重力加速度的测量

M = −mghθ
（9）
于是由刚体转动定律 M = I d 2θ 可得： dt 2
d 2θ dt 2
= - mgh θ I
令ω 2 = mgh ，可得复摆的动力学方程： I
d 2θ + ω 2θ = 0 dt 2
其摆动周期：
（10） （11）
T = 2π = 2π I
ω
mgh
（12）
若令 L' = I ，则复摆的周期公式可改写为： mh
再令
H = A2 − A1 = (x4 − x2 ) − (x3 − x1 ) = x4 + x1 − x2 − x3 = 2gt 2
g = H = (x4 + x1 ) − (x2 + x3 )
(7)
2t 2
2t 2
此法的优点是与上光电门的读数 x0 无关，且 x1, x2 , x3 , x4 为下光电门位置读数，其读数误差
注：此装置加上两个摆锤也可成为开特摆（又称可逆摆），详细资料可参考：杨述武等 主编的《普通物理实验》（一.力学、热学部分）第二版 高等教育出版社 P190-196
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设计性实验一 重力加速度的测量
重力加速度 g 是一个反映地球引力强弱的地球物理常数，它与地球上各个地区的经纬 度、海拔高度及地下资源的分布有关（两极的 g 最大，赤道附近的 g 最小，两者相差约 1/300）。 重力加速度的测定在理论、生产和科学研究中都具有重要意义。
h 难以精确测定；二是复摆不可能做成密度均匀的理想形状，其 I 难以精确计
算。不过，可以利用复摆的共轭特性来间接测量 L' 。
如图 5，复摆的共轭特性是指在重心 G 的两旁总可以找到两个共轭点 O
和 O΄（与重心三点共线），当两点之间的距离等于等效摆长 L' 时，以 O 为悬点
的摆动周期和以 O΄为悬点的摆动周期正好相等。证明如下： 设复摆对重心 G 轴的转动惯量为 IG，根据平行轴定理可得复摆对转轴 O
设计方案举例：
测量重力加速度的方法很多，有单摆、开特摆、三线摆、气垫导轨法和自由落体仪法等 等，它们各有特点。下面例举几种比较典型的方案。
方案一、单摆法
1． 原理
摆长为 l 的单摆，其摆动周期 T 与摆角θ 的关系为：
T = 2π
l
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
1
⎟⎞
2
sin
2
θ
+ ⎜⎛ 1 ⎟⎞2 ⎜⎛ 3 ⎟⎞2 sin4
2．方案实施： （1）仪器：J-LD23 型复摆实验仪（使用见讲义 P18），数字毫秒计，光电门。 （2）操作：
①按照 h 从小到大或从大到小的顺序，先测出它在某个小孔处的周期 T，并从摆杆上直 接读出悬点到摆杆中心的距 h；
② 找到第一步时的悬点（小孔）关于摆杆重点的对称点(小孔)，然后测出期摆动周期 T ′
T = 2π L′ g
（13）
它与单摆的周期公式相同，因而又把 L' 称为复摆的等值单摆长（即等效摆长）。可见，
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只要能测出复摆的周期 T 及其等效摆长 L' 就可求出重力加速度 g：
g = 4π 2 ⋅ L' T2
（14）
复摆的周期可以测得非常精确，但直接测量 L' 相当困难，一是重心 G 的位置不易确定，
异，即光电门的位置读数与光电门开始或结束计时并不相符，故 h1、h2 的读数存在一定误
差。
方法二：如图 2 所示,为了尽可能消除上、下光电门位置读数与数字毫秒计计时开始或结束
不相符而产生的误差，可测出一组数据 nt，（n=1,2,3,4）及对应的高度 hn = x0 − xn
（n=1,2,3,4）， x0 为上光电门坐标， xn 为下光电门坐标
标 x0 , x1 ， 则 两 光 电 门 之 间 距 离
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h1 = x0 − x1 ，释放小球，记下小球落下时经过两光电门的时间 t1 ；把下光电门下移至捕球
器附近，测出下光电门的坐标 x2 ，则两光电门之间的距离 h2 = x0 − x2 ，释放小球，记下小
结合式
h
=
v0t
+
1 2
gt
2
并根据二次逐差法原则可令
