圆(垂径定理)

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圆中垂径定理

)
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ 表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为， ⌒ 所在圆的圆心为O，如图，ＡＢ所在圆的圆心为如图，用ＡＢ表示主桥拱，
A B
半径为R．经过圆心作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，OC 为垂足，半径为．经过圆心O 作弦，为垂足相交于点D，根据前面的结论，的中点，是与AB 相交于点，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 ⌒ 的中点，就是拱高．ＡＢ的中点，CD 就是拱高．
B
R O
练习
如图，的长为8cm 8cm， 1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB 的距离为3cm 3cm，的半径．的距离为3cm，求⊙O的半径1 ∴AE = AB = ×8 = 4 2 2
在Rt △ AOE 中
O
·
AO = OE + AE
24.1垂径定理 24.1垂径定理
赵州桥主桥拱的半径是多少？
你知道赵州桥吗?它是1300 1300多年前我国隋代建造的石问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧它的跨度(弧所对的弦的长) 拱高( 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
2 2
2 2
2
AO = O + AE = 3 +4 =5cm E
2 2
的半径为5cm. 答：⊙O的半径为的半径为
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的．如图，中、为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形两条弦， ⊥ 于， ⊥ 于， ADOE是正方形．是正方形．是正方形证明： E 证明： O ⊥ AC O ⊥ AB AB ⊥ AC ∵ D

《垂径定理》

∴∠AOM＝∠BOM，∠CON＝∠DON ∵∠AOM＋∠AOC ＋ ∠CON＝180°
M
N
∠BOM ＋ ∠BOD ＋ ∠DON＝180° ∴ ∠AOC＝∠BOD AC ＝ BD ∴
圆的两条平行弦所夹的弧相等
小结
你有什么收获？
布置作业课本第76～77页：作业：习题3.3
. AD ＝BD ∴
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
C
几何语言叙述定理： ∵AM＝BM，CD为⊙O的直径，
. ， ∴CD⊥AB， AD＝BD AC ＝BC
A
M
B
O
D
垂径定理的逆定理
① CD是直径 ② CDAB ③ AM＝BM
④ AC＝BC
. ， AD ＝BD AC ＝BC 求证：CD⊥AB，
C
证明：连接OA，OB，则OA ＝ OB， ∵ AM ＝ BM ，
A
M
B
O
∴ CD⊥AB ， ∠AOC ＝ ∠BOC，
， ∴ AC ＝BC
D
∵∠AOD ＝ 180°－∠AOC， ∠BOD ＝ 180° － ∠BOC， ∴ ∠AOD ＝ ∠BOD
北师大版九年级数学下册
第三章
圆
第三节垂径定理
定理回顾
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角
所对的弧相等，所对的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等.
应用一下:
如图，完成下列各题：
AB ＝ AB （1）∵ ∴∠AOB＝ ∠AOB ,AB＝ AB .
M O

第24章圆-第九讲圆的垂径定理及运用(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我认识到，教学不仅仅是传授知识，更重要的是引导学生学会思考、学会学习。在今后的教学中，我将更加关注学生的个体差异，尽量满足不同学生的学习需求，帮助他们建立自信，培养解决问题的能力。
五、教学反思
在上完这节课之后，我思考了很多。首先，关于圆的垂径定理的教学，我发现学生们对于定理的理解和掌握程度超出了我的预期。他们能够通过直观的图形和简单的例子，快速抓住定理的核心。特别是在实践活动中，学生们通过分组讨论和实验操作，将理论知识与实际应也注意到，在定理的证明部分，有一部分学生还是感到有些困惑。我意识到，几何证明对于他们来说是一个难点，需要更多的引导和练习。在接下来的教学中，我打算多花一些时间，通过逐步引导和反复练习，帮助学生克服这个难题。
-举例：在圆中，若AB为弦，O为圆心，OD垂直于AB，则OD平分AB，并且AD=BD，同时弧AC和弧BC相等。
2.教学难点
-理解并证明垂径定理：学生需要理解定理背后的几何逻辑，并能够通过作图和逻辑推理来证明定理的正确性。
-定理在实际问题中的灵活应用：学生在面对具体问题时，可能会难以找到合适的入手点，不知道如何将定理应用到解题过程中。
针对这些教学难点和重点，教师应采用以下策略：
-使用直观的动画或实物模型来展示垂径定理的证明过程，帮助学生理解。
-通过典型例题的讲解，展示定理在实际问题中的应用方法，并指导学生进行步骤分解。

