法3：（-1-2a ）（2a-1）=（-1-2a ）（-1+2a ）=（-1）2-（2a ）2=1-4a 2. （2）方法1：原式=21m 2-mn+mn-2n 2=21m 2-2n 2；方法2：原式=21（m+2n ）（m-2n ）=21（m 2-4n 2）=21m 2-2n 2； 方法3：原式=2（21m+n ）（21m-n ）=2（41m 2-n 2）=21m 2-2n 2.【点评】该题考查乘法的基本运算和灵活运用乘法公式的能力，可以按多项式乘多项式的法则进行，也可以通过适当变形巧用乘法公式来简化计算.【方法技巧】对多项式进行适当变形，可达到运用乘法公式来简捷解题的目的.中考中对整式乘法知识的考查难度不大，但很灵活，在解题时我们一定要透过现象看本质，抓住特点，创造性地解题.2.（1）把代数式xy 2-9x 分解因式，结果正确的是（ ） A.x （y 2-9） B.x （y+3）2 C.x （y+3）（y-3） D.x （y+9）（y-9）（2）把代数式a 3+ab 2-2a 2b 分解因式的结果是 . 解：（1）xy 2-9x=x （y 2-9）= x （y+3）（y-3），故选C ； （2）原式=a （a 2+b 2-2ab ）=a （a 2-2ab+b 2）=a （a-b ）2.【点评】该题既考查因式分解的概念，又考查因式分解的方法，先提公因式，再根据项数确定应用什么公式.在中考中，对因式分解的考查一般以填空题、选择题的形式出现，比较容易，但失分率却比较高，主要是对因式分解的概念模糊，分解不彻底所致.如第（1）题，不少考生可能选A ，第（2）题误填a （a 2+b 2-2ab ）.3. （1）如图1是一个正方形与一个直角三角形所组成的图形，则该图形的面积为 （ ）A.m 2+21mn B.２－ｍ２mn c.２＋ｍ２mn D.２＋ｎｍ２２（2）三种不同类型的矩形地砖长宽如图2所示若先有A 类4块，B 类4块，C 类2块，要拼成一个正方形，则应多余出一块 型地砖；这样的地砖拼法表示了一个两数和的平方的几何意义，这个两数和的平方是 .解：（1）S=m 2+21·m ·（n-m ）=m 2+21mn-21m 2=２＋ｍ２mn ，选C ；（2）通过动手操作可得如图3（答案不唯一），易知多了一块C 型地砖，其面积为（2m+n ）2或4m 2+4mn+n 2.因此，依次填入C ，（2m+n ）2= 4m 2+4mn+n 2.【点评】第（1）题可分别求出正方形和直角三角形的面积，再求和；第（2）题可通过动手操作，摆出图形来寻求答案. 该题考查学生数形结合的能力以及对单项式乘以多项式和乘法公式——完全平方公式的理解和掌握.利用几何的面积法与代数的计算法相结合，考查了学生的数形结合的能力，提升了难度，更体现了新课标的基本理念.4.老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华又接着写出了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，……（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性.解：（1）写出两个正确的算式，如：32-12=8×1，72-32=8×5等等； （2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数；（3）证明：设m 、n 为两个整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1， 则（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n ）（m+n+1）.当m 、n 同是奇数或偶数时，m-n 一定为偶数，所以4（m-n ）一定是8的倍数；当m 、n 一奇一偶时，则m+n+1一定是偶数，所以4（m+n-1）一定是8的倍数.所以，任意两奇数的平方差是8的倍数.（说明：规律说成是：“两奇数的平方差是4的倍数”且证明正确也可得满分，如果证明中加设m ＞n 的条件，不扣分）.【点评】这是一则探索规律题，等式左边是两个奇数的平方差，（大数减小数），右边是8的倍数.【方法技巧】解决探索规律题，要认真观察已给的等式和自己写出的等式，充分联想已有的知识，大胆猜想相应的结论，再进行严密推理说明，即认真观察，广泛联想，大胆猜测，小心论证.5.化简：（2x-1）2-（3x-1）（3x-1）+5x （x-1），再选一个你喜欢的数代替x 求值. 解：分别用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式的法则进行计算，再去括号，合并同类项.原式=4x 2-4x+1-（9x 2-1）+5x 2-5x=4x 2-4x+1-9x 2+1+5x 2-5x=-9x+2. 