小学数学定义新运算典型例题

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小学数学定义新运算

小学数学定义新运算一.什么是定义新运算我们已经学过了加、减、乘、除运算。

在有些情况下，常把「有多步含加、减、乘、除的运算」用某种新的符号表示，这就是定义了新的运算。

见到了这种用新的符号所定义的运算后，就按它所规定的「运算程序」进行运算，直到得出最后结果。

例如，设A、B表示自然数，如果定义符号「※」表示的运算如下：A※B＝3×A+4×B那么，根据新运算「※」的定义，就可以计算6※7如下：6※7＝3×6+4×7＝46。

如果定义符号「※」表示的运算为：A※B＝A÷B×2+3×A-2，那么，按此定义去计算4※2的话，就有：4※2＝4÷2×2+3×4-2＝2×2＋12－2＝14。

二.定义新运算需要注意的几个问题按照新定义的运算求某个算式的结果，关键是要正确理解这种新运算的意义，如上面举例中的运算符号「※」所表示的运算并不是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按不同的规定进行运算。

需要注意的是：（1）有括号时，应当先算括号里的；（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些运算定律来解题。

（3）上面例举中所定义的运算使用了符号「※」来定义，但并不是说只有「※」才是规定运算的符号，可能用△，＃，…等符号。

符号的种类是次要的，符号所定义的运算按照怎样的程序来进行才是主要的。

三．典型例题例1设a，b表示整数(包括0)，规定「*」的运算为a*b＝a÷b×2+3×a-b，计算：169*13。

分析与解答动手算之前，先让我们弄清「*」是怎么一种运算程序，按规定，a*b的值是用a除以b，把商数乘2之后，再加上a的3倍，最后减去b，这些运算有两个特点：(1)各步运算都是大家熟悉的四则运算；(2)各步运算的先后次序要按规定的顺序办。

那么，根据「*」的规定，我们可以计算得到：169*13＝169÷13×2+3×169-13＝520。

定义新运算练习题(含解析)

定义新运算练习题1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。

2．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。

3．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。

4.如果2△3＝2＋3＋4＝9，5△4＝5＋6＋7＋8＝26，照这样计算，求9△5。

5．定义一种新运算：3△2＝3＋33＝36，5△4＝5＋55＋555＋5555＝6170，那么7△4的结果是。

6．定义新运算：若2※3＝2＋3＋4，5※4＝5＋6＋7＋8，求2※（3※2）的值。

7.规定：符号“△”为选择两数中较大的数，“○”为选择两数中较小的数．例如5△2＝5，3○6＝3，求[（8○3）△5]×（4○7）。

附加题：8.2▽4＝8，5▽3＝13，3▽5＝11，9▽7＝25．按此规律计算，求10▽12。

定义新运算-解析1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。

【分析】根据规定a*b＝30×a＋20×b，计算3*8时，a＝3，b＝8。

运用新定义计算。

【解答】a*b＝30×a＋20×b3*8＝30×3＋20×8＝2502．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。

【分析】△的运算是两数和与两数差的乘积；据此解答即可。

【解答】6.2△3.8＝（6.2＋3.8）×（6.2﹣3.8）＝10×2.4＝243．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。

【分析】根据a△b＝2.5a﹣b，把4△5改写为2.5×4﹣5，算出结果，再用这个结果的2.5倍减6，即是（4△5）△6的结果。

定义新运算附答案

定义新运算附答案定义新运算附答案我们学过的常⽤运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算⽅式不同，实际是对应法则不同.可见⼀种运算实际就是两个数与⼀个数的⼀种对应⽅法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有⼀个唯⼀确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这⼀讲中，我们定义了⼀些新的运算形式，它们与我们常⽤的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表⽰数，规定a△b＝3×a－2×b，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：⽤运算符号前⾯的数的3倍减去符号后⾯的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例⼦可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第⼆步39△2＝3 × 39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例⼦可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为 a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第⼆步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例⼦可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝ 8x－ 13那么 8x－13＝3 解出x＝2.例3、定义新的运算a ⊕ b＝a×b＋a＋b.①求6 ⊕ 2，2 ⊕ 6；②求（1 ⊕ 2）⊕ 3，1 ⊕（2 ⊕ 3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：① 6 ⊕ 2＝6×2＋6＋2＝20，2 ⊕ 6＝2×6＋2＋6＝20.②（1 ⊕ 2）⊕ 3＝（1×2＋1＋2）⊕ 3＝5 ⊕ 3＝5×3＋5＋3＝231 ⊕（2 ⊕ 3）＝1 ⊕（2×3＋2＋3）＝1 ⊕ 11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“⊕”是否满⾜交换律：a ⊕ b＝a×b＋a＋bb ⊕ a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a ⊕ b＝b ⊕ a，因此“⊕”满⾜交换律.再看“⊕”是否满⾜结合律：（a ⊕ b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.a ⊕（b ⊕ c）＝a ⊕（b×c＋b＋c）＝a×（b×c＋b＋c）＋a＋b×c＋b＋c＝abc＋ab＋ac＋a＋bc＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.（普通加法的交换律）所以（a ⊕ b）⊕ c＝a ⊕（b ⊕ c），因此“⊕”满⾜结合律.说明：“⊕”对于普通的加法不满⾜分配律，看反例：1 ⊕（2＋3）＝1 ⊕ 5＝1×5＋1＋5＝11；1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1 ⊕（2＋3）≠ 1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3.例4、有⼀个数学运算符号“?”，使下列算式成⽴：2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25，求7?3＝？解：通过对2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25这⼏个算式的观察，找到规律： a ?b ＝2a ＋b ，因此7?3＝2×7＋3＝17.例5、x 、y 表⽰两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、 n 、k 均为⾃然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采⽤分析法，从要求的问题⼊⼿，题⽬要求1△2）*3的值，⾸先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以⾸先要计算出k 的值，k 值求出后，l △2的值也就计算出来了.我们设1△2=a ， (1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.解：因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.⼜因为m 、n 均为⾃然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4 =8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k ×9×4=36k有36k=64，解出k=971，这与k 是⾃然数⽭盾，因此m=3，n =1，k=971 这组值应舍去. 所以m=l ，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上⾯这⼀类定义新运算的问题中，关键的⼀条是：抓住定义这⼀点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代⼊数值.还有⼀个值得注意的问题是：定义⼀个新运算，这个新运算常常不满⾜加法、乘法所满⾜的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运⽤这些运算律来解题.课后习题m=1n =2m=2n =23（舍去）m=3 n =11.a*b 表⽰a 的3倍减去b 的21，例如： 1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6；②7*（2*1）. 2.定义新运算为 a ⼀b ＝b1a +，①求2⼀（3⼀4）的值；②若x ⼀4＝1.35，则x ＝？ 3.有⼀个数学运算符号○，使下列算式成⽴： 21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值.4.定义两种运算“⊕”、“?”，对于任意两个整数a 、b ， a ⊕b ＝a ＋b ＋1， a ?b=a ×b －1，①计算4?[（6⊕8）⊕（3⊕5）]的值；②若x ⊕（x ?4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”， x △y=y×2x ×m y×x ×6+（其中m 是⼀个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成⽴，求a 的值.7.“*”表⽰⼀种运算符号，它的含义是： x*y=xy 1＋））（（A y 1x 1++，已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值.8.a ※b=b÷a ba +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值. 9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为⾃然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表⽰选择两数中较⼤数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表⽰选择两数中较⼩数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++&&=？课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4左边：8.解：由于9.解：按照规定的运算：x△10=x +（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1） =10x +（1+2+3+?+9）=10x + 45因此有10x + 45=65，解出x=2.欢迎您的下载，资料仅供参考！致⼒为企业和个⼈提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全⽹⼀站式需求。