圆的垂径定理课件

由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
圆的垂径定理
做一做P90
5
垂径定理
驶向胜利的彼岸
• 如图,小明的理由是: • 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
圆的垂径定理
想一想P91
8
垂径定理的逆定理
驶向胜利的彼岸
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A
B
M└
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
圆的垂径定理
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B ,读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
m • 直半径圆将(如圆弧分A成BC两⌒).部分,每一部分都叫做
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用
C 两个字母).
试一试P93 15
挑战自我画一画
• 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
驶向胜利的彼岸
BE
·
F
C
0
圆的垂径定理
独立作业P91 16
挑战自我
• P94:习题3.2

垂径定理和圆周角圆心角

一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 二、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 三、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==DBABA∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

圆2垂径定理及其推论

1 •垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤.推论1:①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤.②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤.③平分弦所对的一条孤的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤.推论2•圆的两条平行弦所夹的孤相等.垂径定理及推论1中的三条可概括为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）：④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1如图AB CD是O O的弦，M N分别是AB CD的中点，且ZAMN ZCNM •求证：AB=CD A”------- 、,例2已知，不过圆心的直线l交O 0于C、D两点，AB是O O的直径，AE丄l于E, BF丄l于F。

求证：CE=DF例3如图所示，O O的直径AB = 15cm,有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D 与B不重合），且CE丄CD交AB于E, DF丄CD交AB于F。

（1）求证：AE = BF（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形若不是，请说明理由。

例4如图，在O O内，弦CD与直径AB交成45°角，若弦CD交直径AB于点P,且O O半径为1,试问：PC2 PD2 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】1. 已知O O的半径为2cm,弦AB长2 .. 3cm，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（）A . 1cm B.2cm C. .2cm D. . 3cm cm6cm AB CD为两弦，且AB丄CD垂足为点E,若CE=3cm DE=7cm贝U AB的长为（A . 10cm B.8cm C. D. 8.. 2cmCDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值,3.如图1, O O的半径为B4.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有6.等腰三角形腰长为4cm,底角为30,则外接圆直径为（A . 2cm B.4cm C.6cm图17. 如图,OO的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么0P长的取值范围是8. 如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm拱高CD=4cm那么拱形的半径是9. 如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm求水的最大深度CD10. 如图，已知△ ABC中，/ ACB=90 ,B11. 已知：如图，在OO中，弦AB的长是半径OA的,3倍,C为弧AB的中点,AB、OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状，并说明理由.无数条.其中正确的判断有（)A . 0 个 B.1个 C.2个 D.35.如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D 若AB=4,径之比为( )A . 3:2 B....5 :2 C.5:2个CD=2圆心0到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半D.5:4m.长为）BAB于D,贝U AD的12. 如图所示，在O O 中，弦AB 丄AC,弦BD 丄BA AC BD 交直径 MN 于E 、F.求证：ME=NF.13•（思考题）如图，GO 与002交于点A,B ,过A 的直线分别交O0i , OO 2于M,N,C 为MN 的中点，P 为O 1O 2的中点，求证：PA=PC. 1. 已知O O 的直径AB=10cm 弦CDL AB 垂足为M 。

第24章圆的垂径定理圆周角定理(教案)

