泛函分析第4章 内积空间
理解泛函分析学习泛函分析的基本概念和方法
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理解泛函分析学习泛函分析的基本概念和方法泛函分析是数学中的一个重要分支,它研究的是函数的集合和函数间的映射关系。
泛函分析的基本概念和方法对于理解和应用许多数学分支和应用科学领域都具有重要意义。
本文将介绍泛函分析的基本概念和方法,帮助读者更好地理解和学习泛函分析。
1. 范数和内积空间泛函分析的基本概念之一是范数和内积。
范数是定义在线性空间上的一种函数,用来度量空间中的向量的大小。
内积是定义在内积空间上的一种函数,用来度量空间中向量之间的夹角和长度。
了解范数和内积的定义和性质是学习泛函分析的基础。
2. 巴拿赫空间巴拿赫空间是泛函分析中的一个重要概念,它是一个完备的赋范线性空间。
完备性意味着空间中的柯西序列在该空间中有极限。
了解巴拿赫空间的定义和性质对于理解泛函分析的相关定理和方法至关重要。
3. 可分性和正交性可分性是指线性空间中存在可数的稠密子集。
泛函分析中的许多定理和方法依赖于对可分空间的研究。
正交性是指内积空间中存在满足正交关系的向量组。
正交性在泛函分析中有重要应用,如勾股定理和傅里叶级数展开等。
4. 对偶空间和弱收敛对偶空间是泛函分析中的一个重要概念,它是一个原空间的线性函数全体构成的线性空间。
对偶空间的研究对于理解泛函分析的双重性质及其在数学和物理问题中的应用具有重要意义。
弱收敛是指序列在对偶空间中的收敛性质。
了解对偶空间和弱收敛的定义和性质有助于掌握泛函分析中的重要思想和方法。
5. 紧算子和谱理论紧算子是泛函分析中的一个重要概念,它是一种在巴拿赫空间中有紧性的线性算子。
紧算子在泛函分析和泛函微分方程等领域的研究中具有重要应用。
谱理论研究的是算子的谱结构及其与算子性质的关系。
理解紧算子和谱理论对于深入理解泛函分析的相关概念和方法非常重要。
6. 泛函分析的应用领域泛函分析作为数学中的一个重要分支,在许多领域都有广泛的应用,包括数学分析、微分方程、优化理论、量子力学等。
了解泛函分析在不同领域的应用,可以帮助读者更好地理解泛函分析的实际意义,并将其应用于实际问题的研究和解决中。
内积空间schwarz不等式
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一、概述内积空间是数学分析中的重要概念,它对于函数空间中的内积、范数等性质起到了至关重要的作用。
在内积空间中,Schwarz不等式是一条极为重要的不等式,它具有广泛的应用,不仅在数学分析中有着重要意义,还在物理学、工程学等领域有着重要的应用。
二、内积空间1. 内积空间的定义内积空间是一个向量空间,其中定义了一个内积运算。
对于向量空间V中任意两个元素x和y,内积运算满足线性、对称、正定性三条性质。
2. 内积空间的例子实数空间R^n和复数空间C^n都是内积空间的例子。
在R^n和C^n 中,内积运算定义为向量的点积或内积。
3. 内积空间的性质内积空间的范数由内积定义,满足范数的性质,如三角不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
三、Schwarz不等式1. 基本形式对于内积空间V中的任意两个元素x和y,Schwarz不等式表示为|〈x,y〉|<= ‖x‖‖y‖。
2. 证明Schwarz不等式的证明可以通过多种方法,最基础的是使用Cauchy-Schwarz不等式,也可以通过线性代数的方法和实分析的方法进行证明。
3. 应用Schwarz不等式在实际问题中有着广泛的应用,如在概率论中的卡尔曼滤波器、信号处理中的最小二乘法、泛函分析中的逼近理论等领域均有应用。
四、Schwarz不等式的推广1. Bessel不等式Bessel不等式是Schwarz不等式的推广,它涉及到内积空间的正交基的概念。
对于内积空间V中的正交基{e_1,e_2,…,e_n}以及向量x∈V,Bessel不等式表示为∑_(i=1)^n |〈x, e_i〉| ^2 <= ‖x‖^2。
2. Hölder不等式Hölder不等式是Schwarz不等式的另一种推广,它是一种关于积分的不等式,涉及到Lp空间和Lq空间中函数的积分。
3. Minkowski不等式Minkowski不等式是Schwarz不等式的另一种推广,它是一种关于向量空间中范数的不等式,涉及到向量的加法和范数的性质。
泛函分析第4章内积空间
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泛函分析第4章内积空间第四章介绍的是内积空间,是泛函分析中非常重要的一个概念。
内积空间是在向量空间上赋予了内积运算的结构,它将几何空间的概念引入到向量空间中,从而使得我们能够定义向量的长度、角度等几何概念。
在内积空间中,我们首先需要定义内积的概念。
内积是一个数学结构,它将两个向量映射到一个实数上。
在内积空间中,内积满足一系列性质,如线性性、对称性和正定性等,这些性质保证了内积的合理性和实用性。
比如,线性性保证了内积对于向量的加法和标量乘法是线性的,对称性保证了内积的对换性质。
通过内积,我们能够定义向量的长度和角度。
向量的长度可以通过内积定义一个标准,即向量与自身的内积的平方根。
这个定义与我们熟悉的欧氏几何空间中的向量长度一致。
而向量的角度可以通过内积定义出余弦值,从而表示两个向量之间的夹角。
这个定义使得我们能够对向量的方向进行描述。
内积空间还引入了正交的概念。
在内积空间中,两个向量相互垂直时称为正交。
正交向量在几何空间中有很重要的应用,比如可以作为一组基底,并且正交向量之间的内积为零,这使得我们能够对向量进行分解和投影等操作。
内积空间还引入了内积的连续性概念。
通过内积的连续性,我们可以定义向量的极限、收敛等概念。
这使得内积空间成为了一个完备的空间,即任何一个柯西序列都存在一个极限。
内积空间是泛函分析中非常有用的一个概念。
它不仅能够将几何概念应用到向量空间中,还能够定义向量的长度和角度等概念,从而使得向量空间具有了更强的几何性质。
在泛函分析中,内积空间是研究函数空间、傅里叶变换等问题的基础。
因此,对于内积空间的理解和掌握是非常重要的。
总之,第四章介绍的内积空间是泛函分析中非常重要的一个概念。
它通过引入内积的概念,使得向量空间具有了几何性质,定义了向量的长度、角度等几何概念。
内积空间是泛函分析中非常有用的一个工具,对于研究函数空间、傅里叶变换等问题具有重要的意义。
因此,对于内积空间的理解和掌握是泛函分析学习的重点。
泛函分析:内积空间介绍(一)
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泛函分析:内积空间介绍(一)展开全文今天没有遇见什么有意思的题,所以没有戏精上身了,哈哈!emm,我是个正经人,哪来那么多戏?内积空间介绍现在我们在拓扑结构和线性结构上加上几何结构-内积!内积空间和Hibert空间简介定义:设为实 (或复)数域上的线性空间. 若中任意一对元素恒对应于中一个数, 记为 , 满足 :(i) ;(ii) , 这里 ;(iii) 当为实数域时, ; 当为复数域时, , ;(iv) , 且的充分必要条件是 ,那么称为实 (或复) 内积空间, 简称为内积空间, 称为元素与的内积.下边有一些关于内积的简单性质,我们只对三角不等式和柯西不等式进行证明:1.当时:关于两个变元都是线性的.而当时:关于第一变元线性,第二变元共轭线性.由内积我们可以诱导出范数(体现几何结构和拓扑、线性结构的兼容性):我们要验证他满足内积的正定型;齐次性;三角不等式.(我们只验证三角不等式并证明柯西不等式.)柯西不等式:证明:取,简单演算即可得证.有了柯西不等式我们便可以证明三角不等式:2.下边的性质将进一步体现几何结构和拓扑、线性结构的相容性:是关于的二元连续函数(依范数收敛):3.极化恒等式:当为实数域时,当为复数域时,在内积空间中,如果我们不做声明,所用的范数均为由内积诱导的范数.定义如果内积空间作为赋范线性空间是完备的,则称为希尔伯特( Hilbert) 空间. 若不完备, 则称为准希尔伯特空间.下边我们看几个完备的Hilbert空间的例子:欧式空间/酉空间:有限维空间的代表:设,定义内积为:不难验证,他满足内积的四条公理,而这个空间也正是我们高等代数研究的主要对象之一.和空间:可分Hilbert空间的代表设,定义内积:因为都在中,所以定义合理.而且由内积诱导的范数和我们常用的2-范数相同.类似的也可以合理定义.内积空间的特征前边我们说了由内积可以诱导出范数,那么给定了由内积诱导的范数,我们能够推出内积是什么吗?这个问题揭示了内积空间的特征也就是怎么由范数体现他的几何结构?下边回答这个问题!定理:设是内积空间,则由的内积导出的范数满足其中是中任意两个元素. 反之,设是赋范线性空间 ,如果的范数满足等式. 则在中可以定义内积使成为内积空间,且的范数就是由内积导出.我们将上边的不等式成为平行四边形公式或者中线公式.:如果是内积空间,且是由定义内积诱导的范数,则我们很容易就算出了下列恒等式.:如果诱导的范数满足上述不等式,则我们定义的内积一定是我们只需要验证他是不是满足内积的四条公理即可.(这个证明在第四版书籍的96面,颇具技巧性,但是并不是那么重要,大家可以自己查看书籍.)Hilbert空间的正交系现在我们进入内积空间中最重要的概念之一:正交(或者是垂直.)(提问:为什么我们在赋范线性空间中没有谈及这个概念?)我们在赋范线性空间中已经看到了有了基的Banach空间性质会比较良好,易于分析,而在内积空间中,具有正交性质的基将会给我们带来更加优良的性质.定义设为内积空间, . 若 , 则称与正交,记为 . 设是的一个子集, . 若与内的任一元素正交,则称与正交, 记为 . 设也是的一个子集,如果对任意的以及任意的 , 有 , 则称与正交,记为中所有与正交的元素构成的集称为的正交补, 记为 .先来看看他的一些性质:1.勾股定理:如果两两正交,那么就有:2.设,那么是一个线性空间,是的一个闭子空间.线性空间比较容易说明,我们说它是一个闭子空间:因为对任意的中的序列,有:3.如果是的稠子集,且,那么就有:.在中可以找到,由于内积的连续性:所以接下来,我们要进入本小节的大定理:内积空间的正交分解!我们先叙述定理:定理:设是希尔伯特空间的闭子空间,则对中任一元素 ,有下列唯一的正交分解:其中称为在中的正交投影.为了证明这个定理,我们需要一个引理在支撑:定义:设是内积空间的一个子集, 为给定的元素. 如果中存在元素使得则称是在中的一个最佳逼近元.一个简单的问题自然而然的就会问出来:的存在性?是不是一定会存在这样的一个元素使得等于后者?一般的集合上我们可能做不到.但读者可以尝试思考一下什么集合上可以做到?比如:紧集!但是紧集实在是一个很好的东西,一般来说不太容易做到,我们降低要求-凸闭集!仍设是的一个子集,如果对任意的以及满足的任一实数 , 元素仍属于 , 则称是 U 中的凸集. 如果是既凸且闭的集,则称是中的凸闭集.凸集,事实上是一个十分重要的概念,在应用中用到的贼广,有兴趣的读者可以在凸优化和调和分析中查到关于凸函数和凸集的一些应用,这里只提一个最基本的推论或者等价定义(后边会在相关习题中多提两嘴):定理:设是实线性空间的一个凸子集. 若属于 , 则形如的每个都属于 .这个定理该怎么证明的?提示:数学归纳法-回顾Jesen不等式的证明!好的,现在我们开始证明在闭凸集中,的存在性!定理:设是希尔伯特空间中的凸闭集,则中的任一元素在中存在唯一的最佳逼近元.存在性:因为下确界的定义,我们知道可以找到一列使得:因为是凸集,因此在中,,所以:利用平行四边形公式可以得到:当时,可以得到,因此时中的柯西列,其极限记为,由于是闭集,所以.因此:因此结论得证.再证唯一性:假设有两个.那么:所以整个定理得证.现在动手证明大定理:空间分解.首先我们思考:其中,想一想,这个怎么取?(前面花了那么多功夫证明最佳逼近元,现在难道不用吗?)当然取最佳逼近元了!那么自然就可以取.问题来了:是凸闭集吗?是否在中.第一个问题:由于是闭子空间(线性性),自然是凸闭集.第二个问题就是我们这个定理主要需要证明的问题:我们现在证明确实在中,即对于任意的都有:记, 由于 ,于是对任一实(或复)数及任一元素 , 有 , 故取 , 并注意到 , 得到于是显然只有当时,上式才能成立.综合我们的叙述结论得证.纪念一下!Nice!。
泛函分析各空间关系
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泛函分析各空间关系泛函分析是数学中重要的分支领域,研究函数空间及其上的映射。
这个领域有广泛的应用,包括偏微分方程、优化理论、概率论等。
在泛函分析中,各种函数空间之间的关系是非常重要的。
在泛函分析中,最基本的函数空间是赋范空间。
赋范空间是一个线性空间,其中定义了范数函数,满足一定的性质,例如正定性、齐次性和三角不等式。
泛函分析中的很多理论都是基于赋范空间展开的。
