第3章 命题逻辑的推理证明
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离散数学课件03命题逻辑的推理理论
((┐p∧┐q)∨p) ∨ q
((┐p∨p )∧(┐q∨p)) ∨ q
(┐q∨p) ∨ q 1
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由定理 3.1可知， 推理正确。
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推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B)
附加律
(2) (A∧B) A
化简律
(3) (A→B)∧A B
假言推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A
拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
析取三段论
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C)
假言三段论
(7) (AB) ∧ (BC) (A C)
等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B
构造性二难 构造性二难
(特殊形式)
(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐精D选)课件pp(t ┐A∨┐C) 破坏性二难16
只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
推理正确，并不能保证结论B一定为真。
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例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
正确 不正确
p q p(p→q) q p(q→p)
推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
证明是描述推理正确或错误的过程。
要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或 正确的。
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4
命题逻辑的推理理论
概念
描述问题 的句子
《逻辑学》第三章 命题的自然推理
基本真值联结词 ¬ 否定 ∧ 合取 ∨ 析取 蕴涵 等值
5种基本真值形式
¬ p 否定式
p ∧q 合取式 pq 蕴涵式 pq 等值式
p∨q 析取式 真值函项
函数讲的是数值关系，一个函数的值依赖于其中变数的值 y＝f（x），即y的值f（x）由x的取值决定。 与函数类比 真值函项讲的是真值（真假）关系，一个真值形式的值依 赖其变项的值，如p∧q的值，由p和q的值决定。 每一真值形式都是真值函项；真值形式与真值函项的数目并不一样多， 真值形式的数目无限，真值函项数却是确定的；不同的真值形式，表 达相同的真值函项；真值函项是对公式中变项的真假组合的真值断定， 变项组合数2n，对每一组合有真假两种断定，故真值函项数为22n。 当n（变项数）为1时，其真假组合为2，对真假组合的断定有4种可 能，即真值函项有4个；变项数为2，则真值函项有16个；变项数为3， 则真值函项为256个。
f9 f8 的矛盾式
f13 f4 的矛盾式
f14 f3 的矛盾式 f15 f2 的矛盾式
f10
f12
f7 的矛盾式
f5 的矛盾式
f11 f6 的矛盾式
f16
f1 的矛盾式
随着变项数目的增加，函项数也增加，当变项数目为3时，函项数目达 到256个。但不管函项数是多少，重言式的函项只是一个，矛盾式的函 项也是一个，其余均是可满足式。真值函项有3类，那么，表达真值函 项的真值形式也有3类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）和可满 足式（可真可假式）。当然，每一类真值函项包括很多的真值形式， 而同一类真值函项的真值形式是等值的。
但逻辑学难以对付诸如相关性、顺序等影响命题真假的因素。逻辑研究 撇开逻辑联结词在自然语言中的非真值意义，仅从复合命题与支命题之 间的真假制约关系来考虑逻辑联结词，这样，逻辑联结词就成为真值联 结词；命题的逻辑形式也就成为真值形式。
3形式逻辑-第三章 简单命题及其推理(上)
例如：从“他们都不是学生”可推出一 个等值命题：“他们都是非学生”。
A、E、I、O都可以按上述方法进行换质 法变形推理：
原命题 SAP SEP SIP SOP
换质命题 SE﹁P SA﹁P SO﹁P SI﹁P
⑵换位法，改变原命题主项和谓项的位 置而推出一个新命题的推理方法。
步骤:第一，只更换主、谓项的位置；第 二，换位命题的主、谓项不得扩大原命 题中的对应项的周延情况。
(2) 按照前提和结论一般性程度的不同，可以把推理分为演 绎、归纳和类比。演绎是由一般性的前提推到个别性的结论； 演绎推理的前提必须蕴涵结论，即一个正确的演绎推理的前提 如果是真的，则结论一定是真的，所以它一定是必然性推理。 归纳是由个别性的前提推到一般性的结论；类比是由个别性的 前提推到个别性的结论。归纳和类比就是所说的或然性推理。
2.命题和语句
(1)命题是表达判断的语句，但并非所有语句都表达 命题。只有能区分其真或假的语句才构成命题。
语句主要有四种，即陈述句、疑问句、祈使句和感 叹句。其中陈述句一般是能区分真假的，它是命题的最 基本语言形式；疑问句、祈使句、感叹句一般不直接表 达判断，所以不是命题；但反诘疑问句、预设句因为隐 含着判断，所以是命题。
(2)一类推理的正确性，必须分析到简单命题即原子命题所包含 的概念即词项才能判定，则这种推理就称为简单命题推理即词 项推理。相应的逻辑称为词项逻辑。
