三角形中位线
三角形中位线定理
1 EF= 1 BC 2 2
三角形的中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半 A 用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
E B
D C
1 ∴ DE∥BC， DE= BC. 2
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2
初试身手
A D
练习1.如图，在△ABC中，D、E分别是 、F分别 AB 、、 AC 的中点 是 AB AC 、BC的中点
∴ DF=1/2BC，DE=1/2AC。 ∴ 四边形DECF的周长是 B DF+DE+EC+CF=16/2+12/2+1 6/2+12/2=28
D
F
E
C
拓展应用：
在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使 AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理 D 由
理由： ∵ 点E,F分别为BC,AC的中点
B三角 形的周长与原三角形的周长有什么 关系？ 2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
演练
已知：如果，点D、E、F分别是△ABC的三边 的中点． （1）若AB=8cm，求EF的长； （2）若DE=5cm，求BC的长． （3）若增加M、N分别是BD、BF的中点， A 问MN与AC有什么关系？为什么？
例1、求证三角形的一条中位线与第三边上 的中线互相平分. A
E
C
14
定 理 应 用：
⑴定理为证明平行关系提供了新的工具
⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍 或 1/2提供了一个新的途径
⑶解决“中点问题”
注意：在处理这些问题时,要求出现三角形及中位线
三角形的中位线性质
三角形的中位线性质
三角形中线的性质：三角形的三条中线都在三角形内；三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心；直角三角形斜边上的中线等于斜边的1/2；三角形重心将中线分为长度比为1：2的两条线段等。
设△abc的角a、角b、角c的对边分别为a,b,c。
1、三角形的三条中线都在三角形内。
ma=(1/2)√（2b2+2c2-a2）
mb=(1/2)√（2a2+2c2-b2）
mc=(1/2)√（2a2+2b2-c2）
(ma、mb、mc分别为角a,b,c所对边的中线短）
3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
4、直角三角形斜边上的中线等同于斜边的1/2。
5、角形中线组成的`三角形面积等于这个三角形面积的3/4。
6、三角形战略重点将中线分成长度比为1:2的两条线段。
三角形有四线，分别为中线，高，角平分线，中位线。
1、中线定义：三角形的中线就是相连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段，一个三角形存有3条中线。
2、高定义：从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。
3、角平分线定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边平行，这个角的顶点与交点之间的线段。
4、中位线定义：三角形的三边中任意两边中点的连线。
三角形的中位线
三角形的中位线介绍三角形是一个基础的几何形状，它由三条线段相连而成。
三角形的中位线是通过三角形的顶点和中点构成的线段，它连接了三角形的一个顶点和与其对边上的中点。
本文将介绍三角形的中位线的性质、公式以及应用。
中位线的性质1.定长性质：三角形的三条中位线相等，且长度等于三角形两边中点的连线。
定长性质示意图定长性质示意图2.中点性质：三角形的三条中位线的交点即为三角形的重心，也就是三角形的三条中线的交点。
中点性质示意图中点性质示意图3.分割性质：每条中位线将三角形分割成两个面积相等的三角形。
分割性质示意图分割性质示意图中位线的公式设三角形的三个顶点为A（x1, y1）、B（x2, y2）和C（x3, y3），则三角形的三条中位线的方程为：1.第一条中位线（连接顶点A和边BC的中点）：x = (x2 + x3) / 2y = (y2 + y3) / 22.第二条中位线（连接顶点B和边AC的中点）：x = (x1 + x3) / 2y = (y1 + y3) / 23.第三条中位线（连接顶点C和边AB的中点）：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 2中位线的应用中位线是三角形的重要性质之一，它在数学和几何学中有着广泛的应用。
以下列举了一些中位线的应用场景：1.寻找三角形的重心：根据中点性质，三角形的三条中位线的交点即为三角形的重心。
重心是三角形的一个重要中心，它与三角形的其他几个中心（外心、内心和垂心）一起构成了三角形的几何特性。
2.计算三角形的面积：利用分割性质，可以将三角形分割成两个面积相等的三角形。
通过计算每个三角形的面积，可以得到整个三角形的面积。
3.构造平行线和垂直线：中位线的定长性质可以用来构造平行线和垂直线。
