等可能事件与抛掷硬币试验
第八讲等可能事件与抛掷硬币试验
1．知道，但何以知道？
我们知道，如果随意抛掷一枚硬币，则硬币正面朝上和反面朝上的可能性相等。因此我们说，抛掷硬币时，硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件。我们又知道，如果随意抛掷一枚骰子，则骰子六个面朝上的可能性相等，因此我们说，抛掷骰子时，骰子的六个面朝上是等可能事件。但我们想过没有，人们是何以知道这些结论的呢？
现在有三个选择项：
A．是由硬币（骰子也一样）几何形状的对称性和物理质地的均匀性想当然地得到的；
B．是布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果（虽然没有他们抛掷骰子的记载）；
C．是利用概率论公式，通过计算得到的。
你将作何选择？
2．考古的与历史的证据——答案初现
人类很早以前就已经发现抛掷骰子时各面朝上的等可能性，并利用这种等可能性做各种游戏：我国山东青州出土的战国时代（公元前475年至前221年）齐墓中就发现陪葬的骰子。又据文献记载，古罗马（公元前27年至公元446年）人已利用骰子进行占卜和赌博。
而概率论的产生，始于1654年法国数学家帕斯卡（1623—1662）和费尔马（1601—1665）在来往书信中讨论的关于抛掷骰子游戏的数学问题。此后经许多数学家的大量工作，概率论的内容逐渐充实，到1812年法国数学家拉普拉斯的著作《概率分析理论》问世，所谓古典概率的理论结构已经完成。
至于抛掷硬币试验，重要的抛掷硬币试验的年代无法考证，但著名的抛掷硬币试验者的生卒年代可以考证：布丰（1707—1788），德．摩根（1803—1871），皮尔逊（1857—1936），费勒（1906—1970）。
从时间先后不难发现：人类先有对等可能性的认识，在此基础上建立了古典概率理论，然后才有抛掷硬币的试验。
3．逻辑——至少应有一个“先验的”概率
不妨从逻辑角度再作一次推演。大数思想表明：“当随机试验次数达到大数次时，事件的频率逐渐稳定于它的概率。”因此，至少有一个随机事件的概率是未经试验而预先知道的，这个概率必定不是试验的结果（即用频率估计）。而这正是抛掷硬币时，硬币正、反面朝上
的概率5.0，以及抛掷骰子时，骰子各面朝上的概率
6
1。 4．数学事实——抛掷硬币试验的意义何在？ 既然如此，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的意义又何在呢？
事实上，抛掷硬币试验的结果是对人们的“想当然”，即“抛掷一枚硬币时，硬币正、反面朝上可能性相等”的一个佐证：如果“想当然”不错，那么只要抛掷硬币次数足够多，硬币正、反面朝上的次数应十分接近。结果果然如此。既然试验结果不能否定“想当然”，我们也增强了对“想当然”的信任。
下面我们就来仔细讨论这个问题。
现在假定“想当然”不错，即假定抛掷硬币时，硬币正面朝上和反面朝上是等可能的，我们运用初等代数知识，一起来考察几个事件的概率。
在此过程中，我们希望能解决以下几个问题：
计算古典概型（等可能基本事件的复合）事件概率的几种方法；
为什么抛掷硬币试验难以获得硬币正、反面朝上次数相等的结果？
为什么抛掷硬币次数足够多时，硬币正、反面朝上次数十分接近？
（1）抛掷2次硬币，出现1正1反的概率是多大呢？
第一种方法是运用树图求解，这是教科书中给出的方法：
第二次正
第一次正
第二次反
第二次正
第一次反
第二次反
观察发现：
共有4种可能的情形；
在所有4种可能的情形中，1正1反的情形出现2次；
因此1正1反的概率是2
142 。 又可以借助2进制数求解：
记硬币正面朝上为1，反面朝上为0。
则所有可能出现的情形可记作2进制数00、01、10、11（即10进制数的0—3），因此
所有可能的情形有422=种；
又观察发现，满足要求的情形为01和10，共2种； 因此所求的概率为2
142=。 还可以运用排列组合方法求解，这就需要一点组合数学知识：
抛掷2次硬币，每次有2种可能的结果，根据乘法原理，所有可能的情形有422=种；又1正1反的情形相当于2次抛掷硬币恰有1次正面朝上，可以是2次中的任意1次， 有1
2C 种可能； 因此所求的概率为212212=C 。 （2）问题的难度逐渐增加，抛掷4次硬币，2正2反的概率是多大呢？
运用树图。现在的树图已显庞大：
第四次正 第三次正
第四次反 第二次正
第四次正 第三次反
第四次反
第一次正
第四次正
第三次正
第四次反 第二次反
第四次正 第三次反
第四次反
第四次正 第三次正
第四次反 第二次正
第四次正 第三次反
第四次反
第一次反
第四次正
第三次正
第四次反 第二次反
第四次正 第三次反
第四次反 观察发现，一共有16种可能的情形，其中2正2反的情形出现了6次，因此2正2反的概率是8
3166=。 借助2进制数求解：
记硬币正面朝上为1，反面朝上为0，则可能出现的情形可记作2进制数0000，0001，0010，0011，0100，0101，0110，0111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111（即10进制数0—15），因此所有可能的情形有1624=种；又观察发现，满足要求的情形为0011， 0101，0110， 1001，1010， 1100，共6种，因此所求概率为
8
3166=。 运用排列组合知识求解：
抛掷4次硬币，每次有2种可能的结果，根据乘法原理，所有可能的情形有1624=种；而2正2反的情形相当于4次抛掷硬币恰有2次正面朝上，可以是4次中的任意2次，
有2
