高中数学 3.1.2 复数的几何意义教案 新人教A版选修12
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义》优质课教案_15
《3.1.2复数的几何意义》教学设计【教学分析】复数的几何意义是学生在学习完复数后的一节课,它在复数内容中起着承上启下的关键作用,它是我们研究复数运算的重要基础,所以学习好本节内容很重要。
而之前学生已经学习过实数的几何意义,实数的绝对值的意义,所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。
【教学目标】1.知识与技能理解复数的几何意义;根据复数的几何意义,在复平面内能描出复数对应的点;会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模。
通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义,类比向量求模来学习求复数的模,培养学生的逻辑思维能力。
3.情感、态度与价值观通过复数的几何意义的学习,培养学生数形结合的数学思想,从而激发学生学习数学的兴趣。
教学重点与难点重点:复数的几何意义及复数的模;难点:复数的几何意义及复数的模的应用。
【教法与学法】教法:本节课主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义,探究出复数的几何意义;类比求向量的模的公式探究出求复数模的公式。
学法:建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式。
【教具准备】三角板、多媒体等【教学过程】一、复习引入1.复数的定义是什么?2.复数的代数形式是什么?3.如何定义两个复数相等的?【设计意图】通过对上节课内容的复习,为本节课的学习做好铺垫。
二、推进新课回顾:实数的几何意义是什么呢?实数可以用数轴上的点来表示思考:类比实数的几何意义,复数的几何意义是什么呢?【设计意图】通过类比,找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系,从而找到复数的几何意义。
(一)复平面如图,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。
x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。
(二)复数的几何意义(1)【练习】1.填空复平面内的原点(0,0)表示( );实轴上的点(2,0)表示( );虚轴上的点(0,-1)表示( );点(-2,3)表示( ).2.下列命题中的假命题是().(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上;(B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上;(C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;(D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.【设计意图】让学生更加深入的认识复平面。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1.2 复数的几何意义》5
《复数的几何意义》教学设计教学目标:1知识与技能:理解复数的几何意义;根据复数的几何意义,在复平面内能描出复数的点;会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模。
2过程与方法:通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义,类比向量求模来学习求复数的模,培养学生的逻辑思维能力。
3情感态度与价值观:通过复数的学习,培养学生数形结合的数学思想,从而激发学生学习数学的兴趣。
教学重点:复数的几何意义以及复数的模。
教学难点:复数的几何意义及模的综合应用。
教学方法:主要让学生类比实数的几何意义,探究出复数的几何意义;类比向量的模探究出复数的模。
教学过程:一、复习引入上节课引入了复数,学习了复数的定义,从而把数系由实数系扩充到了复数系,请同学们回忆:复数是如何定义的? 把形如z a bi =+的数叫做复数,其中a ,b 都是实数。
a 叫实部,b 叫虚部,i 叫虚部单位。
i 又是什么特点?21i =-复数(),z a bi a b R =+∈表示实数的条件是?0b =;表示虚数的条件是?0b ≠;表示纯虚数的条件是?0,0a b =≠ 我们上节课知道了,对于一般的两个复数是不能比较大小的,那么为什么不能比较大小?复数的本质是什么?又有什么意义呢?这节课我们从形的角度研究复数,学习复数的几何意义。
二、新课讲解1复数的几何意义(1)师:在几何上,我们可以用什么来表示实数呢?生:数轴上的点!师:实数与数轴上的点有着怎样的对应关系?生:一一对应师:也就是说实数与数轴上的点,在数与形上是一一对应的,因此,在几何上,我们可以用数轴上的点来表示实数;类比实数的表示,在几何上,我们可以用什么来表示复数呢?师:复数的代数式是(),z a bi a b R =+∈,一个复数是由那两部分唯一确定的? 生:由实部a 与虚部b 共同唯一确定的师:若将实部a 与虚部b 构成一个有序实数对(),a b ,那么复数z a bi =+与有序实数对(),a b 之间有怎样的对应关系呢? 生:一一对应师:而有序实数对(),a b 又与直角坐标系中的什么是一一对应的呢?生:直角坐标系中的点 师:这个点横坐标是a ,纵坐标是b !这样,我们就建立了复数z a bi =+与平面直角坐标系中的点(),a b 的这种一一对应的关系,通常这个点用大写的Z 来表示。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义学案无答案新人教A版选修
④“ ”是“复数 所对应的点在虚轴上”的_________条件.
2.已知复数 在复平面内所对应的点位于第二象限,求实数 的取值范围.
3.已知复数 , ,试比较它们模的大小.
4.设 ,满足条件的点 的集合是什么图形?(1) ;(2) .
1.设 ,则 _______.
2.已知复数 , 是 的共轭复数,则 _______.
3.已知复数 满足 ,则 _______.
4.已知 ,则 ________.
5.设 ,则复数 在复平面内对应的点位 于第_______象限.
6.在复平面内,一个正方形的 个顶点对应的复数分别是 , , ,求第四个顶点对应的复数.
备注
【课堂检测】
1.分别求出复数 , , , , , 的模.
2.设 与复平面内的点 对应,当 满足什么条件时,点 位于:(1)实轴上?(2)虚轴上(原点除外)?(3)实轴的上方?(4)虚轴的上方?
3.在复平面内,点 对应的复数分别是 , ,则线段 的中点对应的复数是__________.
4.在复平面内,复数 与 分别对应向量 和 ,其中 为坐标原点,则 =______.
5.已知复数 ,则 _______.
6.已知复数 ,则 _______.
7.已知复数 的模为 ,则 的最大值是_______.
8.已知在复平面内,定点 与复数 对应,动点 与复数 对应,那么满足不等式 的点 的集合是什么图形?
9.设复数 满足 ,则 的最小值为______.
【回标反馈】
备注
【巩固练习】
7.设复数 在复平面内对应点为 ,方程 的两个根在复平面
内对应点分别为 ,则向量 对应的复数为___________.
数学选修1-2人教新课标A版3-1-2复数的几何意义教案
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高二数学 选修1-2教案:3.1.2复数的几何意义
第三章数系的扩充与复数的引入【课题】:3.1.2 复数的几何意义
六、作业
1、在复平面内,复数
2)31(1i i
i
+++对应的点位于 ( B ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2、复数,111-++-=
i
i
z 在复平面内,z 所对应的点在 ( B ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3、 在复平面内指出与复数i z i z i z i z +-=-=+=
+=2,23,32,214321
对应的点4321,,,Z Z Z Z .试判断这四个点是否在同一个圆上?并证明你的结论. 解:因为
︱1z ︱=52122=
+,︱2z ︱=5,︱3z ︱=5,︱4z ︱=5,
所以,4321,,,Z Z Z Z 这四个点都在以圆点为圆心,半径为5的圆上. 4、如果P 是复平面内表示表示复数a +bi (a ,b ∈R )的点,分别指出在下列条件下点P 的位置:
(!)a >0,b>0; (2) a <0,b>o; (3)a =0,b ≤0; (4)b<0.
解:(1)第一象限 (2)第二象限 (3)位于原点或虚轴的下半轴上 (4)位于实轴下方
5、如果复数z 的实部为正数,虚部为3,那么在复平面内,复数z 对应的点应位于怎样的图形上?
解:平面直角坐标系中以(0,3)为端点的一条射线,但不包括端点(0,3) 6、已知复数z 的虚部为3,在复平面内复数z 对应的向量的模为2,求该复数z . 解:由已知,设)(3R a i a z ∈+=
则.432
2=+
a 解得 ±=a 1.
所以 .31i z +±=。
高中数学《3.1.2复数的几何意义》导学案 新人教A版选
3.1.2复数的几何意义 【使用说明】 1、课前完成导学案,牢记基础知识,掌握基本题型; 2、认真限时完成,规范书写;课上小组合作探究,答疑解惑。
1. 【重点难点】理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的,能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
【学习目标】 1、 知识与技能:理解复数的几何意义,根据复数的代数形式描出其对应的点及向量 (1)通过实例分析,根据复数的代数形式描出其对应的点及向量 2、过程与方法:小组合作探究; 3、情感态度与价值观:以极度的热情,自动自发,如痴如醉,投入到学习中,充分享受学习的乐趣。
一,自主学习 ① 讨论:实数可以与数轴上的点一一对应,类比实数,复数能与什么一一对应呢? (分析复数的代数形式,因为它是由实部a 和虚部同时确定,即有顺序的两
实数,不难想到有序实数对或点的坐标) 结论:复数与平面内的点或序实数一一对应。
②复平面:以x 轴为实轴, y 轴为虚轴建立直角坐标系,得到的平面叫复平面。
复数与复平面内的点一一对应。
③例1:在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别对应的点。
(先建立直角坐标系,标注点时注意纵坐标是b 而不是bi ) 观察例1中我们所描出的点,从中我们可以得出什么结论
三总结 四检测 1. 分别写出下列各复数所对应的点的坐标。
2.