通过在中位线上选择一点，然后连接这个点和三角形的顶点，就可以得到一条平行于对边的线段或一条垂直于对边的线段。
4.解决几何问题：中位线是三角形的重要几何特性之一，因此可以应用于各类几何问题的解决方法中。
三角形的中位线
三角形的中位线在我们的数学世界中，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而在三角形众多的特性和线段中，三角形的中位线有着独特的地位和重要的性质。
首先，让我们来明确一下什么是三角形的中位线。
连接三角形两边中点的线段就叫做三角形的中位线。
比如说，在三角形 ABC 中，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AC 的中点，那么线段 DE 就是三角形 ABC 的一条中位线。
三角形的中位线有着一些非常有趣且实用的性质。
其中最重要的一点就是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
这可不仅仅是一个简单的结论，它在解决很多与三角形相关的几何问题时，都能发挥巨大的作用。
为了更好地理解这个性质，我们不妨来做一个小小的证明。
假设三角形 ABC 中，DE 是中位线。
延长 DE 到点 F，使得 EF ＝ DE，连接CF。
因为点 E 是 AC 的中点，所以 AE ＝ CE。
又因为∠AED ＝∠CEF（对顶角相等），DE ＝ EF，所以根据三角形全等的判定定理（SAS），可以得出三角形 ADE 全等于三角形 CFE。
这样一来，AD＝ CF，∠ADE ＝∠CFE，所以 AB 平行于 CF。
又因为 AD ＝ BD，AD ＝ CF，所以 BD ＝ CF，且 BD 平行于 CF。
所以四边形 BCFD 是平行四边形。
因此，DF 平行于 BC 且 DF ＝ BC。
而 DE 是 DF 的一半，所以 DE 平行于 BC 且 DE ＝ 1/2 BC。
有了这个性质，我们就能够轻松解决很多问题。
比如说，如果我们知道了一个三角形的中位线的长度，就可以很容易地求出第三边的长度；反过来，如果知道了第三边的长度，也能快速算出中位线的长度。
在实际的应用中，三角形中位线的性质也经常出现。
比如在建筑设计中，工程师们需要计算各种结构的尺寸和稳定性，三角形中位线的知识就能帮助他们更准确地进行计算和规划。
在测量领域，当我们无法直接测量某条边的长度时，通过测量中位线的长度，再利用中位线的性质，就能间接得出我们想要的边长。
三角形的中位线
三角形的中位线三角形的中位线是指连接一个三角形的一个顶点与对边中点的线段。
每个三角形都有三条中位线，它们相交于三角形的质心。
中位线在三角形的性质和应用中起着重要作用，下面将详细介绍三角形的中位线及其相关内容。
一、中位线的定义和性质1. 定义：三角形ABC的中位线是连接顶点A与对边BC的中点M的线段AM，也包括连接顶点B与对边AC的中点N的线段BN，以及连接顶点C与对边AB的中点P的线段CP。
2. 性质：a) 三角形的每条中位线都与其他两条中位线相交于同一点，这个点被称为三角形的质心。
b) 质心是三角形内部离顶点最近的点，也是三角形内部的一个重心。
c) 三角形的每条中位线都等于对边的一半，即AM = MB = BN = NC = CP = PA。
d) 三角形的三条中位线等于质心到对边中点的距离之和，即AM+ BN + CP = BM + CN + AP。
二、中位线的作用与应用1. 分割三角形：中位线将三角形分割成6个小三角形，这些小三角形具有相似性质，使得对三角形的研究和证明更加便于进行。
2. 构造平行四边形：连接三角形的质心和顶点可以构造出平行四边形。
将质心作为平行四边形的一个顶点，顶点和质心连线则为该顶点对应边的中位线。
3. 计算面积与判断形状：通过中位线可以计算三角形的面积。
当三角形的中位线相等时，三角形是等腰三角形；当三角形的中位线相交于一点时，三角形是等边三角形。
4. 解决几何问题：中位线具有调和性质，可以解决各类几何问题，如证明线段平分、证明角平分以及证明两条线段平行等。
5. 几何嵌套：中位线与其他几何图形可以嵌套在一起，如嵌套的正方形和圆。
三、实例分析与证明1. 证明质心存在：通过中位线的性质，可以证明三角形的质心存在且唯一。
2. 证明中位线与三角形边的关系：通过研究中位线与三角形边的长度关系，可以证明中位线等于对边的一半。
3. 证明中位线相交于一点：利用向量法、相似三角形等方法，可以证明三条中位线交于同一点，即三角形的质心。
三角形的中位线
三角形的中位线三角形是几何学中最基本的图形之一，由于其简单而且具有很多有趣的性质，因此在数学教育中被广泛研究和讨论。
本文将重点介绍三角形的中位线及其相关的性质、定理和应用。
一、中位线的定义在三角形ABC中，连接任意一边的中点与对立顶点可以得到三条线段，这三条线段被称为三角形的中位线。
具体而言，以BC为底边的中位线称为三角形的BC中位线，记为m_a；以AC为底边的中位线称为三角形的AC中位线，记为m_b；以AB为底边的中位线称为三角形的AB中位线，记为m_c。
二、中位线的性质1. 三角形的三条中位线交于一点证明：设m_a与m_b交于点G，则由于m_a是BC的中点M和顶点A所在直线的中点，因此有MG = GA。
同理，由m_b也可得AG = GC。
因此，点G既在m_a上，又在m_b上，即点G是三角形ABC的BC和AC的中点，因此也是三角形ABC的第三条中位线m_c所在直线的中点。
因此，三条中位线交于一点，该点被称为三角形的重心。