-掌握圆周角定理，能够运用定理解决实际问题。
-学会应用圆的垂径定理和圆周角定理来证明圆内接四边形的性质。
-能够计算弓形的面积，并理解其与圆心角的关系。
举例解释：
-圆的垂径定理：通过具体作图，演示如何通过一点作圆的切线，并证明此切线与通过该点的直径垂直。
-圆周角定理：通过实际测量和计算，让学生观察并理解圆周角与圆心角的关系。
关于小组讨论，我觉得在分组时要更加科学合理，尽量保证每个小组内都有不同水平的学生，以促进他们之间的相互学习和交流。在讨论过程中，我要注意观察每个小组的进展，及时给予指导和帮助，确保讨论能够顺利进行。
在课堂总结环节，我发现有些学生对所学知识点的掌握仍然不够扎实。为了加强学生的记忆，我决定在课后增加一道与圆的垂径定理和圆周角定理相关的巩固练习，让学生在练习中进一步巩固所学知识。
-圆内接四边形：通过构造图形，让学生直观感受四边形内接于圆时，对角线互相平分的性质。
-弓形计算：给出具体弓形的半径和圆心角，指导学生计算弓形的面积，并总结规律。
2.教学难点
-理解并掌握圆的垂径定理的证明过程，尤其是对于几何证明的逻辑推理。
-理解圆周角定理中，圆周角与圆心角的对应关系，以及在不同情况下如何应用定理。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对圆的垂径定理和圆周角定理的理解程度参差不齐。有些学生能够迅速掌握定理的要点，并能将其应用到实际问题中；而有些学生则在理解上存在一定的困难。针对这种情况，我认为在今后的教学中需要注意以下几点：
首先，对于定理的讲解，我需要更加生动形象，通过举例、图示等方法，让学生更直观地感受和理解定理的含义。同时，在讲解过程中，要注重引导学生积极参与，鼓励他们提问和思考，以提高课堂的互动性。
第24章圆的垂径定理圆周角定理（教案）

圆的性质2----垂径定理

解：连结OA
OC 2 AC 2 OA2
OC AB AC 1 AB 4
2
OC 2 16 25 OC 3
a
A 2C
B
R
d O
弦长a，半径R，弦心距d这三个量中，只要知道其中的两个量就可以求出第三个量.
变式1.如图，已知 O的半径为5cm,OC AB于点C A OC =4cm,求弦AB的长.
复习回顾
1.圆是怎样形成的？ 2.圆上的点有何特征？
合作交流
1.在一张薄纸上画一个圆和一条直径，沿着直径将圆对折，你发现了什么？
O
圆是轴对称图形. 2.圆有几条对称轴？有何共同点？
圆有无数条对称轴.
圆的对称轴都经过圆心.
合作探究
1.在一张薄纸上画一个 O和一条直径AB.
A
在直径AB上任取一点E，过E作弦CD AB. C E
D
CO的直径
CD于点E
AC
=
AD
B
BC =BD
连结OC,OD, 则OC=OD C、D关于AB对称
AB CD RtCEO RtDEO
AC AD, BC BD.
CE DE
例1.如图，已知 O的半径为5cm,弦AB 8cm,
OC AB于点C，求OC的长.
R d
弦长a，半径R，弦心距d这三个量中， O 只要知道其中的两个量就可以求出第三个
量.
aB 2
2.证明证明弧相等，线段线段 .
D
将 O沿着直径AB对折,观察线段CE
O
与ED，AC与AD, BC与BD之间有何关系？
B
CE=ED，AC=AD, BC=BD. 由垂此直你于能弦提的出直一径个平什分么弦问且题平？分弦所对的两条弧.