(
))4,80,6,,291,7,0i i i i i -+--⨯ 3. 若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上,求实数a 的取值。
变式:若z 表示的点在复平面的左(右)半平面,试求实数a 的取值。
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2教师用书:第3章 3.1.2 复数的几何意义 Word版含解析
3.1.2 复数的几何意义1.理解复平面、实轴、虚轴等概念.(易混点)2.掌握复数的几何意义,并能适当应用.(重点、易混点) 3.掌握复数模的定义及求模公式.[基础·初探]教材整理1 复平面与复数的几何意义 阅读教材P 104~P 105的内容,完成下列问题. 1.复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义(1)复数z =a +b i 一一对应←———→复平面内的点Z (a ,b ). (2)复数z =a +b i 一一对应←———→平面向量OZ →.在复平面内,复数z =1-i 对应的点的坐标为( ) A .(1,i) B .(1,-i) C .(1,1)D .(1,-1)【解析】 复数z =1-i 的实部为1,虚部为-1,故其对应的坐标为(1,-1). 【答案】 D教材整理2 复数的模阅读教材P 105“右侧”,完成下列问题. 复数z =a +b i(a ,b ∈R ),对应的向量为OZ→,则向量OZ →的模叫做复数a +b i 的模,记作|z |或|a +b i|.由模的定义可知|z |=|a +b i|=r =a2+b2(r ≥0,r ∈R ).判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( ) (2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( ) (3)复数的模一定是正实数.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型]当实数m (1)位于第四象限; (2)位于x 轴负半轴上; (3)在上半平面(含实轴).【精彩点拨】 (1)根据实部大于0,虚部小于0,列不等式组求解 (2)根据实部小于0,虚部等于0求解. (3)根据虚部大于或等于0求解.【自主解答】 (1)要使点位于第四象限,需 ⎩⎨⎧ m2-8m +15>0,m2+3m -28<0,∴⎩⎨⎧m<3或m>5,-7<m<4,解得-7<m <3.∴当-7<m <3时复数z 对应的点在第四象限. (2)要使点位于x 轴负半轴上,需 ⎩⎨⎧m2-8m +15<0,m2+3m -28=0,∴⎩⎨⎧3<m<5,m =-7或m =4,得m =4.∴当m =4时复数z 对应的点在x 轴负半轴上. (3)要使点位于上半平面(含实轴),需 m 2+3m -28≥0, 解得m ≥4或m ≤-7.∴当m ≥4或m ≤-7时,复数z 对应的点在上半平面(含实轴).解答此类问题的一般思路:(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标. (2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.[再练一题]1.实数x 取什么值时,复平面内表示复数z =x 2+x -6+(x 2-2x -15)i 的点Z : (1)位于第三象限;(2)位于第四象限;(3)位于直线x -y -3=0上. 【解】 因为x 是实数,所以x 2+x -6,x 2-2x -15也是实数. (1)当实数x 满足⎩⎨⎧ x2+x -6<0,x2-2x -15<0,即-3<x <2时,点Z 位于第三象限. (2)当实数x 满足⎩⎨⎧x2+x -6>0,x2-2x -15<0,即2<x <5时,点Z 位于第四象限,(3)当实数x 满足(x 2+x -6)-(x 2-2x -15)-3=0,即3x +6=0,x =-2时,点Z 位于直线x -y -3=0上.(1)向量OZ1对应的复数是5-4i ,向量OZ 2对应的复数是-5+4i ,则OZ →1+OZ→2对应的复数是()A .-10+8iB .10-8iC .0D .10+8i(2)复数4+3i 与-2-5i 分别表示向量OA →与OB →,则向量AB →表示的复数是________.【导学号:62952101】【精彩点拨】 (1)先写出向量OZ1→,OZ →2的坐标,再求出OZ →1+OZ →2的坐标. (2)利用AB →=OB →-OA →,求出向量AB →的坐标,从而确定AB →表示的复数.【自主解答】 (1)因为向量OZ1→对应的复数是5-4i ,向量OZ →2对应的复数是-5+4i ,所以OZ→1=(5,-4),OZ →2=(-5,4),所以OZ →1+OZ →2=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以OZ →1+OZ →2对应的复数是0.(2)因为复数4+3i 与-2-5i 分别表示向量OA →与OB →,所以OA →=(4,3),OB →=(-2,-5),又AB →=OB →-OA →=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量AB →表示的复数是-6-8i.【答案】 (1)C (2)-6-8i解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标,再根据向量的运算求出所求向量的坐标,从而求出向量所表示的复数.[再练一题]2.上例(2)中的条件不变,试求向量-12AB →表示的复数.【解】 由上例(2)的解析知AB →=(-6,-8), ∴-12AB →=(3,4),所以向量-12AB →表示的复数是3+4i.[探究共研型]探1若复数z 满足|z |=2,则复数z 的对应点的集合是什么图形?若|z |≤3,则复数z 的对应点的集合是什么图形.【提示】 若|z |=2,则复数z 的对应点的集合是以原点为圆心,2为半径的圆.若|z |≤3,则复数z 的对应点的集合是以原点为圆心,3为半径的圆及其内部.探究2 若z +|z |=1+2i ,那么如何求复数z .【提示】 设z =x +y i(x ,y ∈R ),则|z |=x2+y2, 从而x +y i +x2+y2=1+2i , ∴⎩⎨⎧x +x2+y2=1,y =2,解得⎩⎨⎧x =-32,y =2,∴z =-32+2i.(1)已知复数z 的实部为1,且|z |=2,则复数z 的虚部是( ) A .-3B.3iC .±3iD .±3(2)求复数z 1=6+8i 及z 2=-12-2i 的模,并比较它们模的大小.【精彩点拨】 (1)设出复数z 的虚部,由模的公式建立方程求解. (2)用求模的公式直接计算.【自主解答】 (1)设复数z 的虚部为b ,∵|z |=2,实部为1,∴1+b 2=4,∴b =±3,选D.【答案】 D(2)因为z 1=6+8i ,z 2=-12-2i ,所以|z 1|=62+82=10, |z 2|=错误!=错误!. 因为10>32,所以|z 1|>|z 2|.1.计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,再利用复数模的公式进行计算. 2.两个复数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.[再练一题]3.(1)复数z =x +1+(y -2)i(x ,y ∈R ),且|z |=3,则点Z (x ,y )的轨迹是________. (2)已知复数z =3+a i ,且|z |<4,求实数a 的取值范围.【导学号:62952102】【解析】 (1)∵|z |=3,∴错误!=3,即(x +1)2+(y -2)2=32.故点Z (x ,y )的轨迹是以(-1,2)为圆心,以3为半径的圆. 【答案】 以(-1,2)为圆心,以3为半径的圆 (2)∵z =3+a i(a ∈R ),|z |= 32+a2,由已知得32+a2<4, ∴a 2<7, ∴a ∈(-7,7).1.复数z =-1+2 017i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限【解析】 由-1<0,2 017>0得复数z =-1+2 017i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限.【答案】 B2.已知复数z =2-3i ,则复数的模|z |是( ) A .5 B .8 C .6D.11【解析】 |z |=错误!=错误!. 【答案】 D3.复数z =x -2+(3-x )i 在复平面内的对应点在第四象限,则实数x 的取值范围是________.【解析】 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限, ∴⎩⎨⎧x -2>0,3-x <0,解得x >3.【答案】 (3,+∞)4.已知复数z =x -2+y i(x ,y ∈R )的模是22,则点(x ,y )的轨迹方程是________. 【解析】 ∵|z |=22, ∴错误!=2错误!, ∴(x -2)2+y 2=8. 【答案】 (x -2)2+y 2=85.已知复数z 满足z +|z |=2+8i ,求复数z .【解】 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则|z |=a2+b2, 代入方程得,a +b i +a2+b2=2+8i , ∴⎩⎨⎧a +a2+b2=2,b =8,解得⎩⎨⎧a =-15,b =8,∴z =-15+8i.。
高中数学人教A版选修2-2教案3-1-2复数的几何意义2
3.1.2 复数的几何意义●三维目标1.知识与技能理解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量来表示复数;了解复数模的概念及几何意义,会求复数的模.2.过程与方法渗透转化、数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质.●重点难点重点:复数的几何意义及复数的模.难点:复数的几何意义及模的综合应用.树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识,是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节,通过图形展示,让学生直观、形象的探索其内在联系,可以降低理解难度.●教学建议建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动,使整个教学更有序,更有效,激发学生兴趣,锻炼学生毅力,兴趣是学习良好的开端,毅力是学习的保证.让学生由实数的绝对值的几何意义,类比复数模的几何意义,探索复数模的几何应用.可以利用多媒体教学,展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义,引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题.●教学流程创设问题情境,引出问题,引导学生认识复数几何意义.了解复数模的定义、作用、计算方法.让学生自主完成填一填,使学生进一步了解复数与平面内的点的对应关系,复数与向量的对应关系.引导学生分析例题1的已知条件和问题(1)(2)应满足的条件.学生自主完成求解过程,教师指导完善.完成互动探究.学生分组探究例题2解法,总结利用复数相等条件求参数的规律方法.完成变式训练.完成当堂双基达标,巩固所学知识及应用方法.并进行反馈矫正.归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节所学知识,强调重点内容和规律方法.学生自主完成例题3互动探究,老师抽查完成情况,对出现问题及时指导.让学生自主分析例题3,老师适当点拨解题思路,学生分组讨论给出解法.老师组织解法展示,引导学生总结解题规律.【问题导思】1.复数z =a +b i(a ,b ∈R )与有序实数对(a ,b )有怎样的对应关系?【提示】 一一对应.2.有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系?【提示】 一一对应.3.复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗?