排列组合中的分组、分配问题
排列组合中的分组分配
• 练习：9件不同的玩具，按下列分配方案各有几
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• • • • 种分法? ①甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法 ? ②一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少 种分法? ③每人3件，有多少种分法? ④平均分成三堆，有多少种分法? ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
9
C C C C C C C C C C C 2174
3 3 3 9 2 1 3 3 5 8 1 2 3 3 5 7 0 3 3 3 5 6
排列组合中的分组分配问题
ab ac ad bc bd cd
cd bd bc
ad ac ab
引旧育新
1 把abcd分成平均两组 有_____多少种分法？ 2 C4 ab ac ad bc bd cd cd bd bc ad ac ab 2 C2 2 A2
3
这两个在分组时只能算一个
记住：
平均分成的组，不管 它们的顺序如何，都 是一种情况，所以分 组后要除以m!，其中m
2 每组中选正、副组长都有 A5 种方法．
5 5 C10 C5 2 2 A A 种． 5 5 50400 2 A2
由分步计数原理共有
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人，有多少种不同的分法？ 方法：先分再排法。分成的组数看成元 素的个数· （1）均分的三组看成是三个元素在三 个位置上作排列
例7 六本不同的书分给甲、乙、丙3人，1人1本，1人2 本,1人3本有多少种分法?
C61C52C33A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C CCC 4 A4
排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法 ①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有232752420C C A =（种）。
排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法 ①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有232752420C C A =（种）。
排列组合题型全归纳 专题14 分组与分配问题(解析版)
专题14分组与分配问题【方法技巧与总结】分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成n 堆（组）必须除以nn A ；如果有m 堆（组）元素个数相同，必须除以m m A .【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A ．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B ．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】D【解析】选项A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有22264290C C C =种分配方法，故该选项错误；选项B ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有411362132290C C C A A =种分配方法，故该选项错误；选项C ，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有2264C C 种方法，其余分给丙丁每人各1本，有22A 种方法，所以不同的分配方法有222642180C C A =种，故该选项错误；选项D ，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有221146421422221080C C C C A A A =种方法，故该选项正确.故选：D.例2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（）A ．240种B ．360种C ．450种D ．540种【答案】D 【解析】由题知，6名教师分3组，有3种分法，即1，2，3；1，1，4；2，2，2，共有1142221236546426532323C C C C C C C C C 90A A ++=种分法，再分配给3所学校，可得3390A 540⨯=种.故选：D.例3．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录人､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（）A ．450种B ．72种C ．90种D ．360种【答案】A【解析】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种：人数为123--的三组，共有12336533C C C A 360⋅=种；第二种：人数为222--的三组，共有2223642333C C C A 90A ⋅=种.所以不同的安排方法共有36090450+=种，故选：A .例4．（2023·陕西铜川·校考一模）将4名新招聘的工人分配到A ，B 两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（）A ．36种B ．14种C ．22种D ．8种【答案】B【解析】将4名工人，安排到两个车间：分为其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人和两个车间都安排两名工人，两种情况.其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人的方案有：3412238C C A ⋅⋅=；两个车间都安排两名工人的方案有：422222226C C A A ⋅⋅=.所以，不同的安排方案有8614+=.故选：B.例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（）A ．540种B ．300种C ．210种D ．150种【答案】D【解析】先将每天读书的本数分组，有1,2,2和3,1,1两种分组方案，当按1,2,2分组时，有22353322C C A 90A =种方法，当按按3,1,1分组时，有3353C A 60=种方法，所以不同的选择方式有9060150+=种.故选：D.例6．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A ，B ，C 三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B 企业，乙不去C 企业，则不同的派遣方案共有（）A ．