成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版)

' = −2x−3
6、 x' = 1
三、导数的四则运算 运算公式（设 U，V 是关于 X 的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的 U 和 V 即
可，代入后用导数公式求解.）
（1） (u ± v)' = u' ± v'
（2） (u • v)' = u'v + uv' 特别地 (Cu)' = Cu' （ C 为常数）
x→−∞
x→−1
x→∞
x→π
6
例 2： lim x2 + 3x −1 = 02 + 3• 0 −1 = −1
x→0 x +1
0 +1
例 3： lim tan(x −1) = tan(2 −1) = tan1 （非特殊角的三角函数值不用计算出来）
x→2 x −1
2 −1
2、未定式极限的运算法
（1）对于
பைடு நூலகம்
例 3：极限 lim tan 3x = lim 3x = lim 3 = 3
x→0 x
x x→0
x→0
……… sin 2x 用 2 x 等价代换 ……… tan 3x 用 3x 等价代换
2
Ⅱ、一元函数的微分学
一、导数的表示符号
（1）函数 f (x) 在点 x0 处的导数记作：
f ' (x0 ) ， y'
……… ∞ 未定式，分子分母同时除以 n ∞
解：原式 =
lim
2
−
3 n
=
2−0
=
2
n→∞ 3 + 1 3 + 0 3
n
………无穷大倒数是无穷小
例 2：计算 lim 3x2 − 2x −1 . x→∞ 2x3 − x2 + 5
……… ∞ 未定式，分子分母同除以 x3 ∞
解：原式= lim
3 x
−
2 x2
则 lim β = lim β ' 或 limα • β = limα ' • β ' α α'
（3）常用的等价无穷小代换：当 x → 0 时， sin x ～ x , tan x ～ x
例 1：当 x → 0 时， sin 2x ～2 x ， tan(−3x) ～ −3x
例 2：极限 lim sin 2x = lim 2x = lim 2 = 2 x→0 5x x→0 5x x→0 5 5
（3） (u v
)'
=
u'v − uv' v2
例 1：已知函数 y = x4 + 3cos x − 2 ，求 y' .
( ) 解： y' = x4 ' + 3(cos x)' − 2' = 4x3 − 3sin x − 0 = 4x3 − 3sin x
例 2：已知函数 f (x) = x2 ln x ，求 f '(x ) 和 f ' (e) .
如果要求函数在点 ( x0 , y0 ) 处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将 x0 和 y0 代入即可.
例 1：已知函数 z = x3 y − 2 y2 x ，求 ∂z 和 ∂z . ∂x ∂y
解： ∂z = 3x2 y − 2 y2 ， ∂z = x3 − 4xy
∂x
∂y
例 2：已知函数 z = x2 sin 2 y ， 求 ∂z 和 ∂z . ∂x ∂y
3
( ) 解： f '(x) = x2 ' ln x + x2 (ln x)' = 2x ⋅ ln x + x2 ⋅ 1 = 2x ⋅ ln x + x x 所以 f ' (e) = 2e ⋅ ln e + e = 2e + e = 3e （注意：lne=1,ln1=0）
例
3：已知函数
f
(x)
=
x 1+ x2
高等数学（二）重点知识及解析（占 80 分左右）
Ⅰ、函数、极限
一、基本初等函数(又称简单函数)： （1）常值函数：y = c （2）幂函数：y = xa
（3）指数函数：y = ax ( a 〉0, 且a ≠ 1)
（4）对数函数： y = log a x ( a 〉0, 且a ≠ 1)
（5）三角函数： y = sin x ， y = cos x ， y = tan x ， y = cot x
如 y = sin x2 由 y = sin u 和 u = x2 这两个简单函数复合而成
（2）用导数公式求出每个简单函数的导数.
即 dy = cos u ， du =2 x
du
dx
（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量 x 替代回去.
∴ dy = dy • du =2 x cos u =2 x cos x2 dx du dx
或 dy
x= x0
dx
x = x0
（2）函数 f (x) 在区间（a,b）内的导数记作：
f '(x ) ， y' 或 dy dx
二、求导公式（必须熟记） （1） (c)' = 0 （C 为常数） （3） (ex )' = ex （5） (sin x)' = cos x
（2） (xα )' = α xα −1 （4） (ln x)' = 1
x （6） (cos x)' = − sin x
（7） (arcsin x)' = 1 1− x2
（8）
(arctan
x)'
=
1 1+ x2
( ) 例：1、
x3
’
=
3x 2
( ) 2、
x
'
=
1
−1
x2
2
3、
⎛ ⎜⎝
sin
π 6
⎞' ⎟⎠
=
0
4、π ' = 0
( ) 5、
⎛ ⎜⎝
1 x2
⎞' ⎟⎠
=
x−2
f (x) =
f (x0 ) 。
注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即 lim C = C 。
（2）该方法的使用前提是当 x → x0 的时候，而 x → ∞ 时则不能用此方法。
例 1： lim 4 = 4 ， lim − 3 = −3 ， lim lg 2 = lg 2 ， lim π = π ，
；
( ) ∂z
∂y
( x0 , y0 ) ，
f
' y
x0 , y0
， z' y ( x0 , y0 ) ；
2、偏导数的求法 （1）对 x 求偏导时，只要将 y 看成是常量，将 x 看成是变量，直接对 x 求导即可. （2）对 y 求偏导时，只要将 x 看成是常量，将 y 看成是变量，直接对 y 求导即可.
2、方 法 二（直接求导法）：
复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，
对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.
例 1：设函数 y = cos(−3x) ，求 y' .
解： y' = (cox(−3x))' = − sin(−3x) · (−3x)' = − sin(−3x) · (−3) = 3sin(−3x)
例如： y = arctan e3x 是由 y = arctan u ， u = ev 和 v = 3x 这三个简单函数复合而成.
该部分是后面求导的关键！
三、极限的计算 1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将 x0 代
入到函数表达式中，函数值即是极限值，即 lim x → x0
6
例 1：设函数 z = sin(x ⋅ y) + 3x2 + y −1，求 dz .
解：∵ ∂z = y cos(x ⋅ y) + 6x ， ∂z = x cos(x ⋅ y) +1
∂x
∂y
∴ dz = ∂z dx + ∂z dy = [ y cos(x ⋅ y) + 6x]dx + [x cos(x ⋅ y) +1]dy
2 x
∴ dy = 2 dx x
例 2：设函数 y = x4 ⋅ cos x ，求 dy .
( ) 解：∵ y' = x4 ' cos x + x4 (cos x)' = 4x3 cos x − x4 sin x
( ) ∴ dy = 4x3 cos x − x4 sin x dx
5
Ⅲ、二元函数的微分学
解： ∂z = 2x sin 2 y ， ∂z = 2x2 cos 2 y
∂x
∂y
三、全微分
1、全微分公式：函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处全微分公式为： dz = ∂z dx + ∂z dy ∂x ∂y
2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数 ∂z 和 ∂z . （2）、然后代入上述公式即可. ∂x ∂y
∂x ∂y
例 2：设函数 z = e2x+ y ，求 dz .
解：∵ ∂z = 2e2x+ y ， ∂z = e2x+ y
∂x
∂y
∴ dz = ∂z dx + ∂z dy = 2e2x+ ydx + e2x+ ydy ∂x ∂y
四、二阶偏导的表示方法和求法：
（1）
∂ ∂x