中考数学复习指导：例析线段旋转扫过的图形面积
中考数学复习指导：求运动中线段扫过的区域面积.doc
求运动中线段扫过的区域面积近年来，以几何图形的运动为载体，求在运动过程屮图形上某一线段扫过的区域面积问 题，在中考试卷屮屡有出现，不少同学对于此类题型感觉无从下手.下面通过具体实例来说 明此类问题的解法.一、扫过区域为三角形例1如图1,等边MBC 中，BC = 6,D 、E 分别在BC 、AC 上，且DE // AC ,MN 是NBDE 的小位线.将线段DE 从BD=2处开始向AC 平移，当点D 与点C 重合时停 止运动，则在运动过程中线段所扫过的区域面积为 ________________________ .分析本题是一道动点运动的问题，关键是要搞清随着线段DE 的运动，线段起 始位置和最终位置.图1是起始位置，图2是最终位置.则在运动过程中线段MN 所扫过的区 域为RtAM'N'N 与RlAM'MN 的面积和.此时M 运动到的中点，N 运动到AC 的中点./. Si=—>/3 + = 2\/3 .2 2图2例2如图3,等边三角形ABC 中，BC = 6,D 、E 是边BC 上两点，且BD = CE = \,点P 是线段DE 上的一个动点，过点P 分别作AC. 4B 的平行线交AB. AC 于点M 、 N ,连结MTV 、AP 交于点G,则点P 由点D 移动到点E 的过程中，求线段BG 扫过的 区域面枳.分析 求出四边形AMPN 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可得G 是 AP 的中点，然后判断出点G 的运动路线是AAPP'的屮位线，根据三角形的屮位线平行于第三边并且等于第1 =—x 2V3x3 = -V3, S 2三边的一半求出GG'，再根据等边三角形的性质求11! \BGG f的底边GG' 上的高，然后根据三角形的而积公式列式计算即可得解.图3解•・• PM H AC, PN//AB,:.四边形AMPN是平行四边形.-MN与AP相交于点G,••・G是AP的中点，・・・如图4,点G的运动路线是AAPP'的中位线.6-1-1・・• BC = 6,BD = CE = 1,・・・GG' = -- = 2.2••• BC = 6,・・・\BGG f的底边GG'上的高为* x (6 x £)二芈,•••线段BG扫过的区域面积为»2><晋=琴点评木题考查了点的轨迹，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于确定出点G的运动轨迹从而确定出3G扫过的区域是三角形.二、扫过区域为两个三角形例3如图5,点C在以AB为直径的半圆上，AB = &ZC34 = 3(T,点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF丄DE于D,并交EC的延长线于点F.则当D从点4运动到点B时，线段EF扫过的面积是 ____________________ .分析首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与MBC的关系, 就可求出线段EF扫过的面积.解・・•点D与点E关于4C对称，点D与点F关于BC对称，•・・当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，图5点F 的运动路径NB 与AB 关于BC 对称.・・・EF 扫过的图形就是图6中阴影部分./. S 阴影=2S^BC ~ 2x —AC- BC = 4X 4A /3 = 16>/3. 2•••EF 扫过的而积为16A /3.三、扫过区域为扇形例4如图7,正方形ABCD 的边长为2,将长为2的线段07?的两端放在正方形的相邻 的两边上同吋滑动•如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A-B-C-D-A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B —C — DfA — B 滑动到B 止，在这个过程中，线段0R 的中点M 所经过的路线长为（）解析 根据题意得点M 到正方形各顶点的距离都为1,点M 所走的运动轨迹为以正方 形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形, ・••点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积. 而正方形ABCD 的面积为2X2=4,90龙4个扇形的面积为4X —— 二兀，360•・・点M 所经过的路线围成的图形的面积为4-龙.以上这类问题虽然较难，但也有一定的方法可循.首先要弄清在运动过程屮，该线段的 起始和终点位置，然后画出在这两种情况下的图形，最后再正确描出此时两个图形围成的部分，即扫过的区域.初中数学中，通常扫过的区域为三角形，有时也可能为多个三角形或其 他特殊图形.通过以上儿道例题的分析，希望帮助同学们能够掌握正确的解题方法.(A)2 图6(B) 4 — 71(C)龙 (D)>T-1 图8。
例说计算旋转扫过的面积
ABC OD计算旋转扫过的面积河北 欧阳庆红我们知道线旋转,面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢,下面跟随我的脚步来领略几例计算旋转扫过的面积问题.例1 (08内江市)如图1，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条直线上，在Rt ABC △中，若90C =∠，2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积为 ．解析: 欲求斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积，已知扇形半径AB=4,只要求出其圆心角∠A AB '度数, ∵Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点旋转得到的,∴△ACB ≌△B C A '',∴,2,4=='=='BC C B AB B A ∴∠A '=030,∴∠A AB '=∠C '+∠A '=01203090=+，∴.31636041202ππ=⨯⨯='A AB S 扇形例 2 （08甘肃兰州）如图2，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．解析：本题考察了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理：圆环的面积为：πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.所以本题填9π.例3 (08宁波)如图3，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由BB '，B A ''，A C '，CB 围成的阴影部分的面积是 ．解析:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',图2ACBCBA图1阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB, ∵120A =∠,∴∠AOC=060,∴∠AOB=21∠AOC=030, ∴AD=2121=AO ,根据勾股定理得,OD=22AD OA -=23, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090∴()OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=2136013036039022ππ阴影=31211243⨯⨯--ππ=23π32-. 例4 (08鄂州)如图4，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ C ） A ．77π338- B ．47π338+ C ．πD ．4π33+ 解析:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，∴AB=2BC=4, ∴AC=,32242222=-=-BC AB∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，∴OB=1OB =2,CH=32111==AC H C , ∴BH=()73222211211=+=+=H C BC BH ,易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为图4AHBOC120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即3601202BH S π=阴影3601202BO π-=πππ=-3437.。
线段旋转扫过的图形
课题：§线段旋转扫过的面积泉州市经济技术开发区泉州经济技术开发区实验学校黄立内容分析1．课标要求通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质；能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能利用旋转进行弧长和面积的相关计算。
2．教材分析知识层面：旋转的基本性质：对应线段相等，对应角相等，图形中每一个点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度。
角的动态定义：将一条射线绕着端点旋转一定的角度所形成的图形。
圆的定义的轨迹说：将一条线段绕着一个端点旋转一周所形成的图形。
本课时既承接这三个知识点，又通过图形面积的割补法推导所得线段旋转扫过的面积，也丰富了圆中的计算的相关应用。
能力层面：学生在学习了旋转的基本性质，已经具有观察和操作能力，积累了一定的探索和推理经验，具备进行“探索—猜想—证明”线段旋转扫过的面积的基础。
先通过学生课前分组发现问题，操作观察，思考解决方案，培养学生的创新意识和建模能力；由合情推理得出结论，再演绎推理论证结论的合理性，进一步发展学生推理证明的能力；最后回到课前的问题解决来培养学生的应用意识。
思想层面：线段旋转扫过的面积的探索和论证过程为渗透数学思想方法提供一个发展提高平台：通过对不规则图形的割补为规则图形进行计算，体现化归与转化的思想；通过线段端点在垂足同侧→线段端点在垂足异侧，这个探究过程体现从特殊到一般的思想，有助于培养学生几何直观能力和思维层次性。
3．学情分析（1）学生已经学习了旋转的基本性质，角的动态定义，圆的定义的轨迹说，并且进行了实际操作验证，这为探究线段旋转扫过的面积提供了认知基础。
（2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究线段旋转扫过的面积的证明策略及方法提供了情感保障。
（3）学生在探究线段旋转扫过的面积过程中，其认知顺序可能是建构型的。
旋转的基本性质，角的动态定义，圆的定义的轨迹说是其原有知识储备的主要图式，通过对原有图式完全可以建立线段旋转过程的几何模型，进一步探究求面积的割补方法。
2020中考数学压轴题旋转问题带答案
旋转问题（中考高分必备）考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。
旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。
注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。
一、直线的旋转1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，4=MN，1=MA，1>MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点，构成△ABC，设xAB=．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？2、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，根据三角形的外角性质，得α=∠EDB-∠A=30，此时，AD=1；②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=1.5．（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．∵∠α=∠ACB=90°，∴BC‖ED，∵CE‖AB，∴四边形EDBC是平行四边形．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠A=30度，∴AB=4，AC=2 ，∴AO= = ．在Rt△AOD中，∠A=30°，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=BC．（第1题）又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形．3、（2009年北京市）在ABCD Y 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD =6,tanB =43,AE =1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC V =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 提示：（1）运用三角形全等，（2）按CP=CE=4将x 取值分为两段分类讨论；发现并利用好EC 、EF 相等且垂直。
中考数学复习指导：线段旋转所扫边的图形面积
线段旋转所扫边的图形面积线段AB和点O在同一平面内，将线段AB绕点O旋转，在旋转过程中，线段AB所扫过的图形面积该如何计算？笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究．一、旋转中心O在线段AB上如图1，设AO＝a，BO＝b(a≥b)，旋转角度为α．(1)当0°≤α≤180°时，线段AB所扫过的图形如图2中的阴影部分所示，其蕊积为扇形OAA'与扇形OBB'的面积和，故2222S a b a b360360360(2)当180°<α≤360°时，线段AB所扫过的图形如图3中的阴影部分所示，其面积为以AO为半径的圆的面积减去图中空白部分的面积，故二、旋转中心O在线段AB的延长线上如图4，设AO＝a，BO＝b，旋转角度为α．线段AB所扫过的图形如图5中的阴影部分所示，其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故2222360360360S a b a b 三、旋转中心O 不在直线AB 上(1)当线段AB 的两个端点分别是线段AB 上到旋转中心O 的距离最长的点和距离最短的点时，如图6(1)．设AO ＝a ，BO ＝b(a>b)，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图6(2)中的阴影部分所示．因为△OAB ≌△OA'B'，所以阴影部分的面积可转化为其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故2222360360360S a b a b (2)当线段AB 的两个端点不是线段AB 上到旋转中心O 的距离最短的点时，如图7．作OD ⊥AB ，垂足为D ，设OA ＝a ，OB ＝b(a ≥b)，OD ＝h ，∠BOD ＝β，旋转的角度为α．①若0°<α<2β时，线段AB 所扫过的图形如图8中的阴影部分所示，计算线段AB 所扫过的图形面积比较复杂，限于初中学生的知识水平，不需要掌握．②若2β≤α≤360°－2β时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．作OI ⊥A'B'，垂足为I ，则△OAD ≌△OA'I ，所以阴影部分的面积可以用以OA 和OD 为半径的两个扇形的面积差加上一个弓形的面积表示，即22222tan 360360S a b h b ．③若360°－2β<α<360°时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．此时阴影部分的面积以初中学生的知识也不能计算．④若α＝360°时，线段AB所扫过的图形如图11中的阴影部分所示，为一个圆环的面积，故S＝π（a2－h2）．计算线段AB绕点O旋转所形成的图形面积，关键在于准确画出AB旋转所形成的图形．其形状是由线段AB的初始位置、终止位置及点A、B、D（点D是线段AB上到O 点距离最近的点）的运动轨迹所围成的封闭图形．。