例如：所有谎言是不可信的
所有S是P
有些谎言是不可信的
有些S是P
另一类推理的正确性，如果只要分析到其中所包含的简单命 题即原子命题为止即可判定，那么这类推理就称为复合命题推 理即命题推理。相应的逻辑称为命题逻辑。
直言命题A、E、I、O四种形式的换 质位情况归纳如下:
A、E、I、O都可以按上述方法进行换质 法变形推理：
原命题 SAP SEP SIP SOP
换质命题 SE﹁P SA﹁P SO﹁P SI﹁P
⑵换位法，改变原命题主项和谓项的位 置而推出一个新命题的推理方法。
步骤:第一，只更换主、谓项的位置；第 二，换位命题的主、谓项不得扩大原命 题中的对应项的周延情况。
(2) 按照前提和结论一般性程度的不同，可以把推理分为演 绎、归纳和类比。演绎是由一般性的前提推到个别性的结论； 演绎推理的前提必须蕴涵结论，即一个正确的演绎推理的前提 如果是真的，则结论一定是真的，所以它一定是必然性推理。 归纳是由个别性的前提推到一般性的结论；类比是由个别性的 前提推到个别性的结论。归纳和类比就是所说的或然性推理。
2.命题和语句
(1)命题是表达判断的语句，但并非所有语句都表达 命题。只有能区分其真或假的语句才构成命题。
语句主要有四种，即陈述句、疑问句、祈使句和感 叹句。其中陈述句一般是能区分真假的，它是命题的最 基本语言形式；疑问句、祈使句、感叹句一般不直接表 达判断，所以不是命题；但反诘疑问句、预设句因为隐 含着判断，所以是命题。
(2)一类推理的正确性，必须分析到简单命题即原子命题所包含 的概念即词项才能判定，则这种推理就称为简单命题推理即词 项推理。相应的逻辑称为词项逻辑。
例如：所有谎言是不可信的
所有S是P
有些谎言是不可信的
有些S是P
另一类推理的正确性，如果只要分析到其中所包含的简单命 题即原子命题为止即可判定，那么这类推理就称为复合命题推 理即命题推理。相应的逻辑称为命题逻辑。
直言命题A、E、I、O四种形式的换 质位情况归纳如下:
命题逻辑的推理规则和证明方法
命题逻辑的推理规则和证明方法命题逻辑是一种对简单命题和命题之间关系的形式化推理系统，广泛应用于数学、计算机科学和哲学等领域。
在命题逻辑中，推理规则和证明方法被用来推导出真实或假设的命题之间的关系。
本文将介绍命题逻辑的一些常见推理规则和证明方法。
1. 推理规则命题逻辑的推理规则是用来推导命题之间关系的规则。
以下是一些常见的推理规则：（1）析取引入规则（Disjunction Introduction Rule）：如果命题P 成立，则P或Q成立。
表示为P -> (P ∨ Q)。
（2）析取消去规则（Disjunction Elimination Rule）：如果P或Q 成立，且根据P和Q均能推导出命题R，则R成立。
表示为((P ∨ Q), (P -> R), (Q -> R)) -> R。
（3）合取引入规则（Conjunction Introduction Rule）：如果P和Q 成立，则P且Q成立。
表示为(P, Q) -> (P ∧ Q)。
（4）合取消去规则（Conjunction Elimination Rule）：如果P且Q 成立，则P和Q均成立。
表示为(P ∧ Q) -> (P, Q)。
（5）蕴含引入规则（Implication Introduction Rule）：如果根据P 能推导出Q，则P蕴含Q成立。
表示为((P -> Q) -> Q) -> (P -> Q)。
（6）蕴含消去规则（Implication Elimination Rule）：如果P和P蕴含Q成立，则Q成立。
表示为((P, (P -> Q)) -> Q)。
2. 证明方法证明是在命题逻辑中用于证明命题之间关系的方法。
以下是一些常见的证明方法：（1）直接证明法：假设前提命题成立，通过适当的推理规则证明出结论命题成立。
这种方法常用于证明蕴含关系。
（2）间接证明法（反证法）：假设结论命题不成立，通过适当的推理规则推导出与已知事实相矛盾的命题，从而得出结论命题成立的结论。
逻辑学课件第三讲 命题的判定与命题逻辑的形式证明
f（3）是 p ， p → p， p ∨ p 等公式表达的真值函 项，表示这一函项的值与变项本身表达的值相反。
f（4）是 p ∧ p， （ p ∨ p）， （p→ p）等公式表 达的真值函项，表示不论变项有真值还是假值，公式总有假的
值。
设n=2，用“f（）”表示真值函项，那么有2个变项的公 式表达的真值函项可用下表表示：
f（9）是和f（8）矛盾的函项。 f（10）是和f（7）矛盾的函项，对不相容选言命题的抽象可以
得到这种真值形式，表达 f（10） 的公式 （p↔q）也称作反等 值。 f（11）是和f（6）矛盾的函项，它的真值与p无关，而与非q的 真值相同。 f（12）是和f（5）矛盾的函项，表达 它 的公式 （p →q ）有 时也称作反蕴涵。 f（13）是和f（4）矛盾的函项，它的真值与q无关，而与非p的 真值相同。 f（14）是和f（3）矛盾的函项。 f（15）是和f（2）矛盾的函项。 f（16）是和f（1）矛盾的函项，表示不论p和q取何真值，公式 总有假的真值。
p→q∧q （p→q∧q）→p
3）根据五个基本真值表，依次确定出所列公式的真值。如果这 个公式在各种情况下都是真的，就判定它是重言式，否则就判 定它不是重言式。
p q p q q∧q p→q∧q （p→q∧q）→p
TT F F F
F
T
TF F T F
F
T
FT T F F
T
T
FF T T F
T
T
从上面这个真值表可以看出，这个公式为重言式。 注意：每一栏的真值情况要写在该栏的主联结词下面。
F
F
T
T
F
F
FFT F T F T F T F T F
T
F
f（4）是 p ∧ p， （ p ∨ p）， （p→ p）等公式表 达的真值函项，表示不论变项有真值还是假值，公式总有假的
值。
设n=2，用“f（）”表示真值函项，那么有2个变项的公 式表达的真值函项可用下表表示：