赋范空间的一种特殊情况是内积空间。
内积空间是一个赋范空间,其中定义了一个内积函数,满足一定的性质,例如对称性、正定性和线性性。
内积空间中的内积可以用来定义距离和角度的概念。
对于一个内积空间,我们可以考虑它的完备性。
一个完备的内积空间称为希尔伯特空间。
希尔伯特空间是泛函分析中非常重要的一个概念,很多泛函分析中的理论和方法都是基于希尔伯特空间展开的。
在泛函分析中,我们还可以考虑范数空间。
范数空间是一个线性空间,其中定义了范数函数,满足一定的性质,例如正定性、齐次性和三角不等式。
范数可以用来衡量向量的大小。
对于一个范数空间,我们可以考虑它的完备性。
一个完备的范数空间称为巴拿赫空间。
巴拿赫空间是泛函分析中非常重要的一个概念,很多泛函分析中的理论和方法都是基于巴拿赫空间展开的。
在泛函分析中,还有一些特殊的函数空间,例如$L^p$空间和$C^k$空间。
$L^p$空间是一个范数空间,其中定义了一种范数函数,满足一定的性质,例如正定性、齐次性和三角不等式。
$L^p$空间中的元素是可测函数,范数可以用来衡量这些可测函数的大小。
$C^k$空间是一个范数空间,其中定义了一种范数函数,满足一定的性质,范数可以用来衡量这些连续可微函数的大小。
除了上述的函数空间,泛函分析还研究了一些其他的函数空间,例如分布空间和索伯列夫空间。
分布空间是一个线性空间,其中定义了一个针对测试函数的线性泛函,可以用来描述分布的性质。
索伯列夫空间是一个半范数空间,其中定义了一种半范数函数,满足一定的性质,可以用来衡量这些分布的大小。
泛函分析
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浅议对Hilbert空间的学习摘要:本文在由正交概念得到勾股定理、正交投影定理的基础上,将这些概念抽象推广到一般的赋范线性空间,建立了内积空间和Hilbert空间,并对Hilbert空间进行了进一步的研究。
关键字:内积空间;Hilbert空间;正交分解;投影定理1引言在数学领域,希尔伯特空间又叫完备的内积空间,是有限维欧几里得空间的一个推广,使之不局限于实的情形和有限的维数,但又不失完备性(而不像一般的欧几里得空间那样破坏了完备性)。
[1]2 内积空间和Hilbert空间2.1内积空间2.1.1 内积空间的定义:设X是数域F(实或复数域)上的线性空间,若,存在唯一的数,满足下列三条(内积公理):i) 对第一变元的线性性质:ii) 共轭对称性:iii) 正定性:则称为x和y的内积,X为内积空间。
当F是实数域时,称X为实内积空间;F为复数域时,称X为复内积空间。
通常X指的是复内积空间。
当X为内积空间时,对有:i)ii)2.1.2内积空间的性质2.1.2.1 在内积空间U中,按内积导出的范数满足平行四边形公式证明:2.1.2.2判别定理若赋范线性空间X的范数满足平行四边形公式,则X可成为内积空间。
证明:①当X为实赋范线性空间时,定义则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理;②当X为复赋范线性空间时,定义则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
注:若赋范线性空间X的范数不满足平行四边形公式,则X不能成为内积空间。
2.1.2.3内积的连续性在内积空间U中,内积是两个变元的连函数,即当(按范数)时,数列。
2.2 希尔伯特(Hilbert)空间定义:完备的内积空间X称为Hilbert空间,记作H.(即内积空间X按距离是完备的,亦是Banach空间)。
此空间称为是一个希尔伯特空间,如果其对于这个范数来说是完备的。
这里的完备性是指,任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素,即它们与某个元素的范数差的极限为0。
泛函分析第4章内积空间
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第四章 积空间在第三章中,我们把n 维Euclid 空间n R 中的向量的模长推广到一般线性空间中去,得到了赋线性空间的概念。
但在n R 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。
这对仅有模长概念的赋线性空间是做不到的。
我们知道,n R 中向量的夹角是通过向量的积描述的,因此在本章我们引入了一般的积空间的概念。
4.1 积空间的基本概念首先回忆几何空间3R 中向量积的概念。
设123(,,)x t t t =,123(,,)y s s s R =∈,设x 与y 夹角为ϕ,由解析几何知识可得112233cos t s t s t s x yϕ++=⋅其中, 13221()k k x t ==∑,13221()k k y s ==∑令31,k k k x y t s ==∑,称为x 与y 的积,不难证明它有如下性质:(1)3,0,,,0;x y x R x x x θ≥∀∈=⇔=且 (2)3,,,,;x y y x x y R =∀∈(3)3121212,,,,,,;x x y x y x y x x y R +=+∀∈ (4)3,,,,,.x y x y R x y R λλλ=∀∈∀∈注:由定义可得x =我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。
现在我们引入一般的积空间的概念。
【定义 4.1】 设X 为数域F 上线性空间,若对任两个元素(向量)x ,y X ∈,有惟一F 中数与之对应,记为,x y ,并且满足如下性质:(1),0,,,0;x y x X x x x θ≥∀∈=⇔=且 (2),,,,;x y y x x y X =∀∈(3)121212,,,,,,;x x y x y x y x x y X +=+∀∈ (4),,,,,;x y x y F x y X λλλ=∀∈∀∈则称,x y 为x 与y 的积,有了积的线性空间叫做积空间,当F 为实数域R (或复数域C ),叫X 为实(或复)积空间。
泛函中四大空间
![泛函中四大空间](https://img.taocdn.com/s3/m/4829ef2111661ed9ad51f01dc281e53a5802514f.png)
泛函中四大空间的认识第一部分我们将讨论线性空间,在线性空间的基础上引入长度和距离的概念,进而建立了赋范线性空间和度量空间。
在线性空间中赋以“范数”,然后在范数的基础上导出距离,即赋范线性空间,完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
范数可以看出长度,赋范线性空间相当于定义了长度的空间,所有的赋范线性空间都是距离空间。
在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限,但是只有距离结构、没有代数结构的空间,在应用过程中受到限制。
赋范线性空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物,较距离空间有很大的优越性。
赋范线性空间是其中每个向量赋予了范数的线性空间,而且由范数诱导出的拓扑结构与代数结构具有自然的联系。
完备的赋范线性空间是Banach 空间。
赋范线性空间的性质类似于熟悉的n R ,但相比于距离空间,赋范线性空间在结构上更接近于n R 。
赋范线性空间就是在线性空间中,给向量赋予范数,即规定了向量的长度,而没有给出向量的夹角。
在内积空间中,向量不仅有长度,两个向量之间还有夹角。
特别是定义了正交的概念,有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。
任何内积空间都赋范线性空间,但赋范线性空间未必是内积空间。
距离空间和赋范线性空间在不同程度上都具有类似于n R 的空间结构。
事实上,n R 上还具有向量的内积,利用内积可以定义向量的模和向量的正交。
但是在一般的赋范线性空间中没有定义内积,因此不能定义向量的正交。
内积空间实际上是定义了内积的线性空间。
在内积空间上不仅可以利用内积导出一个范数,还可以利用内积定义向量的正交,从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关的性质。
Hilbert 空间是完备的内积空间。
与一般的Banach 空间相比较,Hilbert 空间上的理论更加丰富、更加细致。
1 线性空间(1)定义:设X 是非空集合,K 是数域,X 称为数域上K 上的线性空间,若,x y X ∀∈,都有唯一的一个元素z X ∈与之对应,称为x y 与的和,记作z x y =+,x X K α∀∈∈,都会有唯一的一个元素u X ∈与之对应,称为x α与的积,记作u x α=且,,x y z X ∀∈,,K αβ∈,上述的加法与数乘运算,满足下列8条运算规律:10 x y y x +=+20 ()()x y z x y z ++=++30 在X 中存在零元素θ,使得x X ∀∈,有x x θ+=40 x X ∀∈,存在负元素x X ∀-∈,使得()x x θ+-=50 1x x ⋅=60 ()()x x αβαβ=70 ()+x x x αβαβ+=80 ()x y x y ααα+=+当K R =时,称X 为实线性空间;当K C =时,称X 为复线性空间(2)维数:10 设X 为线性空间,12,,,n x x x X ∈ 若不存在全为0的数12,,,n K ααα∈ ,使得11220n n x x x ααα+++=则称向量组12,,,n x x x 是线性相关的,否则称为线性无关。
内积空间
![内积空间](https://img.taocdn.com/s3/m/6fa34e13c5da50e2534d7f07.png)
内积空间(2012-06-17 20:13:58)▼内积空间内积的几何解释在数学上,内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。
这个额外的结构叫做内积或标量积。
这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来,允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”,并进一步谈论矢量的正交性。
内积空间由欧几里得空间抽象而来(内积是点积的抽象),这是泛函分析讨论的课题。
关于内积空间的例子,请参看希尔伯特空间。
内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space),因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。
在早期的著作中,内积空间被称作酉空间,但这个词现在已经被淘汰了。
在将内积空间称为酉空间的著作中,“内积空间”常指任意维(可数/不可数)的欧几里德空间。
定义下文中的数量域F是实数域或复数域。
域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式,称作内积(F是[[实数域]]时,内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式):满足以下公理:•共轭对称;这个设定蕴含着对于所有, 因为.(共轭也写成加星号:,如同共轭转置。
)•对第一个元素是线性算子;由前两条可以得到:因此实际上是一个半双线性形式。
•非负性:(这样就定义了对于所有。
说明内积是从点积抽象而来。
)•非退化:从V到对偶空间V*的映射:是同构映射。
在有限维的矢量空间中,只需要验证它是单射。
当且仅当。
因此,内积空间是一个Hermitian形式。
V满足可加性:对所有的,,如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。
共轭双线性变成了一般的双线性。
备注。
多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的,本文接受这种约定。
很多物理学家接受相反的约定。
这种改变是非实质性的,但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接,现在也偶尔被数学家使用。
某些作者接受约定< , > 在第一个分量是线性的而< | > 在第二个分量上是线性的,尽管不普遍。
小波分析之泛函分析赋范内积空间
![小波分析之泛函分析赋范内积空间](https://img.taocdn.com/s3/m/69dbdf6b763231126edb117d.png)
内积空间的性质
定理 设 X 为内积空间,u1,u2, ,un X ,
格拉姆(Gram)矩阵
(u1,u1) (u2,u1) (un ,u1)
G
(u1 (u1
, u2
, un
) )
(u2 ,u2 )
}有界。(证明从略)
• 此定理又称为一致有界定理.