中考数学：线段旋转所扫边的图形面积
线段旋转所扫边的图形面积线段AB 和点O 在同一平面内，将线段AB 绕点O 旋转，在旋转过程中，线段AB 所扫过的图形面积该如何计算？笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究．一、旋转中心O 在线段AB 上如图1，设AO ＝a ，BO ＝b(a ≥b)，旋转角度为α．(1)当0°≤α≤180°时，线段AB 所扫过的图形如图2中的阴影部分所示，其蕊积为扇形OAA'与扇形OB B'的面积和，故()2222360360360S a b a b αααππ=+=+(2)当180°<α≤360°时，线段AB 所扫过的图形如图3中的阴影部分所示，其面积为以AO 为半径的圆的面积减去图中空白部分的面积，故二、旋转中心O 在线段AB 的延长线上如图4，设AO ＝a ，BO ＝b ，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图5中的阴影部分所示，其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-三、旋转中心O 不在直线AB 上(1)当线段AB 的两个端点分别是线段AB 上到旋转中心O 的距离最长的点和距离最短的点时，如图6(1)．设AO ＝a ，BO ＝b(a>b)，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图6(2)中的阴影部分所示．因为△OAB ≌△OA'B'，所以阴影部分的面积可转化为其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-(2)当线段AB 的两个端点不是线段AB 上到旋转中心O 的距离最短的点时，如图7．作OD ⊥AB ，垂足为D ，设OA ＝a ，OB ＝b(a ≥b)，O D ＝h ，∠BOD ＝β，旋转的角度为α．①若0°<α<2β时，线段AB 所扫过的图形如图8中的阴影部分所示，计算线段AB 所扫过的图形面积比较复杂，限于初中学生的知识水平，不需要掌握．②若2β≤α≤360°－2β时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．作OI ⊥A'B'，垂足为I ，则△OAD ≌△OA'I ，所以阴影部分的面积可以用以OA 和OD 为半径的两个扇形的面积差加上一个弓形的面积表示，即()22222tan 360360S a b h bαβπβπ=-+-∙．③若360°－2β<α<360°时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．此时阴影部分的面积以初中学生的知识也不能计算．④若α＝360°时，线段AB 所扫过的图形如图11中的阴影部分所示，为一个圆环的面积，故S ＝π（a 2－h 2）．计算线段AB 绕点O 旋转所形成的图形面积，关键在于准确画出AB 旋转所形成的图形．其形状是由线段AB 的初始位置、终止位置及点A 、B 、D （点D 是线段AB 上到O 点距离最近的点）的运动轨迹所围成的封闭图形．。
中考数学专题复习 专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题(教师版含解析)
中考专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题一、几何图形面积公式1.三角形的面积:设三角形底边长为a ，底边对应的高为h ，则面积S=ah/22.平行四边形的面积:设平行四边形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah3.矩形的面积:设矩形的长为a ，宽为b ，则面积S=ab4.正方形的面积:设正方形边长为a ，对角线长为b ，则面积S=222b a = 5.菱形的面积:设菱形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah若菱形的两条对角线长分别为m 、n ，则面积S=mn/2也就是说菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。
6.梯形的面积:设梯形的上底长为a,下底长为b ，高为h ，则面积S=(a+b)h/27.圆的面积:设圆的半径为r,则面积S=πr 28.扇形面积计算公式9．圆柱侧面积和表面积公式(1)圆柱的侧面积公式S 侧=2πrh(2)圆柱的表面积公式：S 表=2S 底+S 侧=2πr 2+2πrh2360r n s π⋅=lr s 21=或10.圆锥侧面积公式从右图中可以看出，圆锥的母线L 即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长2πr ，这样，圆锥侧面积计算公式:S 圆锥侧=S 扇形=πrL注意：有时中考专题题还经常考查圆的周长、扇形的弧长的公式的应用。
(1)圆的周长计算公式为：C=2πr(2)扇形弧长的计算公式为：(3)其他几何图形周长容易计算，不直接给出。
二、用面积法解题的理论知识1.面积方法：运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
2.面积法解题的特点：把已知量和未知量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
三、面积方法问题主要涉及以下两部分内容1.证明面积相等的理论依据(1)三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
关于线段扫过图形面积15.4.3
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为。
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，∴∴∠BAB′=150°，∴S阴影=AB扫过的扇形面积-AC扫过的扇形面积=2.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=4，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）A B C D试题分析：①当0≤t≤4时，S=×t×t=t2，即S=t2．该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B、C错误；②当4＜t≤8时，S=16﹣×（t﹣4）×（t﹣4）=t2，即S=﹣t2+4t+8．该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A错误．故选：D．4.如图，Rt△AOB的直角边OA、OB分别与y轴、x轴重合，点A、B的坐标分别是（0，4）（3，0）将△AOB向右平移，当点A落在直线y=x-1上时，线段AB扫过的面积是______．解析：将△AOB向右平移，当点A落在直线y=x-1上时，线段AB扫过的图形是平行四边形ABCD，∵A（0，4），B（3，0），∴D点的纵坐标是4，代入y=x-1得：x=5，∴D（5，4），∴AD=BC=5，即平行四边形ABCD的面积是BC×OA=5×4=20，故答案为：20．5.如图，抛物线的顶点为P（-2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，-2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为______．，。
最新九年级数学中考复习：旋转综合压轴题(面积问题)含答案
2023年九年级数学中考复习：旋转综合压轴题（面积问题）1．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将∠PBC绕点B逆时针旋转90°，得到∠P'BA，连接P P'，求出∠APB的度数．思路二：将∠APB绕点B顺时针旋转90°，得到∠C P'B，连接P P'，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．2．如图，已知在∠ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将∠ABD绕点A旋转，得到∠AC D，连接D E．(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D E；(2)当DE＝D E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，∠D EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）AC BD相交于点O，将直线AC绕点3．如图，平行四边形ABCD中，,1,⊥==,AB AC AB BCBC AD于点E，F．O顺时针旋转，分别交,(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；4．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒； (2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．5．将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒．如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．(1)若AMC 是等腰三角形，则旋转角α的度数为______．(2)在旋转过程中，连接AP ，CE ，求证：AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．(3)在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．6．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图∠，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =．【问题提出】(1)如图∠，在图∠的基础上连接BD，由于AD CD=，所以可将DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到DAB'，则BDB'的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；【类比应用】(3)如图∠，等边ABC的边长为2，BDC是顶角120∠=︒的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的BDC角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求AMN的周长．7．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．(1)观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是，∠MNP的大小为；(2)探究证明：把∠ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断∠MNP的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：当∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，AD＝AE＝6时，把∠ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请求出∠MNP面积的最大值．8．如图1，在平面直角坐标系中，∠ABO为直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，点C为OB(1)点A 的坐标为 ；(2)连接AC ，并延长交y 轴于点D ，若∠OAD 的面积恰好被x 轴分成1∠2两部分，求点C 的坐标； (3)如图2，若∠OAC ＝30°，将∠OAB 绕点O 顺时针旋转，得到∠OA 'B '，如图2所示，OA '所在直线交直线AC 于点P ，当∠OAP 为直角三角形时，直接写出点B '的坐标．9．如图∠，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线,BD CE 的交点．(1)如图∠，将ADE 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，求证：BD CE =且BD CE ⊥．(2)若8,4AB AD ==，把ADE 绕点A 旋转， ∠当90EAC ∠=︒时，求PB 的长；∠旋转过程中线段BP 长的最小值是_______．10．（1）模型探究：如图1，已知∠ABC ，以A 为旋转中心将边AB 顺时针旋转至AD ，将边AC 逆时针旋转至AE ，旋转角均为α（0º＜α＜180º），连接BE ，CD ．∠∠ABE可以认为是由∠ADC经过怎样的变换得到的？（2）创新应用：如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点P为坐标平面内一动点，且∠的PO=，连接P A，以点A为旋转中心，将线段P A顺时针旋转60º至BA，连接OB，请直接写出AOB 2最大值及此时点P的坐标．11．如图，在平行四边形ABCD中，点G是线段AB上一点，连接CG、DG，满足CG＝CD．(1)如图1，过点G作GH∠CD于点H，若AB＝8，GH＝，求DG；(2)如图2，若∠DAB＝60°，∠DAB的角平分线交CD于点E，过点E作EF∠AD，满足EF+AG＝AD，连接DF、CF，求证：∠DCF＝∠GCF．拓展：如图，正方形ABCD的边长为E为BC上一点，且BE，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，直接写出CG的最小值.12．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ．(1)如图1，过菱形ABCD 的顶点A 作AE BC ⊥于点E ，交OB 于点H ，若6AB AC ==，求OH 的长； (2)如图2，过菱形ABCD 的顶点A 作AF AD ⊥，且AF AD =，线段AF 交OB 于点H ，交BC 于点E ．当D ，C ，F 三点在同一直线上时，求证：OH OA +=； (3)如图3，菱形ABCD 中，45ABC ∠=︒，点P 为直线AD 上的动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ，当线段AQ 的长度最小时，直接写出BAQ ∠的度数．13．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC 的BC 边放置于长方形直尺DEFG 的EF 边上．(1)填空：∠1＝ °，∠2＝ °；(2)现把三角板绕B 点逆时针旋转n °．如图2，当0＜n ＜90，且点C 恰好落在DG 边上时， ∠请直接写出∠2＝ °（结果用含n 的代数式表示）； ∠若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的65倍，求n 的值．(3)若把三角板绕B 点顺时针旋转n °．当0＜n ＜180时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线平行？如果存在，请直接写出所有n 的值；如果不存在，请说明理由．14．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______． 