取一个x 值，代入求值即可.取x=0，则原式=2.【点评】这是一道自编自解题，先化简，后取一个x 值代入求值，但取x 值既要使原代数式有意义，又要使计算简捷方便.6.物资调运是国民经济的重要问题，安排得当可以为国家节省大量资金和物力，下面是一个车床调运的实例.北京与上海分别制造同种型号的车床10台和6台，这些车床计划分配到武汉和西安两地，运送一台车床的费用（单位：元）如下图1所示，如果北京发往武汉x 台，上海发往西安y 台，求总运费.图1解：作出如图2的网络图，并标上相关的数据，由图易知总运费W=500x+400（10-x ）+950y+700（6-y）=100x+250y+8200（元）（答略）.【点评】这是一道实际应用题，先从题目中（特别是表格中）提取相关信息，借助于整式运算的知识来解答.这里运用“词、数、图、式”一体化的解题思路，架起“示意图”这座桥梁，达到解决数学问题的目的.这种方法将数化形，其优越性在于直观、形象，是将具体问题抽象为数学模型的一种普遍使用的方法.章内专题阅读如何用乘法公式？乘法公式是初一代数的重要内容，对今后学习数学影响很大.也是中考考查的重要知识点.本文介绍如何使用乘法公式.1.直接用例1 计算（3x2+y）（3x2-y）分析本题符合平方差公式的结构特征，其中3x2相当于公式中的a、y相当于公式中的b，故可直接使用平方差公式.解原式=（3x2）2-y2=9x4-y2.2.连续用例2计算（x+1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）（x-1）.分析按顺序直接计算量很大，把最后一个因式放到前面，则可连续使用平方差公式.解原式=（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）=（x2-1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）=（x4-1）（x4+1）（x8+1）=（x8-1）（x8+1）= x16-1.3.整体用例3计算2)y-（新教案9.4（3）例4变式题）x-(z32分析将x-3y看成一个整体，原式可用完全平方公式计算.解原式=[（x-3y）-2z]2=（x-3y）2-4（3x-y）z+4z2=x2-6xy+9y2-12x+4y+4z2.4.逆向用例4 求证：无论x为何值，代数式4x2-12x+2都不小于-7.分析乘法公式是恒等式，必要时可逆向使用.本题配方后用完全平方式的非负性判断原式的取值范围.解 原式=（4x 2-12x+9）-7=（2x-3）2-7， 因为（2x-3）2≥0，所以 原式=（2x-3）2-7≥-7. 5.变序用例5 计算22)32()32(-+x x分析 先用积的乘方化为[（2x+3）（2x-3）]2，对用平方差公式，再用平方公式计算，改变运算顺序，要比先用完全平方公式将（2x+3）2、（2x-3）2展开后再计算要简便得多.解 原式=[（2x+3）（2x-3）]2=（4x 2-9）2=16x 4-72x 2+81.6.凑项用例6 计算（5+4）（52+42）（54+44）（58+48）…（5256+4256）分析 直接计算显然太麻烦.注意到从第二个因式开始每个因式的前项（或后项）都是前一个因式的前项（或后项）的平方，如果式子的开头能使用平方差公式，则后面就能反复循环使用.而式子的开头没有（5-4）这一因式，因此必然要拼凑因式（5-4）.7.裂项用例7已知a 2-2a+b 2+4b+5=0，求(a+b)2005的值. （新教案9.6（2）例3）分析 一个方程两个未知数一般是不能确定其解的.但本题中的条件可通过裂项、分组、配方后求出a 、b 的值.8.搭配用例8 求证（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）+16是完全平方式.分析 考察四个因式有序变化的结构特征，可让它们“均衡”搭配.即一、四两个因式与二、三两个因式分别搭配运算后，把得到的其中某一个因式看成一个整体再作恒等变形.9.消元用例9 已知实数x、y、Z满足z2=xy+y-9，x+y=5，求（x+z）-y.分析条件z2=xy+y-9是三个未知量的复杂关系，可通过x+y=5消元，化为二个未知量的关系，实现“减肥瘦身”.解 x=5-y，所以z2=（5-y）y+y-9，所以（y2-6y+9）+z2=0，所以（y-3）2+z2=0，解得y=3，z=0，所以x=2，故.（x+z）-y=（2+0）-3= 18.。
初中初一数学下册《从面积到乘法公式》教案、教学设计
3.学生在数学学习中，对于数形结合的思想和方法还不够熟悉，需要通过具体实例和操作来培养。
4.学生在解决问题的过程中，可能存在依赖机械计算、缺乏逻辑推理的现象，需要加强引导和训练。
5.学生在情感态度上，对新鲜事物充满好奇心，但学习毅力不足，容易在遇到困难时产生挫败感。