第九章圆模型——垂径定理模型

第九章.圆模型（三十八）——垂径定理模型垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧【结论】如图，CD是直径，CD⊥AB，则①MA＝MB ，②＝垂径定理中的五元素：①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧.知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个.【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直, 如图：找残缺圆的圆心方法：知二推三组合模型讲解作法：在圆弧上找两条不平行的线段，圆心在弦的垂直平分线上，交点为O典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点 C 为的中点，若∠ABC= 30°，则弦 AB 的长为（）A. B.5 C.D.5【答案】D【解析】如图，连接 OC，OA.∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°.∵AB为弦，点C为的中点，∴由垂径定理得 OC⊥AB.在 Rt△OAE中，AE=，∴AB=5. 故选 D.典例2 ☆☆☆☆☆如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，D是弧BC的中点，则弦 AD 的长为（）A.4 cmB.3 cmC.4cmD.5 cm【答案】C【解析】如图，连接 OD，OC，作 DE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F.∴∠AFO=∠DEO=90°,∵D是弧 BC 的中点，∴=,∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，又 OA=OD，∴△AOF≌△ODE（AAS），∴OE=AF,由垂径定理知 AF＝AC＝3 cm,∴OE=3 cm.在 Rt△DOE中，DE==4 cm，在 Rt△ADE中，AD==4 cm. 故选 C.典例3 ☆☆☆☆☆已知⊙O的直径CD=10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8 cm，则 AC的长为（）.A.2cmB.4 cmC.2 cm 或4cmD.2cm 或 4cm【答案】C【解析】如图，连接 AC，AO.∵⊙O的直径CD=10 cm，AB⊥CD，AB=8 cm，∴AM＝AB＝×8＝4(cm), OD＝OC＝5 cm,当 C 点位置如图1所示时，∵OA=5 cm，AM=4 cm，CD⊥AB，OM=＝＝3(cm),CM=OC＋OM=5＋3＝8(cm),∴AC= ＝＝4（cm）.当C点位置如图 2 所示时，同理可得 OM＝3 cm.∵OC＝5 cm,∴MC＝5－3＝2(cm).在 Rt△AMC中，AC=＝＝=2（cm）.故选 C.小试牛刀1.（★★★☆☆）如图，点 A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E，若∠ADC=30°，AE=1，则 BC=（）.A.2B.4C.D.22.（★★☆☆☆）如图，在平面直角坐标系中，圆 M与x 轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点 C（0，16），则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是（）A.10B.8C.4D.2直击中考1.如图，⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC=3∶5，则AB的长为（）.A.8B.12C.16D.22.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=2，BC=8，按下列步骤作图∶①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF 的长为半径作弧相交于点 H，作射线 AH;②分别以点 A，B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧相交于点M，N，作直线 MN，交射线 AH于点O;③以点 O为圆心，线段 OA长为半径作圆.则⊙O的半径为（）A.2B.10C.4D.5第九章.圆模型（三十八）——垂径定理模型答案：小试牛刀1.答案 D解析连接OC，如图∵∠ADC=30°,∴∠AOC=60°∵OA⊥BC，∴CE=BE.在Rt△COE中，OE＝OC,,CE＝ OE.∵OE=OA－AE＝OC－1,∴OC－1＝OC∴OC＝2,∴OE＝1, ∴CE＝，∴BC＝2CE＝2. 故选 D.2.答案 D解析如图，连接 BM，OM，AM，作MH⊥BC于H.∵圆 M与x轴相切于点A（8，0），∴AM⊥OA,OA＝8,∴∠OAM＝∠MHO＝∠HOA＝90°,∴四边形 OAMH 是矩形，∴AM＝OH.∵MH⊥BC，∴HC＝HB＝6，∴AM＝OH＝16-6＝10.在Rt△AOM 中，OM=＝＝2.故选 D.直击中考1.答案 C解析如图，连接 OA.∵⊙O的直径CD＝20，OM∶OC=3∶5，∴OC=10,OM=6.∵AB⊥CD,∴AM=＝＝8,∴AB＝2AM＝16. 故选 C.2.答案 D解析如图，设 OA 交 BC 于点 T，连接 OC.∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，∴AO⊥BC,BT＝TC＝4, ∴AT ＝＝＝2.在 Rt△OCT中，OC2＝（OC-2）2＋4²，解得 OC=5，则⊙O的半径为 5.故选 D.。

圆的垂径定理公式

圆的垂径定理公式
1 圆的垂径定理
圆的垂径定理（也称为勾股定理）是三角学中最基本的定理，它
表明圆是由直线段组成的，因此可以用来计算圆的半径和其它圆的特征。

圆的垂径定理是：如果一个圆的垂径形成的三角形，其两个相邻
的直角的边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形将是一个
正三角形，并且第三条边就是圆的垂径。

