平面向量基本定理系数等值线
平面向量基本定理以及“等和线”的应用
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
问题的提出
平面向量与代数、几何融合的题目综合性强， 难度大，考试要求高。近年，以“等和线”为背景 的试题层出不穷。考生在解决此类问题时，往往因 思路不清、运算繁琐而失分。
本专题将在平面向量基本定理的基础上推导得 出“等和线”解题的原理，并利用“等和线”原理 解决与向量系数有关的最值和范围有关的问题。
所以, 3 y, 3x 3x 3 y 3
当点P与A点重合时,显然有 : 0,所以,选C.
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练习：如图,四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA 的延长线上,且OD 2,点P为BCD内(含边界)的动点,
uuur uuur uuur
（二）起点不同，平移改造基底型
F
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练习： 突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
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（三）合理调节、变换基底型 例题：
1 2
uuur uuur PA, PB1
1 3
uuur PB
.
由
2x 2x 3y
3y 2x 3y
1
得点
A1 ,
B1,
D
共线,即点
D
在直线
A1 B1
上.
uuur uuur 再由 PC 5PD 知点 C 的轨迹就是直线 A2B2 ,其中 PA2 5PA1, PB2 5PB1 .如下图:
沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量等值线 课件 优秀课件PPT
与AB1平行的直线
O
A
B1
P
四、探究三
平面内一组基OA， OB及任一向量OP, 一
OP 1OA 2 OB(1，2为实数), 若12 k，则点P的轨迹是什么？
取特殊基向量OA i, OB j B
P
双曲线 xy 12
一般的OA, OB呢？
O
A
☆□
四、探究三 等积线
应用(2010上海卷理13)如图所示,直线x 2与双曲线
:
x2 4
y2
1的渐近线交于E1、E2两点,记OE1
e1，
OE2 e2，任取双曲线上的点P,若OP ae1 be2 (a, b R),则a, b满足的一个等式是_______.ab 1
4
高考题变式:
若此题中满足ab 1，求点P轨迹。 4
☆□
五、探究四
平面内一组基OA， OB及任一向量OP ,
OP 1OA 2 OB(1，2为实数), 若 1 k，则点P的轨迹是什么？
2
B P
O
A
☆□
课堂小结
1. 等值线及其性质； 2. 体会了发现、提出问题的过程；
分析、解决问题的方法；
3. 运用了特殊到一般，数形结合，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ合情猜测，严格证明的研究方法。
课后思考
若 | OA || OB |，OP 1OA 2 OB， 1. 12 22 k为定值时，则P点的轨迹是什么？ 2. 12 22 k为定值时，则P点的轨迹是什么？
OP 1OA 2 OB(1，2为实数),
1 2 2 OP 2OD
1
2
1 3
OP 1 OD 3
1 2
3
4
OP 3 OD 4
从平面向量中的等值线说起(吴波《数学通讯》2015 年第 9期(下半月))
图３
式将 ｘ 解得ｘ ｙ 放缩将其化为关于 ｘ ＋ｙ 的 不 等 式 ， ︵ 当 Ｃ 为Ａ ＋ Ｂ 的中点时取最大值 ２． ｙ≤２． → → 为标架建立平面仿射坐 说明 以 ｛ Ｏ； Ｏ Ｏ Ａ， Ｂ｝ →＋ Ｏ → → Ａ 标系 ， 题设Ｏ 点 Ｃ 在此坐标 系 Ｏ Ｃ＝ｘ ｙ Ｂ 表明 ：
２ 则上述解答中得到的方程ｘ 中的坐标即 是 （ ｘ， ． ｙ） ２ ︵ ＋ Ｂ所 在 的 圆 在 此 坐 标 系 ｙ＝１ 即 是 图 ３ 中Ａ ｙ －ｘ
［ ３］ 例１ 四边形 Ｐ Ｑ Ｒ Ｓ 是四边形Ａ Ｂ－ 如 图 ２，
Ｃ Ａ Ｐ Ｂ Ｑ Ｃ Ｄ 的 内 接 四 边 形， Ｐ ＝λ Ｂ， Ｑ ＝λ Ｃ， Ｒ＝ １ ２ Ｒ Ｄ Ｓ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ， Ｓ ＝λ Ａ． ′、 ′、 ′、 ′分 别 是 四 边 形 λ ３ ４
４ ０
下半月 ） 数学通讯 — ２ ０ １ ５ 年第 ９ 期 （ · 专论荟萃 ·
从平面向量中的等值线说起
吴 波
） （ 重庆市长寿龙溪中学 ， ０ １ ２ ４ ９ ４
１．平面向量基本定理系数等值线 平面向量基本定理 如果ｅ ｅ １， ２ 是同一平 面 内 有且 两个不共线向量 ， 则对该平面内的任 一 向 量 ａ， 使 ａ＝ 只有一对实数λ ｅ ｅ λ λ λ １， ２， １ １＋ ２ ２． ］ 文［ 称 上 式 中 的λ １ λ １， ２ 为平面向量基本定理 系数 ， 并证明了 ：
（ Ｏ Ａ， Ｂ 为渐近线的某 ⅳ ）若 点 Ｐ 在 以 直 线 Ｏ 条双曲线上 ， 则λ 反之也成立 ． λ １ ２ 为定值 ． （ 注： 结论 （ 中的“ 定 值” 应当加上 “ 非零” 的 ⅳ） ） 限制 ． ， ） 文［ 将直线 Ａ 由结论 （ Ｂ 以及与Ａ Ｂ 平行 １］ ｉ 的直线叫作 “ 平面 向 量 基 本 定 理 系 数 的 等 和 线 ” 同 ． 、 （ 、 中的直线分别叫作“ 理， 结论 （ 等 差 线” ⅲ） ⅱ） “ ； 等商线 ” 而结论 （ 中的双曲线叫作 “ 等积线 ” ． ⅳ） ］ 文［ 中还讨论 了 ｋ 的 取 值 范 围 与 等 值 线 的 位 １ 置的对应关系 ． 本文 拟 探 讨 在 这 些 等 值 线 背 后 隐 藏 的 实 质 ， 从 另一个角度加深对平面向量基本定理的理解 ． ２．等值线背后的实质
平面向量基本定理系数的等值线法(答案)
