三角函数的定义

MP tanα = OM
M ′P′ = OM ′
y 叫做角α的正弦， 叫做角 的正弦， r y 记作sinα， 即sinα= r 记作 ， ；
任意角的三角函数 :
y P y r A m x l
x 叫做角α的余弦， 叫做角 的余弦， r x 记作cosα ,即cosα= ； 记作 即
y 叫做角α的正切， 叫做角 的正切， x
3 − 5
x −b 3 =− cosα= = 2 r 5 b + 16
探究： 探究： 三角函数值在各象限的符号
P(x,y) o x
y sin α = r x cot α = y
y
x cos α = r r sec = x
y
y tan α = x r csc α = y
（ （
+） +
y
（
x ）
−
sin α
下面我们研究这些三角函数的定义域：
P(x,y)
o x 比值不随P点位置的改变而改变
y sin α = r x cot α = y
x cos α = r r sec = x
定 义 R R 域
y tan α = x r csc α = y
sin α cos α tan α , sec α cot α , csc α
sin θ < 0 tanθ > 0
① ②
若三角形的两内角α 满足sinα β ， 例5.若三角形的两内角α，β满足 αcosβ<0， 若三角形的两内角 则此三角形必为（ 则此三角形必为（ B ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三种情况都可能
1 < 1 ，则θ为第几象限角？ 为第几象限角？ 例6.已知 已知 2 sin 2ϑ 1 < 1 所以 解：因为 ，所以sin2 θ>0, 2
1.2.1任意角的三角函数 任意角的三角函数
复习回顾
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ P c
b
sin α =
cos α =
tan α =
O
α
a
M
b c a c b a
新课
导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数
o ）（
−
−）（ +） o x （ −） （ +） cos α
（ （
− ） （ +）
+tan
o ） （
− α
x ）
练习： 确定下列三角函数值的符号： 练习： 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 ° 是第三象限角，所以cos 250° < 0 ； 是第三象限角， ）
（2）因为 tan( −672°) = tan( 48° − 2 × 360°) = tan 48°， ） 是第一象限角， 而 48°是第一象限角，所以 tan( −672°) > 0 ； π − 是第四象限角，所以 sin − π < 0 . 是第四象限角， （3）因为 ） 4 4
π sin cos （1） 250°（2）tan( −672°)（3） − ） ） ） 4
练习 确定下列三角函数值的符号 4π 17 16 sin( − ) tan( − π ) cos π
−
5
+
3
−
8
求证：当且仅当下列不等式组成立时， 例4 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 为第三象限角. 角 θ 为第三象限角
求下列各角六个三角函数值： 例2. 求下列各角六个三角函数值： 3π ；（2） ；（ ；（3） （1）0；（ ）π；（ ） ） ；（
2
变式：角 α 的终边在直线 y = 2 x 上，求 α 的六个三角函数值．
的终边过点P(－ ， ， 例3. 角α的终边过点 －b，4)，且cosα= 的终边过点 的值是（ 则b的值是（ A ） 的值是 ）－3 （A）3 （B）－ （C）±3 （D）5 ） ）－ ） ） 解：r= b 2 + 16 解得b=3. 解得
1 r 角α的余割： csc α = sin α = y 的余割： 1 x 角α的余切： cot α = tan α = y 的余切：
我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看 成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种 函数统称三角函数．
三角函数是以实数为自变量的函数
实数 →角（其弧度数等于这个实数） →三角函数值（实数）
2
2 π C． x x ∈ R，x ≠ kπ，k ∈ Z} D． x x ∈ R，x ≠ kπ + ，k ∈ Z { 2 m−3 4 − 2m cos （3）若 sin θ = ， θ= 都有意义，则 m+5 m+5
m = ________
已知角α的终边过点 ，－3）， 例1.已知角 的终边过点 （2，－ ），求α的 已知角 的终边过点P（ ，－ ），求 的 六个三角函数值。 六个三角函数值。 解：因为x=2，y=－3，所以 r = 13 因为 ， － ， sinα= tanα= secα=
2kπ<2 则2kπ<2θ<2kπ+π, kπ<θ<kπ+ 是第一或第三象限角. 所以θ是第一或第三象限角
π
2
sin 2ϑ
练习
1.函数 函数y= 函数
| sin x | sin x
cos x + | cos x |
+
| tan x | 的值域是 tan x
(C )
(A) {－1，1} － ， (C) {－1，3} － ，
(B) {－1，1，3} － ， ， (D) {1，3} ，
2.已知角 的终边上有一点 －4a, 3a)(a≠0),则 已知角θ的终边上有一点 已知角 的终边上有一点P(－ 则 2sinθ+cosθ的值是 ( 的值是
2 (A) 5
2 2 (C) 或 － 5 5
)C
5
(B) － 2 (D) 不确定
A A 3. 设A是第三象限角，且|sin |= －sin ,则 是第三象限角， 是第三象限角 则 2 2
y
﹒P(a, b)
α
M P b tan α = = O M a
o
﹒
M
x
诱思
探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？ 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P′
P(a,b)
∆OMP ∽ ∆OM ′P′
MP sin α = OP
OM cos α = OP
﹒
M
α
O
M′
x
M ′P′ = OP′ ′ OM = OP′
证明： 证明： 因为① 成立,所以 因为①式sin θ < 0 成立 所以 θ 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 或第四象限，也可能位于 轴的非正半轴上； 又因为② 成立， 又因为②式 tan θ > 0 成立，所以角θ 的终边可能位于 第一或第三象限. 第一或第三象限 因为①②式都成立， 的终边只能位于第三象限. 因为①②式都成立，所以角θ 的终边只能位于第三象限 ①②式都成立 为第三象限角. 于是角 θ 为第三象限角 反过来请同学们自己证明. 反过来请同学们自己证明
r
α
x O
记作tanα，即 tanα= ， 记作
y x
它们只依赖于α的大小，与点P 它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。 终边上的位置无关。
终边相同的角，三角函数值分别相等。 终边相同的角，三角函数值分别相等。
的其他三种函数： 角α的其他三种函数： 的其他三种函数
1 r = 角α的正割： sec α = 的正割： cos α x
解得y=－1. 解得 －
2 5 所以cosθ= － . 所以 5
如果两个角的终边相同， 如果两个角的终边相同，那么这两个角的
？ 同一三角函数值有何关系？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一） 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( α + k ⋅ 2π ) = sin α cos(α + k ⋅ 2π ) = cosα tan(α + k ⋅ 2π ) = tanα
作业： 作业：
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练习 求下列三角函数值
19π = tan 3
3
31 π )= tan( − 4
1
归纳
总结
1. 内容总结： 内容总结： 三角函数的概念. ①三角函数的概念 三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号 诱导公式一. ③诱导公式一 2 .方法总结： 方法总结： 方法总结 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 运用了定义法、公式法、数形结合法解题 3 .体现的数学思想： 体现的数学思想： 体现的数学思想 化归的思想，数形结合的思想. 化归的思想，数形结合的思想
y 3 13 =− r 13
cosα= cotα= cscα=
y 3 =− x 2 r 13 = x 2
x 2 13 = r 13 x 2 =− y 3
r 13 =− y 3
变式1：已知角 的终边过点 的终边过点P（ ，－ ，－3a） 变式 ：已知角α的终边过点 （2a，－ ）(a<0)， ， 的六个三角函数值。 求α的六个三角函数值。 的六个三角函数值
P
b
O y
α
a
M
x
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