小学数学《重新定义数学运算》练习题

小学数学《重新定义数学运算》练习题
一、选择题
1. 加法运算规则是：
A. 变大
B. 变小
C. 不变
2. 减法运算规则是：
A. 变大
B. 变小
C. 不变
3. 乘法运算规则是：
A. 变大
B. 变小
C. 不变
4. 除法运算规则是：
A. 变大
B. 变小
C. 不变
二、填空题
1. 7 + 3 = __
2. 9 - 4 = __
3. 5 × 2 = __
4. 20 ÷ 5 = __
三、计算题
1. 某班级有20个学生，每个学生都有2个苹果，共有多少个苹果？
2. 一个篮子里有30个橙子，小明拿走了5个，剩下多少个橙子？
3. 一块土地上有4个小花园，每个小花园里有9朵花，共有多少朵花？
4. 苏珊有20个糖果，她要平均分给她的4个朋友，每个朋友分几个糖果？
四、应用题
1. 芳芳身上有40元，她买了一本书花了10元，还买了一只铅笔花了5元，她还剩下多少钱？
2. 小明有8个鸡蛋，他送给了他的3个朋友，每个朋友得到几个鸡蛋？
3. 一辆公交车上有36个座位，已经有28个乘客上车了，还有几个座位空着？
4. 几个朋友一起吃饭，共付了60元，每个人平分应付多少钱？
以上是小学数学《重新定义数学运算》练习题，请根据题目要
求进行填空或计算。

祝你好运！。

小学数学定义新运算练习题

小学数学定义新运算练习题一、加法和减法练习题1. 计算下列数的和：a) 16 + 23b) 35 + 17c) 42 + 19d) 28 + 372. 计算下列数的差：a) 52 - 29b) 73 - 48c) 86 - 21d) 47 - 153. 同学们在学校的午餐时间一共吃了45片披萨，其中有22片是蔬菜口味的，其他的都是肉类口味的。

问同学们一共吃了多少片肉类口味的披萨？4. 小明有36个糖果，他吃了14个后还剩下多少个？二、乘法和除法练习题1. 计算下列数的积：a) 5 × 6b) 8 × 9c) 3 × 12d) 7 × 112. 计算下列数的商：a) 24 ÷ 3b) 63 ÷ 7c) 99 ÷ 11d) 56 ÷ 83. 小明用14块巧克力糖块制作了4个巧克力棒，每个巧克力棒上有几块巧克力糖块？4. 一箱苹果有36个，每个篮子可以装6个苹果。

那么一共需要多少个篮子才能将所有苹果装满？三、混合运算练习题1. 小红共有40元，她买了一本20元的书和一个15元的玩具，她还剩下多少钱？2. 一个小组有8名学生，每名学生需要12张试卷。

老师一共准备了多少张试卷？3. 小亮每天花费40分钟做作业，一周有7天，请问他一共花费了多少时间做作业？4. 一辆汽车每小时行驶80公里，开了3个半小时后，汽车行驶了多少公里？以上是关于小学数学定义新运算的练习题，希望同学们能够认真思考并得出正确答案。

不断练习运算，可以提高自己的数学能力，并且在日常生活中更灵活地运用数学知识。

祝你们取得优秀的成绩！。

小学数学奥数测试题定义新运算_人教版

第 1 页2019年小学奥数计算专题——定义新运算1．若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。

2．定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b，求值：6△（3△4）.3．设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____.4．P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q +，求3*(6*8) . 5．已知a,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,2a b ab ⊗=-,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .6．M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=.7．“△”是一种新运算，规定：a △b ＝a×c＋b×d(其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d。

如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________。

8．对于非零自然数a 和b ，规定符号⊗的含义是：a ⊗b ＝2m a b a b⨯+⨯⨯（m 是一个确定的整数）。

如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于________。

9．对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=2x y x y x y⨯⨯∆+,求2△9。

10． “*”表示一种运算符号，它的含义是：()()111x y xy x y A *=+++ ，已知 ()()11221212113A *=+=⨯++，求19981999*。

11．[A]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:12．x 为正数,<x>表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 .13．定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .14．我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如：5Θ3=3Θ5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)( 2.25)996••Θ+∆∆+Θ的结果是多少？15．规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。

小学数学《找规律与定义新运算》练习题（含答案）

⼩学数学《找规律与定义新运算》练习题（含答案）⼩学数学《找规律与定义新运算》练习题（含答案）例题分析【例1】（☆）下⾯各列数中都有⼀个“与众不同”的数，请将它们找出来：⑴ 3，5，7，11，15，19，23，……⑵ 6，12，3，27，21，10，15，30，……⑶ 2，5，10，16，22，28，32，38，24，……⑷ 2，3，5，8，12，16，23，30，……分析：这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16。