f（9）是和f（8）矛盾的函项。 f（10）是和f（7）矛盾的函项，对不相容选言命题的抽象可以
得到这种真值形式，表达 f（10） 的公式 （p↔q）也称作反等 值。 f（11）是和f（6）矛盾的函项，它的真值与p无关，而与非q的 真值相同。 f（12）是和f（5）矛盾的函项，表达 它 的公式 （p →q ）有 时也称作反蕴涵。 f（13）是和f（4）矛盾的函项，它的真值与q无关，而与非p的 真值相同。 f（14）是和f（3）矛盾的函项。 f（15）是和f（2）矛盾的函项。 f（16）是和f（1）矛盾的函项，表示不论p和q取何真值，公式 总有假的真值。
p→q∧q （p→q∧q）→p
3）根据五个基本真值表，依次确定出所列公式的真值。如果这 个公式在各种情况下都是真的，就判定它是重言式，否则就判 定它不是重言式。
p q p q q∧q p→q∧q （p→q∧q）→p
TT F F F
F
T
TF F T F
F
T
FT T F F
T
T
FF T T F
T
T
从上面这个真值表可以看出，这个公式为重言式。 注意：每一栏的真值情况要写在该栏的主联结词下面。
F
F
T
T
F
F
FFT F T F T F T F T F
T
F
3第三章 命题逻辑的推理理论
从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 语义(semantics)推理注重内涵的正确性 也就是从真 语义(semantics)推理注重内涵的正确性, 也就是从真 推理注重内涵的正确性, 要推出真的结论来, 的前提出发要推出真的结论来 推理过程考虑得少, 的前提出发要推出真的结论来, 推理过程考虑得少,关 心的是结论的正确性。 心的是结论的正确性。 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 则注重形式上的有效 合某些事先规定的逻辑规则, 结论是严格遵循规则 合某些事先规定的逻辑规则, 若结论是严格遵循规则 有效的 得到的, 那便是有效 得到的, 那便是有效的。 数理逻辑主要采用语法推理, 数理逻辑主要采用语法推理, 它关心的是结论的有效 不关心前提的实际真值, 性，而不关心前提的实际真值, 当然语法推理作为一 种推理方法, 种推理方法, 它必须能反映客观事物中真实存在的逻 辑关系, 语法推理必须保证语义上的正确性 必须保证语义上的正确性。 辑关系, 即 语法推理必须保证语义上的正确性。
3、2.1节给出的24个等值式中的每个都可以 2.1节给出的 个等值式中的每个都可以 节给出的24 派生出两条推理定律。 派生出两条推理定律。 例如：双重否定律 A⇔¬¬A ⇔¬¬A 例如： 可以产生两条推理定律 A⇒¬¬A ¬¬A ¬¬A ¬¬A ⇒A
§3.2 自然推理系统P 自然推理系统P
由上一节知识可知，可以利用真值表法、等值演算法 由上一节知识可知，可以利用真值表法、 真值表法 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 三种方法来判断推理是否正确 但是，当推理中包含的命题变项较多时，以上三种 命题变项较多时 但是，当推理中包含的命题变项较多 方法的演算量太大。因此对于由前提A1, A2,…,Ak推 方法的演算量太大。因此对于由前提A B的正确推理应给出严谨的证明。 正确推理应给出严谨的证明。 证明是一个描述推理过程的命题公式序列， 证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每 是一个描述推理过程的命题公式序列 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 已知前提或者是 到的结论。 到的结论。
命题逻辑的推理理论
精品课件
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实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (p®q)Ùp®q
证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB Þ A
论
析取三段
(A®B)Ù(B®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
推理的形式结构。
精品课件
说明（2）
设任一A1组，赋A2值，a…1a，2…Aka，n （B中ai＝共0出或现1n，个命i＝题1变，项2，，…对n于），
前提和结论的取值情况有以下四种：
（1） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为0； （2） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为1； （3） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为0； （4） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为1。
AB
(12) 合取引入规则
CD
课件
构造证明——直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明；
（1） 前提：p Ú q， q ® r， p ® s ， Ø s 结论：r Ù （p Ú q）
（2）前提： Ø p Ú q， r Ú Ø q ，r ® s 结论：p ® s
精品课件
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实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (p®q)Ùp®q
证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB Þ A