42种B ．30种C ．24种D ．18种【答案】D【解析】若甲乙去同一企业，则甲乙只能去B 企业，剩下的4人平均分去两个企业，共有22242222C C A 6A ⨯=种；若甲乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲乙两人选同伴，有1143C C 种，第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B 企业，乙不去C 企业，所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得：共有1143C C 112⨯=种；所以不同的派遣方案共有61218+=种，故选：D .例7．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5名大学生分为4组，有25C 10=种分组方法，②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动，有44A 24=种情况，则有1024240⨯=种分配方案；故选：C ．例8．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（）A ．36B ．81C ．120D ．180【答案】D【解析】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有15C 5=种不同的选派方案，再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，有2343C A 6636=⨯=种不同的选派方案，所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有123543C C A 536180=⨯=种.故选：D .例9．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A ．335B ．100C ．360D ．340【答案】C【解析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有22264233C C C 15A ⋅⋅=在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：33A 6=，根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：2223642333C C C A 15690A ⋅⋅=⨯=如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为：2212425222C C 1C A 30A ⋅⋅⋅=所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为903060-=②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为：若1同学只安排了一位辅导老师则11425542C C C A 50⋅=若1同学安排了四位辅导老师则4252C A 10=所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为60③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为；若1同学只安排了一位辅导老师则12325532C C C A 100⋅=若1同学只安排了两位辅导老师则21325432C C C A 80⋅=若1同学只安排了三位辅导老师则31225322C C C A 60⋅=所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为6080100240++=综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为2406060360++=故选：C例10．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（）A ．1880种B ．2940种C ．3740种D ．5640种【答案】B【解析】5名女老师分配到三个社区，分配的方案有1:1:3型与1:2:2型，对于1:1:3型，女老师的分配情况有3353C A 60=，其中只有一个社区女老师的人数超过2，则5名男老师只能分配去这个村，即总分配情况为60；对于1:2:2型，女老师的分配情况有2213531322C C C A 90A =，其中有两个社区女老师的人数为2，则将5名男老师分配去两个社区，则分配方案有0:5型、1:4型与2:3型，则分配情况有242232252532A +C A C C A 32+=，即总分配情况为32902880⨯=；综上所述，2880602940+=.故选：B.例11．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）A ．96种B ．124种C ．150种D ．130种【答案】C【解析】根据题意：分2步进行：①5人在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，可以把5人分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是按照1,2,2；当按照1,1,3来分时共有35C 10=种分组方法；当按照1,2,2来分时共有225322C C15A =种分组方法；则一共有101525+=种分组方法；②将分好的三组对应三家酒店，有33A 6=种对应方法；则安排方法共有256150⨯=种，故选：C .例12．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）A ．540种B ．180种C ．360种D ．630种【答案】A【解析】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况，第一类：6名志愿者分成123++，共有12336533C C C A 360=（种）选派方案，第二类：6名志愿者分成114++，共有1143654322C C C A 90A =（种）选派方案，第三类：6名志愿者分成222++，共有2223642333C C C A 90A =（种）选派方案，所以共3609090540++=（种）选派方案，故选：A.例13．（2023·全国·高三专题练习）佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（）A ．240B ．180C ．690D ．150【答案】A【解析】第一种情况，当中门的志愿者有3人时，其他两个门有1个门1人，1个门2人，有322632C C A 120=种，第二种情况，当中门有2人时，其他两个门也分别是2人，222642C C C 90=种，第三种情况，当中门有4人时，其他两个们分别1人，有4262C A 30=种，所以不同的分配方法种数是1209030240++=.