第5章-时域离散系统的基本网络结构Word版
第5章 时域离散系统的基本网络结构09-10-1
1 p z 1 q z 1 q z
1 1 r r 1 r r 1 r 1
r 1 N1
r
1 r
r 1 N2
H ( z ) A H j ( z )
j 1
K
0 j 1 j z 1 2 j z 2 H j ( z) 1 2 1 1 j z 2 j z
IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
8 4 z 1 11z 2 2 z 3 H ( z) 5 1 3 2 1 3 1 z z z 4 4 8
画出该滤波器的级联型结构。 解 ： 由H(z)写出差分方程如下
y n 8 xn 4 xn 1 11xn 2 2 xn 3 5 3 1 y n 1 y n 2 y n 3 4 4 8
系统函数H(z)展开成部分分式之和的形式，就可 以得到滤波器的并联型结构。 当N=M时，展开式为
H ( z ) A0 H1 ( z ) H 2 ( z ) H N ( z ) Ai A0 1 d i z i i 1
N
共轭复根两两合并得到实系数的二阶网络，
F Ai 0i 1i z 1 H ( z ) A0 1 1 pi z 1 1i z 1 2i z 2 i 1 i 1 E
成程序让计算机来执行， 这也就是用软件来实现数字滤波器。
时域离散系统可以用差分方程、单位脉冲响应以及 系统函数进行描述。系统输入、输出服从N阶差分方程
y n bi xn i ai yn i
i 0 i 1
M
N
其系统函数为
H ( z)
bi z i 1 ai z i
《_时域离散系统的基本网络结构与状态变换分析法-第五章》
b0 b1
1
y(n)
z－1 z－1 a 1 －1 2.直接Ⅱ型b： z－1 1 a2 z x(n － 1) y(n － 1) b2 －1 x(n － 2) z－1 由于系统函数 H(z) = H1(z)H2(z) = y(n2(z)H1(z)，上图中两部分交换 H － 2) a2 z b2 x(n － 2) y(n － 2) H (z) H (z)
网络结构可以通过基本信号流图来描述。
5.2 用信号流图表示网络结构
3.由基本信号流图求系统函数H(z)
根据给定的信号流图，设置中间节点变量，节点变量w(n)等于该节点
的所有输入支路变量之和。代入中间节点变量，就可以最终确定流图
的输入与输出关系，并根据输入、输出关系求出系统函数H(z)。
[例]：已知基本信号流图如下，求其系统函数H(z)。
也可以按照系 统函数表达式 直接画出直接
8
y(n)
54
z－1 z－1 z－1
－4 11 －2
3 4
18
II型网络结构。
5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构
二、级联型 对于系统函数 H ( z ) 系统函数
Y (z) X (z) bi z i 1 a j zj
-a1
流图结构中的基本概念
节点：输入节点(x(n)) 、输出节点(y(n)) 、中间节点，用一圆点表示。每个 节点处的信号称为节点变量。 支路：节点间连线。 箭头表示信号流动方向。 Z1和a为支路增益 信号流图由连接节点的一些有方向性的支路构成。
5.2 用信号流图表示网络结构
2.基本信号流图 不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统 函数可以有多种信号流图相对应。从基本运算考虑，满足以下 条件，称为基本信号流图。
数字信号处理第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：
H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)
(5.3.3)
式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统 函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型 网络结构，如图5.3.3所示。
(1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益 是常数或者是z-1；
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
课件
8
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
例5.2.1 求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。
解 将5.2.1式进行z变换，得到
z－ 1
z－ 1
h(0) h(1) h(2)
z－ 1
h(N － 2) h(N － 1) y(n)
图5.4.1 FIR直接型网络结构
课件
25
2. 级联型
第5章 时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法
将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一 起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网 络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中 每一个因式都用直接型实现。
例5.3.2 设系统函数H(z)如下式：
H (z)1 1 .8 2 5 z4 z 1 10 .1 7 1 5 z z 2 2 2 0 z .1 2 35z 3
试画出其级联型网络结构。 解 将H(z)分子分母进行因式分解，得到
H (z)(20 (1 .3 7 0 9 .z 2 5 1 z )( 4 1) (1 1 .2 z 4 z 1 10 .5 5 .z2 6 2)4z 2)
第五章 时域离散系统的基本网络结构
本章的主要内容就是描述数字滤波器的基 本网络结构。（IIR、FIR）
引言
时域离散系统或网络可以用差分方程、单 位脉冲响应以及系统函数进行描述。
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
系统函数H(z)为
M
H (z)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
信号流图表达的系统含义
每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变 量等于所有输入支路的输出之和.