【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ） 【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．15．【问题背景】如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，我们可以通过把ABE △绕点A 逆时针旋转90°到ADG ，容易证得：EF BE DF =+．(1)【迁移应用】如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，若B 、D ∠都不是直角，且180B D ∠+∠=︒，试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒．猜想BD 、DE 、EC 满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）．16．（1）问题发现如图1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠的度数．针对此问题，数学王老师给出了下面的思路：如图2，将APC △绕点A 逆时针旋转60°得到AP B '△，连结PP '，得到等边三角形APP '，在BPP '中，根据三角形三边关系以及勾股定理……请根据王老师的思路提示，完成本题的解答； （2）类比延伸如图3，在正方形ABCD 内部有一点P ，若135APD ∠=︒，试判断线段P A 、PB 、PD 之间的数量关系，并说明理由．17．如图，正方形ABCD 中PAQ ∠分别交BC ，CD 于点E ，F ，连接EF ．(1)如图∠，若128∠=︒，273∠=︒，试求3∠的度数；(2)如图∠，以点A 为旋转中心，旋转PAQ ∠，旋转时保持45PAQ ∠=︒．当点E ，F 分别在边BC ，CD 上时，AE 和AF 是角平分线吗？如果是，请说出是哪两个角的平分线并给予证明；如果不是，请说明理由； (3)如图∠，在∠的条件下，当点E ，F 分别在BC ，CD 的延长线上时，∠中的结论是否成立？只需回答结论，不需说明理由．18．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2BC AC =，D ，E 分别是边BA ，BC 的中点，连接DE ．将BDE 绕点B 顺时针旋转α（090α︒<<︒）得到BFG ，点D 的对应点是点F ，连接AF ，CG ．(1)求证：BFA BGC ∠=∠；(2)若90BFA ∠=︒，求sin CBF ∠的值．19．把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：90︒∠=∠=BAO ODC ，45B ︒∠=，30C ︒∠=．(1)如图1，两个三角尺的直角边OA 、OD 摆放在同一直线上，求出此图中BOC ∠的度数；(2)如图2，如果把图1所示的OAB 以O 为中心顺时针旋转得到OA B ''△，当OB '平分COD ∠时，求AOA '∠为多少度；(3)如图3，两个三角尺的直角边OA 、OD 摆放在同一直线上，另一条直角边OB 、OC 也在同一条直线上，如果把OAB 以O 为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边//AB CD ，请直接写出答案．20．如图∠，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，四边形EFGH 是正方形，EH 与BD 重合，将图∠中的正方形EFGH 绕着点D 逆时针旋转．(1)旋转至如图∠位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图∠位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图∠位置旋转至图∠位置时，旋转角的度数．(2)旋转至如图∠位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．答案1．∠APB =135°，2． (2)∠DAE ＝12∠BAC ，(3)DE3．(3)45°4．(1)1，30(3)能，α为135︒或315︒5．(1)60°或15°(3)能，30α∠=︒或60︒6．(1)等边三角形(3)47．(1)MN ＝NP ，∠MNP ＝60°；(2)△MNP 是等边三角形，(3)△MNP 面积的最大值是32．8．(1)((2)点C 的坐标为()2,0或()1,0(3)点B '的坐标()03-，或32⎛ ⎝⎭，或 ()03，或32⎛- ⎝⎭9 (2)∠PB =∠410．（1）∠DC ，∠以点A 为旋转中心，逆时针旋转角α得到的；（2）90°；(1,P -．11．(2)拓展：212．(3)75︒13．(1)120，90(2)∠(90)n +∠6011或27011(3)60,90,150︒︒︒14．(1)四点共线，(2)PA PB PC ++的值最小时45BCP ∠=，此时)::2:2:1PA PB PC = (3)::4:2:1PA PB PC =15．(1)EF BE DF =+，(2)222DE BD EC =+16．（1）150︒；（2）2222PA PD PB 17．(1)62°(2)AE 是∠FEB 的平分线，AF 是∠EFD 的平分线，(3)AE 仍然是∠FEB 的平分线，AF 不是∠EFD 的平分线18． (2)n si CBF ∠=19．(1)75︒∠=BOC ；(2)105︒'∠=AOA ；(3)当旋转的角度为105︒或285︒，两条斜边//AB CD ．20．(1)16°(2)DL ＝EN +GM ，。
线段旋转的面积问题
线段旋转的面积问题作者：黄栋来源：《中学数学杂志(初中版)》2014年第03期旋转虽然在初中课本出现的并不多，但是却经常与函数组合成复杂的数学问题；许多对数学感兴趣并且空间思维敏锐的学生，也经常深入分析旋转中的面积问题，并且提出各种各样的疑问和见解.下面笔者将和大家一起来探究在旋转过程中，线段扫过的面积问题.首先根据旋转中心位置的不同，把线段的旋转分为三类：旋转中心为线段的端点，旋转中心在线段上，旋转中心在线段之外.旋转中心为线段的端点.如图1，可以很明显看出，线段扫过的面积为扇形的面积，从而得出（0°旋转中心在线段的端点之间.通过图2我们亦可以轻松得出，旋转角度小于180°时，线段扫过的面积为两块扇形的面积和.即：S=α360π（BC2+AC2）（0°先看最简单的图11，很显然在旋转角大于等于360°的情况下，阴影区域为一个圆环，这个圆环可以看做是线段AC所扫出的阴影，因为线段BC被覆盖，所以在此情况下可以直接当线段BC不存在.因此面积为S=π（OA2-OC2）=πAC2（α=360°）.图7、8、9、10我们从整体上想象下：用剪刀沿着A′B′（图10沿着A′E与AC）把阴影分成两部分，大的部分为线段AC旋转扫过的面积，小的部分为线段BC旋转扫过的没被大的阴影覆盖的面积；所以此类面积可以分成两部分相加.第一部分线段AC扫过的面积为S1=α360π（OA2-OC2）=α360πAC2.图8、9中第二部分为以OB为半径的弓形面积（注：∠BOC=β，这个角必须给出或者可以根据长度用三角函数很容易求出，否则面积无法计算）.则弓形面积为：S2=2β360πOB2-OC×BC.只有旋转角在2∠BOC与360°-2∠BOC之间时，第二部分才为一个弓形.所以图8、9总体的阴影面积为：S=S1+S2（2β≤α≤360°-2β）.〖TPhd-6.tif，Y〗〖TS （〗〖JZ〗图12〖TS）〗图7中的第二部分为不规则图形，下面单独把图7里面两个圆的部分放大.如图12所示，区域①（弧BB′，线段B′E及线段BE围合而成）为线段BC扫过还没有被覆盖的区域，区域②（弧BD′，线段BE及线段ED′围合而成）为线段BC没有扫过，线段CD旋转到线段C′D′的位置，也没有扫到的区域（即图7中的空白区域）.我们发现区域①+区域②就是之前所求过的弓形，所以如果能把区域②面积求出，那么那个不规则的区域①的面积就知道了.我们知道∠BOD=2β，当点D′到达或超过点B时，区域②就不存在了，就变成了图8、9这种情况.所以图7是在旋转角α下面我们专注于扇形OBD′这个区域，做EF垂直OB与点F.∠BOD′=∠BOD-∠DOD′=2β-α，∠BOE=12（2β-α）=β-α2，∠OBE=90°-∠BOC=90°-β.因为OF=EF·cot∠BOE=EF·cot（β-α2），FB=EF·cot∠OBE=EF·cot（90°-β）=EF·tanβ，OF+FB=OB.所以OB=EF·〖JB（[〗cot （β-α2）+tanβ〖JB）]〗，所以EF=OBtanβ+cot（β-α2）所以区域②的面积为扇形减去俩三角形：S3=2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）.则区域①面积为之前所求弓形面积减去区域②面积：S4=2β360πOB2-OC×BC-〖JB（[〗2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）〖JB）]〗.所以图7总的面积为：S=S1+S4（0经过图7的分析，后面就简单多了.图10与图7是一模一样的，刚图7里面第二块阴影是空白部分需要减去，在图10里面，第二块面积正好是重叠部分，也是需要减去，在这里需要大家注意的只有一件事情，就是α的取值范围.通过上面分析我们可以得出当360°-2β因为∠B′OD=α+2β-360°，所以∠B′OE=12（α+2β-360°）.下面只需要把角度改一下，重叠部分的面积就出来了：S5=α+β-360360πOB2-OB2tanβ+cot（α2+β）.那么弓形面积-重叠部分就是：。
中考数学复习指导：旋转正方形常见题型例析
旋转正方形常见题型例析一、常规旋转，梳理研究方法问题1 如图1，已知正方形ABCD 与正方形DEFG 如图位置摆放，线段AE 与CG 有何关系?并说明理由.问题2 如图2，正方形ABCD 不动，将正方形DEFG 绕点D 按逆时针方向旋转任意角度，线段AE 与CG 有何关系?并说明理由.解析 这两个问题中，AE 与CG 的关系都是: AE CG =且AE CG ⊥. 问题1中，要证AE CG =，只需要证明ADE CDG ∆≅∆.因为四边形ABCD 和DEFG 是正方形，所以,,90AD DC DE DG ADE CDG ==∠=∠=︒，所以ADE CDG ∆≅∆.延长GC 交AE 于点H ，要证AE CG ⊥，只要证明90CHE ∠=︒即可.由ADE CDG ∆≅∆得到，AED DGC ∠=∠.在DCG ∆和HCE ∆中，易证90CHE CDG ∠=∠=︒ (基本图形“8”字模型).问题2的方法与问题1完全类似，可仿照完成.规律点拨 正方形旋转的过程中，正方形的位置虽然不断发生变化，但正方形的边相等和角为90°的条件始终不变，因此构造成的三角形始终全等，从而对应的线段和对应角始终相等.在探究线段位置关系的过程中，利用基本图形求角的度数也是常用的方法，解题中要学会从复杂的图形中找出基本图形，并灵活利用基本图形解决问题.二、变式旋转，玩出新的高度1.抓住定量，玩转线段关系玩法1 如图3，已知正方形ABCD ，点E 是线段AC 上一动点，以DE 为边在DE 的右侧作正方形DEFG ，线段,CE AC 与CG 有什么关系?请证明.玩法2 如图4，已知正方形ABCD ，点E 是线段AC 延长线上一动点，以DE 为边在DE 的右侧作正方形DEFG ，线段,CE AC 与CG 有什么关系?请证明.玩法3 如图5，已知正方形ABCD ，点E 是线段CA 延长线上一动点，以DE 为边在DE 的右侧作正方形DEFG ，线段,CE AC 与CG 有什么关系?请证明.玩法4 上述图3~图5中，AE 与CG 有何位置关系?为什么?解析 玩法1中3条线段的关系是: AC CE CG =+;玩法2中3条线段的关系是: CG AC CE =+;玩法3中3条线段的关系是CE CG AC =+.分析发现，只要证ADE CDG ∆≅∆即可.因为四边形ABCD 和DEFG 是正方形，所以,AD DC DE DG ==，易证ADE CDG ∠=∠，所以ADE CDG ∆≅∆，所以AE CG =.玩法1中因为AC AE CE =+，所以AC CG CE =+;玩法2中，因为AE AC CE =+，所以CG AC CE =+;玩法3中，因为CE AE AC =+，所以CE CG AC =+.玩法4，可以用求角度法.图3、图4都易证45ACD ∠=︒.由全等得到45DCG DAE ∠=∠=︒，从而454590ACG ∠=︒+︒=︒.图5中，易证135DCG DAE ∠=∠=︒，从而1354590ACG ∠=︒-︒=︒.也可以利用基本图形(“8”字模型)，由ADE CDG ∆≅∆得到DGC DEA ∠=∠.图4和图5中，由基本图形DGCE 易知90GCE GDE ∠=∠=︒.在图3中，易证CGF CEF ∠=∠,由基本图形ECGF ，易知90GCE GFE ∠=∠=︒.规律点拨 图3~图5貌似并非两个正方形简单旋转得到的，但是在解题过程中，我们仍然可以用旋转的思想去研究.类比两个正方形的常规旋转，联想解决常规旋转问题时的方法和固有规律，从而解决复杂图形的问题.同时，这3幅图之间可以进行横向类比.虽然图形的形状和位置发生了一点变化，但是正方形的边和角的关系始终不变，两个全等的三角形始终存在.解题中只要紧紧抓住这些定量，便很容易发现这3个问题的解法是一样的.2.揭示本质，玩转面积定值玩法1 如图6，正方形ABCD 不动，将正方形DEFG 绕点D 按逆时针方向旋转任意角度，连结AG 和CE ，判断ADG ∆与DCE ∆面积的大小关系，并说明理由.玩法2 如图7，正方形ABCD 不动，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α度，(090α︒≤≤︒)交CD 与点M ，交AD 于点N ，求四边形OMDN 的面积与正方形ABCD 面积的数量关系，并说明理由.解析 玩法1中，很容易发现ADG ∆和DCE ∆中，它们有一组边相等，很容易想到把这组边作为底，作出底边上的高来解决.如图6，分别作AD 边上的高GM ，作CD 边上的高EN ，只要证明GM EN =即可，也就是只要证明DGM DEN ∆≅∆.玩法2中，四边形OMDN 是个不规则四边形，很容易想到用“割补法”将其转化成规则图形.由正方形的性质，易证OCM ODN ∆≅∆，从而将ODN ∆补在OCM ∆处.于是四边形OMDN 转化成OCD ∆，从而得到四边形OMDN 的面积是正方形ABCD 面积的14. 规律点拨 研究两个正方形旋转过程中，三角形或者四边形面积的不变性问题，实际上是转化成研究线段之间的关系，采用了转化的思想.解题过程中要紧紧抓住面积的本质，灵活地将面积和线段进行适当的转化.3.化动为静，玩转最值问题玩法 1 如图8，正方形ABCD 不动，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α度(090α︒≤≤︒)，交CD 与点M ，交AD 于点N .在旋转的过程中，求MON ∆面积的最小值;并求出此时α的度数，以及此时MN 与AC 的关系.玩法2 如图9，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α度(0360α︒≤≤︒)，交CD 于点M ，交AD 于点N .若正方形ABCD 的边长为1，四边形OEFG 的边长是2，在正方形OEFG 旋转的过程中，求线段AF 的最小值和最大值.解析 玩法1中，易知OCM ODN ∆≅∆,从而得到OM ON =始终成立.又因为90MON ∠=︒，所以MON ∆是等腰直角三角形，所以当腰长OM 最小时，MON ∆的面积最小，即此时OM CD ⊥.画出符合条件的图形，如图9，易知此时旋转角为45°，此时MN 是ACD ∆的中位线，从而//MN AC 且12MN AC =. 玩法2中，连结,AF OF ，在正方形OEFG 旋转的过程中，点A 保持不动，AO 的长不变，而点F 始终绕着点O 旋转，但OF 的长不变，变化的是点F 的位置、AO 与FO 的夹角以及线段AF 的长度.方法一，用三角形三边关系进行分析.在AOF ∆中，由三角形三边关系可知AF AO FO <+，所以当AO 与FO 在同一条直线时，也就是当AO 与FO 的夹角为180°时(如图10) , AF 最大.同理，在AOF ∆中，由三角形三边关系可知AF AO FO >-，所以当AO 与FO 在同一条直线时，也就是当AO 与FO 的夹角为0°时(如图11) , AF 最小.方法二，用圆的知识来解释.点在以点O为圆心，OF长为半径的圆上，AF线段的最值问题就是点A到圆上的点的距离最值问题.如图12，连结AO并延长，与圆O的交点就是使AF最大的点F，连接AO，反向延长AO，与圆O的交点就是使AF最短的点F.规律点拨旋转正方形的过程中产生的面积最值问题，本质上是线段的最值问题.而求解线段的最值问题，最常用的是:(1)两点之间线段最短，(2)垂线段最短，(3)三角形的三边关系.玩法1中面积最值的本质是线段OM的最值，实际上是利用垂线段最短来解决问题.把旋转中的动图，经过分析转化成符合题意的静图，化动为静，简化问题.玩法2中，AF的最值问题是利用三角形三边关系来寻找临界状态，从而画出符合条件的图形，进而解决问题.。
