高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法

高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法

数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。

而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。

常用数学思想方法有：

1、数形结合的思想方法

2、分类讨论的思想方法

3、函数与方程的思想方法

4、转化（化归）的思想方法

5、分类讨论的思想方法

6、整体的思想方法。

更多数学思维方法，请参阅《高中数学_快速解题的六种数学思维方法》。

一、数形结合的数学思想方法

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

1、导读：

2、相关内容：

3、再现性题组：

1.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ

2

－sin

θ

2

＝1-sinθ,那么

θ

2

是_____。

A.第一象限角

B.第三象限角

C.可能第一象限角，也可能第三象限角

D.第二象限角

2.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么y

x

的最大值是_____。

A. 1

2

B.

3

3

C.

3

2

D. 3

4、巩固性题组：

1.已知5x＋12y＝60，则x y

22

+的最小值是_____。

A. 60

13 B. 13

5

C. 13

12

D. 1

2.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。

A. 1

B. 2

C. 3

D.以上都不对

3.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。

二、分类讨论的数学思想方法

①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

Ⅰ、再现性题组：

1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A B，那么a

的范围是_____。

A. 0≤a≤1

B. a≤1

C. a<1

D. 0

7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

A. 3x－2y＝0

B. x＋y－5＝0

C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0

D.

不能确定

三、函数与方程的数学思想方法

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

Ⅰ、再现性题组：

1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。

A. (0,1)

B. (1,2)

C. (2,3)

D. (3,+∞)

5.已知等差数列的前n项和为S

n ，且S p＝S

q

(p≠q，p、q∈N)，则S

p q

＝

_________。

6.关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。

四、等价转化的数学思想方法

著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

Ⅰ、再现性题组：

3. 若m、n、p、q∈R且m2＋n2＝a，p2＋q2＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是______。

A. a b

+

2

B. ab

C.

a b

22

2

+

D.

ab

a b

+

Ⅱ、示范性题组：

例1. 若x、y、z∈R+且x＋y＋z＝1，求(1

x

－1)(

1

y

－1)(

1

z

－1)的最小值。

五、分类讨论的数学思想方法

六．整体的数学思想方法