【提示】 一一对应.建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.【问题导思】1.平面直角坐标系中的点Z 与向量OZ →有怎样的对应关系?【提示】 一一对应.2.复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗?【提示】 一一对应.(1)复数z =a +b i(a ,b ∈R )―→一一对应 复平面内的点Z (a ,b ).(2)复数z =a +b i(a ,b ∈R )―→一一对应 平面向量OZ →.为方便起见,我们常把复数z =a +b i 说成点Z 或说成向量OZ →,并且规定,相等的向量表示同一个复数.向量OZ →的模r 叫做复数z =a +b i 的模,记作|z |或|a +b i|,且r =a 2+b 2(r ≥0,且r ∈R ).复平面内的点同复数的对应关系例题1 实数m 取什么值时,复平面内表示复数z =2m +(4-m 2)i 的点(1)位于虚轴上;(2)位于第三象限.【思路探究】 找出复数z 的实部、虚部,结合(1)(2)的要求写出满足的条件.【自主解答】 复数z =2m +(4-m 2)i 对应复平面内点的坐标P 为(2m,4-m 2).(1)若P 在虚轴上,则⎩⎨⎧ 2m =0,4-m 2≠0,即m =0. (2)若点P 在第三象限,则⎩⎨⎧2m <0,4-m 2<0,解得m <-2. ∴当点P 位于第三象限时,实数m 的范围是(-∞,-2).规律方法1.复数z =a +b i(a ,b ∈R )复平面内的点(a ,b ). 2.判断复数对应点的位置,关键是找出相应复数的实部和虚部.互动探究在题设不变的情况下,求满足下列条件的实数m .(1)在实轴上;(2)在直线y =x 上.【解】 (1)若点在实轴上,则4-m 2=0,即m =±2.(2)若点在直线y =x 上,则4-m 2=2m ,解得m =-1±5.复数的模的求法例题2 已知复数z 满足z +|z |=2+8i ,求复数z .【思路探究】 设z =a +b i(a ,b ∈R ),代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a ,b .【自主解答】 法一 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则|z |=a 2+b 2,代入方程得a +b i +a 2+b 2=2+8i ,∴⎩⎨⎧a +a 2+b 2=2,b =8,解得⎩⎨⎧a =-15,b =8.∴z =-15+8i. 法二 原式可化为 z =2-|z |+8i ,∵|z |∈R ,∴2-|z |是z 的实部,于是|z |=2-|z |2+82, 即|z |2=68-4|z |+|z |2,∴|z |=17.代入z =2-|z |+8i 得z =-15+8i.规律方法计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,然后再利用模的公式进行计算,两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.变式训练求复数z 1=6+8i 及z 2=-12-2i 的模,并比较它们的模的大小. 【解】 |z 1|=36+64=10,|z 2|=-122+-22=14+2=32,|z 1|>|z 2|.复数的模及其几何意义 例题3 已知复数z 1=-3+i ,z 2=-12-32i , (1)求|z 1|与|z 2|的值,并比较它们的大小.(2)设复平面内,复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|,复数z 对应的点Z 的集合是什么?【思路探究】 (1)利用复数模的定义来求解.若z =a +b i(a ,b ∈R ),则|z |=a 2+b 2.(2)先确定|z |的范围,再确定点Z 满足的条件,从而确定点Z 的图形.【自主解答】 (1)|z 1|=-32+12=2. |z 2|=-122+-322=1. ∵2>1,∴|z 1|>|z 2|.(2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|,则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |=1上和该圆外部所有点的集合,不等式|z |≤2的解集是圆|z |=2上和该圆的内部所有点组成的集合,所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心,以1和2为半径的两圆及所夹的圆环.规律方法1.两个复数不全为实数时不能比较大小;而任意两个复数的模均可比较大小.2.复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.3.|z 1-z 2|表示点z 1,z 2两点间的距离,|z |=r 表示以原点为圆心,以r 为半径的圆.互动探究如果将本题中|z 2|≤|z |≤|z 1|,改为|z 2|<|z |<|z 1|,复数z 对应的点Z 的集合是什么?【解】 |z 2|<|z |<|z 1|⇒1<|z |<2,则复数z 的轨迹为以原点O 为圆心,1、2为半径的圆环且不包括边界,注意区别.因对复数的模理解不到位而导致错误典例 试研究方程x 2-5|x |+6=0在复数集上解的个数.【错解】 将方程变为|x |2-5|x |+6=0⇒|x |=2或|x |=3⇒x =±2或x =±3,故共有4个.【错因分析】 这里常出现将|x |看成“绝对值”从而出现错误的解法,注意这里|x |是一个复数的模,它不等同于实数的绝对值,x 2也不能写成|x |2.【防范措施】 (1)认真审题,看清限制范围是实数还是复数.(2)弄清复数的模与实数绝对值的区别.(3)理解|z |的意义及|z |的计算方法.(4)善于利用转化思想,把复数方程转化为实数方程组求解.【正解】 设x =a +b i(a ,b ∈R ),则原方程可化为a 2-b 2-5a 2+b 2+6+2ab i =0⇒⎩⎨⎧a 2-b 2-5a 2+b 2+6=0,2ab =0⇒⎩⎨⎧ a =±2,b =0或⎩⎨⎧ a =±3,b =0或⎩⎨⎧ a =0,b =±1, 即x =±2或x =±3或x =±i.故方程在复数集上的解共有6个.课堂小结1.复数的几何意义有两种:复数和复平面内的点一一对应,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题,也可以结合图形利用几何关系考虑.。
高中数学 3.1.2复数的几何意义教学案 新人教A版选修12
§3.1.2 复数的几何意义 【学习目标】平面向量是一一对应的,能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.【重点难点】难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
【知识链接】(预习教材P 62~ P 64,找出疑惑之处)复习1:复数(4)(3)z x y i =++-,当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数?复习2:若(4)(3)2x y i i ++-=-,试求,x y 的值,((4)(3)2x y i ++-≥呢?)【学习过程】※ 学习探究探究任务一:复平面问题:我们知道,实数与数轴上的点一一对应,因此,实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义,复数的几何意义是什么呢?分析复数的代数形式,因为它是由实部a 和虚部b 同时确定,即有顺序的两实数,不难想到有序实数对或点的坐标.结论:复数与平面内的点或序实数一一对应.新知:1.复平面:以x 轴为实轴, y 轴为虚轴建立直角坐标系,得到的平面叫复平面.复数与复平面内的点一一对应.显然,实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.1. 复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ; 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ u u u r ; 复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ u u u r .注意:人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量u u r OZ ,规定相等的向量表示同一复数.2. 复数的模 向量OZ u u u r 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知: 22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈试试:复平面内的原点(0,0)表示 ,实轴上的点(2,0)表示 ,虚轴上的点(0,1)-表示 ,点(2,3)-表示复数反思:复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.※ 典型例题例1在复平面内描出复数23i +,84i -,83i +,6,i ,29i --,7i ,0分别对应的点.变式:说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).小结:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b .例2已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-,试求实数a 分别取什么值时,对应的点(1)在实轴上;(2)位于复平面第一象限;(3)在直线0x y +=上;(4)在上半平面(含实轴)变式:若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点(1)在虚轴上,求实数m 的取值;(2)在右半平面呢?小结:复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ u u u r .※ 动手试试练1. 在复平面内画出23,42,13,4,30i i i i i +--+--所对应的向量.练2. 在复平面内指出与复数112z i =+,2z =+,3z =,42z i =-+对应的点1Z ,2Z ,3Z ,4Z .试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.【学习反思】※ 学习小结1. 复平面的定义;2. 复数的几何意义;3.复数的模.).A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 下列命题(1)复平面内,纵坐标轴上的单位是i (2)任何两个复数都不能比较大小(3)任何数的平方都不小于0(4)虚轴上的点表示的都是纯虚数(5)实数是复数(6)虚数是复数(7)实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是( )A .3B .4C .5D .62. 对于实数,a b ,下列结论正确的是( )A .a bi +是实数B .a bi +是虚数C .a bi +是复数D .0a bi +≠3. 复平面上有点A ,B 其对应的复数分别为3i -+和13i --,O 为原点,那么是AOB ∆是( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .正三角形4. 若1z =+,则||z =5. 如果P 是复平面内表示复数(,)a bi a b R +∈的点,分别指出下列条件下点P 的位置:(1)0,0a b >> (2)0,0a b <>(3)0,0a b =≤ (4)0b >1.实数取什么值时,复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点(1)位于第四象限?(2)位于第一、三象限?(3)位于直线y x =上?2. 在复平面内,O 是原点,向量OA u u u r 对应的复数是2i +(1)如果点A 关于实轴的对称点为点B ,求向量OB u u u r 对应的复数.(2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为点C ,求点C 对应的复数.。
