二次函数图象与字母系数的关系

3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1 是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③
3 a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两 2
点，则y1>y2.其中正确的是（
A．①②③ C．①②④ B．①③④ D．②③④
B ）
y
O x=-1
2 x
1
y
y
1
y
1
x
O B
Biblioteka Baidu
x
O C
x
O D
1
x
10.同一坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx² +2x+2(m是 常数，且m≠0)的图象可能是（ D ）
y x x y x y x y x
A
B
C
D
14.抛物线y＝ax2＋bx＋c中，b＝4a，它的图 象如图，有以下结论正确的为（ ） ： ①c＜0；②a＋b＋c＞0;③a-b+c＞0; ④b2－4ac＜0 ;⑤abc＜0; ⑥4a＞c；
y 1 o x
-1
1
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，并且对 称轴为直线x=1,那么abc，b2－4ac，2a＋b， a＋b＋c 这四个代数式中，值为正数的有 ( C ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
x=1
3.已知二次函数y ax bx c的图像如图，
2
下列结论：（） 1 abc 0 (3)4a 2b c 0 其中正确的有几个？
范例研讨运用新知
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的
增大而减小，则实数b的取值范围是（
A．b≥－1 C．b≥1 B．b≤－1 D．b≤1
D ）
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴 右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的 值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直 b 2 b， 线x=1的左侧而抛物线y=－x ＋2bx＋c的对称轴 x 2 (1) 即b≤1，故选择D .
a2___ ＞ 0 b2___ ＜ 0
＝ 0 c2___
O 对称轴在y轴
x
开口向上，a＞0
左侧，x＜0
b1 x ＜0 2a1
对称轴在y轴 右侧，x＞0
b2 x ＞0 2a2
b3 y x 2a3
b4 x 2a4
a3___ ＜ 0 ＝ 0 b3___
＞ 0 c3___
＜ 0 a4___ ＞ 0 b4___ ＜ 0 c4___
c=0 经过原点
c＞0
c＜0
正 与y轴交于_____半轴 负 与y轴交于_____半轴
问题2
二次函数 y ax2 bx c 的图象如下图所示，
x b1 2a1
请根据二次函数的性质填空：
y
x b2 2a2
x=0时，y=c.
a1 ___ ＞ 0 b1___ ＞ 0
＞ 0 c1___
1.已知二次函数y=ax² +bx+c，如果a＞0， b＜0，c＜0，那么这个函数图象的顶点 必在（ D ） A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
2.如图所示，二次函数y=ax² +bx+c的图 象满足（ A ） A.a>0，b>0 ，b2-4ac>0 B.a<0，c>0 ，b2-4ac>0 C.a>0，b<0 ，b2-4ac>0 y D.a>0，c<0 ，b2-4ac<0
-3
A
B
C
D
8.在同一直角坐标系中,二次函数 2 y=ax +bx+c与一次函数y=ax+c的大致 图象可能是（ C ）
y
o x o
y
x o
y
x o
y
x
A
B
C
D
9.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c，如 果 a>b>c ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，则它的 D 图象可能是图所示的( )
y O A
• 15.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象 如图所示，则下列结论：①a，b同号；② 当x=1和x=3时，函数值相同；③4a＋b=0; ④当y=－2时，x的值只能取0；其中正确的 个数是（ B ） A．1 B．2 C．3 D．4
15.(达州中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图 象的一部分，对称轴是直线x=1.①b2＞4ac； 2 ②4a-2b+c＜0；③不等式ax +bx+c＞0的解 集是x≥3.5；④若(-2，y1)，(5，y2)是抛物线 上的两点，则y1＜y2.上述4个 判断中，正确的 是( B) • A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④
x=0时， y=c.
O
x
开口向下，a＜0 对称轴是y轴，
x=0
对称轴在y轴 右侧，x＞0
b1 x =0 2a1
b2 x ＞0 2a2
1.关于抛物线与a、b、c以及b² -4ac的符号关系： (1)开口方向由a决定； (2)对称轴位置由a、b决定，“左同右异”： 对称轴在y轴左侧时，a、b同号， 对称轴在y轴右侧时，a、b异号； (3)与y轴的交点由c决定，“上正下负”， c为0时图象经过原点. (4)抛物线y=ax² +bx+c与x轴的交点由b² -4ac决定： ①当b² -4ac＞0时，与x轴有两个不同交点； ②当b² -4ac=0时，与x轴只有一个交点（顶点在x 轴上） ； ③当b² -4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；
二次函数 图象与字母系数的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号
a ＞0
图象的特征
开口_____________________ 向上
a ＜0
b=0
向下 开口_____________________ y 轴 对称轴为_____
左 侧 a、b同号 对称轴在y轴的____ 右 侧 a、b异号 对称轴在y轴的____
(2)2a b 0
(4)(a c) 2 b 2
(6)判断 2a+b与2a-b 的正负经常 由对称轴与 ±1的关系 决定；
7.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、 四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图 象是 ( C )
y o x o -3 y x o -3 y x o -3 y x
16.(黔东南中考)如图，已知二次函数 2 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列4个 结论：①abc<0；②b<a+c；③4a+2b+c>0； 2 ④b -4ac>0.其中正确的结论有( ) B ①②③ • A. B.①②④ C.①③④ D.②③④
• 17.(烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部 分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴 为直线x=2.下列结论： • ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0； ④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大. • 其中正确的结论有(B) • A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
o
x
3.已知二次函数y=ax² +bx+c的图象如
三 象 图所示，则点P(a,bc)在第____ y 限.
o
x
5.二次函数y=ax² +bx+c(a≠0)的图象
如图所示，对称轴是直线x=1，则 下列四个结论错误的是（ D ） A.c>0 B.2a+b=0 C.b2-4ac>0 D.a-b+c>0
(5)抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的 正负： （1，a+b+c）, （-1，a-b+c）, （2，4a+2b+c）, （-2，4a-2b+c）, (6)判断2a+b与2a-b的正负经常由对称轴与±1的 关系决定；
已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象， 判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下 列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④ (a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( ) D A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在 y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限 可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－ 1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．