因为：⑴除了15其余都是质数；⑵除了10其余都是3的倍数；⑶除了5其余都是偶数；⑷相邻两数之间的差依次是1，2，3，4，5，6，……，成等差数列。

【例2】（☆）下⾯是两个按照⼀定规律排列的数字三⾓形，请根据规律填上空缺的数：（1） 11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 （）10 10 5 11 6 15 （）15 6 1（2） 12 43 6 94 8 12 165 10 15 ( ) 256 12 18 24 30 367 ( ) 21 28 35 42 49分析：（1）这个是著明的“杨辉三⾓”，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，⽽其余的数则是等于它肩上的两个数之和。

（）处分别填上5、20。

其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。

中国古代数学史曾经有⾃⼰光辉灿烂的篇章，⽽杨辉三⾓的发现就是⼗分精彩的⼀页。

杨辉，字谦光，北宋时期杭州⼈。

在他1261年所著的《详解九章算法》⼀书中，辑录了如上所⽰的三⾓形数表，称之为“开⽅作法本源”图。

（2）每⾏第k个数等于该⾏第⼀个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14。

【例3】（☆☆）在下⾯的⼀串数中，从第五个数起，每个数都是它前⾯四个数字之和的个位数字，那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是2，0，0，8 ？1，9，9，9，8，5，1，3，7，6，7，3，3，9，2，7，1，9，9，6，……分析：运⽤奇偶性进⾏分析，这些数的奇偶性依次是：奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，……四个奇数⼀个偶数循环出现，⽽2，0，0，8均为偶数，必定不会出现在相邻的位置上。

小学数学《定义新运算》练习题(含答案)

小学数学《定义新运算》练习题（含答案）（一）直接运算型【例1】（★★）定义运算“⊕”如下：()2a b a b ⊕=+÷（1）计算2007⊕2009，2006⊕2008（2）计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），分析：（1）2007⊕2009=(2007+2009)÷2＝2008；2006⊕2008=(2006+2008)÷2＝2007（2）1⊕5⊕9＝（1+5）÷2⊕9＝3⊕9＝（3+9）÷2＝61⊕（5⊕9）＝1⊕（5+9）÷2＝1⊕7＝（1+7）÷2＝4；【例2】（★★★）n*b 表示n 的3倍减去b 的2倍，例如3*2＝3×3－2×2＝5.根据以上的规定，10*6应等于_____.分析：根据新运算“*”的规定：10*6＝10×3－6×2＝18.[巩固] 设a △b ＝a ×a －2×b ，那么，5△6＝______，5△2＝_____.分析：(1)5△6＝5×5－2×6＝13(2)5△2＝5×5－2×2＝21【例3】（★★★）我们规定：a c b d ＝ad －bc ，例如：23 14＝2×4－1×3＝8－3＝5. 求45 610的值.分析：45 610＝4×10－5×6＝40－30＝10[前铺]如果用|A,B|表示A 与B 中较大数与较小数之差，求：（1）|2+3，2×3|；（2）||3，5|，3|分析：（1）|2+3，2×3|=|5，6|=6-5=1（2）||3，5|，3|=|5-3，3|=|2，3|=3-2=1【例4】（★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）设m 、n 是两个数，规定：m*n ＝4×n－(m ＋n)÷2，这里“×，＋，一，÷”是通常的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义，“*”是新的运算符号. 计算：3*(4*6)＝ _____.分析：4*6＝4×6－（4＋6）÷2＝19，3*19＝4×19－（3＋19）÷2＝65.[巩固] 规定：a ▽b ＝（a ＋b ）÷2+2×a ，则3▽（6▽8）是多少？.分析：6▽8＝（6＋8）÷2+2×6＝19，3▽19＝（3＋19）÷2+2×3＝17，所以3▽（6▽8）＝17.【例5】（★★★★奥数网题库）定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝(a+b)÷2，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝(a+b-1)÷2.求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)；(2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析:（1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数，所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3）因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以 1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001[巩固] 定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝(a+b)÷3，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝(a+b-1)÷3，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b ＝(a+b-2)÷3.求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891【例6】（★★★北京市第十一届“迎春杯”赛）如果 3*2=3＋33=362*3=2＋22＋222=2461*4=1＋11＋111＋1111=1234那么4*5=( ).分析：4*5=4＋44＋444＋4444＋44444=49380[巩固]规定： 6*2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234.求7*5.分析：7*5=7+77+777+7777+77777=86415【例7】（★★★★奥数网题库）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.（1）求3！，4！，5！；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！分析：（1）3！＝3×2×1＝6；4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！）＝7×（6！）＝7！[拓展] 对自然数m ，n （n ≥m ），规定m n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）.例如：24P ＝4×3＝12.34P ＝4×3×2＝24.求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，.分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120.（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720.[总结] 这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二）反求未知数【例8】（★★★★奥数网题库）假设A*B 表示A 的3倍减去B 的2倍，即A*B ＝3A －2B.已知w*(4*1)＝7，求w*4的值．分析：4*1＝3×4－2×1＝10，所以w*(4*1)＝w*10＝3×w －10×2＝7，所以w ＝9.那么w*4＝ 9*4＝3×9－4×2＝19.[前铺]对于数 a ， b ， c ， d ，规定〈a ， b ， c ，d 〉=2ab-c ＋d.已知〈1，3，5，x 〉=7，求x 的值.分析：＜1，3， 5，x ＞＝2×1×3-5＋x ＝1＋x=7，x=6【例9】（★★★★奥数网题库）对于两个数a、b，a△b表示a＋b－1.计算：（1）（7△8）△6（2）（6△A）△A＝84，求A.分析：（1）7△8＝7＋8－1＝14，14△6＝14＋6－1＝19；（2）6△A＝6＋A－1＝5＋A，（5＋A）△A＝5＋A＋A－1＝2×A＋4＝84，所以A＝40.[拓展]如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？分析：（a△2）△3=［（a－2）×2］△3＝（2a－4）△3＝（2a-4-2）×3＝6a-18，由6a-18=12，解得a=5【例10】（★★★★第八届“祖冲之杯”数学邀请赛）对整数A、B、C，规定符号等于A×B＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.分析：2A＋4A－4÷2＝28，即 6A＝30，A＝5[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）其他常见类型【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837.老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同. 请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ .分析: 由红毛族算式“8×8＝8 ”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8.由“9×3＝3”知“3”是0.“7”是5.于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”.[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11【例12】（★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B值是4时，运算器输出的C值是_____．分析：通过观察，A×B=C ，所以当输入A值是2008，输入B值是4时，C=A×B=2008×4=8032[拓展]如果运算器输出的是下面的规律，“？”应填什么呢？分析：通过观察，15÷3=5=4+1，28÷7=4=3+1，60÷15=4=3+1，所以，第四列的？处应填（7+1）×8=64，第五列的？处应填：52÷13-1=4-1=31．（例1）a、b是自然数，规定：a△b＝a×5＋b÷3，求8△9的值.分析：8△9＝8×5＋9÷3＝432．a*b表示a的3倍减去b的一半，例如，1*2=1×3-2÷2=2，根据这个规定，计算：（1）10*6 （2）7*（2*4）.分析：10*6=10×3-6÷2=27，7*（2*4）=7*（2×3-4÷2）=7*4=7×3-4÷2=193．（例5）定：A※B＝B×B＋A，计算（2※3）※（4※1）的值.分析：2※3＝3×3＋2＝11，4※1＝1×1＋4＝5，11※5＝5×5＋11＝36，所以最后结果（2※3）※（4※1）＝36.4．（例4）如果a◇b＝a×b－（a＋b），已知（3◇4）◇x=19，求x的值.分析：3◇4＝3×4－（3＋4）＝5，5◇x＝19，5×x－（5＋x）＝19，4x-5=19，4x=24，x=6.5．（例12）右下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A值是2008，输入B值是4时，运算器输出的C值是_____．分析：通过观察，A÷B×2=C ，所以当输入A值是2008，输入B值是4时，C=A÷B=2008÷4×2=1004。

