2020新高考高三下数学每日一练练习题 含 答案 天津
天津市和平区2020年新高考(天津卷)数学学科适应性训练及答案解析
3 2 2 223 天津市和平区 2020 年新高考（天津卷）适应性训练（一）数学试卷(时间: 2 小时满分: 150 分) 第 I 卷(选择题,满分 45 分)单选题(每题 5 分，满分 45 分，每题有且仅有一个正确答案) 1.设集合 U={x ∈N|0< x ≤8}, S= {1,2,4,5}, T= {3,5,7},则 S ⋂(ðU T ) = () A. {1,2,4}C. {1,2}2.设 x ∈R ，则“|x+1|<1”是“ x -1 < 1 ”的() 2B . {1, 2,3, 4,5, 7} D . {1, 2, 4,5, 6,8}A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知等比数列{a }, 前 n 项和为 S , 满足 a = 9, 且S 6= 28, 则 a + a + a+ + a= ( )nn33 1 3519310 -1 A .2310 -2 B .2910 -1 C .8910 -1 D .164. 在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, S 表示△ABC 的面积，若 ccosB + bcosC =asinA, S =(b + a - c ), 则∠B= ( ) 4A.90°B.60°C.45°D.30°5. 已知函数 y= f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,且 f(-x)=f(x),若-1.21a = f (log 1 3),b = f (2), c = f ( ), 则 a 、b 、c 的大小关系为( )2A. a>c> bB. b>c>aC. b>a>cD. a>b> c6. 已知双曲线 x 2 - y 2= 1(a > 0, b > 0) 与抛物线 y 2 = 有一个公共的焦点 F ，且两曲线的一个交点为 P.a 2b 24x5若| PF |= , 则双曲线的渐近线方程为( )2A. y =±1 x 2B. y = ±2xC. y =± 3xD.y =± x37. 在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案.该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物 4 门学科中任选 2 门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是( )A.1 6B.5 6C.2 3D.1 2S2 6⎩8. 函数 f(x)= cos2x 的导函数为 f '(x ), 则函数 g (x ) = 2 3 f (x ) + f '(x ) 在 x ∈[0,π]内的单调递增区间是( )π π5π 11π 5π A . [0, ]2B . [ ,π ]2 π C . [ , ]12 12 D . [ ,π ]12a9. 已知向量 a , b 夹角为,| b |= 2, 对任意 x ∈R,有| b + xa |≥| a - b |, 则| tb - a | + | tb - 3 | (t ∈ R ) 的最小 2值是( )A.13 2B. 3 2C . 1+32D.72二、填空题(每题 5 分,共计 30 分)(1- i )(2 - i )第 II 卷(非选择题,满分 105 分)10. 若复数 z = (1+ 2i ), 则|z|=11. 二项式(- ) 的展开式中常数项为x(用数字作答)12. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 3 倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为 13. 直线 l:3x+y+a=0 和圆C : x2+ y 2 + 2x - 4y = 0 相交于 A,B 两点.若直线 l 过圆心 C,则 a=;若三角形ABC 是正三角形，则 a= .14. 已知实数 a ，b 满足 b>0, |a|+b=1,则a +12019+ 的最小值为2019 | a | b⎧x +1, x ≤ λ15.已知 λ∈R ，函数 f (x ) = ⎨-x 2 + 2x , x > λ , 当 λ=0 时,不等式 f(x)> 0 的解集为 ，若函数 f(x)与 x 轴恰有两个交点，则 λ 的取值范围是 .三、解答题(解答过程需要有必要的文职说明和推理步骤，共计 75 分)16. (本题满分 14 分)现代社会的竞争，是人才的竞争，各国、各地区、各单位都在广纳贤人，以更好更快的促进国家、地区、单位的发展.某单位进行人才选拔考核,该考核共有三轮，每轮都只设置一个项目问题，能正确解决项目问题者才能进入下一轮考核;不能正确解决者即被淘汰.三轮的项目问题都正确解决者即被录用.已知 A4 2 1选手能正确解决第一、二、三轮的项目问题的概率分别为(1) 求 A 选手被淘汰的概率;、、 , 且各项目问题能否正确解决互不影响.5 3 2 (2) 设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为ξ , 求ξ 的分布列与数学期望.x17.(本题满分14 分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD 是直角梯形，其中AD//BC, AB⊥AD，AB =AD= 1BC = 2, PA= 4, E 为棱BC 上的点，且BE =21BC.4(1)求证: DE⊥平面PAC;(2)求二面角A- PC- D 的余弦值;(3)设Q 为棱CP 上的点(不与C、P 重合),且直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为, 求CQ5 CP的值.18.(本题满分15 分)已知数列{a n }是公差为2 的等差数列，且a1, a5 +1, a23 +1成等比数列.数列{b n }满足: b1+b2++b n= 2n+1- 2 .(1)求数列{a n}, {b n}的通项公式;⎧ 1, n为奇数⎪a n a n-2 *(2)令数列{c n }的前n 项和为T n , 且c n =⎨⎪-1⎩b n 值; , n为偶数，若对n ∈N ,T2n ≥T2k 恒成立，求正整数k 的5⎪x 2 y 2 1 19. (本题满分 16 分)已知椭圆 C: + a 2 b 2 = 1(a > b > 0 )的离心率 e = , 左顶点为 A(-4,0),过点 A 作斜率为2k(k≠0)的直线 1 交椭圆 C 于点 D,交 y 轴于点 E.(1)求椭圆 C 的方程;(2) 已知 P 为 AD 的中点,是否存在定点 Q,对于任意的 k(k≠0)都有 OP ⊥EQ,若存在，求出点 Q 的坐标;若不存在说明理由;(3) 若过 O 点作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M,求| AD | + | AE || oM |的最小值.20.(本题满分 16 分)已知函数 f (x ) =1x 2 + ax - ae x , g(x)为 f(x)的导函数.2(1) 求函数 g(x)的单调区间;(2) 若函数 g(x)在 R 上存在最大值 0,求函数 f(x)在[0,+ oo)上的最大值;(3)求证:当 x≥0 时， x 2 + 2x + 3 ≤ e 2x (3 - 2sin x ) .33 ⎩4 和平区 2020 年新高考（天津卷）数学学科适应性训练参考答案【解析】Θ 等比数列{a } 中， a = 9 ， S6= 28 ，n 33 ⎧a q 2 = 9一、单选题（每题 5 分，满分 45 分，每题有且仅有一个正确答案）⎪ 1 U 鞘 ᆣᆣ C Nth € ᆣ ≤ 8t S 鞘 ᆣ1,2,先,㥜t T 鞘ᆣ3,㥜,7tS fi (( T) 鞘 ⎨1- q 6= ，1. 设集合 ， ， ，则 U⎪1- q 3 28A ．ᆣ1,2,先tB ．ᆣ1,2,3,先,㥜,7tC ．ᆣ1,2tD ．ᆣ1,2,先,㥜,㥜,8t 【答案】A【解析】因为(T 鞘ᆣ1,2,先,㥜,8t ，所以 S fi ((U T) 鞘ᆣ1,2,先t ，选 A ．解方程可得， q = 3， a 1 = 1，则由等比数列的性质可知a 1 ， a 3 ， a 5 ，⋯a 19 成等比数列，公比为q 2 = 9 ，10 10由等比数列的求和公式可得， a + a + a +⋯+ a = 1- 9 = 9 -1 ．2．设 x ∈ R ，则“ x +1 < 1”是“ x -1 < 1”的2 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件故选：C ．1 3 5 191- 9 8 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．在ςABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ， S 表示ςABC 的面积，若【答案】A 【解析】c cos B + b cos C = a sin A , S = 3 (b 2 + a 2 - c 2 ) ，则∠B =因为 x +1 < 1，所以-1 < x +1 < 1, -2 < x < 0 ，因为 x -1 < 1 ，所以 x - 2 > 0, x > 2 或 x < 0 ， 2 2x 因为(-2, 0) ⊂ (-∞, 0) ⋃ (2, +∞) ，所以 x +1 < 1是 x -1 < 1的充分不必要条件，选 A.2 A ．90 ︒ B ．60 ︒C ．45 ︒D ．30 ︒【答案】D 【解析】3．已知等比数列{a }，前n 项和为S ，满足a = 9 ，且 S 6= 28 ，则由正弦定理及c cos B + b cos C = a sin A , 得sin C cos B +sin B cos C = sin 2A , na 1 + a 3 + a 5 +⋯+ a 19 = ( )n 3 3 ⇒ sin (C + B ) = sin 2 A ⇒ sin A = 1,因为00 < A < 1800 ，所以 A = 900 ；2221310 -1A ．2310 - 2 B ．2910 -1 C ．8910 -1 D ．16由余弦定理、三角形面积公式及S = b + a 4 - c )，得 ab sin C = ⋅ 2ab cos C , 2 4【答案】C整理得tan C = ，又00 < C < 900 ,所以C = 600 ,故 B = 300 .3 S US (⎪ ⎪ p 6 4故选 Dy = f x-∞, 0 f -x= f x∵抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标 F(1,0)，p=2， a = ⎛ ⎫抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， 5. 已知函数( ) 在区间( ) 内单调递增，且 ( ) ( ) ， 若 f log 1 3⎪ ，b = f (2-1.2 ) ，c =f ⎛ 1 ⎫，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）2 ⎝ 2 ⎭ ∴p=2c ，即 c=1，设 P(m,n)，由抛物线定义知：⎝ ⎭ | PF |= m + = m +1 = 5 ,∴ m = 3.A ． a > c > bB ．b >c > a C ． b > a > cD ．a >b >c 2 2 2【答案】B ∴P 点的坐标为⎛ 3 , ± 2 6 ⎫ . 【解析】Θ f (-x ) = f (x ) ，则函数 y = f ( x ) 为偶函数，⎧a 2+ b 2= 1⎝ ⎭⎧a = 1 ⎪ ⎨ 9 - 6⎪ 2 = 1，解得： ⎨3 . Θ 函数 y = f ( x ) 在区间(-∞, 0) 内单调递增，在该函数在区间(0, +∞) 上为减函数，Θlog 1 3 < log 1 1 = 0 ，由换底公式得log 1 3 = -log 2 3 ，由函数的性质可得a = f (log 23) ， ⎪⎩ 4a 2b 2 ⎪b = ⎩ 2b222则渐近线方程为 y = ± a x = ± 3x .对数函数 y = log 2 x 在(0, +∞) 上为增函数，则log 2 3 > log 2 2 = 1 ， 指数函数 y = 2x 为增函数，则0 < 2-1.2 < 2-1 < 20 ，即0 < 2-1.2 < 1< 1 ，2∴0 < 2-1.2 < 1 < log 3 ，因此， b > c > a .故选：C.7．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物 4 门学科中任选 2 门，假设每门学科被选中的可能性相 22等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是（）6. 已知双曲线 x a 2 2- = 1(a > 0, b > 0) 与抛物线 y 2 b 2= 4x 有一个公共的焦点 F ，且两曲A. 16 B. 5 6 C. 2 3 D. 12线的一个交点为 P .若 PF = 5，则双曲线的渐近线方程为（ ） 2【答案】B 【解析】A. y = ± 1x2B. y = ±2xC. y = ± 3xD. y = ±3 x3设 A ={ 两门至少有一门被选中} ，则 A = { 两门都没有选中}， A 包含 1 个基本事件， 【答案】C则P ( A ) = 1 = 1，所以 P ( A ) = 1- 1 = 5 ，故选 B.【解析】2 6 6 ∴ ⎪ C 2 y(a - b ) ρ ρ 2 (a ) + (b ) - 2a ⋅ b ρ 2 ρ ρ ρ2 (1 - t )2 + ( 3t )2 ( 1 - t )2 + ( 3t )22 4(a ⋅ b ) + 4(a ) [(a ) - 2a ⋅ b ] ≤ 0 ⎪ a8. 函数 f ( x ) = cos 2x 的导函数为 f '( x ) ，则函数 g ( x ) = 2 3 f ( x ) + f '( x ) 在 x ∈[0,π] 内 对任意 x ∈R ，有| b +x a |≥|a -b |，两边平方得 2 ρ 2 + ρ ⋅ b - ρ 2 -ρ⋅ b ] ≥ 0 ，的单调递增区间是（ ）则∆ = ρ 2ρ 2 ρ 2 ρx (a ) 2xa [(a ) 2aA ． ⎡0,π⎤B ． ⎡π,π⎤C ． ⎡ 5π,11π⎤D ． ⎡ 5π,π⎤即有 ρ 2 - ρ ⋅ b ]2 ≤ 0 ，即 ρ 2 = ρ ⋅ b ，则ρ- b ) ⊥ ρ⎣⎢ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦⎢⎣ 12 12 ⎥⎦⎢⎣ 12 ⎥⎦[(a ) a (a) a(a a【答案】C 【解析】 ∵ 向量a ， b 夹角为π，| b |=23ρ 2 ρ ρ ρ ρ π ρΘ f ( x ) = cos 2x ， ∴(a ) ρ= a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos = a 3 ∴ a = 1 ∴ f ' ( x ) = -2sin 2x ，ρ ρ∴a -b = = = g ( x ) = 2 3 cos 2x - 2 sin 2x = 4 sin ⎛2x + 2π⎫ ，3 设 AO = ρ， AB = b ，建立平面直角坐标系，如图所示： ⎝⎭π2π π则 A (1，0) ， B (0，3) 令- + 2k π≤ 2x + ≤ + 2k π ，2 3 2 解得- 7π+ k π≤ x ≤ - π+ k π，12 12∴ g ( x ) 在[0,π]内的递增区间为⎡ 5π, 11π⎤.∴ a (-1，0) ， b (-1，3) ∴ρ ⎢⎣ 12 12 ⎥⎦ ρ ρ ρ a1 3 1 3tb - a + tb - = + = 2( (t - )2 + (0 - )2 + (t - )2 + (0 + )2故选： C .9.已知向量a ， b 夹角为π，| b |=2，对任意 x ∈R ，有| b +x a |≥|a -b |，则 24 4 8 8它表示点 P (t ，0) 与点 M ( 1 ， 3 ) 、 N (1，- 3 ) 的距离之和的 2 倍34 4 8 8aa |tb - |+|t b - 2|（t ∈R ）的最小值是（ ）1 1 3 3 7当M ，P ，N 三点共线时，取得最小值MN ，即2 MN = 2 ( - )2 + ( + )2 =， A ． 13 B ． 2 3 C ． 1 + 3 2 2 D ． 72 故选 D4 8 4 8 2 【答案】D 【解析】32 x x3 -3 + 2 + a 32 +12= = = -第 II 卷（非选择题，满分 105 分)设球半径为 R ，则圆锥的高 h=3R ，圆锥底面半径 r= R ，二、填空题（每题 5 分，共计 30 分）则 l = =2 S 圆锥侧 R ，所以 =πrl = π⨯ 3R·2 3R =310.若复数 (1- i )(2 - i )(1+ 2i ) ，则z = . S 球 4πR 2 4πR2 2 【答案】 13.直线l : 3x + y + a = 0 和圆C : x 2 + y 2 + 2x - 4 y = 0 相交于 A,B 两点. 【解析】若直线l 过圆心 C ，则a = ;若三角形 A B C 是正三角形，则a =Θ 复数(1- i )(2 - i )2 - 2i - i + i 21- 3i(1- 3i )(1- 2i )1- 3i - 2i + 6i 2-5 - 5i【答案】a = 11±【解析】 z =∴ z = (1+ 2i )⎛=1+ 2i= ．2 ⎫61+ 2i (1+ 2i )(1- 2i ) 1- 4i 2 = = -1- i ，5（1）x 2 + y 2 + 2x - 4 y = 0∴( x +1)2 + ( y - 2)2= 5 ，圆心为(-1, 2) 代入直线方程得到： -3 + 2 + a = 0∴a = 1故答案为a = 111．二项式 - x ⎪ 的展开式中常数项为．（用数字作答）⎝ ⎭【答案】60【解析】（2）三角形 A B C 是正三角形，则圆心到直线的距离为3 R =152 2d = =15 ，解得a = 1± 5 6二项式⎛ 2 ⎫6的展开式的通项为T = C r ( x )6-r (- 2)r = (-2)r C r x6-r -r 22 ，令 x ⎪ r +1 6 x 66 - r ⎝ ⎭- r = 0 ，解得r =2 ，所以常数项为T = (-2)2C 2= 60 ，故答案是60 .14．已知实数a ，b 满足b > 0 ，| a | +b = 1 ，则 a + 1 2019 | a |+ 2019 的最小值为.b 23 612.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 3 倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为【答案】3∶2 【答案】2021 【解析】Θ| a | +b = 1，∴a +1 + 2019 ⇔ a + | a | +b + 2019 ⋅ (| a |+ b ) ，即【解析】作圆锥的轴截面，如图，2019 | a | b 2019 | a | b2 (-1)2 + (-1)2 h 2 + r 23 5 6 2z = 22019 a ⎝ ⎩ ⎩ ⎩ ⎪a+ 1 + ⎛ b +⎫+ 2019 ≥ a + 1 + 2 + 20192019 a 2019 2019 ab ⎭2019 ，当且仅当b 2 = 2019a 2 时取到等号，又a + 1 + 2 + 2019 ≥ - 1 + 1 + 2 + 2019 = 20212019 2019 2019a + 1所以2019 | a | + 2019的最小值为：2021 b15．