它可以用公式来表达，即：
a²+b²=c²。

2 圆的垂径定理的应用
圆的垂径定理在数学中被大量使用，它把一个问题转换成一个更
容易解决的问题。

由于它能有效计算圆的半径，因此被广泛用于计算
圆和圆周长等理论题目中。

此外，它也被广泛应用到平面几何和空间
几何中，特别是圆柱体的应用。

甚至可以用来计算一个球的体积。

另外，圆的垂径定理也可以在机械设计中应用，比如 cogs 和 gears，
通过它可以计算出这种零件的几何特征，从而保证零件可以正常工作。

3 总结
圆的垂径定理是三角学中最基本的定理，它表明圆是由直线段组
成的，并用于计算圆的半径和其它圆的特征。

圆的垂径定理的应用很
广泛，可以用于解决数学、几何、机械、体积等问题，为工程制图提
供便利。

3.3垂径定理

北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3 垂径定理
课前引入
某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是60cm，你也能算出这个大石球的半径吗？
做一做
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
A⌒C =⌒BC, A⌒D=⌒BD.
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
C
A M└
B
●O
D
垂径定理的证明
已知：如图, AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条
求证：直AM径=,B并M且，CDA⌒C⊥=AB⌒BC,垂，A足⌒D为=B⌒MD..
C
A M└
B
●O
D
AE=EB吗？
注意：直径，垂直于弦，缺一不可！
D O
已知，在⊙O内，AB=CD，M，N分别是AB，CD 的中点，AB不行于CD。求证∠ＡＭＮ＝ ∠CＮＭ
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD。（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AE=8，求CD的长。
若它的形状是以O为圆的圆的一部分，路面AB=10
米，净高CD =7米，求此圆的半径
C
37
7
O
A
D
B
3.如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?

3.3 垂径定理

（来自《典中点》）
知2－练
4 【2016·牡丹江】如图，在半径为5的⊙O中，弦AB ＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为( C ) A．3 B．2.5 C．4 D．3.5
（来自《典中点》）
知2－练
5 (中考·上海)如图，已知⊙O中，AB是弦，半径 OC⊥AB，垂足为点D.要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是( B ) A．AD＝BD B．OD＝CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB
（来自《点拨》）
知1－讲
例2 某市某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图①，污水面宽度为60 cm，水面至管道顶部的距离为10 cm，问修理人员应准备内径为多大的管道？
（来自《点拨》）
知1－讲
导引：画出如图②所示的示意图，过圆心O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OB，若设⊙O的半径为r cm，在 Rt△BOD中，利用勾股定理列出关于r的方程，继而解出r的值．
（来自教材）
知2－讲
推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，即：如图，在⊙O中，
CD是直径 CD AB
CD平分AB

AD

BD
AB不是直径
AC BC
（来自《点拨》）
知2－讲
即：如图，在⊙O中，
CD是直径
CD AB
CD平分AB

AD AC

BD BC
知1－讲
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
C
O E
D
B
D
图3 A E O B C

《垂径定理》圆

详细描述
在解决与圆相关的周长问题时，我们常常需要计算圆的周长或某条弧的长度。利用垂径定理，我们可以找到与问题相关的半径或直径，从而确定圆的周长或弧的长度。此外，垂径定理还可以帮助我们解决与圆相关的对称性问题，例如找到对称轴或对称中心。
利用垂径定理解决与圆相关的弦长问题
总结词
在解决与圆相关的弦长问题时，垂径定理是一个非常有用的工具，它可以帮助我们找到解决问题的关键点，简化计算过程。
对垂径定理应用的思考与探索
垂径定理在解决实际问题中有着广泛的应用，例如在几何作图、建筑设计、机械制造等领域。对于垂径定理的应用，需要深入思考其应用场景和实际意义，探究其在解决实际问题中的作用和价值。
在探索垂径定理的应用过程中，需要注重实践和创新，尝试将垂径定理与其他数学知识相结合，以解决更加复杂和实际的问题。同时，也需要不断反思和总结，发现自己在应用垂径定理中的不足和问题，以不断提高自己的数学素养和应用能力。
证明方法二
利用相似三角形进行证明。设直径与弦交于点E，则根据相似三角形的性质，有 $triangle AOE sim triangle BOE$，其中AO和BO是半径，AE是弦到直径的垂直距离。由于两三角形相似，所以AE相等，弦被直径平分。
垂径定理的应用
应用一
计算弦的中点。根据垂径定理，如果知道弦的中垂线与直径的交点，就可以计算出弦的中点。
建筑设计中的应用
建筑设计中的圆形设计
垂径定理在建筑设计中有广泛的应用，如圆形屋顶、圆形窗户等的设计，可以利用垂径定理确保设计的准确性和美感。
圆形建筑的结构稳定性
利用垂径定理，建筑师可以更好地设计圆形建筑的结构，使其更加稳定和安全。
机械制造中的应用
机械零件的制造

