柯西不等式(优质课)ppt课件
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与不等式(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 矛盾吗？它们之间有什么区别？
不等式①： 不等式②：
ad bc a c bd
ac bd a d bc
15
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
灵活对调前后项
16
变式1：若2x 3y 1,求4x2 9y2的最小值.
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
时,等号成立.
10
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面不等式: 若 a,b,c,d 都是实数, 则
2
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
3
研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系
(a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd )2 (ad bc)2 (ac bd )2
变形，使之出现常数
12
练习2 设a 0,b 0,且a b 1,求证：2a 1 b 1 22
32
变形，使之出现
条件中的表达式或表达式的倍数
13
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
14
不等式(a2 b2 )(d 2 c2 ) (ad bc)2 成立吗？
分清（找准）a,b,c,d
6
练习 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
(2) (a2 b2 ) (c2 d2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
19
wk.baidu.com
(a2 b2 )(c2 d 2 )≥ (ac bd )2
思考
设a1, a2 , a3,L , an , b1, b2 , b3,L , bn是实数,则
? (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 )≥
8
柯西不等式的几何意义
ur
ur
设 (a,b), (c, d ),则
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
“=”何时成立
ur
ur ur
当且仅当是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号成立.
9
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 =ax1 bx2 ax2 bx1
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
4
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
5
例1：已知a,b为实数，求证
(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2
(a12 a22 L an2 )(b12 b22 L bn2 )
20
21
例4.若a b c,求证： 1 1 4 ab bc ac
22
已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3y 1,即2x 3y时取等号.
由22xx
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为 1
2
17
变式2：设a,b R , 2a 3b 6求 2 1的最小值. ab
7
柯西不等式的几何意义
– 证明思路2：(构造向量法)
ur
ur
设 (a,b), (c, d ),则
ur
ur
a2 b2 , c2 d 2 ,
ur ur
ac bd,
ur ur ur ur
利用 ,
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
两边平方后得证.
柯西不等式
二维形式的柯西不等式
1
柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。 27岁成为巴黎综合工科学校教授， 并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性， 实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程 等方面的研究． 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义， 以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义， 实质上都是柯西给出的。
18
小结
1、二维形式的柯西不等式 若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
2、二维形式的柯西不等式的变式
(1) (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
(1) (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
(2) (a2 b2 ) (c2 d2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
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例2.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
不等式①： 不等式②：
ad bc a c bd
ac bd a d bc
15
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
灵活对调前后项
16
变式1：若2x 3y 1,求4x2 9y2的最小值.
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
时,等号成立.
10
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面不等式: 若 a,b,c,d 都是实数, 则
2
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
3
研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系
(a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd )2 (ad bc)2 (ac bd )2
变形，使之出现常数
12
练习2 设a 0,b 0,且a b 1,求证：2a 1 b 1 22
32
变形，使之出现
条件中的表达式或表达式的倍数
13
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
14
不等式(a2 b2 )(d 2 c2 ) (ad bc)2 成立吗？
分清（找准）a,b,c,d
6
练习 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
(2) (a2 b2 ) (c2 d2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
19
wk.baidu.com
(a2 b2 )(c2 d 2 )≥ (ac bd )2
思考
设a1, a2 , a3,L , an , b1, b2 , b3,L , bn是实数,则
? (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 )≥
8
柯西不等式的几何意义
ur
ur
设 (a,b), (c, d ),则
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
“=”何时成立
ur
ur ur
当且仅当是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号成立.
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定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 =ax1 bx2 ax2 bx1
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
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二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
5
例1：已知a,b为实数，求证
(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2
(a12 a22 L an2 )(b12 b22 L bn2 )
20
21
例4.若a b c,求证： 1 1 4 ab bc ac
22
已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3y 1,即2x 3y时取等号.
由22xx
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为 1
2
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变式2：设a,b R , 2a 3b 6求 2 1的最小值. ab
7
柯西不等式的几何意义
– 证明思路2：(构造向量法)
ur
ur
设 (a,b), (c, d ),则
ur
ur
a2 b2 , c2 d 2 ,
ur ur
ac bd,
ur ur ur ur
利用 ,
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
两边平方后得证.
柯西不等式
二维形式的柯西不等式
1
柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。 27岁成为巴黎综合工科学校教授， 并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性， 实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程 等方面的研究． 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义， 以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义， 实质上都是柯西给出的。
18
小结
1、二维形式的柯西不等式 若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
2、二维形式的柯西不等式的变式
(1) (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
(1) (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
(2) (a2 b2 ) (c2 d2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
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例2.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2