圆(垂径定理)
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求证：AC＝BD。
O.
E AC
DB
图１
赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于 隋炀帝大业年间（595-605年），至今已 有1400年的历史，是今天世界上最古老 的石拱桥。上面修成平坦的桥面，以行 车走人.赵州桥的特点是“敞肩式”，是 石拱桥结构中最先进的一种。其设计者 是隋朝匠师李春。它的桥身弧线优美， 远眺犹如苍龙飞驾，又似长虹饮涧。尤 其是栏板以及望栓上的浮雕。充分显示 整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，称 得上是隋唐时代石雕艺术的精品。1991
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
讲解 垂径定理的应用
例1 如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8cm，圆心O到
A
AB的距离为3cm，求⊙O的
半径。
E
B
.
O
解：连接OA，作OABE于E. 1
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
D
CD为直径 条件
CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧ACB
CD平分弧ADB
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
练习1
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等
的线段或相等的圆弧.
D
A
B
E
A
O
A
E
C A
CE
O
B B
C
莲花初中
刘明权
27.1 圆的认识
（第3课时） 垂径定理
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱 高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱 的半径(精确到0.1m).
1、举例什么是轴对称图形。
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相 重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
课
堂 请围绕以下两个方面小结本节课：
小
结 1、从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
已知：如图１，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的 弦AB交小圆于C，D两点。
37.4
C
AD 1 AB137.418.7, 7.2
22 O D O C DCR7.2.
A 18.7 D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
O2AAD 2OD 2, 即 R 2 1.7 8 2 (R 7 .2 )2 .
R R-7.2
O
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
AE=2AB=4 OA= AE2+OE2=5
再逛赵州石拱桥
如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设知 A B 3.4 7 ,C D 7 .2 ,
D
直径AB和弦CD互相垂直
想一想： 条件 CD为⊙O的直径 CD⊥AB
C
结论
AE=BE ⌒⌒ AC=BC ⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
A
E
B 垂直于弦的直径平分弦，Biblioteka Baidu
D
并且平分弦对的两条弧。
垂径定理三种语言
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径,
2、举例什么是中心对称图形。
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够 和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
3、圆是不是轴对称图形？ 演 示
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴。
A
O
C
E
B
运动CD
问题：左图中AB为圆O的直径， CD为圆O的弦。相交于点E，当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊位置关系？
O
O
E
C
D
AE
B
B
D
O
D D
O
AE
B
C
练习 2
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。 A E B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
O.
E AC
DB
图１
赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于 隋炀帝大业年间（595-605年），至今已 有1400年的历史，是今天世界上最古老 的石拱桥。上面修成平坦的桥面，以行 车走人.赵州桥的特点是“敞肩式”，是 石拱桥结构中最先进的一种。其设计者 是隋朝匠师李春。它的桥身弧线优美， 远眺犹如苍龙飞驾，又似长虹饮涧。尤 其是栏板以及望栓上的浮雕。充分显示 整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，称 得上是隋唐时代石雕艺术的精品。1991
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
讲解 垂径定理的应用
例1 如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8cm，圆心O到
A
AB的距离为3cm，求⊙O的
半径。
E
B
.
O
解：连接OA，作OABE于E. 1
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
D
CD为直径 条件
CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧ACB
CD平分弧ADB
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
练习1
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等
的线段或相等的圆弧.
D
A
B
E
A
O
A
E
C A
CE
O
B B
C
莲花初中
刘明权
27.1 圆的认识
（第3课时） 垂径定理
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱 高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱 的半径(精确到0.1m).
1、举例什么是轴对称图形。
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相 重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
课
堂 请围绕以下两个方面小结本节课：
小
结 1、从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
已知：如图１，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的 弦AB交小圆于C，D两点。
37.4
C
AD 1 AB137.418.7, 7.2
22 O D O C DCR7.2.
A 18.7 D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
O2AAD 2OD 2, 即 R 2 1.7 8 2 (R 7 .2 )2 .
R R-7.2
O
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
AE=2AB=4 OA= AE2+OE2=5
再逛赵州石拱桥
如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设知 A B 3.4 7 ,C D 7 .2 ,
D
直径AB和弦CD互相垂直
想一想： 条件 CD为⊙O的直径 CD⊥AB
C
结论
AE=BE ⌒⌒ AC=BC ⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
A
E
B 垂直于弦的直径平分弦，Biblioteka Baidu
D
并且平分弦对的两条弧。
垂径定理三种语言
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径,
2、举例什么是中心对称图形。
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够 和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
3、圆是不是轴对称图形？ 演 示
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴。
A
O
C
E
B
运动CD
问题：左图中AB为圆O的直径， CD为圆O的弦。相交于点E，当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊位置关系？
O
O
E
C
D
AE
B
B
D
O
D D
O
AE
B
C
练习 2
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。 A E B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E