平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法.二、基本理论（一）平面向共线定理已知OC OB OA μλ+=，若1=+μλ，则C B A ,,三点共线；反之亦然 （二）等和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ， ),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1,0(∈k ； （3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，),1(+∞∈k ； （4）当等和线过O 点时，0=k ；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数； （6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比. （三）等差线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ， ),(R OB OA OP ∈+=μλμλ， C 为线段AB 的中点，若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上，则k =-μλ（定值）；反之也成立，我们把直线OC 以及与直线OC 平行的直线称为等差线 （1）当等差线恰为直线OC 时，0=k ； （2）当等差线过A 点时，1=k ； （3）当等差线在直线OC 与点A 之间时，)1,0(∈k ； （4）当等差线与BA 延长线相交时，),1(+∞∈k ；（5）若两等差线关于直线OC 对称，则两定值k 互为相反数. （四）等积线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在以直线OB OA ,为渐近线的双曲线上，则λμ为定值k ，反之也成立，我们把以直线OB OA ,为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在AOB ∠内肘，0>k ；（2）当双曲线的两支都不在AOB ∠内吋，0<k ；（3）特別的，若),(b a OA =，),(b a OB -=，点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上时，41=k （五）等商线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在过O 点（不与OA 重合）的直线上，则k =μλ（定值），反之也成立，我们把过点O 的直线（除OA 外）称为等商线（1）当等商线过AB 中点吋，1=k ；（2）当等商线与线段AC （除端点）相交时，),1(+∞∈k ； （3）当等商线与线段BC （除端点）相交时，)1,0(∈k ； （4）当等商线为OB 时，0=k ；（5）当等商线与线段BA 延长线相交时，)1,(--∞∈k ； （6）当等商线与线段AB 延长线相交时，)0,1(-∈k ； （7）当等商线与直线AB 平行时，1-=k . （六）等平方和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，且OB OA =，若点P 在以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆上，则22μλ+为定值k ，反之也成立，我们把以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线特別的，若),(b a OA =，),(b a OB -=，，点P 在椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上时，21=k 三、解题步骤 1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；五、典型例题例1.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x +的最大值是解法1：以点O 为原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则)01(，A ，)23,21(-B设θ=∠AOC ，则)sin ,(cos θθC ，所以OB y OA x OC +=)23,21()0,1()sin ,(cos -+=⇒y x θθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒θθθθθsin 32sin 31cos 23sin 21cos y x y y x2)6sin(2sin 3cos ≤+=+=+∴πθθθy x 当且仅当26ππθ=+即3πθ=时等号成立所以2)(max =+y x解法2：设OC 交AB 于点D ，则 当点C 在1C 处时，2)(max =+y x当点C 在A 或B 处时，1)(min =+y x]2,1[∈+∴y x例 2.在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AF y AB x AP +=，则y x +的取值范围解析：设AP 与BF 相交于点Q ，则 当点P 在点D 处时，4)(max =+y x ，当点P 在CE 上（不如让点P 在AD 与CE 的交点处）时，3)(min =+y x ∴]4,3[∈+y x例3.如图，在平行四边形ABCD 中，N M ,为CD 边的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为边AB 边上一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若BN y AM x PQ +=，则yx +的取值范围是 解析：作BN PT AM PR ==,，则PT y PR x BN y AM x PQ +=+=所以当点P 在S 点处时，43)(min =+y x ，当点P 在MN 上时，1)(max =+y x ， 故∈+y x ]1,43[例4.梯形ABCD 中，AB AD ⊥，1==DC AD ，3=AB ，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AD y AB x AP +=， 则y x +的取值范围 解析：当点P 在点C 处时，34)(max =+y x 当点P 在BD 上时，1)(min =+y x∈+∴y x ]34,1[例5.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若 AC AB DE 21λλ+=（21,λλ为实数），则21λλ+的值为解析：作AC DN AB DM ==,，则MN ∥BE （BE 在DMN ∆中位线上）∴DN DM AC AB DE 2121λλλλ+=+==+∴21λλ21注：此题为2013年江苏高考题第8题，但点E 为三等分的条件其实没有必要，可舍例 6.