小学六年级数学专题思维训练—定义新运算

小学六年级数学专题思维训练—定义新运算1.规定：如果A大于B，则【A-B】=A-B，如果A等于B，则【A-B】=0，如果A小于B，则【A-B】=B-A，根据上述规律计算：【4.1-1.3】+【2.3-5.6】+【3.2-2.3】=【答案】 6.2【分析】原式=（4.2-1.3）+（5.6-2.3）=6.22，对于正整数 A与B，规定A*B=A×（A+1)×（A+2)×……×（A+B+1)。

如果(X*3）*2=3660，那么X=【答案】3【分析】方法一：由题中所给的定义可知，B为多少，则有多少个乘数。

3660=60×61，即：60*2=3660，则X*3=60；60=3×4×5，即3*3=60，所以X=3方法二：可以将（X*3）看作一个整体Y，那么就是Y*2=3660，Y*2=Y（Y+1)=3660=60×61，所以Y=60，那么就有X*3=60,60=3×4×5，即3*3=60，所以X=3。

3.国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用，核检码可以根据前面9个数字按照一定的顺序算得。

如某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检验码的计算顺序是①7×10+1×9+0×8+7×7+1×6+7×5+5×4+4×3+3×2=207②207÷11=18 (9)③11-9=2，这里的2就是该书号的检验码。

依照上面的顺序，求书号ISBN7-303-07618-□的检验码。

【答案】2【分析】7×10+3×9+0×8+3×7+0×6+7×5+6×4+1×3+8×2=196；196除以11=17……9；11-9=2.4.若A 、B 、C 为任意正整数，定义： [A,B,C]=（A ×B+C,D)；（D,E ）-（F ，G ）=（D ×G-E ×F ）则[11,2,5]-[3,1,7]=( , ) 【答案】（289，35）【分析】[11,2,5]-[3,1,7]=(11×5+2.5)-（3×7+1.7）=（57,5）-（22,7）=（289,35）5.有ABCD 四种计算机装置，装置A ；将输入的数乘以5；装置B 将输入的数加上3；装置C 将输入的数除以4，装置D 将输入的数减去6，这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B ，就写成A*B ，输入4，结果就是23，输入装置B 后面连接A ，就写成B*A ，输入4，其结果是35①装置A*C*D 连接，输入19，结果是多少？②装置D*C*B*A 连接，输入什么数，结果是96？【答案】①471②5354 【分析】①19×5÷4-6=471 ② 设输入的数为X ，有[(X-6)÷4+3]×5=96,解得X=3354 6.规定A@B===+⨯++⨯2010@2009322@1)111，求，已知）（（X B A B A 【答案】404009924040099220111-2009120111-2010120101-20091120101200912010200912010@2009132221112112@1==+=+⨯++⨯===+⨯++⨯=）（）（，解得）（）（分析：由运算规则，X7.用A*B 表示A 和B 中较大的数除以较小的数所得的余数。

小学数学《定义新运算》练习题(含答案)(1)