中考数学复习指导：例析线段旋转扫过的图形面积
例析线段旋转扫过的图形面积——兼谈一个基本图形的结构本文对于旋转中心O不在线段AB上，并且旋转角α为0°<α< 2β与360°－2β<α< 360°的情况进行再探讨，给出初中生也能理解的方法，并谈谈对一个基本图形的结构启示，以供读者参考．一、线段旋转的约定与问题解决如图1，将线段AB绕点O旋转到A'B'，设OA＝a，OB＝b(a≥b) ，OD＝h，∠BOD ＝β，旋转角度为α．情况1 当旋转角α的范围为0°<α<2β时．分析如图1，线段AB在旋转的过程中，应该分别考虑线段BD和线段AD所扫过的不同图形的面积．这里需要注意的是，不能将二者简单相加．DD'所围考察图1，可知上述两条线段都扫过了同一个区域，即由线段DP、D'P以及成的部分，此区域形状虽为不规则图形，但我们很容易将其转化为一个四边形与一个扇形面积的差．为方便起见，我们把这部分区域的面积表示为S PDD'，则有1于是得到此时线段AB扫过部分的面积为：情况2 当旋转角α的范围为360°－2β<α<360°时．分析将线段AB绕点O顺时针旋转α°到A'B'位置，如图2．依照上述方法，我们将线段AB分成AC、CD、DB三段来考察．由图2可知，AC扫过了一个宽度为b－a，圆心角为a的圆环的一部分；其中CD、DB两线段始终在一个宽度为a－h的圆环内扫，但此圆环中有部分区域未被扫到，即S PDD'．如上所述，我们考虑求出S PDD'，不过现在的∠DOD'＝360°－α，不妨记以a－h为宽度的圆环面积为S中环，故得此时线段AB扫过部分的面积为：23二、基本图形解构至此，我们利用初中数学知识得到了上述两类线段扫过面积的求法．同时，值得注意的是，在以上两种情况下，我们都需要用到一个对角互补的筝形，如图3．其基本结构所包含的数学形态颇多，笔者曾经刊文指出这一基本模型的变化方式，现在看来，此图又可解构为一个扇形与一个由两条线段和一条弧所围成的封闭图形；或者整体地看，DP 、DP'是以O 为圆心，OD 为半径的圆的两条切线段，计算S PDD'这个封闭图形的面积只要结合全等、三角函数、扇形面积公式即可解决．由此联想，此图在数学教学中大有用武之地．鉴于此，笔者尝试将该图从不同角度的解构做一梳理、总结．解构1 角平分线定理与逆定理教学用图（如图4）．解构2 分成两个等底等腰三角形（如图4)．解构3 延长一组对边后形成一对相似三角形（如图5）．4解构4 分割后旋转形成等腰三角形（如图6）．解构5 分别以O ，P 为圆心，以DP ，OD 为半径在图形内部画弧可分别得到两个扇形（如图7）．三、一点感想基本图形的教学是初中几何教学中的重点，也是个难点，笔者以为，在初三首轮复习阶段，尤其是几何模块的复习教学过程中，对这样的基本图形进行解构式的教学非常重要，再辅以实例，可以使学生获得解一题、通一类、会一片的效果．正如波利亚所说：“拿一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域．”。
2024年中考数学复习几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理(含答案解析)
2024年中考数学复习几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理（含答案解析）一、填空题1．如图，等边三角形ABC 中，AB =4，高线AHD 是线段AH 上一动点，以BD 为边向下作等边三角形BDE ，当点D 从点A 运动到点H 的过程中，点E 所经过的路径为线段CM ，则线段CM 的长为，当点D 运动到点H ，此时线段BE 的长为．【答案】2【分析】由“SAS ”可得△ABD ≌△CBE ，推出AD =EC ，可得结论，再由勾股定理求解2,BH =当,D H 重合时，2,BE BH ==从而可得答案.【详解】解：如图，连接EC ．∵△ABC ，△BDE 都是等边三角形，∴BA =BC ，BD =BE ，∠ABC =∠DBE =60°，∴∠ABD =∠CBE ，在△ABD 和△CBE 中，BA BC ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD =EC ，∵点D 从点A 运动到点H ，∴点E的运动路径的长为CM AH ==，当,D H 重合，而BDE △（即BHE ）为等边三角形，,BE BH \=4,,AB AH AH BC ==^Q2,BH ==2,BE ∴=故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边EFG∆，连接CG ，则CG 的最小值为．【答案】52【分析】由题意分析可知，点F 为主动点，G 为从动点，所以以点E 为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值．【详解】由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将EFB ∆绕点E 旋转60︒，使EF 与EG 重合，得到EFB EHG ∆≅∆，从而可知EBH ∆为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM HN ⊥，则CM 即为CG 的最小值，作EP CM ⊥，可知四边形HEPM 为矩形，则1351222CM MP CP HE EC =+=+=+=.故答案为52．【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G 的运动轨迹，是本题的关键．3．如图，等边ABC 中，8AB =，O 是BC 上一点，且14BO BC =，点M 为AB 边上一动点，连接OM ，将线段OM 绕点O 按逆时针方向旋转60︒至ON ，连接BN CN 、，则BCN △周长的最小值为．【答案】8+8【分析】过点N 作ND BC ⊥于点D ，过点O 作OH BM ⊥于点H ，则90OHM ODN ∠=∠=︒，证明HOM DNO ≌，可得DN OH =，从而得到点N 的运动轨迹是直线，且该直线与直线BC 平行，在BC 的左侧，与BCC 关于该直线的对称点E ，连接BE 交该直线于N ，即当点B ，N ，E 三点共线时，BCN △的周长最小，连接CE 交该直线于G ，则22CE CG DN ===CE BC ⊥，求出BE ，即可求解．【详解】解：如图，过点N 作ND BC ⊥于点D ，过点O 作OH BM ⊥于点H ，则90OHM ODN ∠=∠=︒，∵ABC 为等边三角形，∴60ABC ∠=︒，8BC AB ==，∴120BMO BOM ∠+∠=︒，根据题意得：60MON ∠=︒，OM ON =，∴120NOD BOM ∠+∠=︒，∴NOD BMO ∠=∠，∴HOM DNO ≌，∴DN OH =，∵14BO BC =，∴2BO =，∵60ABC ∠=︒，∴30BOH ∠=︒，∴112BH OB ==，∴DN OH ==∴点N 的运动轨迹是直线，且该直线与直线BC 平行，在BC 的左侧，与BC作点C 关于该直线的对称点E ，连接BE 交该直线于N ，即当点B ，N ，E 三点共线时，BCN △的周长最小，连接CE 交该直线于G ，则22CE CG DN ===，CE BC ⊥，∴BE =∴△ACN 的周长的最小值为8+故答案为：8+．【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．如图，正方形ABCD 的边长为P 是CD 边上的一动点，连接AP ，将AP 绕点A 顺时针方旋转60︒后得到AQ ，连接CQ ，则点P 在整个运动过程中，线段CQ 所扫过的图形面积为．【答案】3-【分析】根据题意画出点P 在CD 上移动的过程，线段CQ 所扫过的面积就是COQ 的面积，根据正方形的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，得出线段CQ 所扫过的图形面积()12ACQ AOQ S S S =- ，再根据等边三角形，等腰直角三角形面积的计算方法进行计算即可．【详解】解：如图，当点P 在点D 时，相应的点Q 落在点O ，当点P 移动到点C 时，相应的点Q 在点Q ，CQ 扫过的面积就是COQ 的面积，由题意可知，AOD △、ACQ 都是等边三角形，AO DO AD ∴===AQ CQ AC ====，四边形ABCD 是正方形，AOD △是等边三角形，906030ODC ∴∠=︒-︒=︒，45ACD ∠=︒，OD CD = ，18030752DOC DCO ︒-︒∴∠=∠==︒，754530ACO ∴∠=︒-︒=︒，45607530QCO QCD DCO ∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒，ACO QCO ∴∠=∠，AC QC = ，CO CO =，AOC ∴ ≌()SAS QOC ，AO QO ∴=，604515CQO CAO ∠=∠=︒-︒=︒，()3601801530290AOQ ∴∠=︒-︒-︒-︒⨯=︒，即AOQ △是等腰直角三角形，∴线段CQ 所扫过的图形面积()12ACQ AOQ S S S =- 111222⎛=⨯⨯⨯ ⎝3=，故答案为：3．【点睛】本题考查正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质，掌握正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．5．如图，点D 是等边ABC 边AB 上的一动点(不与端点重合)，点D 绕点C 引顺时针方向旋转60 得点E ，所得的CDE 边DE 与BC 交于点F ，则CF DE的最小值为．【分析】由旋转的性质得CDE 为等边三角形，由CEF CAD ∽△△得到CF CE CD AC =，即CF CD DE AC =，从而得到当CD 最小时，比值最小，再由“垂线段最短”得到当CD AB ⊥时，CD 值最小，作出对应图形，利用“ACD 是含30︒角的直角三角形”求出CD AC，从而得解．【详解】解：由旋转的性质得：CD CE =，60DCE ∠=︒，CDE ∴ 为等边三角形，DE CD CE ∴==，60A DEC ∠=∠=︒60ACD DCB ∠+∠=︒60DCB ECF ∠+∠=︒ACD ECF∴∠=∠∵60A DEC ∠=∠= ，ACD ECF∠=∠CEF CAD∴ ∽CF CE CD AC ∴=，即CF CD DE AC=AC 为定值，∴当CD 最小时，比值最小．根据“垂线段最短”可知：当CD AB ⊥时，CD 值最小，过点C 作CD AB ⊥于D ，并补全图形如下：ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，60ACB ∠=︒∴1302ACD ACB ∠=∠=︒设AC 2a =，则12AD AC a ==∴CD ==，∴此时CF CD DE AC ==即CF DE 的最小值为2．故答案为：2．【点睛】此题考查图形的旋转变化与性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，含30︒角的直角三角形的性质，垂线段最短，理解“垂线段最短”和利用相似三角形的性质将CF DE转化为CD AC 是解题的关键．6．如图，在ACB △中，60ACB ∠=︒，75BAC ∠=︒，12AC =，点D 是边BC 上的一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转75︒得到线段AE ，连接CE ，则线段CE 长度的最小值是．【答案】/-【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，在AB 上取点N ，使12AN AC ==，连接DN ，过点N 作点NM BD ⊥于点M ，证明()SAS NAD DAE ≌，求出CE DN =，得出当DN 最小时，CE 最小，根据垂线段最短，得出当点D 与点M 重合时，DN 最小，则CE 最小，求出最小结果即可．【详解】解：过点A 作AF BC ⊥于点F ，在AB 上取点N ，使12AN AC ==，连接DN ，过点N 作点NM BD ⊥于点M ，如图所示：根据旋转可知，AD AE =，75DAE ∠=︒，∵75BAC DAE ==︒∠∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即NAD CAE =∠∠，∵AN AC =，AD AE =，∴()SAS NAD CAE ≌，∴CE DN =，∴当DN 最小时，CE 最小，∵垂线段最短，∴当点D 与点M 重合时，DN 最小，则CE 最小，∵90AFC ∠=︒，60BCA ∠=︒，∴906030CAF ∠=︒-︒=︒，∴162CF AC ==，∴AF ==，∵45BAF BAC CAF =-=︒∠∠∠，90AFB ∠=︒，∴904545B ∠=︒-︒=︒，∴B BAF ∠=∠，∴BF AF ==∴AB ==∴12BN AB AN =-=-，∵90BMN ∠=︒，45B ∠=︒，∴904545BNM =︒-︒=︒∠，∴B BNM =∠∠，∴BM NM =，∵222BN NM BM =+，∴()22212NM =-，解得：NM =-，∴CE 的最小值为-．故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明CE DN =．7．如图，点A 的坐标为3⎫⎪⎪⎝⎭，点B 是x 轴正半轴上的一点，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ．若点C 的坐标为(,4)k ，则k 的值为．【分析】连接BC ，过A 点作AF x ⊥轴于F ，C 作CD x ⊥轴于点D ，CE AF ⊥于点E ，则四边形DCEF 是矩形，根据将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ，可得ABC 是等边三角形，AB AC BC ==，由点A 的坐标为，(,4)C k ，有AC ==，而BD ==FB ==OF BF BD OD k ++==，可得k =，解方程可得答案．【详解】解：连接BC ，过A 点作AF x ⊥轴于F ，C 作CD x ⊥轴于点D ，CE AF ⊥于点E ，则四边形DCEF 是矩形，如图：∵将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ，∴AB AC =，60BAC ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，∵点A 的坐标为，(,4)C k ，，∴3CE k FD =-=，4CD =，3AF =，∴1AE EF AF CD AF =-=-=，∴AC BC AB ====，在Rt BCD 中，BD =，在Rt AFB 中，FB =∵OF BF BD OD k ++==，∴3k =，设k x =x =，化简变形得：42346490x x -=-，解得21x =-（舍去）或2493x =，∴3x =或3x =-（不符合题意，舍去），∴k ，∴k =，．【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含k 的代数式表示相关线段的长度．8．