垂径定理、圆周角

教学目的掌握垂径定理、圆周角和圆心角的关系教学重点垂径定理、圆周角教学内容（一）垂径定理1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．圆有无数条对称轴。

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。

2、垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

3、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

①平分弧的直径必平分弧所对的弦。

( )②平分弦的直线必垂直弦。

( )③垂直于弦的直径平分这条弦。

( )④平分弦的直径垂直于这条弦。

( )⑤弦的垂直平分线是圆的直径。

( )⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦。

( )⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧。

( )例题赏析如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．小试牛刀1、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．2、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？若此题只知下面弓形的高和AB的长，你仍然会做吗？60cm10cmA BO3、如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度ABD OBCA（二）弧、弦、圆心角1、圆心角的概念：顶点在圆心的角ABCDO2、弧、弦与圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。

1、相等的圆心角所对的弧相等。

( )2、相等的弧所对的弦相等。

( )3、相等的弦所对的弧相等。

圆与垂径定理

第13讲圆与垂径定理知识点1：圆的有关概念【例1】（1）圆两种定义方式：（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做．线段OA叫做．（b）圆是所有点到定点O的距离定长r的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够的弧叫等弧．（5）等圆：能够的两个圆叫等圆，半径的两个圆也叫等圆.【例2】如图所示，AB是圆的直径，则圆中的弦有条，分别是，劣弧有条，分别是．变式1. 下列说法正确的是（）填序号．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦．变式2. 如图，在⊙O中，半径有，直径有，弦有，劣弧有，优弧有．知识点2：半径组成的等腰三角形【例3】如图，在⊙O中，AB是O的弦，C、D是直线AB上两点，AC=BD．求证：OC=OD．变式3. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC=BD．【例4】如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则∠E=．变式4. 如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC=度．知识点3：垂径定理【例5】如图，在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，垂足为C，下列结论：①AC=BC，②=，③=，④OC=CN上述结论中，正确的有（填序号）【例6】如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于．变式5. 如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD=cm．变式6. 如图，⊙O的半径为6，OA与弦AB的夹角是30°，则弦AB的长度是．知识点4：垂径定理应用【例7】如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=4，DE=16，则AB的长为．变式7. 如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，若EB=1cm，CD=4cm，则弦心距OE的长是cm．【例8】如图，AB为⊙O的弦，P为AB上一点，且PA=8，PB=6，OP=4，则⊙O的半径为．变式8. 如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．【例9】如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是．变式9. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于E，DE=6cm，CE=2cm，（1）若∠AED=45°，求AB的长；（2）若EB=3cm，求AB的长．【例10】如图，已知在⊙O中，AB，CD两弦互相垂直于点E，AB被分成4cm和10cm两段．（1）求圆心O到CD的距离；（2）若⊙O半径为8cm，求CD的长是多少？变式10. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．【课堂训练】1. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=度．2. 如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B=∠C．求证：CE=BF．3. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知圆心为O，EF=CD=16厘米，则⊙O 的半径为多少厘米？4. 已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP 于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．5. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1，EB=5，∠DEB=60°，求CD的长．6. 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．7. 如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12．求线段EF的长．8. 如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，D为的中点，直径AD交BC于点E，AE=5，ED=1，则BC 的长是m．9. 如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE=2，EB=6，ED=3，则⊙O的半径为．10. 如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM的取值范围是．【课后训练】1．如图，在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，垂足为C，下列结论：①AC=BC，②=，③=，④OC=CN，上述结论中，正确的有（填序号）2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．若AB=2DE，∠E=18°，则∠C 的度数为．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是．4．AB、CD是⊙O的两条弦，∠AOB与∠C互补，∠COD与∠A相等，则∠AOB的度数是．5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=度．6．如图所示，⊙O内有折线OABC，其中OA=2，AB=4，∠A=∠B=60°，则BC的长为．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点C为圆心，CB为半径的⊙C与边AB交于点D．若点D为AB的中点，AB=6，则⊙C的半径长为．8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=4，CD=1，则EC的长为．9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于m．10．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．求证：△OAC≌△OBD．11．（2015•东西湖区校级模拟）如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．12．（2015秋•嵊州市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，E是弧BC的中点，OE交BC于点D，OD=3，DE=2，求BC和AD．。