A1 = h3 − h1 = (x3 − x0 ) − (x1 − x0 ) = x3 − x1 = v0 (2t) + 4gt 2 A2 = h4 − h2 = (x4 − x0 ) − (x2 − x0 ) = x4 − x2 = v0 (2t) + 6gt 2
m(L′ −
h
)
+
L′
−
h
（17）
将（9）式变形有
IG
m(L′ −
h)
−
h
=
0
，于是由（10）式可得
L′′
=
L′
。可见，以
O΄为悬
点的等效摆长与以 O 为悬点的等效摆长相同，因而它们的摆动周期也相同，都等于：
T = 2π L′ = 2π IG + mh2
g
mgh
（18）
根据复摆的这一共轭特性，只要能找到T = T ′ 的两个点 O 和 O΄，测出其间距 OO′ 就可 得到与复摆周期 T 相对应的等效摆长 L' 。
（到重心的距离为 h）的转动惯量：
I = IG + mh2
复摆以 O 为悬点的等效摆长：
（15）
来自百度文库
L'= I = IG + h mh mh
同理可以求得复摆以 O΄为悬点（到重心的距离为 L΄-h）的等效摆长：
（16）
L′′ =
I′
m(L′ − h)
=
IG
+ m(L′ − h)2 m(L′ − h)
=
IG
③ 重复①、 ②步，测 10 个对称小孔。填表 4
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物理量 次数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
h(cm)
表4 T（s）
T ′ （s）
（3）处理 ①在坐标纸上绘制周期 T 与悬点位置 h 之间的关系 曲线（如图 6）； ②在坐标图上作一条 T=Ti 的直线 MN，它与 T～h 曲 线有 a、b、c、d 四个交点（其中 a 与 c 共轭、b 与 d 共轭）； ③ 由交点坐标计算与复摆周期 Ti 相对应的等效摆
长 L' （ = ac + bc ）。 2
④由（14）算出 g
⑤ 根 据 桂 林 地 区 重 力 加 速 的 公 认 值 g公认值 = 9.785m / s 2 ， 求 出 相 对 不 确 定 度
E = g公认值 − g ×100% ，并求得测量结果 g = g ± Δg(其中Δg = E ⋅ g) g 公认值
①把三线摆改装成单摆，并在小球下安装磁铁。
②调节磁铁与霍尔开关的距离，使其能正常工作，连接计时器。
③测出相关的数据，填入表 2 中。
④改变拉开距离，再重复测量，直至完成表 2 的记录。
拉开距离 x（cm）
表 2 L= 相应半角
sin 2 (θ / 2)
cm, d=
cm
1 个周期测量值(T/s)
1
2
3
选择的研究课题
1、测定本地区重力加速度 g 值，测量结果至少有 4 位有效数字，并要求百分误差小于 0.1％。
2、试比较各种实验测量方法的优缺点。讨论各种实验测量方法中，哪些量可测得精确？ 哪些量不易测准？并说明如何减小或消除影响精确测量的各种因素等。
选择的仪器
单摆、三线摆、J-LD23 型复摆实验仪、自由落体测定仪、HPCI-1 物理实验微机辅助教 学系统、钢球、重锤、米尺、游标卡尺、光电门、霍尔开关、数字毫秒计、杨氏模量测量仪 等。
(2) （3）
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2．方案的实施：
对于方法 1：
⑴仪器：三线摆支架，小球，细线，游标卡尺，米尺，MS-1 多功能计时器，霍尔开关。
⑵操作步骤：
①把三线摆改装成单摆，并在小球下安装磁铁。
②调节磁铁与霍尔开关的距离，使其能正常工作，连接计时器。
③测出相关的数据，填入表 1 中。
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据记录由 HPCI-1 物理实验微机辅助教学系统软件自动完成。见图 3 左侧。 (3)处理:
处理方法 1：用二次多项式 s = A + Bt + Ct 2 拟合所测数据 Δti和Δsi ，求得系数 A，B，C，
与自由落体方程 s
=
v0t
+
1 2
gt 2
相比较从而得
g 公认值
方案三、复摆法
1．原理：
如图 4，在重力作用下能绕固定水平转轴在竖直面内自由摆动的刚体
称为复摆（物理摆）。设刚体的质量为 m，重心 G 到转轴 O 的距离为 h，绕
O 轴的转动惯量为 I，当 OG 连线与铅垂线的夹角为θ 时，刚体受到的重力
矩：
M = −mghsinθ
（8）