小学数学《定义新运算》练习题（含答案）（一）直接运算型【例1】（★★奥数网题库）定义运算“⊕”如下：2a b a b +⊕=．（1）计算2006⊕2008（2）计算3⊕7⊕11，3⊕（7⊕11）（3） a b b a ⊕=⊕是否成立？（4） ()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕是否成立？分析：（教师先告诉学生2a b +表示（a+b ）÷2）（1）2006⊕2008＝200620082+＝2007；（2）3⊕7⊕11＝372+⊕11＝5⊕11＝5112+＝8 3⊕（7⊕11）＝3⊕7112+＝3⊕9＝392+＝6；（3）因为2a b a b +⊕=，2b a b a +⊕=，又因为22a b b a ++=，所以a b b a ⊕=⊕成立；（4）由（2）的结论，3⊕7⊕11＝8，3⊕（7⊕11）＝6，因为8≠6，所以，()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕不成立.（强调“举反例”时只要有一个就能说明证明不成立）[拓展]两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为ab.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算：（1）(269) 4等于多少？（2）108（200819）分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (269)4=84=0（2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……4，所以 108（200819）=10813=4【例2】（★★奥数网题库）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25[拓展]定义符号“\”表示求两个自然数相除所得的商的运算，例如：9\2=4，10\3\=3（1）求：29\8，2008\4，（1320×500）\250；（2）适用符号“\”和已经学过的运算符号来表示“求两个自然数相除所得余数”的运算.分析：（1）因为29÷8＝3…5，所以29\8=3，同理，2008\4=502，（1320×500）\250=2640（2）因为被除数÷除数=商…余数，所以余数=被除数-除数×商，所以，a 除以b 的余数为a-b ×（a\b ）【例3】（★★★奥数网题库）我们规定：a c b d ＝ad －bc ，例如：23 14＝2×4－1×3＝8－3＝5．求45 610的值．分析：45 610＝4×10－5×6＝40－30＝10[前铺]如果用|A,B|表示A 与B 中较大数与较小数之差，求：（1）|2+3，2×3|；（2）||3，5|，3|分析：（1）|2+3，2×3|=|5，6|=6-5=1（2）||3，5|，3|=|5-3，3|=|2，3|=3-2=1【例4】（★★★奥数网题库）定义新的运算a b a b a b ⊕=⨯++，求：（1）62⊕，26⊕（2）(12)3⊕⊕，1(23)⊕⊕（3）这个运算有交换律吗？分析：（1）62⊕=6×2+6+2=20；26⊕=2×6+2+6=20（2）(12)3⊕⊕=（1×2+1+2）⊕3=5⊕3=5×3+5+3=23；1(23)⊕⊕=1⊕（2×3+2+3）=1⊕11=1×11+1+11=23（3）由于a b a b a b ⊕=⨯++=×b a b a ++（普通加法、乘法交换律），所以a b b a ⊕=⊕，即满足交换律.[拓展]定义运算※为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ），（1）求5※7，7※5；（2）求12※（3※4），（12※3）※4；（3）这个运算“※”有交换律、结合律吗？分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.（3）由于a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b ×a －（b ＋a ）＝a ×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律），所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.【例5】（★★★★奥数网题库）定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝a b 2+，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝a b 12+-．求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)；(2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析:（先告诉学生a b 2+是一种运算，表示（a+b ）÷2，a b 12+-就表示（a+b-1）÷2）（1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数，所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （2）因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以 1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001．[巩固] 定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝a b 3+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b ＝a b-23+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891【例6】（★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定m n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）．例如：24P ＝4×3＝12．34P ＝4×3×2＝24．求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，．分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720．[前铺]定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1．求3！，4！，5！；证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！分析：（1）3！＝3×2×1＝6；4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！）＝7×（6！）＝7！[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二）反求未知数【例7】（★★★★奥数网题库）如果a △b 表示(a-2)×b ，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a △2)△3=12时， a 等于几？分析：（a △2）△3=［（a －2）×2］△3＝（2a －4）△3＝（2a-4-2）×3＝6a-18，由6a-18=12，解得a=5[前铺]对于两个数a 、b ，a △b 表示a ＋b －1．计算：（1）（7△8）△6（2）（6△A ）△A ＝84，求A ．分析：（1）7△8＝7＋8－1＝14，14△6＝14＋6－1＝19；（2）6△A ＝6＋A －1＝5＋A ，（5＋A ）△A ＝5＋A ＋A －1＝2×A ＋4＝84，所以A ＝40．【例8】（★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n ；5※（6※n ）=5※（5×6-3×n ）=5※（30-3×n ）=5×5-3×（30-3×n ）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n ），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）【例9】（★★★★奥数网题库）规定：a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b-1），其中a 、b 表示自然数.（1）求1△100的值；（2）已知x △10=75，求x.分析：（1）1△100=1＋2＋3＋……＋100=5050（2）x △10=x ＋x ＋1＋x ＋2＋……＋x ＋9=10×x ＋45=75，10×x=30，所以x=3[拓展] 对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=y mx y x 26+⋅⋅ (其中m 是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=6121221224m m ⨯⨯==⨯+⨯+，于是有2×(m ＋4)=12，解出m=2.所以 6295429==222911⨯⨯⨯+⨯[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）计算机程序语言【例10】（★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B 值是4时，运算器输出的C 值是_____．分析：运算器输入的A 是被除数，B 是除数，输出的是商减去1，2008÷4＝502，502-1=501，所以C ＝501．【例11】（★★★★奥数网题库）有A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数．装置A ∶将输入的数加上5；装置B ∶将输入的数除以2；装置C ∶将输入的数减去4；装置D ∶将输入的数乘以3．这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B 就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3．那么输入9，经过A·B·C·D，输出几？分析：输入9经过A 装置以后结果是9＋5＝14，再经过B 装置以后结果是14÷2＝7，经过C 装置以后结果成为7－4＝3，最后经过D 装置以后，最终输出结果等于3×3＝9．[拓展]有A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A ∶将输入的数加上5；装置B ∶将输入的数除以2；装置C ∶将输入的数减去4；装置D ∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B 就写成A ·B ，输入1后，经过A ·B ，输出3.经过B ·D ·A ·C ，输出的是100，输入的是几？分析：（方法一）假设输入的是w，那么经过B·D·A·C，变为：w÷2×3+5-4=100，w=66 （方法二）将100反过来经过C之前为：100+4=104，经过C·A之前为104-5=99，经过C·A·D 之前为：99÷3=33，经过C·A·D·B之前为：33×2=66（四）其他常见类型【例12】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）印第安人的古老部落里有这样一些式子：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837．这些算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按印第安人的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．分析: 由印第安人的算式“8×8＝8”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8．由“9×3＝3”知“3”是0．继而可推得“7”是5．于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”．[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=111．（例2）规定：a▽b＝（a＋b）÷2+2×a，则3▽（6▽8）是多少？.分析：6▽8＝（6＋8）÷2+2×6＝19，3▽19＝（3＋19）÷2+2×3＝17，所以3▽（6▽8）＝17.2．（例6）如果 3*2=3＋33=362*3=2＋22＋222=2461*4=1＋11＋111＋1111=1234那么4*5=( ).分析：4*5=4＋44＋444＋4444＋44444=493803．（例7）对于数 a， b， c， d，规定〈a， b， c，d〉=2ab-c＋d.已知〈1，3，5，x〉=7，求x 的值.分析：＜1，3， 5，x＞＝2×1×3-5＋x＝1＋x=7，x=64．（例9）如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？分析：（a△2）△3=［（a－2）×2］△3＝（2a－4）△3＝（2a-4-2）×3＝6a-18，由6a-18=12，解得a=55．（例10）右下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A值是2008，输入B值是4时，运算器输出的C值是_____．分析：通过观察，10÷5=2，48÷8=6，121÷11=11，5=2+3，9=6+3，14=11+3，所以（A-3）×B=C ，所以当输入A值是2008，输入B值是4时，C=（A-3）×B=2005×4=8020。

