数学物理方法题库

5
24, 计算 e
i 2 z
，e
z2
及 Re(e ) 。
1 z
6
第三章
习题 1, 计算积分 2, 计算积分
哥西定理 哥西积分

1 t
0
i
( x y ix 2 )dz ，积分路径是直线段。 z dz ，其中的积分路径是：(1)直线；(2)右半单位圆周；(3)左半单位圆周。
i
3, 按定义直接计算 zdz ，其中积分路径 C 的起点为 ，终点为 。
z1 z ) 1 z2 z2
（ z 2 0 ）。
z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ) 2 Re( z1 z2 ) 。
（5） ， Re z z ， Im z z 。 （7） ， ( z1 z2 ) z1 z2
2 2
（6） ， z1 z 2 z1 z 2 2 z1 z 2 。
2 2 2
(2) cos z cos xchy i sin xshy 。 (4) cos z cos x sh y 。
2 2 2
15, 证明 sin z 与 cos z 是以 2 为周期的函数，而 e ， shz ， chz 是以 2i 为周期的函数。
x
16, 证明 w 3 z 的三个单值分支在割破的 z 平面上的任一区域上都是解析的。 17, 设 w 3 z 确定在沿负实轴割破了的 z 平面上，并且 w(i ) i ，求 w(i ) 。 18, 试解方程 (1) e 1 i 3 。
7
（2） ，
5i 1 2i 。 2i
（4） ，
(1 3i ) 10 211 (1 3i ) 。
7，试解方程 z a 0
4 4
(a 0) 。
1
8，证明： （1） ， Re( z1 z2 ) Re( z1 ) Re( z2 ) ；一般 Re( z1 z2 ) Re( z1 ) Re( z2 ) 。 （2） ， Im( z1 z2 ) Im( z1 ) Im( z2 ) ；一般 Im( z1 z2 ) Im( z1 ) Im( z2 ) 。 （3） ， z1 z 2 z1 z 2 ；一般 z1 z 2 z1 z 2 。 9，证明： （1） ， z1 z 2 z1 z 2 。 （ 3 ）， ( （2） ， z1 z 2 z1 z 2 。 （ 4 ），
5, 不用计算，证明下列积分之值均为 0，其中 C 均为单位圆周。
dz 。 （1） C cos z
6, 计算
（2）

z
C
dz 。 2 z 2z 2
,
（3）

C
ez 。 z 2 5z 6

z 1
dz , z

dz , z 1 z

dz
z 1

z 1
dz 。 z
7, 由积分
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z 4 dz ，其中积分路径 C 为： 9, 计算 C z2 1 1 1 ， z 1 ； （3） ， z 2。 （1） ， z 1 ； （2） 2 2
10, 设 f z


C
3 7 1 d ，其中积分路径 C 为圆周 x 2 y 2 3 ，求 f '(1 i ) 。 z
其中 A ， C 为实数， 为复数，且
2
AC 。
15，试证 arg z arg z 在负实轴上(包括原点)不连续。 提示：考察 z 沿上、下半平面而趋于负实轴上的点的极限。 16 ， 一 个 复 数 列 zn xn iyn (n 1, 2,) 以 z0 x0 iy0 为 极 限 的 充 要 条 件 为 实 数 列
2 2
11, 证明 f ( z ) 与 f ( z ) 必同时为解析函数或不是解析函数。 12, 设 w 是 z 的解析函数，证明 13, 定义 shz
x y x y ， ， ( w u iv, z x iy ) 。 u v v u
e z e z e z e z 和 chz 分别为双曲正弦函数及双曲余弦函数，试证 2 2
u 1 v v 1 u ， (r 0) ， r r r r 1 u v 证明 f ( z ) 在 z 点是可微的，并且 f '( z ) i ( i )。 e r r
8, 由下列条件求解析函数 f ( z ) u iv 。 (1) u x y xy,
4, 若函数 f ( z ) 在区域 D 上解析，并满足下列条件之一，证明 f ( z ) 必为常数。 (1) f '( z ) 0 (3)
( z D) 。
(2) f ( z ) 在 D 上解析。 (4) Re f ( z ) 在 D 上是一常数。
f ( z ) 在 D 上是一常数。
5, 试证下列函数在 z 平面上解析，并分别求出其导数。 (1) e ( x cos y y sin y ) ie ( y cos y x sin y ) 。
xn (n 1, 2,) 及 yn (n 1, 2,) 分别以 x0 及y 0 为极限。
17，证明：三角形三内角和等于 。
3
第二章
习题 1, 证明下列函数在 z 平面上处处不可导。 (1) z 。 2, 试证 (1) f ( z ) x iy 仅在原点有导数。
3 3
解析函数
'( z0 ) 0 则
lim
22, 求证 lim
z 0
f ( z ) f '( z0 ) 。 z 0 ( z ) '( z0 )
sin z 1。 z
z
23, 讨论函数 w e 将 z 平面上的带形区域 0 y 2 变成 w 平面上的什么图形。 提示：先讨论直线 y y0 (0 y0 2 ) 的象曲线。
ez dz C : z 1 ，进而证明 11, 求积分 C z
12, 设 F z