• 共鸣定理的意义即:对于线性算子序列,若 代入每一个值都有界,则有界线性算子序
列本身有界。
有界线性算子空间
定理: • 可逆有界线性算子的逆算子仍是线性算子. • 有限维赋范线性空间的一切线性算子都有
界(连续).
泛函
当算子的像集为实(或复)数域时,称算 子为泛函.
设Tn,T∈B(X, X1) (n=1,2,…) • 若||Tn-T||→0,称Tn按算子范数收敛于T
(或称Tn一致收敛于T),记为Tn 一致T.
• 若对于任意的x,均有||Tnx-Tx||→0,则
称Tn强收敛于T ,记为 Tn 强 T.
算子的不同收敛方式
设Tn,T∈B(X, X) (n=1,2,…) • 若对每个x∈X及X上的任一有界线 性泛函f,都有 f(Tnx) f(x), 则称 算子序列弱收敛于T ,记为
L(p[fa,,gb)]上 的距离f 为(x)
g(x)
p
dx
1
p
.
[a,b]
其特例为L[a,b] , L2[a,b].
Lp[a,b]的距离与范数
Lp[a,b]上的距离
( f , g)
1p
f (x) g(x) p dx .
[a,b]
泛函分析第四章
![泛函分析第四章](https://img.taocdn.com/s3/m/63110a45e518964bcf847cfe.png)
定义:设H 是数域上的线性空间,对任意的 x , y H,有
一个中数 x , y 与之对应,满足:x , y , z H ,α ,有 1) x , x 0; x , x 0 x 0;
2) x , y y, x ;
2 k
.
1 2
定理:设H 是内积空间,则 x , y 是x , y的连续函数.
证:由Schwarz不等式
xn , yn x, y xn , yn x, yn x, yn x, y
xn x , yn x , yn y
1 取 , 有 n
即
1 f 1 nf , n
1 1 f f 1 . n n n 即对任何正有理数 , 有 m n n f f 1 . m m
f 0 f 2 0 2 f 0 ,
又因
故 f 0 0. 由f f f 0 0可知 f f .
证:x , y H , 则对任意的λ ,
x λ y , x λ y
( x, x ) λ ( x, y ) λ ( y, x ) λ ( y, y ) 0.
2
( x, y) 设y 0, 取λ ,代入上式,得 ( y, y )
2 ( x, y) ( x, y) ( x, x) 0. ( y, y ) ( y, y )
y, x .
3
x, z y, z
1 2 2 2 2 x z x z i x iz i x iz 4 1 2 2 2 2 y z y z i y iz i y iz 4
数学考研泛函分析重点复习
![数学考研泛函分析重点复习](https://img.taocdn.com/s3/m/43d8de4fe97101f69e3143323968011ca300f7b7.png)
数学考研泛函分析重点复习泛函分析是数学中的一个重要分支,广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
对于数学考研来说,泛函分析是一个重要的考点,考生需要充分理解泛函分析的概念和定理,并能够熟练运用相关的数学工具和方法。
本文将重点介绍数学考研泛函分析的复习内容,以帮助考生们取得好的考试成绩。
一、范数空间和内积空间范数空间和内积空间是泛函分析的基础概念,考生需要了解其定义和性质。
范数空间是一个线性空间,配备了一个范数函数,满足非负性、齐次性和三角不等式等性质。
内积空间是一个线性空间,配备了一个内积函数,满足对称性、线性性和正定性等性质。
在复习中,考生需要掌握范数空间和内积空间的典型例子,如欧氏空间、连续函数空间和离散函数空间等。
此外,还需要了解不同范数之间的关系,如等价范数和共轭空间等概念。
二、线性算子和算子的谱线性算子是泛函分析中的重要概念,它是一个从一个线性空间到另一个线性空间的映射。
考生需要了解线性算子的定义和性质,包括线性性、有界性和紧性等方面。
此外,还需要学习算子的特征值和特征向量的概念,以及线性算子的谱半径和谱半径公式等内容。
在复习中,考生需要重点掌握线性算子的几个典型例子,如恒等算子、零算子和正规算子等。
此外,还需要了解算子的谱分解定理和函数解析表示定理等重要定理。
三、泛函分析的基本定理泛函分析中有一些重要的基本定理,这些定理被广泛应用于实际问题的求解中。
在复习中,考生需要重点学习这些基本定理的内容和证明过程。
其中,哈尔滨预测系数定理是泛函分析中的经典定理之一,它是关于具有最佳逼近性质的问题。
考生需要了解哈尔滨预测系数定理的条件和结论,并能够应用该定理解决具体问题。
此外,邓庄子定理和泛函分析的反射原理也是泛函分析中的重要定理。
考生需要了解这两个定理的内容和证明过程,并能够应用于实际问题的求解中。
四、弱收敛和弱*收敛弱收敛和弱*收敛是泛函分析中的重要概念,用于描述函数序列或算子序列的收敛性质。
泛函分析:内积空间介绍(二)
![泛函分析:内积空间介绍(二)](https://img.taocdn.com/s3/m/b45e5b1530126edb6f1aff00bed5b9f3f90f722c.png)
泛函分析:内积空间介绍(二)可分希尔伯特空间的同构因为想把这个证明按照自然的想法写出来,因此采取的是先把问题找出来,最后来解决问题,而非采用书本的先把所有定理列出来,等到证明的时候再用,因此有些部分处理的可能不够好。
因为老师上课时候主要在听思想,老师也主要展现的是思想所有有些细节有问题欢迎大家指出!and在这里说一句,我没有任何数学分析的答案....有类似需求的同学就不要再问我了!续:泛函分析:内积空间介绍(一)有了基的概念,你最想做的事情是什么?我想应该是像有限维空间一样将任何一个元素都用基表示吧?不管你怎么想,反正我是这样想的.想一想,有限维空间怎么用基表示空间中的一个元素?我们以中的一组标准正交基为例:简单证明一下:俩边同时对做内积发现是相等的,所以左右两边和任何一个元素做内积都相等,记右边为所以:那么自然的一个想法就是对于无限维空间,如果他有一组标准正交基的话,我们能否做类似的事情?那么一个自然的问题就是无限维空间中的标准正交基怎么定义?定义:设为内积空间中的元素系,满足则称是中的一个规范正交系. 对任一元素 , 称为关于的第个傅里叶 ( J. B. Fourier ) 系数, 简称为傅里叶系数. 而称为关于的傅里叶系数集.简单来说这个定义就是:正交+单位化.而一般的在中的规范正交系我们都是熟知的.定义了规范正交基还没有达到我们的目的,因为他是否是一组基?这自然就成了问题.怎么解决这个问题呢?或者说什么样的希尔伯特空间才有基呢?我们无法对该问题做一个完美的回答,但是我们知道的是任何可分的希尔伯特空间都有一组规范正交系且是该空间的一组基.(这个问题我们暂时留在这里,不加证明,因为他会在我们证明可分希尔伯特空间的同构中体现.)引入了规范正交系后我们可以对无限维希尔伯特空间有更深的认识。
或者说是人类的终极追求之一,就是建立大一统!即:定义每一个实(或复) 可分希尔伯特空间必与实(或复)空间等距同构, 因此所有实(或复) 可分希尔伯特空间彼此等距同构.在证明无限维的情况前,我们不妨先看看有限维的情况:我们已经证明了任何两个有限维赋范线性空间是拓扑同构的,进一步我们可以证明他们等距同构.方法还是一样的:即构造映射将基映为基:设都是有限维希尔伯特空间(n维,都是数域上的线性空间),他们的基分别维:,我们构造映射:不难证明这是一个等距映射.受此思路,我们也类似证明无限维的情形,而我们将映射写的更加紧凑些,首先我们在中找一组规范正交系,很显然这组基就是对应的等等,但是我们既然要把基映为基,那么就必须要找到一般可分希尔伯特空间的一组规范正交系(问题1},然后我们可以证明这就是的一组基(问题2),我们类似有限维可以构造映射,证明是双射(单射和满射问题3和4),再证明是等距的(问题5).完成了上述内容后,我们就证明了该定理.上述所列出的五个问题就是我们会遇到的麻烦.我们一个个证明!第一个问题:怎样在空间中构造一组规范正交系?-当然是欧式空间构造正交基的推广:史密斯正交化!因为可分,所以我们存在一可列稠子集.首先:我们随便在找一非零向量,进行标准化:,然后继续,,正交化:,如果,这意味着和平行,我们重新找,由于是稠子集的性质,我们自然可以可数无穷做下去,于是就得到了一组规范正交系:,我们简记为.可以证明:第二个问题:这组规范正交系是否是的一组基?在有限维的时候,我们知道如果有一组基,那么任意的向量都可以由表示,在无限维中是否也如此呢?如果是的话,那么就应该有如下表达式:不难发现,左右两边和做内积都是相等的,因此该问题等价于:如果对任意的都有,是否有.即对任意的,如果.接下来是构造映射了:我们从到构造映射:(如果问题二所述成立那么映射映为如此.)这个映射构造合理吗?即在空间中吗?只需要验证:即可. 此时我们需要一个引理:引理设是内积空间中的一个规范正交系,则对任意的 , 不等式成立,此不等式称为贝塞尔不等式.既然:在中(如果第二个问题答案能得到肯定.),那么贝塞尔不等式成立,因此映射定义合理.第三个问题:是单射.这个比较容易因为如果:那么只能是,自然.第四个问题:是满射. 这要证明对于任意的,都存在使得:记,我们证明这是一个柯西列,且极限是即可.柯西列:由于,所以自然当时,有,所以是柯西列,又因为完备,因此收敛到.又因为.且收敛到,因此有:因此第五个问题:是否为等距?如果满射最后的问题是正确的那么自然就是等距映射.因为对于任何的,都有:如果第四问所述成立,那么因此是等距的.所以问题的关键在于证明:如果对任意的都有,是否又.即对任意的,如果.如果上述论断成立,则称是完全的.另外我们再给一个定义:定义我们将该等式称为帕塞瓦尔恒等式.如果对任意的,都有则称是完备的.的定义都在上文分析中体现.然而我们发现以下几条定理是等价的:1.是完备的;2.对中任一元素 , 级数在中收敛于 , 于是有 ;3.对中任意两个元素 , 有右边的级数绝对收敛. 4. 是完全的;证明:,如果派塞瓦尔恒等式成立,那么就有:两边同时对取极限便可以得到:.设为中的任意两个元素. 令并注意到的正交性,我们有由(2)再由内积的连续性,由贝塞尔不等式可知右边级数绝对收敛.:因为可以表示任何一个元素,而如果与任何一个做内积为0的话,那么:所以.. 任给 , 由贝塞尔不等式 . 由满射证明的分析可知, 存在使为关于的傅里叶系数集,且注意到也是关于的傅里叶系数, 故关于的傅里叶系数满足 , 由中的假设可知, . 因此(1) 成立. 证毕.其中(1)在证明满射时已经证得,因此同构定理成立.下边给出几条推论:1.当为内积空间时,1、2、3仍等价;2.内积空间存在完备正交系,则可分.3.使帕塞瓦尔恒等式成立的元素唯一.4.任何可分内积空间都存在完备正交基.5.泛函分析:目录●泛函分析基础:度量空间(一):度量空间的结构●度量空间(二):度量空间的中的点集(上)●泛函分析:度量空间中的点集(二)●泛函分析:度量空间中的映射●泛函分析:赋范线性空间空间介绍●泛函分析:内积空间介绍(一)。
小波分析之泛函分析赋范内积空间
![小波分析之泛函分析赋范内积空间](https://img.taocdn.com/s3/m/09a6c0834128915f804d2b160b4e767f5acf808f.png)
小波分析之泛函分析赋范内积空间小波分析是一种强大的信号处理和数据分析工具,它结合了时域和频域的特性,能够提供更全面和准确的信号描述。
小波分析中最基本的概念之一就是小波函数,而小波函数是在赋范内积空间中的泛函分析概念的基础上定义的。