小学数学《定义新运算》练习题

小学数学《定义新运算》练习题（一）直接运算型【例1】（★★★奥数网题库）两个整数a和b，a除以b的余数记为a b.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算：（1）(269) 4等于多少？（2）108（200819）【例2】（★★★奥数网题库）定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），（1）求5※7，7※5；（2）求12※（3※4），（12※3）※4；（3）这个运算“※”有交换律、结合律吗？【例3】（★★★奥数网题库）我们规定：a cb d＝ad+bc，求25164021的值．分析：25164021＝25×21+40×16＝525+640＝1165【例4】（★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].【例5】（★★★★奥数网题库）定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝a b3+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b＝a b-23+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）【例6】（★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）；[(1)(1)][(1)1]m m mn m nn n n m m m CP P =÷=⨯-⨯⨯-+÷⨯-⨯⨯．求：123456666666,,,,,C C C C C C（二）反求未知数【例7】（★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.【例8】（★★★★奥数网题库）对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=y mx yx 26+⋅⋅ (其中m 是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?（三）计算机程序语言【例9】（★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）如下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A值是1999，输入B值是9时，运算器输出的C值是_____．【例10】（★★★★奥数网题库）有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3.(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？（四）其他常见类型【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）王歌暑假去非洲旅游，到了一个古老部落，看到下面几个部落的算式：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837．导游告诉他，部落算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按古老部落的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．【例12】（★★★★★奥数网题库）先阅读下面材料，再解答后面各题．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q 、W 、E 、…N 、M 这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个整数（见下表）：Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14151617181920212223242526'(1263)32'17(12631)31'8(12632)3xx x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩是正整数，，被整除是正整数，，被除余是正整数，，被除余将明文转换成密文，如：，即R 变为L ；，即A 变为S ．按上述方法将明文HAK 译为密文．1．（例2）规定：A ※B ＝B ×B ＋A ，（1）计算（2※3）※（4※1），（2）这个运算有交换律吗？ 2．（例6）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！3．（例7）“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3＝2＋3＋4；7⊙2＝7＋8；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，按此规则，如果n⊙8＝68，那么n的值是多少？4．（例8）对整数A、B、C，规定符号等于A×B＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.5．（例10）有A、B、C、D四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数加3；装置c：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减6.这些装置可以连结，如装置A后面连结装置B，写成A·B，输入4，结果是23；装置B后面连结装置A就写成B·A，输入4，结果是35.装置A·C·D连结，输入8，结果是多少？。

定义新运算

1、定义新运算”特别提示：定义新运算是指题目中用“”“”“※”等特殊运算符号连接的数的运算，有别于四则运算中的任何一种，我们必须把这种特殊符号在每道题中所规定的新运算规则转化为四则运算，才能得到答案。

基本题点击例1、a、b为两个自然数，如果a※b=5a+2b,计算：8※6解析：由定义新运算可知，“※”表示：把※前面的数乘5，再把※后面的数乘2，最后把两次乘的积相加8※6=5×8+2×6=52例2、如果a○b=（a+b）×2，那么6○（4○9）=？解析：这道题的定义新运算本质是把“○”前后两个数相加的和乘2，在计算中要先算小括号里面的，在计算小括号外面的。

6○（4○9）=6○【（4+9）×2】=6○26=（6+26）×2=64例3、已知1◎4=1+2+3+4,4◎5=4+5+6+7+8，按此规定，2001◎5=？解析：通过观察可以发现，“◎”这个特殊的符号在这道题中所规定的定义是求几个连续的自然数的和。

1◎4表示从1开始连续4个自然数的和，4◎5表示从4开始5个连续自然数的和，2001◎5是表示从2001开始连续5个自然数的和。

2001◎5=2001+2002+2003+2004+2005=2003×5=10015例4、已知：4□2=4+44=483□4=3+33+333+33335□3=5+55+555求：6□5=？解析：首先要弄清“□”所规定的定义。

通过观察可以发现“□”前面的数表示要加的是几。

□后面表示所要加的个数。

6□5=6+66+666+6666+66666=74070基本特训1、如果a※b=6×a+7×b，那么7※8=？10※5=？2、如果a※b=3×a－b÷3，那么10※9=？3、规定：a＃b=2×a＋a×b，那么1＃2＃3=？4、已知a b=（a+b）÷2，那么2006 2008=？5、若a○b=4a+b，计算5○4 （2○5）○66、规定；x◎y=（x+4）×(y-2)，6◎（8◎9）=？7、规定：1 5=1×2×3×4×56 4=6×7×8×9求4 6=？8、已知：2※5=2+3+4+5+6 6※4=6+7+8+9计算：（99※7）－（100※5）。

小学数学《定义新运算》练习题(含答案)