在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设AP y AD x AE +=，则y x +2的最小值为解析：取AD 的中点M ，则AP y AD x AE +=AP y AM x +=2 因为点P 在半圆上滑动，当点E 离直线MP 最近时，y x +2最小 由图可知点P 在半圆上的最高点处时，点E 离直线MP 最近 此时点E 在MP 上，所以=+min )2(y x 1例7.在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AP y DE x AC +=，则y x +的最小值为 解析：作DE AF =，则AP y DE x AC +=AP y AF x += 当点C 离PF 最近时，y x +最小所以当点P 在圆上滑到点B 处时，y x +最小为218.已知1==ON OM ，ON y OM x OP +=（y x ,为实数），若PMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则y x -取值的集合为解析：作ON OA -=，则有OA ON OM ==，所以090=∠AMN ，即P M A ,,三点共线，所以ON y OM x OP +=OA y OM x -=所以1=-y x ，故答案为{}1例9.已知椭圆E ：12510022=+y x 的上顶点为A ，直线4-=y 交椭圆于C B ,（B 在C 的左侧），点P 在椭圆E 上，若BC n BA m BP +=，求n m +的最大值 解析：可知点P 为椭圆的与AC 平行的切线的切点处时，n m +最大 计算可得=+max )(n m 1813105+ 例10.已知O 为ABC ∆的外心，若)00(，A ，)02(，B ，1=AC ，32π=∠BAC ，且AC AB AO μλ+=，则=+μλ解析：过点O 作OD ∥BC 交AB 于点D ，则ABAD=+μλ O 为ABC ∆的外心⇒点O 在BC 的垂直平分线上⇒点O 的横坐标为1 )23,21(-C ，532523-=-=BCk ，7)221()23(22=--+=BC由正弦定理得3212327sin 2=⨯=⇒∠=OA BACBCOA ，所以点O 的纵坐标为332137=-，直线OD ：)1(53332--=-x y ，令0=y 得点D 的坐标为)0,313( 613==+∴AB AD μλ例11.已知O 为ABC ∆的外心，若31cos =∠BAC ，AC AB AO μλ+=，则=+max )(μλ 解析：设AO 交BC 于点D ，则ODAO AOAD AO +==+μλ 当OD 最小即BC AD ⊥时，μλ+最大，此时=+μλ43所以=+max )(μλ43例12.平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为0120 ，OA 与OC 的夹角为030，且1==OB OA ，32=OC ，若OB n OA m OC +=，则n m +的值为解析：设OC 交AB 于点D ，则n m +ODOC=OAD ∆中，331300=⇒==∠=∠OD OA OAD AOD ， 所以OD OC =63332== 例13.如图，C B A ,,是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OB n OA m OC +=，则n m +的取值范围为解析：∈-=+ODOCn m )0,1(-例14.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为)0,5(，)1,2(1=e ， )1,2(2-=e 分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线Γ上的点P ，若),(21R b a e b e a OP ∈+=，则b a ,满足的一个等式是解析：等积线：双曲线的方程为1422=-y x ，设)tan ,sec 2(θθP ，则由),(21R b a e b e a OP ∈+=⎩⎨⎧=-=+⇒⎩⎨⎧=-=+⇒-+=⇒θθθθθθtan sec tan sec 222)1,2()1,2()tan ,sec 2(b a b a b a b a b a 1tan sec )()(2222=-=--+⇒θθb a b a 41=⇒ab例15.已知1=OA ，3=OB ，0=⋅OB OA ，点C 在AOB ∠内，且030=∠AOC ， 设OB n OA m OC +=，则nm的值为 答案：等商线：分别以OB OA ,为y x ,轴建立平面直角坐标系，则)3,0(),01(B A ，， OB n OA m OC +=)3,()3,0()0,1(n m n m =+=，又030=∠AOC ，所以330tan 30=⇒=nmm n例16.如图，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，单位圆与坐标轴交于点)01(，-A ，点)10(-，B ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ，设),(R y x PN y PM x PO ∈+=，求y x +的最小值解析：设OP 交MN 于点Q ，MN 的中点为D ，则21211111=+-≥-=-==+OQ OQ PO PO PQ PO y x例17.如图，在扇形OAB 中，060=∠AOB ，C 为弧AB 上且不与A 、B 重合的一个动点，OB y OA x OC +=，若)0(>+=λλy x u 存在最大值，则λ的取值范围为解析：因为0>λ，在射线OB 上取点D ，使得OB OD λ1=，则OB y OA x OC +=OD y OA x λ+=，过点C 作CE ∥AD 交OB 于点E ，过点A 作OB AM ⊥于点M ，过点A 作弧AB 的切线交OB 于点N ，则易知当E 离D 最远时u 有最大值，而E 只能在线段MN 上，所以∈u )2,21(例18.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点B A ,满足2=⋅==OB OA OB OA ，则点集{}R OB OA OP P ∈≤++=μλμλμλ,,1,所表示的区域面积为解析：由题意可知60=∠AOB ,设OB OD OA OC -=-=,，R OB OA OP ∈≤++=μλμλμλ,,1,，则可知点P 的轨迹为平行四边形ABCD 及其内部的部分，其面积为3460sin 44210=⨯⨯⨯例19.已知b a ,是两个互相垂直的单位向量，且1=⋅=⋅b c a c ，则对任意的正实数t ，b ta t c 1++的最小值为解析：分别以b a ,为y x ,轴方向上的单位向量，则)1,0(),0,1(==b a ，由1=⋅=⋅b c a c 知)1,1(=c ，)11,1()1,0(1)0,1()1,1(1tt t t b t a t c ++=++=++∴2212)12()2()11()1(12222≥+=+≥+++=++tt t t t t b t a t c。