赋范内积空间是泛函分析的一个重要概念,它是一个实数或复数的向量空间,同时具有内积和范数的性质。
具体来说,一个赋范内积空间是一个实数或复数的向量空间V,其中定义了一个从VxV到实数或复数的映射,即内积<,>。
这个映射满足线性性、对称性和正定性的性质。
同时,在赋范内积空间中还定义了一个范数,用来度量向量的大小,范数满足非负性、齐次性和三角不等式的性质。
在小波分析中,小波函数通常定义在赋范内积空间上,而赋范内积空间的性质使得小波函数能够更好地描述信号的特征。
首先,赋范内积空间的内积性质能够度量不同信号之间的相似度。
通过计算信号与小波函数的内积,可以得到信号在小波函数上的投影,从而了解信号的频域特征。
此外,赋范内积空间的范数性质可以度量信号的能量,并用于信号的归一化和去噪等操作。
赋范内积空间还提供了一组完备的正交基函数,这些基函数可以用来表示赋范内积空间中的任意向量。
在小波分析中,小波函数通常被选为具有局部性质和频域特征的函数,这些函数构成了小波基函数。
小波基函数具有多尺度和多分辨率的特点,能够提供不同频率和时间分辨率的信号分析能力。
总之,小波分析是在赋范内积空间中的泛函分析概念的基础上发展起来的一种信号处理和数据分析工具。
赋范内积空间的内积和范数性质使得小波函数能够更好地描述信号的特征,提供了信号分析、数据处理和模式识别等方面的重要工具和方法。
通过对赋范内积空间和小波分析的深入理解,我们可以更好地应用小波分析来解决实际问题。
泛函分析简介
![泛函分析简介](https://img.taocdn.com/s3/m/5cb4ea69cdbff121dd36a32d7375a417866fc10e.png)
泛函分析简介泛函分析是数学中的一个重要分支,它研究的对象是函数的空间,而不仅仅是函数本身。
泛函分析在数学理论研究和实际问题求解中都有着广泛的应用。
本文将简要介绍泛函分析的基本概念、重要定理以及其在现代数学和物理学中的应用。
泛函分析的基本概念包括向量空间、内积空间、赋范空间和希尔伯特空间等。
在泛函分析中,向量空间是最基本的概念之一。
向量空间是指一个集合,其中的元素称为向量,满足一定的运算规则,比如加法和数乘。
内积空间是在向量空间的基础上引入了内积的概念,内积可以衡量向量之间的夹角和长度。
赋范空间是在向量空间的基础上引入了范数的概念,范数可以衡量向量的大小。
希尔伯特空间是一个完备的内积空间,其中的每一个柯西序列都收敛于空间中的一个元素。
泛函分析中的重要定理包括巴拿赫空间定理、霍尔德不等式、开映射定理、闭图像定理等。
巴拿赫空间定理是泛函分析中的一个基本定理,它指出了完备赋范空间的闭单位球是紧的。
霍尔德不等式是用来估计函数的导数和函数本身之间的关系的一个重要不等式。
开映射定理和闭图像定理则是关于线性算子的性质和映射的性质的重要定理。
泛函分析在现代数学和物理学中有着广泛的应用。
在数学中,泛函分析被广泛运用于偏微分方程、概率论、调和分析等领域。
在物理学中,泛函分析被广泛运用于量子力学、热力学、电磁学等领域。
泛函分析的理论不仅为这些领域提供了重要的数学工具,而且深刻影响了这些领域的发展。
总之,泛函分析作为数学中的一个重要分支,其基本概念和重要定理为研究者提供了丰富的数学工具和理论支持。
泛函分析在数学和物理学中有着广泛的应用,对于理解和解决实际问题具有重要意义。
希望本文的简要介绍能够帮助读者更好地理解泛函分析的基本概念和重要定理,以及其在现代数学和物理学中的应用。
泛函分析第4章 内积空间
![泛函分析第4章 内积空间](https://img.taocdn.com/s3/m/6449e0a1767f5acfa0c7cd4a.png)
第四章 内积空间之杨若古兰创作在第三章中,我们把n 维Euclid 空间n R 中的向量的模长推广到普通线性空间中去,得到了赋范线性空间的概念.但在n R 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的成绩.这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的.我们晓得,n R 中向量的夹角是通过向量的内积描述的,是以在本章我们引入了普通的内积空间的概念. 4.1 内积空间的基本概念首先回忆几何空间3R 中向量内积的概念.设123(,,)x t t t =,123(,,)y s s s R =∈,设x 与y 夹角为ϕ,由解析几何常识可得其中,13221()k k x t ==∑,13221()k k y s ==∑令31,k kk x y t s ==∑,称为x 与y 的内积,不难证实它有如下性质:(1)3,0,,,0;x y x R x x x θ≥∀∈=⇔=且(2)3,,,,;x y y x x y R =∀∈(3)3121212,,,,,,;x x y x y x y x x y R +=+∀∈(4)3,,,,,.x yx y R x y R λλλ=∀∈∀∈注:由定义可得x =量的内积有关.利用内积我们可以讨论如向量的直交及投影等次要几何成绩.此刻我们引入普通的内积空间的概念.【定义 4.1】 设X 为数域F 上线性空间,若对任两个元素(向量)x ,y X ∈,有唯一F 中数与之对应,记为,x y,而且满足如下性质:(1),0,,,0;x y x X x x x θ≥∀∈=⇔=且(2),,,,;x y y x x y X =∀∈(3)121212,,,,,,;x x y x y x y x x y X +=+∀∈(4),,,,,;x y x y F x y X λλλ=∀∈∀∈则称,x y为x 与y 的内积,有了内积的线性空间叫做内积空间,当F为实数域R (或复数域C ),叫X 为实(或复)内积空间.注:由性质(3)与性质(4)知,内积运算关于第一变元是线性的.由性质(2)与性质(4)可推知,,x yx yλλ=.因而当X 为内积空间时,内积关于第二个变元也是线性的.而常称,,x y x yλλ=为共轭齐次性,是以在X 为赋内积空间时,内积是共轭线性的.今后讨论中不加注明时,恒设X 为复内积空间.【引理 4.1】(Schwaraz 不等式) 设X 为内积空间,对任意x ,y X ∈,成立不等式证实:若y θ=,则任x X ∈,有,0x θ=,则明显不等式成立.此刻设y θ≠,则F λ∀∈,有取,,x y y yλ=-代入上式可得2,,0,x y x x y y-≥,由此可得证毕.【定理 4.1】 设X 为内积空间,对任x X ∈,令x =x是x 的范数.证实:因范数的前两条性质可直接由内积的性质推出,我们仅验证它满足第三条性质(即三角不等式).事实上故有x y x y+=+.证毕.注:常称x =成为一个赋范线性空间.在此意义下,第二章关于赋范线性空间的有关内容都适用于内积空间.特别当内积空间X 按由内积导出的范数齐备的,称X 为Hilbert 空间.以下介绍几个经常使用的Hilbert 空间的例子.nF 暗示(实或复)Euclid 空间,对于12(,,,)n x t t t =,12(,,,)n n y s s s F =∈,类似于几何空间3R 中向量的内积定义,令不难验证n F 成为一个Euclid 空间. 例 4.222121{(,,,):,,1,2,}nn n n i lx t t t t t F n ===<∞∈=∑,当12(,,,)n x t t t =,212(,,,)n y s s s l =∈时,令容易证实2l 成为内积空间.以下证实2l 为Hilbert 空间.任取Cauchy 列n x =()()()212(,,,)n n n n t t t l ∈,则对任0,,N ε>∃当,n m N >时,有因此有故数列()21{}n k n t l F∞=∈⊂是Cauchy列,因数域F齐备,则存在(1,2,)k s F k ∈=,使()lim n k k n t s →∞=,令12(,,)x s s =,则任1,2,k =,当,n m N >时,有则令m →∞,对每个n N ≥及任1,2,k =,有 因此,亦有12()21()n ii i ts ε∞=-≤∑,只需n N≥,所以2n x x l -∈,留意2l 是线性空间,则x =2()n n x x x l -+∈,且n m x x ε-<,n N ≥,这即标明n x 在2l 中收敛,故2l 为Hilbert 空间.例 4.32(),L E E 为无限或无量区间,对任2()x L E ∈,定义内积这里2()L E 中的元素是实值或复值二次可积函数,也不难验证2()L E 是内积空间.此刻证实2()L E 是Hilbert 空间.设2()n x L E ∈为Cauchy 列,则对每个1,2,k =,存在天然数k n ,有 对任无限区间,e E me ⊂<∞,由Holder 不等式,有 式中,me 为e 的长度.故级数11()()kk n nk Ex t x t dt +∞=-∑⎰收敛,因而由Levi 引理(见第一章)我们有从而知11()()kk n nk x t x t +∞=-∑是集e 上可积函数,则比在e 上为处处无限函数,即级数在e 上几乎处处收敛,而e 为E 中任意无限区间,则级数11()()kk n n k xt x t +∞=-∑在E上几乎处处收敛,因此级数12132()(()())(()())n n n n n x t x t x t x t x t +-+-+在E 上几乎处处收敛,亦即函数()kn x t 在E 上几乎处处收敛于函数()x t .此刻证实2()x L x ∈,且lim0n n x x →∞-=.对任意0ε>,因为{}x 2()L x 中Cauchy 列,则存在N ,当,k n n N >时,有1()()k k n n x t x t ε+-<,即令k →∞,利用第一章Lebesgue 积分的性质,得到 即k n n x x ε-<,且2()k nn x x L E -∈,是以2()()n n x x x x L E =--∈.是以Cauchy列n x 在2()L E 中收敛,故2()L E 是Hilbert 空间.(1) 内积的连续性.设lim ,lim n n n n x x y y →∞→∞==,则有证实:由Schwarz 不等式,得 因收敛n y 有界.证毕.(2) 极化恒等式.对内积空间X中元素x 与y ,成立证实可直接应用范数的定义和内积的性质得到.留给读者作为练习.注:当X 为实数内积空间时,则极化恒等式为(3) 中线公式.对内积空间X中元素x 与y ,成立证实: 证毕.注:也常称中线公式为平行四边形公式.因在平面2R 中,平行四边形的对角线长度的平方和等于四条边的长度平方和.另外,可以证实中线公式是内积空间中由内积导出的范数的特征性质,即当X 为赋范线性空间时,若对其中任何元素x 与y 关于范数成立中线公式,则必在X 中可定义内积,x y,使范数可由此内积导出.也就是一个赋范线性空间成为内积空间的条件是其范数要满足中线公式.是以,内积空间是一类特殊的赋范线性空间.例如,当1p ≥且2p ≠时,p l 不是内积空间.因为,取(1,1,0,0,)x =,(1,1,0,0,)py l =-∈,则1/22x y ==,且2x y x y +=-=,明显不满足中线公式.又例如,[,]C a b 按范数max ()a t bx x t ≤≤=不是内积空间.这只需取()1x t =,[,]t a b ∀∈及()t ay t b a-=-,[,]t a b ∀∈,则1x y ==,且2,1x y x y +=-=,明显不满足中线公式.再例如,[,]p L a b 当1p ≥且2p ≠时,也不是一个内积空间.1. 证实:Schwarz 不等式中等号成立x ⇔与y 线性相干.2. 