根据信号流图可以求出系统函数（节点法、梅逊 公式法）。
1(n) 2 (n 1) 2 (n) 2 (n 1) 2 (n) x(n) a12 (n) a21n y(n) b21(n) b12 (n) b02(n)
画出H(z)的直接型结构和级联型结构。
级联型
解： 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图所示。
x(n)
0.6
z－ 1 0.5
1.6 z－ 1
2 z－ 1
3
y(n) x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
0.96 2
2.8 1.5 y(n)
0 j
y(n)
1 j
z－ 1 1j
1 j
z－ 11 j
(a)
2 j
z－
1
2
j
(b)
一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
IIR的级联型例题
第5章_时域离散系统的网络结构
(5.2.1) 1 (n) 2 (n 1) (n 1) 2 (n) 2 (n ) x(n ) a1 2 (n ) a21n 2 (n) y (n ) b21 (n ) b12 (n) b02
ZT
w2(n) =w1(n)
w3(n) =w2(n-1)
W2(z)=W1(z)
W3(z)=z-1W2(z)
W4(z)=b0W2(z)+b1W3(z)
w4(n) =b0w2(n)+b1w3(n)
y(n)=w4(n)
Y(z)=W4(z)
Y ( z ) b0 b1 z 1 11 H ( z) 1 X ( z ) 1 az
6
第5章 时域离散系统的网络结构
3. 基本信号流图
信号流图由连接节点的一些有方向性的支路构成
流图中每一个节点都用一个节点变量表示，x(n) 称为 输入节点变量， y(n) 表示输出节点变量， w1(n), w2(n), 和 w’2(n) 也是节点变量。和每个节点连接的有输入支路和 输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。 节点变量和其他节点变量之间的关系用下式表示：
2
5.1 引言
及系统函数进行描述。 (1) 系统单位取样响应 (2) 传输函数 频率响应
H(ej)
第5章 时域离散系统的网络结构
一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以
h(n)
H (e j ) DTFT [h(n)]
j n h ( n ) e
n
输出：
一个对输入x(n)的M阶延 时链结构，每节延时抽 头后加权相加，构成一 个横向结构网络。
5 时域离散系统的网络结构
误差， 误差，运算速度以及系统的 复杂程度和成本
表示方法： 表示方法：网络结构
5.2 用信号流图表示网络结构
1、数字信号处理中的三种基本算法： 数字信号处理中的三种基本算法：
y(n) = ∑ b x(n − i) + ∑ ai y(n − i) i
i =0 i= 1 M N
方框图表示法 延时单元 x(n) 加法单元 x1(n) z
1 2 3 4 信号流图 Z -1 Z -1
a1y(n −1) + a2y(n − 2)
6 5
无限长脉冲响应(IIR) (IIR)基本网络结构 5.3 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构 流图结构： 流图结构： 节点 -源节点 -吸收节点 -网络节点 支路 -输入支路
6 5 1 2 3 4 Z -1 Z -1
1 1−
∑
N
i =1
ai z − i
x(n)
H1(z) y1(n)
H2(z)
y(n)
x(n)
H1(z) y1(n)
H2(z)
2 ( z ) =
y(n)
1 1−
H 1( z) =
∑
M
i=0
bi z − i
H
∑
N
y1 (n) = ∑ bi x(n − i )
i =0
M
i =1
ai z −i
y (n) = y1 (n) + ∑ ai y (n − i )
Y(z) = ∑bi X (z) ⋅ z + ∑aa j(z(z) ⋅−z ,iH(z) = Y Y) ⋅ z j − ∑j i
−i i=0 j =1 i=1 M
N N
=
Y(z) H(z) = = X (z)
时间离散系统网络结构共37页文档
15
还可以如下式这样进行分解： H (z ) 1 1 0 0 . .4 6 z z 1 1 1 1 0 0 . .3 5 z z 1 1 H 3 (z )H 4 (z )
3
如果系统输入和输出服从N阶差分方程：
M
N
y(n ) b ix(n i) a ky(nk)
i 0
k 1
则系统函数H(z)用下式表示：
M
H(z)
Y(z) X(z)
bizi
i0 N 1 akzk
k1
基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）
Hale Waihona Puke 4两种图形表示方法介绍(方框图，信号流图)： 加法：
3.有N个极点和M个零点。为了保持系统稳定，所有极点应在单位 圆内
4.基本网络结构有三种：直接型，级联型，并联型.