小学数学《定义新运算》练习题（含答案）（一）直接运算型【例1】（★★★奥数网题库）两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为ab.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算：（1）(269)4等于多少？（2）108（200819）分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (269)4=84=0 （2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……2，所以 108（200819）=10813=4[前铺]定义运算“⊙”如下：2a ba b +⊕=．（1）计算2007⊕2009，2006⊕2008 （2）计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），分析：（教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2）（1）2007⊕2009＝200720092+＝2008；2006⊕2008＝200620082+＝2007（2）1⊕5⊕9＝152+⊕9＝3⊕9＝392+＝6 1⊕（5⊕9）＝1⊕592+＝1⊕7＝172+＝4；【例2】（★★★奥数网题库）定义运算※为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ），（1）求5※7，7※5；（2）求12※（3※4），（12※3）※4；（3）这个运算“※”有交换律、结合律吗？分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.（3）由于a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b ×a －（b ＋a ）＝a ×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律），所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.[巩固]定义新的运算a b a b a b ⊕=⨯++，求：（1）62⊕，26⊕（2）(12)3⊕⊕，1(23)⊕⊕（3）这个运算有交换律吗？分析：（1）62⊕=6×2+6+2=20；26⊕=2×6+2+6=20（2）(12)3⊕⊕=（1×2+1+2）⊕3=5⊕3=5×3+5+3=23； 1(23)⊕⊕=1⊕（2×3+2+3）=1⊕11=1×11+1+11=23（3）由于a b a b a b ⊕=⨯++=×b a b a ++（普通加法、乘法交换律），所以a b b a ⊕=⊕，即满足交换律.[拓展]如果a 、b 、c 是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a ＋b ＝b ＋a ，（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：（a ，b ）*（c ，d ）＝（a ×c ＋b ×d ，a ×c －b ×d ）．例如：（4，3）*（7，5）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13）．请你举例说明：“*”运算是否满足交换律和结合律．分析：（7，5）*（4，3）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13），所以“*”运算满足加法交换律，（2，1）*（3，2）*（3，4）＝（2×3＋1×2，2×3－1×2）*（3，4）＝（8，4）*（3，4）＝（3×8＋4×4，3×8－4×4）＝（40，8）；（2，1）*[（3，2）*（3，4）]＝（2，1）*[3×3＋2×4，3×3－2×4]＝（2，1）*[17，1]＝（2×17＋1×1，2×17－1×1）＝（35，33）．所以，（2，1）*（3，2）*（3，4）≠ （2，1）*[（3，2）*（3，4）]，因此 “*”不满足结合律．【例3】（★★★奥数网题库）我们规定：a cb d ＝ad+bc ，求2516 4021的值．分析：2516 4021＝25×21+40×16＝525+640＝1165[巩固]我们规定：a cb d ＝ad －bc ，例如：23 14＝2×4－1×3＝8－3＝5．求45610的值．分析：45610＝4×10－5×6＝40－30＝10【例4】（★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25[巩固] 定义两种运算“⊕”“⊗”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b=a+b-1，a ⊗b=a ×b-1，计算：4[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）分析：⊕68=6+8-1=13，⊕35=3+5-1=7，137⊕=13+7-1=19，4⊗19=4×19-1=754[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）=75【例5】（★★★★奥数网题库）定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝a b3+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b＝a b-23+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891[巩固]定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝a b2+，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝a b 12+-．求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)； (2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析: （教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2）（1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数，所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3）因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001【例6】（★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）；[(1)(1)][(1)1]m m mn m nn n n m m m CP P =÷=⨯-⨯⨯-+÷⨯-⨯⨯．求：123456666666,,,,,C C C C C C分析：16C=（16P）÷（11P）=6÷1=6；26C=(6×5)÷（2×1）=15；36C=（6×5×4）÷（3×2×1）=20；46C=（6×5×4×3）÷（4×3×2×1）=15；56C=（6×5×4×3×2）÷（5×4×3×2×1）=6；66C=（66P）÷（66P）=1[前铺]对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）．例如：24P ＝4×3＝12．34P ＝4×3×2＝24．求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，．分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720．[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二）反求未知数【例7】（★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n ；5※（6※n ）=5※（5×6-3×n ）=5※（30-3×n ）=5×5-3×（30-3×n ）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n ），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）【例8】（★★★★奥数网题库）对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=ymx yx 26+⋅⋅ (其中m 是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=6121221224m m ⨯⨯==⨯+⨯+，于是有2×(m ＋4)=12，解出m=2.所以6295429==222911⨯⨯⨯+⨯[拓展]x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k=64，k 不是自然数，所以m=l ，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）计算机程序语言【例9】（★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）如下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是1999，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是_____．分析：观察表格可得：运算器输入的A 是被除数，B 是除数，输出的是余数因为1999÷9＝222……1，所以C ＝1．[前铺]下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B 值是4时，运算器输出的C 值是_____．分析：运算器输入的A是被除数，B是除数，输出的是商减去1，2008÷4＝502，502-1=501，所以C＝501．【例10】（★★★★奥数网题库）有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3.(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？分析：（1）输入9经过A装置以后结果是9＋5＝14，再经过B装置以后结果是14÷2＝7，经过C装置以后结果成为7－4＝3，最后经过D装置以后，最终输出结果等于3×3＝9．（2）最后经过装置C后结果是100，那么输入装置C的数字是100＋4＝104，那么输入A的数字是104－5＝99，输入D的数是99÷3＝33，输入B的数是33×2＝66．所以最开始输入的数是66．[拓展]例题中的装置，输入7，输出的还是7，用尽量少的装置应怎样连接？分析：C·D·A·B（四）其他常见类型【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）王歌暑假去非洲旅游，到了一个古老部落，看到下面几个部落的算式：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837．导游告诉他，部落算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按古老部落的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．分析: 由部落算式“8×8＝8”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8．由“9×3＝3”知“3”是0．继而可推得“7”是5．于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”．[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11【例12】（★★★★★奥数网题库）先阅读下面材料，再解答后面各题．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…N、M这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个整数（见下表）：'(1263)32'17(12631)31'8(12632)3xx x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩是正整数，，被整除是正整数，，被除余是正整数，，被除余将明文转换成密文，如：，即R 变为L ；，即A 变为S ．按上述方法将明文HAK 译为密文．分析：这是一道非常有意思的题目．明文HAK 对应16、11、18；16217233++=，即H 变为V ；1118123++=，即A 变为S ；1863=，即K 变为Y ，所以将明文HAK 译为VSY ． 1．（例2）规定：A ※B ＝B ×B ＋A ，（1）计算（2※3）※（4※1），（2）这个运算有交换律吗？分析：（1）2※3＝3×3＋2＝11，4※1＝1×1＋4＝5，11※5＝5×5＋11＝36，所以最后结果（2※3）※（4※1）＝36．（2）因为B ※A ＝A ×A ＋B ≠ B ×B ＋A ，所以这个运算不符合交换律 2．（例6）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.（1）求3！，4！，5！；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！分析：（1）3！＝3×2×1＝6； 4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！）＝7×（6！）＝7！3．（例7）“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3＝2＋3＋4；7⊙2＝7＋8；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，按此规则，如果n ⊙8＝68，那么n 的值是多少？分析：观察条件可知⊙前面一个数表示相加的开始一个数，⊙后面一个数表示连续相加的个数，所以n⊙8＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（n＋7）＝8×n＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝8×n＋28＝68，所以n＝5．4．（例8）对整数A、B、C，规定符号等于A×B＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.分析：2A＋4A－4÷2＝28，即 6A＝30，所以A＝55．（例10）有A、B、C、D四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数加3；装置c：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减6.这些装置可以连结，如装置A后面连结装置B，写成A·B，输入4，结果是23；装置B后面连结装置A就写成B·A，输入4，结果是35.装置A·C·D连结，输入8，结果是多少？分析：输入8经过A装置以后，结果为8×5＝40，经过C装置以后，结果为40÷4＝10，经过D装置以后，结果成为10－6＝4．所以最终结果为4．。