设X为实内积空间,,x y X ∈,若x y=,证实:,0x y x y +-=.若2X R =,所证实事实有什么几何意义?3. 设X 为内积空间,,u v X ∈,若对任何x X ∈,有,,x u x v=,试证实u v =.4. 设X为Hilbert 空间,,n x x X ∈,求证()n x x n →→∞的充要条件是n x x→,且,,()n x x x x n =→∞. 5. 验证极化恒等式. 6. 设12{,,}n e e e 是n 维线性空间X的一组基,对于,x y X ∈,有唯一暗示11,nnk k k k k k x t e y s e ====∑∑,其中,,1,2,k k t s F k n ∈=,求证,x y 是X 上一个内积的充要条件是存在正定矩阵()ij n n A a ⨯=,成立 4.2 内积空间中元素的直交与直交分解 直交及其性质仿照2R 中两个向量的直交概念,我们有如下定义.【定义 4.2】 设X 是内积空间,,x y X ∈,若,0x y =,称x 与y 直交,记为x y ⊥.设,x X M X ∈⊂,若x 与M 每个元素直交时,则称x 与M 直交,记为x M ⊥.又N X ⊂,若,x M y N ∈∈,都有x y ⊥,则称M 与N 直交,记为N M ⊥.设M X ⊂,记{:}M x X x M ⊥=∈⊥,则称M ⊥为M 的直交补.由以上定义,可得如下简明事实(性质):(1) 零元素θ与X中每个元素x 直交.(2) 若x y ⊥,则y x ⊥. (3) x M x θ⊥⇔=. (4) 若M N X ⊂⊂,则N M ⊥⊥⊂.(5) 任M X⊂,若M θ∉,则MM φ⊥=;若Mθ∈,则{}M M θ⊥=.此外我们还有一下几条有效性质:(6) 若()n x x n →→∞,且n x y ⊥,则x y ⊥.这是因为,lim ,0n n x y x y →∞==.(7) 若,x y X ∈,且x y ⊥,则成立勾股公式2222x y x yx y++-=+.这个性质留给读者本人验证.(8) 对任M X⊂,则M ⊥是X 的闭子空间.事实上,任意12,x x M ⊥∈,则对每个y M ∈,有1x y ⊥,2x y ⊥,因而有1212,,,0x x y x y x y +=+=,故12x x M ⊥+∈;又任意x M ⊥∈,F λ∈,则任意y M ∈,有,,0x y x y λλ==,故x M λ⊥∈,是以M ⊥成为X的线性质空间.此刻证实M ⊥是闭集.若()M φ⊥'=,则M ⊥为闭集,当()M φ⊥'=,任取()x M ⊥'∈,则存在n x M ⊥∈,有lim n n x x →∞=.对任意y M∈,利用事实(6),有则x y ⊥,因而推得x M ⊥,即x M ⊥⊥,是以M ⊥为闭集.证毕.(9) 设M X⊂为非空集,则()spanM M ⊥⊥=.事实上,因()M spanM ⊂,则()spanM M ⊥⊥⊂.另外,对任意x M ⊥∈,任意取()()()y spanM spanM spanM '∈=,若()y spanM ⊂,则y 是M 中无限个元素12,,n x x x 的线性组合,即因而1,,0ni i i y x x x λ===∑,即x y ⊥.而当()y spanM '⊂,则存在元素n y spanM ⊂,有lim n n y y →∞=,由以上证实知n y x ⊥,因而由性质(6)得知y x ⊥.综上所说,()x spanM ⊥∈,故()M spanM ⊥⊥∈.证毕.直交投影及变分引理仿照2R 中向量在座标轴上投影的概念引入以下定义.【定义 4.3】 设M 是内积空间的一个线性质空间,x X ∈,若存在0x M ∈,z M ⊥∈,使成立0x x z =+,则称0x 为x 在M 上的直交投影(可简称为投影).注:普通情况,某个元素x 在X 的某个空间M 上纷歧定存在投影.但当投影存在时,则可证实投影的唯一性.因为若0x 及1x 都是x 在M上的投影,则由定义有z x x =-,11z x x M ⊥=-∈,因而01{}x x z z MM θ⊥-=-∈=,故01x x =.对于2R ,任向量12(,)x t t =在x 轴(即子空间{(,0):}M t t R =∈)上有投影为01(,0)x t =.而且晓得点12(,)x t t =到x 轴上每个点的距离最小者为02x x t -=.这类景象如何在普通的(特别是无穷维)内积空间中表示是个须要探讨的成绩.为此,我们首先给出次要概念.【定义 4.4】 设X 是度量空间,M 是X 中非空子集,x X ∈,则称inf (,)y Mx y ρ∈为x 到集M 的距离,记为(,)x M ρ.若存在某0x M ∈,使0(,)(,)x x x M ρρ=,则称0x 为x 在M中最好迫近元.注:普通情况下,某元x X ∈,在某集M X ⊂中纷歧定存在最好迫近元.而且在最好迫近元存在时也纷歧定唯一.是以,最好迫近元的存在性及唯一性成为迫近理论中一个次要研讨方向.在此我们仅介绍一个在微分方程,古代控制论等学科都有次要利用的基本结果.【定理 4.2】(极小化向量定理) 设M 是Hilbert 空间X 中的凸闭集,则任意x X ∈,必有M 中唯一存在最好迫近元.证实:令inf(,)y Md x y x M ρ∈=-=,则存在n x M ∈,使lim n n x x d →∞-=.因M是凸集,则1()2n m x x M +∈,因而必有1()2n m x x x d -+≥. 在中线公式中以n x x -代换x ,以m x x -代换y ,则有是以n x 是齐备内积空间X 中Cauchy 列,则存在0x X ∈,使0lim n n x x →∞=.因M 是闭集,则0x M ∈,而且有这证实了最好迫近元的存在性.此刻证实唯一性.设0y M ∈也是x 的最好迫近元.还是由中线公式得 故000x y -=,即00x y =.证实.我们通常也称此定理为变分引理.因为子空间必定是凸集,并留意定理的证实过程,则定理条件改为M 是内积空间X 中齐备的子空间时,定理结论仍成立. 投影定理【定理 4.3】(投影定理) 设M 是内积空间X 的齐备线性质空间,则任意x X∈,必在M中唯一存在投影.即必唯一存在0,x M z M ⊥∈∈,使0x x z =+.证实:由题设,根据极小化向量定理,x 在M 中存在最好迫近元0x ,记为任取复数,y M λ∈,则0x y M λ+∈,且有 当y θ≠时,取02(,)x x y yλ-=代入上式,得因而推得0,0x x y -=,再留意y θ=,此式同样成立,因此0x x M ⊥-∈.令0z x x =-,即有0x x z =+.投影的存在性得证.投影的唯一性已由定义4.3的注得证.证毕.注:(1)X 为hilbert 空间时,则对任闭集子空间M X ⊂投影定理成立.(2)表达式0x xz =+也常称为元素x 的直交分解,故投影定理也叫做直交分解定理,是2R 中向量的直交分解的推广.因为在普通赋范线性空间中没有直交概念,是以不克不及讨论直交分解的成绩.(3)对于hilbert 空间X 及子闭空间M ,在投影定理条件下有 即X 暗示为两个直交子空间的直和,常称X 为M 与M ⊥的直交和,或直交分解.投影定理在内积空间理论中是极为次要的基本定理.因为投影0x M ∈,就是元素x X∈在子空间M 中的最好迫近元,是以在古代迫近论,概率论和控制论中很多成绩都可以抽象为如下的数学成绩.设X是内积空间,且12,,,,n x x x x X∈,问是否存在n个数12,n λλλ,,,使得1inf ni i y Mi x x x yλ∈=-=-∑,其中12{,,,}n M span x x x =.而且普通假设12,,,,n x x x x 线性有关.因为M 是一个n 维赋范线性空间,故M 齐备,则由投影定理,对于x X ∈,必唯一存在01ni i i x x M λ==∈∑,使0inf y Mx x x y ∈-=-.此刻我们给出求解0x 的方法,因,1i x M i n ∈≤≤,则由投影定理,我们有即得线性方程组记其系数行列式为n ∆.因为方程组已知有唯一解,故0n ∆≠,而且可计算出,1i i n λ≤≤.最初,我们再给出投影定理的两个推论.【推论 4.1】 设M 是Hilbert 内积空间X 的真闭线性质空间,则M ⊥中必有非零元素.证实:由题设MX≠,则存在x X M ∈-.由投影定理得知,存在0x M ∈,x M ⊥∈,使得0x x z =+,因而必z θ≠,否则0x x M=∈,与之矛盾.证毕.【推论 4.2】 设M 是Hilbert 内积空间X 的真闭线性质空间,则()M M ⊥⊥=.特别当{}M θ⊥=,则M在X 中稠密.证实:由性质(8),()M ⊥⊥是X 中真闭线性质空间,因X 齐备,则()M ⊥⊥齐备.明显,有()M M ⊥⊥⊂,因而()M M ⊥⊥⊂.同样得知M 也齐备.如果()M M ⊥⊥≠,因而关于()M M ⊥⊥⊂,利用推论 4.1,存在非零元素()x M ⊥⊥∈,且()x M M ⊥⊥⊥∈=,故,0x x =,从而x θ=,矛盾.从而必有()M M ⊥⊥=,证毕.1.设X 是实内积空间,若222x y x y+=+,则x y ⊥.问X 是复内积空间时,结论是否成立?2. 证实:内积空间X 中的两个元素,x y 直交的充要条件是对任意数F λ∈,成立x y x λ+≥. 3. 设12,,,,n x x x x 是内积空间X中两两直交的非零元素组,求证:12,,,,n x x x x 线性有关.4. 设X 是内积空间,,x y X∈,则x y ⊥⇔对任意Fλ∈,有x y x y λλ+=-.5. 设X是hilbert 空间,M 是X 的子集,求证()M ⊥⊥是包含M 的最小闭子空间.6. 设X 是hilbert 空间X 中非空子集,求证:{}spanM X M θ⊥=⇔=.7. 设M为hilbert 空间2[1,1]L -中全体偶函数的集合:(1) 求证M ⊥是2[1,1]L -中全体奇函数. (2) 任意2[1,1]x L ∈-,求x 在X 上的投影.8.设X 为hilbert 空间,元素列n x X ∈且两两直交,求证:级数1n i x ∞=∑收敛⇔数值级数21ni x ∞=∑收敛.9.证实:直交性质(1)-(5).10. 设12,,,,nx x x x 是内积空间X中两两直交元素组,求证:2211nnkkk k xx ===∑∑.4.3 直交系返照2R 中情况,在内积空间引入直角坐标系的概念.【】 设M 是内积空间中一个不含零元的子集,若M 中任意两个分歧元素都直交,则称M 为X 的一个直交系.又若M 中每个元素的范数都是1,则称M 为尺度直交系.注:为了简单起见,我们仅讨论至少含可列个元素的直交系,因为对不成列情况,在方法上同可列情况并没有实质的区别.例 4.4 在(实或复)Euclid 空间n F 中 是一个尺度直交系.例 4.5在内积空间2l ,以下元素列是一个尺度直交系 其第n 个分量是1,其余分量都是0,1,2,.n =例 4.5在实内积空间2[0,2]L π中,若定义内积为 则三角函数系是2[0,2]L π的一个尺度直交系.【定义 4.6】 设1{}n n e ∞=是内积空间X 中一个尺度直交系,对任x X∈,称,n nc x e =为元素x 关于n e 的Fourier 系数,常简称为x 的Fourier系数.因而有方式级数1n n n c e ∞=∑,称为元素x 关于1{}n n e ∞=可以睁开为Fourier 级数.注:普通情况下,Fourier 级数纷歧定收敛.即或收敛,也纷歧定收敛于x .在什么条件下元素x 可以睁开为Fourier 级数的成绩天然是次要的.