10
5.3 无限长脉冲响应（IIR）的基本网络结构
1 直接型网络结构
将N阶差分方程重写如下：
M
N
y(n ) b ix(ni) a ky(nk)
i 0
k 1
为简单起见, 假设M=N=2
9
IIR数字网络的特点：
M
N
差分方程： y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
k 1
M
bi Z i
系统函数： H (z)
i0 N
h(n) Z n
1 ak Z k n0
k 1
1.单位脉冲响应h(n)为无限长（存在无限多个n，使h(n)不为零）
2.存在输出到输入的反馈，即信号流图中含有环路
2
2
y(n) b ix(ni) aky(nk)
时域离散系统基本网络结构
◙ Main
Return
X3
12.04.2020
1、信号流图代数方程组法 ▪ 设X为源点，Y为汇点，系统函数为H=Y/X
-G1 -G3
H1
H2
H4
X
X1
X2
X3 H3 X4
X5
Y
-G2 由流程图可得如下方程组
-G4
X1 H1 X G2 X 2 G1 X 5
X X
2 3
H2X1 X2 G3X4
1 HH21
X1
G2 H1
X2
0X3
0X4
X1 X2 0X3 0X4 0X5
X5
G1 H1
0
X
0X1X2 X3 G3X4 0X5 0
0X1 0X2 H3X3 X4 G4X5 0
用系数行列 式表示方程
0X1 0X2 0X3 H4X4 X5 0
1 H1
H2
0
0
0
G2 H1 1 1 0 0
二、信号流图的简化：
1、支路的合并 a
相加： X1 b
a+b
X2 X1
X2
相乘：
ab
X1
X2
X3 X1
ab
X3
b 2、节点的吸收： a
X1 X2 c
X3
ab X3
消去X2 X1
X4
ac X4
◄ Up
► Down
◙ Main
Return
12.04.2020
3、自环消除
X1 a X2 b X3= X1
▪ 狭义地说：滤波是把信号中的某些频率分量分离出来或去 掉，能完成这种功能的设备就称为滤波器。
▪ 广义地说：滤波是指某种信号处理成为另一种信号的过程， 因此滤波器就是一个系统。
信号与系统课件--第五章 时域离散系统的基本网络结构
1
用网络结构表示具体的算法，网络结构实际表示的是一种 运算结构
§ 5.2 用信号流图表示网络结构
一、数字信号处理中有三种基本算法：乘法、加法和单 位延迟，如下：
结构框图 加法
x1 ( n ) x1 ( n ) x 2 ( n ) x2 (n )
信号流图
•
a
乘法
x1 ( n )
a
a x1 ( n )
形成一个二阶网络
H (z) H 1(z)H 2 (z) H k (z)
H j (z)
0 j 1 j z
11jz
1
1
2jz
2
2jz
2
式中 H j ( z ) 表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数， 采用直接型网络结构
x (n ) •
y (n ) • j0 •
一，直接型（卷积型,横截型） 由 H (z)
∴
N 1
h(n ) z
n
n 0
y (n)
N 1
k 0
h(k ) x(n k )
h ( 0 ) x ( n ) h (1) x ( n 1) ....