论
析取三段
(A®B)Ù(B®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
推理的形式结构。
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说明（2）
设任一A1组，赋A2值，a…1a，2…Aka，n （B中ai＝共0出或现1n，个命i＝题1变，项2，，…对n于），
前提和结论的取值情况有以下四种：
（1） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为0； （2） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为1； （3） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为0； （4） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为1。
AB
(12) 合取引入规则
CD
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构造证明——直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明；
（1） 前提：p Ú q， q ® r， p ® s ， Ø s 结论：r Ù （p Ú q）
（2）前提： Ø p Ú q， r Ú Ø q ，r ® s 结论：p ® s
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第三章推理的形式结构
充分性: 若蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式，则对于任何赋 值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件为假 的情况，即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧Ak为假， 或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真，这正符合定义3.1中 推理正确的定义。 由此定理知，推理形式： 前提：A1,A2,…,Ak 结论：B 是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式。
以引入前提。
（2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得 到的结论都可以作为后继证明的前提。 （3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公 式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到 公式序列中的又一个公式。
（4） 假言推理规则
（5） 附加规则：
（6） 化简规则：
（7） 拒取式规则：
（8） 假言三段论规则：
A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值，
或者A1∧A2 ∧…∧Ak为假，或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为 真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推 理是有效的或正确的，并称B是有效结论。 其中，前提是一个有限的公式集合，记为Г。 将由Г推B的推理记为Г├ B。 若推理是正确的，则记为Г B，否则记为Г B。
（9） 析取三段论规则：
（10） 构造性二难推理：
（11） 破坏性二难推理规则：
（12） 合取引入规则：
P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P 中的规则，推出结论。当然此结论也为P中公式。
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) 证明： ① p→s ② ┐s 前提引入
结论的否定 前提引入 前提引入 ②③析取三段 前提引人 ④⑤拒取式 ⑥置换 前提引入 ⑦⑧析取三段
第三章.命题逻辑
第三章命题逻辑重点：掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义；利用真值表技术和公式转换方式求公式的主析取范式和主合取范式；利用规则、基本等价和蕴涵公式、三种不同的推理方法完成命题逻辑推理；难点：如何正确地掌握对语言的翻译，如何利用推理方法正确的完成命题推理。
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其他分支、计算机学科、人工智能、语言学等学科均有十分密切的联系，并且益显示出它的重要作用和更加广泛的应用前景。
要很好地使用计算机，就必须学习逻辑。
数理逻辑分五大部分。
在离散数学中仅介绍命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑是谓词逻辑的基础，只有掌握了命题逻辑，才能学好谓词逻辑。
对于命题逻辑，下面从六个知识点来加以阐述。
3.1 命题符号化及联系结词1 命题有确切真值的陈述句称为命题。
所谓确切真值是指在具体的环境，具体的时间，具体的对象，具体的位置等情况下能唯一确定真值的。
命题分为两种：(1) 简单命题：不能分解为更为简单的句子的命题。
(2)复合命题：能够分解为更为简单的命题。
2 命题联结词关于联结词，有如下几点要注意：（1）此联结词是联结的句子与句子之间的联结，而非单纯的名记号、形容词、数词等的联结；（2）此联结词是两个句子真值之间的联结词，而非句子的具体含义的联结，两句子之间可以无任何的内在联系；（3）联结词与自然语言之间的对应并非一一对应，如合取联结词“∧”对应了自然语言中的“既……又……”、“不仅……而且……”、“虽然……但是……”、“并且”、“和”、“与”等。