要求：认真审题，规范计算，检查答案，确保作业质量。
2.实践应用题：结合生活实际，设计一道与面积相关的实际问题，运用本节课所学的乘法公式进行解答。
要求：问题设计要具有实际意义，解答过程要清晰，展现乘法公式的应用。
3.提高拓展题：选取一道具有挑战性的面积问题，运用数形结合的思想，探索解题方法。
要求：勇于尝试，善于思考，注重逻辑推理，培养解决问题的能力。
教学设想：
1.创设情境，激发兴趣
-通过引入生活实例，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。
-设计有趣的数学游戏，让学生在游戏中体验数学的魅力，提高学习积极性。
2.突破重点，化解难点
-采用直观的教具和动态演示，帮助学生形象地理解面积公式和乘法公式。
-通过典型例题的分析，引导学生发现乘法公式与面积之间的联系，培养学生的逻辑推理能力。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组选择一个或多个面积问题进行讨论，共同探讨如何运用乘法公式解决这些问题。
2.交流分享：各小组向全班展示讨论成果，分享解题思路和经验，其他同学可提出疑问或建议，共同提高。
3.教师点评：对各小组的表现进行点评，强调解题过程中的注意事项，纠正错误，引导学生总结解题方法。
2.能够运用乘法公式进行简便计算，提高运算速度和准确性。
七年级数学下册第9章从面积到乘法公式9.4乘法公式(3)教案苏科版(2021年整理)
江苏省扬州市高邮市车逻镇七年级数学下册第9章从面积到乘法公式9.4 乘法公式（3）教案（新版）苏科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省扬州市高邮市车逻镇七年级数学下册第9章从面积到乘法公式9.4 乘法公式（3）教案（新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课题：9.4 乘法公式（3）教学目标:1．进一步熟练掌握乘法公式,能灵活运用公式进行混合运算和化简;2．在应用公式的过程中，感受整体思想．教学重点：理解单项式相乘的法则，会进行单项式的乘法运算．教学重点:正确熟练地运用乘法公式进行混合运算和化简．教学难点:准确地判断并运用合适的乘法公式,构造“整体”的方法解决问题．．教学方法：教学过程：一.【情景创设】计算：（1）)3)(3(-+x x ； (2))32)(32(-+x x ；（3))2)(2(a b b a -+; (4)2)3(b a -二。
【问题探究】问题1:例题讲解例1 计算：(1）()()()9332++-x x x ； （2）()()223232-+x x ；(3)()()()2322b a a b b a ---+．问题2例2 课本P79练一练第3题问题3如何计算()2c b a +-？问题4 (1）()[]()[]z y x z y x -+++ (2）()()44-+++y x y x(3）()()44--++y x y x （4)()()44-++-y x y x三【变式拓展】问题51。
苏科版七下《乘法公式》word教案4篇
9.4 乘法公式（一）一、教学目标1.会推导完全平方公式、平方差公式，并能正确运用公式进行简单计算.2.通过图形面积的计算，感受乘法公式的直观解释，了解公式的几何背景.3.在探索公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.4.培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现的科学精神，以及合作交流的能力和创新的意识.二、教学重点、难点正确运用公式进行相关的计算三、教具准备：自制长方形、正方形纸板 四、教学过程 情境创设学生利用准备好的长方形、正方形纸板（图1），拼成一个大正方形（图2）. a（1） （2）通过这样的拼图过程，你能发现什么吗探索活动 做一做问题一：你是如何表示图（2）中大正方形的面积的？问题二：你能利用多项式乘法法则推导公式2222)(b ab a b a ++=+吗？结论：得到完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+问题三：你能够不通过计算直接写出2222)(b ab a b a +-=-？结论：得到完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±想一想你能仿照上面的过程，得到平方差公式：22))((b a b a b a -=-+（可通过计算图形的面积和多项式的乘法来说明.）试一试：1.