) n(x
)0( h
•
1
z
•
1
z
•
1
z •
•
•
)1( h
•
输出端的噪声功率最小。
缺点：调整零点不方便，当H ( z )有多阶极点时，部分
分式展开较麻烦
§5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
FIR网络结构的特点：没有反馈支路，h(n)有限长度
H (z)
N 1
h(n ) z
5.1-5.3时域离散系统的基本网络结构域状态变量分析法
M N
H ( z)
Bk z
k 0
k
k 1
L
Ak 1 zk z
1
k 1
P
0 k 1k z
1
1 2
1 a1k z a2 k z
可以写成：
H ( z ) H 1 ( z ) H 2 ( z ) .... H n ( z )
10
例5.3.1 设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
H (z) 8 4z 1 5 4 z
1
11 z 3 4 z2源自 2z 1 8 z3
1
2
3
画出该滤波器的直接型结构 解： 有H(z)写出差分方程如下： y(n)=5/4y(n-1)-3/4y(n-2)+1/8y(n-3) +8x(n)- 4x(n-1) +11x(n-2)-2x(n-3)
级联型
并联型
7
一、直接型
1、IIR数字滤波器的直接（I）型结构 采用信号流图所定义的符号，直接画出差分方程对 应系统的信号流图结构称为直接（I）型结构。
y ( n)
M=N
a
k 1
N
k
y ( n k ) bk x( n k )
k 0
M
8
2、IIR数字滤波器的直接（Ⅱ） 将“ IIR 数字滤波器的直接 （I）型结构”中的延时 单元 尽可能减少的一种流图结构，称为直接（Ⅱ ）型结构。 分母延时
1 z 1 0.4 z 1
由此得到级联型结构的流图
21
③ 将H(z)进行部分分式展开得：
H ( z ) 0.1 0.6 1 0.4 z
第5章 时域离散系统的网络结构
有限长单位脉冲响应网络，简称FIR（Finite Impulse Response）网络，FIR网络中一般不存在
输出对输入的反馈支路，因此差分方程为：
y(n)
M
bi x(n i)
i0
单位脉冲响应
h(n) b0n
0nM 其它n
无限长单位脉冲响应网络，简称IIR（Infinite Impulse Response）网络。 IIR网络结构存在输出 对输入的反馈支路，这类网络的单位脉冲响应是无限
将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构
24
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没 有环路，其单位脉冲响应是有限长的。
设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函 数H(z)和差分方程分别为：
N 1
H (z) h(n)z n n0 N 1
Y (z) b2W1(z) b1W2 (z) b0W2 '(z)
经过联立求解得到：
H (z)
Y (z) X (z)
b0 b1z1 b2 z2 1 a1z1 a2z2
当结构比较复杂时，此方法较麻烦，不如用梅逊(Masson)公 式直接写出H(z)方便。
10
网络结构的分类
图5.2.2 信号流图
9
【例 5.2.1】求图 5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。
解：图5.2.2(a)信号流图的节点变量方程为式(5.2.1),对其 进行z变换，得：
W1 ( z ) W2 (z)
W2 (z)z1 W2 '(z)z1
W2 '(z) X (z) a1W2 (z) a2W1(z)
时域离散系统的基本网络结构
时域离散系统的基本网络结构时域离散系统是一种常用的信号处理系统，它的基本网络结构由输入信号、输出信号和系统响应组成。
在该网络结构中，输入信号通过系统的某种变换或处理，得到输出信号，其过程可以用离散时间和离散数值来描述。
一个典型的时域离散系统网络结构通常由以下几个组成部分构成：1. 输入信号：即待处理的信号，它可以是任意形式的时域离散信号，例如声音、图像、视频等。
输入信号以离散的时间点为基准，每个时间点对应一个离散数值。
2. 系统响应：系统响应描述了系统对不同输入信号的处理方式。
它是一个离散时间和离散数值定义的函数，通常用差分方程或差分方程组的形式表示。
系统响应可以根据需要进行设计，以实现特定的信号处理功能。
3. 输出信号：系统的处理结果，它经过系统响应的变换或处理之后得到。
输出信号也是一个离散时间和离散数值定义的信号。
在时域离散系统中，输入信号和输出信号用序列表示，序列中的元素对应离散时间点上的数值。
基本的离散系统通常采用线性时不变（LTI）的假设，即线性组合和时间平移可以自由应用于输入信号和系统响应。
这使得系统的分析和设计变得简单而直观。