故选：A例14．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,A B C 三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A ．28种B ．32种C ．36种D ．42种【答案】C【解析】将甲、乙看成一个元素A ，然后将A 、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有21142122C C C 6A =种，再将3组分到3个不同小区有33A =6种，所以满足条件的安排方法共有66=36⨯种.故选：C例15．（2023·全国·高三专题练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）A ．72B ．108C ．216D ．432【答案】C【解析】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421322C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213322C C C A A 216A ⋅⋅=种不同的分配方案.故选：C.例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A ．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有15种分法；B ．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法；D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】BD【解析】对于A ，6本不同的书分给甲､乙､丙三人，每人各2本，共有226415690C C =⨯=种分法，A 错误；对于B ，6本不同的书分给甲､乙､丙三人，一人4本，另两人各1本，共有1136532215690C C A A ⋅=⨯=种分法，B正确；对于C ，6本不同的书分给甲乙每人各2本，丙丁每人各1本，共有221642180C C C =种分法，C 错误；对于D ，6本不同的书，分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，共有22146424222245241080C C C A A A ⋅=⨯=种分法，D 正确；故选：BD.例17．（多选题）（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（）A ．九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法B ．九本书内容都不一样，分给三位同学有9319683=种不同的分法C ．九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法D ．九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有63729=种不同的分法【答案】ABC【解析】对于A ，9本相同的书分给三位同学，每人至少一本，利用挡板法分析，在9本书之间的8个空位中任选2个，插入挡板即可，有28C 28=种不同的分法，故A 正确；对于B ，根据题意，9本书内容都不一样，则每本书都可以分给3人中的任意一人，即有3种分法，所以9本书有9319683=种不同的分法，故B 正确；对于C ，由9本书内容完全一样，则将这9本书和2个挡板排成一排，利用挡板将9本书分为3组，对应3位同学即可，则有211C 55=种不同的分法，故C 正确；对于D ，可以分11类情况：①“1，2，6型”有126986C C C 41008⨯=；②“1，3，5型”135985C C C 42016⨯=；③“1，4，4型”144984C C C 21260⨯=；④“1，7，1型”171981C C C 72=；⑤“1，8，0型”1898C C 9=；⑥“2，2，5型”225975C C C 32268⨯=；⑦“2，3，4型”234974C C C 67560⨯=；⑧“2，7，0型”2797C C 272⨯=；⑨“3，3，3型”333963C C C 1680=；⑩“3，6，0型”3696C C 2168⨯=；⑪“4，5，0型”4595C C 2252⨯=，所以有1008+2016+1260+72+9+2268+7560+72+1680+168+252=16365种不同的分法，故D 错误．故选：ABC ．例18．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法．【答案】150【解析】根据题意，先把5名医生分成3组再分配，一是分成3,1,1然后分配，共有3353C A 10660⋅=⨯=种分配方法，二是分成2,2,1然后分配，共有22353322C C 30A 690A 2⋅=⨯=种分配方法，所以共有6090150+=种分配方法.故答案为：150.例19．（2023·高三课时练习）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种.【答案】684【解析】根据题意，分3步完成：第一步：将6名护士分成3组，每组1至3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，若甲和乙一组，将其他4人分成2组即可，有23441C C 72+=种分组方法；若甲乙组恰有3人，从其他4人中选1人分到甲乙组，剩下的3人分成2组，有234C 12=种分组方法；则护士有71219+=种分组方法；第二步：将3名医生分成3组，每组1人，有1种分组方法；第三步：将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，有3333A A 6636=⨯=种安排方法；根据分步乘法计数原理得19136684⨯⨯=种分配方法.故答案为：684.例20．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）8支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有___________种.【答案】315【解析】由已知可得第一轮比赛的安排方法数为2222864244C C C C A ，即105种安排方法，第二轮比赛的安排方法数为224222C C A ，即3种安排方法，第三轮比赛的安排方法数为1，由分步乘法计数原理可得所有的安排方法数为315；故答案为：315.例21．（2023·全国·高三专题练习）现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有______种.