如蕴涵联结词“→”，P →Q 对应了自然语言中的“加P 则Q ”，“只要P 就Q ”，“P 仅当Q ”，“只有Q 才P ”，“除非Q 否则乛P ”等。
如等价联结词“←→ ”对应了自然语言中的“等价”、“并且仅当”、“充分必 ”等。
如析取联结词∨是对应相容的或(中兼的或)。
3.2 命题公式及分类一般称具有确切真值的简单命题叫命题常量，用P ，Q ，R ，…等表示。
第3章2命题逻辑推理系统
真值形式最外层的括号根据五个 联结词的结合力可以省略，结合 力按照下列顺序递减： 、∧、∨、→、←→ (p∧q)→r) ←→(p∨s) 可以省略为： p∧q→r ←→p∨s
复合命题真假与其支命题真假之间的 关系与数学中的函数类似。在数学中， 函数是用下面的公式表示的： y=f（x） 其中，x是自变元，y是函数的值，f是 函数关系。例如：y=x2
p三命题逻辑的自然推理系统自然推理系统没有公理只有一组推理规则它从假设前提出发进行推演在推理过程中随时引入假设并根据规则消去假设最后获得被求证公式
第三节 命题演算 一、重言式及其判定 （一）真值联结词、真值形式 复合命题形式在数理逻辑中叫真值 形式。表示关系的联结词叫真值联 结词。 真值联结词是日常语言联结词在真 假关系上的一种抽象。
（A） B
B
∴ A
12、否定消除规则（－）：在给定 前提下，由引入假设的A，推出B和 B，那么由此可推出A；
（ A）
B
B
∴ A
（三）自然推理系统定理的证明
定理1：p→（p∨q）
证明：
1、p 2、p∨q 3、p→（p∨q） （P） （1∨＋） （1，2→＋）
（二）真值函项的种类及其判定方法 （1）真值函项的种类 按真值函项的取值，真值函项分为： 常真的。 常假的。 可满足的。 真值形式也分为三类： 重言式。如：p∨p、p→p等。 矛盾式。如：p∧p、p←→p。 可满足式。如：p∨q、p→q。
命题逻辑中有效的推理在形式 上都是重言式。要判定一个复 合命题推理是否有效，其实质 也就是判定反映该推理的公式 是否为重言式。 介绍两种判定重言式的方法： 真值表法 归谬赋值法。
真值形式的数目是无穷的，但是 在命题变项的数目给定之后，真 值函项的数目也就确定了。 n个命题变项的真假组合会有多少 个真值函项？
命题逻辑的推理理论
10:44:53
16
直接证明法
(2) 写出证明的形式结构
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq (3) 证明 ① r s ② s ③ r ④ (p q) r 前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
⑤ (p q)
⑥ pq
③④拒取式
⑤置换
10:44:53
17
附加前提证明法
可见，推理的有效性是一回事，前提与结论的 真实与否是另一回事。所谓推理有效，指它的结 论是它的前提的合乎逻辑的结果，也即，如果它 的前提都为真，那么所得结论也必然为真，而并 不是要求前提或结论一定为真或为假。如果推理 是有效的话，那么不可能它的前提都为真时而它 的结论为假。
10:44:53
4
推理的形式结构
10:44:53
25
练习1解答
方法二：主析取范式法， (pq)qp ((pq)q)p pq M2 m0m1m3 未含m2, 不是重言式, 推理不正确.
10:44:53
26
10:44:53
27
练习1解答
(2) 前提：qr, pr 结论：qp 解 推理的形式结构： (qr)(pr)(qp) 用等值演算法
附加前提证明法: 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak
结论：CB 前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
等价地证明
理由：(A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
10:44:53
8
推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
3. (AB)A B 4. (AB)B A
离散数学第3章 命题逻辑
0
0
0
1 1 0 0
1 0 1 0
0
13
一般来说, 只要不是非常明显的不可兼就使用.
例 p: 今天晚上我在寝室上自习, q :今天晚上我去电影 院看电影. 今天晚上我在寝室上自习或去电影院看电影。 p q.
14
5. 蕴涵(条件)联结词 : p q p: 我有时间, q : 我去看望我的父母. p q : 如果我有时间, 那么我去看望我的父母 . “”相当于“如果…那么…”, “若…则…”,等. p q 可读作“(若)p则q”. p称为前件, q称为后件.
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 pq 1 1 1 0
12
4. 异或联结词 : p q “不可兼或”, 它表示两者不能同时为真
例 p: 明天去深圳的飞机是上午八点起飞, q :明天去深圳 的飞机是上午八点半起飞. p q: 明天去深圳的飞机是上午八点或上午八点半起飞 . p 1 1 0 q 1 0 1 pq 0 1 1 p q pq 1 1 1
2
例
判断下列语句是否是命题. 2 + 3 = 5. √ 大熊猫产在我国东北. √ x > 3. 立正！ 这朵花真漂亮！ 你喜欢网络游戏吗? 1+1=10. √ 火星上有生物. √ 我说的都是假话. 小王和小李是同学. √ 你只有刻苦学习,才能取得好成绩. √
3
2. 命题的真值 命题的真值就是命题的逻辑取值. 经典逻辑值只有两个: 1和0 在数理逻辑中, 更多时候逻辑真是用 T(True) 或 t, 逻辑假用 F(False) 或 f 表示的.