为了描述时域离散系统的基本网络结构，我们可以将输入信号和系统响应放置在一个框架中，通过箭头表示信号的流动方向，从而得到输入信号到输出信号的整个信号处理过程。
基于系统的不同功能需求，网络结构可以包括多个组件，如滤波器、采样器、量化器、延迟线等。
总之，时域离散系统的基本网络结构由输入信号、输出信号和系统响应组成。
通过对输入信号的变换和处理，系统响应确定了输出信号。
这种网络结构可以用离散时间和离散数值来表示，具有线性时不变的特点，适用于各种信号处理应用，为我们提供了一种有效的工具来处理离散信号。
时域离散系统是一种广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域的重要工具。
在时域离散系统中，离散时间和离散数值是其基本特征，因此对系统的分析和设计需要使用离散时间和离散数值的数学方法。
数字信号处理 第五章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
448
画出该滤波器的直接型结构。
解：由H (z)写出差分方程：
y(n) 5 y(n 1) 3 y(n 2) 1 y(n 3) 8x(n) 4x(n 1)
4
4
8
11x(n 2) 2x(n 3)
H (z) 8 4z1 11z2 2z3 1 5 z1 3 z2 1 z3 448
(二) 级联型结构
M
(1 cr z1)
H (z)
A
r0 N
(1 dr z1)
r 1
H j(z)
0 j 1 j z1 1 1 j z1 2 j z2 1 1 j z1 2 j z2
H (z)
L
A
j 1
0 j 1 j z1 1 1 j z1
L j 1
i0
i1
系统函数H (z)为
M
H (z)
Y (z) X (z)
bi zi
i0 N 1 ai zi
i1
H1(
z)
1
0.8z
1 1
0.15z
2
H2(z)
1
1.5 0.3z1
1
2.5 0.5 z 1
H3(z)
1
1 0.3 z 1
1
1 0.5 z 1
H1(z) H2(z) H3(z)
end
§5.2 用信号流图表示网络结构
y(n)
直接II型结构
M
bi zi
H(z)
i0 N
1 ai zi
i1
x(n)
b0
y(n)
a1
z1 b1
a2
z 1 b2
z 1
aN z1 bN
优缺点：
离散系统基本网络结构图
br z − r ∑ 1 + ∑ ak z − k
k =1 r =0 N
M
Ai = A0 + ∑ 1 − diz − i i =1
N
例3：已知某系统的系统函数为：
Z3 H (Z ) = ( Z − 0.4)( Z 2 − 0.6 Z + 0.25)
画出其并联型网络结构。 解：将系统表示为1阶、2阶子系统之和，即：
于是可用二阶节级联构成：
例4 设FIR网络系统函数H(Z)=0.96+2Z-1+2.8Z-2+1.5Z-3 画出其直接型和级联型结构。
FIR滤波器级联型结构与直接型相比 优点：级联型调整零点方便； 缺点：1）但H(Z)中的系数比直接型多，需更 多乘法器； 2）阶次高时，不易分解。所以普通应用的是 直接型。
试画出级联型网络结构。
总结：
IIR滤波器级联型结构与直接型相比 调整方便，一阶对应一个零点、一个极点；二 阶对应一对零点、一对极点。 级联结构中后面的网络输出不会再流到前面， 运算误差的积累相对直接型小。
3）并联型 ）
在这种形式中，系统函数H(Z)用部分分式展开为 二阶系统的和形式。
H ( z) =
0.9412 0.0588 + 0.5882 Z −1 H (Z ) = + −1 1 − 0.4 Z 1 − 0.6 Z −1 + 0.25Z −2
并联结构的特点： 并联结构的特点 优点: 1)实现简单，只需一个二阶系统，通过改变输 入系数即可完成； 2)极点位置可单独调整； 3)运算速度快（可并行进行）； 4)各二阶网络的误差互不影响，总的误差小， 对字长要求低。
2、已知一个6阶线性相位FIR数字滤波器的单位 脉冲响应h(k)满足：h[0]=-h[6]=3, h[1]=-h[5]=-2, h[0]=-h[6]=3, h[3]=0，试画出该滤波器的线性相 位结构。
数字信号处理第五章 时域离散系统的网络结构
M
N
b0
w(n)
z-1
y(n)
z-1 bM-1
z-1 -aN-1
z-1
bM -aN
z-1
共需(N+M)级延时单元
先对调：
x(n) b0 Z-1 b1 Z-1 Z-1 b2 bM -a1 -a2 -a N-1 -aN 第一部分 对调 y(n) Z-1 对调 Z-1 Z-1 Z-1 x(n) -a1 -a2 -a N-1 -aN Z-1 Z-1 Z-1 b0 Z-1 b1 Z-1 b2 Z-1 bM y(n)
i 0 i 1
M
N
Y ( z) H ( z) X ( z)
b z
i
M
i
1 ai z i
i 1
i 0 N
若给定一个差分方程，不同的算法有很多，例如 对于差分方程：
y(n) 0.8y(n 1) 0.15y(n 2) x(n)