已知λ∈ R ，函数 f ( x ) = ⎧x +1, x ≤ λ ，当λ= 0 时，不等式 f (x ) > 0 的解集为 由图可知，函数 f ( x ) 与 x 轴恰有两个交点时，λ< -1 或0 ≤ λ< 2 ；⎨-x 2+ 2x , x > λ，若函数f ( x ) 与 x 轴恰有两个交点，则λ的取值范围是故答案为： {x | -1 < x < 2} ； (-∞, -1) Y [0, 2) ．三、解答题（解答过程需要有必要的文职说明和推理步骤，共计 75 分）【答案】{x | -1 < x < 2} 【解析】当λ= 0 时， f (x ) = ⎧(-∞, -1) Y [0, 2)x +1, x ≤ 0 ， 16．（本题满分 14 分）现代社会的竞争，是人才的竞争，各国、各地区、各单位都在广纳贤人，以更好更快的促进国家、地区、单位的发展.某单位进行人才选拔考核， 该考核共有三轮，每轮都只设置一个项目问题，能正确解决项目问题者才能进入下 ⎨-x 2+ 2x , x > 0 一轮考核；不能正确解决者即被淘汰.三轮的项目问题都正确解决者即被录用.已知 A⎧ x ≤ 0 ⎧x > 04 2 1∵ f ( x ) > 0 ，∴ ⎨ ⎩x +1 > 0 或⎨-x 2 + 2x > 0 ，解得-1 < x ≤ 0 或0 < x < 2 ， 选手能正确解决第一、二、三轮的项目问题的概率分别为 、 、 ，且各项目问5 3 2题能否正确解决互不影响.则当λ= 0 时，不等式 f (x ) > 0 的解集为{x | -1 < x < 2} ； 画出函数 y = x + 1 和 y = -x 2 + 2x 的草图得：（1） 求 A 选手被淘汰的概率；（2） 设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.【解析】（1）所求概率P = 1- 4 ⋅ 2 ⋅ 1 = 11. 5 3 2 15 （2）由题知：ξ可取值为 0,1,2,3 P (ξ= 0) = 1- 4 = 1，5 52019 a 2019 ahP t cos € ᆣ体 ¯N ¯˙ 䙲t 鞘 3P (ξ= 1) = 4 (1- 2) = 4，5 3 15 P (ξ= 2) = 4 ⋅ 2 (1- 1 ) = 4，【解析】(1) 以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，A(h,0，h)，t(2,0，h)，h(2,4，h)，D(h,2，h)，P(h,0，先)，体(2,1，h)， 5 3 2 15 P (ξ= 3) = 4 ⋅ 2 ⋅ 1 = 45 3 2 15 所以ξ的分布列为：¯D ¯¯体¯˙ 鞘(2, — 1,h)，¯A ¯¯h ˙ 鞘(2,4，h)，¯A ¯¯P¯˙ 鞘(h,0，先)，¯D ¯¯体¯˙ · ¯A ¯¯h ˙ 鞘h ，¯D ¯¯体¯˙ · ¯A ¯¯P¯˙ 鞘h ， D 体 T Ah ，D 体 T AP ，AP fi Ah 鞘 A ， D 体 T 平面 P A C ． (2) 由(Ⅰ)知平面 P A C 的法向量N ¯¯˙ 鞘(2, — 1,h)，设平面 P C D 的法向量¯n ˙ 鞘(ᆣ,y ，z)，¯P ¯¯D ¯˙ 鞘(h,2，— 先)，¯P ¯¯h˙ 鞘(2,4，— 先)， 所以 E (ξ) = 8.5n ¯˙ · ¯P ¯¯D ¯˙ 鞘 2y — 先z 鞘 h ¯n ˙ · ¯P ¯h ˙ 鞘 2ᆣ + 先y — 先z 鞘h ，取 z 鞘 1，得¯n ˙ 鞘( — 2,2，1)17.（本题满分 14 分）如图，在四棱锥 P — AthD 中，PA T 平面 A B C D ，底面 A B C D 是 直角梯形，其中 AD 䁠䁠th ，At T A D ，At 鞘 AD 鞘 1 t h 鞘 2，PA 鞘 先，E 为棱 B C 上的cos € ¯N ¯˙,n ¯˙ 䙲鞘 N ¯¯˙·n ¯˙t N¯¯˙t ·t n ¯˙t鞘— 2 㥜，㥜2点，且 t 体 鞘 1 th ．先(1) 求证：D 体 T 平面 P A C ；(2) 求二面角 A — Ph — D 的余弦值；(3) 设 Q 为棱 C P 上的点(不与 C 、P 重合)，且直线 Q E 与平面 P A C 所成角的正弦值为㥜，㥜h ᆣ求hP 的值．二面角 A — Ph — D 的余弦值为2 㥜．㥜(3)设h ᆣ鞘 h (h € h € 1)，即¯h ¯¯ᆣ¯˙ 鞘h ¯h ¯¯P˙ 鞘( — 2h ,先h ,先h )， ᆣ 鞘 (2 — 2h,先— 先h,先h)，¯ᆣ¯¯体¯˙ 鞘(2h ,先h — 3, — 先h )，直线 Q E 与平面 P A C 所成角的正弦值为 㥜，㥜¯¯¯¯˙， t ¯ᆣ¯¯体¯˙·¯N ¯˙tt ¯ᆣ¯¯体¯˙t ·t N ¯¯˙t鞘 㥜 ， 㥜解得h 鞘 2， h ᆣ 鞘 23 hP． 18.（本题满分 15 分）已知数列ᆣa n t 是公差为 2 的等差数列，且a 1,a 㥜 + 1,a23 + 1 成等比数列.数列ᆣb n t 满足：b 1 + b 2 + … + b n 鞘 2n+1 —2． (1)求数列ᆣa n t ，ᆣb n t 的通项公式；ξ123P1 54154 154 151 1 先 3 1先n +31 3 1先n 11 12 先n —1 3先n +33先n +3112 12 先 n+3 先 n+7 3 先n 1先n+3 先n+7先n+3 先n +7 先n+12 ( 2n 先 先1 22(2)令数列ᆣc t 的前 n 项和为T ，且，若对 ，T ⩾T所以d 1 䙲d 2 䙲d 3 䙲d 先 䙲…，又d 1 䙲 1,d 2 䙲 1,d 3 䙲 1,d 先 € 1,nn恒成立，求正整数 k 的值； 2n2t所以T 先 — T2 € h ，T 㥜 — T 先 € h ，T8 — T 㥜 € h ，T1h — T 8 䙲h ， 所以T 8最小，即 t 鞘 先．ᆣ2y 2 . 本题满分16 分）如图，在平面直角坐标系x o y 中，已知椭圆C ： + ab 2鞘 1(a 䙲b 䙲【解析】(1)由题意得 a 㥜 + 1 2 鞘a 1 a 23 + 1 ，即 a 1 + t 2 鞘 a 1 a 1 + 先㥜 ，解得a 1 鞘 3， 所以a n 鞘 2n + 1． h)的离心率 e 鞘 1 2于点 D ，交 y 轴于点 E ．(1) 求椭圆 C 的方程；A( — 先,h)，过点 A 作斜率为 t(t G h)的直线 l 交椭圆 C 当 n 鞘 1 时，b 1 鞘 2，当 n ≤ 2 时，b 1 + b 2 + … + b n —1 鞘 2n — 2b n 鞘 2n+1 — 2n 鞘 2n ，(2) 已知 P 为 A D 的中点，是否存在定点 Q ，对于任意的 t(t G h)都有 OP T 体ᆣ，若存 在，求出点 Q 的坐标；若不存在说明理由；( )tADt+tA 体t2)T 鞘 [ 1 3×7 + 1 7×11+ … + 鞘 1 (1 先 3— 1 + 7 ] — 1 1 7 — 11+ 1 + … + 2+ … + 3 若过 O 点作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M ，求tOht的最小值．1先n —1— 1 ) —先n+3，1—1鞘—— 1 — ，1【解析】(1)因为左顶点为 A( — 先,h)，所以 a 鞘 先，又 e 鞘1c 鞘 2． 鞘— 先 + — ，3 12又b 2 鞘a 2 —c 2 鞘 12，所以椭圆C 的标准方程为ᆣ2+ y2鞘 1．所以T 2n+2 — T 2n 鞘 — 先n+7— 先n —1 + ，1㥜 12鞘 — ，鞘1 — ，(2)设直线 l 的方程为 y 鞘 t (ᆣ + 先)，化简得，(ᆣ + 先)[(先t 2 + 3)ᆣ + 1㥜t 2 — 12)] 鞘h ，ᆣ 鞘— 先，ᆣ 鞘—1㥜t 2+12．先 t +3—1㥜t 2+12—1㥜t 2+122先t先n+3 先n +7当 ᆣ 鞘 先t 2+3 时，y 鞘 t (先t 2+3+ 先) 鞘 先t 2+3，设d n 鞘先n+1，—1㥜t 2+122先t—1㥜t 212t 则d n+1 — d n € h ，D(先t 2+3, 先t 2+3 ) 点P 为 A D 的中点， P 的坐标为(先t 2+3, 先t 2+3 ).1 先n —1 先n+3 1 22 1 22n 1 1— 1 n 先 先11 12 先n ，左顶点为 ，所以先 3 先t 2+3 OP a OP 体 ᆣ ， 取 2 2则t 鞘— 3 ,(t G h)，直线 l 的方程为 y 鞘 t (ᆣ + 先)，令 ᆣ 鞘h ，得 E 点坐标为(h,先t )， 先t假设存在定点 ᆣ(N ,n )(N G h)，使得 O P T 体ᆣ， 则t t 鞘— 1，即 3 · n —先t 鞘— 1 恒成立， —先t N (先N + 12)t — 3n 鞘 h 恒成立， N 鞘— 3，n 鞘h ．定点 Q 的坐标为( — 3,h) (3) O h 䁠 䁠ᆣ， O h 的方程可设为y 鞘 t ᆣ，g(ᆣ)在( — ∞, — ᆣna)上单调递增，在( — ᆣna, + ∞)上单调递减综上，当 a ≤ h 时，g(ᆣ)的单调递增区间为( — ∞, + ∞)，无递减区间；当 a 䙲h 时，g(ᆣ)的单调递增区间为( — ∞, — ᆣna)，单调递减区间为( — ᆣna, + ∞)．(2)由(1)可知，a 䙲h 且 g(ᆣ)在 ᆣ 鞘— ᆣna 处取得最大值，g( — ᆣna) 鞘— ᆣna + a — a · e ln 1鞘a — ᆣna — 1，即 a — ᆣna — 1 鞘h，观察可得当 a 鞘 1 时，方程成立；+ y 2鞘 112 鞘 t ᆣ ，得 M 点的横坐标为 ᆣ 鞘± ． 令 h(a) 鞘a — ᆣna — 1(a 䙲h)，h ′(a) 鞘 1 — 1 a 鞘a —1 a 由 O h 䁠䁠ᆣ，得t A D t + t A 体t 鞘 1 + t 2t ᆣA — ᆣD t +1 + t 2t ᆣA — ᆣ体t鞘1 + t 2t ᆣD — 2ᆣA t O h t 鞘1 + t 2t ᆣh t .当 a C (h,1)时，，当 a C (1, + ∞)时，h(a)在(h,1)上单调递减，在(1, + ∞)单调递增tADt+tA 体t鞘tOht 鞘 1 ( 先 t 2 + 3 + 㥜 ) ≤ 2 2．3 先t 2+3h(a) ≤ h(1) 鞘h ， 当且仅当 a 鞘 1 时，a — ᆣna — 1 鞘 h ，f (ᆣ) 鞘 1ᆣ2 + ᆣ — e ᆣ，由题意可知 ，f (ᆣ)在[h, + ∞)上单调递减，当且仅当 先t 2 + 3 鞘 㥜 ，即 t 鞘± 3时取等号．2先t 2+32± 3时 tADt+tA 体t 最小值 ．2tOhtf (ᆣ)在 ᆣ 鞘h 处取得最大值 f (h) 鞘— 1；证明：(3)由(2)可知，若 a 鞘 1，当 ᆣ ≤ h 时，f (ᆣ) —≤ 1 1 ᆣ2 + ᆣ — e ᆣ —≤ 1， 220.（本题满分 16 分）已知函数 f (ᆣ) 鞘 1 ᆣ2 + a ᆣ — a e ᆣ，g (ᆣ)为 f (ᆣ)的导函数．2(1) 求函数 g(ᆣ)的单调区间；(2) 若函数 g (ᆣ)在 R 上存在最大值 0，求函数 f (ᆣ)在[h, + ∞)上的最大值；可得ᆣ2 + 2ᆣ ≤ 2e ᆣ — 2，ᆣ2 + 2ᆣ + 3 — e 2ᆣ(3 — 2最小n ᆣ) ≤ 2e ᆣ — 2 + 3 — e 2ᆣ(3 — 2最小n ᆣ)令 F(ᆣ) 鞘 e 2ᆣ(2最小n ᆣ — 3) + 2e ᆣ + 1 鞘 e ᆣ[e ᆣ(2最小n ᆣ — 3) + 2] + 1，即证 F(ᆣ) ≤ h(3) (3)2 2ᆣ令 G(ᆣ) 鞘 e ᆣ(2最小n ᆣ — 3) + 2，求证：当 ᆣ ≤ h 时，ᆣ + 2ᆣ + 3 ≤ e (3 — 2最小n ᆣ)．G ′(ᆣ) 鞘 e ᆣ(2最小n ᆣ + 2co 最ᆣ — 3) 鞘 e ᆣ[2 2sin(ᆣ + n) — 3]【解析】(1)由题意可知， ，则，当 a ≤ h 时，g(ᆣ)在( — ∞, + ∞)上单调递增；先sin(ᆣ + n ) ≤ 1 2 2sin(ᆣ + n ) — 3 € h ，又e ᆣ 䙲h ， e ᆣ[2 2sin(ᆣ + n) — 3] € h先 先 先当 a 䙲h 时，解得 ᆣ €— ᆣna 时，，ᆣ 䙲— ᆣna 时，ᆣ2 1㥜 y 23 先t 2+3 ，即 联立 t 鞘，G(ᆣ)在[h, + ∞)上单调递减，G(ᆣ) ≤G(h) 鞘— 1，F(ᆣ) ≤— eᆣ + 1 ≤ h，当且仅当ᆣ鞘h 时等号成立，ᆣ2 + 2ᆣ + 3 ≤ e2ᆣ(3 —2最小nᆣ)．。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷理科参考答案与试题解析3
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷理科参考答案与试题解析创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+13．（5分）（•安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（•安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=15．（5分）（•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6．（5分）（•安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8B．15 C．16 D．327．（5分）（•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．2+C．1+2D．28．（5分）（•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥9．（5分）（•安徽）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜010．（5分）（•安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）12．（5分）（•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．13．（5分）（•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14．（5分）（•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）（•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．17．（12分）（•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）18．（12分）（•安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．19．（13分）（•安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．20．（13分）（•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．（13分）（•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣满足条件D≤1时的最大值．答案：1、解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．2、解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选A．3、解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．故选A．4、解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选C．5、解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选D．6、解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，则对应的标准差为==16，故选：C．7、解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；∴该几何体的表面积为S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××+×2×1=2+．故选：B．8、解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．9、解：函数在P处无意义，即﹣c＞0，则c＜0，f（0）=，∴b＞0，由f（x）=0得ax+b=0，即x=﹣，即函数的零点x=﹣＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C10、解：依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω==2．（3分）又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，（5分）∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．（6分）∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．f（2）=Asin（4+）＜0f（0）=Asin=Asin＞0又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asin（2x+）在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）故选：A．11、解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；要求展开式中含x5的项的系数，∴21﹣4r=5，∴r=4，可得：=35．故答案为：35．12、解：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，化为x2+（y﹣4）2=16．直线θ=（ρ∈R）化为y=x．∴圆心C（0，4）到直线的距离d==2，∴圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r=2+4=6．故答案为：6．13、解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故答案为：4．14、解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．15、解：设f（x）=x3+ax+b，f'（x）=3x2+a，①a=﹣3，b=﹣3时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=﹣5，f（﹣1）=﹣1；并且x＞1或者x＜﹣1时f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）都是增函数，所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实根；如图②a=﹣3，b=2时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f（﹣1）=4；如图③a=﹣3，b＞2时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f（1）=﹣2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；④a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；⑤a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．