计算（1）2)2(+x （2）2)2(-x （3）)2)(2(-+x x （4）2)52(+a （5）2)52(--a 练一练（1）))()((22y x y x y x ++- （2）1)12)(12)(12)(12(842+++++ 3.计算（1）21.10 （2）2999练一练（1）98102⨯ （2）19952005⨯ 小结（1） 分别说出完全平方公式、平方差公式的特征（2） 在式子bd ad bc ac d c b a +++=++))((中当a 、b 、c 、d 满足什么关系时，由它可得到乘法公式？作业：P80练一练1、2、3、49.4 乘法公式课 题：9.4 乘法公式（第1课时） 课 型：新授型教学目标：(1) 探索并推导完全平方公式、平方差公式，并能运用公式进行简单的计算； (2) 引导学生感受转化的数学思想以及知识间的内在联系. 教学重点：完全平方公式；平方差公式教学难点：正确的应用完全平方公式、平方差公式进行计算 教学方法：探索、引导法b a教具准备：三角尺、投影仪 a 教学设想：−→−一. 情景创设 b如右图：你能通过不同的方法计算大正方形的面积吗？ 从而你发现了什么？ 二. 探索活动问题一：如何用字母表示上图中大正方形的面积？ 生： 将上图看成一个大正方形，则面积为 2)(b a +.师：很好，还有没有其它的方法呢？生：可将上图看成是由两个小长方形和两个小正方形组成的图形，那么它的面积为2a2babab222b ab a ++.师：两种方法都求出了大正方形的面积，从而我们可以发现什么呢？ 生：2)(b a +=222b ab a ++ 这个公式就叫做一个完全平方公式.问题二：你能用多项式的乘法法则推导公式2)(b a +=222b ab a ++吗？ 生：2)(b a +=))((b a b a ++=22b ba ab a +++=222b ab a ++ 师：很好，你能用同样的方法计算2)(b a -吗？生：222222))(()(b ab a b ba ab a b a b a b a +-=---=--=- 即：2222)(b ab a b a +-=-，这是我们要学习的另一个完全平方公式. 完全平方公式：2)(b a +222b ab a ++=2222)(b ab a b a +-=-师：你能用文字语言叙述这两个公式吗？问题三：你能仿照上面的过程，完成对平方差公式的推导吗？ 引导学生完成“试一试”中的平方差公式的推导. 平方差公式：22))((b a b a b a -=-+问题四：你知道乘法公式中的字母都可以代表什么吗？可分小组进行讨论，然后选一名代表回答.师再评议.三. 例题教学例 利用完全平方公式或平方差公式计算： ⑴2)2(+x ⑵)2)(2(-+x x ⑶2)(b a - ⑷2998⑸998102⨯ 解：略练一练：80p 1,2,3,4题四. 想一想⑴ 观察完全平方公式、平方差公式有什么特征？⑵在式子))((d c b a ++bd ad bc ac +++=中，当d c b a ,,,满足什么条件时，由它能得到完全平方公式，满足什么条件时能得到平方差公式？五. 小结这一节课你学到了什么？让学生试着小结，师再评议.六. 作业布置：1.8382-p 1，2，32.补充：.用乘法公式计算：（1）21001 （2） )3)(3(x x -+ （3）2)3(a - （4）10892⨯ 板书设计乘法公式（一）1.完全平方公式 ： 3.例题教学2.平方差公式： 4.小结： 八.教后记：9.4乘法公式(2)课 题：9.4乘法公式(2)教学目标:通过图形面积的计算,感受乘法公式的直观解释. 教学重点:乘法公式的运用. 教学难点:灵活运用乘法公式 教学过程设想一.复习提问:叙述乘法公式的内容：2)(b a +=2a +2ab+2b2)(b a -=2a -2ab+2b(a+b )(a-b)=2a -2b学生回答，师板书. 二.情境创设让学生画一个正方形，再在其边上取3条线段c b a ,,,根据此图求是多少？ 生：把)(b a +作为整体，得2)(c b a ++[]2)(c b a ++=把)(c a +作为整体，得2)(c b a ++[]2)(b c a ++=把)(c b +作为整体，得2)(c b a ++[]2)(c b a ++=三.学习例2.用乘法公式计算： ⑴2)35(p +⑵2)72(y x - ⑶2)52(--a ⑷)5)(5(b a b a -+直接用公式进行计算和上面公式进行对照和哪一个相似？a b cb第⑶题让学生先比较2)52(--a 与2)52(+a 的异同，并判断它们的值是否相等？ 练一练 P.82.1. 学生板演，师小结. 四.学习例⒊计算：⑴)9)(3)(3(2++-x x x ⑵22)32()32(-+x x ⑶)4)(4(++-+y x y x思考：(1)如果先将第一、三项先乘进行比较，哪一种简便？(2)可否先运用完全平方公式再先乘，和例题进行比较哪一种简便？练一练 P.82.2 .3 .4 . 