【答案】432【解析】由于每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，所以分以下两类情况：①甲乙一起带队，则需要把其余的四位老师分成三组，共有24C 种分法，再将四组老师分到4个班级共有44A 种分法；即甲乙同队共又2444C A 144=种；②甲、乙分别于另外一位老师一起带队，先将其他四位老师分到4个班级共有44A 种分法，再将甲、乙分别分到两个不同的班级共有24A 种分法；即甲、乙不同队共有4244A A 288=；综上可知，不同的带队方案共有144288432+=种.故答案为：432例22．（2023·高二课时练习）把5名志愿者分到3所学校去服务，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法有______种．【答案】150【解析】当分成三组，分别为1，1，3时有31152122C C C P ⋅⋅种；当分成三组，分别为2，2，1时有22153122C C C P ⋅⋅种再将分好的三组对应到三所学校共有311221352153132222C C C C C C P 150P P ⎛⎫⋅⋅⋅⋅+⋅= ⎪⎝⎭故答案为：150.例23．（2023·全国·高三专题练习）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种．【答案】60【解析】由题知，①将5名大学生分成1,2,2的三组，有22153122C C C 15P =种分组方法，②甲同学所在的组不去观看冰球比赛，有2种情况，剩下的2组任意选择，有222P 4=种情况，所以有15460⨯=种方案．故答案为：60例24．（2023·全国·高三专题练习）从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有______种不同的取法．【答案】130【解析】当恰好有2只能配成一双有：12115422C C C C 120⨯⨯⨯=；当恰好有4只能配成两双有：25C 10=；故共有12010130+=种不同的取法.故答案为：130例25．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【答案】36【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例26．（2023·全国·高三专题练习）A 、B 、C 、D 四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A 和B 不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.【答案】30【解析】根据题意，若A B C D 、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有2343C A 36=种情况，若A B C D 、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，A 和B 参加同一科的有2323C A 6=种情况；所以，满足题意的情况共有23234323C A C A 30-=种.故答案为：30.例27．（2023·全国·高三专题练习）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有__________种．【答案】210【解析】先从6个班级中选择2个班级去黄山，则有26C 种情况，接下来4个班级可分为两种情况：第一种情况，2个班级去九华山，2个班级选择取天柱山，则有2242C C 种情况，第二种情况，3个班级去九华山或天柱山，剩余的1个班去另一个山，则有342C 种情况，综上：恰好有2个班级选择黄山的方案有()22236424C C C 2C 210+=．故答案为：210例28．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【解析】（1）根据分步计算原理可知，1236535461602C C C ⨯⋅⋅=⨯⨯=，所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；（2）由（1）可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，再分给甲、乙、丙三人，所以有336060321360A ⋅=⨯⨯⨯=种方法；（3）先分三步，则应是222642C C C ⋅⋅种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则222642C C C ⋅⋅种分法中还有(AB ，EF ，CD )、(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF ，AB )、(EF ，CD ，AB )、(EF ，AB ，CD )，共33A 种情况，而且这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有22264233C C C A ⋅⋅＝15(种)．（4）在问题（3）的基础上再分配即可，共有分配方法2223642333C C C A A ⋅⋅⋅＝90(种)．例29．（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选1本有16C 种选法;再从余下的5本中选2本有25C 种选法;最后余下的3本全选有33C 种选法.故共有12365360C C C =(种)选法.（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在1题的基础上,还应考虑再分配,共有12336533360C C C A =.（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是222642C C C 种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A ,B ,C ,D ,E ,F ,若第一步取了AB ,第二步取了CD ,第三步取了EF ,记该种分法为(AB ,CD ,EF ),则222642C C C 种分法中还有(AB ,EF ,CD ),(CD ,AB ,EF ),(CD ,EF ,AB ),(EF ,CD ,AB ),(EF ,AB ,CD ),共有33A 种情况,而这33A 种情况仅是AB ,CD ,EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有2226423315C C C A =.（4）有序均匀分组问题.在3题的基础上再分配给3个人,共有分配方式222364233390C C C A A ⋅=(种).（5）无序部分均匀分组问题.共有4116212215C C C A =(种)分法.（6）有序部分均匀分组问题.在5题的基础上再分配给3个人,共有分配方式411362132290C C C A A ⋅=(种).（7）直接分配问题.甲选1本有16C 种选法,乙从余下5本中选1本有15C 种选法,余下4本留给丙有44C 种选法,共有11465430C C C =(种)选法.例30．