(新课程)高中数学《3.1.2复数的几何意义》教案 新人教A版选修2-2
§3.1.2复数的几何意义教学目标:知识与技能:理解复数与从原点出发的向量的对应关系过程与方法:了解复数的几何意义情感、态度与价值观:画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能起到启迪解题思路的作用教学重点:复数与从原点出发的向量的对应关系.教学难点:复数的几何意义。
教具准备:多媒体、实物投影仪。
教学设想:复数z=a+bi(a 、b ∈R)与有序实数对(a ,b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a 、b ∈R),由复数相等的定义可知,可以由一个有序实数对(a ,b)惟一确定.教学过程:学生探究过程:1.若(,)A x y ,(0,0)O ,则(),OA x y =2. 若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课:复平面、实轴、虚轴:复数z=a+bi(a 、b ∈R)与有序实数对(a ,b)是b Z(a ,b)a o yx这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a 、b ∈R),由复数相等的定义可知,可以由一个有序实数对(a ,b)惟一确定,如z=3+2i 可以由有序实数对(3,2)确定,又如z=-2+i 可以由有序实数对(-2,1)来确定;又因为有序实数对(a ,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,如有序实数对(3,2)它与平面直角坐标系中的点A ,横坐标为3,纵坐标为2,建立了一一对应的关系 由此可知,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z=a+bi(a 、b ∈R)可用点Z(a ,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.在复平面内的原点(0,0)表示实数0,实轴上的点(2,0)表示实数2,虚轴上的点(0,-1)表示纯虚数-i ,虚轴上的点(0,5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限,例如点(-2,3)表示的复数是-2+3i ,z=-5-3i 对应的点(-5,-3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.1.复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例1.(2020年辽宁卷)若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解:选B . 例2.(2020上海理科、文科)已知复数z 1=cos θ-i ,z 2=sin θ+i ,求| z 1·z 2|的最大值和最小值.[解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++= 故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例3.(2020北京理科)满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆解:选C.巩固练习:课后作业:课本第106页 习题3. 1 A 组4,5,6 B 组1,2教学反思:复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.1.(2000广东,全国文科、理科,江西、天津理科)在复平面内,把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π,所得向量对应的复数是:( B ) (A )23 (B )i 32- (C )3i 3- (D )3+i 32. (1992全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为:( D )(A)1 (B)2 (C) (D)33.(2020北京理科)若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是( B )A .2B .3C .4D .54.(2020年上海卷)若,a b 为非零实数,则下列四个命题都成立:①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =,则a b =± ④若2a ab =,则a b =则对于任意非零复数,a b ,上述命题仍然成立的序号是_____。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1.2 复数的几何意义》
复数的几何意义一、教学分析《复数的几何意义》是高中数学人教A版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》的第一节第二课时,是学生在学习数系的扩充与复数的概念后的一节课,它的学习能帮助学生进一步认识复数和理解复数概念,是研究复数的运算、性质和应用主要基础,它在本章节学习内容中起着承上启下的关键作用。
二、学情分析教学对象是高二的学生,学生已经学过代数、解析几何的相关知识,本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义,由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示,得到用平面向量来表示复数就比较容易了三、教学目标依据教材特点、新课标的教学要求和学生的认知水平,确定教学目标如下:1理解复数的几何意义;根据复数的几何意义,在复平面内能描出复数的点;会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模2通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义,类比向量求模来学习求复数的模,培养学生的逻辑思维能力3通过复数的几何意义的学习,培养学生类比,转化和数形结合的数学思想,从而激发学生学习数学的兴趣四、教学重点和难点根据新课标要求和教材定位以及学情分析确定本节课:教学重点:复数的几何意义以及复数的模;教学难点:复数的几何意义及模的综合应用五、教学与学法教法:本节主要让学生类比实数的几何意义,探究出复数的几何意义;类比求向量的模公式探究出求复数模的公式学法:建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式六、教学支持条件主要教学支持条件:三角板、多媒体等七、教学过程设计(一)复习回顾问题1 在几何上,我们用什么来表示实数问题2 复数的代数形式是什么?一个复数可由什么确定?问题3 类比实数的表示,在几何上可以用什么来表示复数设计意图:创设问题情境,使学生明确这里要解决什么问题,联系旧知识,了解解决问题的大致方向。
提出问题,激发学生学习兴趣。
师生活动:教师提出问题,学生思考回答,教师再评价、引导。
数学选修1-2人教新课标3-1-2复数的几何意义教案
(几何问题)(代数问题)
数学思想:数形结合、转化思想
例2 在复平面内,满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么?
(1)|z-1-i|=|z+2+i|
(2)|z+i|+|z-i|=4
(3)|z+2|-|z-2|=1
延伸:若将(2)中的等于改为小于呢?
阐明复数与实数的联系和区别,实数能比较大小,虚数不能比较大小,是实数的复数能比较大小,能比较大小的复数只能是实数。复数可看作是向量 ,向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小,从而引出复数的模(或绝对值)。
通过知识的分层练习,使学生明确复数的模(或绝对值),即点Z到复平面原点的距离,会求复数的模。
(3)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个?满足|z|=5(z∈C)的z值有几个?这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形?其轨迹方程是什么?
(4)设Z∈C,满足2< 3的点Z的集合是什么图形?(结果动画演示)
y
问题5:既然复数可以用复平面内过原点的向量来表示,那么,复数的加法、减法有什么几何意义呢?它能像向量加法、减法一样,用作图的方法得到吗?
五、作业(略)
回忆旧知,吸引学生的注意力;揭示确定一个复数的条件,为新课的传授作必要的铺垫。
以学生熟悉的知识为载体,采用类比的方法,引导学生对比、思考、愤悱,调动他们的积极性和主动性,活跃课堂气氛,拓展思维宽度,从而使新课更加顺理成章的展开。
面向全体学生(属基本题型),巩固概念,体会数形结合思想,重视一题多变,较全面地理解复数、复平面内的点、始点为原点的向量三者的关系。
2、复数的几何意义
复数a+bi,即点Z(a,b)(复数的几何形式)、即向量 (复数的向量形式。以O为始点的向量,规定:相等的向量表示同一个复数。)
高中数学《第三章 复数》(4个课时)章节学案 新人教A版选修12
第三章 复数二.课标要求:复数的概念:①理解复数的基本概念;②理解复数相等的充要条件;③了解复数的代数表示法及其几何意义。
复数的四则运算:①会进行复数代数形式的四则运算;②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
第一节 数系的扩充和复数的概念学习目标:①理解复数的基本概念;②理解复数相等的充要条件;③了解复数的代数表示法及其几何意义。
第一课时 复数的概念 一.归纳重点1.复数的代数形式:形如 的数叫做复数,其中 叫做虚数单位。
复数的实部为 ,虚部为 。
2.虚数和纯虚数:对于),(R b a bi a z ∈+=,当 时,它是实数;当 时,它是虚数;当 时,它是纯虚数。
3.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间关系如右图所示:4.复数的相等:di c bi a +=+的充要条件为 。
二.典型例题例1.实数m 取什么值时,复数i m m z )1(1-++=是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?例2.如果i y y x i y y x )12()32()1()(+++=-++,求实数y x ,的值。
三.延伸训练1.下列四个命题中,真命题是( )①1-的平方根只有一个i ;②i 是方程012=+x 的一个根;③i 2是一个无理数;④)(1R a ai ∈-是一个复数。
.A ①② .B ②③ .C ①④ .D ②④ 2.对于复数bi a +,下列结论正确的是( ).A bi a a +⇔=0为纯虚数 .B bi a b +⇔=0为实数 .C 3,323)1(-==⇔+=-+b a i i b a .D 1-的平方等于i 3.复数i a a 234--与复数ai a 42+相等,则实数a 的值为( ).A 1 .B 1或4- .C 4- .D 0或4-4.复数i 312+-的实部为 ,虚部为 。
5.下列数中,其中实数为 ,虚数为 ,纯虚数为 。
①72+;②e ;③i 72;④0;⑤i ;⑥2i ;⑦3i ;⑧85+i ;⑨)31(-i ;⑩i -2。
3.1.2复数的几何意义-人教A版高中数学选修2-2课件
证明:若复数所对应的点位于第四象限,
则m m
2 2
m m
6 2
0, 0
即m23或mm
1
2
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
复数的几何意义(二)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
2、m取何实数时,复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(m∈R) 对应的点在 (1)x轴的正半轴上 (2)第二象限 (3)虚轴上
三、共轭复数
当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,
这两个复数叫做互为共轭复数.