学生板演，师小结. 五．思维拓展回到开头，你能计算2)(c b a ++？ 学生回答，师板书 六．巩固提高观察下式，你会发现什么规律？ 3⨯5=15 而15=24-15⨯7=35 而35=26-1 …11⨯13=143 而143=212-1…请你将猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来.板书设计：2)(b a +=2a +2ab+2b 2)(c b a ++=2a +2b +2c +2ab+2bc+2ac 2)(b a -=2a -2ab+2b 例题2(a+b)(a-b)=2a -2b 例题39.4 乘法公式(二)一、教学目标：1.通过拼图探索计算2)(c b a ++的公式，并推导这个公式.2.进一步巩固完全平方公式和平方差公式，并会用乘法公式化简某些代数式. 二、教学重、难点： 如何灵活运用乘法公式 三、教学过程： 情境创设请同学们用准备好了的正方形和长方形纸板拼图，拼成如图所示的大正方形.问：通过这样的拼图过程，你能发现什么吗？ 探索活动 做一做问题一：你是如何表示图中大正方形的面积的问题二：你能用2222)(b ab a b a ++=+推导2)(c b a ++吗？ 结论：得到公式ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++小试牛刀计算（1）2)432(c b a ++ （2）2)23(z y x --例题教学 例1. 计算（1）2)35(p + （2）2)72(y x - （3）)9)(3)(3(2++-x x x （4）22)32()32(+-x x （5）)4)(4(++-+y x y x 练一练（1）22)10()10(+-x x （2）))((2222n mn m n mn m +-++（3）22)33()33(--+aa （4）)3)(3()3(2y x y x y x +--+例2. 若,4,922-==+xy y x 求（1）2)(y x + （1）2)(y x -例3. 求代数式)(5)3()2(22n m m n m n m -+--+的值，其中51,101==n m . 小结（3） 说说完全平方公式、平方差公式的特征（4） 把b a +看成""x ，就可以用完全平方公式计算2)(c b a ++，运用这种转化的思想，你能计算3)(b a +、4)(b a +吗？作业P82习题9.4第1，4（2）、（4）、（6），6题。
城北中学初一数学下期末复习教学案《从面积到乘法公式》
城北初级中学七年级（下）数学期末复习教案从面积到乘法公式［基础训练］1 计算（1） (-x)5·(xy)2·x 3y （2）(2a 2b 3)3·(-3a 2b)2·172abc（3）(-ab+2)(ab+2)（4）(4m-3)2+(4m+3)(4m-3)（5）(3x-4y)2-(3x+4y)2-xy（6）(x-2y+4)(x+2y-4)2 因式分解（1）(a+b)2－2(a+b)（2）a(x －y)+b(y －x)+c(x －y)（3）(x+2)2－9（4）4(a+b)2－9(a －b)2（5）x 3－25x ；（6）x 2y 2－1［典型例题］1 计算（1）223(12)2(31)x x x x x -+-+（2）22a -a(2a-5b)-b(5a-b)（3）)2)(2(z y x z y x ++-+- （4）（a+2b －3c ）（a －2b+3c ）（5）)12()12)(12)(12(242+⋅⋅⋅+++n2因式分解 （1）4x 4－4x 3＋x 2； （2）ab ＋a ＋b ＋1（3）()()()2x —22—2—x 1—x ； （4）()22222b a 9—b ab a ++3 解答题（1）已知a 2-2a+b 2+4b+5=0，求(a+b)2005的值。
（2）已知m 、n 为自然数，且m(m －n)－n (n －m)=7，求m 、n 的值。
（3）已知a 、b 、c 分别为三角形的三条边，求证：0bc 2c b a222<---（4）若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，试判断△ABC 的形状。
［当堂检测］1： 填空（1）若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m = ； （2）已知(a+b)2=7，(a —b)2=3，则ab= ；（3）若x 2+mx+1是完全平方式，则m= ；（4）已知2249x mxy y -+是关于,x y 的完全平方式，则m = ；（5）若二项式4m 2+1加上一个单项式后是一含m 的完全平方式，则单项式为 ；（6）若m 2+n 2－6n ＋4m ＋13＝０，则m 2－n 2 =_________；（7）若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ； （8）若1,2=-=-c a b a ,则=-+--22)()2(a c c b a ；（9）若,x x 09612=+-那么x2= ； （10）已知2m ＝x ，43m ＝y ，用含有字母x 的代数式表示y ，则y ＝_____________。