1 H 1 (z ) 1 0.8z 1 0.15z 2 1.5 2.5 H 2 (z ) 1 1 0.3z 1 0.5z 1 1 1 H 3 (z ) 1 1 0.3z 1 0.5z 1
直接型结构特点：
(1) 有反馈的N阶延时网络实现极点； 横向结构M节延时网络实现零点。
b0 -a1 Z b1 -a2Z-1 b2
-1
y(n
(2) 实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级 -a N-1 - bM Z 1 延时单元,所需延时单元最少。 Z-1 (3) 系数ai,bi不是直接决定单个零极点， -aN 因而不能很好地进行滤波器性能控制。 (4) 直接型实现的滤波器零极点调节不便 M ,容易出现不稳定现象 i
第五章时域离散系统的基本网络结构
H (z) 1 6 10 8 .5z 11 1 z 1 6 2 0 .5 zz 0 1 2
(没有函数可以分解成此 形式)
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➢习题练习
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(4) h(n)=h1(n)*［h2(n)+h3(n)*h4(n)］+h5(n) =h1(n)*h2(n)+h1(n)*h3(n)*h4(n)+h5(n)
P144: ➢2 ➢4 ➢5(c)(d) ➢6(f)(g)(j)
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11． 已知FIR滤波器的16
H(0)=12，
H(3)~H(13)=0
H(1)=－3－j 3，
H(14)=1－ j
H(2)=1+j，
H(15)=－3+j 3
试画出其频率采样结构， 选择r=1，
解：
N=16
画出其结构图如题11解图所示。
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题11解图
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H c(z)的 零 极 点 分 布 ： Hc(z)1zNzN zN 1
零点：在单位圆上有N个等间隔的一阶零点：
j2k
zk e N k0 ,1 ,...,N 1
极点：有一个N阶极点： z 0
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八、FIR网络结构(Cont’)
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Hk' (z)1HW(Nkk)z1
N
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当N为偶数
H (z ) 1 r N z NN 1 1 H r ( 0 z ) 1 H 1 ( N r z / 2 1 ) N k / 2 1 1 H k (z )
N为奇数时
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第五章 时域离散系统的基本网络结构§5.1 引言一个时域离散系统或网络的表示方法有三种： 1． 差分方程 ∑∑==---=Ni i M i i i n y a i n x b n y 1)()()( (6.1.1)2． 系统函数∑∑=-=-+==Ni ii Mi i iza zb z X z Y z H 101)()()( (6.1.2)3． 单位脉冲响应)]([)(1z H ZT n h -=上述三种表示方法实际上是一致的，在实际中，我们经常采用一种信号流图来表示一个系统，这种流图直观地反映了在实现该系统时具体的算法，如延迟单元，加法和乘法等一些基本运算单元，构成了系统转移函数实现的功能，我们称这种流图为网络结构。
网络结构实际表示的是一种运算结构。
§5.2 用信号流图表示网络结构一．基本运算单元的流图表示数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。
三种基本运算用流图表示如图6.1.1所示。
(x x )(n x )(n x )1)1(-n x )n )(ax 2)(2n x x (1x )(2n x +)()2n x +1-z图6.1.1 三种基本运算的流图表示说明：1．1-z 与系数a 作为支路增益写在支路箭头旁边，如果箭头旁边没有标明增益符号，则认为支路增益是1。
2．箭头表示信号流动方向。
3．两个变量相加，用一个圆点表示，称为网络节点。
4．每个节点处的信号称节点变量，节点变量等于所有输入支路之和。
二．基本信号流图不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图与之相对应。
从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图(Primitive Signal Flow Graghs)。