式中的负号表示力矩的方向与角位移的方向相反。当摆角θ <5°时，sinθ ≈θ ，此时：
相同，由上式知其误差已消除，由此减少了所产生的系统误差；并进行多次测量，减少了偶 然误差，从而提高了测量精度，此法难在 1t,2t,3t,3t 的时间控制，一定要细心调节。测量 精度可达 99.9%。
3． 方案的实施：
方法 1： (1)仪器：自由落体测定仪、HPCI-1 物理实验微机辅助教学系统、钢球、重锤 (2）操作：
θ⎤ ⎥
(1)
g ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠
2 ⎝2⎠ ⎝2⎠
2 ⎥⎦
方法 1：零级近似法：当θ<5°时
T = 2π l g
方法 2：一级近似法: 由（1）式可得 1 级近似公式为：
T = 2π l ⎜⎛1 + 1 sin 2 θ ⎟⎞ g⎝ 4 2⎠
故当 l 固定不变时，T 与 sin 2 θ 成线性关系。 2
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②再求海拨为 h 时的重力加速度：
g公认值 = g 海平面 − h * 3.09 × 10−6 (m / s 2 ) 其中 h 的单位为 m. 桂林北纬 25 度 16 分，平均海拨 150m.按公式算可求得 g公认值 = 9.785m / s 2
对于方法 2： ⑴仪器：同零级近似法。 ⑵操作步骤：
球下落经过两光电门的时间 t2 ，设小球落经上光电门时的速度为 v0 ，则有
h1
=
v0t1
+
1 2
gt12
(4)
h2
=
v0t2
+
1 2
gt2 2
(5)
由上述两式联立化简得
g = 2(h2t1 − h1t2 ) = 2(h2 t2 − h1 t1 )
(6)
t2 2t1 − t12t2
t2 − t1
此法与 v0 无关，即已消除了电磁铁断电后剩磁的影响，但由于上下光电门之间存在一定差
g 公认值 B、直线拟合法: 由式（2）可知，T2 和 L 之间具有线性关系， 4π 2 为其斜率，故可利
g 用 T2—L 直线的斜率求出重力加速度 g。 注： g公认值 可按如下公式获得： ①先求出在海平面上纬度为ϕ 的重力加速度； g海平面 = 9.780327(1 + 0.00530244 sin 2 ϕ − 0.00000585sin 2 2ϕ )
④改变摆长，再重复测量，直至完成表 1 的记录。
次数
1 2 3 4 5
摆线长 度 L1 （cm）
摆球 直径 d (cm)
表1
摆长 L=L1+d/2(c
m)
50 个 周期 t50(s)
平均
周期 T(s)
重力加速度 g(cm/s2)
⑶数据处理： A、计算法
①由表 1，计算出平均测量值 g ； ②根据桂林地区重力加速度的公认值 g公认值 = 9.785m / s 2 ，求出相对不确定度 E = g公认值 − g ×100% ，并求得测量结果为： g = g ± Δg(其中Δg = E ⋅ g)
g=2*C。此过程由
HPCI-1
物理实验微机辅助
教学系统软件自动完成。实验结果见图 3。
图3 处理方法 2：按（6）式直接算出 g。
对于处理方法 1 和处理方法 2，求出 g 后，根据桂林地区重力加速的公认值
g 公认值
= 9.785m / s 2 ，求 出 相 对 不 确 定 度 E =
g公认值 − g g 公认值
平均值
⑶数据处理：
直线拟合法：由表 2 数据作出 T ~ sin 2 θ / 2 直线，得到斜率 B，载距 A；由（3）式可
知 ： A = 2π
l g
，故
g
=
4π 2l A2
（l = L+ 1 d ） 2
方案二、自由落体法：
2． 原理:
方法一：如图 1 所示,我们把上光电门放于 小球下落的起始位置附近，下光电门放于装 置的二分之一高度附近测出两光电门的坐
×100% ， 并 求 得 测 量 结 果
g = g ± Δg(其中Δg = E ⋅ g)
方法二：
(1）仪器：同方法 1
(2）操作：也同方法 1 填表 3
表3
时间
T
2T 3T 4T
下光电门坐
标
x1
x2
x3
x4
桂林电子科技大学物理实验中心 物理实验教案
(3）处理： ①由（7）式计算出 g
②根据桂林地区重力加速度的公认值 g公认值 = 9.785m / s 2 ，求出相对不确定度 E = g公认值 − g ×100% ，并求得测量结果为： g = g ± Δg(其中Δg = E ⋅ g)