【定理4.4】 设1{}n n e ∞=是内积空间X 中一个尺度直交系,记 对任意给定x X ∈,则x 在n X 上的投影是1nn k k k s c e ==∑,即n s 是在n X 内的最好迫近元.证实:因()n n x s x s =+-,因为n n s X ∈,则只须证实n n x s X ⊥-∈.由4.2性质(9),又仅须证,1,2,,.n n x s e k n -⊥=因而由1,,,0nn k k i i ki x s e x e c e e=-=-=∑,知结论成立.证毕.注:任意1nk k n k e X λ=∈∑,任x X ∈,成立【定理4.5】(Bessel 不等式) 设1{}n n e ∞=是内积空间X 中一个尺度直交系,则对任意x X ∈,成立Bessel 不等式 其中,,,1,2,.n n c x e n ==证实:已知()n n s x s ⊥-,其中1nn k k k s c e ==∑,则由勾股定理得令n →∞,得结论成立.证毕.注:Bessel 不等式指元素x 在每个n e 上投影n n c e 的范数的平方和不大于x 的范数;由此知21n n c ∞=∑为收敛级数,因而推得事实特别对内积空间2[0,2]L π关于尺度直交系三角函数系(见例4.3),对任意2[0,2]x L π∈,其Fourier 系数为其中,n n a b 即通常的Fourier 系数,则由Bessel 不等式,得留意这里用了收敛正项级数的可交换性.在内积空间X 给定尺度直交系1{}n n e ∞=情况下,x X ∈,其对应的Fourier 系数构成一个序列212(,,)c c c l =∈,并确定了由X到内积空间2l 内的一个映照T 为 其中,n nc x e =,1,2,n =.不难证实T 是线性映照.反之,任意2l 中的元素12(,,)c c c =,普通情况下,纷歧定存在X中元素x ,使,n nc x e =,1,2,n =,但在X 齐备时,有以下定理.【定理4.6】(Riesz Fisher -) 设1{}n n e ∞=是内积空间X 中一个尺度直交系,则对任意212(,,)c c c l =∈,唯一存在x X∈,使,n nc x e =,1,2,n =,且成立等式证实:令1nn k k k s c e ==∑,因为221mn mkk n s s c =+-=∑,因为级数21n n c ∞=∑收敛,则根据Cauchy 收敛原则,有故n s 是齐备空间X 中一个Cauchy 列,则存在x X ∈,有此刻设k 为任意天然数,则 再留意221nnk s c ∞==∑,令n →∞,即得等式221n n c x∞==∑.最初证实唯一性.若y X ∈,也满足定理结论,n nc y e =,且221n n c y ∞==∑则因222nny s y s =+-(由定理4.3),令n →∞,推得n s y →.由极限的唯一性,必y x =.证毕.注:在X 为Hilbert 空间时,可确定一个有2l 到X 内的映照.但在普通情况下,不克不及断定映照是满射.是以纷歧定为由2l 到X 上的逐个映照.在n 维Euclid 空间中,尺度直交基(直角坐标系)的极大性是相当次要的,对此我们有如下推广.【定义4.7】 设1{}n n e ∞=是内积空间X 中一个尺度直交系,若对任意x X∈,有,0n x e =,1,2,n =,则必x θ=,我们就称1{}n n e ∞=是完整的.尺度直交系是2l 中一个完整的尺度直交系.【定理4.7】(Riesz Fisher -) 设1{}n n e ∞=是Hilbert 空间X 中一个尺度直交系,则一下的命题等价:(1)1{}n n e ∞=是完整的;(2)对任意x X ∈,成立Parseval 等式221nn x c ∞==∑,其中,n nc x e =,1,2,n =;(3)对任意x X ∈,有1n n n x c e ∞==∑,其中,n nc x e =,1,2,n =;(4)对任意两个元素,x y X ∈有证实:(1)⇒(2).设1{}n n e ∞=是完整的,对任意x X ∈,记,n nc x e =,1,2,n =212(,,)c c c l =∈,再由定理4.6知,唯一存在y X ∈,使得,n nc y e =且成立221.n n y c ∞==∑因为,,n nx e y e =,1,2,n =,则,0n x y e -=,1,2,n =.因为1{}n n e ∞=是完整的,因而必有y x =,是以有221nn x c ∞==∑,命题(2)成立.(2)⇒(3).此刻假设命题(2)成立,任意取x X ∈,令,n nc x e =,1,2,n =,1nn k k k s c e ==∑,则有即得1lim nk k n k c e x →∞==∑,因而命题(3)成立. (3)⇒(4).此刻假设命题(3)成立,任意取,x y X ∈,令,n nc x e =,,n nd ye =,则有1lim n k k n k x c e →∞==∑,1lim nk k n k y d e →∞==∑.因而可得 即命题(4)成立.(4)⇒(1).此刻假设命题(4)成立,取x X ∈,若n x e ⊥,1,2,n =,此时任取y X∈,有1,,,0n n n x y x e y e ∞==⋅=∑,即x X⊥,故x θ=,是以命题(1)成立.证毕.注:若Hilbert 空间X 存在的尺度直交系1{}n n e ∞=,则任意x X ∈,有,n nc x e =,1,2,.n =映照212(,,)Tx c c l =∈是由X到2l 上的一个等距同构映照,故X 与2l 的等距同构.以下的定理在判别某尺度直交系的完整性时是经常有效的.【定理4.8】 设1{}n n e ∞=是Hilbert 空间X 中一个尺度直交系,如果Parseval 等式在X中某稠密子集D 上成立,则1{}n n e ∞=是完整的.证实:01{}n n X span e ∞==,则0X 是X 的闭线性质空间.任x D ∈,令,n nc x e =,1,2,n =,则由假设成立221nn x c ∞==∑(2)⇒(3)之证实得1lim nk kn k x c e →∞==∑,故0x X ∈.因而0D X ⊂.因0X 是闭集,则00X D X X =⊂=,即得0X X =.由0X 定义,任0x X X ∈=,有11lim nn n k k n n k x c e c e ∞→∞====∑∑,且,n nc x e =,1,2,n =.是以由定理4.7命题(3)成立推得则1{}n n e ∞=是完整的.证毕.例 4.72[0,2]L π中三角函数系是完整的. 因为取D在2[0,2]L π中稠密.对任意三角多项式01()(cos sin )2nn k k k a T t a kt b kt ==++∑不难验证成立Parseval 等式.根据定理4.7,对任意2[0,2]x L π∈,其中Fourier 级数 依范数收敛于x .但这其实不克不及推知每个2[0,2]t L π∈,有由线性代数及解析几何的常识,我们晓得直交组比普通的线性有关组的性质更为优胜,若某向量可用尺度直交组线性暗示,其组合系数有内积容易求出,十分方便.以下介绍一个得到尺度直交系的经常使用的方法.对内积空间X中已知的某线性有关序列1{}n n x ∞=,通过Gram Schmidt -尺度直交化过程可获得一个尺度直交系.其过程如下:第一步,把1x 尺度化,令第二步,记111{}{}.X span e span x ==由定理4.4得知,2x 在1X 上的投影为211,x e e ,由投影定理,记22112,x x e e y =+,则21y e ⊥.因为2x ,1e 线性有关,则2y θ≠,此时令 不难看出有1212{,}{,}.span e e span x x =第三步,记212{,}X span e e =,也由定理4.4得知,3x 在2X 上的投影为311,x e e +322,x e e ,根据投影定理,记23331,k k k x x e e y ==+∑,则3k y e ⊥,1,2.k =因为3x ,1e ,2e 线性有关,则3y θ≠,此时令且易知123123{,,}{,,}.span e e e span x x x =因而归纳有第n 步,记1121{,,,}n n X span e e e --=,同样由定理4.4得知,nx 在1n X -上的投影为11,n n k kk x e e -=∑,并根据投影定理,记11,n n n k k n k x x e e y -==+∑,则n k y e ⊥,1,2,1k n =-,又因为n x ,1e ,21,,n e e -线性有关,则3y θ≠,此时令 则易知1212{,,,}{,,,}.n n span e e e span x x x =因而以上程序无穷进行下去,即得一个尺度直交系1{}n n e ∞=.Hilbert空间与2l 等距同构.因2l 是可分的(即存在无限或可列稠密子集),则X 也是可分的.相反地,我们有如下定理.【定理4.9】 设X 是Hilbert 空间,则(1) 若X 是可分的,则X 必有至少可列的完整的尺度直交系; (2) 设X是无穷维的可分空间,则X 的每个完整的尺度直交系都是可列集.证实:因为X 存在无限或可列(也称为至少可列)个元素{}k x ,使{}k span x X=,且不妨设{}k x 为线性有关集合.由Gram Schmidt -尺度直交化程序,可构造出对于{}k x 的(等势的)尺度直交系{}k e .当X 为n 维内积空间时,则有1212{,,,}{,,,}n n span e e e span x x x =,故有从而有 因而必有故1{}n n e ∞=是完整的.定理4.9(1)证毕.又X 存在可列稠密子集D ,任取X 一个完整尺度直交系M ,则M 是一个无穷集.任取i e ,j e ∈M ,且j i e e ≠,都有记 {}32:≤-∈=i I e x X x S ,{}32:≤-∈=j J e x X x S则φ=J I S S .因为D 在X 中稠密,则存在i i S D x ∈,j j S D x ∈,有j i x x ≠.因而M 的势大于D 的势.因此M 必是可列集.证毕.1. 在内积空间2l 中,试给出一个使Bessel不等式成为严酷不等式的例子.2. 设{}∞=1n n e 是内积空间X中一个尺度直交系,求证对任意x ,y ∈X ,有3.设{}∞=1n n e 是内积空间X中一个尺度直交系,给定x ∈X,令),(n n e x c =, 2,1=n 则对任意0>ξ,求证:(1) 使成立不等式ξ>n c 的n c 仅有无限个; (2) 设{}ξ>n c n :的个数为m ,则有221xm ξ<.4.在[]1,12-L 中,试将1)(1=t x ,t t x =)(2,23)(t t x =尺度直交化. 5.求3210),,(R a a a ∈,使dt t a t a a et2102210)(⎰---取最小值.6.设{}∞=1n n e 是Hilbert 空间X 中一个尺度直交系,若x ,y ∈X 有 n n n e t x ∑∞==1,n n n e s y ∑∞==1求证:(1)-∞=∑=s t y x n n 1, ;(2)级数-∞=∑s t n n 1是绝对收敛的.7.设{}∞=1n n e 是Hilbert 空间X中一个尺度直交系,给定x ∈X,若n n n e t x ∑∞==1,求证,,2,1),,( ==n e x t n n 且有∑∞==122n nt x .8.