（1）信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是1-z ； （2）流图环路中必须存在延迟支路； (3)节点和支路的数目是有限的。
例1：根据下图的网络结构，写出该系统的传输函数。
2a -)(n y )(z H )(n )(n y )(a )(b (a)基本信号流图； (b)非基本信号流图图6.1.2 信号流图⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=--=-=-=)n (w b )n (w b )n (w b )n (y )n (w a )n (w a )n (x )n (w )n (w )n (w )n (w )n (w '''20211212212222111 （6.1.3）对(6.1.3)式进行Z 变换，得到：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=--===--)z (W b )z (W b )z (W b )z (Y )z (W a )z (W a )z (X )z (W z )z (W )z (W z )z (W )z (W '''20211212212122121经过联立求解得到：2211221101----++++==z a z a z b z b b )z (X )z (Y )z (H图6.1.2(a)是基本信号流图，图中有两个环路，环路增益分别为11--z a 和22--za ，且环路中都有延时支路，而图 6.1.2(b)不是基本信号流图，它不能决定一种具体的算法，不满足基本信号流图的条件。
例2：对于同一个系统函数，可以有很多信号流图与之对应。
21115.08.011)(--+-=z z z H 1125.015.23.0115.0)(---+--=z z z H 1135.0113.011)(---⋅-=zz z H 可以证明以上)()()(321z H z H z H ==，但它们具有不同的算法。
不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等。
三．网络结构的分类一般将网络结构分成两类，一类称为有限长脉冲响应网络，简称FIR(Finite Impulse Response)网络，另一类称为无限长脉冲响应网络，简称IIR(Infinite Impulse Response)网络。
1．FIR 网络FIR 网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：∑=-=Mi i i n x b n y 0)()( (6.1.4)其单位脉冲响应)(n h 是有限长的，按照(6.1.4)式，)(n h 表示为⎩⎨⎧≤≤=n M n b n h n 其它,00,)(2．IIR 网络IIR 网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。
这类网络的单位脉冲响应是无限长的。
∑∑==---=Ni i M i i i n y a i n x b n y 1)()()(§5.3 IIR 基本网络结构IIR 网络的特点是信号流图中含有反馈支路，即含有环路，其单位脉冲响应是无限长的。
基本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型。
1．直接型将N 阶差分方程重写如下：∑∑==---=Ni i M i i i n y a i n x b n y 1)()()(设M=N=2,其系统函数如下：)()(11)(21212z H z H z a z b z H i ii i i i ⋅=+⋅=∑∑=-=-x ))(2z H )(1z H )(1z H (x )n )(n (x (-n x (-n x )1-)2-(b)(c)图6.2.1 IIR网络直接型结构(a))(2z H按照差分方程可以直接画出网络结构如图6.2.1(a)所示。
图中第一部分系统函数用)(1z H 表示，第二部分用)(2z H 表示，那么)()()(21z H z H z H ⋅=，当然也可以写成)()()(12z H z H z H ⋅=，按照该式，相当于将图6.2.1(a)中两部分流图交换位置，如图6.2.1(b)所示。
该图中节点变量21w w =，因此前后两部分的延时支路可以合并，形成如图6.2.1(c)所示的网络结构流图，我们将图6.2.1(c) 所示的的这类流图称为IIR 直接型网络结构。
例6.2.1 设IIR 数字滤波器的系统函数)(z H 为321321814345121148)(-------+--+-=z z z z z z z H画出该滤波器的直接型结构。
解 由)(z H 写出差分方程如下：)3(81)2(43)1(45)(-+---=n y n y n y n y )3(2)2(11)1(4)(8---+--+n x n x n x n x按照差分方程画出如图6.2.2所示直接型网络结构。