4C 种可能；因此所求的概率为832424=C 。 试验次数增加了，正反相等的概率反而减小了！
（3）抛掷硬币的次数继续增加，情况将如何？
从此前的工作看，运用树图或借助2进制数求解其实费力又费时，特别是主要依靠观察才能确定硬币正反相等的次数。所以此后我们将只用排列组合方法来求解。
抛掷6次硬币，3正3反的概率是：??? ???==83651652
636C ； 抛掷8次硬币，4正4反的概率是：??? ???==16587128352
848C ； 抛掷10次硬币，5正5反的概率是：??? ???==12835109256632
10510C ； ……；
抛掷20次硬币，10正10反的概率是：262144461892
201020=C 。 计算结果显示，试验20次时，硬币正、反次数相等的概率已小于2.0！
我们还发现，试验次数越多，正反次数相等的概率越小。一般地有
()()()
n n n n n n C n n n C 2222212221412222+++=+++n n n C 222<。 不过，抛掷20次硬币，11正9反以及9正11反的概率都是：262144419902
20920=C ；12正8反以及8正12反的概率都是：524288629852
20820=C 。因此，抛掷20次硬币，10正10反或者11正9反或者9正11反或者12正8反或者8正12反的概率是+26214446189+?262144419902 =?+524288629852%68.73262144
193154≈。这个概率就相当大了。 （4）用杨辉三角形来解释：
事实上，n 22
n 2)11(+=，而n n C 2是n 2)11(+的中间项，由牛顿二项式展开公式或杨辉
三角形得到：
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 256 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 466 466 330 165 55 11 1 1 1
2 66 220 495 796 932 796 495 220 66 12 1 …………。
其中偶数行就是n 22n 2)11(+=的各项，其中间项与各项和的比即“硬币正、反面朝上次数相等”的概率，这个概率随n 的增大而减小；
偶数行中间若干项之和与各项和的比即“硬币正、反面朝上次数接近”的概率（对接近程度的要求决定项数）例如，在我们所呈现的最后一行，中间3项之和=++796932796 2524与全部13项之和4112之比
%38.6141122524≈就是抛掷12次硬币，6正6反或者7正5反或者5正7反的概率。
可以证明，“硬币正、反面朝上次数接近”的概率随n 的增大而增大。
5．最终的结论：
至此，对于本讲之初给出的那道选择题，我们可以确定无误地填上答案——A 。
我们还知道，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果，仅仅是对抛掷硬币时硬币正、反面朝上等可能性的佐证。因为这种等可能性事实上无法证明，所以这个佐证就弥足珍贵，以至于几乎所有概率论教科书都无一例外地列出这些著名试验者的姓名和他们试验的结果。但无论多么重要，佐证只是佐证，不能把它与证明混淆，更不能把它与等可能事件定义混淆。
当然，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果充分体现了大数思想。大数思想是概率论的重要思想，后来又被伯努利、切比雪夫、辛钦等人定量地表达为各种形式的大数定律，据此，我们得以研究更多非等可能的事件的概率。
随机行为的模拟
随机行为的模拟：随机抛掷硬币和骰子出现特定面的概率 ——蒙特卡罗方法的计算机模拟 1摘要 对蒙特卡罗（Monte Carlo）方法的简介并概述了蒙特卡罗方法的概念、应用领域、求解步骤。以抛掷硬币和骰子为例，论述了蒙特卡罗方法模拟随机行为的基本思想和基本原理。给出了实现计算机模拟的MATLAB程序，并且通过最高达千万次级别的计算机模拟试验，准确地模拟了随机抛掷硬币和骰子出现特定面的概率。 2关键词 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法方法；计算机模拟；随机行为；模拟；概率；MATLAB 程序 3引言 3.1蒙特卡罗方法的概述： 蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。 3.2蒙特卡洛模拟法简介： 蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。
3.3 蒙特卡洛模拟法提出： 蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo —来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国Buffon 提出用投针实验的方法求圆周率。 3.4 蒙特卡洛模拟法的应用领域： (1)、直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。 (2)、蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。 (3)、MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广，该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。 (4)、蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。 3.5 蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤： (1)、构造或描述概率过程； (2)、实现从已知概率分布抽样； (3)、建立各种估计量。 4 问题重述 蒙特卡罗模拟的真正威力在于对随机行为建模。 从长期来看，一个事件的概率可以视为比值：事件的总数 有效的事件数概率 )(A P 下面3个随机模型： (1)、抛掷一枚正规的硬币 (2)、抛掷一个正规的骰子 (3)、抛掷一个不正规的骰子 以剖析如何用蒙特卡罗方法模拟这些随机行为，以及基于MATLAB 软件的计算机实现。