故答案为：①③④⑤．16、解：∵∠A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3…4分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sinB=，∴cosB=…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===…12分17、解：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400P（X=200）==．P（X=300）==．P（X=400）=1﹣P（X=200）﹣P（X=300）=．X的分布列为：X 200 300 400PEX=200×+300×+400×=350．18、解：（1）y'=（x2n+2+1）'=（2n+2）x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，从而切线方程为y﹣2=（2n+2）（x﹣1）令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为，（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：T n=x12x32…x2n﹣12=，当n=1时，，当n≥2时，因为x2n﹣12==＞==，所以T n综上所述，可得对任意的n∈N+，均有19、（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D，又∵B1C⊄平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD，又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF，∴EF∥B1C；（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz如图，设边长为2，∵AD1⊥平面A1B1CD，∴=（0，2，2）为平面A1B1CD的一个法向量，设平面A1EFD的一个法向量为=（x，y，z），又∵=（0，2，﹣2），=（1，1，0），∴，，取y=1，得=（﹣1，1，1），∴cos＜，＞==，∴二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值为．20、解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴，∵A（a，0），B（0，b），∴=．∵，∴，a=b．∴=．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，∴a=3．∴椭圆E的方程为：．21、解：（Ⅰ）设t=sinx，在x∈（﹣，）递增，即有f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），f′（t）=2t﹣a，①当a≥2时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减；当a≤﹣2时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增．即有a≥2或a≤﹣2时，不存在极值．②当﹣2＜a＜2时，﹣1＜t＜，f′（t）＜0，f（sinx）递减；＜t＜1，f′（t）＞0，f（sinx）递增．f（sinx）有极小值f（）=b﹣；（Ⅱ）﹣≤x≤时，|f（sinx）﹣f0（sinx）|=|（a﹣a0）sinx+b﹣b0|≤|a﹣a0|+|b﹣b0| 当（a﹣a0）（b﹣b0）≥0时，取x=，等号成立；当（a﹣a0）（b﹣b0）≤0时，取x=﹣，等号成立．由此可知，|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值为D=|a﹣a0|+|b﹣b0|．（Ⅲ）D≤1即为|a|+|b|≤1，此时0≤a2≤1，﹣1≤b≤1，从而z=b﹣≤1取a=0，b=1，则|a|+|b|≤1，并且z=b﹣=1．由此可知，z=b﹣满足条件D≤1的最大值为1．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷8
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A.{x|x＞2}B.{x|x＞1}C.{x|2＜x＜3}D.{x|1＜x＜3}2.（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A.∃x0∈R，x02+1＞0B.∃x0∈R，x02+1≤0C.∃x0∈R，x02+1＜0D.∀x0∈R，x02+1≤03.（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A.P1=P2＜P3B.P2=P3＜P1C.P1=P3＜P2D.P1=P2=P34.（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A.f（x）=B.f（x）=x2+1C.f（x）=x3D.f（x）=2﹣x5.（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A. B. C. D.6.（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A.21B.19C.9D.﹣117.（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A.[﹣6，﹣2]B.[﹣5，﹣1]C.[﹣4，5]D.[﹣3，6]8.（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.49.（5分）若0＜x1＜x2＜1，则（）A.﹣＞lnx2﹣lnx1B.﹣＜lnx2﹣lnx1C.x2＞x1D.x2＜x110.（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C （3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A.[4，6]B.[﹣1，+1]C.[2，2]D.[﹣1，+1]二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于.12.（5分）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为.13.（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为.14.（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是.15.（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=.三、解答题（共6小题，75分）16.（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和.17.（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败.（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率.18.（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值.19.（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=.（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长.20.（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论.21.（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）.（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜.参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A.{x|x＞2}B.{x|x＞1}C.{x|2＜x＜3}D.{x|1＜x＜3}【分析】直接利用交集运算求得答案.【解答】解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}.故选：C.【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题.2.（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A.∃x0∈R，x02+1＞0B.∃x0∈R，x02+1≤0C.∃x0∈R，x02+1＜0D.∀x0∈R，x02+1≤0【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题.∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0.故选：B.【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键.3.（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A.P1=P2＜P3B.P2=P3＜P1C.P1=P3＜P2D.P1=P2=P3【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论.【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3.故选：D.【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础.4.（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A.f（x）=B.f（x）=x2+1C.f（x）=x3D.f（x）=2﹣x【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论.【解答】解：选项A，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称.∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意.选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意.选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意.选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意.故选：A.【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题.5.（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A. B. C. D.【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论.【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B.【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础.6.（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A.21B.19C.9D.﹣11【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值.【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为.∵圆C1与圆C2外切，∴，解得：m=9.故选：C.【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题.7.（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A.[﹣6，﹣2]B.[﹣5，﹣1]C.[﹣4，5]D.[﹣3，6]【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论.【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D.【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础.8.（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r.【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2.故选：B.【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题.9.（5分）若0＜x1＜x2＜1，则（）A.﹣＞lnx2﹣lnx1B.﹣＜lnx2﹣lnx1C.x2＞x1D.x2＜x1【分析】分别设出两个辅助函数f（x）=e x+lnx，g（x）=，由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0＜x1＜x2＜1得答案.【解答】解：令f（x）=e x﹣lnx，则f′（x）=，当x趋近于0时，xe x﹣1＜0，当x=1时，xe x﹣1＞0，因此在（0，1）上必然存在f′（x）=0，因此函数f（x）在（0，1）上先递减后递增，故A、B均错误；令g（x）=，，当0＜x＜1时，g′（x）＜0.∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵0＜x1＜x2＜1，∴，即.∴选项C正确而D不正确.故选：C.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题.10.（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C （3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A.[4，6]B.[﹣1，+1]C.[2，2]D.[﹣1，+1]【分析】由于动点D满足||=1，C（3，0），可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））.再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出.【解答】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））.又A（﹣1，0），B（0，），∴++=.∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值范围是.或|++|=|++|，=（2，），将其起点平移到D点，由其与CD同向反向时分别取最大值、最小值，即|++|的取值范围是.故选：D.【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3 .【分析】直接由虚数单位i的运算性质化简，则复数的实部可求.【解答】解：∵=.∴复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3.故答案为：﹣3.【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题.12.（5分）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为 x﹣y﹣1=0 .【分析】利用两式相减，消去t，从而得到曲线C的普通方程.【解答】解：∵曲线C：（t为参数），∴两式相减可得x﹣y﹣1=0.故答案为：x﹣y﹣1=0.【点评】本题考查参数方程化成普通方程，应掌握两者的互相转化.13.（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为 7 .【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=2×3+1=7，故答案为：7.【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.14.（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是 k＜﹣1或k＞1 .【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围.【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1.故答案为：k＜﹣1或k＞1.【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题.15.（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a= ﹣.【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论.【解答】解：若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则f（﹣x）=f（x），即ln（e3x+1）+ax=ln（e﹣3x+1）﹣ax，即2ax=ln（e﹣3x+1）﹣ln（e3x+1）=ln=ln=lne﹣3x=﹣3x，即2a=﹣3，解得a=﹣，故答案为：﹣，【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f（﹣x）=f （x）是解决本题的关键.三、解答题（共6小题，75分）16.（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和.【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论.【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=﹣=n，∴数列{a n}的通项公式是a n=n.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=2n+（﹣1）n n，记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）=+n=22n+1+n﹣2.∴数列{b n}的前2n项和为22n+1+n﹣2.【点评】本题主要考查数列通项公式的求法﹣公式法及数列求和的方法﹣分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题.17.（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败.（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率.