离散数学第三章 命题逻辑的推理理论
3
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
19
练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
16
例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
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练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
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例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
第三章 直言命题逻辑
四. 周延性
当命题断言了词项（主项或谓项）所指称的类的每一成员时 ，我们就是这个词项是周 延的，否则就是不周延的。根据这个标准，我们可判定：
1. 主项 S 在下列两种命题中是周延的。 A 命题：所有 S 都是 P。 E 命题：所有 S 都不是 P。
2. 谓项 P 在下列两种命题中是周延的。 E 命题：所有 S 都不是 P。 O 命题：有些 S 不是 P。
其二，谓项不是名词而是形容词。例 如，“有些人是好的”。在 这 里，“好的”是形容 词，并不代表一个类。因此，我们通常需要通过添加一个名词，使其代表一类事物 。比如， 我们可以将其修改为“有些人是好人”。
其三，量项不在直言命题的第一个位置。例如，“我们班的所有同学都是中国人”。这 个命题改为“所有我们班的同学都是中国人”。这样 ，它就变成了一个标准形式的直言命 题。
5
分析 这是一个 I 命题，其形式是“有些 S 是 P”。其正确的文恩图是：
S*P
画出下列两个命题的文恩图。 1. 有些士兵不是英雄。 2. 有些学生是广东人。
思考题
三. 欧拉图
欧拉图也是可以用来表示直言命题主、谓项分别指称的两个类之间关系
的图形表示法。这是由瑞士数学家和物理学家欧拉（Leonhard Paul Euler,
（2） 主项。主项是一个用来指称一类事物的语词或短语而且它一定是名词或代词，它 占据直言命题的第二个位置，如：“所有广东人 是中国人”。在主项所表达的事物类中，其 成员一个都没有，即为空类；可能有一个成员，即为单独词项；可能有两个或两个以上成 员，即为普遍词项。
（3） 联项。联项是用来连接主项与谓项的项。它占据直言命题的第三个位置，如：“所 有广东人是 中国人”。A 命题和 I 命题的联项是“是”，E 命题和 O 命题的项是“不是”。
命题逻辑的推理规则与证明方法
命题逻辑的推理规则与证明方法引言命题逻辑是一门研究命题间逻辑关系和推理规则的学科。
在逻辑学中，命题是可以明确判断真假的陈述句，推理则是基于已知的命题通过逻辑规则得出新的命题。
本文将讨论命题逻辑中常用的推理规则和证明方法，以帮助读者理解和应用命题逻辑。
一、命题逻辑的基本概念在开始讨论推理规则和证明方法之前，我们先来简要介绍命题逻辑的基本概念。
1. 命题：命题是可以明确判断真假的陈述句。
例如：“今天是星期一”和“2加2等于4”都是命题。
2. 命题联结词：命题联结词是用于连接、变换和修饰命题的词语。
例如：“与”、“或”、“非”等常见的命题联结词。
3. 命题公式：命题公式是由命题和命题联结词组成的符号串。
例如：“p∧q”、“p∨q”等都是命题公式。
二、命题逻辑的推理规则在命题逻辑中，推理规则是用来根据已知的命题推出新的命题的准则。
下面列举几种常见的推理规则：1. 蕴含规则（Implication Rule）：如果已知一个命题“p蕴含q”，即“p→q”，那么可以推出新的命题“如果p成立，则q必定成立”。
2. 合取规则（Conjunction Rule）：如果已知两个命题“p”和“q”，那么可以推出新的命题“p与q同时成立”。
3. 析取规则（Disjunction Rule）：如果已知两个命题“p”和“q”，那么可以推出新的命题“p或q至少一个成立”。
4. 反言规则（Contraposition Rule）：如果已知一个命题“p蕴含q”，那么可以推出新的命题“非q蕴含非p”。
以上仅是命题逻辑中推理规则的几个例子，实际上还有许多其他的推理规则，读者可以根据具体需求进行学习和应用。
三、命题逻辑的证明方法在命题逻辑中，证明是用来推断一个命题是否成立的过程。
下面介绍两种常见的证明方法：1. 直接证明法：直接证明法是通过列举前提和推理步骤来证明一个命题的真假。
具体步骤包括：首先列出已知的前提命题，然后使用推理规则逐步推导得出新的命题，最后得出目标命题。
第三章__经典逻辑推理
C12是它们的 设 C1与 C2 是子句集S中的两个子句， 归结式，若把 C12 加入S中，得到新子句集 S2 ， 则S与 S2在不可满足的意义上是等价的，即
推论2
S2的不可满足性 S的不可满足性
3.3.5 使用归结原理证明问题
设F为已知前提的公式集，G为目标公式（结 论），用归结反演证明Q为真的步骤是：
结论：由大前提推出的适合于小前提所示情况的新判断
– 在任何情况下，由演绎推导出的结论都是蕴涵在大前提的一般性知识中 – 只要大前提和小前提是正确的，则由它们推出的结论必然是正确的
归纳推理
归纳推理
从足够多的事例中归纳出一般性 结论的推理过程，是一种从个别到一 般的推理
完全归纳推理
在进行归纳时考察 了相应事物的全部 对象，并根据这些 对象是否都具有某 种属性，从而推出 这个事物是否具有 这个属性
3.3.1 子句
9
谓词公式化为子句集 步骤
5
把全 称量词 移到公 式左边
8
消去 合取 词
7
对 变元 更名 消去全 称量词
6
利用等价关系 把公式化为 Skolem标准形
3.3.1 子句
Skolem标准形的一般形式
(x1 )(x2 )(xn )M，其中M为合取式
定理：设有谓词公式F，其标准形的子句集为S， 则F不可满足的充要条件是S不可满足。
3.1.3 推理的控制策略
出现冲突的情况
正向推理: 如果有多条产生式规 则的前件都和已知的 事实匹配成功；或者 有多组不同的已知事 实都与同一条产生式 规则的前件匹配成功； 或者两种情况同时出 现 逆向推理: 如果有多条产生 式的后件都和同 一假设匹配成功， 或者有多条产生 式后件可与多个 假设匹配成功
推论2