几何画板模拟抛硬币——制作步骤
几何画板模拟抛硬币——制作步骤 【设计思路】 数据处理一般包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等过程。数据处理可以帮助我们更好地了解周围世界，对未知的事物作出合理的推理和判断。抛掷硬币是典型的随机实验，通过实验活动，统计实验次数、正面朝上个数，计算总面数，计算正面朝上平均数，描述数据的分布情况，分析数据分布的特征等等，通过实验活动体验数据处理的过程。 利用几何画板的随机动画功能可以制作模拟抛硬币的动画，利用几何画板的度量、数据功能，可以对数据进行统计和计算。 【制作步骤简述】 1.制作圆和圆弧制作两个同心圆，把大圆上作两个半圆； 2.制作动画在小圆上任意取一点，制作该点的随机动画按钮“抛掷”，播放次 数设置为1次； 3.粘贴图片作通过圆心和小圆上的点的射线，作射线与大圆上两个半圆的交 点，分别把硬币正面图片、反面图片粘贴到交点。 4.复制动画选择所有对象进行复制，粘贴三次，得到抛四个硬币的动画； 5.动画合成将四个抛掷按钮分别命名为“抛掷1”、“抛掷2”、“抛掷3”、“抛 掷4”，制作它们的系列按钮“抛掷0”，设置执行顺序为同时执行方式； 6.制作计数器在水平方向的射线上M1N1上取点P1，将点P1向右平移一个单 位，得到P1′，制作点P1到P1′的平移按钮“k”，运动速度设置为高速，用来统计试验总数；在水平方向的射线上M2N2上取点P2，将点P2向右平移一个单位，得到P2′，制作点P2到P2′的平移按钮“m”，运动速度设置为高速，用来统计正面个数；制作点P1到P1′、点P2到P2′的平移按钮“归零”，运动速度设置为高速；把“抛掷0”按钮、试验总数按钮“k”合成系列按钮“抛掷”；选择点M1、N1、P1，度量比值“k”，计算4k；选择点M2、N2、P2，度量比值“m”；选择数值“4k”、“m”列表； 7.美化界面隐藏不必显示的对象，制作操作说明，美化界面.
等可能事件与抛掷硬币试验
第八讲等可能事件与抛掷硬币试验 1．知道，但何以知道？ 我们知道，如果随意抛掷一枚硬币，则硬币正面朝上和反面朝上的可能性相等。因此我们说，抛掷硬币时，硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件。我们又知道，如果随意抛掷一枚骰子，则骰子六个面朝上的可能性相等，因此我们说，抛掷骰子时，骰子的六个面朝上是等可能事件。但我们想过没有，人们是何以知道这些结论的呢？ 现在有三个选择项： A．是由硬币（骰子也一样）几何形状的对称性和物理质地的均匀性想当然地得到的； B．是布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果（虽然没有他们抛掷骰子的记载）； C．是利用概率论公式，通过计算得到的。 你将作何选择？ 2．考古的与历史的证据——答案初现 人类很早以前就已经发现抛掷骰子时各面朝上的等可能性，并利用这种等可能性做各种游戏：我国山东青州出土的战国时代（公元前475年至前221年）齐墓中就发现陪葬的骰子。又据文献记载，古罗马（公元前27年至公元446年）人已利用骰子进行占卜和赌博。 而概率论的产生，始于1654年法国数学家帕斯卡（1623—1662）和费尔马（1601—1665）在来往书信中讨论的关于抛掷骰子游戏的数学问题。此后经许多数学家的大量工作，概率论的内容逐渐充实，到1812年法国数学家拉普拉斯的著作《概率分析理论》问世，所谓古典概率的理论结构已经完成。 至于抛掷硬币试验，重要的抛掷硬币试验的年代无法考证，但著名的抛掷硬币试验者的生卒年代可以考证：布丰（1707—1788），德．摩根（1803—1871），皮尔逊（1857—1936），费勒（1906—1970）。 从时间先后不难发现：人类先有对等可能性的认识，在此基础上建立了古典概率理论，然后才有抛掷硬币的试验。 3．逻辑——至少应有一个“先验的”概率 不妨从逻辑角度再作一次推演。大数思想表明：“当随机试验次数达到大数次时，事件的频率逐渐稳定于它的概率。”因此，至少有一个随机事件的概率是未经试验而预先知道的，这个概率必定不是试验的结果（即用频率估计）。而这正是抛掷硬币时，硬币正、反面朝上
高中数学必修一《(整数值)随机数(random numbers)的产生》学案(含答案)