【分析】（Ⅰ）分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可.（Ⅱ）找15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决.【解答】解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则=，==乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则=，==.因为所以甲的研发水平高于乙的研发水平.（Ⅱ）记E={恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a，），（，b），（a，），（a，），（，b）共7个，故事件E发生的频率为，将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=.【点评】本题主要考查了平均数方差和用频率表示概率，培养的学生的运算能力.18.（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值.【分析】（Ⅰ）运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线；（Ⅱ）根据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不妨设AB=2，从而求出OD的长，再在直角三角形AOD 中，求出cos∠ADO.【解答】（1）证明：如图∵DO⊥面α，AB⊂α，∴DO⊥AB，连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D，∴AB⊥平面ODE；（Ⅱ）解：∵BC∥AD，∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角，由（Ⅰ）知，AB⊥平面ODE，∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，从而∠DEO=60°，不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=，在Rt△DOE中，DO=DEsin60°=，连AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO==，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.【点评】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间的二面角和异面直线所成的角的定义以及计算，是一道基础题.19.（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=.（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长.【分析】（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论.【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=.（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=.【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大.21.（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）.（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜.【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数研究f（x）的单调区间；（Ⅱ）利用放缩法即可证明不等式即可.【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0），∴f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，由f′（x）=﹣xsinx=0，解得x=kπ（k∈N*），当x∈（2kπ，（2k+1）π）（k∈N），sinx＞0，此时f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N），sinx＜0，此时f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）的单调增区间为（（2k+1）π，（2k+2）π），k≥0，单调递减区间为（2kπ，（2k+1）π），k∈N*）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（0，π）上单调递减，又f（）=0，故x1=，当n∈N*，∵f（nπ）f（（n+1）π）=[（﹣1）n nπ+1][（﹣1）n+1（n+1）π+1]＜0，且函数f（x）的图象是连续不间断的，∴f（x）在区间（nπ，（n+1）π）内至少存在一个零点，又f（x）在区间（nπ，（n+1）π）是单调的，＜（n+1）π，故nπ＜x n+1因此当n=1时，有=＜成立.当n=2时，有+＜＜.当n≥3时，…++…+＜[][]（6﹣）＜.综上证明：对一切n∈N*，有++…+＜.【点评】本题主要考查函数单调性的判定和证明，以及利用导数和不等式的综合，利用放缩法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.20.（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论.【分析】（Ⅰ）由条件可得a1=1，c2=1，根据点P（，1）在上求得=3，可得双曲线C1的方程.再由椭圆的定义求得a2=，可得=﹣的值，从而求得椭圆C2的方程.（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|≠||.若直线l不垂直于x 轴，设直线l得方程为y=kx+m，由可得y1•y2 =.由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k2=m2﹣3，可得≠0，可得|+|≠||.综合（1）、（2）可得结论.【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，∴a1=1，c2=1.由于点P（，1）在上，∴﹣=1，=3，∴双曲线C1的方程为：x2﹣=1.再由椭圆的定义可得2a2=+=2，∴a2=，∴=﹣=2，∴椭圆C2的方程为：+=1.（Ⅱ）不存在满足条件的直线l.（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或 x=﹣.当x=时，可得A（，）、B（，﹣），求得||=2，||=2，显然，|+|≠||.同理，当x=﹣时，也有|+|≠||.（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由可得（3﹣k2）x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1•x2=.于是，y1•y2=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=.由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，∴判别式△=16k2m2﹣8（2k2+3）（m2﹣3）=0，∴2k2=m2﹣3.∴=x1•x2+y1•y2=≠0，∴≠，∴|+|≠||.综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l.【点评】本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷理科参考答案与试题解析
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷理科参考答案与试题解析创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A ．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x ≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x 2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A ．﹣6 B．﹣3 C．D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A ．B．C．D．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）的最小正周期为2π，排除B．解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC﹣A的大小为（）A ．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中点E，连接AE，PE，则∠AEP即为所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故选C．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos（1﹣x）≥arccosx的x的取值范围是（）A ．[﹣1，﹣]B．[﹣，0]C．[0，]D．[，1]考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01解答：解：arccos（1﹣x）≥arccosx 化为cos[arccos（1﹣x）]≤cos[arccosx]所以1﹣x≤x，即：x，又x∈[﹣1，1]，所以x的取值范围是[，1]故选D．点评：本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象（）A ．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位考点：反函数；函数的图象与图象变化．分析：本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答：解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log2（x+1）解得：x=2y﹣1则函数y=log2（x+1）（x＞﹣1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R）即函数y=2x平移后的函数为y=2x﹣1，易见，只需将其向下平移1个单位即可．故选D点评：本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A ．20πB．25πC．50πD．200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A ．（x﹣1）2（y﹣1）=1B．y=C．D．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A ．2 B．0 C．D．6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min=0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C的方程为故选A．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A ．πB．2πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A ．①与④B．②与③C．①与③D．②与④考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g （b）=f（b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A ．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜2.5}C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A ．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01分析：先根据等比数列的通项公式分别求出a n和b n，再根据等比数列的求和公式，分别求得S n 的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．和S n﹣1解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y （元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为创作人：百里公地创作日期：202X.04.01故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．25．（12分）（•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P （a，b），圆P截X 轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X 轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d 有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，创作人：百里公地创作日期：202X.04.01P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校创作人：百里公地创作日期：202X.04.01。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期综合练习高三数学文科2
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期综合练习高三数学文科 创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重 创作单位： 博恒中英学校一、选择题（共8小题）（1）已知全集U =R ，集合{}012A =，，，{}234B =，，，如图阴影部分所表示的集合为（）（A ）{}2 （B ）{}01，（C ）{}34， （D ）{}0,1,2,3,4【考点】集合的运算【难度】1【答案】B【解析】由题意得：{}2A B =，由维恩图可知，阴影部分表示的集合为：U A B即在集合A 中去掉A 与B 的公共元素，所以答案为{}0,1，选B（2）若复数2()i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为（ ）（A ）1- （B ）0（C ）1 （D ）2【考点】复数综合运算【难度】1【答案】C【解析】由题意得：该复数的实部为零，虚部不为零，即：200m m m⎧-=⎨≠⎩，解得：1m =，选C（3）已知圆的方程为222610x y x y +--+=，那么圆心坐标为（ ）（A ）(1,3)--（B ）(1,3)-（C ）(1,3)（D ）(1,3)-【考点】圆的标准方程与一般方程【难度】1【答案】C【解析】把圆的一般方程222610x y x y +--+=进行配方可得： 22(1)(3)9x y -+-=，所以圆心坐标为：(1,3)，选C（4）设点),(y x P ,则“1x =且2y =-”是“点P 在直线30l x y --=：上”的（ ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件【难度】1【答案】A【解析】先考察充分性：把1,2x y ==-代入直线:30l x y --=，满足直线方程，所以充分性成立；再考察必要性：直线:30l x y --=上有无数个点，不一定得到：1,2x y ==-，所以必要性不成立。
2020年新高考天津卷数学试题(含解析)
A. B. C. D.
答案：D
解答：因为 ， ， ，
所以 .
7.设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解答：由题可知 ，所以双曲线 的方程为 .
8.已知函数 ．给出下列结论：
答案： ，
解答：甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子 概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
14.已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
答案：
解答： ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
15.如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为_________．
答案： ，
解答：解法一： ，所以 ，设 ，则有 ， ，
，所以
所以 ， ，
代入化简可得 ，故当 时， .
解法二： ， ， ，
，解得 ，
以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，
18.已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且 ，其中 为原点．
（1）求椭圆 方程；
（2）已知点 满足 ，点 在椭圆上（ 异于椭圆的顶点），直线 与以 为圆心的圆相切于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程．
解答：（1） 椭圆 的一个顶点为 ， ，
由 ，得 ，
又由 ，得 ，
所以，椭圆的方程为 ；
天津市红桥区2020届高三下学期高考第一次模拟考试数学试题 Word版含解析
【答案】
【解析】
【分析】
求 的最小值可以转化为求以AB为直径的圆到点O的最小距离，由此即可得到本题答案.
【详解】
如图所示,设 ，
由题，得 ,
又 ，所以 ，则点C在以AB为直径的圆上,
取AB的中点为M，则 ，
设以AB为直径 圆与线段OM的交点为E，则 的最小值是 ，
因为 ，
又 ，
所以 的最小值是 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量 综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力,体现了数形结合的数学思想。
三、解答题：本大题共5个小题，共75分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16。在 中，内角 ， , 所对的边分别是 ， ， , ， ， ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力.
13。曲线 在点 处的切线方程为__．
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导后,代入切点的横坐标得到切线斜率,然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.