（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．【解析】除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：①4个名额全部分给某一个班，有16C 种分法；②4个名额分给两个班，每班2个，有26C 种分法；③4个名额分给两个班，其中一个班1个，一个班3个，共有26A 种分法；④4个名额分给三个班，其中一个班2个，其余两个班每班1个，共有1265C C ⋅种分法；⑤4个名额分给四个班，每班1个，共有46C 种分法．故共有122124666656C C A C C C 126+++⋅+=（种）分配方法．例31．（2023·全国·高三专题练习）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：(1)每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？(2)恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？(3)每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？【解析】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为44A 24=（种）；（2）先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为2344C A 144=（种）；（3）考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3，因此，所求放法种数为248⨯=（种）；（4）按两步进行，空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为234C 12=（种）.例32．（2023·全国·高二专题练习）设有编号为1、2、3、4、5的5个球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内．(1)只有1个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有1个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子内投放1球，并且至少有2个球的编号与盒子编号相同，有多少种投放方法？【解析】（1）首先选定两个不同的球，作为一组，选法有25C 10=种，再将4组排到4个盒子，有45A 120=种投放法．∴共计101201200⨯=种方法；（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有55A 种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有55A 1119-=种．（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种；第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种；第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：25C 10=种；第四类，两个球的编号与盒子编号相同的放法：252C 20=种．所以满足条件的放法数为：1102031++=种．。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是指将一组元素分成不同的组，每个组中的元素个数可以不同，同时每个元素只能属于一个组。
这类问题在实际生活中非常常见，比如将不同班级的学生分配到不同的宿舍，将不同商品分配到不同的仓库等。
在解决这类问题时，可以使用回溯法进行穷举搜索，具体步骤如下：1. 定义一个空的结果集，用来存储所有的有效分组分配方案。
2. 定义一个空的临时集合，用来存储当前正在处理的分组分配方案。
3. 使用回溯法进行搜索，从第一个元素开始，尝试将其放入不同的组中。
4. 对于每个选择，如果选择当前组的元素数量小于或等于规定的数量，则将该元素加入到临时集合中，并递归处理下一个元素。
5. 如果当前组的元素数量大于规定的数量，则回溯到上一层，并尝试选择其他组进行分配。
6. 当所有元素都被分配完毕时，将临时集合存入结果集中。
7. 返回结果集，即为所有的有效分组分配方案。
这种解法的时间复杂度为O(k^n)，其中n为元素的个数，k为分组的个数。
在实际使用中，由于组合数目可能非常大，可能需要进行一些剪枝优化，以提高运行效率。
还可以使用动态规划方法解决分组分配问题。
动态规划方法将问题分为多个子问题，然后利用子问题的解来求解原问题。
具体步骤如下：1. 定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示将前i个元素分配到j个组中的方案数。
2. 初始化dp数组，将所有元素分配到一个组中的方案数为1，其他地方为0。
3. 使用动态规划进行求解，从第一个元素开始，依次遍历所有可能的组合情况。
4. 对于每个元素，从1到j（j为组的数量）进行遍历，分别计算分配到该组和不分配到该组的方案数之和，并更新dp数组。
5. 当所有元素都遍历完毕后，dp[n][k]即为最终的解。
这种解法的时间复杂度为O(nk^2)，可以在不超出计算能力的情况下求解大规模的分组分配问题。
排列组合中的分组分配问题可以使用回溯法和动态规划方法进行求解。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题在数学和计算机科学中是一个重要的问题，它涉及到如何将一组对象分配到不同的集合中，使得每个集合包含的对象满足特定的条件。
在实际生活中，这种问题也经常出现，比如在制定班级或团队分组、分配资源等方面。
在这篇文章中，我们将讨论排列组合中的分组分配问题，并介绍一些有效的解法，希望能够帮助读者更好地理解和解决这类问题。
1. 理解排列组合中的分组分配问题排列组合中的分组分配问题，通常可以描述为以下几种形式：（1）将N个对象分成K个组，每个组的大小不同；（2）将N个对象分成K个组，每个组的大小相同；（3）将N个对象分成K个组，每个组的大小不同，但满足一定条件。
在实际应用中，这些问题可能会涉及到一些约束条件，比如每个组中的对象之间有特定的关系，或者每个组中的对象有特定的属性，这将在具体问题中得到体现。
2. 有效解法为了解决排列组合中的分组分配问题，我们介绍一些有效的解法，包括暴力穷举、动态规划和回溯法等。
（1）暴力穷举暴力穷举是一种简单直接的方法，它通过遍历所有可能的组合来寻找符合条件的分组分配。
这种方法的优点是容易理解和实现，但是当问题规模较大时，时间复杂度会非常高，需要花费大量的计算资源。
暴力穷举一般适用于问题规模较小的情况。
（2）动态规划动态规划是一种常用的解决排列组合问题的方法，它通过将原问题分解成若干个子问题，并且这些子问题之间存在重叠的性质。
通过记录中间结果，可以避免重复计算，从而提高效率。