平面向量基本定理及坐标表示知识点讲解+例题讲解(含解析)
平面向量的基本定理及坐标表示一、知识梳理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.小结：1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B3.设P 是线段P 1P 2上的一点，若P 1(1，3)，P 2(4，0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( ) A.(2，2)B.(3，－1)C.(2，2)或(3，－1)D.(2，2)或(3，1)解析 由题意得P 1P →＝13P 1P 2→且P 1P 2→＝(3，－3). 设P (x ，y )，则(x －1，y －3)＝(1，－1)， ∴x ＝2，y ＝2，则点P (2，2). 答案 A4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)D.(1，4)解析 根据题意得AB→＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. 答案 A5.(2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3. 答案 －36.(2019·苏州月考)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5. 答案 (1，5)考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC→(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( ) A.－12B.1C.32D.－3解析 (1)AM→＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →) ＝(λ－μ)AB→－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →.因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1， 即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12.(2)(2019·北京海淀区调研)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD→＝13AB→＋12AC →.延长AD 交BC 于E ，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是________.解析：(2)设AE →＝xAD →，∵AD →＝13AB →＋12AC →， ∴AE→＝x 3AB →＋x 2AC →. 由于E ，B ，C 三点共线，∴x 3＋x 2＝1，x ＝65.根据平面向量基本定理，得λ＝x 3，μ＝x2.因此λ－μ＝x 3－x 2＝－x 6＝－15.答案 (1)A (2)－15【训练1】 (1)(2019·济南质检)在△ABC 中，AN→＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP→＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A.－4B.－1C.1D.4解析 (1)根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB→)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →. 又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎨⎧n ＝2，m ＝－1.(2)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC→＝23OA →＋13OB →，则|AC→||AB →|＝________. 解析：(2)因为OC→＝23OA →＋13OB →，所以OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，所以AC →＝13AB →，所以|AC →||AB →|＝13.考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)设A (0，1)，B (1，3)，C (－1，5)，D (0，－1)，则AB→＋AC →等于( )A.－2AD →B.2AD →C.－3AD →D.3AD →(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 (1)由题意得AB →＝(1，2)，AC →＝(－1，4)，AD →＝(0，－2)，所以AB →＋AC →＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3AD→.(2)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)， ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，则⎩⎨⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝－2－12＝4. 答案 (1)C (2)D【训练2】 (1)已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________.解析 (1)由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2). 