设{}∞=1n n e 是Hilbert 空间X 中一个完整尺度直交系,试问是否每个x ∈X都可用{}∞=1n n e 线性暗示. 9设{}∞=1n n e 是Hilbert 空间X 中一个尺度直交系,任意x ∈X,求证n n n e e x y ∑∞==1,在X中收敛,而且y x -与每个n e 直交.Hilbert空间上有界线性泛函在理论及利用中,对一个具体的赋范线性空间X 来说,常常要和它的共轭空间*X 结合一路来研讨.为此,晓得有界线性泛函*∈X f 的普通方式,天然是十分次要的.对于普通赋范线性空间,获得这类暗示是相当困难的.但对于Hilbert 空间,情况却非常简单.Riesz定理【】)(Riesz 设X 是Hilbert 空间,对于每个*∈X f ,唯一存在X y ∈,使任意x ∈X ,有 而且还有 证实:若θ=f为零泛函,则取X 中零元素θ=y 即可.此刻设θ≠f,令{}0)(:=∈=x f X x M 为f 的零空间.因f 是连续线性泛函,则M 是X 的闭子空间.因θ≠f,则必无为M X的真子空间.由投影定理,肯定有θ≠z 且⊥∈M z .所以0)(≠z f 任取x ∈X ,因为 则M z z f x f x ∈-)()(.因而有 从而得zx xz f x f ,))((2=.此时令2_)(zz z f y =,即有存在性得证.此刻证实X y ∈由f 唯一确定.如果还有X y ∈1,使 因而有0,1=-y y x ,Xx ∈∀,即X y y ⊥-1,所以y y =1,唯一性得证.最初证实yf =.当θ=f ,事实明显.此刻设θ≠f ,则θ≠y .首先由Schwarz不等式有xy y x x f ⋅≤=,)(,X x ∈∀因而推得yf ≤;另一方面,取y x =,又有 因而推知yf ≥.是以必成立yf =.定理证毕.注*X 到X 内的映照.此刻要说明它是逐个映照.因为任意取定元素X y ∈,则确定X上一个泛函f 为yx x f ,)(=,X x ∈∀由内积的性质可知f 是线性的.再由Schwarz 不等式,有xy y x x f ⋅≤=,)(,X x ∈∀因此f 是有界泛函,且yf ≤,故*∈X f .类似于定理4.10的证实,可推知y f =.因而可得以下的由X 到*X 上的映照T 是个逐个映照:*∈=X f y T )(,Xy ∈∀,使yx x f ,)(=,X x ∈∀.任取复数21,λλ及元素X y y ∈21,,令11f Ty =,22f Ty =,f y y T =+)(2211λλ则对任意X x ∈,有即有22112211)(Ty Ty y y T λλλλ+=+是以称T 为复共轭线性映照,而且有即T 是一个等距映照(或称为保范映照).故称映照T 是X 到*X 上的复共轭等距映照.在这类意义下,认为元素X y ∈与对应的泛函*∈X f 是分歧的,即X=*X .是以,称X为自共轭空间(必须留意是在复共轭等距同构意义下).Hilbert空间上的共轭算子我们曾在第3章讨论过赋范线性空间上的共轭算子成绩.此刻我们利用Hilbert 空间与共轭空间的分歧化,引入所谓Hilbert 空间上的共轭算子概念.这类算子是在研讨矩阵及线性微分(或积分)方程的成绩中提出来的,有着广泛的利用.【定义4.8】 设X 和Y 是两个内积空间,Y X T →:是一个有界线性算子.又设X Y T →*:是有界算子,若对任意的Y y X x ∈∈,,都有就称*T 是T 的共轭算子(或陪伴算子).注:在复空间情况下,第3章关于赋范线性空间所引进的共轭算子与定义4.8所陈述的共轭算子其实不完整分歧,设),(,21Y X L T T ∈及复数21,λλ,按第3章所述定义,有 但依定义4.8的概念,却有而在实空间情况下,两者完整分歧.例4.8 设m n C C ,为复Euclid 空间,对于有界线性算子m n C C T →:,则T 为m 行n 列的矩阵,即当n n C t t t x ∈=),,(21 时,有此时,任取m m C s s s y ∈=),,(21 ,有 其中我们看到共轭算子*T 是T 的转置共轭矩阵*T .如果X 是n 维(实或复)内积空间,取定{}n e e e ,,21为其一个尺度直交基,Y 是m 维(实或复)内积空间,取定{}n f f f ,,21为其一个尺度直交基.设Y X T →:是一个线性算子(则T 必定有界).令 则任意X x ∈,有唯一暗示j nj j e t x ∑==1,因而有不难看出,线性算子Y X T →:由一个m 行n 列的矩阵n m ij a ⨯)(所决定.类似于Euclid 空间的情形,可得T 的共轭算子X Y T →*:由n m ij a ⨯)(的转置共轭矩阵n m ij a ⨯)(暗示.以下定理说明了普通情况下共轭算子的存在性.【定理4.11】设X 是Hilbert 空间,Y 是内积空间,则对任意有界线性算子Y X T →:,必唯一存在共轭算子*T .证实:对任意取定Y y ∈,确定了X 上线性泛函yTx x f ,)(=,其中Xx ∈.因则*∈X f ,且yT f ⋅≤.由Riesz 定理,唯一存在X z ∈有我们得到了算子X Y T →*:为z y T =*,且zf =.使对任意的Y y X x ∈∈,,有y T x y *=,,.此刻证实*T 是由Y 到X 的有界线性算子.任意取复数21,λλ及元素Y y y ∈21,,因有是以22112211)(y T y T y y T ***+=+λλλλ.这说明*T 是线性的.再由*T 的定义,对任意的Y y ∈,有yT f yT ⋅≤=*,是以有TT ≤*,即*T 为有界线性算子,而*T 的唯一性是明显的.证毕.再给出一个实例.设[]),(,,2s t K b a L X =是矩形区域[][]b a b a D ,,⨯=上平方可积函数,则由核),(s t K 定义了空间[]b a L ,2上的有界线性算子T 为T是一个Fredholm 型积分算子.此刻求T 的共轭算子.任取[]b a L y ,2∈,因为在给定条件下可交换积分次序,有故有 ()()()()⎰=*ba ds s y t s K t y T ,.即*T 是觉得),(s t K 核的Fredholm 型积分算子.由例4.8,我们看到共轭算子是转置共轭矩阵概念的推广,是以它必定具有很多类似转置共轭矩阵的性质.【定理4.12】(共轭算子的性质) 设X ,Z 是Hilbert 空间,Y 是内积空间.),(),,(,X Z L Q Y X L S T ∈∈,λ是复数,则以下命题成立:(1)**=T T λλ)(; (2)***+=+S T S T )(;(3)T T =**)(; (4)TT T T**==22;(5)***=T Q TQ )(;(6)T 存在有界线性逆算子的充要条件是*T 也存在有界线性逆算子,有11)()(-**-=T T ; (7)(){}T T σλλσ∈=*)(.证实:(1)任取,,Y y X x ∈∈有 是以有()**=T T λλ.性质(1)得证. (2)证实留给读者证实. (3)任取,,Y y X x ∈∈有yT x y Tx *=,,,是以有Txy x y T ,,=*.因而T T =**)(.性质(3)得证.TT ≤*.是以也有***≤T T )(,即*≤T T.因而必*=T T.任取X x ∈,因则得2TT T ≤*.另一方面,任取X x ∈,且1=x ,有则得 即有T T T*≤2.综上所证就得到TT T T**==22.性质(4)得证.(5)由假设知),(Y Z L TQ ∈.任取Y y Z z ∈∈,,因 因而有()***=T Q TQ .性质(5)得证.(6)设T 存在有界线性逆算子1-T ,则X Y I T T I TT ==--11,,其平分YX I I ,别是X 及Y 上单位(恒等)算子.因明显有Y Y X XI I I I ==**,,则利用性质(5)可得是以知*-)(1T 是*T 的逆算子,即成立*--*=)()(11T T .反之,设*T 存在有界线性逆算子,因而由前证有**=)(T T 存在有界线性逆算子.性质(6)得证.定理证毕.(7)设)(T ρλ∈,则),()(1X X L T I ∈--λ,因而由性质(6),*-)(T I λ存在有界线性逆算子,而()**-=-T T I λλ,可见)(*∈T ρλ,故(){}()*⊂∈T T ρρλλ. 同理可证 即所以 ()(){}T T ρλλρ∈=*而()()T T σσ,*分别是)(*T ρ,)(T ρ的余集,是以习题4,41设X是Hilbert空间,Y是内积空间,若()X Y L S S ,,21∈,有Y y X x y S x y S x ∈∈=,,,,21,求证21S S =.2设X 是Hilbert 空间,求证X 是自反空间.3证实θθ==**,I I ,其平分θ,I 别是Hilbert 空间X 上单位算子和零算子.4 试求感化于2l 上的算子的共轭算子: (1)()() ,,,0,,2121t t t t T = (2)()() 3221,,,t t t t T =.5试求感化于()∞∞-,2L 上的算子T 的共轭算子: (1)()()()h t x t Tx +=,其中()∞∞-∈,2L x ,h 是实常数; (2)()()())()(21t x t x t Tx -+=,其中()∞∞-∈,2L x .6 设X 是复Hilbert 空间,()X X L X L T ,)(=∈.求证:若*=T T ,则对任意Xx ∈,有0,Re =x Tx .7设X 是Hilbert 空间,)(X L T ∈且1≤T,求证:{}{}x x T x x Tx x ===*::.8设X ,Y 是Hilbert 空间,),(Y X L T ∈.记T 的零空间与值域分别为(){}θ=∈=Tx X x T N :,{}X x Y Tx T R ∈∈=:)(.(1) 任Y B X A ⊂⊂,,若()B A T ⊂,求证)(⊥*⊥⊃B T A ; (2) 若(1)中,A ,B都是闭线性质空间,若)(⊥*⊥⊃B T A ,求证B A T ⊂)(;(3) 求证()⊥*⊥*==))(()(;)()(T N T R T N T R ;⊥*⊥*==))(()(;))(()(T R T N T R T N .9 设X 是复Hilbert 空间,M 是X 的闭线性质空间,求证:若M 是X 是某个非零有界线性泛函f 的零空间,则⊥M 是X 的一维空间.Hilbert空间上共轭算子的概念,如果()X X L T ,∈,那么()X X L T ,∈*.当X 是实Hilbert 空间且是有穷维时,算子T 就可看成实方阵,而*T 就是T 的转置.若*T =T ,那么矩阵T 就是对称矩阵.通过线性代数我们晓得,对称矩阵有很多好的性质.在这里我们将对称矩阵的概念普通化,引入一类次要的算子.【定义4.9】 若*T =T ,则称T 为自共轭算子(或自伴算子). 【定理4.13】 设X 是Hilbert 空间,则上面的结论成立:(1) 若()X X L T ,∈,则T为自共轭算子当且仅当对x Tx X x ,,∈∀是实数.(2) 若()X X L T T ,,21∈且为自共轭算子,则对任何实数21,,T T βαβα+是自共轭算子.(3) 若()X X L T T ,,21∈且为自共轭算子,则21T T 是自共轭算子的充要条件是1221T T T T =.证实:(1)设对任何X x ∈,x,是实数,来证*=T T .因为所以()0,=-*xx T T ,令*-=T T S ,那么0,=x Sx .又()0,=++y x y x S 及()0)(,=++iy x S iy x S因而得0,,=+x Sy y Sx 及0,,=-x Sy y Sx故0,=y Sx ,对X y x ∈∀,,可见θ=Sx ,即S 是零算子.因而*=T T .反之,若*=T T ,则 那么x,是实数.(2)由性质(1)之证,因为()x x T x x x x T T ,,,2121βαβα+=+是实数,所所以21T T βα+自共轭算子.(3)首先设1221T T T T =,那么由共轭算子的性质知 即21T T 自共轭,反之注:从定理4.13的性质(2)可以看出,自共轭算子构成()X X L ,的一个实线性质空间,而且从上面的定理近一步得知,这个子空间在算子的分歧收敛和强收敛下均是闭子空间.【定理 4.14】设{}n T 是一列自共轭算子,()X X L T ,∈.若对每个Xx ∈,有Tx x T n →,则T 是自共轭算子.证实:对X y x ∈∀,,由Tx x T n →及内积的连续性得 故 *=T T【推论4.3】设{}n T 是一列自共轭算子,()X X L T ,∈,且0→-T T n ,则T也是共轭的.。