S2的不可满足性 S的不可满足性
3.3.5 使用归结原理证明问题
设F为已知前提的公式集，G为目标公式（结 论），用归结反演证明Q为真的步骤是：
结论：由大前提推出的适合于小前提所示情况的新判断
– 在任何情况下，由演绎推导出的结论都是蕴涵在大前提的一般性知识中 – 只要大前提和小前提是正确的，则由它们推出的结论必然是正确的
归纳推理
归纳推理
从足够多的事例中归纳出一般性 结论的推理过程，是一种从个别到一 般的推理
完全归纳推理
在进行归纳时考察 了相应事物的全部 对象，并根据这些 对象是否都具有某 种属性，从而推出 这个事物是否具有 这个属性
3.3.1 子句
9
谓词公式化为子句集 步骤
5
把全 称量词 移到公 式左边
8
消去 合取 词
7
对 变元 更名 消去全 称量词
6
利用等价关系 把公式化为 Skolem标准形
3.3.1 子句
Skolem标准形的一般形式
(x1 )(x2 )(xn )M，其中M为合取式
定理：设有谓词公式F，其标准形的子句集为S， 则F不可满足的充要条件是S不可满足。
3.1.3 推理的控制策略
出现冲突的情况
正向推理: 如果有多条产生式规 则的前件都和已知的 事实匹配成功；或者 有多组不同的已知事 实都与同一条产生式 规则的前件匹配成功； 或者两种情况同时出 现 逆向推理: 如果有多条产生 式的后件都和同 一假设匹配成功， 或者有多条产生 式后件可与多个 假设匹配成功
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推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq
用等值演算法 (pq)pq
((pq)p)q pqq 1 由定理3.1可知推理正确
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
拒取式
5. (AB)B A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
8. (AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
(AB)(AB) B
构造性二难(特殊形式)
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容 第一节 推理的形式结构 推理的正确与错误 推理的形式结构 判断推理正确的方法 推理定律 第二节 自然推理系统P 形式系统的定义与分类 自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
1
3.1 推理的形式结构
定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假，或当A1A2…Ak为真时，B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确 的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式 注意: 推理正确不能保证结论一定正确
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
13
附加前提证明法实例
例3 构造下面推理的证明 2是素数或合数. 若2是素数，则 是无理数. 若 是无理 数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.
解 用附加前提证明法构造证明 (1) 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 是无理数，s：4是素数 (2) 推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
明的前提。 (3) 置换规则：在证明的任何步骤，命题公式中的子公式都可以用等值
的公式置换，得到公式序列中又一个公式。
8
推理规则
Hale Waihona Puke (4) 假言推理规则 AB A ∴B
(6) 化简规则
AB ∴A
(8) 假言三段论规则 AB BC
∴AC
(5) 附加规则
A ∴AB
(7) 拒取式规则 AB B ∴A
(9) 析取三段论规则 AB B ∴A
9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
6
3.2 自然推理系统P
定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I). 记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统. 形式系统分为： 自然推理系统: 无公理, 即AX(I)= 公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
14
附加前提证明法实例
(3) 证明 ①s ② pr ③ rs ④ ps ⑤ p ⑥ pq ⑦q
附加前提引入 前提引入 前提引入 ②③假言三段论 ①④拒取式 前提引入 ⑤⑥析取三段论
15
归谬法（反证法）
归谬法 (反证法) 欲证
9
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC
∴BD (12) 合取引入规则
A B ∴AB
(11) 破坏性二难推理规则 AB CD
BD ∴AC
10
在自然推理系统P中构造证明
设前提A1, A2,, Ak,结论B及公式序列C1, C2,, Cl. 如果每 一个Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用推理 规则得到, 并且Cl =B, 则称这个公式序列是由A1, A2,, Ak推 出B的证明
4
推理实例
(2) 推理的形式结构: (pq)qp 用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确
5
推理定律——重言蕴涵式
一些重要的重言蕴含式，称为推理定律。
1. A (AB)
例2 构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我明天就有课. 若我明天有 课，今天必备课. 我今天没备课. 所以，明天不是星期一、 也不是星期三.