则⎩⎨⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝7. 所以向量OB→的坐标是(4，7).(2)(2019·天津和平区一模)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85C.2D.83解析：(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)， ∴CA→＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)， ∵CA→＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)， ∴⎩⎨⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.答案 (1)(4，7) (2)B考点三 平面向量共线的坐标表示 角度1 利用向量共线求向量或点的坐标【例3－1】 已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________.解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ).又AC→＝OC →－OA →＝(－2，6)， 由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)， 所以点P 的坐标为(3，3).法二 设点P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x4＝y4，即x ＝y .又AP→＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3). 答案 (3，3)角度2 利用向量共线求参数【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.(2)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则mn ＝________. 解析 (1)由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，即λ＝12. (2)由2－1≠32，所以a 与b 不共线， 又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0. 那么当m a ＋n b 与a －3b 共线时， 有m 1＝n －3，即得m n ＝－13.答案 (1)12 (2)－13【训练3】 (1)(2019·北师大附中检测)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB→∥a ，则点B 的坐标为________.(2)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( ) A.－3B.－2C.2D.3解析 (1)由题意设B (x ，2x )，则AB→＝(x －3，2x )，∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6).(2)由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1. 2m ＋1＋2n ≥22m ＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3. 答案 (1)(－3，－6) (2)A三、课后练习1.如图，在△ABC 中，AD→＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.89B.49C.83D.43解析 AP→＝AB →＋BP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13(AD →－AB →)＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →.因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89. 答案 A2.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A.1B. 2C. 3D.2解析 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC→|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1. 又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2， 故x ＋y 的最大值为 2. 答案 B3.已知|OA→|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC→＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________.解析 ∵OA→·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA→＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ). ∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn ＝3. 答案 34.在△ABC 中，点D 满足BD→＝DC →，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC→，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________. 解析 因为BD→＝DC →，所以AD →＝12AB →＋12AC →.又AE→＝λAB →＋μAC →，点E 在线段AD 上移动，所以AE→∥AD →，则12λ＝12μ，即λ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤λ≤12. 所以t ＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12.当λ＝12时，t 的最小值是12. 答案 125.直角△ABC 中，AB ＝AC ＝2，D 为AB 边上的点，且AD DB ＝2，则CD →·CA →＝________；若CD→＝xCA →＋yCB →，则xy ＝________. 