如图，在边长为6的等边ABC 中，直线AD BC ⊥，E 是AD 上的一个动点连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针方向旋转60︒得到FC ，连接DF ，则点E 运动过程中，DF 的最小值是．【答案】32【分析】取线段AC 的中点G ，连接EG ，根据等边三角形的性质可得出CD CG =以及FCD ECG Ð=Ð，由旋转的性质可得出EC FC =，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS 证出FCD ≌ECG ，进而即可得出DF GE =，再根据点G 为AC 的中点，即可得出EG 的最小值，此题得解．【详解】解：取线段AC 的中点G ，连接EG ，如图所示．ABC 为等边三角形，6AC BC ==，且AD 为ABC 的对称轴，132CD CG AB ∴===，60ACD ∠=︒，60ECF =︒∠ ，FCD ECG \Ð=Ð．FCD ∴ ≌()ECG SAS ，DF GE ∴=．当EG BC ∥时，EG 最小，点G 为AC 的中点，∴此时1133222EG DF CD ===⨯=．故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF GE =．9．如图，在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，点D 在BC 边上，5BC =，2CD =，点E 是边AC 所在直线上的一动点，连接DE ，将DE 绕点D 顺时针方向旋转60︒得到DF ，连接BF ，则BF 的最小值为．【答案】72【分析】当E 与点C 重合时，点F 与等边三角形CDG 的点G 重合，当点F 开始运动时，△ECD ≌△FGD ，故点F 在线段GF 上运动，根据垂线段最短原理，当BF ⊥GF 时，BF 有最小值，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】当E与点C重合时，点F与等边三角形CDG的点G重合，∵DE绕点D顺时针方向旋转60 得到DF，∴△DEF是等边三角形，∴∠GDC=∠FDE=60°，ED=FD，∴∠GDC-∠GDE=∠FDE-∠GDE，∴∠EDC=∠FDG，∵△DEF是等边三角形，∴CD=GD，∴△ECD≌△FGD，∴EC=GF，∠ECD=∠FGD=90°，∴点F在线段GF上运动，根据垂线段最短原理，当BF⊥GF时，BF有最小值，如图，当旋转到BF∥DG 时,BF⊥GF，垂足为F，过点D作DH⊥BF，垂足为H，∵∠FGD=90°，∴四边形FGDH是矩形，∴∠GDH=90°，GD=FH=2，∵∠GDC=60°，∴∠BDH=30°，∵BD=BC-CD=5-2=3，∴BH=1232 BD=，∴BF=FH+BH=2+32=72，故答案为：7 2．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用直角的判定和直角三角形的性质是解题的关键．10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且1BE=，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF 烧点E顺时什旋转60°得到EG，连接CG，则CG的最小值为．【答案】5 2【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EBH为等边三角形，△EBF≌△EHG，∴∠EHG=∠ABC=90°，HE=BE=1，∠BEH=60°，∴点G在垂直于HE的直线HN上．作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，∴∠CEP=180°-60°-90°=30°，∴CP=12CE=12×(4-1)=32，则CM=MP+CP=35122 HE PC+=+=，即CG的最小值为5 2．故答案为5 2．【点睛】本题考查了旋转的性质，线段最值问题，全等三角形的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，以及垂线段最短等知识，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．11．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB上异于A，B的一动点，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得△BCE，则旋转过程中△BDE周长的最小值【答案】．【分析】由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD ，由垂线段最短得到当CD ⊥AB 时，△BDE 的周长最小，于是得到结论．【详解】∵将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，∴∠DCE=60°，DC=EC ，∴△CDE 是等边三角形，由旋转的性质得，BE=AD ，∴C △DBE =BE+DB+DE=AB+DE=4+DE ，∵△CDE 是等边三角形，∴DE=CD ，∴C △DBE =CD+4，由垂线段最短可知，当CD ⊥AB 时，△BDE 的周长最小，此时，∴△BDE 的最小周长，故答案为．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．12．如图，在ABC 中，8AC BC ==，60BCA ∠= ，直线AD BC ⊥，E 是AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 按逆时针方向旋转60 得到FC ，连接DF ，则点E 运动过程中，DF 的最小值是．【答案】2【分析】根据题意取线段AC 的中点G ，连接EG ，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG 以及∠FCD=∠ECG ，由旋转的性质可得出EC=FC ，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS 证出△FCD ≌△ECG ，进而即可得出DF=GE ，再根据点G 为AC 的中点，即可得出EG 的最小值．【详解】取线段AC 的中点G ，连接EG，如图所示．8AC BC == ，60BCA ∠= ，ABC ∴为等边三角形，且AD 为ABC 的对称轴，142CD CG AB ∴===，60ACD ∠= ，60ECF ∠= ，FCD ECG ∴∠=∠．在FCD 和ECG 中，FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，FCD ∴ ≌()ECG SAS ，DF GE ∴=．当//EG BC 时，EG 最小，点G 为AC 的中点，∴此时11224EG DF CD BC ====．故答案为2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出.DF GE =本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．13．如图，等边△AOB 的边长为4，点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ．在点P 从O 向A 运动的过程中，当△PCA 为直角三角形时t 的值为.【答案】2或83【详解】如图（1）过点P 作PD ⊥OB 于点D ，过C 作CE ⊥OA 于E ，∴∠PDO=∠PEC=90°，∵∠O=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=12t ，∴BD=4-12t ，，∵线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，∴∠BPC=60°，BP=2PC ，∵∠OPD=30°，∴∠BPD+∠CPE=90°，∴∠DBP=∠CPE ，∴△PCE ∽△BPD ，∴CE PE PC PD BD PB==，11242PE t ==-，∴，PE=2-14t ，OE=2+34t ，如图（2）当∠PCA=90度时，作CF ⊥PA ，∴△PCF ∽△ACF ，∴△PCF ∽△ACF ，∴PF CF CF AF =，∴CF 2=PF•AF ，∵PF=2-14t ，AF=4-OF=2-34t ，，）2=（2-14t ）（=2-34t ），∴t=2，这时P 是OA 的中点；如图（3）当∠CAP=90°时，此时OA=OE ，∴2+34t=4，∴t=83，故答案为2或83.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质等，正确地添加辅助线，求出OE 的长是解题的关键.二、解答题14．在平面直角坐标系中，A （a ，0）、B （b ，0），且a ，b 满足26930a a b -+++=，C 、D 两点分别是y 轴正半轴、x 轴负半轴上的两个动点；（1）如图1，若C （0，4），求△ABC 的面积；（2）如图1，若C （0，4），BC =5，BD=AE ，且∠CBA=∠CDE ，求D 点的坐标；（3）如图2，若∠CBA =60°，以CD 为边，在CD 的右侧作等边△CDE ，连接OE ，当OE 最短时，求A ，E 两点之间的距离．【答案】（1）△ABC 的面积为12；（2）D 点的坐标为（-2，0）；（3）A ，E 两点之间的距离为32【分析】（1）利用完全平方式和绝对值的性质求出a ，b ，然后确定A 、B 两点坐标，从而利用三角形面积公式求解即可；（2）根据题意判断出CBD DAE △≌△，从而得到CB AD =，然后利用勾股定理求出CB ，及可求出结论；（3）首先根据“双等边”模型推出DCB ECA ≌，得到120DBC EAC ∠=∠=︒，进一步推出AE BC ∥，从而确定随着D 点的运动，点E 在过点A 且平行于BC 的直线PQ 上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE 最短时，各点的位置关系，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）∵26930a a b -+++=，∴()2330a b -++=，由非负性可知，3030a b -=⎧⎨+=⎩，解得：33a b =⎧⎨=-⎩，∴()3,0A ，()3,0B -，()336AB =--=，∵()0,4C ，∴4OC =，∴11641222ABC S AB OC ==⨯⨯= ；（2）由（1）知()3,0A ，()3,0B -，∴OA OB =，∵OC AB ⊥，∴90AOC BOC ∠=∠=︒，在AOC 和BOC 中，OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOC BOC SAS △≌△，∴CBO CAO ∠=∠，∵CDA CDE ADE BCD CBA ∠=∠+∠=∠+∠，CBA CDE ∠=∠，∴ADE BCD ∠=∠，在BCD △和ADE V 中，BCD ADE CBD DAE BD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCD ADE AAS ≌，∴CB AD =，∵()3,0B -，()0,4C ，∴3OB =，4OC =，∴5BC ==，∴5AD BC ==，∵()3,0A ，∴()2,0D -；（3）由（2）可知CB =CA ，∵∠CBA =60°，∴△ABC 为等边三角形，∠BCA =60°，∠DBC =120°，∵△CDE 为等边三角形，∴CD =CE ，∠DCE =60°，∵∠DCE =∠DCB +∠BCE ，∠BCA =∠BCE +∠ECA ，∴∠DCB =∠ECA ，在△DCB 和△ECA 中，CD CE DCB ECA CB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DCB ECA SAS ≌，∴120DBC EAC ∠=∠=︒，∵12060180EAC ACB ∠+∠=︒+︒=︒，∴AE BC ∥，即：随着D 点的运动，点E 在过点A 且平行于BC 的直线PQ 上运动，∵要使得OE 最短，∴如图所示，当OE ⊥PQ 时，满足OE 最短，此时∠OEA =90°，∵120DBC EAC ∠=∠=︒，60CAB ∠=︒，∴60OAE EAC CAB ∠=∠-∠=︒，30AOE ∠=︒，∵()3,0A ，∴3OA =，∴1322AE OA ==，∴当OE 最短时，A ，E 两点之间的距离为32．【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用全等三角形的判定与性质是解题关键．15．在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且BE'＝4，将B E'绕点B逆时针旋转a°得到BE（0°＜a＜180°）．(1)如图1，当∠EBA＝90°时，求S△BCE；(2)如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G．①求线段BF的取值范围；②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF；(3)如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直接写出BN的最大值与最小值．=6；【答案】(1)S△BCE(2)①1＜BF＜5；②证明见解答；(3)BNBN的最大值为【分析】（1）如图1，过点E 作EF ⊥BC 交CB 的延长线于点F ，根据题意求得∠EBF =180°-∠EBA -∠ABC =180°-90°-60°=30°，再根据特殊直角三角形的性质进而求得BC 上的高EF =2，代入面积公式算出结果；（2）①如图，在线段FG 上截取FK =BF ，连接EK 、CK ，可证得四边形BCKE 是平行四边形，得出：BE =CK =BE '=4，BC =6，再运用三角形三边关系即可求得答案；②可证△EKB ≌△BGA （AAS ），得出BK =AG ，由AG =AD -DG ，即可推出结论；（3）连接AE ，取AE 的中点P ，PA 的中点Q ，连接BP 、NP 、NQ 、BQ ，可证△ABE 是等腰直角三角形，得出：AE AB P 是AE 的中点，可得：BP ⊥AE ，且BP =AP =EP ，利用勾股定理得BQ，当B 、Q 、N 三点共线时，BN 的最小值=BQ -NQ，当点S 与点E 重合时，EM =0，PN =0，此时，BN 的最大值=BP 【详解】（1）解：如图1，过点E 作EH ⊥BC 交CB 的延长线于点H ，∴∠EHC =90°，∵∠ABC =60°，∠EBA =90°，∴∠EBH =180°-∠EBA -∠ABC =180°-90°-60°=30°，∵点E '在BC 边上且BE '=4，将B E '绕点B 逆时针旋转α°得到BE ，∴BE =B E '=4，∴EH =12BE =12×4=2，又∵BC =6，∴S △BCE =12BC •EH =12×6×2=6；（2）解：①如图，在线段FG 上截取FK =BF ，连接EK 、CK ，∵EF=FC，BF=FK，∴四边形BCKE是平行四边形，∴BE=CK=BE'=4，BC=6，在△BCK中，BC-CK＜BK＜BC+CK，∴6-4＜BK＜6+4，即2＜2BF＜10，∴1＜BF＜5；②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=60°，AB=4，∴∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°，AD∥BC，AD=BC，BE=AB，∵∠EBF=120°，即∠EBK=120°，∴∠EBK=∠A，∵EK∥BC，∴EK∥AD，∴∠EKB=∠BGA，在△EKB和△BGA中，EKB BGAEBK ABE AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKB≌△BGA（AAS），∴BK=AG，由①知：BK=2BF，又∵AG=AD-DG，∴2BF =BC -DG ；（3）解：连接AE ，取AE 的中点P ，PA 的中点Q ，连接BP 、NP 、NQ 、BQ ，∵∠ABE =90°，AB =BE =4，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE ，∵点P 是AE 的中点，∴BP ⊥AE ，且BP =AP =EP ，∵N 是AM 的中点，P 是AE 的中点，∴PN 是△AEM 的中位线，∴PN ∥EM ，∴∠ANP =∠AME =90°，∵点Q 是AP 的中点，∴QN =PQ =12AP在Rt △BPQ 中，BQ =当B 、Q 、N 三点共线时，BN 的最小值=BQ -NQ 当点S 与点E 重合时，EM =0，PN =0，此时，BN 的最大值=BP 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16．