定义新运算经典例题及解析

定义新运算经典例题及解析定义新运算经典例题例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。

分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。

解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。

6△（3△4）分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。

解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c ＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。

分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。

解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。

例【5】如果1※2＝1＋112※3＝2＋22＋2223※4＝3＋33＋333＋333＋3333计算：（3※2）×5。

分析通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。

解（5※3）×5。

＝（5＋55＋555）×5＝3075小结解决新定义运算问题，首先理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作，在操作过程中，不能按原来＋、－、×、÷运算法则合并使用，但可以根据不同的定义归纳出相对应的运算规律，因此解决新定义问题的关键是同学们对问题的理解及适应能力。

小学三年级奥数讲义定义新运算

、知识要点定义新运算定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

二、精讲精练【例题 1】假设 a*b=(a+b)+(a-b)，求 13*5 和 13* (5*4 )。

【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差。

这里的“* ”就代表种新运算。

在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。

因此，在 13* ( 5*4 ) 中，就要先算小括号里的(5*4 )。

练习1: 1•将新运算“ *”定义为：a*b=(a+b) x (a-b). 13*5= (13+5) + (13-5) =18+8=26 5*4= (5+4) + (5-4) =10 13* (5*4) =13*10= (13+10) + (13-10) =26求 27*9 。

2. 设 a*b=a2+2b ，那么求 10*6 和 5* (2*8 )。

3. 设 a*b=3a — b x 1/2，求(25*12 ) * (10*5 )。

【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △ q=4x q-(p+q)-2。

求 3、(4 △ 6)。

【思路导航】根据定义先算4 △ 6。

在这里“△”是新的运算符号。

练习2： 1 .设 p 、q 是两个数，规定 p △ q = 4X q —( p+q )* 2,求 5△( 6△ 4)。

2 .设p 、q 是两个数，规定 3 .设M N 是两个数，规定p △ q = p2+ ( p — q )x 2。

小学奥数模块教程第1章定义新运算

第二章定义新运算一、例题解析1.定义新运算“*”，对于任何数a 和b ，a*b=a b a +；当a=2，b=3时，2*3=232+=2.5 （1）计算1996*1998，1998*1996；（2）计算1997*7*1，1997*（7*1）；2.定义一种运算“∧”，对于任何两个正数a 和b ，a ∧b=ba ab+；计算，2∧4∧8∧16∧16，计算，16∧2∧8∧16∧4。

3、有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：2 4＝8，53＝13，35＝11，9 7＝25，求73＝？4.规定a △b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b-1)（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x △10=65；那么x=?二、巩固练习1、a *b 表示a 的3倍减去b 的1/2 ，例如：1*2=1 ×3-2×21=2；根据以上的规定，计算： ①10*6 ②7*（2*1）2、有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：2132= 63，5497 =4511，6571=426。

求11354的值。

3、定义两种运算“ ”、，对于任意两个整数a 、b ，a b= a+b-1,a b=a×b-1。

①计算4[(68)(35)的值；②若x(x4)=30，求x 的值。

4、对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x △y =2ymx 6x y（其中m 是一个确定的整数），如果1△2＝2，则2△9＝？5、x 和y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值。

小学数学奥数测试题定义新运算_人教版

第1页/共21页2019年小学奥数计算专题——定义新运算1．若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。

2．定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求值：6△（3△4）.3．设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____. 4．P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q +，求3*(6*8) .5．已知a,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,2a b ab ⊗=-,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .6．M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=.7．“△”是一种新运算，规定：a △b ＝a×c ＋b×d(其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d 。

如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________。

8．对于非零自然数a 和b ，规定符号⊗的含义是：a ⊗b ＝2m a ba b⨯+⨯⨯（m 是一个确定的整数）。

如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于________。

9．对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=2x y x y x y⨯⨯∆+,求2△9。

10． “*”表示一种运算符号，它的含义是：()()111x y xy x y A *=+++ ，已知()()11221212113A *=+=⨯++，求19981999*。

11．[A]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:12．x 为正数,<x>表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是.13．定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .14．我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如：5Θ3=3Θ5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)( 2.25)996••Θ+∆∆+Θ的结果是多少？15．规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。

小学数学《找规律与定义新运算》练习题(含答案)

小学数学《找规律与定义新运算》练习题（含答案）例题分析【例1】（☆）下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：⑴ 3，5，7，11，15，19，23，……⑵ 6，12，3，27，21，10，15，30，……⑶ 2，5，10，16，22，28，32，38，24，……⑷ 2，3，5，8，12，16，23，30，……分析：这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16。

因为：⑴除了15其余都是质数；⑵除了10其余都是3的倍数；⑶除了5其余都是偶数；⑷相邻两数之间的差依次是1，2，3，4，5，6，……，成等差数列。

【例2】（☆）下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数：（1） 11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 （）10 10 5 11 6 15 （）15 6 1（2） 12 43 6 94 8 12 165 10 15 ( ) 256 12 18 24 30 367 ( ) 21 28 35 42 49分析：（1）这个是著明的“杨辉三角”，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。

（）处分别填上5、20。

其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。

中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。

在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。

（2）每行第k个数等于该行第一个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14。

【例3】（☆☆）在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数字之和的个位数字，那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是2，0，0，8 ？1，9，9，9，8，5，1，3，7，6，7，3，3，9，2，7，1，9，9，6，……分析：运用奇偶性进行分析，这些数的奇偶性依次是：奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，……四个奇数一个偶数循环出现，而2，0，0，8均为偶数，必定不会出现在相邻的位置上。

小学数学定义新运算典型例题