等可能事件与抛掷硬币试验
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至此，对于本讲之初给出的那道选择题，我们可以确定无误地填上答案——A。
我们还知道，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果，仅仅是对抛掷硬币时硬币正、反面朝上等可能性的佐证。因为这种等可能性事实上无法证明，所以这个佐证就弥足珍贵，以至于几乎所有概率论教科书都无一例外地列出这些著名试验者的姓名和他们试验的结果。但无论多么重要，佐证只是佐证，不能把它与证明混淆，更不能把它与等可能事件定义混淆。
为什么抛掷硬币次数足够多时，硬币正、反面朝上次数十分接近？
（1）抛掷2次硬币，出现1正1反的概率是多大呢？
第一种方法是运用树图求解，这是教科书中给出的方法：
第二次正
第一次正
第二次反
第二次正
第一次反
第二次反
观察发现：
共有4种可能的情形；
在所有4种可能的情形中，1正ห้องสมุดไป่ตู้反的情形出现2次；
因此1正1反的概率是 。
。这个概率就相当大了。
（4）用杨辉三角形来解释：
事实上， ，而 是 的中间项，由牛顿二项式展开公式或杨辉三角形得到：
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第一次反
第四次正
第三次正
第四次反
第二次反
第四次正
第三次反
第四次反
观察发现，一共有16种可能的情形，其中2正2反的情形出现了6次，因此2正2反的概率是 。
借助2进制数求解：
记硬币正面朝上为1，反面朝上为0，则可能出现的情形可记作2进制数0000，0001，0010，0011，0100，0101，0110，0111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111（即10进制数0—15），因此所有可能的情形有 种；又观察发现，满足要求的情形为0011，0101，0110，1001，1010，1100，共6种，因此所求概率为 。
下面我们就来仔细讨论这个问题。
现在假定“想当然”不错，即假定抛掷硬币时，硬币正面朝上和反面朝上是等可能的，我们运用初等代数知识，一起来考察几个事件的概率。
在此过程中，我们希望能解决以下几个问题：
计算古典概型（等可能基本事件的复合）事件概率的几种方法；
为什么抛掷硬币试验难以获得硬币正、反面朝上次数相等的结果？
运用排列组合知识求解：
抛掷4次硬币，每次有2种可能的结果，根据乘法原理，所有可能的情形有 种；而2正2反的情形相当于4次抛掷硬币恰有2次正面朝上，可以是4次中的任意2次，
有 种可能；因此所求的概率为 。
试验次数增加了，正反相等的概率反而减小了！
（3）抛掷硬币的次数继续增加，情况将如何？
从此前的工作看，运用树图或借助2进制数求解其实费力又费时，特别是主要依靠观察才能确定硬币正反相等的次数。所以此后我们将只用排列组合方法来求解。
现在有三个选择项：
A．是由硬币（骰子也一样）几何形状的对称性和物理质地的均匀性想当然地得到的；
B．是布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果（虽然没有他们抛掷骰子的记载）；
C．是利用概率论公式，通过计算得到的。
你将作何选择？
2．考古的与历史的证据——答案初现
人类很早以前就已经发现抛掷骰子时各面朝上的等可能性，并利用这种等可能性做各种游戏：我国山东青州出土的战国时代（公元前475年至前221年）齐墓中就发现陪葬的骰子。又据文献记载，古罗马（公元前27年至公元446年）人已利用骰子进行占卜和赌博。
有 种可能；
因此所求的概率为 。
（2）问题的难度逐渐增加，抛掷4次硬币，2正2反的概率是多大呢？
运用树图。现在的树图已显庞大：
第四次正
第三次正
第四次反
第二次正
第四次正
第三次反
第四次反
第一次正
第四次正
第三次正
第四次反
第二次反
第四次正
第三次反
第四次反
第四次正
第三次正
第四次反
第二次正
第四次正
第三次反
第四次反
偶数行中间若干项之和与各项和的比即“硬币正、反面朝上次数接近”的概率（对接近程度的要求决定项数）例如，在我们所呈现的最后一行，中间3项之和
