足球射门数学模型

Q
依次定义，以ox轴上的任意一点Q(k,0)为圆心，以
QA长为半径的圆包含在场内的每一段圆弧均为等效线，
等效线的方程为：
( x k )2 y 2 k 2 3.662
( 34.5 y 34.5)
等效线层层包含，内层总要比外层要好一些。比如，在
点M射门比在点M处效果要好，较远处 M 与较近处点 N 是等效位置，点M与N点也是等效位置。
EB EA ，即 当且仅当 x x EA EB 时取等号。所 x 以
EB EA x 2 EA EB x
tan APB
AB 2 EB EA
又因为 APB
2 P 是最佳射门点，此时
，所以当 x EA EB 时，取最大值,
x ( y 3.66)( y 3.66) (3.66 y 45) （1）
体的方法如下：
根据一般职业球员的情况，我们认为一个球员在球
门的正前方（θ=/2） 距离球门10米处（d=10）向球门
内的目标点劲射，标准差应该在1米以内，即取σ=1，由 d 公式 (cot 1) 得 k=10。于是，当球员的基本素质 k
k=10时，求解该模型可以得到球场上任意一点对球门的威
对命中球门的概率在球门区域D内做积分，定义为
球场上某一点A(x0，y0，0) 对球门的威胁度 ，即
D( x0 , y0 ) P ( x0 , y0 ; y1 , z1 )dy1dz1 ,
D
综上所述，对球场上任意一点A(x，y，0) 关于对球
门的威胁度为
D( x , y ) P ( x , y; y1 , z1 )dy1dz1 ,
数学建模
第五讲
足球射门的数学模型
一、问题的提出
足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家
喜欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中，运动员在
对方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不相同
的。在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧的射门； 近距离射门对球门的威胁要远大于远距离的射门。在实 际中，球员之间的基本素质可能有所差异，但对于职业 球员来讲一般可以认为这种差异不大。请你结合球场和
D
PD ( x , y; y1 , z1 ) 其中，P ( x , y; y1 , z1 ) . P ( x , y; y1 , z1 )
| y1 y | d (cot 1), cot k x
2 d x 2 ( y1 y )2 z1 .
要求解该问题一般是比较困难的，只能采用数值积 分的方法求解。首先确定反映球员素质的基本参数k，具
球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门， 都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非 是那些地方进球的可能性大一些，哪些地方进球的可能性 小一些。我们把进球可能性大的区域称为危险区域。同样
球员无论从哪个地方射门，都有一个确定的射门角度，不
同的射门地点，其射门角度不尽相同，射门的角度与球场
胁度，部分特殊点的威胁度如下表。根据各点的威胁独的 值可以作出球场上等威胁度的曲线
(x, y) (0, 1) D 14.4596 (x, y) (3, 1)
(0, 5) 14.5351 (3, 5)
3．射门时无对手进行有效的防守。
4．不考虑球员之间的个体差异及球员的心理、技术 等因素。 5．足球场地是国际上的标准场地。
四、模型建立与求解
根据我们调查，国际标准足球场地的规格为：长104 米、宽69米，足球门宽7.32米，中圈半径9.15米 。
球门区：在比赛场地两端距球门柱内侧5.50米处的球
门线上，向场内各画一条长5.50米与球门线垂直的线，一 端与球门线相接，另一端画一条连接线与球门线平行，这 三条线与球门线范围内的地区叫球门区。 罚球区： 在比赛场地两端距球门柱内侧16.50米处的
BCBC , DADA.
并以AB所在的直线为oy轴，以垂直于AB平分线为ox轴,
建立平面直角坐标系如图 2，因此可求得 A(0, 3.66),
B(0, 3.66), C (0, 34.5), D(0, 34.5)
图2
1)在区域 DADA 内射门最佳点的轨迹方程在区域
DADA 内任取一点 P ( x , y ).
上的最大射门角度之比称为命中率。
某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时，该 球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的
概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定
时，球飞向球门所在平面上的落点呈现一个固定的概率分 布。我们稍作分析，容易判定，该分布应当是一个二维正 态分布，这是我们解决问题的关键所在。 球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面
球门线上，向场内各画一条长16.50米与球门线垂直的线,
一端与球门线相接,另一端画一条连接线与球门线平行,这 三条线与球门线范围内的地区叫罚球区，在两球门线中点
垂直向场内量11米处各做一个清晰的标记，叫罚球点。以 罚球点为圆心，以9.15米为半径,在罚球区外画一段弧线, 叫罚球弧。这里仅需讨论一个球门的情形。如示图1
( 2）若x保持不变，显然，P(x,y)越靠近ox 轴， APB
越大，射门命中率越高。
综上所述，在区域 DADA 内与边线平行位置射门, 在曲线
x y 3.66
2 2
2
上较好，在与底线平行位置射门，越居中越好。这就打破
了人们传统上离球门越近越好的错误想法。比如，M点与 N点比较，较远的点N处射门较好，K点与H点比较，K点 射门较好。
2 ( y y1 )2 ( z z1 )2 2 2
f ( y, z )
1 2
e
其中σ与球员的素质成反比，与射门点A(x0, y0, 0)和目标
点 B(0, y1, z1) 之间的距离d成正比，且偏角越大方差σ 越
小。当偏角为/2时，方差仅与k，d 有关.
于是，我们可以确定σ的表达式为 d (cot 1) k | y1 y0 | 2 2 2 , d x0 ( y1 y0 ) z1 . 其中，cot x0
(1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。 连接PA，PB。
1)在区域 DADA 内射门最佳点的轨迹方程在区域
DADA 内任取一点 P ( x , y ).
(1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。 连接PA，PB。
APB EPB EPA
tan APB tan(EPB EPA)
某点对球门的威胁程度，根据威胁程度的大小来确定球门
的危险区域。
三、模型假设
为解决上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、 适当的假设： 1．足球相对于足球场所占的空间可以忽略不计，即 将足球看成一个质点。
2．不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根
据统计资料，射门时球的速度为v0=10米/秒。
tan APF tan BPF 1 tan APF tan BPF
AF FB x x AF FB AF FB AF FB 1 x 2 x x
由于AF 与FB 和为定值(AF+FB=7.32m) 。所以
AF FB 2 AF FB
AF FB tan APB ( AF FB )2 x 4x
tan EPB tan EPB 1 tan EPB tan EPB
EB EA AB x x EB EA EB EA 1 x 2 x x
AB 即 tan APB EB EA x x EB EA 由于y不变， x与 积为常数。也就是 x
足球比赛的实际情况建模分析，并回答以下几个问题：
1. 足球场上哪些位置射门命中率高？哪些位置射门
命中率相同？
2.
针对球员在不同位置射门的威胁程度进行研究，
并绘制出球门的危险区域；
3.
在有一名守门员
的情况下，对于球员射门 威胁程度和威胁区域作进 一步研究.
二、问题分析
根据这个问题,要确定球门的危险区域, 也就是要确定
Q
2. 问题2, 3的讨论 首先建立如下图所示的空间直角坐标系，即以端线
中点位置为原点o，地面为xoy面，球门所在的平面π为
yoz面.