在分组分配问题中，动态规划可以用来求解不同组合的分配方案数量、找到最优的分组方案等。
通过定义状态转移方程和设计合适的算法，可以高效地解决大规模的分组分配问题。
（3）回溯法回溯法是一种递归地穷举所有可能的解决方案，通过不断地试探和回溯来寻找最优的解决方案。
在分组分配问题中，回溯法可以用来找到满足条件的分组方案，或者列举所有可能的分配方案。
回溯法的优点是能够找到所有可能的解，但是在问题规模较大时，时间复杂度会很高，需要耗费大量的计算资源。
6、排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C；种，再由剩下的6人选出2人，有C：种，最后由剩下的4人为一组，有C：种。
由分步计数原理得分组方法共有C；C：C： =105（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有©种，再由剩下的5人中选出3人，有C；种，分组方法共有C；C：=210（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有C；C；C；=210 （种二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。
先选3人为一组，有E种；再选3人为另一组，有C：种。
又有2 组都是3人，每Af种分法只能算一种，所以不同的分法共有亠L = 70 （种）。
C3C3也可先选后分。
不同的分法共有C；・-4^ = 70 （种）。
A?㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有C：、C：、C；、C；种，又有3堆都C1 c2c2是2个元素,每&种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有|（）^ 6= 3150 （种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有加个组的元素是均匀的，都有A：；种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有C；C；A；=420 （种）。
排列组合中分组分配问题
分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。
该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。
解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。
下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。
一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。
这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。
具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。
2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。
设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。
其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。
3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。
二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。
在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。
多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。
具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。
通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。
2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。
利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。
3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。
排列组合中的分组、分派问题
排列组合中的分组、分派问题学习目标：1、体会分组、分派问题的联系与区别2、体会算两次思想在平均分组问题中的应用学习进程:例1：（1）把4本不同的书平均分给2个人，有几种分法？（2）把4本不同的书平均分成2堆，有几种分法？分析：（1）从人的角度：第1人有24C 种，第2人有22C 种，按照分步乘法原理得分法数2224C C N ⋅=从书的角度：先把书平均分成2堆，再把书进行排队，把书平均分成2堆有3种223A N ⋅= （2）把书平均分成2堆有3种，注意：不是24C ，而是2224A C 例2：（1）把6本不同的书平均分给3个人，有几种分法？（2）把6本不同的书平均分成3堆，有几种分法？（3）把6本不同的书分给3个人，其中一人3本，一人2本，一人1本，有几种分法？（4）把6本不同的书分成3堆，其中一堆3本，一堆2本，一堆1本，有几种分法？ 分析：（1）的本质是平均分派问题（2）的本质是平均分组（3）的本质是不平均分派（4）的本质是不平均分组从人的角度去分析（1）：第1人有26C 种，第2人有24C 种，第3人有22C 种，按照分步乘法原理得分法数222426C C C N ⋅⋅= 从书的角度：先把书平均分成3堆，再把书进行排队，把书平均分成3堆的方式数可用列举法，但数字大时要找好方式。
现设把6本书平均分成3堆得方式数为x ，把3堆书排队的方式数为33A 。
按照算两次取得结果一致得：22242633C C C A x ⋅⋅=⋅“平均分组”对学生来讲是难点。
练习1：现有9本不同的书，求下列情况下各有多少种不同的分法？（1）分成3组，一组4本，一组3本，一组2本（1260）（2）分给3个人，一人4本，一人3本，一人2本（7560）（3）平均分成3组（280）练习2:4个不同的球，4个不同的盒子，把球全数放入盒内（1）恰有1个盒子不放球，共有几种方式？114（2）恰有一个盒子放2球，共有几种方式？114（4）恰有2个盒子不放球，共有几种方式？84。
排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法 ①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有232752420C C A =（种）。
排列组合中的分组分配问题完整