2524与全部13项之和4112之比 就是抛掷12次硬币，6正6反或者7正5反或者5正7反的概率。
可以证明，“硬币正、反面朝上次数接近”的概率随 的增大而增大。
5．最终的结论：
生卒年代可以考证：布丰（1707—1788），德．摩根（1803—1871），皮尔逊（1857—1936），费勒（1906—1970）。
从时间先后不难发现：人类先有对等可能性的认识，在此基础上建立了古典概率理论，然后才有抛掷硬币的试验。
3．逻辑——至少应有一个“先验的”概率
不妨从逻辑角度再作一次推演。大数思想表明：“当随机试验次数达到大数次时，事件的频率逐渐稳定于它的概率。”因此，至少有一个随机事件的概率是未经试验而预先知道的，这个概率必定不是试验的结果（即用频率估计）。而这正是抛掷硬币时，硬币正、反面朝上的概率 ，以及抛掷骰子时，骰子各面朝上的概率 。
抛掷6次硬币，3正3反的概率是： ；
抛掷8次硬币，4正4反的概率是： ；
抛掷10次硬币，5正5反的概率是： ；
……；
抛掷20次硬币，10正10反的概率是： 。
计算结果显示，试验20次时，硬币正、反次数相等的概率已小于 ！
我们还发现，试验次数越多，正反次数相等的概率越小。一般地有
。
不过，抛掷20次硬币，11正9反以及9正11反的概率都是： ；12正8反以及8正12反的概率都是： 。因此，抛掷20次硬币，10正10反或者11正9反或者9正11反或者12正8反或者8正12反的概率是
4．数学事实——抛掷硬币试验的意义何在？
既然如此，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的意义又何在呢？
事实上，抛掷硬币试验的结果是对人们的“想当然”，即“抛掷一枚硬币时，硬币正、反面朝上可能性相等”的一个佐证：如果“想当然”不错，那么只要抛掷硬币次数足够多，硬币正、反面朝上的次数应十分接近。结果果然如此。既然试验结果不能否定“想当然”，我们也增强了对“想当然”的信任。
当然，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果充分体现了大数思想。大数思想是概率论的重要思想，后来又被伯努利、切比雪夫、辛钦等人定量地表达为各种形式的大数定律，据此，我们得以研究更多非等可能的事件的概率。
而概率论的产生，始于1654年法国数学家帕斯卡（1623—1662）和费尔马（1601—1665）
在来往书信中讨论的关于抛掷骰子游戏的数学问题。此后经许多数学家的大量工作，概率论的内容逐渐充实，到1812年法国数学家拉普拉斯的著作《概率分析理论》问世，所谓古典概率的理论结构已经完成。
至于抛掷硬币试验，重要的抛掷硬币试验的年代无法考证，但著名的抛掷硬币试验者的
第八讲等可能事件与抛掷硬币试验
1．知道，但何以知道？
我们知道，如果随意抛掷一枚硬币，则硬币正面朝上和反面朝上的可能性相等。因此我们说，抛掷硬币时，硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件。我们又知道，如果随意抛掷一枚骰子，则骰子六个面朝上的可能性相等，因此我们说，抛掷骰子时，骰子的六个面朝上是等可能事件。但我们想过没有，人们是何以知道这些结论的呢？
又可以借助2进制数求解：
记硬币正面朝上为1，反面朝上为0。
则所有可能出现的情形可记作2进制数00、01、10、11（即10进制数的0—3），因此所有可能的情形有 种；
又观察发现，满足要求的情形为01和10，共2种；
因此所求的概率为 。
还可以运用排列组合方法求解，这就需要一点组合数学知识：
抛掷2次硬币，每次有2种可能的结果，根据乘法原理，所有可能的情形有 种；又1正1反的情形相当于2次抛掷硬币恰有1次正面朝上，可以是2次中的任意1次，
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 256 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 466 466 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 796 932 796 495 220 66 12 1
…………。
