关于流体力学符号表示

z
az
k
（13）
a y a x a a a z a y )i ( x z ) j ( )k y z z x x y
rota
在矢量数学中，已证明式（25）是矢量 a 的旋度。 （三）拉普拉斯（Laplace）算符 在流体力学中经常会遇到拉普拉斯算符，其定义
（12）
a 表示矢量 a 的散度。
③ 矢量函数的旋度 与矢量函数 a( x, y, z) 叉积，根据这两个矢量叉积的法则可得
a (i i
ຫໍສະໝຸດ Baidu
j k ) (a x i a y j a z k ) x y z y
ay j
x
ax (
如果两个矢量 a 和 b 互相垂直，其点积为零，即
ab 0
（2）
2. 矢量的叉积 设有两个矢量 a ax , ay , az 和 b bx , by , bz ，其夹角为 ，其叉积 为矢量，可以表示为
a b (ab sin )c i ax bx j ay by k az bz
u i u1 u 2 u 3 xi x1 x2 x3
aii a11 a22 a33
（16） （17）
（4）在方程的同一项中，如果两个下标不相同，表示 9 个独立 的分量。如
ui 表示 9 个独立的分量 x j
u1 x1 u 2 x1 u 3 x1
x
, y , x y
z
z
（7）
（2）把 看成一个微分算符，对紧随其后的标量或矢量有微分 作用，但对位于前面的标量或矢量没有微分作用。
a ax
ay az x y z
（8） （9）
(a )a a x
a a a ay az x y z
2
2 2 2 x 2 y 2 z 2
（14）
对某一标量函数作梯度运算后再作散度运算，可得
F (
2 2 2 2 2 )F 2 F 2 x y z
（15）
（四）流动方程表达式中的张量记法 （1） 以 x1 , x2 , x3 表示 x, y, z 三个坐标， 合并起来可用 xi (i 1,2,3) 表示。 （2）所有的运动量均以下标表示运动要素的分量。 如 ui (i 1, 2,3) 代表 u x , u y , u z ，下标有时也用 j 或 k 表明，如不特别 指明，下标均代表三个分量。 （3） 在方程的同一项中，如果有一个下标符号重复出现，表示 这个下标符号分别为 1,2,3 时的各项之和。如
ab 0
（4）
3. 矢量的混合积
ax a (b c ) b x cx
ay by cy
az bz cz
（5）
矢量的混合积是一个标量。 （二）哈密顿算符 在矢量场的计算分析中，经常要用到一个矢量微分算符：
i
j k x y z
（6）
这个算符被称为哈密顿算符，也称为矢量微分算符。对于哈密顿 算符应有以下几点理解： （1）把 看成一个矢量，在笛卡儿坐标系中的三个坐标分量为
F (i
j k )F x y z F F F i j k gradF x y z
（11）
F 是标量函数 F 的梯度。
② 矢量函数的散度 与矢量函数 a( x, y, z) 点积，根据矢量点积法则可得
a (i
j k ) (a x i a y j a z k ) x y z a a y a z ( x ) diva x y z
u1 x 2 u 2 x 2 u 3 x 2
u1 x 3 u 2 x 3 u 3 x 3
（18）
流体运动学预备知识 一、预备知识 （一）矢量的点积和叉积 1. 矢量的点积 设有两个矢量 a a x , a y , a z 和 b bx ,by ,bz ，其夹角为 ，这两个矢 量的点积为标量，可以表示为
a b ab cos axbx ayby azbz
（1）
（3）
(a y bx a x b y )i (a z bx a x bz ) j (a x b y a y bx )k
式中： i ， j ， k ——沿 x, y, z 坐标方向的单位矢量；
c ——垂直于 a 和 b 两个矢量的单位矢，用右手螺旋法
可确定 c 的作用方向。 如果两个矢量 a 和 b 互相平行，其叉积为零，
(ab) ab c a c b b c a (a c )b b( a) (a )b
（10）
（3） 只是个算符，其本身并没有实际的物理意义，只有当和 具体的标量或矢量相结合时才有明确的物理意义。 ① 标量函数的梯度
作用于标量函数 F ( x, y, z ) ，便有