如图，线段AB ＝10cm ，C 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），在AB 上方分别以AC 、BC 为边作正△ACD 和正△BCE ，连接AE ，交CD 于M ，连接BD ，交CE 于N ，AE 、BD 交于H ，连接CH .(1)求sin ∠AHC ；(2)连接DE ，设AD ＝x ，DE ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式；(3)把正△BCE 绕C 顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H 到△DCE 的三个顶点距离和最小，即HC +HD +HE 的值最小，HC +HD +HE 的值总等于线段BD 的长.若AC ＝，旋转过程中某一时刻2AH ＝3DH ，此刻△ADH 内有一点P ，求PA +PD +PH 的最小值.【答案】(1)2；(2)y0＜x ＜10）；【分析】（1）过点C 作CT ⊥AE 于点T ，CR ⊥BD 于点R ，先证△ACE ≌△DCB 得∠CAM ＝∠HDM ，由直角三角函数可得sin sin ＝CT CA CAM CD HDM CR ∠=∠= ，从而得CH 平分∠AHB ，进而求得∠AHC ＝∠BHC ＝60°即可求解；（2）如图2中，如图，过点D 作DP ⊥CE 于点P ，先由三角函数求得CP ＝12CD ＝12x ，DP ＝2x ，又由AB ＝10cm ，得CE ＝CB ＝（10﹣x ）cm ，进而得PE ＝|10﹣x ﹣12x |＝|10﹣32x |，最后由勾股定理即可求得y 与x 之间的函数关系式；（3）如图3中，以AD 为边向外作等边△ADW ，连接WH ，由题意WH 是PA +PD +PH ．过点D 作DS ⊥AH 于H ，过点W 作WG ⊥AD 于点G ，过点H 作HK ⊥AD 于K ，过点W 作WQ ⊥HK 于点Q ．假设AH ＝3k ，DH ＝2k ，由勾股定理得AH ＝6，DH ＝4，DSHKDKWQ ＝KGGW ＝KWHQWH 的长即PA +PD +PH 的最小值．【详解】（1）解：过点C 作CT ⊥AE 于点T ，CR ⊥BD 于点R．∵△ADC ，△ECB 都是等边三角形，∴CA ＝CD ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠ECB ＝60°，∴∠ACE ＝∠DCB ，在△ACE 和△DCB 中，CA CD ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠CAM ＝∠HDM ，∵CT ⊥AE ，CR ⊥BD ，∴sin sin ＝CT CA CAM CD HDM CR ∠=∠= ，∴CH 平分∠AHB ，∵∠AMC ＝∠DMH ，∴∠AHM ＝∠ACM ＝60°，∴∠AHC ＝∠BHC ＝60°，∴sin ∠AHC ＝2；（2）解：如图2中，如图，过点D 作DP ⊥CE 于点P ．∵AC ＝CD ＝x （cm ），∠DCE ＝60°，∴CP ＝12CD ＝12x ，DP ，∵AB ＝10cm ，∴BC ＝AB ﹣AC ＝（10﹣x ）cm ，∴CE ＝CB ＝（10﹣x ）cm ，∴PE ＝|10﹣x ﹣12x |＝|10﹣32x |，∴y ＝DE （0＜x ＜10）；（3）解：如图3中，以AD 为边向外作等边△ADW ，连接WH ，由题意WH 是PA +PD +PH ．过点D 作DS ⊥AH 于H ，过点W 作WG ⊥AD 于点G ，过点H 作HK ⊥AD 于K ，过点W 作WQ ⊥HK 于点Q ．∵2AH ＝3DH ，∴可以假设AH ＝3k ，DH ＝2k ，∵∠DHS ＝60°，DS ⊥AH ，∴SH ＝12DH ＝k ，DS ，AM ＝2k ，∵AD 2＝AS 2+DS 2，∴（）2＝（2k ）2+）2，∴k ＝2（负根已经舍弃），∴AH ＝6，DH ＝4，DS∵12•AH •DS ＝12•AD •HK ，∴HK ＝7，DK 7，∵AG ＝DG WQKG 是矩形，∴WQ ＝KG GW ＝KW∴HQ ＝KH +KQ ＝7，∴WH ＝∴PA +PD +PH 的最小值为【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键．17．在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究．（1）问题梳理，问题呈现：如图1，点D 在等边ABC 的边BC 上，过点C 画AB 的平行线l ，在l 上取CE BD =，连接AE ，则在图1中会产生一对旋转图形．请结合问题中的条件，证明：ABD ACE ≌△△；（2）初步尝试：如图2，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且BD DC <，将ABD △沿某条直线翻折，使得AB 与AC 重合，点D 与BC 边上点F 重合，再将ACF △沿AC 所在直线翻折，得到ACE △，则在图2中会产生一对旋转图形．若30BAC ∠=︒，6AD =，连接DE ，求ADE V 的面积；（3）深入探究：如图3，在ABC 中，60ACB ∠=︒，75BAC ∠=︒，6AC =，点D 是边BC 上的任意一点，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转75°，得到线段AE ，连接CE ，求线段CE 长度的最小值．【答案】（1）见解析；（2）9；（3）【分析】（1）根据△ABC 是等边三角形，可得AB ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，进而利用SAS 可证明△ABD ≌△ACE ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥AD 于H ，由翻折可得△ACE ≌△ABD ≌△ACF ，可得AE ＝AD ＝6，EH ＝3，再运用S △ADE ＝12×AD ×EH ，即可求得答案．（3）如图3中，在AB 上截取AN ＝AC ，连接DN ，作NH ⊥BC 于H ，作AM ⊥BC 于M ．利用SAS 证明△EAC ≌△DAN ，推出当DN 的值最小时，EC 的值最小，求出HN 的值即可解决问题．【详解】（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，∵CE ∥AB ，∴∠ACE ＝∠BAC ＝60°，∴∠B ＝∠ACE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；（2）如图2，过点E 作EH ⊥AD 于H，∵由翻折可得：△ACF ≌△ABD ，△ACE ≌△ACF ，∴△ACE ≌△ABD ≌△ACF ，∴AE ＝AD ＝6，∠CAE ＝∠BAD ，∴∠DAE ＝∠BAC ＝30°，∵EH ⊥AD ，∴EH ＝12AE ＝3，∴S △ADE ＝12×AD ×EH ＝12×6×3＝9；（3）如图3中，在AB 上截取AN ＝AC ，连接DN ，作NH ⊥BC 于H ，作AM ⊥BC 于M．∵∠CAB ＝∠DAE ，∴∠EAC ＝∠DAN ，∵AE ＝AD ，AC ＝AN ，∴△EAC ≌△DAN （SAS ），∴CE ＝DN ，∴当DN 的值最小时，EC 的值最小，在Rt △ACM 中，∵∠ACM ＝60°，AC ＝6，∴30CAM ∠=︒,∴132CM AC ==,∴AM∵∠MAB ＝∠BAC −∠CAM ＝75°−30°＝45°，∴AMB 为等腰直角三角形，∴AB=，∴NB ＝AB −AN ＝−6，在Rt △NHB 中，∵∠B ＝45°，∴NBH △为等腰直角三角形，∴NH根据垂线段最短可知，当点D 与H 重合时，DN 的值最小，∴CE 的最小值为．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．18．（一）发现探究在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；【发现】如图1如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；（二）拓展应用【应用】如图3，在△DEF中，DE＝6，∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，P是线段EF上的任意一点连接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ请求出线段EQ长度的最小值．【答案】【发现】BQ＝PC；【探究】BQ＝PC仍然成立，证明见解析；【应用】线段EQ长度的最小值为3．【分析】[发现]先判断出∠BAQ＝∠CAP，进而用SAS判断出△BAQ≌△CAP，即可得出结论；[探究]结论BQ＝PC仍然成立，理由同【发现】的方法；[应用]在DF上取一点H，使DH＝DE，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，构造出△DEQ≌△DHP，得出EQ＝HP，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，EQ最小，求HM即可．【详解】[发现]由旋转知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝CP，故答案为：BQ＝PC；【探究】结论：BQ＝PC仍然成立，理由：由旋转知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝CP，【应用】如图3，在DF上取一点H，使DH＝DE，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，由旋转知，DQ＝DP，∠PDQ＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠PDQ＝∠EDF，∴∠EDQ＝∠HDP，∴△DEQ≌△DHP（SAS），∴EQ＝HP，求EQ最小，就是求HP最小，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，HP最小，最小值为HM，∵∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，∴∠F＝30°，∵DE＝6，∴DF＝2DE＝12，∵DH＝DE=6，∴FH＝6，∵∠F＝30°，∴HM=3．线段EQ长度的最小值为3．．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，恰当的作辅助线，把所求线段转化为与动点P有关的线段，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键．。
【最新】2020年中考数学典例精做专题17 图形的面积(求阴影部分的面积) (教师版)
※知识精要1.三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、圆、扇形的面积公式。
2.图形的性质及勾股定理。
※要点突破1. 正确运用转化思想求阴影部分的面积。
2. 正确作出辅助线是解题的关键．※典例精讲例1．如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△,已知AC=9,BC=6,则线段AB扫过的图形的面积为( )A．B．C．D．【答案】B例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，若AB＝8，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）A．8πB．6πC．4πD．2π【答案】A※课堂精练一、单选题1．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【答案】B2．如图，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20 m，则圆环的面积为()A．10 m2B．10 π m2C．100 m2D．100 π m2【答案】D【解析】过O作OC⊥AB于C，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=10，再根据切线的性质得到AB为小圆的切线，于是有圆环的面积=π•OA2-π•OC2=π（OA2-OC2）=π•AC2，即可圆环的面积．解：过O作OC⊥AB于C，连OA，如图，∴AC=BC，而AB=20，∴AC=10，∵AB与小圆相切，∴OC为小圆的半径，∴圆环的面积=π•OA2-π•OC2=π（OA2-OC2）=π•AC2=100π（平方米）．故选：D．3．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2D．2【答案】D∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，故选D．4．如图，过半径为的⊙O外一点P引⊙O的切线P A、PB，切点为A、B，如果∠APB=60°，则图中阴影的面积等于（）A．B．C．D．【答案】D5．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，则阴影部分的面积等于( )A．1－B．C．1－D．【答案】B，∴△BDF≌△EOF（AAS），∴．故选：B6．如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36π B．24+18πC．18+18π D．12+18π【答案】C∴BE=CE=CH=FH=6，AE==6，易得Rt△ABE≌△EHF，∴∠AEB=∠EFH，而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠AEF=90°，∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF=12×12+•π•62﹣×12×6﹣•6×6=18+18π．故选：C．7．如图，正方形ABCD的面积为，点E在BC上，点G在AB的延长线上，四边形EFGB是正方形，以B为圆心，BC长为半径画弧AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．A．B．C．D．【答案】C【解析】根据正方形的性质得出，，，设，则阴影部分的面积，代入求出即可．四边形ABCD和四边形EFGB是正方形，且正方形ABCD的面积为，，，，设，则阴影部分的面积，故选：C．点睛：本题考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，解此题的关键是能表示出阴影部分的面积．8．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）A．6 B．1.5π C．2π D．12【答案】A由勾股定理可得:,所以,即两个以直角边为直径的半圆面积之和等于以斜边为直径的半圆面积,再根据面积和差关系,可得两阴影部分面积之和等于直角三角形的面积,所以.9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，分别以AC，BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．