_
z = a - bi
若z=a+bi(a、b∈R)则其共轭复数为:
感悟: 1.实数的共轭复数是 本身.
2、“a=0”是“复数a+bi (a, b∈R)是纯虚数”的( A )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 不充分不必要条件
3、“a=0”是“复数a+bi (a, b∈R)所对应的点在虚轴
上”的( C )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 不充分不必要条件
a bi 0 a b 0
二、复数的几何意义
想一想:在几何上,我们用什么来表示实数?
实数可以用数轴上的点来表示。
实数 (数)
一一对应
实数的几何模型: -1
数轴上的点 (形)
01
x
类比实数的表示,可以用什么来表示复数?
回忆:复数的一般情势?
数学:3.1.2《复数的几何意义》教案(新人教A版选修2-2)
3.1. 2复数的几何意义教学目标:知识与技术:理解复数与从原点动身的向量的对应关系 进程与方式:了解复数的几何意义情感、态度与价值观:画图取得的结论,不能代替论证,但是通过对图形的观察,往往能起到启迪解题思路的作用教学重点:复数与从原点动身的向量的对应关系.教学难点:复数的几何意义。
教具准备:多媒体、实物投影仪。
教学假想:复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ,b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R ),由复数相等的概念可知,可以由一个有序实数对(a ,b )惟一肯定.教学进程:学生探讨进程: 1.若(,)A x y ,(0,0)O ,则(),OA x y =2. 若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a + = ,b a - =两个向量和与差的坐标别离等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OB -OA =教学新课:复平面、实轴、虚轴: 复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ,b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R ),由复数相等的概念可知,可以由一个有序实数对(a ,b )惟一肯定,如z =3+2i 可以由有序实数对(3,2)肯定,又如z =-2+i 可以由有序实数对(-2,1)来肯定;又因为有序实数对(a ,b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的,如有序实数对(3,2)它与平面直角坐标系中的点A ,横坐标为3,纵坐标为2,成立了一一对应的关系 由此可知,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以成立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ,b )表示,这个成立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所肯定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0,0)表示实数0,实轴上的点(2,0)表示实数2,虚轴上的点(0,-1)表示纯虚数-i ,虚轴上的点(0,5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限,例如点(-2,3)表示的复数是-2+3i ,z =-5-3i 对应的点(-5,-3)在第三象限等等.b Z(a ,b)a o y x复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方式,即几何表示方式. 1.复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例1.(2021年辽宁卷)若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限.例2.已知复数z 1=cos θ-i ,z 2=sin θ+i ,求| z 1·z 2|的最大值和最小值.例3.知足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆巩固练习:课堂小结:教学反思:复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方式,即几何表示方式.。
高中数学选修1-2教案4:3.1.2 复数的几何意义教学设计
3.1.2 复数的几何意义整体设计教材分析教材通过一个思考问题引入,运用类比的方法,即类比实数的几何意义和向量的几何意义得出了复数的几何意义,也就是复数的几何表示和向量表示,并借助于向量的模定义了复数的模.本节课是学习复数概念的继续,是从“形”的角度研究复数特征的,也是数学中数形结合重要思想的又一体现.复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础,所以理解掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用.课时分配1课时.教学目标1.知识与技能目标能准确用点和向量表示一个复数,理解复平面及其相关的概念以及复平面内的点、向量与复数对应的特点.掌握复数的代数形式表示、点表示和向量表示以及它们之间的联系.2.过程与方法目标通过类比实数可用数轴上的点来表示,认识复数用点和向量表示的合理性,体会数形结合思想在理解复数中的作用.3.情感、态度和价值观通过创设问题情景,让学生体验数学活动中充满了探索性和创造性,感悟数学的奇妙及魅力,并通过交流培养学生敢于发表自己的观点,勇于探索的精神.重点难点教学重点:复数与复平面内点的对应关系.教学难点:复数的几何意义.教学过程引入新课提出问题:复数a+b i与复数b+a i相等吗?复数z=a+b i(a,b∈R)由什么唯一确定?活动设计:学生举例验证,师生讨论交流.活动结果:不一定相等.只有a=b时,才有a+b i=b+a i,如3+2i≠2+3i,1-i≠-1+i等.复数a+b i由实部a、虚部b确定,即由有序数对(a,b)唯一确定.设计意图回忆旧知,吸引学生的注意力;让学生进一步认识复数代数形式的特征,揭示确定一个复数的条件,为探究新知作铺垫.提出问题:在初中我们学习过实数,知道所有实数与数轴上的所有点是一一对应的,因此实数可用数轴上的点来表示,那么复数是不是也能用点来表示?用什么样的点来表示才准确呢?活动设计:学生猜测,讨论,形成一些共识.活动成果:复数z=a+b i(a、b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系.这是因为对于任何一个复数z=a+b i(a、b∈R),由复数相等的定义可知,由一个有序实数对(a,b)唯一确定,如复数z=3+2i由有序实数对(3,2)确定,复数z=-2+i由有序实数对(-2,1)来确定.因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,如有序实数对(3,2),它与平面直角坐标系中横坐标为3,纵坐标为2的点A建立了一一对应的关系,由此可知,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.设计意图以学生熟悉的知识为载体,采用类比的方法,引导学生对比、思考,调动学生的积极性和主动性,活跃课堂气氛,拓展思维宽度,从而使新课更加顺理成章地展开.探究新知提出问题:在坐标平面内描出复数1+4i,3-2i,-2+i,6,i,-1+i,5i,0,-i 分别对应的点,观察所描出的点,从中可以得出什么结论?活动设计:让一名学生在黑板上描点演示,教师点评引入复平面,实轴,虚轴概念.活动成果:点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+b i(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法,每一个复数,在复平面内都有唯一的点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,也都有唯一的复数和它对应.由此可知,复数集C 和复平面内所有点构成的集合是一一对应关系,即复数z =a +b i 复平面内的点Z (a ,b )这是复数的一种几何意义,也是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.设计意图通过具体问题情境,激发学生的思维,让学生体验任意一个复数都可以用复平面内唯一的点来表示的合理性,促使认知结构的正向迁移,自然引出复数的几何意义.提出问题:(1)我们所学过的知识当中,与平面内的点一一对应的知识还有哪些?(2)复数能用平面向量来表示吗?活动设计:学生思考,联想平面向量的几何意义,讨论用向量表示复数的合理性,教师总结.活动成果:在平面直角坐标系中,可以将平面向量的起点移至坐标原点O ,所以平面内任意一向量OA →,都与坐标平面上的点A 一一对应,且向量OA →的坐标就是其终点A 的坐标.由于复数与复平面内的点一一对应,所以复数也可以用向量表示.如图,设复平面内的点Z 表示复数z =a +b i ,连接OZ ,显然向量OZ →由点Z 唯一确定;反过来,点Z (相对于原点来说)也可以由向量OZ →唯一确定.因此,复数集C 与复平面内的向量所构成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即复数z =a +b i 平面向量OZ →这是复数的另一种几何意义,即复数的向量表示法.所以,复数z =a +b i 可以用点Z (a ,b )(复数的几何形式)表示,也可以用向量OZ →(复数的向量形式)表示.规定:相等的向量表示同一个复数.三者的关系如下:设计意图通过类比、联想,发现复平面内的点、向量与复数三者之间的联系,探究出复数的向量表示,同时,让学生感知复数与平面解析几何的关系,进而激发学习复数的热情.提出问题:任何实数都有绝对值,任何向量都有模(绝对值),类比它们,可以给出复数z =a +b i 的模的概念吗?它有什么几何意义?活动设计:请学生讨论后发言,教师点评,并引入复数的模的概念,导出复数模的公式. 活动结果:由于复数可以用向量表示,因此可以类比向量模的定义,给出复数模的定义.即向量OZ →的模r 叫做复数z =a +b i 的模(或绝对值),记作|z |或|a +bi |.如果b =0,那么z =a +b i 就是实数a ,它的模等于|a |(即实数a 的绝对值).由模的定义可知,复数的模表示复平面上复数对应的点Z 到原点的距离,因此|z |=|a +b i|=a 2+b 2.设计意图运用类比思想,与向量模的定义类比,引出复数模的定义,进而引出复数模的公式,复数模的几何意义.