2. 重心到各顶点的线段比例为2:1证明：设AM是BC中位线，G是三角形ABC的重心，则由三角形重心定理可得AG:GM = 2:1。
同理，利用交换对称性，可得BG:GM = 2:1，CG:GM = 2:1，即重心到各顶点的线段比例为2:1。
3. 中位线长度与对应边长的关系证明：设BC = a，AC = b，AB = c。
由于中位线是对应边的中点连接对立顶点而成的，因此，以BC为底边的中位线m_a将三角形ABC分成两个等腰三角形。
因此，AM_a与BC平行，并且AM_a =0.5BC（即m_a的长度等于底边BC的一半）。
同理可得m_b = 0.5AC，m_c = 0.5AB。
三、中位线的应用1. 利用中位线求三角形的重心在实际问题中，我们经常需要计算三角形的重心，而中位线的交点即为三角形的重心，因此可以通过求三条中位线的交点来得到三角形的重心坐标。
2. 中位线与面积的关系设三角形ABC的面积为S，BC中位线长度为m_a，AC中位线长度为m_b，AB中位线长度为m_c。
证明三角形中位线的三种方法
证明三角形中位线的三种方法三角形中位线是数学中常见的概念，它是一种非常重要的结构元素，被广泛的用于几何学的研究。
虽然它的运用非常广泛，但是它的证明却不是非常容易，这也是很多学生学习数学时感到困惑的原因之一。
本文将从三方面介绍三角形中位线的证明：利用数学计算证明、利用角平分线证明和利用勾股定理证明。
首先，我们从数学计算证明中位线开始讨论。
首先，证明所用的基本元素是三角形，任意三角形有三个顶点，三条边，三个内角，三角形中位线是一条连接三角形的顶点的线段，是三角形的一条中线，它将三角形平分成两部分。
若三角形ABC的顶点A、B、C的坐标为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则中位线的斜率可由以下等式来计算：Δ = (y2-y3)*(x3-x1) + (y3-y1)*(x2-x1)若Δ 0，则三角形ABC的中位线斜率是：K = (y2-y1)*(x3-x1) + (y3-y1)*(x2-x1) / (y2-y3)*(x3-x1) + (y3-y1)*(x2-x1)若Δ = 0，则表明三角形ABC的中位线是水平线或者垂直线，可以根据实际情况来求出斜率的表达式，而无需求取斜率的精确值。
其次，我们从角平分线证明三角形中位线开始讨论。
在三角形中，任意一条边都可以以角平分线的形式进行证明，即让一条线段以角平分线的形式分割三角形的四个内角，则该线段必然为中位线。
这是由于任意一条边的两个内角之和必然等于改边的夹角，而角平分线的两个角相等，因此其夹角也就是改边的夹角，进而也就是两个内角之和，因此该线段必然是三角形的中位线。
最后，我们从勾股定理证明三角形中位线开始讨论。
勾股定理是数学中非常重要的定理，也是高数中最重要的定理之一。
它定义了一个三角形的两条斜边之间的关系，即任意一个有向三角形中，两条斜边的平方和等于其余一边的平方，即：a2+b2=c2所以，如果已经知道三角形中任意两条斜边的长度，则可以通过勾股定理计算该三角形的另一条斜边，从而知道三角形的中位线的情况。
三角形的中位线和高线
三角形的中位线和高线三角形是一种简单而重要的几何形状，它由三个点和三条线段组成。
在三角形中，有两条特殊的线段，分别是中位线和高线。
本文将探讨三角形中位线和高线的定义、性质和用途。
一、中位线中位线是连接三角形的一个顶点和对立边中点的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和BC中点的线段AD就是三角形ABC的中位线。
中位线有以下三个重要性质：1. 三角形的三条中位线交于一点在任意三角形中，连接三个顶点与对立边中点的三条中位线会相交于同一个点，称为三角形的重心。
重心是三角形的一个重要中心，具有平衡作用。
2. 重心将中位线分成比例为2:1的两部分以重心为中心，连接重心和三角形两个顶点的线段分别为中位线的两部分。
这两部分线段的长度比例为2:1，即重心到顶点的距离是重心到对立边中点的距离的两倍。
3. 中位线长度与三角形面积的关系三角形的中位线长度等于对立边的一半。
假设三角形ABC的对立边为a，中位线为AD，则有AD=0.5a。
这个性质可以通过面积比例的原理进行推导。
二、高线高线是从三角形的一个顶点垂直于对立边的线段。
对于任意三角形ABC，从顶点A到对立边BC的垂直线段AE即为三角形ABC的高线。
高线有以下三个重要性质：1. 三角形的三条高线交于一点在任意三角形中，从三个顶点分别作对立边的垂线，这三条垂线会相交于同一个点，称为三角形的垂心。
垂心是三角形的一个特殊点，具有一些独特的几何性质。
2. 垂心到三角形顶点的距离相等垂心到三个顶点的距离相等，即垂心与三个顶点的连线构成一个等腰三角形。
这是高线性质的一个重要推论。
3. 高线长度与三角形面积的关系三角形的高线长度与对立边有关。
假设三角形ABC的对立边为a，高线为AE，则有AE=k*√a，其中k为常数。
这个常数可以通过面积比例的原理进行推导。
三、应用中位线和高线作为三角形的特殊线段，在几何学和应用数学中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：1. 计算三角形的面积利用中位线和高线的长度关系，可以快速计算三角形的面积。
三角形的中线与中位线
三角形的中线与中位线三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三个边和三个角组成。
在三角形中，有两条特殊的线段，分别是中线和中位线。