3.2.2(整数值)随机数(random numbers)的产生 【明目标、知重点】 1．了解随机数的意义． 2．会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率． 3．理解用模拟方法估计概率的实质． 【填要点、记疑点】 1．随机数 要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．2．伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数． 3．产生随机数的常用方法 ①用计算器产生，②用计算机产生，③抽签法． 【探要点、究所然】 [情境导学]在第一节中，为了得到某一随机事件发生的概率，我们做了大量重复试验，有的同学可能觉得这样做试验花费的时间太多了，那么，有没有其它方法可以代替试验呢？答案是肯定的，这就是我们将要学习的内容——(整数值)随机数的产生． 探究点一随机数的产生 问题通过大量重复试验，反复计算事件发生的频率，再由频率的稳定值估计概率，是十分费时的．对于实践中大量非古典概型的事件概率，又缺乏相关原理和公式求解．因此，我们设想通过计算机模拟试验解决这些矛盾. 思考1我们要产生1～25之间的随机整数，可以把25个大小形状相同的小球分别标上1,2,3，…，24,25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．这种产生随机数的方法我们称之为抽签法，除抽签法外，你还有其它办法吗(阅读教材130－131页)? 答用计算器产生．具体操作方法见教材． 思考2我们可以用0表示反面朝上，1表示正面朝上，利用计算器不断地产生0,1两个随机数，以代替抛硬币实验，说出用计算器产生0,1两个随机数的过程？ 答答案见教材． 思考3我们也可以利用计算机产生随机数，而且可以直接统计出频数和频率，请阅读教材
抛硬币试验
抛硬币试验“抛”出了什么 此题设计目的是使学生理解随机抛掷一枚硬币时“出现正面和出现反面的可能性是相同的”，从而说明在比赛前用抛硬币的方法来决定谁先开球对比赛双方都是公平的。 问题的关键是：怎样才能让学生明白“出现正面和出现反面的可能性是相同的”即“它们的可能性都是1/2”呢？ 问了几个同事，大家都说“一看就知道，硬币只有两面，抛一次不是正面就是反面，出现正面和反面的可能性都是1/2”。 我也是这样想的。不过，“一看就知道”的东西，为什么历史上那么多著名的数学家还要通过做成千上万次的试验来证明呢？这里面究竟隐藏着什么？ 在配套的《教师教学用书》第173页，有这样一段话： 掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可以出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但如果硬币均匀，直观上会感到出现正面与出现反面的机会应该相等，即在大量重复试验中正面朝上的频率，应该接近50%。为了验证这点，在概率论的发展历史上，曾有许多著名的数学家也做过这个实验。 难道说我们的判断靠的就是“直观”，是一种感觉？这种感觉对不对，还得靠“验证”？ 可新的问题又来了，就算科学家做了成千上万次的试验不是也没有证明正面和反面的可能性都是1/2吗？何况，课堂上我们让孩子做得有限的数十，上百次试验。说白了，做实验不但得不到结果，还会推翻最初的“直观”感觉。 问题越来越多，需要继续查资料：
通过试验来确定概率是有风险的。增加试验次数，可以降低这种风险，却不能消除风险本身，只有在试验次数无穷大的时候，才不存在这种风险。 试验次数越多，结果越逼近理论值。 当大量重复抛掷一枚硬币时，二者出现的频率在0.5附近摆动，我们就认为正面朝上和反面朝上的概率是1/2。 虽然，最后那句“二者出现的频率在0.5附近摆动，我们就认为正面朝上和反面朝上的概率是1/2”这种解释我认为非常牵强。不过，心中的疑虑还是打消了不少。我敢在课堂上大胆尝试： 一、观察独立的20组数据 1、学生两人合作，每人抛10次，做好记录。 2、任意抽查20人的结果，引导学生观察。 二、5人5人为一组，合计后观察 三、全部合计后再观察 效果如何？ 独立的20组数据，除了有一人的正好是正面出现的次数和反面出现的次数一样外，其余的“杂乱无章”，学生没有任何发现（这就是风险）。5人5人为一组，合计得到（见下表）
概率论与数理统计课外实验——模拟投硬币实验
概率论与数理统计课外实验 教师：李** 实验者：李** 学院：*********学院 专业班级：*****班 学号：************* 实验时间：2013年5月
实验课题：用计算机模拟投硬币实验 一，实验背景 1，对于一枚均匀的硬币，规定有数字的一面为正面，每次投掷，出现正面与反面的机会是相等的。那对于同 一枚硬币多次投掷，出现正面的次数与出现反面的次 数又分别是多少呢？随着投掷的次数逐渐增加，正面 向上的频率有什么变化呢？ 2，由于需要实验的次数之多，需要耗费大量人力物力。 随着计算机技术的发展，能不能用计算机模拟投硬币 实验，一加快实验进程，节省时间，人力物力呢？二，理论依据 1，对于一枚均匀的硬币，每次投掷出现正面与反面的机会是均等的。于是我们可以用数字1代表出现的是正 面，数字0代表出现的是反面。而可以利用计算机等 可能的产生0和1这两个随机数。于是，计算机每次 产生一个随机数0或1，代表一次投硬币实验。这样， 就可以用计算机快速模拟大量投硬币实验的结果。三，投硬币实验编程源代码 #include