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第四章 内积空间在第三章中,我们把n 维Euclid 空间n R 中的向量的模长推广到一般线性空间中去,得到了赋范线性空间的概念。
但在n R 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。
这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的。
我们知道,n R 中向量的夹角是通过向量的内积描述的,因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。
4.1 内积空间的基本概念首先回忆几何空间3R 中向量内积的概念。
设123(,,)x t t t =,123(,,)y s s s R =∈,设x 与y 夹角为ϕ,由解析几何知识可得112233cos t s t s t s x yϕ++=⋅其中, 13221()k k x t ==∑,13221()k k y s ==∑令31,k k k x y t s ==∑,称为x 与y 的内积,不难证明它有如下性质:(1)3,0,,,0;x y x R x x x θ≥∀∈=⇔=且 (2)3,,,,;x y y x x y R =∀∈(3)3121212,,,,,,;x x y x y x y x x y R +=+∀∈ (4)3,,,,,.x y x y R x y R λλλ=∀∈∀∈注:由定义可得x =内积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。
现在我们引入一般的内积空间的概念。
【定义 4.1】 设X 为数域F 上线性空间,若对任两个元素(向量)x ,y X ∈,有惟一F 中数与之对应,记为,x y ,并且满足如下性质:(1),0,,,0;x y x X x x x θ≥∀∈=⇔=且 (2),,,,;x y y x x y X =∀∈(3)121212,,,,,,;x x y x y x y x x y X +=+∀∈ (4),,,,,;x y x y F x y X λλλ=∀∈∀∈则称,x y 为x 与y 的内积,有了内积的线性空间叫做内积空间,当F 为实数域R (或复数域C ),叫X 为实(或复)内积空间。
注:由性质(3)与性质(4)知,内积运算关于第一变元是线性的。
由性质(2)与性质(4)可推知,,x y x y λλ=.于是当X 为内积空间时,内积关于第二个变元也是线性的。
而常称,,x y x y λλ=为共轭齐次性,因此在X 为赋内积空间时,内积是共轭线性的。
今后讨论中不加注明时,恒设X 为复内积空间。
【引理 4.1】(Schwaraz 不等式) 设X 为内积空间,对任意x ,y X ∈,成立不等式,x y ≤证明:若y θ=,则任x X ∈,有,0x θ=,则显然不等式成立。
现在设y θ≠,则F λ∀∈,有20,,,,,x y x y x x x y y x y y λλλλλ≤++=+++取,,x y y yλ=-代入上式可得2,,0,x y x x y y-≥,由此可得,x y ≤证毕。
【定理 4.1】 设X 为内积空间,对任x X ∈,令x =x 是x 的范数。
证明:因范数的前两条性质可直接由内积的性质推出,我们仅验证它满足第三条性质(即三角不等式)。
事实上2,,,,,x y x y x y x x x y y x y y +≤++=+++2222()x x y y x y ≤+⋅+=+故有x y x y +=+.证毕。
注:常称x =间。
在此意义下,第二章关于赋范线性空间的有关内容都适用于内积空间。
特别当内积空间X 按由内积导出的范数完备的,称X 为Hilbert 空间。
以下介绍几个常用的Hilbert 空间的例子。
例 4.1 n F 表示(实或复)Euclid 空间,对于12(,,,)n x t t t =,12(,,,)n n y s s s F =∈,类似于几何空间3R 中向量的内积定义,令1,nn n k x y t s ==⋅∑不难验证n F 成为一个Euclid 空间。
例 4.2 22121{(,,,):,,1,2,}nn n n i l x t t t t t F n ===<∞∈=∑,当12(,,,)n x t t t =,212(,,,)n y s s s l =∈时,令1,n n k x y t s ∞==⋅∑容易证明2l 成为内积空间。
以下证明2l 为Hilbert 空间。
任取Cauchy 列n x =()()()212(,,,)n n n n t t t l ∈,则对任0,,N ε>∃当,n m N >时,有12()()21()n m n m kkk x x ttε∞=-=-<∑因而有()()(1,2,)n m k k t t k ε-<=故数列()21{}n k n t l F ∞=∈⊂是Cauchy 列,因数域F 完备,则存在(1,2,)k s F k ∈=,使 ()lim n k k n t s →∞=,令12(,,)x s s =,则任1,2,k =,当,n m N >时,有22()()21kn m iin mi ttx x ε=-≤-<∑则令m →∞,对每个n N ≥及任1,2,k =,有2()21kn i i i t s ε=-≤∑因而,亦有12()21()n i i i ts ε∞=-≤∑,只要n N ≥,所以2n x x l -∈,注意2l 是线性空间,则x =2()n n x x x l -+∈,且n m x x ε-<,n N ≥,这即表明n x 在2l 中收敛,故2l 为Hilbert 空间。
例 4.3 2(),L E E 为有限或无穷区间,对任2()x L E ∈,定义内积,()()Ex y x t y t dt =⎰这里2()L E 中的元素是实值或复值二次可积函数,也不难验证2()L E 是内积空间。
现在证明2()L E 是Hilbert 空间。
设2()n x L E ∈为Cauchy 列,则对每个1,2,k =,存在自然数k n ,有11(1,2,)2k k n n kx x k +-≤= 对任有限区间,e E me ⊂<∞,由Holder 不等式,有1111222()()(()())(1)kk k k n n n n EEExt x t dt x t x t dt dt ++-≤-⋅⎰⎰⎰112()1,2,)k k n n me x x k +=-≤=式中,me 为e 的长度。
故级数11()()kk n n k Ext x t dt +∞=-∑⎰收敛,于是由Levi 引理(见第一章)我们有1111()()lim ()()kk k k nn n n n n k k eext x t dt x t x t dt ++∞→∞==-=-∑∑⎰⎰11lim ()()k k nn n n k e x t x t dt +→∞==-∑⎰11lim ()()k k nn n n k e x t x t dt +→∞==-∑⎰11()()k k n n k e x t x t dt +∞==-∑⎰从而知11()()k k n n k x t x t +∞=-∑是集e 上可积函数,则比在e 上为处处有限函数,即级数在e 上几乎处处收敛,而e 为E 中任意有限区间,则级数11()()k k n n k x t x t +∞=-∑在E 上几乎处处收敛,因而级数12132()(()())(()())n n n n n x t x t x t x t x t +-+-+在E 上几乎处处收敛,亦即函数()k n x t 在E 上几乎处处收敛于函数()x t .现在证明2()x L x ∈,且lim 0n n x x →∞-=.对任意0ε>,因{}x 为2()L x 中Cauchy 列,则存在N ,当,k n n N >时,有1()()k k n n x t x t ε+-<,即22()()k nn ext x t dt ε-<⎰令k →∞,利用第一章Lebesgue 积分的性质,得到22()(),()k n n ex t x t dt n N ε-<>⎰即k n n x x ε-<,且2()k n n x x L E -∈,因此2()()n n x x x x L E =--∈.因此Cauchy 列n x 在2()L E 中收敛,故2()L E 是Hilbert 空间。
(1) 内积的连续性。
设lim ,lim n n n n x x y y →∞→∞==,则有lim ,lim ,lim ,n n n n n n n x y x y x y →∞→∞→∞==证明:由Schwarz 不等式,得,,,,n n n n n x y x y x x y x y y -≤-+-0()n n n y x x x y y n ≤-+-→→∞因收敛n y 有界。
证毕。
(2) 极化恒等式。
对内积空间X 中元素x 与y ,成立22221,()4x y x y x y i x iy x iy =+--++--证明可直接运用范数的定义和内积的性质得到。
留给读者作为练习。
注:当X 为实数内积空间时,则极化恒等式为221,()4x y x y x y =+--(3) 中线公式。
对内积空间X 中元素x 与y ,成立22222()x y x y x y ++-=+证明:22,,x y x y x y x y x y x y ++-=+++--,,,,,,,,x x y x x y y y x x y x x y y y =++++--+ 222()x y =+证毕。
注:也常称中线公式为平行四边形公式。
因在平面2R 中,平行四边形的对角线长度的平方和等于四条边的长度平方和。
另外,可以证明中线公式是内积空间中由内积导出的范数的特征性质,即当X 为赋范线性空间时,若对其中任何元素x 与y 关于范数成立中线公式,则必在X 中可定义内积,x y ,使范数可由此内积导出。
也就是一个赋范线性空间成为内积空间的条件是其范数要满足中线公式。
因此,内积空间是一类特殊的赋范线性空间。
例如,当1p ≥且2p ≠时,p l 不是内积空间。
因为,取(1,1,0,0,)x =,(1,1,0,0,)p y l =-∈,则1/22x y ==,且2x y x y +=-=,显然不满足中线公式。
又例如,[,]C a b 按范数max ()a t bx x t ≤≤=不是内积空间。
这只要取()1x t =,[,]t a b ∀∈及()t ay t b a-=-,[,]t a b ∀∈,则1x y ==,且2,1x y x y +=-=,明显不满足中线公式。
再例如,[,]p L a b 当1p ≥且2p ≠时,也不是一个内积空间。
习题 4.11. 证明:Schwarz 不等式中等号成立x ⇔与y 线性相关。