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法1. 引言1.1 什么是排列组合中的分组分配问题在排列组合中的分组分配问题中，我们面临着将一组元素分为多个子集的问题。
在这个问题中，我们通常需要满足一定的条件，比如每个子集的元素个数必须相等，或者每个子集的元素之和必须满足某个条件。
这种问题在实际生活中有很多应用，比如排班问题、分组比赛问题等。
具体来说，我们可以将排列组合中的分组分配问题看作将n个元素分为m个子集的问题。
每个子集中的元素个数可以不同，也可以相同。
我们需要找到一种方法，使得每个子集满足特定的条件，同时保证所有子集之间没有重复元素。
在解决这类问题时，我们通常需要考虑不同算法的效率和准确性。
通过选择合适的算法，我们可以更快地找到问题的解决方案，提高问题的求解效率。
对于排列组合中的分组分配问题，需要有效的解法来解决复杂的组合问题，提升计算效率。
【200字】1.2 为什么需要有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，通常涉及到如何将一组元素分成若干组，使得每个元素恰好属于一组，并且每个组的元素数量符合特定的条件。
这类问题在实际生活中也有着广泛的应用，比如在分配任务、资源、奖励等方面。
为了解决这类问题，需要找到一种有效的解法。
有效解法可以帮助我们节省时间和精力。
排列组合中的分组分配问题往往有着庞大的搜索空间，如果没有一个高效的解法，我们可能需要耗费大量的时间和资源来找到最优解。
而通过有效的解法，我们可以在较短的时间内找到满足要求的分组方案，提高工作效率。
有效解法可以帮助我们减少错误和避免漏解。
在解决排列组合中的分组分配问题时，如果没有一个清晰的解题思路和方法，容易导致错误的分组方案或者遗漏可能的解决方案。
而使用有效的解法，可以系统地进行搜索和分析，减少出错的可能性，提高解题的准确性和完整性。
找到排列组合中的分组分配问题的有效解法是非常重要的。
有效解法不仅可以节省时间和精力，提高工作效率，还可以减少错误和遗漏，保障解题的准确性和完整性。
6、排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C；种，再由剩下的6人选出2人，有C：种，最后由剩下的4人为一组，有C：种。
由分步计数原理得分组方法共有C；C：C： =105（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有©种，再由剩下的5人中选出3人，有C；种，分组方法共有C；C：=210（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有C；C；C；=210 （种二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。
先选3人为一组，有E种；再选3人为另一组，有C：种。
又有2 组都是3人，每Af种分法只能算一种，所以不同的分法共有亠L = 70 （种）。
C3C3也可先选后分。
不同的分法共有C；・-4^ = 70 （种）。
A?㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有C：、C：、C；、C；种，又有3堆都C1 c2c2是2个元素,每&种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有|（）^ 6= 3150 （种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有加个组的元素是均匀的，都有A：；种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有C；C；A；=420 （种）。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是概率与统计中的基础知识点，其中包括排列、组合等概念。
在实际生活中，我们经常会遇到需要对一个集合内的元素进行分组和分配的问题，这些问题又被称为分组分配问题。
例如，在一个班级中，我们需要将学生分成若干组，或者在一个公司中，我们需要将员工分配到不同的部门，这些都属于分组分配问题，而排列组合则提供了有效的解决方法。
一、排列组合的基本概念1. 排列排列用于描述一组元素的各种排列方式。
例如，由 A、B、C 三个元素组成的集合，其所有排列包括 ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA 共 6 种。
排列的数量为 n!，其中 n 为集合中元素的个数。
排列与顺序有关，即不同顺序的排列被视为不同的结果。
2. 组合二、分组分配问题的解决方法1. 确定组数解决分组分配问题的第一步是确定分成几组，或者分配到几个部门。
这个数目通常由具体问题所确定，如班级分组时可能要求分成 2、3 或 4 组等。
2. 确定元素第二步是确定需要分组或分配的元素，即确定学生、员工、球队等。
这个数目也由具体问题所确定。
接下来，我们需要确定分成的每一组的元素个数，或者每个部门中的员工个数。
这个分组方式的确定关系到具体问题的解决。
4. 应用排列组合最后，我们可以应用排列组合的知识来解决分组分配问题。
例如，在班级分组时，如果确定分成 2 组，每组各 10 人，则分组的总方法数为 45。
这个计算过程可以用排列组合的方法来解决：先从 20 个学生中选出 10 个，共 C(20, 10) 种方法，然后将这 10 个学生划分到两个组中，使用排列的方法可以得到 2(10!) 种方案。
因此，班级分组的总方案数为2(10!)C(20, 10) = 45。
在公司分配员工到部门时，如果要求每个部门中的员工数量相同，且每个部门至少要有一个员工，则可以使用组合数目和整数划分的知识来解决问题。
具体方法如下：设共有 n 个员工，要分成 k 个部门，每个部门包含 m 个员工。
排列组合中的分组分配问题
排列组合中的分组分配问题排列组合中的分组分配问题(2010-03-12 17:44:05)标签：教育中学高中数学分组分类：误人子弟均匀不均匀分配定向分配不定向分配杂谈６个学生平均分成3组，有多少种分法？６个学生平均分到3个不同的班级，有多少种分法？头痛了吧？分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
一提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。
分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
二基本的分组问题例1六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本（均分三堆）１５(2)一组一本，一组二本，一组三本６０(3)一组四本，另外两组各一本１５(４)平均分给甲乙丙三人９０分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是Ｃ６２＊Ｃ４２＊Ｃ２２=90(种)这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书标上1、2、3、4、5、6六个号码。