A
z
x

B o
y
2. 问题2, 3的讨论 问题2
根据前面对问题的分析，再此假设基本素质为 k 的
球员从点A(x0, y0, 0) 向距离为d的球门内目标点B(0, y1, z1) 射门时，球在目标平面上的落点呈现二维正态分布， 且随机变量y, z是相互独立的，其密度函数为
上确定一个目标，射门后球以该概率分布落在球门所在的
平面内。将球门视为所在平面的一个区域，在区域内对该 分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球 员在球场上选择射门的目标点是任意的，而命中球门的概 率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门
区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上
于是，对于区域 DADA 内每一个确定y ，都存在相 应的
x ( y 3.66)( y 3.66) ，
使得点P(x,y)是最佳射门点，故方程（1）是区域 DADA 内射门最佳轨迹方程，整理为
x y 3.66 (3.66 y 45, x 0)
2 2 2
即为等轴双曲线的一部分。
区域 DADA 内射门最佳轨迹方程
x 2 y 2 3.662 (3.66 y 34.5, x 0)
类似可求区域 BCBC 内射门的最佳轨迹方程为：
x 2 y 2 3.662 (34.5 y 3.66, x 0)
2) 在区域 ABBA内射门最佳点轨迹方程 如示图3，在区域 ABBA 内任取一点P(x,y) . ( 1) 若y保持不变，显然P(x,y) 离球门越近， APB 越大，射门命中率越高。
图1
1.
问题1的讨论
由平面几何知识知:沿边线 DD总可以找到一点使得
∠APB 最大。 大家知道， 球员水平一定的情况下，角
∠APB越大，在P点射门的命中率就越大，因此我们称使 得∠APB最大的点P为足球场射门的最佳点。那么在足球 场内，哪些点属于足
球射门的最佳点呢？
为研究方便，我们把 足球场地划分为三条 带型区域：ABA B,
e
dydz ,
P ( x0 , y0 ; y1 , z1 )

1 f ( y , z )dydz e 2 2
( y y1 )2 ( z z1 )2 2 2
dydz ,
我们把取两者的比值定义为这次射门的概率，即
PD ( x0 , y0 ; y1 , z1 ) P ( x0 , y0 ; y1 , z1 ) . P ( x0 , y0 ; y1 , z1 )
当且仅当AF=FB 时取等号, 又APB

2 AF=FB时，APB 最大，此时P(x, y) 在ox轴上。
. 当且仅当
可见，在区域 ABBA 内，最佳点的轨迹方程为：
y 0 (0 x 110)
在区域 ABBA 内，平行于底线位置射门越居中越好。
3．足球场射门的等效线 如图3，在圆弧AB上任取一点 ， 由圆弧所对圆周角 相等知 AMB为定值。我们称为圆弧AB的等效线。等效 线上的每一点称之为射门的等效点，如点M和点N是等效 点。
图3
( 2) 若x保持不变，作PF AB于F 。
APB APF BPF tan APB tan( APF BPF )
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( 2) 若x保持不变，作PF AB于F 。
APB APF BPF tan APB tan(APF BPF )

A
z
x

B o
y
注意到密度函数的表达式中，关于变量 y, z是对称 的，但实际中只能落在地面以上，即只有z0. 为了平衡 这个密度函数，我们令
PD ( x0 , y0 ; y1 , z1 ) f ( y , z )dydz
D D
1 2
2

( y y1 )2 ( z z1 )2 2 2