scanf("%ld",&a); long double c,g,ave ; for(i=0;i 实验五、模拟方法建模 一、实验目的与要求 掌握运用软件进行Monte Carlo 方法模拟确定型现象和概率型现象，掌握随机数的生成，理解Monte Carlo 模拟法在存贮模型和排队模型中的应用。 1、 用Matlab 进行Monte Carlo 模拟，编写程序计算面积与体积； 2、 用Matlab 进行Monte Carlo 模拟，编写程序模拟抛硬币与掷骰子； 3、 用Matlab 编写程序模拟存贮模型，选择合理的进货量与进货周期； 4、 用Matlab 编写程序模拟排队模型，分析计算结果。 二、实验内容 Example 5.1 P179 习题第五题 求两条曲线Y=X 2，Y=6-X 以及X 轴和Y 轴所包围的面积。 解题如下： 两条曲线Y=X 2，Y=6-X 以及X 轴和Y 轴所包围的面积如图所示： 计算阴影部分面积的近似值：阴影部分的面积 ～阴影下的点数 矩阵面积 ～随机点的总数 下面给出计算面积的蒙特卡罗算法求面积的计算机模拟的计算格式： >> n=1000; C=0; for i=1:n A=rand(2,1); x(i)=-5*A(1,1)+2; y(i)=9*A(2,1); if x(i)+y(i)<=6&&x(i)^2-y(i)>=0; C=C+1; Matlab 操作步骤： 1．打开Matlab ，输入数据： 计算面积的蒙特卡罗算法 输入 模拟中产生的随机点总数n 输出 mypi=给定区间-3<=x<=2上曲线两条曲线Y=X 2，Y=6-X 以及X 轴和Y 轴所包围的近似面积，其中0<=f(x)<=9. 第1步 初始化：COUNTER=0, 第2步 对i=0,1,2,….n,进行第3~5步 第3步 计算随即坐标x i 和y i ,,满足-3<=x i <=6,0<=y i <=9 第4步 对随即坐标x i 计算f(x i ) 第5步 若y i <= f(x i ),则COUNTER 加1，否则COUNTER 不变 第6步 计算mypi=81* COUNTER/n. 第7步 输入（mypi ） 停止 第九课：抛硬币的规律 【教学目标】认识随机数，掌握random命令的原理和使用。【教学对象】小学五年级学生。 【教学重点】理解随机数，掌握random命令。 【教学难点】如何使学生更好的理解随机数。 【课时安排】2个课时 【教学过程】 第一课时 一．游戏导入激发兴趣 老师：同学们，上课之前我们来玩玩游戏 学生：好啊 1、划拳： 老师：第一个游戏就是划拳，同桌之间玩。划赢一次我们就在他书本的空白处写一个good，你们把十次划拳的结果记录下来，看看哪个同学赢的次数最多，现在开始。 学生：（游戏中） 老师：哪个同学有十个good九个的呢…… 2、装花片（红、绿、蓝）比赛。 老师：现在我们再来玩另外一个游戏说明规则：每组都有一篮各种颜色的花片和一个小塑料袋，请小朋友按要求选出一些花片装入袋内,注意一定要想好了再装。 1）、要求：任意摸一个，一定是红花片。 在小组里讨论，你认为袋子里应该怎样装花片然后在班内交流，说说为什么这样装。 2）、要求：任意摸一个，不可能是黄花片。 活动：六人小组合作完成。 老师：（有目的地）请只装一种颜色花片的同学把袋子举起来，并说说你是怎么想的 学生：全部是蓝色后者绿色就不会摸到红色的。 老师：还能有其他的装法吗请装两种和三种颜色花片的同学分别把袋子举起来。现在大家相互检查是否装了红色的花片进去。如果发现装错了，要立刻拿出来。 老师：现在你知道要不可能摸到红花片，应该怎样装 学生：不要放红色的花片。 老师（小结）：任意摸一个，不可能是红花。有很多种装法，可以装一种、两种、三种甚至更多种颜色的花片，但是不能装红色的花片。 3）、要求：任意摸一个，可能是黄花片。 老师：每个小组开始装花。看看哪个小组装得快。 老师：你们在袋子里装了几种颜色的花片请装两种和三种颜色花片的同学把袋子举起来。（集体讨论装得对不对如有错误，加以纠正。） 老师：现在你知道要求任意摸一个，可能是红花片，应该怎样装 讨论：任意摸一个，可能是红花，只装红花片行不行为什么你觉得在装花片时要注意些什么（至少要有两种颜色，其中一种颜色是红的。） 3、转盘： 老师：这个游戏我们先玩到这里，我 课题：随机事件的概率（第一课时） 授课教师：贺航飞（2008年9月20日） 一、教学目标分析： 1、知识与技能：⑴了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；⑵通过试验了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性； 2、过程与方法：⑴创设情境，引出课题，激发学生的学习兴趣和求知欲；⑵发现式教学，通过抛硬币试验，获取数据，归纳总结试验结果，体会随机事件发生的随机性和规律性，在探索中不断提高； ⑶明确概率与频率的区别和联系，理解利用频率估计概率的思想方法． 3、情感态度与价值观：⑴通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系； ⑵培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识，并通过数学史实渗透，培育学生刻苦严谨的科学精神． 二、重点与难点： ⑴重点：通过抛掷硬币了解概率的定义、明确其与频率的区别和联系； ⑵难点：利用频率估计概率，体会随机事件发生的随机性和规律性；三、学法与教学用具： ⑴指导学生通过实验，发现随机事件随机性中的规律性，更深刻的理解事件的分类，认识频率，区分概率； ⑵教学用具：硬币数十枚，表格，幻灯片，计算机及多媒体教学． 四、教学基本流程：↓ ↓ ↓ ↓ 第1页（共6页） 随机事件的概率 五、教学情境设计：（第一课时） 1、创设情境，引出课题——狄青征讨侬智高 故事：北宋仁宗年间，西南蛮夷侬智高起兵作乱，大将狄青奉命征讨．出征之前，他召集将士说：“此次作战，前途未卜，只有老天知道结果．我这里有100枚铜钱，现在抛到地上，如果全部正面朝上，则表明天助我军，此战必胜．”言罢，便将铜钱抛出，100枚铜钱居然全部正面朝上！将士闻讯，欢声雷动、士气大振！宋军也势如破竹，最终全胜而归． 