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9.4乘法公式（2）—平方差公式（1）班级姓名
【学习目标】
1.能说出平方差公式及其结构特征；
2.能正确的运用平方差公式进行计算。
【重点难点】能够熟练掌握平方差公式并进行相关计算。
【课前预习】
1、复习旧知
(1)(3x+2)(2x-1)= ________________ (2)(3a+2b)(b-2a)=____________ （3）(3x+2)2=____________ （4）(a-3b)2=
【自学导学】1尝试新知
⑴ (x+1)(x-1)=______ ; ⑵ (m+2)(m-2)=__________ ;
⑶ (2x+3)(2x-3)=______ (4)(a+2b)(a-2b)= ____________
观察上述算式，等号左边有什么规律？
观察计算结果, 你又发现了什么规律？
你能用字母表示出你的发现吗？
2、你能证明上式的正确性吗？你能给上式起个名字吗？
（a+b）(a-b)=_______ =____________
此公式你能用文字语言表示吗？
___________________________________
3.将右图剪开并拼成一个长方形，计算这两个图形
的面积。
图（1）阴影部分面积为
图（2）阴影部分面积为
易得：(a+b)(a-b)=
【展示交流】
4、（1）)1)(1(x x -+ = ( )2-( )2= （2）(-3+a)(-3-a) = ( )2-( )2=
（3）( 1+a)( -1+a) = ( )2-( )2= （4）=+-)3.01)(13.0(x x ( )2-( )2=
讨论1 使用平方差公式的条件是什么？结果是什么？
5、下列各题能用公式计算吗，如果能请口答结果：如果不能请说明理由。
(l)(-a+b)(a+b)=_______(2)(a-b)(b+a)=________(3)(-a-b)(-a+b)=______
(4)(a-b)(-a-b)= _______(5)(a+b)(-a-b)=________(6)(a-b)(-a+b)=_______
6、判断对错，并说明错误的缘由.
（1）()()2
2422b a a b b a -=-+ （ ） （2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x （ ） （3）()()22933y x y x y x -=+-- （ ） （4）()()22422y x y x y x -=+--- （ ）
（5）()()6322
-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ） 讨论2 使用平方差公式步骤是什么？
【巩固提高】
例1：利用平方差公式计算（1）(3x-2 )( 3x+2 ) （2）（x+2y)(x-2y)
（3) (b+2a)(2a －b ） (4) (-x+2y)(-x-2y ）
例2：平方差公式的应用:计算① 10.2×9.8;（2）(x+y)(x-y)(x 2+y 2
)
【小结反思】
这节课你学会了什么？
【课堂检测】
1、填空
（1）(a+2b)(a-2b)=( )2-( )2=
（2）(2a+ )(2a- )=42b 91
4a -
2、在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A 、(x+3)(3+x)
B 、(a+b 21)(a b 21
-) C 、(-x+y)(x-y)
D 、(a 2-b)(a+b 2) 3、下列各式中,计算结果为x 2-16y 2的是( )
A.(x+2y)(x-8y)
B.(x+y)(x-16y)
C.(-4y+x)(4y+x)
D.(-x-4y)(x+4y)
4、利用平方差公式计算
(1) (-ab+2)(ab+2) (2)(3m 3-n)(3m 3+n) （3）99×101
5大显身手
(1) (x+2)(x-2)(x 2+4) (2) (x+2y+4)(x+2y-4)
（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⎪⎭⎫
⎝⎛+b a b a 21
31
21
31 （4）()()
x x 2525-+-
6. 求()()()22y x y x y x +-+的值，其中2,5==y x。