【详解】因为 ,所以 ，从而切线的斜率 ,
所以切线方程为 ,即 。
8.已知数列 满足 ，且 ,则数列 的通项公式为（ ）
A。 B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：因为 ,所以 ,即 ，所以数列 是以 为首项,公比为 的等比数列，所以 ，即 ，所以数列 的通项公式是 ，故选D．
考点：数列的通项公式．
9.已知 ，函数 ，若函数 恰有三个零点，则（ )
A. B.
（Ⅰ)求 的值;
高考数学每日一练(3)-人教版高三全册数学试题
高三数学每日一练（29）——奇偶性（2）1．下列函数中既是奇函数又存在极值的是( )A ．3x y = B ．)ln(x y -= C ．xxe y = D ．xx y 2+= 2．已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f （ ） A ．－2 B ．0 C ．1 D ．23．(2014·某某理，3)已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若g (1)＝2，则f (2014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2 5．已知函数()1log 1a mxf x x -=-是奇函数()01a a <≠且 （1）求m 的值（2）判断()f x 在区间()1,+∞上的单调性并加以证明（3）当1,a >(x ∈时，()f x 的值域是()1,+∞，求a 的值高三数学每日一练（30）——奇偶性（3）1．(2014·某某某某灵宝实验高中月考)f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( )A ．0B ．3C ．－1D ．－22．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于 ( )A ．4B ．3C ．2D ．13．如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是5，那么)(x f 在]3,7[--上是( )A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最小值是5-D ．减函数且最大值是5- 4．已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为.5．已知函数()21ax f x bx c+=+是奇函数，,,a b c 为常数（1） 某某数c 的值；（2） 若,a b Z ∈，且()()12,23f f =<，求()f x 的解析式；（3） 对于（2）中的()f x ，若()2f x m x ≥-对()0,x ∈+∞恒成立，某某数m 的取值X 围.高三数学每日一练（31）——奇偶性（4）1．下列函数中，与函数,0,1,0x x e x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是( )A ．1y x=-B ．22y x =+C ．33y x =- D ．1log ey x =2．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-3．（2015某某市3月质检）已知函数(1)f x -是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则函数()f x 的图象可能是（ ）4．(2014·华师附中检测)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数5．已知函数y ＝f (x )的定义域为R .且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x >0时，f (x )<0恒成立，f (3)＝－3.（1）证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数； （2）证明：函数y ＝f (x )是奇函数；（3）试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n N ∈＋)上的值域．高三数学每日一练（32）——奇偶性（5）1．(2014·某某某某专题练习)若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3) 2．(2014·某某和平区期末)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递减，设a ＝f (0)，b ＝f (2)，c ＝f (－1)，则( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <b <a3．(2014·某某统一检测)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (lg x )＜0，则x 的取值X 围是( )A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1，＋∞) D．(10，＋∞)4．(2014·某某某某一中调研)若f (x )＝3x ＋sin x ，则满足不等式f (2m －1)＋f (3－m )>0的m 的取值X 围为________．5．已知定义在(1,1)-上的函数2()1ax b f x x +=+为奇函数，且12()25f =． （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<．高三数学每日一练（33）——奇偶性（6）1．如果函数xx f )21()(=（-+∞<<∞x ），那么函数)(x f 是 ( )A. 奇函数，且在)0,(-∞上是增函数B. 偶函数，且在)0,(-∞上是减函数C. 奇函数，且在),0(+∞上是增函数D. 偶函数，且在),0(+∞上是减函数 2．偶函数)(x f 在区间],0[a （0>a ）上是单调函数，且0)()0(<⋅a f f ，则方程0)(=x f 在区间],[a a -内根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．03．定义两种运算：m n ⊕=，a b a b ⊗=-，则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数4．已知R 上的不间断函数()g x 满足：（1）当0x >时，'()0g x >恒成立；（2）对任意的x R ∈都有()()g x g x =-。
2020年新高考天津卷数学试题(含解析)
所以，直线
AB
与平面
DB E 1
所成角的正弦值为
3
.
3
18.已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的一个顶点为 A(0, 3) ，右焦点为F
，且 | OA || OF
|，其中O为原点．
（1）求椭圆 方程；
（2）已知点 C 满足3OC OF ，点 B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于
f ( x) |x|
恒有 3 个不同交点，满足题意；
当 k 0时，如图 3，当 y kx 2 与 y x2相切时，联立方程得 x2 kx 2 0 ，
令 0得 k2 8 0，解得 k 2 2 （负值舍去），所以k 2 2 .
综上， k 的取值范围为 (,0) (2 2, ) .
二、填空题
2 2 6
6 6，
sin CA, n 1 cos2 CA, n
30
．
6
所以，二面角 B B E D 的正弦值为 1
30 ； 6
（3）依题意， AB 2,2,0 ．
由（2）知 n 1,1,2为平面 DB1E 的一个法向量，于是cos AB, n
AABBnn 2
4 2
6
3 3．
x2 y2 A. 4 4 1
y2 B. x2 4 1
x2 C. 4 y2 1
D. x2 y2 1
答案：D
a b
解答：由题可知
b
(
b) a
1
a
b
1，所以双曲线 C
的方程为 x2 y2
1.
8.已知函数
f
( x)
sin x
3
．给出下列结论：
2020年天津市高考数学试卷(含答案解析)
【分析】
根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
【详解】
甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
6．D
【分析】
利用指数函数与对数函数的性质，即可得出 的大小关系.
【详解】
因为 ，
，
，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
所以，直线 的方程为 或 .
【点睛】
本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
【点睛】
本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．
12．5
【分析】
根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离 ，进而利用弦长公式 ，即可求得 ．
【详解】
因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
高考数学大题每日一题规范练(第四周)
高考数学大题每日一题规范练【题目1】 (本小题满分12分)已知向量a ＝(sin x ，m cos x )，b ＝(3，－1). (1)若a ∥b ，且m ＝1，求2sin 2x －3cos 2x 的值；(2)若函数f (x )＝a ·b 的图象关于直线x ＝2π3对称，求函数f (2x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3上的值域.解 (1)当m ＝1时，a ＝(sin x ，cos x )，又b ＝(3，－1)， 且a ∥b .∴－sin x －3cos x ＝0，即tan x ＝－3，∵2sin 2x －3cos 2x ＝2sin 2x －3cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x －3tan 2x ＋1＝2×（－3）2－3（－3）2＋1＝32，∴2sin 2x －3cos 2x ＝32.(2)∵f (x )＝a ·b ＝3sin x －m cos x 的图象关于直线x ＝2π3对称， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋x，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6， 即3＝32＋32m ，得m ＝3，则f (x )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴f (2x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π6，∴当x ＝π3时，f (2x )取最大值为23；当x ＝2π3时，f (2x )取最小值为－ 3. 即函数f (2x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3上的值域为[－3，23].星期二 (概率统计) 2018年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：(1)从5600的概率；(2)求特征量y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^：并预测当特征量x 为570时特征量y 的值.(附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为解 (1)从5次特征量y 的试验数据中随机地抽取两个数据，共有C 25＝10种方法，都小于600，有C 23＝3种方法，∴至少有一个大于600的概率P ＝1－C 23C 25＝1－310＝710.－1×1＋3×5＋（－5）×（－3）＋7×（－1）＋（－4）×（－2）（－1）2＋32＋（－5）2＋72＋（－4）2＝0.3，a ^＝y－b ^x ＝600－0.3×556＝433.2， 线性回归方程为y ^＝0.3x ＋433.2，当x ＝570时，y ^＝0.3×570＋433.2＝604.2. 即当特征量x 为570时特征量y 的估计值为604.2.星期三 (数列) 2018年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，2＋a n ＋11＋a n ＋1＝11＋a n ＋32(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1＋a 2n (n ∈N *)，求数列{2nb n }的前n 项和S n .解 (1)∵2＋a n ＋11＋a n ＋1＝11＋a n ＋32，∴11＋a n ＋1＝11＋a n＋12，即11＋a n ＋1－11＋a n ＝12，设c n ＝1a n ＋1，由a 1＝1得c 1＝12，则数列{c n }是一个首项和公差均为12的等差数列， ∴c n ＝12＋12(n －1)＝n 2，则a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝1＋a 2n ＝22n ＝12n －1，所以2nb n ＝2n2n －1，则S n ＝2×1＋4×12＋6×122＋…＋2n ×12n －1①，∴12S n ＝2×12＋4×122＋6×123＋…＋2n ×12n ②， ①－②得12S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2n ×12n ，即12S n ＝4－2n ＋42n .得S n ＝8－n ＋22n －2⎝⎛⎭⎪⎫或8－4n ＋82n .星期四 (立体几何) 2018年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝2，M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点.(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)若平面CMN ⊥平面B 1MN ，求直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值. (1)证明 连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点，又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，又BC 1⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ， 故MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解 由A 1A ⊥平面ABC 且CC 1∥A 1A ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1.又∠ACB ＝90°，则AC ⊥BC ，以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC 1＝2λ(λ>0).则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，∴CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1→＝(2，λ，－1). 取平面CMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由CM→·m ＝0，MN →·m ＝0. 得⎩⎨⎧x ＋z ＝0，－x ＋λy ＝0，令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ).同理可得平面B 1MN 的一个法向量为n ＝(λ，1，3λ)， ∵平面CMN ⊥平面B 1MN ，∴m ·n ＝λ2＋1－3λ2＝0，解得λ＝22，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，322，又AB →＝(2，0，－2)，设直线AB 与平面B 1MN所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|n ·AB →||n ||AB →|＝66.所以，直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值是66.星期五 (解析几何) 2018年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(0<r <b )，若圆O 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点.(1)当k ＝－12，r ＝1时，若点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程； (2)若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 是否满足1a 2＋1b 2＝1r 2，并说明理由.解 (1)依题意原点O 到切线l ：y ＝－12x ＋m 的距离为半径1，∴|m |1＋14＝1，解之得m ＝±52，又点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，则m >0， ∴切线l ：y ＝－12x ＋52，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫0，52，B (5，0)，∴B 为椭圆的右顶点，A 为椭圆的上顶点，则a ＝5，b ＝52， ∴椭圆E 的方程为：x 25＋y 254＝1.(2)a ，b ，r 满足1a 2＋1b 2＝1r 2成立，理由如下：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与圆x 2＋y 2＝r 2相切，则|m |1＋k 2＝r ，即m 2＝r 2(1＋k 2)，① 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2a 2km b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2，AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则∠AOB ＝90°， 则OA→·OB →＝0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2＋b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2＝（a 2＋b 2）m 2－a 2b 2（1＋k 2）b 2＋a 2k 2＝0.则(a 2＋b 2)m 2＝a 2b 2(1＋k 2)，②将①代入②，得a 2＋b 2a 2b 2＝1r 2， ∴1a 2＋1b 2＝1r 2.星期六 (函数与导数) 2018年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a >0)的最小值是1. (1)求a ；(2)若关于x 的方程f 2(x )e x －6mf (x )＋9m e －x ＝0在区间[1，＋∞)有唯一的实根，求m 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝2x －ax ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2x(x >0).所以，当0<x <a2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >a2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增. 故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＝a 2－a 2ln a 2， 由题意可得：a 2－a 2ln a 2＝1，即a 2－a 2ln a2－1＝0， 记g (a )＝a 2－a 2ln a2－1(a >0)，则函数g (a )的零点即为方程a 2－a 2ln a2＝1的根； 由于g ′(a )＝－12ln a2，故a ＝2时，g ′(2)＝0， 且0<a <2时，g ′(a )>0；a >2时，g ′(a )<0， 所以a ＝2是函数g (a )的唯一极大值点， 所以g (a )≤g (2)，又g (2)＝0， 所以a ＝2.(2)由条件可得f 2(x )e 2x －6mf (x )e x ＋9m ＝0， 令g (x )＝f (x )e x ＝(x 2－2ln x )e x ， 则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x －2x －2ln x e x ，令r (x )＝x 2＋2x －2x －2ln x (x ≥1)，则r ′(x )＝2x ＋2＋2x 2－2x >2x －2x ＝2（x 2－1）x≥0，r (x )在区间[1，＋∞)内单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e ；所以原问题等价于方程t 2－6mt ＋9m ＝0在区间[e ，＋∞)内有唯一解， 当Δ＝0时可得m ＝0或m ＝1，经检验m ＝1满足条件. 当Δ>0时可得m <0或m >1， 所以e 2－6m e ＋9m ≤0， 解之得m ≥e 26e －9，综上，m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ＝1或m ≥e 26e －9.星期日 (选考内容) 2018年____月____日【题目7】 在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(4cos θ＋3sin θ)－m ＝0(其中m 为常数).(1)若直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，求实数m 的值； (2)若m ＝4，求直线l 被曲线C 截得的弦长.解 (1)直线l 的极坐标方程可化为直角坐标方程：4x ＋3y －m ＝0，曲线C 的参数方程可化为普通方程：y 2＝4x ， 由⎩⎨⎧4x ＋3y －m ＝0，y 2＝4x可得y 2＋3y －m ＝0， ∵直线l 和曲线C 恰好有一个公共点， ∴Δ＝9＋4m ＝0，∴m ＝－94.(2)当m ＝4时，直线l ：4x ＋3y －4＝0恰好过抛物线的焦点F (1，0)，由⎩⎨⎧4x ＋3y －4＝0，y 2＝4x可得4x 2－17x ＋4＝0，设直线l 与抛物线C 的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝174， 故直线l 被抛物线C 所截得的弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋2＝174＋2＝254. 2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲. 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x ＋1＋|x |(x ∈R )的最小值为a .(1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1n 的最小值.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －1，x <－2，－12x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x >0.当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减； 当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增； ∴当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1.(2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得1mn ≥2， 由于m >0，n >0， 则1m ＋1n ≥21mn ≥22，当且仅当m ＝n ＝22时取等号.∴1m ＋1n 的最小值为2 2.。
天津一中2020年高考数学练习
天津一中2020年高考数学练习一、选择题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则AB =（ ） A ．{|22}x x -<<B ．{|24}x x -≤≤C ．{|22}x x -≤≤D ．{|24}x x -<≤2．已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件是1x ≤或2x ≥，则实数m 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ）A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-< 5．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ）A ．3B ．7C ．7-D ．3-6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ）A B ．3 C D ．27．已知sin α=sin()10αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45B ．35C ．25D ．159．已知函数()()23201120x x f x x x a x ax x ⎧≤⎪=-⎨⎪-++>⎩，，，若方程()f x ax =有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（0，1]D ．（1，+∞）第II 卷（非选择题)二、填空题 10．6⎛ ⎝展开式的常数项为 ．（用数字作答） 11．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM→·NM →＝ 12．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V 的值为________.13．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>，x ∈R .若函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点，则ω的取值范围为_________．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知MN 在圆C ：22(2)4x y -+=上运动，且MN＝．若直线l ：30kx y -+=上的任意一点P 都满足2214PM PN +≥，则实数k 的取值范围是 ．15．已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为____． 三、解答题16．（本题满分15分）已知函数2()2sin cos f x x x x x R =-+∈.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间2[,]243ππ上的最大值和最小值；(3)若在ABC ∆中，BC =2AC =，()2Af =ABC ∆的面积.17．（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ；（2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值 18．（本题满分14分）已知抛物线2:C y =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =．（1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．19．（本题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求()*21121 n i i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑． 20．(本题满分16分)已知函数2(2)1ln f x x ax x =-+，a R ∈． （1）试判断函数()f x 的单调性； （2）是否存在实数a ，使函数()f x 的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 数学 (天津卷) word版 含答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =∩（ ）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}--- 2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数241xy x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A ．10B ．18C ．20D ．365．若棱长为3 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π6．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．i 是虚数单位，复数82ii-=+_________． 11．在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．12．已知直线380x y -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r的值为_________．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（本小题满分16分）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-． 数学参考解答一、选择题：每小题5分，满分45分．1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 9．D二、填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．32i - 11．10 12．5 13．16；23 14．4 15．16；132三、解答题 16．满分14分．（Ⅰ）解：在ABC 中，由余弦定理及5,a b c ===，有222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,)C π∈，所以4C π=．（Ⅱ）解：在ABC 中，由正弦定理及,4C a c π===sin sin 13a C A c ==．（Ⅲ）解；由a c <及213sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=．所以，12252172sin 2sin 2cos cos 2sin 4441313A A A πππ⎛⎫+=+=⨯+⨯=⎪⎝⎭． 17．满分15分．依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)n x y z =为平面1DB E 的法向量，则10,0,n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)n =-． 因此有6cos ,6||||CA n CA n CA n ⋅〈〉==，于是30sin ,CA n 〈〉=．所以，二面角1B B E D --的正弦值为6． （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)n =-为平面1DB E 的一个法向量，于是cos3||||AB n AB n ⋅=-．所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3． 18．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221kx k =+．依题意，可得点B 的坐标2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为223216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．19．满分15分．（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()22211(1)24n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<． （Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++；当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==． 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k n nnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和22311211352144444nnk knk k k n c ==--==++++∑∑． ① 由①得22311113232144444n k n n k n n c +=--=++++∑． ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑． 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑． 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+⨯． 20．满分16分．（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-．（ii ）解：依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x=-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x '-+=．令()0g x '=，解得1x =． 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭． ①令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt -->．因为21x ，323331(1)0,3t t t t k -+-=->-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第11页（共11页） 2236ln 31t t t t-=++-． ② 由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t =时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故 22336ln 10t t t t-++->． ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k -时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．。
2020年高考数学天津卷-答案
有 3 个不同交点，分 k 0 ，k＜0 ，
x
k＞0 三种情况，数形结合讨论即可得到答案.注意到 g 0 0 ，所以要使 g x 恰有 4 个零点，只需方程
kx 2
f
x
恰有 3 个实根即可，令 h x
f
x
，即
y
kx 2
与hx
f
x
的图象有 3 个不同交点.