本文将详细介绍三角形的中线与中位线的定义、性质以及应用。
一、中线的定义与性质中线是连接三角形两个顶点与中点的线段。
每个三角形都有三条中线，分别连接顶点与对边的中点。
中线的性质如下：1. 任意两条中线的交点是三角形重心G。
重心G是三角形中心的一种，其特点是到三角形的顶点距离之和最短。
2. 每条中线上的一半长度是另外两条中线长度之和的一半。
即如果AB是三角形的一条边，M是其对边BC的中点，则AM = 1/2(BM + CM)。
3. 三条中线的长度相等。
即任意两条中线的长度之和等于第三条中线的长度。
即AM + BM = CM。
二、中位线的定义与性质中位线是连接三角形两个顶点的中点的线段。
每个三角形都有三条中位线，分别连接形成该边的两个顶点的中点。
中位线的性质如下：1. 任意两条中位线平分第三条中位线。
即如果AB是三角形的一条边，M是其对边BC的中点，N是AC的中点，则MN = 1/2(AB)。
2. 三条中位线的交点是三角形重心G。
重心G是三角形中心的一种，其特点是到三角形的顶点距离之和最短。
3. 三角形的三条中位线把三角形分成六个小三角形，每两个小三角形的面积相等。
三、中线与中位线的应用1. 在解决三角形几何问题时，中线和中位线可以作为辅助线。
通过利用中线和中位线的性质，可以简化问题的解决过程。
2. 中线和中位线可以帮助证明三角形的一些性质。
例如，通过重心的性质，可以证明三角形三条中线的交点就是重心。
3. 在实际生活中，中线和中位线的概念也有应用。
例如，在建筑设计中，可以使用中位线来确保各个房间的位置和大小合理均衡。
总结：三角形的中线和中位线是三角形中重要的辅助概念。
通过了解中线和中位线的性质，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的问题。
无论是在几何学中的证明，还是在实际生活中的应用，中线和中位线都具有重要的价值。
三角形中位线的概念
三角形中位线的概念1. 概念定义在平面几何中，三角形的中位线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
每个顶点都有一条中位线与之对应，因此三角形共有三条中位线。
2. 中位线的构造方法以三角形ABC为例，构造方法如下： - 连接顶点A和边BC的中点M，得到AM； - 连接顶点B和边AC的中点N，得到BN； - 连接顶点C和边AB的中点P，得到CP。
3. 关键概念3.1 中位线长度可以证明，在任意三角形ABC中，每条中位线的长度等于对边长度的一半。
即AM= BM = CN = AN = CP = BP = 0.5 * AB = 0.5 * AC = 0.5 * BC。
这是由于在等腰三角形和全等三角形中，对边长度相等。
3.2 中位线交汇于同一点对于任意一个三角形ABC，它的三条中位线AM、BN、CP交于一点G，这个交点G被称为重心。
重心是指一个物体或几何图形在重力作用下保持平衡时所处的位置。
3.3 重心的性质重心G具有以下性质： - 重心到三角形各顶点的距离满足：AG : GM = BG : GN = CG : GP = 2 : 1。
即重心到顶点的距离是中位线长度的两倍。
- 重心将每条中位线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。
- 重心所在的中位线被分成1:2的比例。
4. 中位线的重要性4.1 几何性质中位线具有以下几何性质： - 中位线平行于底边。
由于中位线连接对边中点，而对边平行于底边，因此中位线也平行于底边。
- 中位线等于底边长度一半。
根据定义可知，中位线连接顶点和对边中点，长度等于对边长度一半。
- 中位线交汇于同一点。
三条中位线交于重心G。
4.2 划分三角形通过连接三角形顶点和对边的中点，可以将三角形划分为六个小三角形和一个大三角形。
这种划分方式有助于研究和计算各个小三角形的性质。
4.3 计算面积利用中位线可以方便地计算三角形的面积。
根据性质，重心将每条中位线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。
三角形中位线定理
A
D
E
B
F
C
定义：连结三角形两边中点的线 段叫做三角形的中位线。
几何语言： ∵点D、E分别是AB和AC的中点 ∴DE是△ABC的中位线
A
中点 D
E 中点
一个三角形有几条中位线？
B
C
F
注意：
三角形的中位线和中线区别：
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段
三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段
理解三角形的中位线定义的两层含义:
① ∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ABC的中位线
② ∵ DE为△ABC的中位线
D
∴ D、E分别为AB、AC的中点
A 。E
一个三角形共有三条中位线。 B
。
F
C
如图，线段DE是△ABC 的中位线，
你能猜测出DE和BC有什么
A
关系吗？
D
1
E
DE∥BC,且DE= 2 BC
A
EF=DE ，连 结CF.
∵DE=EF ∠1=∠2 AE=EC
1
E
∴△ADE ≌ △CFE F ∴AD=FC 、∠A=∠ECF
2
∴AB∥FC
又AD=DB
C
∴BD∥ CF且 BD =CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF＝BC
