课后限时集训31 数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入

建议用时：45分钟

一、选择题

1．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1

z 2

等于( )

A ．－8－6i

B ．－8＋6i

C ．8＋6i

D ．8－6i

C [∵z 1＝6－8i ，z 2＝－i ， ∴z 1z 2＝6－8i －i ＝(6－8i )i －i

2＝8＋6i.] 2．设(1－i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则x ＋y i 在复平面内所对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

D [因为x ，y 是实数，所以(1－i)x ＝x －x i ＝1＋y i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，－x ＝y ，解得

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，

y ＝－1，所以x ＋y i 在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限．故选D.]

3．(2019·福州模拟)若复数z ＝a

1＋i

＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1

D ．2

A [因为复数z ＝a

1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＝a ＋22－a 2i ，∵z 为纯虚数，

∴⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＋22＝0，

－a 2≠0，

∴a ＝－2.]

4．已知(1－i )2

z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i

D ．－1－i

D [由题意，得z ＝(1－i )2

1＋i ＝－2i

1＋i

＝－1－i ，故选D.]

5．(2019·石家庄模拟)若复数z 满足z

1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则共轭复

数z ＝( )

A ．1＋i

B ．1－i

C ．－1－i

D ．－1＋i

B [由题意，得z ＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选B.] 6．已知⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( )

A ．－7

B ．7

C ．－4

D ．4

A [因为⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ，

所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4， 所以a ＋b ＝－7，故选A.]

7．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1

z 2

＝( )

A ．1＋i

B.35＋45i

C ．1＋4

5i D ．1＋4

3i

B [因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2

＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i

＝(2＋i )2

5＝35＋4

5i ，故选B.]

二、填空题

8．设复数z 满足z ＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝ . 2－i [复数z 满足z ＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i.] 9．设z ＝

1

1＋i

＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝ . 22 [因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋1

2i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫122

＝22.]

10．已知复数z ＝4＋2i

(1＋i )2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m

＝0上，则m ＝ .

－5 [z ＝4＋2i

(1＋i )2

＝4＋2i 2i ＝(4＋2i )i

2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.]

1．若(1－m i)(m ＋i)＜0，其中i 为虚数单位，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3

D ．－4

A [因为(1－m i)(m ＋i)＝2m ＋(1－m 2

)i ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧

2m ＜0，1－m 2＝0，解得m ＝－

1，故选A.]

2．若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y

x 的最大值是( ) A.32 B.33 C.12

D. 3

D [因为(x －2)＋y i 是虚数，所以y ≠0，

又因为|(x －2)＋y i|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3.

因为y

x 是复数x ＋y i 对应点与原点连线的斜率， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫

y x ma x ＝tan ∠AOB ＝3，

所以y

x 的最大值为 3.]

3．－3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，且p ，q ∈R ，则p ＋q ＝ . 38 [由题意得2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0， 即2(5－12i)－3p ＋2p i ＋q ＝0， 即(10－3p ＋q )＋(－24＋2p )i ＝0，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

10－3p ＋q ＝0，－24＋2p ＝0.

所以p ＝12，q ＝26，所以p ＋q ＝38.]

4．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标

为 ．

(0,1) [因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504