0
ecos cos(sin )d 。
2
z6 ，证明 z2 4
F ( z )dz 当 C 是 圆 x
c
y2 1 时 等 于 0 ， 当 C 是 圆
( x 2) 2 y 2 1 时等于 4i ，当 C 是圆 x 2 y 2 1 时等于 2i 。
i 1 3 1 且 z i 。 2 2 2 2
（ 10 ） ， z 2且
2
0 arg z

4
。
13，证明复平面上的直线方程可以写成 z z c ( 0 是复常数， c 是实常数)。 14，证明复平面上圆周可以写成
Az z z z C 0 。
C

4, 利用积分估值，证明 （1） （2）

i
i
i
( x 2 iy 2 )dz 2 ，积分路径是连接 i 到 i 直线段。 ( x 2 iy 2 )dz ，积分路径是从 i 到 i 的右半圆周。

i
（3）证明

2i
i
dz 2 ，积分路径是连接 i 到 2 i 直线段。 z2
(2) x y 。
(3) Re z 。
(4) 1 / z 。
(2) f ( z ) z 仅在原点有导数。
2
x 2 y 2 i( x3 y 3 ) , 3, 设 f ( z ) x2 y 2 0
微。
z0 z0
， 证明 f ( z ) 在原点满足 C R 条件， 但不可
及
z1 z 2 z 3 1 ，
试证明 z1 ， z 2 ， z 3 是一个内接于单位圆 z 1 的正三角形的顶点。 12，下列关系表示的 z 点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？ （1） ， z z1 z z2 （3） ，
( z1 z2 ) 。
（2） ， z z4 。
C
1 2 cos dz 之值，证明 d 0 ，其中 C 为单位圆周 z 1 。 0 5 4 cos z2
2z 2 z 1 8, 计算 （1） dz (C : Z 2) 。 C z 1 sin
2z2 z 1 （2） dz ( C : z 2 )。 C ( z 1) 2
2 2
f (i ) 1 i 。
(2) u 3 x y y ,
2 3
f (i ) 1 。
(3)
u 2( x 1) y , f (2) i 。
2
9, 证明 xy 不能成为 z 的一个解析函数的实部。
4
10, 2 xy i ( x y ) 是否为 z 的一个解析函数？
1 2i 2 i 。 3 4i 5i
（2） ，(
1 i 3 n ) , n 2,3,4 。 2
（4） ， ( 3 i) 。
3
（3） ， 1 i 。
（5） ，
1 i 3 。 2 1 i 2
， z2
3，设 z1 4，若 z
3 i ，试用三角形表示 z1 z 2 及
数学物理方法习题集
第一章 复数与复变函数
习题 1，计算： （1） ， ( 2 1) i (1 i 2) 。 （2） ，
1 2i 2 i 。 3 4i 5i
4
（3） ，
5 。 (1 i )(2 i )(3 i )
（4） ， (1 i ) 。
（5） ， a bi 。 2，求下列复数的实部 u 与虚部 v ，模 r 与幅角 ： （1） ，
z 1 1。 z 1
（4） ，
0 arg( z 1)

4
且 2 Re z 3 。 （6） ， y1 Im z y 2 。 （8） ，z
（5） ， z 1 且 Im z 0 。 （7） ，z 2 且 z 3 1 。 （9） ， Im z 1 且 z 2 。
z
(2) ln z
i
i 。 2
19, 设 z re ， z 1 e 试证
i
1 Re[ln( z 1)] ln(1 r 2 2r cos ) 。 2
20, 计算 (1 i ) ， 3 ， i ， e
i
i
i
2i
及 Ln(1 i ) 。
21, 如果函数 f ( z ) 和 ( z ) 在 z 0 解析， f ( z0 ) ( z0 ) 0 ，
(2) ch z sh z 1 。
2 2
(1) sin(iz ) ishz , cos iz chz 。
(3) ch( z1 z2 ) chz1chz2 shz1shz2 。 14, 若 z x iy , 试证 (1) sin z sin xchy i cos xshy 。 (3) sin z sin x sh y 。
2 2 （8） ，若 z ( z ) ，则 z 为实数或纯虚数。 ( z1 z2 ) 2 。
10，证明 z1 z2 z1 z2 提示：利用公式 z
2
2
2
2( z1 z2 ) ，并说明其几何意义。
2
2
zz 。
11，设 z1 ， z 2 ， z 3 三点适合条件
z1 z 2 z 3 0
z1 。 z2
1 1 2 cos ，证明 z m m 2 cos m 。 Z z 5，求下列复数 z 的主幅角 arg z ： 2 1 3i
。 （2） ， z ( 3 i) 。
6
（1） ，z
6，用指数形式证明： （1） ， i (1 i 3)( 3 i ) 2 2 3i 。 （3） ， (1 i ) 8(1 i ) 。
x x
(2) cos xchy i sin xshy 。 6, 试证下列函数，在复平面不解析。 (1) z 。
2
(3) sin xchy i cos xshy 。
(2) e 。
z
(3) sin z 。
i
(4) cos z 。
7, 设 f ( z ) u ( r , ) iv(r , ) , z re , 若 u (r , ) 及 v(r , ) 在 (r , ) 点是可微的，并满足 条件