(x )图6.2.2 例6.2.1图上面我们按照差分方程画出了网络结构，也可以按照)(z H 表达式，直接画出直接型网络结构。
2．级联型在(6.1.2)式表示的系统函数)(z H 中，分子、分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数。
现将分子、分母多项式分别进行因式分解，得到：∏∏=-=---=Nr rMr r zd z C A z H 1111)1()1()( (6.2.1)式中A 是常数，r C 和r d 分别表示零点和极点。
由于多项式的系数是实数，r C 和r d 是实数或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点（极点）放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍为实数；再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络)(z H j 。
)(z H j 如下式：2211221101)(------++=zz z z z H j j j j j j ααβββ (6.2.2)式中，j j j j 1210αβββ、、、和j 2α均为实数。
这样)(z H 就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：)()...()()(21z H z H z H z H k = (6.2.3)式中)(z H i 表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个)(z H i 的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图6.2.3所示。
(a)直接型一阶网络结构(b)直接型二阶网络结构图6.2.3 一阶和二阶直接型网络结构例6.2.2 设系统函数)(z H 如下式：321321125.075.025.1121148)(-------+--+-=zz z z z z z H 试画出其级联型型网络结构。
解 将)(z H 的分子、分母进行因式分解，得到：)5.01)(25.01()264.524.14)(379.02()(211211------+--+--=z z z z z z z H 为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络，画出结构图如图6.2.4所示。
级联型结构特点：级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。
在(6.2.2)式中，调整j j j 210βββ和、三个系数可以改变一对零点的位置，调整j j 21αα和可以改变一对极点的位置。
因此，相对直接型结构，调整方便是优点。
此外，级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。
x 24)图6.2.4 例6.2.2图3．并联型如果将级联形式的)(z H 展成部分分式形式，则得到IIR并联型结构。
)(...)()()(21z H z H z H z H k +++= (6.2.4)式中，)(z H i 通常为一阶网络或二阶网络，网络系统均为实数。
二阶网络的系统函数一般为22111101)(-----+=z z z z H i i i i i ααββ式中，i i i 110αββ、、和i 2α都是实数。
如果02=i α，则构成一阶网络。
由(6.2.4)式，其输出)(z Y 表示为)()(...)()()()()(21z X z H z X z H z X z H z Y k +++= 上式表明将)(n x 送入每个二阶（包括一阶）网络后，将所有输出加起来得到输出)(n y 。
例6.2.3 画例题6.2.2中)(z H 的并联型结构。
解 将例6.2.2中)(z H 展成部分分式形成：21115.0120165.01816)(----+-+-+-+=zz z z z H 将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图6.2.5所示。
(x )n 16图6.2.5 例6.2.3图并联型特点：在这种并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，因此调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。
另外，各个基本网络是并联的，产生的运算误差互不影响，不象直接型和级联型那样有误差积累，因此，并联形式运算误差最小。
由于基本网络并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构与直接型和级联型比较，其运算速度最高。