北师大版数学必修四：《简单的三角恒等变换》导学案(含解析)

第6课时简单的三角恒等变换

能运用和角公式、差角公式和二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

前面我们学习了和角、差角及二倍角公式,初步体会到三角恒等变换在解题中的作用,本节课我们将在之前的基础上继续探究公式在更多方面的运用,体会学习公式的重要意义.

问题1:代数式变换与三角变换有什么不同呢?

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要特点.

问题2:三角恒等变换的要求是什么?

(1)化简:要求使三角函数式化为最简,项数尽量少,名称尽量少,次数尽量低,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的要求值.

(2)求值:要注意角的范围,三角函数值的符号之间的联系与影响,较难的问题需要根据三角函数值进一步缩小角的范围.

(3)证明:是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于左边,或将左右都进行变换使其左右相等.

问题3:三角恒等变换有哪些技巧?

(1)常值的代换:如“1”的代换就是一种特殊的常值代换.

(2)切化弦:当化简式中既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角的基本三角函数关系式

将正切化为正弦和余弦,这就是“切化弦”的思想方法,切化弦的好处在于减少了三角函数名称.

(3)升幂与降幂公式:sin2α= ,cos2α= ,运用它就是降幂.反过来,直接运用倍角公式或变形公式1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,就是升幂.

(4)角的变换:角的变换把已知角与未知角联系起来,使公式顺利运用,解题过程中常见的角的代换有:α=()-β,α=β-(),α=错误！未找到引用源。

[(α+β)+(α-β)],α+β=()-α.

问题4:三角应用问题解答的一般步骤是什么?

(1):审读题意,分清已知与未知,理解数学关系,画出示意图.

(2):根据已知条件与求解目标,设角建立三角式,选择适当三角函数模型.

(3):利用三角变换,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论,即求得数学模型的解.

(4):检验上述所求的解是否符合实际意义,把数学结论还原为实际问题的解答,从而得出实际问题的解.

1.cos错误！未找到引用源。cos错误！未找到引用源。π的值是().

A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.-错误！未找到引用源。

D.1

2.若cos α=-错误！未找到引用源。,α是第三象限的角,则错误！未找到引用源。=().

A.2

B.错误！未找到引用源。

C.-2

D.-错误！未找到引用源。

3.若sin(错误！未找到引用源。+θ)=错误！未找到引用源。,则cos 2θ= .

4.已知0<α<错误！未找到引用源。,0<β<错误！未找到引用源。,且3sin β=sin(2α+β),4tan错误！未找到引用源。=1-tan2错误！未找到引用源。,求α+β的值.

恒等式的证明

已知5sin α=3sin(α-2β),求证:tan(α-β)+4tan β=0.

与平面向量的综合运用

已知向量m=(错误！未找到引用源。sin错误！未找到引用源。,1),n=(cos错误！未找到引用源。,cos2错误！未找到引用源。),若m·n=1,求cos(错误！未找到引用源。-x)的值.

二倍角、半角公式在解三角形中的运用

在△ABC中,设sin A+sin C=2sin B,A-C=错误！未找到引用源。,求sin B的值.

求证:错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.

已知向量m=(sin x,1),n=(错误！未找到引用源。A cos x,错误！未找到引用源。cos 2x)(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6.

(1)求A;

(2)将函数y=f(x)的图象向左平移错误！未找到引用源。个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的错误！未找到引用源。倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在[0,错误！未找到引用源。]上的值域.

已知角A、B、C为△ABC的三个内角,错误！未找到引用源。=(sin B+cos B,cos C),错误！未找到引用源。=(sin C,sin B-cos B),错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。.

(1)求tan 2A的值;

(2)求错误！未找到引用源。的值.

1.错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。等于().

A.tan α

B.tan 2α

C.1

D.错误！未找到引用源。

2.若f(tan x)=sin 2x,则f(-1)的值是().

A.-1

B.-sin 2

C.错误！未找到引用源。

D.1

3.已知sin α=错误！未找到引用源。+cos α,且α∈(0,错误！未找到引用源。),则错误！未找到引用源。的值为.

4.若错误！未找到引用源。cos θ+错误！未找到引用源。sin θ=1①,且错误！未找到引用源。sin θ-错误！未找到引用源。cos θ=1②,求证:错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=2.

(2013年·陕西卷)已知向量a=(cos x,-错误！未找到引用源。),b=(错误！未找到引用源。sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.