解析 以A 为原点，分别以AB→，AC →的方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，则CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2，CA →＝(0，－2)，CB→＝(2，－2)，则CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2·(0，－2)＝43×0＋(－2)×(－2)＝4.由CD→＝x CA →＋y CB →＝x (0，－2)＋y (2，－2)＝(2y ，－2x －2y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝43，－2x －2y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，则xy ＝29.答案 4 29。
高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》
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练习 5：如图 13 所示， A, B, C 是圆 O 上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长
线交于圆 O 外的点 D ,若 OC mOA nOB ，则 m n 的取值范围是
当 AD EF 时， f x, y AD 取得最 小值，此时 f x0 , y0 AD .易知
ABC AEF ，则 AD AH r 4 .
四、解题总结 1、确定等值线为 1 的直线； 2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和 最小值； 3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值.
部的动点，设向量 AP m AB n AFm, n R ，则 m n 的取值范围是（ ）
A . 1,2
B . 5,6
C . 2,5
D .3,5
【分析】
如图 5，设
AP1
m AB n AF ，由等和线结论，m n
AG AB
2 AB AB
2 .此为 m n
的交点，P 为边 AB 上一动点，Q 为 SMN 内一点（含边界），若 PQ x AM y BN ，
则 x y 的取值范围是
.
【分析】
如图 8 所示，作 PS AM ，PT BN ，过 I 作直线 MN 的平行线，由等和线定理
可知，
x
y
3 4
,1
.
（三）基底一方可变
OB'
平面向量等值线法
技巧八平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法。
二、基本理论（一）平面向量共线定理三点共线；反之亦然，则若已知C B A ,,1,=++=μλμλ（二）等和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R ∈+=μλμλ,，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则)(定值k =+μλ,反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线。
（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，()1,0∈k ；（3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，()∞+∈，1k ；（4）当等和线过O 点时，0=k ；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；（6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比；（三）等差线平面内一组基底,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，C 为线段AB 的中点，若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上，则)(定值k =-μλ,反之也成立，我们把直线OC 以及与直线OC 平行的直线称为等差线。
（1）当等差线恰为直线OC 时，0=k ；（2）当等差线过A 点时，1=k ；（3）当等差线在直线OC 与点A 之间时，()1,0∈k ；（4）当等差线与BA 延长线相交时，()∞+∈，1k ；（5）若两等差线关于直线OC 对称，则两定值k 互为相反数；（四）等积线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，若点P 在以直线OB OA ,为渐近线的双曲线上，则λμ为定值k ，反之也成立，我们把以直线OB OA ,为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在AOB ∠内时，0>k ；（2）当双曲线的两支都不在AOB ∠内时，0<k ；（3）特别的，若()()b a OB b a OA -==,,,，点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 时，41=k ；（五）等商线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，若点P 在过O 点（不与OA 重合）的直线上，则)(定值k =μλ，反之也成立。
(2.14)平面向量基本定理
OA tuOuurB tuOuurA
(1 t)OA tOB
变题2
uuur uur 设0A,u0uBur不共uuu线r ，u点ur P在AB上
求证：OP=0A+0B且+=P1，, R
B
A O
真题再现
（2007.全国Ⅱ）在VABC中,已知D是AB边上
uuur 一点,若 AD
uuur uuur 2DB, CD
理解定理——基底
1.设Ouu是ur YAuuBurCD两u对uuu角r 线uu的ur 交点，下列向量组： ① AuuDur与uAuBur ② DuuAur与BuuCur ③ CA与DC ④ OD与OB
其中可作为这个平行四边形所在平面内的 所有向量的基底的是( ) A ①,② B ①,③ C ①,④ D ③,④
有一对实数1, 2 , 使a 1e1 2e2 .