2、温故知新、承前启后——温习随机事件概念： ⑴必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的～； ⑵不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的～； ⑶随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于S 的～；⑷确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件． 讨论：在生活中，有许多必然事件、不可能事件及随机事件．你能举出现实生活中随机事件、必然事件、不可能事件的实例吗？ 例1：判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？⑴“导体通电后，发热”； ⑵“抛出一块石块，自由下落”； ⑶“某人射击一次，中靶”； ⑷“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰自然融化”； 0有实数根”；=1+⑸“方程x2 ⑹“如果a＞b，那么a－b＞0”； 《概率论与数理统计》实验指导书 【课程性质、目标和要求】 课程性质:概率论与数理统计实验是与《概率论与数理统计》课程相配套的数学实验，它是为了理解和巩固这门课而设计的。 教学目标：通过本实验的教学，使学生掌握处理随机数据的基本方法，以及获得建立某些实际问题的模拟能力，并深刻理解概率与数理的思想方法。 教学要求：本实验是数学与应用数学专业教学计划中《概率论与数理统计》相配套的数学实验，所以，实验与课程紧密结合，服务这门课，在该课程的理论指导下开展数学实验。在实验供应结合生产科研的实际问题，进行解决实际问题能力的实践性环节的培养。 概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的一门数学科学，通过本实验(我们以excel为平台，教师也可选其它数学软件．Excel电子表格软件是微软办公软件组的核心应用程序之一，它功能强大，操作简单，适用范围广，普遍应用于报表处理、数学运算、工程计算、财务处理、统计分析、图表制作等各个方面。其数据分析模块简单直观，操作方便，是进行概率与统计学教学的首选软件)，我们可以了解随机现象及其发生的概率，模拟系统的变化规律。鉴于该课程的特点，为更好地实现教学目标，我们开发以下16个实验。教师可以根据教学情况选其中6个试验进行教学。 【教学时间安排】 实验一 Excel的基本使用方法和技巧 1、问题的背景 概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的一门数学科学，如何对实践中的随机现象进行模拟和处理数据，成为概率论与数理统计实验课程的重要内容．鉴于Excel的通俗易懂和应用的普适性，我们采用Excel来实现概率论与数理统计课程实验。因此，对Excel 的基本应用成为本门课程的基础． 2、实验目的要求 （1）学习和掌握Excel的调用程序． （2）学习和掌握Excel的基本命令． （3）学习和掌握Excel的有关技巧． （4）掌握基本统计命令的使用方法 3、实验主要内容 在各种电子表格处理软件中，Excel以其功能强大、操作方便著称，赢得了广大用户的青睐．本实验学习一些经常使用的技巧，掌握这些技巧将大大提高学生未来实验的效率．（一）基本命令 (1) 快速定义工作簿格式 (2) 快速复制公式 (3) 快速显示单元格中的公式 (4) 快速删除空行 (5) 自动切换输入法 (6) 自动调整小数点 (7) 用“记忆式输入” (8) 用“自动更正”方式实现快速输入 第一次研讨课总结 ——如何认识抛硬币试验概率结论与物理解释？ 在总结学到的知识之前，我想先说一下对这节课的感受。在我看来这节课非常有意思，大家在讨论问题时都比较活跃积极，抛出的观点很新颖，辩论时产生的头脑风暴也很有趣。一开始觉得自己的思考问题还算比较全面，但在听同学们讨论的过程中才懂自己的无知与浅薄，有好多没有想清楚的关键点。一堂课下来，着实收获不少。 在讨论过程中，我发现大家之所以讨论那么久都是因为一个关键点没有解决——抛硬币实验需要满足的条件。条件如何设定才会不影响实验的客观性？我在预习报告中罗列了一部分，如硬币质量均匀，角速度保持不变等，满足这些条件看起来实验可以不受干扰，但是这些设定好的条件是否已经改变了实验的客观性呢？以我目前所学知识的深度与广度难以分辨清楚哪一种说法是正确的，于是我把一些比较有代表性的观点记录下来，课后查阅资料研究，希望能在查阅资料的过程中对这个问题有更深的了解。 首先是“可知论”与“不可知论”，两者都是哲学上的认识论，可知论认为一切客观体都具有可知性，而不可知论认为除了感觉或现象之外，世界本身是无法认识的。一开始我觉得可知论比较正确，因为科学发展的每一步都证实了可知论，但是当我搜索了另一个东西时，我改变了我的看法。那就是“不确定原理”——你不可能同时知道一个粒子的位置和它的速度。该理论由海森堡提出，他本人说，“在因果律的陈述中，即‘若确切地知道现在，就能预见未来’，所错误的并不是结论，而是前提。我们不能知道现在的所有细节，是一种原则性的事情。”简单说就是，对粒子的位置测量得越准确，则对速度的测量就越不准确，反之亦然。这一原理所代表的量子力学理论对可知论的撼动非常的大。 一般而言，量子力学并不对一次观测预言一个单独的确定结果。它预言一组不同的可能发生的结果，并告知每个结果出现的概率。也就是说，如果对大量的类似的系统作同样的测量，每一个系统以同样的方式起始，将会找到测量的结果为A出现一定的次数，为B出现另一不同的次数等等。