2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：与圆有关的最值问题含解析

与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -.2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径.3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.四、题型分析(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)． 【例1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ． C ．D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】,且0AB k ≠.设直线的倾斜角为α,当01AB k <≤时,则,所以倾斜角α的范围为04πα≤≤.当时,则,所以倾斜角α的范围为34παπ≤<. 【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围． 【小试牛刀】若过点的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得0k =或k =故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.【例2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 ． 答案:解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题. 【例3】若圆C ：关于直线对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】C【解析】圆C ：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2．圆C ：关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3．点（a,b ）与圆心的距离,,所以点（a,b ）向圆C 所作切线长：当且仅当b=-1时弦长最小,为4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(6π-D.54π 【答案】A 【解析】设直线l ：.因为,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为,圆C 面积的最小值为选A.【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C 与直线总有公共点,则圆C的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,,即,即214a b =,∴圆心为21(,)4b b ,2114r b =+,圆心到直线的距离为,∴或2b ≥,当2b =时,,∴.【小试牛刀】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断】已知O 为坐标原点，直线．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．【答案】C 【解析】由圆的方程可知圆心坐标，半径为2，又由直线，可知，即点D 为OC 的中点， 所以,设，又由，所以，又由当，此时直线，使得的最小角为，即当时，此时的最大值为2，故选C 。

(二) 与圆相关的最值问题的常用的处理方法 2.1 数形结合法处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解. 【例6】已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0,求：(1)yx 的最大值和最小值；(2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．【分析】(1)利用斜率模型；(2)利用截距模型；(3)利用距离模型【解析】原方程变形为(x －2)2＋y 2＝3,表示以(2,0)为圆心,半径r ＝3的圆．(1)设yx ＝k ,即y ＝kx ,由题知,直线y ＝kx 与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径 3.∴|2k －0|k 2＋1≤ 3.∴k 2≤3,即－3≤k ≤3,∴yx 的最大值为3,最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ,则当直线y －x ＝b 与圆相切时,b 取最值,由|2－0＋b |2＝3,得b ＝－2±6, ∴y －x 的最大值为6－2,最小值为－2－ 6. (3)令d ＝x 2＋y 2表示原点与点(x ,y )的距离,∵原点与圆心(2,0)的距离为2,∴d max ＝2＋3,d min ＝2－ 3.∴x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43,最小值为(2－3)2＝7－4 3.【点评】研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 【小试牛刀】已知直线和曲线,点A 在直线l 上,若直线AC 与曲线M 至少有一个公共点C ,且,则点A 的横坐标的取值范围是（ ）A ．()0,5B ．[]1,5C ．[]1,3D ．(]0,3 【答案】B【解析】设,依题意有圆心到直线的距离,即,解得[]01,5x ∈.2.2 建立函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解.【例7】设Q P ,分别为和椭圆11022=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是（ ）A.25B.246+C.27+D.26 【答案】D【解析】依题意Q P ,两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上;.设(,)Q x y .圆心到椭圆的最大距离.所以Q P ,两点间的最大距离是26.故选D. 2.3 利用基本不等式求解最值如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如a b ⋅或者a b +的表达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证. 【例8】 设m R ∈,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线交于点(,)P x y ,则||||PA PB ⋅的最大值是 . 【分析】根据,可用均值不等式求最值【解析】易得.设(,)P x y ,则消去m 得：,所以点P 在以AB 为直径的圆上,PA PB ⊥,所以,.【小试牛刀】设,m n R ∈,若直线与圆相切,则m n +的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,即,化简得,=+,则,解得由基本不等式得,令t m n.四、迁移运用1．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】已知半圆：，、分别为半圆与轴的左、右交点，直线过点且与轴垂直，点在直线上，纵坐标为，若在半圆上存在点使，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|，由于BP与x轴垂直，且∠BPQ，则在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值，t＝0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为[，0）]；故选：A．2．【河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断】已知点为圆上一点，,则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取AB中点D(2,-3), ,,d+r=的最大值为，故选C.3．【河北省唐山市2018-2019学年高三上学期期末】已知点在圆上，，，为中点，则的最大值为( )A． B． C． D．【答案】B【解析】设点M的坐标为，则，将点P的坐标代入圆的方程可得点M的轨迹方程为，如图所示，当与圆相切时，取得最大值，此时.本题选择B选项.4．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟】已知点是抛物线上的动点，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为，则该圆被轴截得的弦长的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆心，而，圆的方程为：，当时，得.故选D.5．【山东省滨州市2019届高三期末】直线被圆所截得的最短弦长等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆的方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，圆心C（2，2），半径为．直线y﹣3＝k（x﹣1），∴此直线恒过定点（1，3），当圆被直线截得的弦最短时，圆心C（2，2）与定点P（1，3）的连线垂直于弦，弦心距为：．∴所截得的最短弦长：2．故选：C．6．【湖南省长沙市2019届高三上学期第三次调研】已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.7.【江西省南昌市2019届高三第一次模拟】．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设P（），则Q（2，2），当≠0时，k AP，k PM，直线PM：y﹣（x﹣），①直线QB：y﹣0（x），②联立①②消去y得x，∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，当＝0时，易求得|x|＝1，故选：A．8．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟】已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线为切点，当的最大值为时，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】结合题意，绘制图像，可知当取到最大值的时候，则也取到最大值，而，当PC取到最小值的时候，取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故，故，解得，故选D。