理解新知提出问题:判断下列命题的真假:①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( )②在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上.( )③在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数.( )④在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()⑤在复平面内,对应于非纯虚数的点都分布在四个象限.()活动设计:小组讨论,小组代表发言,相互交流,达成共识.活动成果:根据实轴的定义,x轴叫实轴,实轴上的点都表示实数,反过来,实数对应的点都在实轴上,如实轴上的点(2,0)表示实数2,因此①③是真命题;根据虚轴的定义,y 轴叫虚轴,显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上,如纯虚数5i对应点(0,5),但虚轴上的点却不都是纯虚数,这是因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示的是实数,故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,所以④是假命题;对于非纯虚数数z=a+b i,由于a≠0,所以它对应的点Z(a,b)不会落在虚轴上,但当b=0时,z所对应的点在实轴上,故⑤是假命题.设计意图通过具体问题的是非判断,让学生明确实轴和虚轴的特点,理解复数与复平面内点的对应关系.巩固练习设z=a+b i和复平面内的点Z(a,b)对应,(1)若点Z位于实轴上,则a、b应满足______;(2)若点Z位于虚轴上(原点除外),则a、b应满足______;(3)若点Z位于实轴的上方,则a、b应满足__________;(4)若点Z位于虚轴的左方,则a、b应满足__________.【答案】(1)a∈R,b=0;(2)a=0,b≠0;(3)a∈R,b>0;(4)a<0,b∈R.提出问题:(1)复数的模能否比较大小?(2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个?(3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个?这些复数z对应的点在复平面上构成怎样的图形?活动设计:教师提出问题,学生思考,小组交流讨论,教师点拨.学情预测:对问题(1)、(2)容易回答,问题(3)可能考虑不全,教师引导完善.由于复数的模是一非负实数,因此两个复数的模可以比较大小,如|1+i|=2,|1-2i|=5,由于5>2,所以|1-2i|>|1+i|.若z∈R,根据实数绝对值的意义知,满足|z|=5的z 值有2个,即z=±5;若z∈C,由复数模的几何意义知,|z|=5表示复平面内复数z对应的点Z到原点O的距离等于5,显然满足|z|=5(z∈C)的z值有无数个,根据圆的定义可知,这些复数z对应的点Z形成了一个以原点为圆心,以5为半径的圆.运用新知例1 已知复数z =(m 2+m -6)+(m 2+m -2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限,求实数m 的取值范围.思路分析:先确定复数z 对应点的坐标,然后依据第二象限内点的坐标的符号,列出关于m 的不等式组,即可求出实数m 的取值范围.解:复数z 对应点的坐标是(m 2+m -6,m 2+m -2),若复数z 对应的点在第二象限,则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2+m -6<0,m 2+m -2>0,解得-3<m <-2或1<m <2. 所以实数m 的取值范围是(-3,-2)∪(1,2).点评:本题主要考查复数的几何意义,即复数与复平面内的点一一对应.若复数对应的点在第二象限,则点的横坐标小于零,且纵坐标大于零.解决此类问题的关键是先确定复数对应点的坐标,然后根据点所满足的条件列出相应的不等式或等式,求出相应参数的值或取值范围.设计意图训练学生对复数几何意义的理解,渗透数形结合思想,培养学生严谨的思维.变式练习:(1)当23<m <1时,复数z =(m -1)+(3m -2)i 在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限(2)证明复数z =(m 2+m -6)+(m 2+m -2)i 对应的点不可能位于第四象限.(1)【答案】B【解析】若23<m <1,则-13<m -1<0,0<3m -2<1, 所以复数z =(m -1)+(3m -2)i 在复平面上对应的点位于第二象限,故选B.(2)证明:反证法:假设复数对应的点在第四象限,则⎩⎪⎨⎪⎧m 2+m -6>0,m 2+m -2<0,此不等式组无解,所以假设不成立,因此复数对应的点不可能在第四象限.例2 若z =a +3i(a ∈R ),且|z |=2,则a =________.【解析】因为z =a +3i(a ∈R ),且|z |=2,则a 2+3=2,解得a =±1.【答案】±1点评:有关复数模的问题,基本解法是根据模的公式求解.本题也可以利用复数的几何意义求解.对于本题,即求圆x 2+y 2=4与直线y =3交点的横坐标.变式训练:已知0<a <2,复数z 的实部为a ,虚部为1,则|z |的取值范围是( )A .(1,5)B .(1,3)C .(1,5)D .(1,3)【答案】C变练演编1.已知复数z =(m 2-m -6)+(m +2)i ,(1)添加条件________,可以求实数m 的值.(2)添加条件________,可以求数m 的取值范围.【答案】本题属于开放式题,添加条件不唯一.(1)可以添加条件“所对应的点在直线y =x 上”,由于复数z 对应的点的坐标是(m 2-m -6,m +2),则m 2-m -6=m +2,即m 2-2m -8=0,解得m =4或m =-2.也可以添加条件:对应的点在虚轴上,此时,应有m 2-m -6=0,解得m =3或m =-2.还可以添加条件:对应的点在实轴上,对应的点位于抛物线y 2=x 上等等.(2)可以添加条件:对应点位于第一象限,此时⎩⎪⎨⎪⎧m 2-m -6>0,m +2>0,解得m >3. 还可以添加条件:对应点位于虚轴的右侧等.2.已知复数z =cos θ+isin θ,θ∈R ,你能求解哪些问题?写出两个,并尝试解决. 提示:可以解决如下问题:(1)若复数对应的点在实轴上,则θ=______;(2)若复数对应的点在直线y =3x 上,则θ=______;(3)复数z 的模|z |=__________;(4)在复平面上复数z 对应的点Z 构成什么图形.等等.【解析】(1)由sin θ=0,得θ=k π(k ∈Z );(2)由sin θ=3cos θ,得tan θ=3,所以θ=k π+π3(k ∈Z ); (3)|z |=cos 2θ+sin 2θ=1;(4)由|z |=1知,复数z 对应的点在复平面上的图形是以原点为圆心的单位圆.【答案】(1)k π(k ∈Z );(2)k π+π3(k ∈Z ); (3)1;(4)由|z |=1知,复数z 对应的点在复平面上的图形是以原点为圆心的单位圆.达标检测1.复数z =(a 2-2a )+(a 2-a -2)i 对应的点在虚轴上,则( )A .a ≠2或a ≠1B .a ≠2且a ≠1C .a =0D .a =2或a =02.复数z 满足条件|z |=2,那么z 对应的点的轨迹是( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线3.若复数z =cos θ-sin θi 所对应的点在第四象限,则θ为第________象限角.4.已知z =3+a i(a ∈R ),则|z |的取值范围是__________.【答案】1.D 2.A 3.一 4.[3,+∞)课堂小结可以先给学生1~2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法,例题、题目类型、解题规律等;然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律等.1.内容知识:2.解题规律方法:3.思想方法:布置作业教材习题3.1 A 组4,5,6题,B 组1,2题.补充练习基础练习1.若θ∈(3π4,5π4),则复数(cos θ+sin θ)+(sin θ-cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.复数z =icos θ,θ∈[0,2π)的几何表示是( )A .虚轴B .虚轴除去原点C .线段PQ ,点P ,Q 的坐标分别为(0,1),(0,-1)D .C 中线段PQ ,但应除去原点3.满足条件|z -i|=|3+4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A .一条直线B .两条直线C .圆D .椭圆4.已知复数z 1=a +b i ,z 2=-1+a i(a ,b ∈R ),若|z 1|<|z 2|,则( )A .b <-1或b >1B .-1<b <1C .b >1D .b >05.若复数z 1=1-i ,z 2=3-5i ,则复平面上与z 1,z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________.【答案】1.B 2.C 3.C 4.B 5.25拓展练习6.已知复数(x -2)+y i(x ,y ∈R )的模为3,求y x的最大值. 解:∵|x -2+y i|=3,∴(x -2)2+y 2=3,故(x ,y )在以C (2,0)为圆心,3为半径的圆上,y x表示圆上的点(x ,y )与原点连线的斜率.如图,由平面几何知识,易知y x 的最大值为 3. 设计说明本节课的设计主要以问题为主线,通过类比、讨论、总结的方法进行的,着重突出主体性教学的原则,突出复习旧知、探求新知、以数定形、以形助数、数形结合的教学模式.尽量做到让学生来发现复数的几何表示.在理解应用环节,通过问题强化思维和理解,加深复数几何意义的认识.在设计理念上符合以下原则:(1)微观与宏观:每一节数学课,一方面需要完成具体数学知识、方法等微观教学任务;另一方面,作为整个数学学科教学的一个有机组成部分,同时也肩负着培养学生数学思想,形成数学观,整体认识数学学科等的宏观教学任务.(2)探索与指导:人类对客观世界的认识离不开探索,但所有知识都通过探索去获得是没有必要的,也是不可能的.本课的设计中,在教师的指导下做小范围、必要的教学探索活动,使整个教学更有序、更有效.(3)兴趣与毅力:兴趣是学习良好的开端,毅力是学习的保证.在本课的设计中一方面要安排一些有趣、直观、易于理解的内容,另一方面也需要有一定难度的思维训练,因为数学学习不可能是一件十分轻松的事情.。
人教a版数学【选修2-2】3.1.2《复数的几何意义》ppt课件
,
-1<m<2 ∴ m>2或m<1’
∴-1<m<1. (3)由已知得 m2-m-2=m2-3m+2. ∴m=2.