即DE∥BC
又∵
1
DE DF
DE 1 BC
2
2
A
F
C
（3）若△ABC的面积是 20，则△DEF的面积是 ，
△DEF的面积是△ABC的面积的 。
(4）连结AF则AF是△ABC的
三角形中位线定理
B
M
C
求证：顺次连结四边形四条边的中点 所得的四边形是平行四边形。 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
C G D
F H
A
E
B
求证：顺次连结四边形四条边的中点 所得的四边形是平行四边形。 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EF。因为MN是△ABC 的中位线，利用三角形 中位线定理得MN等于AB 的一半，所以AB为MN的2 倍，等于40m.
A M B
下
C
N
D B
A E C
你能猜出三角形的中位线与第三边 有怎样的关系？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。
你能证明吗？
三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于 它的一半。
已知：在△ABC中，AE=EB，AF=FC。 求证：EF∥BC，EF= 1 BC 2 证明： 延长线段EF到M,使FM=EF，连结MC ∵ AF=FC ∠AFE= ∠CFM EF=FM ∴ △AFE≌△CFM (SAS) ∴ ∠AEF= ∠M ∠A= ∠FCM ∴ AB∥CM EF∥BC E ∴ 四边形EBCM是平行四边形 ∴ EM=BC ∵EF=1 EM 2
B
A
F M
C
∴EF=
1 2
BC
1、如图：EF是△ABC 的中位线， 10 ; BC=20，则EF= （ ）
A E
F
B
C
2、在△ABC中，中线CE、BF相交点 O、M、N分别是OB、OC的中点， 则EF和MN的关系是( 平行且相等 )
A
三角形的中位线
【考点精讲】1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
A BCA BCD DE E F2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3. 三角形的中位线的作用：一是位置关系，可用来证明线段平行； 二是数量关系，可用来证明线段相等或倍分。
【典例精析】例题1 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3。
（1）求证：BN ＝DN ； （2）求△ABC 的周长。
A BCDN12思路导航：（1）证明△ABN ≌△ADN ，即可得出结论；（2）先判断MN 是△BDC 的中位线，从而求出CD 的长，再计算△ABC 的周长即可。
答案：（1）证明：∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND ＝90°，在△ABN 和△ADN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2AN ＝AN ∠ANB ＝∠AND ，∴△ABN ≌△ADN ，∴BN ＝DN ； （2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，由（1）知DN ＝BN ，又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD ＝2MN ＝2×3＝6，故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41。
点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养数学灵感，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找等腰三角形；出现三角形某边的中点，常常构造三角形的中位线。
例题2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN ，EM 。
若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，求图中阴影部分的面积。
A思路导航：连接MN ，根据中位线定理，可得出MN ＝DE ＝5cm ；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm ，这三个三角形的高之和是从A 点到BC 的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积。
三角形的中位线
三角形的中位线三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条边和三个顶点所构成。
而三角形的中位线是指连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
在本文中，我们将讨论中位线的性质和一些相关的应用。
一、中位线的定义给定一个三角形ABC，我们可以通过连接顶点A和对边BC的中点D来得到三角形ABC的中位线AD。
同样地，通过连接B和AC的中点E，或连接C和AB的中点F，我们也可以得到三角形ABC的另外两条中位线BE和CF。
二、中位线的性质1. 中位线的长度三角形的中位线等于对边的一半。