解 (1) 设命题并符号化
设 p：明天是星期一，q：明天是星期三，
r：我明天有课，s：我今天备课
11
直接证明法
(2) 写出证明的形式结构
前提：(pq)r, rs, s
7
自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下: 1. 字母表 (1) 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … (2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗号：(, ), ， 2. 合式公式（同定义1.6） 3. 推理规则
(1) 前提引入规则：在证明的任何步骤都可以引入前提。 (2) 结论引入规则：在证明的任何步骤所得到的结论都可以作为后继证
结论：pq
(3) 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r 前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
12
附加前提证明法
附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由：
(A1A2…Ak)(CB)
2
推理的形式结构
推理的形式结构 1. {A1, A2, …, Ak} B
若推理正确, 记为{A1,A2,,An} B 2. A1A2…AkB
若推理正确, 记为A1 A2 … Ak B 3. 前提： A1, A2, … , Ak
结论： B
判断推理是否正确的方法: 真值表法 等值演算法 主析取范式法
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq
用等值演算法 (pq)pq
((pq)p)q pqq 1 由定理3.1可知推理正确
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
拒取式
5. (AB)B A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
8. (AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
(AB)(AB) B
构造性二难(特殊形式)
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容 第一节 推理的形式结构 推理的正确与错误 推理的形式结构 判断推理正确的方法 推理定律 第二节 自然推理系统P 形式系统的定义与分类 自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
1
3.1 推理的形式结构
定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假，或当A1A2…Ak为真时，B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确 的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式 注意: 推理正确不能保证结论一定正确
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
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附加前提证明法实例
例3 构造下面推理的证明 2是素数或合数. 若2是素数，则 是无理数. 若 是无理 数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.
解 用附加前提证明法构造证明 (1) 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 是无理数，s：4是素数 (2) 推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
明的前提。 (3) 置换规则：在证明的任何步骤，命题公式中的子公式都可以用等值
的公式置换，得到公式序列中又一个公式。
8
推理规则
Hale Waihona Puke (4) 假言推理规则 AB A ∴B
(6) 化简规则
AB ∴A
(8) 假言三段论规则 AB BC
∴AC
(5) 附加规则
A ∴AB
(7) 拒取式规则 AB B ∴A
(9) 析取三段论规则 AB B ∴A
9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
6
3.2 自然推理系统P
定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I). 记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统. 形式系统分为： 自然推理系统: 无公理, 即AX(I)= 公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
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附加前提证明法实例
(3) 证明 ①s ② pr ③ rs ④ ps ⑤ p ⑥ pq ⑦q
附加前提引入 前提引入 前提引入 ②③假言三段论 ①④拒取式 前提引入 ⑤⑥析取三段论
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归谬法（反证法）
归谬法 (反证法) 欲证
9
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC
∴BD (12) 合取引入规则
A B ∴AB
(11) 破坏性二难推理规则 AB CD
BD ∴AC
10
在自然推理系统P中构造证明
设前提A1, A2,, Ak,结论B及公式序列C1, C2,, Cl. 如果每 一个Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用推理 规则得到, 并且Cl =B, 则称这个公式序列是由A1, A2,, Ak推 出B的证明
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推理实例
(2) 推理的形式结构: (pq)qp 用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确
5
推理定律——重言蕴涵式
一些重要的重言蕴含式，称为推理定律。
1. A (AB)
例2 构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我明天就有课. 若我明天有 课，今天必备课. 我今天没备课. 所以，明天不是星期一、 也不是星期三.
解 (1) 设命题并符号化
设 p：明天是星期一，q：明天是星期三，
r：我明天有课，s：我今天备课
11
直接证明法
(2) 写出证明的形式结构
前提：(pq)r, rs, s
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自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下: 1. 字母表 (1) 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … (2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗号：(, ), ， 2. 合式公式（同定义1.6） 3. 推理规则
(1) 前提引入规则：在证明的任何步骤都可以引入前提。 (2) 结论引入规则：在证明的任何步骤所得到的结论都可以作为后继证
结论：pq
(3) 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r 前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
12
附加前提证明法
附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由：
(A1A2…Ak)(CB)
2
推理的形式结构
推理的形式结构 1. {A1, A2, …, Ak} B
若推理正确, 记为{A1,A2,,An} B 2. A1A2…AkB
若推理正确, 记为A1 A2 … Ak B 3. 前提： A1, A2, … , Ak
结论： B
判断推理是否正确的方法: 真值表法 等值演算法 主析取范式法