10π-8 B．10π-16 C．10π D．5π【答案】B10．正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】A11．如图,将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°,点O,B的对应点分别为O',B',连接BB',则图中阴影部分的面积是()A．B．2-C．2-D．4-【答案】C∴∠AOO′=60°，OO′=OA，∴点O′中⊙O上，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B是等边三角形，∴∠AO′B=120°，∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）==.故选C．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转后得到正方形，边与CD交于点O，则图中阴影部分的面积是A．B．C．D．【答案】B，D，在一条直线上，四边形ABCD是正方形，，，，，，，，图中阴影部分的面积．故选B.【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质，勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，解题关键在于利用旋转前、后的图形全等来进行计算．二、填空题13．如图，在矩形ABCD中，以AD为直径的半圆与边BC相切于点E，若AD=4，则图中的阴影部分的面积为．【答案】8﹣2π．14．如图，是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是______结果用含的式子表示．【答案】【解析】利用正三角形的性质，由它的内接圆半径可求出它的高和边，再用圆的面积减去三角形的面积15．如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪(图中阴影部分)．(1)图①中草坪的面积为__________；(2)图②中草坪的面积为__________；(3)图③中草坪的面积为__________；(4)如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为__________．【答案】(1)πR2(2)πR2(3)πR2(4)πR2【解析】（1）求得三角形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解；（2）求得四边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解；（3）求得五边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解；（4）求得n的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解．解：（1）三角形的内角和是：180°，则面积是：；（2）四边形的内角和是：（4-2）×180°=360°，则面积是：；（3）五边形的内角和是：（5-2）×180°=540°，则面积是：；（4）n边形的内角和是：（n-2）•180°，则面积是：．故答案是：(1)πR2(2)πR2(3)πR2(4)πR2．16．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，求图中阴影部分的面是.【答案】317．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为．【答案】21．18．如图，在扇形AOB中，，，过点C作于点D，以CD为边向右作正方形CDEF，若，则阴影部分的面积是______结果保留．【答案】【解析】根据题意可知阴影部分的面积等于扇形OBC的面积与△ODC的面积之差，从而可以解答本题．解：连接OC，如图所示，∵在扇形AOB中，∠AOB=90°，，∴∠AOC=∠COB=45°，∵四边形CDEF是正方形，OA=，∴OC=，∠CDO=90°，∴OD=CD=1，∴阴影部分的面积是：，故答案为：．19．如图，在中，，，以AB中点D为圆心，作圆心角为的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分面积为______．【答案】20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．【答案】4π21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为___________.【答案】π﹣24【解析】首先根据菱形的性质，求出AO、BO的值是多少，再根据勾股定理，求出AB的值是多少；然后根据圆的面积公式，求出以AB为直径的半圆的面积，再用它减去三角形ABO的面积，求出图中阴影部分的面积为多少即可．解：∵AC=16，BD=12，AC⊥BD，∴AB===10，∴图中阴影部分的面积为：π×（）2×﹣（16÷2）×（12÷2）÷2=π×﹣8×6÷2=π﹣24．故答案为：π﹣24．22．如图，AB为半圆的直径，且AB=2，半圆绕点B顺时针旋转40°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留）．【答案】23．如图，CD为大半圆的直径，小半圆的圆心O1在线段CD上，大半圆O的弦AB与小半圆O1交于E、F，AB=6cm，EF=2cm，且AB∥CD。
九年级数学上专题复习三：运动路径及不规则图形面积的计算(含答案)
专题复习三 运动路径及不规则图形面积的计算(1)运动路径一般由弧组成，计算时关键在于确定弧的度数与半径；与旋转变换有关的运动路径找到旋转中心最重要.(2)不规则图形的面积一般用“割”或“补”的方法转化为规则图形计算．1.如图所示的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点A 到点B ，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是(C ).A.甲先到点BB.乙先到点BC.甲、乙同时到点BD.无法确定(第1题)(第2题)(第3题)2.如图所示，Rt△AB′C′是Rt△ABC 以点A 为中心逆时针旋转90°而得到的，其中AB=1，BC=2，则旋转过程中的长为(A ). A. 25π B. 25π C.5π D. 5π3.如图所示，已知∠ABC=90°，AB=πr ，AB=2BC ，半径为r 的⊙O 从点A 出发，沿A→B→C 方向滚动到点C 时停止.则在此运动过程中，圆心O 运动的总路程为(A ).A.2πrB.3πrC. 23πrD. 25πr 4.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为22cm ，将正方形ABCD 在直线l 上顺时针连续翻转4次，则点A 所经过的路径长为(B ).A.4πcmB.(2+22)πcmC.22πcmD.(4+22)πcm(第4题) （第5题）5.如图所示，分别以五边形ABCDE 的顶点为圆心、1为半径作圆，则图中阴影部分的面积之和为(C ). A. 23π B.3π C. 27π D.2π 6.如图1所示为以AB 为直径的半圆形纸片，AB=6cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形AOC 沿AB 方向平移至扇形A′O′C′，如图2所示.其中O′是OB 的中点，O′C′交于点F,则的长为 π cm ．（第6题）7.如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为2，以圆心O 为顶点作∠MON，使∠MON=90°，OM ，ON 分别与⊙O 交于点E ，F ，与正方形ABCD 的边交于点G ，H ，则阴影部分的面积S= π-2 ．(第7题) (第8题)8.如图所示，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交BD 于点E.则阴影部分面积为 6-π （结果保留π）．9.如图所示，线段AB 的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到线段AC ．(第9题)(1)请你用尺规在所给的网格中画出线段AC 及点B 经过的路径．(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(1，3)，点B 的坐标为(-2，-1)，则点C 的坐标为 (5，0) ．(3)在线段AB 旋转到线段AC 的过程中，线段AB 扫过的区域的面积为425π ． 【答案】(1)图略(2)(5，0) (3) 425π （第10题）10.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，E 在AC 上，经过A ，B ，E 三点的⊙O 交BC 于点D ，且.(1)求证：AB 为⊙O 的直径.(2)若AB=8，∠BAC=45°，求阴影部分的面积.（第10题答图）【答案】(1)如答图所示，连结AD.∵，∴∠BAD=∠CAD.又AB=AC ，∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∴AB 为⊙O 的直径.(2)连结OE.∵∠BAC＝45°，∴∠BOE＝90°.∴∠AOE＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.∴AO＝OE ＝OB ＝21AB ＝4.∴阴影部分的面积为21×4×4+3604902⨯π=8+4π.11.如图所示，在平面直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动地在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成的图形面积为(C ).A. 2π+21B. 2π+1 C.π+1 D.π+21 (第11题)(第12题)12.如图所示，△ABC 为等边三角形，⊙O 的周长与等边三角形的边长相等，⊙O 在△ABC 的边上作无滑动滚动，从点P 出发沿顺时针方向滚动，又回到点P ，滚动的圈数是(D ).A.1B.2C.3D.413.如图1所示，有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=8cm ，上面有一个以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，将它沿DE 折叠，使点A 落在BC 上，如图2所示.这时半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是(B ).A.(π-23)cm 2B.（ 316π-43）cm 2 C.（21π+3）cm 2 D.（32π+3）cm 2 (第13题)(第14题) 14.如图所示，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，且C 是的中点，若扇形的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 2π-4 ．15.如图所示，在半径为5，圆心角为45°的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D ，E 在OB 上，点F 在上，则阴影部分的面积为 85π-23 (结果保留π)．(第15题)(第16题)16.已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A ，B 两点触地放置，搬动时，先将扇形以点B 为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A ，B 两点再次触地时停止.若扇形的半径为3m ，则圆心O 所经过的路线长是 6π m(结果保留π).(第17题)17.如图所示，在一个物体的横截面Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1m.工人师傅先将AB 边放在地面(直线l)上．(1)请直接写出AB ，AC 的长．(2)工人师傅要把此物体搬到墙边，先按顺时针方向绕点B 翻转到△A 1BC 1位置(BC 1在l 上)，最后沿BC 1的方向平移到△A 2B 2C 2的位置，其平移的距离为线段AC 的长度(此时A 2C 2恰好靠在墙边).画出在搬动此物的整个过程中点A 所经过的路径，并求出该路径的长度．(3)若没有墙，像(2)那样翻转，将△ABC 按顺时针方向绕点B 翻转到△A 1BC 1位置为第一次翻转，又将△A 1BC 1按顺时针方向绕点C 1翻转到△A 2B 2C 1(A 2C 1在l 上)为第二次翻转，求两次翻转此物的整个过程中点A 经过路径的长度．【答案】(1)AB=2m ，AC=3m.（第17题答图）(2)如答图所示，点A 经过的路径为.∵∠ABA 1=180°-60°=120°，A 1A 2=AC=3 (m). ∴点A 所经过的路径长为1802120⨯π+3=（34π+3）(m). (3)点A 经过的路径为.=1802120⨯π=34π(m), =180390⨯π=23π(m). ∴点A 经过的路径长度为34π+23π（m ）.18.【兰州】如图所示，⊙O 的半径为2，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点(P 与点A ，B ，C ，D 不重合)，过点P 作PM⊥AB 于点M ，PN⊥CD 于点N ，Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径长为(A ).A. 4πB. 2πC. 6πD. 3π （第18题）（第19题） （第19题答图）19.【恩施州】如图所示，在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，以直角边AB 为直径作半圆交AC 于点D ，以AD 为边作等边三角形ADE ，延长ED 交BC 于点F ，BC=23，则图中阴影部分的面积为 33-23π .(结果不取近似值)【解析】如答图所示，设半圆的圆心为O ，连结DO ，过点D 作DG⊥AB 于点G ，过点D 作DN⊥CB 于点N.在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，∠ABC=90°.∵△ADE 是等边三角形，∴∠EAD=∠E＝60°.易知△CDF 是等边三角形.在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，BC=23，∴AC=43，AB=6，∠DOG=60°.∴AO ＝BO ＝3.在Rt△DOG 中，∠DOG＝60°，OD ＝OB ＝3，∴DG=233.∴AD=33.∴DC=AC -AD=3.在Rt△DCN 中，∠C＝60°，DC ＝3,∴CN ＝23，DN=32.∴FC＝3.则S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形DOB -S △DCF =21×23×6-21×3×233-3603602⨯π-21×23×3=33-23π.20.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，分别以正方形的四个顶点为圆心，边长为半径，在正方形内画圆弧，求图中阴影部分的面积．(第20题) （第20题答图）【答案】如答图所示，设正方形的各部分不规则图形的面积分别为x ，y ，z.S 正方形ABCD =x+4y+4z=1，S 扇形ABC =x+3y+2z=4π，S 曲边三角形BEC =x+2y+z=2S 扇形BEC -S △BCE =2×3601602⨯π-43=3π-43，可解得x=3π+1-3.∴图中阴影部分的面积为3π+1-3.。
如何确定线段绕固定点旋转所得图形的周长和面积