对基本定理的理解
注意三点： ① 基底中两向量不共线 ② 表达形式的唯一确定性 ③ 可表示平面内任一向量
知识点小结
1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解
注意三点： ① 基底中两向量不共线 ② 表达形式的唯一确定性 ③ 可表示平面内任一向量
３、平面向量基本定理的应用： ①解（证）向量问题
平面向量的基本定理
By:Cdy
1.向量的合成与分解 2. 什么是平面向量的基本定理。 3.理解什么样的一组向量能做为平面向量的一组 基底
1.实数与向量的积 2.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数λ，使得 b =λa
力的合成与分解
如图在重300N的特体上拴两绳子，这两根 绳子 在铅垂线的两侧，与铅垂线的股夹 角分别为30度，60度，当整个系统处于 平衡状态时，求两根绳子的拉力。
沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量等值线 课件 品质课件PPT
靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重要。重要的是谁让你重现笑
有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长久的一个人，而是
期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该看他贡献
身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以
是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若
相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不
忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人
；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也
至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之
:
x2 4
y2
1的渐近线交于E1、E2两点,记OE1
e1，
OE2 e2，任取双曲线上的点P,若OP ae1 be2 (a, b R),则a, b满足的一个等式是_______.ab 1
4
高考题变式:
平面向量基本定理系数的等值线法
平面向量基本定理系数的等值线法r适用题型在平面向绘甚本定理的表达式中.若需研究两系■数的和•墓积商、线性表达式及平方和时•可以足等值线法.二、基本理论<-）平面向量共绘定理己知忑±2亦十“況‘若久十戸=1，眦丑,c三点共线；反之亦然｛二>等和线平而内一组基底及任—向量莎*。
尸二兄刀+左3?（九严$代）.若点戸在直线佃上或在平行于血的直线上*则八戸=肌逹值）仮之也成立，我们把直线ABVX及芍苴线AB平行的直线成为零和纯c（1）当等和线恰为直线宓时，血=仁（2）与等和线右匸点和直线』占之间吋.A E（OJ）：（3）兰直线AB^O点和等和线之间时M胡卄知；（4）当等和线过O点时，&=3<5）若两答和线关于O点对称*则是置丘互为相反数:C6）定值R的变化与等和线到卍点的距离成正比；（三》等差线平面内一组琏底OA^OBJk任一向<5P,OP=AOA±pOS｛A.jU G R],匸为线段月E的中点*若点尸在直线OC上或在平疔干g的直线上，则门-出=帆崔值）仮之也成立，我忙[把直线Of以及与直线GC平行的直线称为等羞线.