例如，如果三角形ABC的中点分别为D、E和F，那么AD=BD，BE=CE，CF=AF。
2. 中位线的位置三角形的三条中位线交于一个点，称为三角形的重心G。
重心离三角形的每个顶点的距离，等于中位线长度的两倍。
换句话说，GA=2AD，GB=2BE，GC=2CF。
3. 中位线的性质（1）中位线将三角形等分为六个小三角形，这六个小三角形的面积相等。
（2）三角形的重心G将中位线分成2：1的比例。
即AG：GD = BG：GE = CG：GF = 2:1。
（3）中位线的长度满足有向线段的相加关系。
即AD + BE + CF = 0。
三、中位线的应用中位线作为三角形的重要几何特征，在数学和物理等领域有广泛的应用。
1. 重心的应用重心是三角形的重要中心之一，它具有稳定性和平衡性的特点。
在物理学中，重心可用于分析物体的平衡状态。
在建筑工程中，重心的位置对于建筑物的结构设计至关重要。
2. 中位线的应用中位线将三角形分割为六个小三角形，这为我们进行三角形的面积计算提供了便利。
通过计算六个小三角形的面积，并进行适当的求和，我们可以得到三角形的整体面积。
3. 三角形的稳定性中位线划分的小三角形可以帮助我们研究三角形的稳定性。
通过分析小三角形的边长和角度，我们可以确定三角形是否稳定，以及在给定条件下三角形的变形情况。
四、结论三角形的中位线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
三角形中位线性质
三角形中位线性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三个直线段组成，这些直线段相互连接在一起，形成一个封闭的多边形。
其中，三角形的中位线被定义为连接三角形的一个顶点与对边中点的直线段。
本文将探讨三角形中位线的性质以及与三角形其他边和角的关系。
一、对称性质首先，三角形中位线具有对称性质。
取三角形ABC的三个顶点A、B、C，以及三边中点D、E、F（如图所示）。
根据定义，线段DE是由顶点A与对边BC的中点C所连接的。
同样地，线段EF连接了顶点B和对边AC的中点A，线段FD连接了顶点C和对边AB的中点B。
由于从不同顶点出发连接中点的线段具有相同长度，即DE=EF=FD，因此，可以得出结论：三角形的中位线DE、EF和FD相等。
二、长度关系接下来，我们来研究三角形中位线与三角形边长之间的关系。
已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，三角形中位线DE与边BC的中点C连接。
根据中位线的定义，DE与线段BC有同样的长度和平行关系。
根据平行线段的性质，我们可以推断出∠BDE=∠ACB和∠CDE=∠ABC。
这表明，三角形BDE与三角形ACB是相似三角形。
根据相似三角形的性质，可以列出以下比例关系：BD/AC=DE/AB（相似三角形的对应边比相等）由于中位线DE等于边BC的一半，因此BD=DE/2，AC=BC/2，AB=c。
将这些值代入比例关系中，可以得到：DE/2/c=DE/AB化简上述等式，我们可以得到中位线DE与三角形边长c的关系：DE=c/2同样地，可以推导出EF=b/2和DF=a/2。
综上所述，三角形的中位线与三角形的边长之间有如下关系：DE=c/2EF=b/2DF=a/2三、面积关系除了长度关系，三角形的中位线还与三角形的面积存在一定的关系。
已知三角形ABC的面积为S，三角形的中位线DE与边BC的中点C连接。
根据中位线的定义，三角形ABC可分为两个小三角形ADE和CDE。
根据三角形面积的性质，我们可以使用如下公式计算三角形ABC的面积：S=1/2*AB*CD*sin(∠BAC)其中，∠BAC表示角A的度数，CD表示与角A对应的高。
三角形中位线
1、定义：连结三角形 两边中点的线段叫做三角形 的中位线。 注意：
①区分三角形的中位线和中线：
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段 三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点
的线段
②一个三角形共有三条中位线。
A
DE为△ABC的中位线 ③理解三角形的中位线定义的两层含义: D E ⑴∵D、E分别为AB、AC的中点 ∴DE为△ABC的中位线 ⑵∵ DE为△ABC的中位线 B C F ∴ D、E分别为AB、AC的中点
A 。
。B
A
M
若MN=36 m，则AB=2MN=72 m
C
N
B
在AB外选一点C，使C能直接到达A和B，
连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N. 测出MN的长，就可知A、B两点的距离
已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别以AB， D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF。 求证：DE=EF
3’
E
F
∴四边形AEDF为平行四边 形。 ∴AD与EF互相平分
1’
连接三角形各边中点的三角形的周长为 2a a，则原三角形的周长是_______
5’
已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长线 上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于 点F、G，连接AC交BD于O，连结OF. 求证: AB=2OF
