概率论第二章习题解答

概率论第二章习题

1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为，因其它原因死亡的概率为，求公司赔付金额的分崣上。

解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为；；

2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律

（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法：

3554

1021

C ⋅=

=⋅，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2

2335511

{3}10

C P X C C ====

若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法，

其概率为23335533

{4}10

C P X C C ====

若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法

其概率为 25335566

{5}10

C P X C C ====

一般地 3

5

21

)(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为

（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，

X的取值为1,2，3,4，5,6，

最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11

{1}

36

P X==；

最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），

9

{2}

36

P X==；

最小点数为3的共有7种，

7 {3}

36

P X==；

最小点数为4的共有5种，

5 {4}

36 P X==；

最小点数为5的共有3种，

3 {5}

36

P X==；

最小点数为6的共有1种，

1 {6}

36 P X==

3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数，

（1）求X的分布律；

（2）画出分布律的图形。

解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下，

从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3

15151413

P=⨯⨯，其概率为

若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3

13131211

P=⨯⨯

其概率为

13121122 {0}

15141335 p X

⨯⨯

===

⨯⨯

若取到的次品数为1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法为

112 3213321312

C C P=⨯⨯⨯

其概率为 32131212

{1}15141335

p X ⨯⨯⨯==

=⨯⨯

若取到的次品数为2，，其概率为

22121

{2}1{0}{1}1353535

p X p X p X ==-=-==-

-=。 于是其分布律为

（24 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为1q p =-（01p <<），

（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需要的试验次数，求X 的分布律。（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。）。 （2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需要的试验次数，求Y 的分布律。（此时称Y 服从以r ，p 为参数的巴斯卡分布或负二项分布。）

解 （1）X 的取值为1,2,,,n L L ，对每次试验而言，其概率或为1，或为q 所以其分布律为

(2)Y 的取值为,1,,,r r n +L L ，对每次试验而言，其概率或为1，或为q 所以其分布律为

5.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞往了房间，它只能从开着的窗子飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

（1）以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X 的分布律。

（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以

Y 表示这只聪明鸟为了飞出房间试飞的次数，如房主所说的是确实的，试求Y 的分布律。

（3）求试飞次数X 小于Y 的概率；求试飞次数Y 小于X 的概率。

解 （1）X 服从1

=

p 的几何分布，其分布律为

(2)Y 所有可能的取值为1,2，3.

方法一 3

1}1{=

=Y p 31

2132}2{=⋅==Y p

3

1

12132}3{=⋅⋅==Y p

方法二 由于鸟飞向扇窗是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的，即 3

1

}3{}2{}1{======Y p Y p Y p 即Y 的分布律为

(3) }3,2{}3,1{}2,1{}{==+==+===

319231313131⋅+⋅+⋅=

27

8

=

}{}3,2{}3,1{}2,1{}{4

∑∞

==+==+==+===

3

1

)32(31)32(3131)32(319231422⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=∑∞=i i

81

38=

6.一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为，问在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？