其中偶数行就是 的各项，其中间项与各项和的比即“硬币正、反面朝上次数相等”的概率，这个概率随 的增大而减小；
我们还知道，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果，仅仅是对抛掷硬币时硬币正、反面朝上等可能性的佐证。因为这种等可能性事实上无法证明，所以这个佐证就弥足珍贵，以至于几乎所有概率论教科书都无一例外地列出这些著名试验者的姓名和他们试验的结果。但无论多么重要，佐证只是佐证，不能把它与证明混淆，更不能把它与等可能事件定义混淆。
为什么抛掷硬币次数足够多时，硬币正、反面朝上次数十分接近？
（1）抛掷2次硬币，出现1正1反的概率是多大呢？
第一种方法是运用树图求解，这是教科书中给出的方法：
第二次正
第一次正
第二次反
第二次正
第一次反
第二次反
观察发现：
共有4种可能的情形；
在所有4种可能的情形中，1正ห้องสมุดไป่ตู้反的情形出现2次；
因此1正1反的概率是 。
。这个概率就相当大了。
（4）用杨辉三角形来解释：
事实上， ，而 是 的中间项，由牛顿二项式展开公式或杨辉三角形得到：
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第一次反
第四次正
第三次正
第四次反
第二次反
第四次正
第三次反
第四次反
观察发现，一共有16种可能的情形，其中2正2反的情形出现了6次，因此2正2反的概率是 。
借助2进制数求解：
记硬币正面朝上为1，反面朝上为0，则可能出现的情形可记作2进制数0000，0001，0010，0011，0100，0101，0110，0111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111（即10进制数0—15），因此所有可能的情形有 种；又观察发现，满足要求的情形为0011，0101，0110，1001，1010，1100，共6种，因此所求概率为 。
下面我们就来仔细讨论这个问题。
现在假定“想当然”不错，即假定抛掷硬币时，硬币正面朝上和反面朝上是等可能的，我们运用初等代数知识，一起来考察几个事件的概率。
在此过程中，我们希望能解决以下几个问题：
计算古典概型（等可能基本事件的复合）事件概率的几种方法；
为什么抛掷硬币试验难以获得硬币正、反面朝上次数相等的结果？
运用排列组合知识求解：
抛掷4次硬币，每次有2种可能的结果，根据乘法原理，所有可能的情形有 种；而2正2反的情形相当于4次抛掷硬币恰有2次正面朝上，可以是4次中的任意2次，
有 种可能；因此所求的概率为 。
试验次数增加了，正反相等的概率反而减小了！
（3）抛掷硬币的次数继续增加，情况将如何？
从此前的工作看，运用树图或借助2进制数求解其实费力又费时，特别是主要依靠观察才能确定硬币正反相等的次数。所以此后我们将只用排列组合方法来求解。
现在有三个选择项：
A．是由硬币（骰子也一样）几何形状的对称性和物理质地的均匀性想当然地得到的；
B．是布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果（虽然没有他们抛掷骰子的记载）；
C．是利用概率论公式，通过计算得到的。
你将作何选择？
2．考古的与历史的证据——答案初现
人类很早以前就已经发现抛掷骰子时各面朝上的等可能性，并利用这种等可能性做各种游戏：我国山东青州出土的战国时代（公元前475年至前221年）齐墓中就发现陪葬的骰子。又据文献记载，古罗马（公元前27年至公元446年）人已利用骰子进行占卜和赌博。
有 种可能；
因此所求的概率为 。
（2）问题的难度逐渐增加，抛掷4次硬币，2正2反的概率是多大呢？
运用树图。现在的树图已显庞大：
第四次正
第三次正
第四次反
第二次正
第四次正
第三次反
第四次反
第一次正
第四次正
第三次正
第四次反
第二次反
第四次正
第三次反
第四次反
第四次正
第三次正
第四次反
第二次正
第四次正
第三次反
第四次反
偶数行中间若干项之和与各项和的比即“硬币正、反面朝上次数接近”的概率（对接近程度的要求决定项数）例如，在我们所呈现的最后一行，中间3项之和
2524与全部13项之和4112之比 就是抛掷12次硬币，6正6反或者7正5反或者5正7反的概率。