b
B
D
4、两条直线间距离关系
1、两条平行线的距离的定义：两条 平行线，过其中任意一条平行线的 任意一点所做的垂线段的长度，叫 做这两条平行线间的距离。 2、两条平行线的距离处处相等
D
C
B
三角形中位线所围成的三角形的面积关系
解：∵ △ABC 为等腰三角形，AD⊥ BC 已知，EF为等腰三角形△ABC 的中位 ∴AD为△ABC的中线 ∴BD=DC=1/2BC ： △ABC＝ 线，BC＝10，AB=6，求证 ∵ EF为等腰三角形△ABC 的中位线 4 △AEF ∴EF＝1/2BC，E、F为AB、AC的中点 ∵AB=AC ∴ AE=BE=AF=FC=1/2AB ∵AE=AF ∴AD为△AEF的中线 A ∴OE=OF=1/2EF ∵ BC＝10，AB=6 ∴EF=5 ＝(BC*AD)/2 ∵ S△ABC AE=BE=AF=FC=3 F E OE=OF=2.5 BD=DC=5 O ∵ △ABC与△AEF为直角三角形 2 S△AEF＝(EF*AO)/2 2 2 2 2 2 ∴由勾股定理的AE+OE=AO;AB+BD=AD B 2 2 又∵EF=1/2BC AO=1/2AD 带入得：AO=15.25 AD=61 D C 2 2 ∴AD=4AO AD=2AO ∴ S△ABC=4S△AEF
中位线(三角形中位线)
猜想：DE∥BC，DE＝ 1 BC 2
．
如图， △ABC 中，点D、E分别是AB与AC 的中点，证明：DE∥BC，DE＝ 1 BC
2
．
三角形的中 位线平行于第三 边，并且等于第 三边的一半。
如果点D、E分别是AB与AC的中点， 那么 DE∥BC，DE＝ 1 BC
2
．
如果点DE是△ABC 的中位线， 那么 DE∥BC，DE＝ 1 BC
如右图，在三角形ABC中，若 DE//BC,则（△ADE∽△ABC ）
由△ADE∽△ABC，推得对
应线段成比例（ AD
=）
AB
AA= CE
DE BC
B 假设D是AB的中点，E是AC
C
的中点，那么DE 的比值是多
少？DE是△ABBCC的什么线？
A
D
E
连接三角形两边 中点的线段,叫做 三角形的中位线
C
例1 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
例1 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知，如以下图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC， AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．
A
D
F
B
C E
例1 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知，如以下图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC， AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．
三角形三条边上的中线 交于一点，这个点就是 三角形的重心，重心与 一边中点的连线的长是
对应中线长的
1、练习 第1题 2、习题23.4 第2题
中位线(三角形中位线)
B
F
C
AF是△ABC的中线
DE是△ ABC 的中位线
三角形的中位线
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
求证:DE∥BC, DE 1 BC.
2
证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.
∵ AE=CE,∠AED=∠CEF,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
D
∴AD=CF,∠ADE=∠F.
∴BD∥CF.
∵AD=BD,
B
∴BD=CF.
∴四边形DBCF是平行四边形.
答：中位线是连结三角形两边 中点的线段；
中点 D
E 中点
中线是连结一个顶点和它的对边
中点的线段。
B
F
C
试一试:
三角形的中位线平行于第三边,且等于第三
边的一半.
A
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
D
E
求证:DE∥BC, DE 1 BC.
2
B
C
分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明 与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系, 于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相 等.
D
F
C
G
H
A
E
B
分析：
（1）运用三角形中位线定理；
（2）运用平行四边形的定义、两组对对分别平行的四边形是平行四边形、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形都可以判定。
这节课你有何收获？
A
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于 D
E
第三边,且等于第三边的一半.
∵DE是△ABC的中位,
∴DE∥BC,DE 1 BC. 2
作用：1、证明两条线段平行；
2、证明一条线段是另一条线段的2倍或 1 ; 2
3、进行有关计算.