x
x
x
因为 h x
f
x
x 2，
x＞0 ，当 k 0 时，此时 y 2 ，如图
1， y 2 与 h x
f
x
有
2
个不同交点，
x 1， x＜0
x
2 / 13
f x
不满足题意；当 k＜0 时，如图 2，此时 y kx 2 与 h x
恒有 3 个不同交点，满足题意；
x
当 k＞0 时，如图 3，当 y kx 2 与 y x2 相切时，联立方程得 x2 kx 2 0 ，令 0 得 k2 8 0 ，解得
依题意， C1M 1，1，0 ， B1D 2， 2， 2 ，从而 C1M B1D 2 2 0 0 ，所以 C1M B1D .
（Ⅱ）可知平面 BB1E 的一个法向量为 CA ，计算出平面 B1ED 的一个法向量为 n ，利用空间向量法计算出二
面角 B B1E D 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果.依题意， CA 2，0，0 是平面 BB1E
【考点】指数幂和对数值的比较大小问题 7.【答案】D
【解析】由抛物线的焦点 1，0 可求得直线 l 的方程为 x y 1 ，即得直线的斜率为 b ，再根据双曲线的渐
b
b
b
b
2020年新高考天津卷数学(解析版)
2020年新高考天津卷数学（解析版）本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟． 一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{－3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{－3,3}B ．{0,2}C ．{－1,1}D ．{－3，－2，－1,1,3}解析 选C.∁U B ＝{－2，－1,1}，∴A ∩(∁U B )＝{－1,1}．故选C. 2．设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 选A.由a 2>a ，得a 2－a >0，解得a >1或a <0， ∴“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A. 3．函数y ＝4xx 2＋1的图象大致为( )解析 选A.令f (x )＝4xx 2＋1，则f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－4x x 2＋1＝－f (x )，因此，函数为奇函数，排除C ，D.当x ＝1时，f (1)＝42＝2，排除B.故选A.4．从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47]内的个数为( )A ．10B ．18C ．20D ．36解析 选B.因为直径落在区间[5.43,5.47]内的频率为0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，所以个数为0.225×80＝18.5．若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π解析 选C.由题意知球的直径2R ＝(23)2＋(23)2＋(23)2＝6，∴R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π.故选C.6．设a ＝30.7，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析 选D.因为a ＝30.7>30＝1，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8＝30.8>30.7，c ＝log 0.70.8<log 0.70.7＝1，所以b >a >c .故选D.7．设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝1解析 选D.由题意知抛物线的焦点为F (1,0)，直线l 的斜率k l ＝b －00－1＝－b ＝－ba ，解得a ＝1.又∵ba ·(－b )＝－1，∴b ＝a ＝1，∴双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.故选D. 8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.给出下列结论：①f (x )的最小正周期为2π；②f ⎝⎛⎭⎫π2是f (x )的最大值；③把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f (x )的图象． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．①③ C ．②③D ．①②③解析 选B.T ＝2π1＝2π，故①正确．当x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，故②错误．y ＝sin x 的图象错误!y ＝sin 错误!的图象，故③正确．故选B.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x ，x <0.若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(22，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0,22) C ．(－∞，0)∪(0,22) D ．(0，－∞)∪(22，＋∞)解析 选D.方法1：注意到g (0)＝0，所以要使g (x )恰有4个零点，只需方程|kx －2|＝f (x )|x |恰有3个实根即可．令h (x )＝f (x )|x |，即y ＝|kx －2|与h (x )＝f (x )|x |的图象有3个交点．h (x )＝f (x )|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，1，x <0.当k ＝0时，此时y ＝|kx －2|＝2，如图①，y ＝2与h (x )＝f (x )|x |的图象有1个交点，不满足题意；当k <0时，如图②，此时y ＝|kx －2|与h (x )＝f (x )|x |的图象恒有3个交点，满足题意；当k >0时，如图③，由y ＝kx －2与y ＝x 2联立，得x 2－kx ＋2＝0，令Δ>0，得k 2－8>0，解得k >22或k <－22(舍去)，此时y ＝|kx －2|与h (x )＝f (x )|x |的图象有3个交点．综上，k 的取值范围为(－∞，0)∪(22，＋∞)．故选D.方法2：由方法1知y ＝|kx －2|与h (x )＝f (x )|x |的图象有3个交点，令k ＝－12，检验知符合题意，可排除选项A ，B ；令k ＝1，检验知不符合题意，可排除选项C.故选D.方法3：函数g (x )有4个零点，即y ＝f (x )与y ＝|kx 2－2x |的图象有4个交点，函数y ＝f (x )的图象如图④.①若k ＝0，则y ＝|kx 2－2x |＝|－2x |＝|2x |，两函数图象不可能有4个交点，∴k ≠0. ②若k >0，令y ＝|kx 2－2x |＝0，解得x ＝0或x ＝2k ，如图⑤.当x <0时，－x ＝kx 2－2x 无解，此时两函数图象无交点． 当x >2k 时，由kx 2－2x ＝x 3，得x 2－kx ＋2＝0.由Δ>0，得k 2－8>0，解得k >22或k <－22(舍去)， 此时有两实根x 1,2＝k ±k 2－82.∴当k >22时，两函数图象有2个交点．当0≤x ≤2k 时，由－kx 2＋2x ＝x 3，得x (x 2＋kx －2)＝0，此时有两实根x 1＝0，x 2＝－k ＋k 2＋82，两函数图象有2个交点．因此，当k >22时，两函数图象有4个交点，排除B ，C.③若k <0，取k ＝－13验证，如图⑥，两函数图象有4个交点．排除A.故选D.第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分)10．i 是虚数单位，复数8－i2＋i＝__________.解析 8－i 2＋i ＝(8－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝16＋i 2－10i 5＝15－10i 5＝3－2i.答案 3－2i11．在⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数是__________． 解析 ∵T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝2r C r 5x 5－3r ，令5－3r ＝2，得r ＝1，∴T 2＝2C 15x 2＝10x 2，∴x 2的系数是10. 答案 1012．已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为__________．解析 设圆心为O (0,0)，圆心到直线的距离d ＝|0－3×0＋8|1＋3＝4.取AB 的中点M ，连接OM (图略)，则OM ⊥AB .在Rt △OMA 中，r ＝⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝5. 答案 513．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为__________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为__________． 解析 甲、乙两球都落入盒子的概率P ＝12×13＝16；事件A ：“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是A ：“甲、乙两球都不落入盒子”，P (A )＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13＝13，所以P (A )＝1－13＝23.答案 16 2314．已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________．解析 因为a >0，b >0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案 415．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为__________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为__________．解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32， 解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16.在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系． 如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧， 则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132. 所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132.答案 16 132三、解答题(本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝22，b ＝5，c ＝13. (1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值； (3)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． 解析 (1)解：在△ABC 中，由余弦定理及a ＝22，b ＝5，c ＝13，有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22. 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)解：在△ABC 中，由正弦定理及C ＝π4，a ＝22，c ＝13，可得sin A ＝a sin C c ＝21313.(3)解：由a <c 及sin A ＝21313，可得cos A ＝1－sin 2 A ＝31313， 进而sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝2cos 2 A －1＝513.所以sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4 ＝1213×22＋513×22＝17226.17．(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝2，CC 1＝3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD ＝1，CE ＝2，M 为棱A 1B 1的中点． (1)求证：C 1M ⊥B 1D ；(2)求二面角B B 1E D 的正弦值；(3)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．解析 依题意，以C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,3)，A 1(2,0,3)，B 1(0,2,3)，D (2,0,1)，E (0,0,2)，M (1,1,3)．(1)证明：依题意，C 1M →＝(1,1,0)，B 1D →＝(2，－2，－2)，从而C 1M →·B 1D →＝2－2＋0＝0，所以C 1M ⊥B 1D .(2)解：依题意，CA →＝(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量，EB 1→＝(0,2,1)，ED →＝(2,0，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面DB 1E 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EB 1→＝0，n ·ED →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋z ＝0，2x －z ＝0.不妨设x ＝1，可得n ＝(1，－1,2)． 因此有cos 〈CA →，n 〉 ＝CA →·n |CA →||n |＝66，于是sin 〈CA →，n 〉＝306.所以，二面角B B 1E D 的正弦值为306.(3)解：依题意，AB →＝(－2,2,0)．由(2)知n ＝(1，－1,2)为平面DB 1E 的一个法向量， 于是cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝－33.所以，直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为33. 18．(本小题满分15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点． (1)求椭圆的方程；(2)已知点C 满足3OC →＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程．解析 (1)解：由已知可得b ＝3.记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3.又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝18.所以，椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. (2)解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB ⊥CP .依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为y ＝kx －3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x 218＋y 29＝1，消去y ，可得(2k 2＋1)x 2－12kx ＝0， 解得x ＝0或x ＝12k2k 2＋1.依题意，可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1.因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6k 2k 2＋1，－32k 2＋1.由3OC →＝OF →，得点C 的坐标为(1,0)， 故直线CP 的斜率为－32k 2＋1－06k 2k 2＋1－1＝32k 2－6k ＋1.又因为AB ⊥CP ，所以k ·32k 2－6k ＋1＝－1，整理得2k 2－3k ＋1＝0，解得k ＝12或k ＝1.所以，直线AB 的方程为y ＝12x －3或y ＝x －3.19．(本小题满分15分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1＝b 1＝1，a 5＝5(a 4－a 3)，b 5＝4(b 4－b 3)．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n ＋2<S 2n ＋1(n ∈N *)；(3)对任意的正整数n ，设c n＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a n－2)bna n a n ＋2，n 为奇数，an －1b n ＋1，n 为偶数.求数列{c n }的前2n 项和．解析 (1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝1，a 5＝5(a 4－a 3)，可得d ＝1，从而{a n }的通项公式为a n ＝n .由b 1＝1，b 5＝4(b 4－b 3)，又q ≠0，可得q 2－4q ＋4＝0，解得q ＝2，从而{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)证明：由(1)可得S n ＝n (n ＋1)2，故S n S n ＋2＝14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，S 2n ＋1＝14(n ＋1)2(n ＋2)2， 从而S n S n ＋2－S 2n ＋1＝－12(n ＋1)(n ＋2)<0，所以S n S n ＋2<S 2n ＋1. (3)解：当n 为奇数时，c n ＝(3a n －2)b n a n a n ＋2＝(3n －2)2n －1n (n ＋2)＝2n ＋1n ＋2－2n －1n ；当n 为偶数时，c n ＝a n －1b n ＋1＝n －12n .对任意的正整数n ，有∑k ＝1nc 2k －1＝∑k ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫22k 2k ＋1－22k －22k －1＝22n 2n ＋1－1，和∑k ＝1nc 2k ＝∑k ＝1n2k －14k ＝14＋342＋543＋…＋2n －14n.① 由①得14∑k ＝1n c 2k ＝142＋343＋…＋2n －34n ＋2n －14n ＋1.②①－②得34∑k ＝1n c 2k ＝14＋242＋…＋24n －2n －14n ＋1＝24⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14－14－2n －14n ＋1，从而得∑k ＝1nc 2k ＝59－6n ＋59×4n.因此，∑k ＝12nc k ＝∑k ＝1nc 2k －1＋∑k ＝1nc 2k ＝4n2n ＋1－6n ＋59×4n －49. 所以，数列{c n }的前2n 项和为4n 2n ＋1－6n ＋59×4n －49.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3＋k ln x (k ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数． (1)当k ＝6时，①求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； ②求函数g (x )＝f (x )－f ′(x )＋9x的单调区间和极值；(2)当k ≥－3时，求证：对任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1>x 2，有f ′(x 1)＋f ′(x 2)2>f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2.