考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数Ａ３３＝６，所以分法是９０／６=15(种)。
(2)先分组，方法是Ｃ６１＊Ｃ５２＊Ｃ３３＝６０，那么还要不要除以Ａ３３？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有 =60(种) 分法。
(3)分组方法是Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１=30(种)其中有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
高中数学专题排列组合中的分组分配问题
高中数学专题排列组合中的分组分配问题Ⅰ.概述分组分配问题是排列、组合问题的综合，是排列组合问题中的一个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题，实际上也可运用分配问题的方法来解决。
解决分组分配问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。
分组分配问题特征：（1）分组分配特征：问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；（2）分组的类型：整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成几组，都应注意只要有元素的个数相等的组存在，就需要考虑均分的现象（即：整体平均分组；或部分平均分组）；（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等，则存在重复出现的情况，作为分组只能计为一种。
Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题一.分组与分配有关概念1.将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题；分组问题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。
2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置），称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；3.分组问题和分配问题的区别：前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是有区分的，对于分配问题必须先分组后分配，而分组通常与组合相关，分配通常与排列相关。
二．基本的分组问题（一）分组问题的基础题例【题例1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.【分析】：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
注意，这里6个元素，分3组，每组2个元素，所求的分组种类：不是“从6个元素中取2个元素的组合数”，而是“6选2，选3次，分成3组，所得的组数”；在这样的分组中，由于要选3次，且平均选取，就存在选取的顺序，故所得组中出现重复的组，重复的种数即所分组的全排列数。
若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（3，4）（1，2）（5，6），则这样的两组只能算一组，不能算作两组；若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（1，3）（2，4）（5，6），则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1，2）（3，4）（5，6）与（1，3）（2，4）（5，6）这两个分组中出现的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个，且其中的组合（5，6）只能算作1个计数；三．基本的分配问题（一）定向分配问题：将所给元素按要求分配到指定对象【题例2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题：将所给元素按要求分配到非指定对象【题例3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究一．分组问题的基本类型--思想方法（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）：“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干组。
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排列组合中的分组、分配问题
学习目标：
1、体会分组、分配问题的联系与区别
2、体会算两次思想在平均分组问题中的应用
学习过程:
例1：
（1）把4本不同的书平均分给2个人，有几种分法？
（2）把4本不同的书平均分成2堆，有几种分法？
分析：（1）从人的角度：
第1人有24C 种，第2人有22C 种，根据分步乘法原理得分法数2224C C N ⋅=
从书的角度：先把书平均分成2堆，再把书进行排队，把书平均分成2堆有3种223A N ⋅=
（2）把书平均分成2堆有3种，注意：不是24C ，而是
2224A C 例2：
（1）把6本不同的书平均分给3个人，有几种分法？
（2）把6本不同的书平均分成3堆，有几种分法？
（3）把6本不同的书分给3个人，其中一人3本，一人2本，一人1本，有几种分法？
（4）把6本不同的书分成3堆，其中一堆3本，一堆2本，一堆1本，有几种分法？
分析：
（1）的本质是平均分配问题
（2）的本质是平均分组
（3）的本质是不平均分配
（4）的本质是不平均分组
从人的角度去分析（1）：第1人有26C 种，第2人有24C 种，第3人有2
2C 种，根据分步乘法
原理得分法数222426C C C N ⋅⋅= 从书的角度：先把书平均分成3堆，再把书进行排队，把书平均分成3堆的方法数可用列举法，但数字大时要找好方法。
现设把6本书平均分成3堆得方法数为x ，把3堆书排队的方
法数为33A 。
根据算两次得到结果一致得：22242633C C C A x ⋅⋅=⋅
33
222426A C C C x ⋅⋅= “平均分组”对学生来说是难点。
练习1：现有9本不同的书，求下列情况下各有多少种不同的分法？
（1）分成3组，一组4本，一组3本，一组2本（1260）
（2）分给3个人，一人4本，一人3本，一人2本（7560）
（3）平均分成3组（280）
练习2:4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内（1）恰有1个盒子不放球，共有几种方法？114
（2）恰有一个盒子放2球，共有几种方法？114
（3）
（5）恰有2个盒子不放球，共有几种方法？84。