进而人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值，但不能对个别测量的特定结果作出预言。有了这一理论做基础，通过物理定律推算未来发生事件的想法可以说是错误的。 然而，这个说法也有一个大前提，那就是量子理论是没有漏洞与疑点。比如，量子效应如果用到宏观物体上，其与承认世界客观存在的偏差将极小，如何解释？并且，量子理论的证明直到今天也没有完全完成。当然，历经数十年的发展，在最新的研究实验中又取得了新的进展，解决了量子理论三大漏洞中的两个，至此，量子纠缠的漏洞几乎填上，想要推翻它也变得越来越不可能。 那么，在上述量子理论成立的基础上，运用机理分析（通过对系统内部原因（机理）的分析研究，从而找出其发展变化规律），和理想模型中的条件模型（把研究对象所处的外部条件理想化建立的模型叫做条件模型）与过程模型（忽略次要因素的作用，只考虑主要因素引起的变化过程），做的抛硬币实验具有客观独立性，通过大量的数据来分析正反面出现的次数，得到古典概率。 所以，我目前的想法是给实验设定一定的条件不会改变实验的独立客观性，相反，这是保证实验客观性所必须的。最后的结果应该如统计学家的观点一致，正面的概率近似为二分之一，而想通过物理定律计算出下一次抛硬币正反面的观点是错误的。 §3.1.1 随机事件的概率 （选自高中人教版数学必修三第三章第一节） 一、教材分析 本节课教材通过对实际生活中的事件发生可能性大小的阐述引入确定性事件、随机事件的概念及概率的定义，接着通过实验法（抛硬币）探究随机事件发生的频率与概率的区别和联系，从而得到概率的“频率求法”。本节课内容承前启后，是初三概率知识的深入探究，亦是随后即将学习的古典概型、几何概型的原理解释；使学生初步体会概率统计中的重要思想：不确定性中蕴含确定性，确定性中蕴含不确定性。 二、学情分析 1.知识基础：初中阶段学生对概率有了初浅的认识，高中阶段学生 刚刚在上一章学习了统计。 2.高二的学生具有了一定的数学能力，能够在教师的引导下独立地 解决问题。 三、教学目标 1．知识与技能目标 （1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念； （2）正确理解事件A出现的频率的意义； （3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率fn（A）与事件A 发生的概率P（A）的区别与联系； （4）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题． 2、过程与方法： （1）发现法教学，经历抛硬币试验获取数据的过程，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高； （2）通过三种事件的区分及用统计算法计算随机事件的概率，提高学生分析问题、解决问题的能力； （3）通过概念的提炼和小结的归纳提高学生的语言表达和归纳能力。 3、情感态度与价值观： （1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系； （2）通过动手实验，培养学生的“做”数学的精神，享受“做”数学带来的成功喜悦。 四、教学重点 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 五、教学难点 理解频率和概率的关系 六、教学方法与手段 采用以引导探究为主，讲授为辅的教学方法，多媒体辅助教学的教学手段。 七、教学设计思想 课标要求学生在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解频率与概率的区别。在课堂上教师为学生提供随机事件发生的情景、独立思考的时间、借助多媒体技术模拟试验，引导学生通过动手做试验，发现规律，并获得知识、提高学习兴趣。 八、教学过程 从抛硬币试验看概率论的基本内容及统计方法 分类：数学2012-12-06 13:07 301人阅读评论(0) 收藏举报概率 目录(?)[+] 一般说到概率，就喜欢拿抛硬币做例子。大多数时候，会简单认为硬币正背面的概率各为二分之一，其实事情远没有这么简单。这篇文章会以抛硬币试验为例子并贯穿全文，引出一系列概率论和数理统计的基本内容。这篇文章会涉及的有古典概型、公理化概率、二项分布、正态分布、最大似然估计和假设检验等一系列内容。主要目的是以抛硬币试验为例说明现代数学观点下的概率是什么样子以及以概率论为基础的一些基本数理统计方法。 概率的存在性 好吧，首先我们要回答一个基本问题就是概率为什么是存在的。其实这不是个数学问题，而是哲学问题（貌似一般存在不存在啥的都是哲学问题）。之所以要先讨论这个问题，是因为任何数学活动都是在一定哲学观点前提下进行的，如果不明确哲学前提，数学活动就无法进行了（例如如果在你的哲学观点下概率根本不存在，那还讨论啥概率论啊）。 概率的存在是在一定哲学观点前提下的，我不想用哲学术语拽文，简单来说，就是你首先得承认事物是客观存在的，并可以通过大量的观察和实践被抽象总结。举个例子，我们经常会讨论“身高”，为什么我们都认为身高是存在的？因为我们经过长期的观察实践发现一个人身体的高度在短期内不会出现大幅度的变动，因此我们可以用一个有单位的数字来描述一个人的身体在一段不算长的时间内相对稳定的高度。这就是“身高”作为被普遍承认存在的哲学前提。 与此相似，人们在长期的生活中，发现世界上有一些事情的结果是无法预料的，例如抛硬币得到正面还是背面，但是，后来有些人发现，虽然单次的结果不可预料，但是如果我不断抛，抛很多次，正面结果占全部抛硬币次数的比率是趋于稳定的，而且次数越多越接近某个固定的数值。