解析 (1)①解：当k ＝6时，f (x )＝x 3＋6ln x ，故f ′(x )＝3x 2＋6x .可得f (1)＝1，f ′(1)＝9，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝9(x －1)，即y ＝9x －8. ②解：依题意，g (x )＝x 3－3x 2＋6ln x ＋3x ，x ∈(0，＋∞)．从而可得g ′(x )＝3x 2－6x ＋6x －3x 2，整理可得g ′(x )＝3(x －1)3(x ＋1)x 2.令g ′(x )＝0，解得x ＝1.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以，函数g (x )g (1)＝1，无极大值．(2)证明：由f (x )＝x 3＋k ln x ，得f ′(x )＝3x 2＋kx.对任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1>x 2，令x 1x 2＝t (t >1)，则(x 1－x 2)(f ′(x 1)＋f ′(x 2))－2(f (x 1)－f (x 2))＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫3x 21＋k x 1＋3x 22＋k x 2－2⎝⎛⎭⎫x 31－x 32＋k ln x 1x 2＝x 31－x 32－3x 21x 2＋3x 1x 22＋k ⎝⎛⎭⎫x 1x 2－x 2x 1－2k ln x 1x 2＝x 32(t 3－3t 2＋3t －1)＋k ⎝⎛⎭⎫t －1t －2ln t .① 令h (x )＝x －1x－2ln x ，x ∈[1，＋∞)． 当x >1时，h ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1－1x 2>0， 由此可得h (x )在[1，＋∞)单调递增，所以当t >1时，h (t )>h (1)，即t －1t－2ln t >0. 因为x 2≥1，t 3－3t 2＋3t －1＝(t －1)3>0，k ≥－3，所以x 32(t 3－3t 2＋3t －1)＋k ⎝⎛⎭⎫t －1t －2ln t ≥(t 3－3t 2＋3t －1)－3⎝⎛⎭⎫t －1t －2ln t ＝t 3－3t 2＋6ln t ＋3t－1. ②由(1)②可知，当t >1时，g (t )>g (1)，即t 3－3t 2＋6ln t ＋3t >1，故t 3－3t 2＋6ln t ＋3t－1>0. ③ 由①②③可得(x 1－x 2)(f ′(x 1)＋f ′(x 2))－2(f (x 1)－f (x 2))>0，所以，当k ≥－3时，对任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1>x 2，有f ′(x 1)＋f ′(x 2)2>f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2.。
2020-2021学年天津八中高三(下)第一次统练数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年天津八中高三（下）第一次统练数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.设集合A={−1,1,2,3,5}，B={2,3,4}，C={x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B=()A. {2}B. {2,3}C. {−1,2,3}D. {1,2,3,4}2.设x∈R，则“x2−5x<0”是“|x−1|<1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(−log25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为()．A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. b<c<a4.函数y=4xx2+1的图象大致为()A. B.C. D.5.将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成6组，绘成频率分布直方图如图所示，现按成绩运用分层抽样的方法抽取100位同学进行学习方法座谈，则成绩为[70,80)组应抽取的人数为()A. 60B. 50C. 40D. 206.设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.x 24−y 24=1B. x 2−y 24=1C.x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=17. 已知函数f(x)=sin(x +π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③8. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为√3，AB =2，AC =1，∠BAC =60°，则此球的表面积等于( )A. 8πB. 9πC. 10πD. 11π9. 已知函数f(x)={x 2+176x +1,−2≤x <0,lnx,0<x ≤e,函数g(x)=kx.若关于x 的方程f(x)−g(x)=0有3个互异的实数根，则实数k 的取值范围是( )A. (1e ,56)B. [13,1e ]C. [13,56]D. (0,1e )二、单空题（本大题共5小题，共25.0分） 10. i 是虚数单位，复数8−i2+i = ．11. 在(x +2x 2)5的展开式中，x 2的系数是 ．12. 已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6，则r 的值为 ．13. 已知正数x ，y 满足x +y =1，则4x+2+1y+1的最小值为______ ．14. 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，点P 是MD 的中点．若|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，且∠BAD =60°，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15. 已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是 (1) ；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E(ξ)为 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设a=2，c=3，求b和的值．17.如图，AD//BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2．(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN//平面CDE；(2)求二面角E−BC−F的正弦值；(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．18.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为√55．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N 在y轴的负半轴上．若|ON|=|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．19.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4−2a1，S11=11b4．(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a2n b2n−1}的前n项和(n∈N∗).20.设函数f(x)=x22−klnx，k>0．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,√e]上仅有一个零点．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合的交集、并集运算，比较基础．根据集合的基本运算即可求A∩C，再求(A∩C)∪B．【解答】解：集合A={−1,1,2,3,5}，C={x∈R|1≤x<3}，则A∩C={1,2}，∵B={2,3,4}，∴(A∩C)∪B={1,2}∪{2,3,4}={1,2,3,4}；故选：D．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分必要条件，考查解不等式问题，属于基础题．根据充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果．【解答】解：∵x2−5x<0，∴0<x<5，∵|x−1|<1，∴0<x<2，∵0<x<5推不出0<x<2，0<x<2⇒0<x<5，∴0<x<5是0<x<2的必要不充分条件，即x2−5x<0是|x−1|<1的必要不充分条件．故选：B．【解析】【分析】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于中档题．由奇函数f(x)在R上是增函数，则g(x)=xf(x)是偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则a= g(−log25.1)=g(log25.1)，则2<log25.1<3，1<20.8<2，即可求得b<a<c．【解答】解：奇函数f(x)在R上是增函数，当x>0，f(x)>f(0)=0，且f′(x)>0，∴g(x)=xf(x)，当x>0时，g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，∴g(x)在(0,+∞)单调递增，且g(x)=xf(x)偶函数，∴a=g(−log25.1)=g(log25.1)，则2<log25.1<3，1<20.8<2，由g(x)在(0,+∞)单调递增，则g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，∴b<a<c，故选C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，以及函数的奇偶性，属于基础题．根据函数的奇偶性和x>0时函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y=f(x)=4xx2+1，定义域为R，则f(−x)=4(−x)(−x)2+1=−4xx2+1=−f(x)，则函数y=f(x)为奇函数，故排除C，D，当x>0时，y=f(x)>0，故排除B，故选：A．【解析】解：由频率分布直方图得：成绩为[70,80)组的频率为：1−(0.005+0.005+0.02+0.02+0.01)×10=0.4，∴成绩为[70,80)组应抽取的人数为：0.4×100=40．故选：C．由频率分布直方图得成绩为[70,80)组的频率为0.4，由此能求出成绩为[70,80)组应抽取的人数．本题考查频率分布直方图，是基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y=−b(x−1)，∵双曲线C的方程为x2a −y2b=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴−ba =−b，ba⋅(−b)=−1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2−y2=1，故选：D．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了正弦函数的性质的简单应用，属于基础题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．8.【答案】A【解析】解：由AB=2，AC=1，∠BAC=60°，由余弦定理可得BC=√AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos60°=√4+1−2×2×1×12=√3，所以S ABC=12AB⋅AC⋅sin60°=12×2×1×√32=√32，所以V柱=S△ABC⋅AA1=√3，所以可得AA1=2，设三角形ABC的外接圆的半径为r，所以r=AB2=1，因为三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，设外接球的半径为R，则R2=r2+(AA12)2=12+12=2，所以外接球的表面积S=4πR2=4π×2=8π，故选：A．由AB=2，AC=1，∠BAC=60°可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：作出函数g(x)和f(x)的图象如图：由图可知，当k≤0时，不满足题意，则k>0；当直线y=kx经过点B时，k=232=13，此时y=13x与函数f(x)图象有3个交点，满足；当y=kx为y=lnx的切线时，设切点(x0,lnx0)，则k=1x0，故有lnx0=1x⋅x0=1，解得x0=e，即有切点为A(e,1)，此时g(x)=1ex与f(x)有3个交点，满足题意；综上：当k∈[13,1e ]，故选：B．利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数零点个数的判断和应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．10.【答案】3−2i【解析】【分析】本题考查了复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则即可求出．【解答】解：i是虚数单位，复数8−i2+i =(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i5=3−2i，故答案为：3−2i．11.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项，求展开式中某项的系数，属于基础题．在(x+2x2)5的展开式的通项中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开式中x2的系数．【解答】解：∵(x+2x2)5的展开式的通项为T r+1=C5r x5−r2r x−2r=2r C5r x5−3r，令5−3r=2，得r=1，∴x2的系数是2×C51=10，故答案为10．12.【答案】5【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x−√3y+8=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r2=d2+(|AB|2)2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2=r2的圆心为(0,0)，半径为r；则圆心到直线x−√3y+8=0的距离d=1+3=4，若|AB|=6，则有r2=d2+(|AB|2)2=16+9=25，故r =5； 故答案为：5．13.【答案】94【解析】 【分析】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．由条件可得(x +2)+(y +1)=4，则4x+2+1y+1=14[(x +2)+(y +1)](4x+2+1y+1)，展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值，注意等号成立的条件． 【解答】解：正数x ，y 满足x +y =1， 即有(x +2)+(y +1)=4，则4x+2+1y+1=14[(x +2)+(y +1)](4x+2+1y+1)=14[5+x +2y +1+4(y +1)x +2] ≥14[5+2√x+2y+1⋅4(y+1)x+2]=14×(5+4)=94，当且仅当x =2y =23时，取得最小值94． 故答案为94．14.【答案】−2516【解析】解：由题意不难求得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=3 4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )( −14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−116(3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+10AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−116(15+20×12)=−2516 故答案为：−2516．通过图形，分别表示AP⃗⃗⃗⃗⃗ , CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后进行向量数量积的运算即可．本题考查平面向量的数量积的运算，用已知向量表示未知向量，是中档题．15.【答案】95035【解析】解：箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球， 现从该箱中有放回地依次取出3个小球， 基本事件总数n =103=1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m =103−(23+33+53+C 32×22×8+C 32×32×7+C 32×52×5)=180，则3个小球颜色互不相同的概率是P =m n=1801000=950；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～(n,210)， ∴ξ的数学期望E(ξ)=3×210=35． 故答案为：950，35．基本事件总数n =103=1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m =103−(23+33+53+C 32×22×8+C 32×32×7+C 32×52×5)=180，由此能求出3个小球颜色互不相同的概率；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～(n,210)，由此能求出ξ的数学期望E(ξ)．本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理得asinA =bsinB ，得bsinA =asinB ，又bsinA =acos(B −π6)， ∴asinB =acos(B −π6)，即sinB =cos(B −π6)=cosBcos π6+sinBsin π6=√32cosB +12sinB ，∴tanB =√3， 又B ∈(0,π)，∴B =π3．(Ⅱ)在△ABC 中，a =2，c =3，B =π3， 由余弦定理得b =√a 2+c 2−2accosB =√7，由bsinA =acos(B −π6)，得sinA =√3√7，∵a <c ， ∴cosA =2√7，∴sin2A =2sinAcosA =4√37， cos2A =2cos 2A −1=17，∴sin(2A −B)=sin2AcosB −cos2AsinB =4√37×12−17×√32=3√314．【解析】本题考查两角和与差的三角函数公式，考查正余弦定理的运用，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)由正弦定理得bsinA =asinB ，结合bsinA =acos(B −π6)，由此能求出B ． (Ⅱ)由余弦定理得b =√7，由bsinA =acos(B −π6)，得sinA =√3√7，cosA =√7，由此能求出sin(2A −B)．17.【答案】(1)证明：因为AD//BC ，AD ⊥CD ，DG ⊥平面ABCD ，而AD 、DC ⊂平面ABCD ，所以DG ⊥AD ，DG ⊥DC ，因此以D 为坐标原点，分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．因为EG//AD 且EG =AD ，CD//FG 且CD =2FG ，DA =DC =DG =2， 所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)， E(2,0,2)，F(0,1,2)，G(0,0,2)，M(0,32,1)，N(1,0,2)．