能利用三角形的中位线定理证明前面分成的四个三角形全等吗？
三角形中位线判定方法
三角形中位线判定方法三角形中位线是连接三角形的任意两个中点的线段。
中位线有很多有趣的性质，其中之一是可以用它来判定一个三角形是否为等腰三角形。
一个三角形是等腰三角形，当且仅当它的两条边的长度相等。
如果我们设三角形的三条边分别为a,b,c，那么可以用以下公式来计算三角形的面积：S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s=(a+b+c)/2是半周长。
如果一个三角形是等腰三角形，那么它的面积可以用以下公式来计算：S = sqrt(s(s-a)(s-a)(s-c))也就是说，等腰三角形的面积可以用一个边长和另外两个边的一半来计算。
现在我们来看看如何用中位线来判定一个三角形是否为等腰三角形。
首先，我们需要知道中位线的长度。
如果我们设三角形的三个顶点为A,B,C，中位线AC的中点为D，BC的中点为E，那么中位线AC和BC的长度分别为：AC = (AB + BC) / 2BC = (BC + AC) / 2如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底边AB和AC的长度应该相等，也就是说：AB = AC我们可以将这个条件转化为：(AB + BC) / 2 = (AC + BC) / 2AB + BC = AC + BCAB = AC因此，如果一个三角形的中位线AC和BC的长度相等，那么它就是一个等腰三角形。
以上就是用中位线判定一个三角形是否为等腰三角形的方法。
除了这个方法，中位线还有很多有趣的性质，例如，三角形的三条中位线交于一点（重心），这个点到三个顶点的距离相等，等等。
这些性质在几何学中有很多应用，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
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No.9 创新学校八年级数学导学案
课题：三角形的中位线
学习目标：
1．记忆三角形的中位线概念；
2．理解三角形中位线性质定理；
3．能理解三角形中位线性质定理的推导
1．重点：结合图形能用几何语言描述三角形中位线性质定理；
2．用三角形中位线性质定理解决一些简单的实际问题。
难点：用三角形中位线性质定理解决一些简单的实际问题。
教学法：观察、比较、合作、交流、探索
导学程序
导学内容及预见性问题t
方法与措
施
预习案课前完成
(学法指导)1.阅读探究课本的基础知识
2，完成教材助读设置的问题，结合课本的基础知识和例题，完成预习自测
学一学：阅读教材P82页的内容，解答下列问题：
1、叫做三角形的中位线。
2、一个三角形有条中位线，
我能在图1的三角形中画出三角形的中位线。
3、在图2中，我量线段EF= ，AB= ，
我可以猜测出线段EF与AB的关系式是。
我还可以猜测出线段EF与AB的位置关系是：。
学一学：阅读教材P56例题上方的内容，解答下列问题：
1、如图3，点E、F分别是ABC
边AC、BC上的中点，
求证：EF=
2
1
AB，EF//AB。
知识点一、三角形的中位线性质定理
证明：将CEF ∆绕点F 旋转︒180，设点E 的像
为点G ，易知点C 的像是点 ，点F 的像是点 ，
且E 、F 、G 在同一条直线上。
又因为旋转不改变图形的 ，
所以BG= = ，GF= ，G ∠=
则CE// 。
（ ）
即 AE//
又AE=
所以四边形 是平行四边形。
（ ） 所以EG= ，EG// 。
（平行四边形的 ） 又因为EF=FG
所以EF=21 =2
1 ，EF// 。
【归纳总结】
三角形中位线性质定理：
三角形的中位线平行于 ，并且等于 。
【课堂展示】
填一填：
1、 如图5，点E 、F 、H 分别是ABC ∆三边上的中点，则有：
（1）ABC ∆的中位线有
（2）HF// ，HF= = =
2
1 （3）HE// ，HE= = =2
1 （4）EF// ，EF= = =21
2、在图5中，有几个平行四边形？它们分别是
3、如图6，顺次连结四边形ABCD 各边中点E 、F 、H 、M ，得到的四边形EFHM 是平行四边形吗？为什么？
【当堂检测】：（每小题50分，共100分）
1、如图7，设四边形EFHM 的两条对角线EH 、FM 的长分别为1
2、10，A 、B 、C 、D 分别是边EF 、FH 、HM 、ME 的中点，求
ABCD 的周长。
2、 如图8，已知ABC ∆三边AB=18，BC=10，AC=16，
则有：
（1）EF= ，HF= ，HE= ；
（2）EFH ∆的周长是
（3）图形中有 对全等的三角形，它们分别是
；
（4）图形中有 个平行四边形，它们分别是
；
（5）EFH ABC ∆∆与的面积关系是 。
教学反思。