换句话说，抛硬币这件事，单次结果不可预料，但是多次试验的结果却在总体上是有规律可循的（术语叫统计规律）。 下面是历史上一些著名的抛硬币试验的数据记录： 用MATLAB模拟掷硬币过程 我们掷一枚硬币，它出现的情况只可能是要么出现正面，要么出现反面，这一随机事件的样本点有限且等可能。 所以掷硬币这一随机事件为古典概型，它出现的样本点是有限的且等可能。为了模拟掷硬币出现正面或者反面，规定随机数小于0.5时为反面，否则为正面。 在MATLAB中提供了一个在[0，1]区间上均匀分布的随机函数rand()。可用round()函数将其变成0—1阵，然后将整个矩阵的各元素值加起来再除以总的元素个数即为出现正面的概率。 一、连续掷100次硬币，运行1000次，程序如下： for i=1:100 a(i)=sum(sum(round(rand(1000))))/100 end 以下值是截取部分运行结果，发现正面出现的概率总是在0.5左右浮动。 a = Columns 1 through 6 0.5080 0.4935 0.5059 0.5035 0.5040 0.4969 Columns 7 through 12 0.4945 0.5010 0.4875 0.4948 0.5042 0.5022 Columns 13 through 18 0.4894 0.4965 0.4977 0.4969 0.5008 0.5154 Columns 19 through 24 0.5013 0.5022 0.4969 0.5006 0.4980 0.4949 Columns 25 through 30 0.4878 0.4994 0.4964 0.4944 0.4995 0.4950 Columns 31 through 36 0.5066 0.4989 0.4940 0.4988 0.4939 0.4909 Columns 37 through 42 0.4977 0.5025 0.4927 0.4977 0.4904 0.5040 Columns 43 through 48 0.5080 0.4935 0.5059 0.5035 0.5040 0.4969 Columns 49 through 54 0.5029 0.4977 0.5024 0.4956 0.4857 0.5035 Columns 55 through 60 0.5006 0.5116 0.5035 0.4953 0.4974 0.5012 Columns 61 through 66 0.4997 0.5039 0.5009 0.5012 0.5037 0.5021 Columns 67 through 72 知识与技能： 1. 了解随机事件，学会使用程序生成随机数 2. 加深对分支结构的理解 3. 加深对循环结构的理解 4. 巩固学习变量的含义和使用方法。过程与方法： 学生通过自己对实际问题进行具体分析，从问题本身抽象出一个数学模型，然后设计一个符合这个数学模型的算法，最后根据算法编写程序、运行程序以解决问题。 情感态度与价值观： 1. 通过分析问题，培养从实际问题抽象出计算模型的能力。 2. 体验计算机在帮助人类探索科学真理的过程中发挥的作用。 3. 在编程的过程中，锻炼自己的逻辑思维能力，体验到计算机编程的魅力和乐趣。重难点：教学重点： 1. 学会利用分支结构和循环结构设计程序 2. 能够自己探索出随机函数的功能 3. 学会从现实问题中抽象出计算模型，通过编程实现教学难点： 1.综合并灵活地使用程序的三种基本结构设计简单程序 2.如何将生活中的实际问题抽象出问题模型，转换成程序，并使用程序来解决生活中的问题 教学流程示意（可选项） 介绍数学中的随机事件和等可能事件 引导学生完成程序的界面设计引导学生完成程序的逻辑设计 明确程序设计流程 学生探究随机函数的作用 结构化方法：将任务分解，逐步细化 学生设计程序模拟抛硬币实验过程 学生完善程序，运行程序并搜集数据 学生分析数据并得出结论 教师总结 完成任务单，填写评价表 教师活动 教学过程 学生活动 教学意图 一、引入 1、 随机事件 当你把硬币抛上去的时候， 你能知道它落下来是正面朝上还是反面 朝上吗？ 这种可能发生也可能不发生的事件，我们称为随机事件。 2、 等可能事件 在抛硬币试验中，只可能出现两个不同的结果，而且这两种结果出 现的可能性是相等的，这一类的随机事件，我们称之为等可能事件。 3、 研究问题：多次抛一枚硬币，其正面朝上和反面朝上出现的次数一 样吗？ 4、 设计实验，验证你的猜想 任何结论的得出都要有依据，不能凭感觉直觉，要能有真实的数据 来支撑你的结论。实验是获取数据的更一般的方法。 “抛硬币”实验设计 学生根据自 己的生活经 验回答问题 从学生的生 活经验出 发，容易引 起学生的兴 趣和思考 学生设计探 索抛硬币随 机事件概率 的实验 培养学生设 计实验验证 猜想，探索 未知的能力 二、模拟“抛硬币”实验 分析任务： 2.逻辑 1.界面设计 根据你刚刚的抛硬币实验设计，填 现实生 设计 活中抛硬币过程： 学生根据现 实中的抛硬 币实验，对 比分析计算 机模拟实验 的界面设计 和逻辑设计 引导学生学 会从现实生 活中抽象出 问题模型作业三数学建模,姜启源版
抛硬币的规律
全国青年教师数学大赛高中数学优秀教案、教学设计及说课稿精选
《概率论与数理统计》实验指导书讲解
第一次研讨课总结-如何认识抛硬币实验概率论与物理解释
随机事件的概率教学设计
从抛硬币试验看概率论的基本内容及统计方法
用 MATLAB 模拟掷硬币过程
计算机模拟抛硬币实验教学设计