设n 0⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)为平面CDE 的法向量，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2)， 则{n 0⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0n 0⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0，不妨令z =−1，可得n 0⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)； 又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−32,1)，所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗ =0． 又∵直线MN ⊄平面CDE ， ∴MN//平面CDE ；(2)解：依题意，可得BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,2)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)． 设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)为平面BCE 的法向量， 则{n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1=0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1−2y 1+2z 1=0，不妨令z 1=1，可得n⃗ =(0,1,1)． 设m⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)为平面BCF 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 2=0m ⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y 2+2z 2=0，不妨令z 2=1，可得m⃗⃗⃗ =(0,2,1)． 若二面角E −BC −F 的大小为θ， 则|cosθ|=|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√1010， 因此sinθ=√1−cos 2θ=(3√1010)=√1010．∴二面角E −BC −F 的正弦值为√1010；(3)解：设线段DP 的长为ℎ(ℎ∈[0,2])，则点P 的坐标为(0,0,ℎ)， 可得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,ℎ)，而DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)为平面ADGE 的一个法向量． 又因为直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°， 所以sin60°=|cos <BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，即√ℎ2+5=√32，解得ℎ=√33∈[0,2]．∴线段DP 的长为√33．【解析】本题考查子直线与平面所成角，二面角，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角 和利用空间向量判定线面的平行关系，属于中档题．(1)依题意，以D 为坐标原点，分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．求出对应点的坐标，求出平面CDE 的法向n 0⃗⃗⃗⃗ 量及MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗ =0，结合直线MN ⊄平面CDE ，可得MN//平面CDE ；(2)分别求出平面BCE 与平面BCF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得 二面角E −BC −F 的正弦值；(3)设线段DP 的长为ℎ，(ℎ∈[0,2])，则点P 的坐标为(0,0,ℎ)，求出BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,ℎ)，而DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)为平面ADGE 的一个法向量，由直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，可得线段DP 的长．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得2b =4，即b =2，则e =c a=√55，a 2−b 2=c 2，解得a =√5，c =1， 故椭圆方程为x 25+y 24=1；(Ⅱ)B(0，2)，设PB 的方程为y =kx +2， 代入椭圆方程4x 2+5y 2=20， 可得(4+5k 2)x 2+20kx =0， 解得x =−20k4+5k 2或x =0， 即有P(−20k 4+5k2,8−10k 24+5k 2)，y =kx +2，令y =0，可得M(−2k ,0)， 又N(0,−1)，OP ⊥MN ， 可得8−10k 2−20k⋅1−2k=−1，解得k =±2√305，可得PB 的斜率为±2√305．【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意可得b =2，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，c ，进而得到所求椭圆方程；(Ⅱ)B(0，2)，设PB 的方程为y =kx +2，联立椭圆方程，求得P 的坐标，M 的坐标，由OP ⊥MN ，运用斜率之积为−1，解方程即可得到所求值．19.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由已知b 2+b 3=12，得b 1(q +q 2)=12，而b 1=2，所以q +q 2−6=0， 又因为q >0，解得q =2，所以b n =2n ； 由b 3=a 4−2a 1，可得3d −a 1=8①，由S11=11(a1+a11)2=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n−2；所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n−2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．(Ⅱ)设数列{a2n b2n−1}的前n项和为T n，由a2n=6n−2，b2n−1=12×4n，有a2n b2n−1=(3n−1)4n，故T n=2×4+5×42+8×43+⋯+(3n−1)4n，4T n=2×42+5×43+8×44+⋯+(3n−1)4n+1，上述两式相减，得−3T n=2×4+3×42+3×43+⋯+3×4n−(3n−1)4n+1=12×(1−4n)1−4−4−(3n−1)4n+1=−(3n−2)4n+1−8，得T n=3n−23×4n+1+83．所以数列{a2n b2n−1}的前n项和为T n=3n−23×4n+1+83．【解析】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力.属于中档题．(Ⅰ)设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．20.【答案】解：(1)由f(x)=x22−klnx(k>0)f′(x)=x−kx=x2−kx由f′(x)=0解得x=√kf(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下：所以，f(x)的单调递增区间为(√k,+∞)，单调递减区间为(0,√k)；f(x)在x=√k处的极小值为f(√k)=k(1−lnk)2，无极大值．(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f(√k)=k(1−lnk)2．因为f(x)存在零点，所以k(1−lnk)2≤0，从而k≥e当k=e时，f(x)在区间(1,√e)上单调递减，且f(√e)=0所以x=√e是f(x)在区间(1,√e)上唯一零点．当k>e时，f(x)在区间(0,√e)上单调递减，且f(1)=12>0,f(√e)=e−k2<0，所以f(x)在区间(1,√e)上仅有一个零点．综上所述，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,√e]上仅有一个零点．【解析】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．(1)利用f′(x)≥0或f′(x)≤0求得函数的单调区间并能求出极值；(2)利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．。
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3.23周一练习题1.在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ，且2S ＝（a +b ）2﹣c 2，则tan C ＝（ ） A.34B.43C. 43-D. 34-【详解】△ABC 中，∵S △ABC 12ab sinC =⋅，由余弦定理：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，且 2S ＝（a +b ）2﹣c 2，∴ab sin C ＝（a +b ）2﹣（a 2+b 2﹣2ab cos C ），整理得sin C ﹣2cos C ＝2，∴（sin C ﹣2cos C ）2＝4． ∴()2222sinC cosC sin C cos C-=+4，化简可得 3tan 2C +4tan C ＝0．∵C ∈（0，180°），∴tan C 43=-，故选：C ．2.已知a ＝log 23﹣logb ＝log 0.5π，c ＝0.9﹣1.1，则（ ） A. c ＞a ＞bB. a ＞b ＞cC. a ＞c ＞bD. b ＞c ＞a【详解】∵a ＝log12=log 23∈（12，1），b ＝log 0.5π＜0，c ＝0.9﹣1.1＞1．∴c ＞a ＞b ．故选：A ．3.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，渐近线为12,l l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若l 2┸PF 1 , l 2//PF 2则双曲线的离心率为（ ）B. 2详解：设双曲线渐近线1l 的方程为b y x a =， 2l 的方程为b y x a =-，则设P 点坐标为(,)bx x a，则直线1PF 的斜率10()b x bx a k x c a x c -==++，直线2PF 的斜率20()bx bx a k x c a x c -==--， 由21l PF ⊥，则()1()bx b a x c a ⨯-=-+，即221()b x a xc =+（1）由22l PF P ，则()bx b a x c a =--，解得2x c =（2），联立（1）（2），整理得：223b a =，由双曲线的离心率2c e a ===， 所以双曲线的离心率为2，故选B.4.设函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ωx +φ）（ω＞0，|φ|2π＜）的图象与直线y ＝2的两个相邻的交点之间的距离为π，且f （x ）+f （﹣x ）＝0，若g （x ）＝sin （ωx +φ），则（ ）A. g （x ）在（0，2π）上单调递增 B. g （x ）在 （0，6π）上单调递减 C. g （x ）在（12π-，512π）上单调递增D. g （x ）在（6π，2π）上单调递减【详解】函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ωx +φ）＝2sin （ωx +φ3π+）． 由于函数的图象与直线y ＝2的两个相邻的交点之间的距离为π，所以T ＝π，解得ω＝2． 由于f （x ）+f （﹣x ）＝0，所以函数为奇函数．所以φ3π+=k π（k ∈Z ），由于|φ|2π＜，所以当k ＝0时，φ3π=-．所以g （x ）＝sin （2x 3π-）． 令：222232k x k πππππ-+≤-≤+（k ∈Z ），解得：51212k x k ππππ-+≤≤+（k ∈Z ）， 当k ＝0时，g （x ）在（12π-，512π）上单调递增．故选：C ． 5.在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，故选派的方法为：225410660C C =⨯=.故答案为60．6.已知四面体P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC =，若四面体P ﹣ABC 的体积为32，则该球的体积为_____．【详解】设该球的半径为R ，则AB ＝2R ，2AC ==2R ，∴AC =，由于AB 是球的直径，所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得：BC 2＝AB 2﹣AC 2＝R 2，所以R t △ABC 面积S 12=⨯BC ×AC =2，又PO ⊥平面ABC ，且PO ＝R ，四面体P ﹣ABC 的体积为32，∴V P ﹣ABC 13=⨯R R 232=3＝9，R 3＝V 43=⨯πR 343=⨯=π．故答案为：. 7.已知ab ＞0，a +b ＝3，则2221b a a b +++的最小值为_____． 【详解】∵ab ＞0，a +b ＝3，∴a +2+b +1＝6．则221216b a a b +=++[（a +2）+（b +1）] 2221b a a b ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭()()222212116216b b a a a b a b ⎡⎤++=+++≥⎢⎥++⎣⎦[a 2+b 2+2ab ]213()62a b =+=， 当且仅当b （b +1）＝a （a +2），a +b ＝3，即53b =，a 43=时取等号．故答案为：32．8.为弘扬中华优秀传统文化，某中学高三年级利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛．比赛规则：每个参赛者回答A 、B 两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得1分，答错得0分，两组题目得分的和做为该选手的比赛成绩．小明估计答对A 组每道题的概率均为34，答对B 组每道题的概率均为23． （Ⅰ）按此估计求小明A 组题得分比B 组题得分多1分的概率； （Ⅱ）记小明在比赛中的得分为ξ，按此估计ξ的分布列和数学期望E ξ． 【详解】（Ⅰ）设小明A 组题得1分，B 组题得0分为事件M ，A 组题得2分，B 组题得1分为事件N ，则小明A 组题得分比B 组题得分多1分的概率： P （M ∪N ）＝P （M ）+P （N ）1212223322231(1)1()443334C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭724=． （Ⅱ）由题意小明在比赛中的得分ξ的可能取值为0，1，2，3，4（单位：分） 则P （ξ＝0）＝（134-）2（123-）21144=， P （ξ＝1）12122233222351(1)1(1)44333472C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， P （ξ＝2）222211223232223337()(1)(1)()1143433344144C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， P （ξ＝3）2112223223325()11()43344312C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，P （ξ＝4）＝（34）2（23）214=， ∴ξ的分布列为：E ξ01234144721441246=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 9.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，平面ADE ⊥平面CDEF ，∠ADE ＝60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD ＝2，DE ＝DC ＝3，CF ＝4，点G 是棱CF 上的动点． （Ⅰ）当CG ＝3时，求证EG ∥平面ABF ； （Ⅱ）求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角G ﹣AE ﹣D 所成角的余弦值为11，求线段CG 的长．【详解】（Ⅰ）证明：由已知得CG ∥DE 且CG ＝DE ，故四边形CDEG 为平行四边形，∴CD ∥EG ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD ∥AB ，∴AB ∥EG ，又EG ⊄平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，∴EG ∥平面ABF ．（Ⅱ）过点A 作AO ⊥DE 交DE 于点O ，过点O 作OK ∥CD 交CF 于点K 由（1）知平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE ∩平面CDEF ＝DE ，AO ⊂平面ADE ，∴AO ⊥平面CDEF ，∵CD ⊥DE ，∴OK ⊥DE ，以O 为原点建立如图的空间直角坐标系，则D （0，﹣1，0），E （0，2，0），C （3，﹣1，0），F （3，3，0），(003A ，，，D （0，﹣1，0），∴()((3,0,0,33,2,3DC DA BE ===--u u u r u u u r u u u r ，设平面ABCD 的法向量为(),,m x y z =r ，即030x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令z ＝﹣1，则3y =()3,1m =-r ，∴直线BE 与平面ABCD 33， （Ⅲ）由题意得，G （3，4λ﹣1，0）．∴(()0,2,33,43,0AE CE λ=-=-u u u r u u u r，，设平面AEG 的法向量为(),,p x y z =r ，即()2303430y z x y λ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，令y ＝3，则23z =，x ＝3﹣4λ，∴(34,3,23p λ=-r ，容易得平面AED 的法向量为()1,0,0q =r()24322114321λλ-=-+，解得214(43)3λ-=，∴4243λ=±|CG |＝λ|CF |＝4λ423=±|CG |≤4，∴423CG =-10.已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩.故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，2），（t，2-）.则121k k +==-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得()222418440kx kmx m +++-=由题设可知()22=16410k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+()()12121221kx x m x x x x +-+=. 由题设121k k +=-，故()()()12122110k x x m x x ++-+=.即()()22244821104141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即()1122m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）。