2020年第4期4-23故爭敉学如何确定线段绕固定点旋转所得图形的周长和面积王伟民(安徽省太和县宫集镇中心学校，安徽太和236652)旋转图形是生产、生活和工艺制作中的常 见几何图形.平面内，线段绕固定点旋转一定 的角度会得到一个封闭的曲边形，曲边形的形 状和大小取决于线段的长短、线段相对于旋转 中心的位置、线段绕旋转中心旋转角度的大小，这三个因素有一个发生变化时，线段旋转 所得到图形的周长和面积通常会随之发生变 化.下面分类讨论线段绕固定点旋转而成的曲 边形的周长和面积.1旋转中心位于线段所在的直线上例1如图1所示，坐标系内有4(5, 12), 6(15, 36)两点，求线段/I S绕坐标原点0顺时 针方向旋转30°后所得几何图形的周长和面积.3 fi(15,36)4(5,12)0x图1解析：由已知条件可知，两点纵坐标 与横坐标成正比，所以线段似的延长线一定过原点〇，因此，线段绕点〇顺时针方向旋 转30°后所得几何图形是一个曲边四边形——大扇形截去小扇形而形成的图形，其形状如图 2所示，设该曲边四边形的周长为L，面积为S.B因为 6M= ^J x A ^ yA =13, OB- ^J x B + —39,所以CD=AB = OB -OA=26,r D = l^,r c= 1-^,6，2，'―^^26t tL=A B+BC + CD+AD=—+ 52，3c{BC +AD)AB338t t在例1给出的问题中，旋转中心位于已知 线段的延长线上,则线段绕旋转中心旋转扫过 的图形是曲边四边形；当然，如果旋转中心在 已知线段的某个端点位置，则线段绕旋转中心 旋转扫过的图形是一个扇形；如果旋转中心是 线段上除线段端点之外的其他点，则线段绕旋 转中心旋转扫过的图形是两个尖端相对的扇 形组合.不论哪一种情形，在已知旋转中心位 置和旋转角度大小的情况下，对于确定的线段，我们都可以确定线段因旋转而得到的封闭 图形的周长和面积.2旋转中心不在线段确定的直线上例2如图3所示，坐标系内有4(5，12), fi(9，12)两点,求线段绕坐标原点0顺时针 方向旋转90°后所得几何图形的周长和面积.图3解析：能够发现，例2与例1是同一类型4-24故学故学2020年第4期的问题，但跟例1给出的条件不同之处是，例2 给出的已知线段两端点的纵坐标与横坐标不成比例，所以虽然也是已知线段绕坐标原点旋转，但是旋转中心却不在线段确定的直线上，线段旋转之后所形成的图形如图4 所示，由于旋转的角度是90°,所以线段旋转所 形成曲边四边形的面积等于分别以04、为内外半径的圆环面积的+，因为曲边形的各顶4点坐标已知，所以其周长也可求解，设该曲边 四边形的周长为面积为S.现，例2中如果过旋转中心0向直线作垂线，垂足在线段似的延长线上，所以，线段 A S绕旋转中心旋转一定角度之后所得到的图形是一个曲边四边形；而例3中，AO/l f l是 一个锐角三角形，旋转中心在直线上的正投影在线段上，所以当线段绕旋转中心旋转一定角度之后所得到的图形不是曲边 四边形，而是曲边四边形与弓形的组合，如图 6所示•图6因为 04 =J x\ + y2A =13, O B=J x2b + yl = 15,所以s = ^s圆环=^t(ob2 —M2)= 14 町，因为 t，说=CD= /IS=^J(xA ~ x B)2 + (yA - y B)2 = 4,所以 L= 14t t + 8.例3如图5所示，平面直角坐标系内有 4(1，4)，S(4, 2)两点，求线段绕坐标原点〇顺时针方向旋转90°后所得几何图形的周长 和面积.a VBo X图5解析：乍看起来，例3给出的问题与例2 给出的问题没有什么区别——旋转中心都不 在已知线段所在的直线上，但仔细分析会发图6中，作0£丄4B,垂足为点£，设线段 绕点0旋转90°得到封闭图形的周长为L，面积为S.因为/IS:y i3 ,O A =风所以cos/_A0Bcos Z_OAB- xBy + (yA ~y B)2=/l7, 〇B=^xl + y\OA2 + OB2 - OC26/8520A •OB85 ,OA2 + AB2 - OB25/m20A •AB221 sin/_OAB=>/1-c o s2/_OAB =14/221221.57221/_A0E —arcsin ——，221,5/13AE - O A •cos Z_OAB-———,14/13O E^O A-sinzlOAfi = ■^170S A〇A F = ~A F ■OE=a e -o e=—.(下转第4-5页）2020年第4期故学敉学4~5第二,对结构稍复杂的语句进行多种形式的解读，如：“到线段两端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”可以解释成“有个点到某线段两端点的距离相等，那么这个点在该线段的垂直平分线上还可以把点、线段具体化:“点P到线段仙两端点的距离、PS相等，那么点P在线段的垂直平分线上.”3.3改进图形的教学有关图形教学，大致上有以下几个任务：(1)画图：能画出题目要求的图形.有些几何题目中，只有文字叙述不带图，要学生自己画图后再解题.画图的时候，根据文字语言来画.老师们可采用“边读边画”和“边画边读”的做法给予辅助.这样的练习，既熟悉了几何语言又提高了画图能力.(2)标图和释图：用符号语言表述图形的 画图过程和图形的性质.首先把图形中的点、线、角等一一命名，这就是标图.然后通过标图符号来表述和解释题目•(3)识图.从图形中观察有用的信息.在大多数情况下，图形中存在一些干扰因素[2]，例如位置干扰：即把图形放在非标准的位置，不容易感知；背景干扰：线条一多，许多性质就淹没在图形中了；组合图形干扰：基础图形容易被观察到,而“组合图形”不容易被观察到.要帮助学生排除各种干扰，凸显关键图形.识图应该还有一条捷径：要求学生把学过的重要图形都记在脑中，需要的时候，图形信息就被直接调用.关于图形教学的一个建议是鼓励凭空想象，鼓励画草图，要允许并鼓励学生在思考问题时画草图，这样可以赢得效率,也培养了学生抓主要矛盾的思维习惯.再一个建议是“复盘”，鼓励学生把做过的或者正在做的几何题,在全班或部分同学中间重新讲述一遍（可以即时画草图）.记忆基本图形也是一个好方法，可以使学生在复杂情况下迅速检索出这个基本图形来.3.4证明要规范这需要小步训练，逐级渐进，这方面广大教师有很好的经验，不予赘述.3.5培养兴趣几何人门成为数学学习的分叉点，和学生的学习兴趣是分不开的.激发兴趣一般有两种方法：一是通过解出较难的几何题，获得成就感;二是通过外在的数学故事和趣味题，让学生感到几何很有趣.学生有了学习几何的兴趣，加上教学得法，再加上自身努力，学困生一定会大大减少！参考文献[1]李士锜.PME:数学教育心理[M]•上海：华东师范大学,2001.[2]陈永明•视而不见和眼见为“真”—几何观察和直觉二议[J].数学教学，2017(1〇)：4-7,(上接第4-24页）因为'^形(M f : .5j22\/_AOF2ttarcsin，所以17arcsin OA217221S弓形=S扇形04/^'一*^A a4F5y/22l _ 70~22~113?S^弓形+圆环=S弓形+仙’221 13L=AB - EF + CD +AF+BC +ED/.AOF •it•O A1=7.AB — 2AE +--------------+ —(2t tT T4 OE+ 2t t•OB)16/13 _.57221y 2v17 arcsin—rr-— +137/13 + 13y^13221。
中考旋转变换中的面积问题（五）
中考旋转变换中的面积问题（五）
考察知识与能力
1.考察旋转的性质及综合应用。
2.考察三角形全等、三角形相似的判定和性质的综合应用、
3.考察面积的计算方法。
4.考察综合分析推理论证问题的能力。
解题方法与技巧
1.对于旋转变换中已知面积讨论旋转的的其他问题，实质就是将面积条件化为其他的数量关系进行计算。
这类题目难点不在面积，而在如何思考利用旋转性质转化位置关系（平行和垂直）和数量关系（相等或成比例），从而利用三角形全等或相似进行思考。
2.旋转中分类讨论问题，旋转方向不定时，基本是分顺时针和逆时针两个方向分两种类型来讨论。
3.旋转变换涉及面积的综合问题，学生在学习时，必须认真完整地做几道题，并反复分析加以总结，才能起到做一题，通一类的效果。
题例分析与示范
同步小测与拓展。
旋转背景下的面积比值问题——2021年宜昌市中考数学第23题
旋转背景下的面积比值问题——2021年宜昌市中考数学第23题旋转背景下的面积比值问题——2021年宜昌市中考数学第23题作为初中几何三大变换之一的旋转变换，之所以放在九年级学习，是有道理的，按教材编排，先学习的是平移，其次是轴对称，最后是旋转，因为它和后面的章节《圆》联系紧密。
我们在学习旋转时，多数情况下是旋转背景下的全等三角形，再到后来加入了相似三角形，例如“手拉手模型”、“一线三直角模型”等，所以这一类问题的解决，应该从旋转变换的概念开始，旋转中心、旋转方向、旋转角的确定，是成功构造旋转模型的关键，辅助线的作法也多半出自于此。
题目如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE=BC，EF⊥CD，垂足为F，将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α(0°<α<90°)，得到四边形CB'E'F'，B'E'所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K，E'F'所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD 于点Q，连接B'F'交CD于点O.(1)如图1，求证：四边形BEFC是正方形；(2)如图2，当点Q和点D重合时.①求证：GC=DC；②若OK=1，CO=2，求线段GP的长；(3)如图3，若BM∥F'B'交GP于点M，tan∠G=1/2，求S△GMB：S△CF'H的值.解析：(1)由矩形ABCD以及EF⊥CD可得∠B=∠BCF=∠EFC=90°，再加上BE=BC，得到正方形BEFC；(2)当点Q和点D重合时，围绕旋转中心C，有CB'=CF'，①观察GC与DC，GC和CB'在△GCB'中，DC与CF'在△DCF'中，本小题的目标就是证明这一对全等三角形，我们已经知道这是两个直角三角形，且有一条直角边相等，并且∠GCB'+∠B'CK=90°，∠DCF'+∠B'CK=90°，所以∠GCB'=∠DCF'，于是△GCB'≌△DCF'，最后得到GC=DC；②新增条件OK=1，CO=2，除了能得到CK=3之外，观察△B'OK 和△F'OC，它们是一对相似三角形，并且相似比为1：2，于是可得B'K是正方形边长CF'的一半，即K为B'E'中点；这样可以很容易证明△B'CK≌△E'DK，从而得到CK=DK，再由它进一步证明△GCK≌△PDK，得到GK=PK，即K为PG中点；在得到上述等量关系之后，接下来我们开始求线段长，仍然从已知求得的CK=3出发，它在Rt△B'CK中，并且这个三角形三边之比为1:2:√5，同时看图中Rt△GCK，它与△B'CK相似，因此它的三边之比也满足1:2:√5，所以可求出GK=3√5，最后得到GP=6√5；(3)这种图形中给平行线，明摆着是和相似三角形有关，又给出tan∠G=1/2，看一眼这个角所处的直角三角形，又是1:2:√5的直角三角形，最后求三角形面积的比值，从常规思路出发，三角形面积公式，这两个三角形中，△CF'H是直角三角形，面积相对容易求，并且∠F'CH=∠G，显然Rt△CF'H的三边之比为1:2:√5，设正方形CB'E'F'边长为2a，Rt△CF'H的面积可表示为a²；对于△GMB，它是一个钝角三角形，底和高均未知，不妨先将能表示出来的线段罗列一下，BC=B'C=E'F'=2a，CH=√5a，F'H=a，顺便求得E'H=3a；由BM∥F'B'可得∠BMK=∠F'B'K=45°，所以过点B作BN⊥GP于点N，如下图：先看Rt△GE'H，它的三边之比为1:2:√5，且E'H=3a，于是GH=3√5a，则GB=3√5a-2a-√5a=2√5a-2a，再看Rt△GNB，它与△GE'H相似，所以可求出BN=(2-2√5/5)a，这就是△GMB的高，还可以求出GN=2BN=(4-4√5/5)a；由等腰Rt△BMN可求MN=BN=(2-2√5/5)a，GM=GN-MN=(2-2√5/5)a，这是△GMB的底；现在可以表示出△GMB的面积了，2(1-√5/5)²a²，所以比值为2(1-√5/5)²，化简结果为(12-4√5)/5.这是常规解法，也是从三角形面积公式触发而想到的一条路，有没有别的思路呢？有的.这次的触发点是平行线，BM∥F'B'不妨延长B'F'和CH，交于点L，如下图：仍然设正方形CB'E'F'边长为2a，F'H=a，这一次我们却得到△LF'H∽△LB'C，相似比同样为1:2，因此可求出LH=CH=√5a，用前面的方法同样求出GH=3√5a，可得GL=4√5a，GB=GL-BC-CL=4√5a-2a-2√5a=2√5a-2a；再观察△GMB与△CF'L，可证明它们相似，相似比为GB:CL=1-√5/5，面积比为(1-√5/5)²，由于点H是CL中点，于是△CF'H的面积是△CF'L面积的一半，因此S△GMB:S△CF'H=2(1-√5/5)²，化简结果仍为(12-4√5)/5.解题反思在遇到特殊直角三角形时，灵活运用三边之比不失为一条捷径，若两个直角三角形有一个锐角相等，我们可证明它们为相似三角形，同样也利用这个锐角的三角函数，所以记住一些常见特殊边长比的直角三角形，对解题肯定有好处，例如本题中的边长之比为1:2:√5的直角三角形。
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例析线段旋转扫过的图形面积
——兼谈一个基本图形的结构
本文对于旋转中心O不在线段AB上，并且旋转角α为0°<α< 2β与360°－2β<α< 360°的情况进行再探讨，给出初中生也能理解的方法，并谈谈对一个基本图形的结构启示，以供读者参考．
一、线段旋转的约定与问题解决
如图1，将线段AB绕点O旋转到A'B'，设OA＝a，OB＝b(a≥b) ，OD＝h，∠BOD ＝β，旋转角度为α．
情况1 当旋转角α的范围为0°<α<2β时．
分析如图1，线段AB在旋转的过程中，应该分别考虑线段BD和线段AD所扫过的不同图形的面积．这里需要注意的是，不能将二者简单相加．
DD'所围考察图1，可知上述两条线段都扫过了同一个区域，即由线段DP、D'P以及
成的部分，此区域形状虽为不规则图形，但我们很容易将其转化为一个四边形与一个扇形面积的差．为方便起见，我们把这部分区域的面积表示为S PDD'，则有
1
于是得到此时线段AB扫过部分的面积为：
情况2 当旋转角α的范围为360°－2β<α<360°时．
分析将线段AB绕点O顺时针旋转α°到A'B'位置，如图2．依照上述方法，我们将线段AB分成AC、CD、DB三段来考察．由图2可知，AC扫过了一个宽度为b－a，圆心角为a的圆环的一部分；其中CD、DB两线段始终在一个宽度为a－h的圆环内扫，但此圆环中有部分区域未被扫到，即S PDD'．如上所述，我们考虑求出S PDD'，不过现在的∠DOD'＝360°－α，不妨记以a－h为宽度的圆环面积为S中环，故得此时线段AB扫过
部分的面积为：
2
3
二、基本图形解构
至此，我们利用初中数学知识得到了上述两类线段扫过面积的求法．同时，值得注意的是，在以上两种情况下，我们都需要用到一个对角互补的筝形，如图3．其基本结构所包含的数学形态颇多，笔者曾经刊文指出这一基本模型的变化方式，现在看来，此图又可解构为一个扇形与一个由两条线段和一条弧所围成的封闭图形；或者整体地看，DP 、DP'是以O 为圆心，OD 为半径的圆的两条切线段，计算S PDD'这个封闭图形的面积只要结合全等、三角函数、扇形面积公式即可解决．
由此联想，此图在数学教学中大有用武之地．鉴于此，笔者尝试将该图从不同角度的解构做一梳理、总结．
解构1 角平分线定理与逆定理教学用图（如图4）．
解构2 分成两个等底等腰三角形（如图4)．
解构3 延长一组对边后形成一对相似三角形（如图5）．
4
解构4 分割后旋转形成等腰三角形（如图6）．
解构5 分别以O ，P 为圆心，以DP ，OD 为半径在图形内部画弧可分别得到两个扇形（如图7）．
三、一点感想
基本图形的教学是初中几何教学中的重点，也是个难点，笔者以为，在初三首轮复习阶段，尤其是几何模块的复习教学过程中，对这样的基本图形进行解构式的教学非常重要，再辅以实例，可以使学生获得解一题、通一类、会一片的效果．正如波利亚所说：“拿一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域．”。