[方法规律总结] 1.复数的几何意义包含两种: (1)复数与复平面内点的对应关系:每一个复数和复平面内的 一个点对应,复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵 坐标. (2)复数与复平面内向量的对应关系:当向量的起点在原点时 ,该向量可由终点唯一确定,从而可与该终点对应的复数建 立一一对应关系,借助平面向量的有关知识,可以更好的理 解复数的相关知识. 2.有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、 某个象限内、某条已知直线上等)的题目,先找出复数的实 部、虚部,再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解.
[分析]
确定z的实部、虚部 → 列方程不等式组
→ 求解m
[解析] 复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m -2,虚部为m2-3m+2. (1)由题意得m2-m-2=0. 解得m=2或m=-1.
2 m -m-2<0 (2)由题意得 2 m -3m+2>0
实数x分别取什么值时,复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i对应 的点Z在:(1)第三象限;(2)第四象限;(3)直线x-y-3=0上 ? [解析] 因为x是实数,所以x2+x-6,x2-2x-15也是实数 . 若已知复数z=a+bi,则当a<0,且b<0时,复数z对应的点在 第三象限; 当a>0,且b<0时,复数z对应的点在第四象限; 当a-b-3=0时,复数z对应的点在直线x-y-3=0上.
2 P(3m-2,m-1),当 m>1 时,P 在第一象限;当 m<3时,P 在 2 2 第三象限,当3<m<1 时,P 在第四象限,当 m=3时,P 在 y 轴 上,当 m=1 时,P 在 x 轴上,故选 B.
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3.1.2 复数的几何意义(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能理解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量来表示复数;了解复数模的概念及几何意义,会求复数的模.2.过程与方法渗透转化、数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质.●重点难点重点:复数的几何意义及复数的模.难点:复数的几何意义及模的综合应用.树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识,是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节,通过图形展示,让学生直观、形象的探索其内在联系,可以降低理解难度.(教师用书独具)●教学建议建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动,使整个教学更有序,更有效,激发学生兴趣,锻炼学生毅力,兴趣是学习良好的开端,毅力是学习的保证.让学生由实数的绝对值的几何意义,类比复数模的几何意义,探索复数模的几何应用.可以利用多媒体教学,展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义,引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题.●教学流程创设问题情境,引出问题,引导学生认识复数几何意义.了解复数模的定义、作用、计算方法.让学生自主完成填一填,使学生进一步了解复数与平面内的点的对应关系,复数与向量的对应关系.引导学生分析例题1的已知条件和问题(1)(2)应满足的条件.学生自主完成求解过程,教师指导完善.完成互动探究.学生分组探究例题2解法,总结利用复数相等条件求参数的规律方法.完成变式训练.完成当堂双基达标,巩固所学知识及应用方法.并进行反馈矫正.归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节所学知识,强调重点内容和规律方法.学生自主完成例题3互动探究,老师抽查完成情况,对出现问题及时指导.让学生自主分析例题3,老师适当点拨解题思路,学生分组讨论给出解法.老师组织解法展示,引导学生总结解题规律.【问题导思】1.复数z=a+b i(a,b∈R)与有序实数对(a,b)有怎样的对应关系?【提示】一一对应.2.有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系?【提示】一一对应.3.复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗?【提示】一一对应.建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.1.平面直角坐标系中的点Z 与向量OZ →有怎样的对应关系? 【提示】 一一对应.2.复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗? 【提示】 一一对应.(1)复数z =a +b i(a ,b ∈R )―→一一对应复平面内的点Z (a ,b ). (2)复数z =a +b i(a ,b ∈R )―→一一对应平面向量OZ →.为方便起见,我们常把复数z =a +b i 说成点Z 或说成向量OZ →,并且规定,相等的向量表示同一个复数.向量OZ →的模r 叫做复数z =a +b i 的模,记作|z |或|a +b i|,且r =a 2+b 2(r ≥0,且r∈R ).实数m 取什么值时,复平面内表示复数z =2m +(4-m 2)i 的点(1)位于虚轴上;(2)位于第三象限.【思路探究】 找出复数z 的实部、虚部,结合(1)(2)的要求写出满足的条件. 【自主解答】 复数z =2m +(4-m 2)i 对应复平面内点的坐标P 为(2m,4-m 2).(1)若P 在虚轴上,则⎩⎪⎨⎪⎧2m =0,4-m 2≠0,即m =0.(2)若点P 在第三象限,则⎩⎪⎨⎪⎧2m <0,4-m 2<0,解得m <-2.∴当点P 位于第三象限时,实数m 的范围是(-∞,-2).1.复数z =a +b i(a ,b ∈R )复平面内的点(a ,b ).2.判断复数对应点的位置,关键是找出相应复数的实部和虚部.在题设不变的情况下,求满足下列条件的实数m . (1)在实轴上;(2)在直线y =x 上.【解】 (1)若点在实轴上,则4-m 2=0,即m =±2. (2)若点在直线y =x 上,则4-m 2=2m ,解得m =-1± 5.复数的模的求法已知复数z 满足z +|z |=2+8i ,求复数z .【思路探究】 设z =a +b i(a ,b ∈R ),代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a ,b .【自主解答】 法一 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则|z |=a 2+b 2, 代入方程得a +b i +a 2+b 2=2+8i ,∴⎩⎨⎧a +a 2+b 2=2,b =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-15,b =8.∴z =-15+8i.法二 原式可化为 z =2-|z |+8i , ∵|z |∈R ,∴2-|z |是z 的实部, 于是|z |=2-|z |2+82,即|z |2=68-4|z |+|z |2,∴|z |=17. 代入z =2-|z |+8i 得z =-15+8i.计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,然后再利用模的公式进行计算,两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.求复数z 1=6+8i 及z 2=-12-2i 的模,并比较它们的模的大小.【解】 |z 1|=36+64=10,|z 2|=-122+-22= 14+2=32,|z 1|>|z 2|.复数的模及其几何意义已知复数z 1=-3+i ,z 2=-12-32i ,(1)求|z 1|与|z 2|的值,并比较它们的大小.(2)设复平面内,复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|,复数z 对应的点Z 的集合是什么? 【思路探究】 (1)利用复数模的定义来求解.若z =a +b i(a ,b ∈R ),则|z |=a 2+b 2. (2)先确定|z |的范围,再确定点Z 满足的条件,从而确定点Z 的图形. 【自主解答】 (1)|z 1|=-32+12=2.|z 2|=-122+-322=1.∵2>1,∴|z 1|>|z 2|. (2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|, 则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |=1上和该圆外部所有点的集合,不等式|z |≤2的解集是圆|z |=2上和该圆的内部所有点组成的集合,所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心,以1和2为半径的两圆及所夹的圆环.1.两个复数不全为实数时不能比较大小;而任意两个复数的模均可比较大小.2.复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.3.|z1-z2|表示点z1,z2两点间的距离,|z|=r表示以原点为圆心,以r为半径的圆.如果将本题中|z2|≤|z|≤|z1|,改为|z2|<|z|<|z1|,复数z对应的点Z的集合是什么?【解】|z2|<|z|<|z1|⇒1<|z|<2,则复数z的轨迹为以原点O为圆心,1、2为半径的圆环且不包括边界,注意区别.因对复数的模理解不到位而导致错误试研究方程x 2-5|x |+6=0在复数集上解的个数.