可以证明，“硬币正、反面朝上次数接近”的概率随 的增大而增大。
5．最终的结论：
生卒年代可以考证：布丰（1707—1788），德．摩根（1803—1871），皮尔逊（1857—1936），费勒（1906—1970）。
从时间先后不难发现：人类先有对等可能性的认识，在此基础上建立了古典概率理论，然后才有抛掷硬币的试验。
3．逻辑——至少应有一个“先验的”概率
不妨从逻辑角度再作一次推演。大数思想表明：“当随机试验次数达到大数次时，事件的频率逐渐稳定于它的概率。”因此，至少有一个随机事件的概率是未经试验而预先知道的，这个概率必定不是试验的结果（即用频率估计）。而这正是抛掷硬币时，硬币正、反面朝上的概率 ，以及抛掷骰子时，骰子各面朝上的概率 。
抛掷6次硬币，3正3反的概率是： ；
抛掷8次硬币，4正4反的概率是： ；
抛掷10次硬币，5正5反的概率是： ；
……；
抛掷20次硬币，10正10反的概率是： 。
计算结果显示，试验20次时，硬币正、反次数相等的概率已小于 ！
我们还发现，试验次数越多，正反次数相等的概率越小。一般地有
。
不过，抛掷20次硬币，11正9反以及9正11反的概率都是： ；12正8反以及8正12反的概率都是： 。因此，抛掷20次硬币，10正10反或者11正9反或者9正11反或者12正8反或者8正12反的概率是
4．数学事实——抛掷硬币试验的意义何在？
既然如此，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的意义又何在呢？
事实上，抛掷硬币试验的结果是对人们的“想当然”，即“抛掷一枚硬币时，硬币正、反面朝上可能性相等”的一个佐证：如果“想当然”不错，那么只要抛掷硬币次数足够多，硬币正、反面朝上的次数应十分接近。结果果然如此。既然试验结果不能否定“想当然”，我们也增强了对“想当然”的信任。
当然，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果充分体现了大数思想。大数思想是概率论的重要思想，后来又被伯努利、切比雪夫、辛钦等人定量地表达为各种形式的大数定律，据此，我们得以研究更多非等可能的事件的概率。
而概率论的产生，始于1654年法国数学家帕斯卡（1623—1662）和费尔马（1601—1665）
在来往书信中讨论的关于抛掷骰子游戏的数学问题。此后经许多数学家的大量工作，概率论的内容逐渐充实，到1812年法国数学家拉普拉斯的著作《概率分析理论》问世，所谓古典概率的理论结构已经完成。
至于抛掷硬币试验，重要的抛掷硬币试验的年代无法考证，但著名的抛掷硬币试验者的
第八讲等可能事件与抛掷硬币试验
1．知道，但何以知道？
我们知道，如果随意抛掷一枚硬币，则硬币正面朝上和反面朝上的可能性相等。因此我们说，抛掷硬币时，硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件。我们又知道，如果随意抛掷一枚骰子，则骰子六个面朝上的可能性相等，因此我们说，抛掷骰子时，骰子的六个面朝上是等可能事件。但我们想过没有，人们是何以知道这些结论的呢？
又可以借助2进制数求解：
记硬币正面朝上为1，反面朝上为0。
则所有可能出现的情形可记作2进制数00、01、10、11（即10进制数的0—3），因此所有可能的情形有 种；
又观察发现，满足要求的情形为01和10，共2种；
因此所求的概率为 。
还可以运用排列组合方法求解，这就需要一点组合数学知识：
抛掷2次硬币，每次有2种可能的结果，根据乘法原理，所有可能的情形有 种；又1正1反的情形相当于2次抛掷硬币恰有1次正面朝上，可以是2次中的任意1次，
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 256 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 466 466 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 796 932 796 495 220 66 12 1
…………。
其中偶数行就是 的各项，其中间项与各项和的比即“硬币正、反面朝上次数相等”的概率，这个概率随 的增大而减小；