【错解】 将方程变为|x |2-5|x |+6=0⇒|x |=2或|x |=3⇒x =±2或x =±3,故共有4个.【错因分析】 这里常出现将|x |看成“绝对值”从而出现错误的解法,注意这里|x |是一个复数的模,它不等同于实数的绝对值,x 2也不能写成|x |2.【防范措施】 (1)认真审题,看清限制范围是实数还是复数. (2)弄清复数的模与实数绝对值的区别. (3)理解|z |的意义及|z |的计算方法.(4)善于利用转化思想,把复数方程转化为实数方程组求解. 【正解】 设x =a +b i(a ,b ∈R ),则原方程可化为a 2-b 2-5a 2+b 2+6+2ab i =0⇒⎩⎨⎧a 2-b 2-5a 2+b 2+6=0,2ab =0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =±2,b =0或⎩⎪⎨⎪⎧a =±3,b =0或⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =±1,即x =±2或x =±3或x =±i. 故方程在复数集上的解共有6个.1.复数的几何意义有两种:复数和复平面内的点一一对应,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题,也可以结合图形利用几何关系考虑.1.(2013·福建高考)复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z=-1-2i在复平面内对应的点为(-1,-2),它位于第三象限.【答案】 C2.若OZ →=(0,-3),则OZ →对应的复数为( ) A .0 B .-3 C .-3iD .3【解析】 由复数的几何意义可知OZ →对应的复数为-3i. 【答案】 C3.已知3-4i =x +y i(x ,y ∈R ),则|1-5i|,|x -y i|,|y +2i|的大小关系为________. 【解析】 由3-4i =x +y i(x ,y ∈R ), 得x =3,y =-4,而|1-5i|=1+52=26, |x -y i|=|3+4i|=32+42=5, |y +2i|=|-4+2i|=-42+22=20.∵20<5<26,∴|y +2i|<|x -y i|<|1-5i|. 【答案】 |y +2i|<|x -y i|<|1-5i|4.在复平面内指出与复数z 1=-1+2i ,z 2=2-i ,z 3=-i ,z 4=3+3i 对应的点Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,然后在复平面内画出这4个复数对应的向量.【解】 由题意知Z 1(-1,2),Z 2(2,-1),Z 3(0,-1),Z 4(3,3).如图所示,在复平面内,复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的向量分别为OZ 1→,OZ 2→,OZ 3→,OZ 4→.一、选择题1.过原点和3-i 对应点的直线的倾斜角是( ) A.π6B .-π6 C.2π3D .5π6【解析】 ∵3-i 在复平面上的对应点是(3,-1),∴tan α=-1-03-0=-33(0≤α<π),∴α=56π.【答案】 D2.复数z =(a 2-2a )+(a 2-a -2)i 对应的点在虚轴上,则a 的值为( )A .a =0或a =2B .a =0C .a ≠1且a ≠2D .a ≠1或a ≠2【解析】 ∵复数z =(a 2-2a )+(a 2-a -2)i 对应的点在虚轴上,∴a 2-2a =0,∴a =0或a =2.【答案】 A3.已知复数z 1=a +2i ,z 2=-2+i ,且|z 1|=|z 2|,则实数a =( ) A .1 B .-1 C .1或-1D .±1或0【解析】 由题意得,a 2+4=4+1⇒a 2=1⇒a =±1. 【答案】 C4.复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A .z 为纯虚数 B .z 是实数 C .z 是正实数D .z 是非负实数【解析】 设z =a +b i ,则|z |=a 2+b 2,又z =|z |,即a 2+b 2=a . ∴b =0,a ≥0,即z 是非负实数. 【答案】 D5.设复数z =(2t 2+5t -3)+(t 2+2t +2)i ,t ∈R ,则以下结论中正确的是( ) A .复数z 对应的点在第一象限 B .复数z 一定不是纯虚数 C .复数z 对应的点在实轴上方 D .复数z 一定是实数【解析】 ∵2t 2+5t -3=0的Δ=25+24=49>0, ∴方程有两根,2t 2+5t -3的值可正可负,∴A 、B 不正确. 又t 2+2t +2=(t +1)2+1>0,∴D 不正确, ∴C 正确. 【答案】 C 二、填空题6.复数z =log 123+ilog 312对应的点位于复平面内的第________象限.【解析】 ∵log 123<0,log 312<0,∴z 对应的点在第三象限. 【答案】 三7.若复数z 1=3-5i ,z 2=1-i ,z 3=-2+a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上,则实数a =________.【解析】 设复数z 1,z 2,z 3分别对应点P 1(3,-5),P 2(1,-1),P 3(-2,a ),由已知可得-5+13-1=a +1-2-1,从而可得a =5.【答案】 58.已知复数z =(x -1)+(2x -1)i 的模小于10,则实数x 的取值范围是________. 【解析】 由题意得x -12+2x -12<10,∴5x 2-6x -8<0,∴(5x +4)(x -2)<0, ∴-45<x <2.【答案】 (-45,2)三、解答题9.在复平面内,若复数z =(m 2-m -2)+(m 2-3m +2)i 的对应点, (1)在虚轴上; (2)在第二象限; (3)在直线y =x 上. 试分别求实数m 的取值范围.【解】 复数z =(m 2-m -2)+(m 2-3m +2)i 的实部为m 2-m -2,虚部为m 2-3m +2. (1)由题意,得m 2-m -2=0, 解得m =2或m =-1.(2)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧m 2-m -2<0,m 2-3m +2>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧-1<m <2,m >2或m <1.∴-1<m <1, 即m ∈(-1,1).(3)由已知,得m 2-m -2=m 2-3m +2, ∴m =2.10.已知z 1=x 2+x 2+1i ,z 2=(x 2+a )i 对任意的x ∈R 均有|z 1|>|z 2|成立,试求实数a 的取值范围.【解】 ∵|z 1|=x 4+x 2+1,|z 2|=|x 2+a |,且|z 1|>|z 2|,∴x 4+x 2+1>|x 2+a |对x ∈R 恒成立,等价于(1-2a )x 2+(1-a 2)>0恒成立.不等式等价于①:⎩⎪⎨⎪⎧1-2a =0,1-a 2>0,解得a =12,∴a =12时,0·x 2+(1-14)>0恒成立.或②:⎩⎪⎨⎪⎧1-2a >0,Δ=-41-2a 1-a 2<0.解得-1<a <12.∴a ∈(-1,12).综上,可得实数a 的取值范围是{a |a ∈R ,且-1<a ≤12}.11.如图3-1-1,平行四边形OABC ,顶点O 、A 、C 分别表示0,3+2i ,-2+4i ,试求:图3-1-1(1)AO →表示的复数,BC →表示的复数; (2)CA →所表示的复数;(3)设P 为复平面上一点且满足|OP →|=|CA →|,求P 点的轨迹方程. 【解】 (1)AO →=-OA →,而OA →对应的复数为3+2i , ∴AO →表示的复数为-3-2i ;∵BC →=AO →.∴BC →表示的复数为-3-2i. (2)CA →=OA →-OC →,∴CA →所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)设P (x ,y ),∵|CA →|=|5-2i|=52+-22=29,|OP →|=x 2+y 2,由|OP →|=|CA →|,得x 2+y 2=29,即点P 的轨迹方程为x 2+y 2=29.(教师用书独具)已知向量OZ →与实轴正向的夹角为45°,向量OZ →对应的复数z 的模为1,求z .【思路探究】 设出z =a +b i(a ,b ∈R ),列出关于a ,b 的方程组. 【自主解答】 设z =a +b i(a ,b ∈R ). ∵OZ →与x 轴正向的夹角为45°,|z |=1,∴⎩⎪⎨⎪⎧ b a =1,a 2+b 2=1,a >0,或⎩⎪⎨⎪⎧ b a =-1,a 2+b 2=1,a >0,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a =22,b =22,或⎩⎪⎨⎪⎧a =22,b =-22.∴z =22+22i 或z =22-22i.解答本题易因不能正确的运用条件“向量OZ →与实轴正向的夹角为45°”,而漏掉一解.21已知复平面内的A ,B 对应的复数分别是z 1=sin 2θ+i ,z 2=-cos 2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π).设AB →对应的复数是z .(1)求复数z ;(2)若复数z 对应的点P 在直线y =12x 上,求θ的值. 【解】 (1)∵点A ,B 对应的复数分别是 z 1=sin 2θ+i ,z 2=-cos 2θ+icos 2θ,∴点A ,B 的坐标分别是A (sin 2θ,1),B (-cos 2θ,cos 2θ),∴AB →=(-cos 2θ,cos 2θ)-(sin 2θ,1)=(-cos 2θ-sin 2θ,cos 2θ-1)=(-1,-2sin 2θ),∴AB →对应的复数z =-1+(-2sin 2θ)i.(2)由(1)知点P 的坐标是(-1,-2sin 2θ),代入y =12x , 得-2sin 2θ=-12,即sin 2θ=14, ∴sin θ=±12. 又∵θ∈(0,π),∴sin θ=12,∴θ=π6或5π6.。