（1）当等差线恰沟直线OC1时，k=Oi⑵当等螯线过/点时I^=1¥（3）兰雑菱线在直线OC点/上间时，kw（M）;<4）为筹差线与氏1延张线相交时，2（1卄｝：（5）若两等差线关于直线OQ对称r则两宦值丘互为相反数；CB3）鞭线平面内一组基底刃、励及任一向童存’帀=衣方+”审（扎声€町’若点P住IX賣线gOH为渐近线的双曲线上’1U戸为定值I反之也成立.我们把以总线Q4QB聞渐近线的双曲线称为答积线m当鞭曲线有—辿厶OR内时’^>0；（“当双曲线的两龙部不性"OR内时+20七（3）特别的Iiff OA={a,b\OB=►点尸在双曲线^l_Zl=］（fl>o^>o）肘.丄：a~肝4（H>誓商线平面内一组菇底鬲“血及任一向蜀亦，=2玉十"0巩无輕蓟若点尸在过O点〔不与阳重合）的直线上.则±=削定值），反之也成址我们把过点O的直线（除64外）称为驛商线-<1）当零商线过曲中点时*k=l,⑵当等商线与线段犹（除端点）相交时，柴山+讪C3）-J|等冏统与缄段BE{除端点〉村交时*^E（OJ）,（4）当馨裔线即为时，k=Oz⑸勻等商绣与线段民I延长;统相交时.圧日-叫-小（G与等冏线与线段拙延长线相交时’止買一⑼；（7）当馨帰绘与直线宓平柠时*—g尊平方和找平面内一组毘底6L丽及任一向童d OP^AOA十卫丽认且€町・且石卜阿卜若点戸在以厶03角平分线为半长釉的帏圆上’则犷为宦值I反之也戍立，我们把以以厶角平分线为半长轴的橢圆称为零呼方和线*<.如硼、*•—2工特别的.若尿（询显仏孙点尸在双椭畤琲刊小小三. 解题步骤k确宦等值线为]的线；艺平楼慌转或伸缩）该线’结合动点的可行燃分析何处取得蚩大值和最小ffi:儿从长度比或苦点的位置两伞猎度，汁算最大值和壘小值’四. 几点补充k平面向蟄其线址理的表达式中的三个向鱼的起点劳必一致*若邓一致.本着少数魔从多数的原则，优先平移同定的向童*2.若需哩研究的提蒋疾数的线性琢则需要iffiil变换基底向霾，使胃需婪研究的代数式为基底的系数和或苣：五r典型例题例1给罡两个辰度対1的平面向量石和亦，它们的夹角为120°.如图所-示*J9“■.点C在以o为圆心的圆弧倉上变动t^OC=xOA^yOB i其中齐yw.则-Y+7的席犬值是.M2在正兴边形ABCDEF中*尸危三他形EDE內（包括边界）的动点*设乔=工乔+y乔，則时y的取值范訪I答案t[3.4]例3如圏.在平行M^ABCD'|LM、N M CD边旳三導分戊.SAMBN的父点*P対边4B边上一动直I Q7J ASMN内一克（會边界h若PQ=T』Af+.!-ff.V、则A+丁的取值范用足例4^ABCD中，彳D丄AS.AD=DC=},括边界h AP=xA&^yAD.则“尸的取值范围R5设门上分別^MSC的边貝&別？上的点，AD=-AB,B£=-BC^DE=^Aff^^AC（l,JL为实数｝,则占+&的值为（注：此題为13江苏斶垮也總R題+但点E为三解分的無件英实没有必塑I可舍）:"'16任正方形卫肚D屮・E为M中点.尸为毀肿为直後的半風弧上任意一点, T^AE=X AJ>+vAPf刚2X+F的最小值为静：1的任意—乩设: 対匚则"，的虽小值曲闵9已知#6圜E:5VIO+13AO=ZAB^pAC.则A+ju=答案:例7任正方ABCD11r,E为AB'l T点i尸为以冲为阀心’AE、h半律的関弧上制gLife]OM=ON=\t OP=jc(M^yOM(x,y为实数).若是U1M为直/fi顶点的Fi角三的底，则r-V収fjl的Sift.zj =1的上顶点为/・直线y=^交椭圆于艮f（月在C的左侧），点尸在懦圆E上'若市=忌5匸,求的堀大值例10己知O为的外心*l^(0.0k5(2,0k J4C-LZ5JC=答案:6,0容案：4衣I例H 如閣■乂EC 足圖O 上的三点，CO 的延快线场线段加旌延底线交于風O 卜卜例1【已知O 为山初C ■的外心，ScosZ^C =-1AO =AAB^^iAC^\例12平面内有三个向蜀鬲、Qi.DC ,K 中与刃与而的夹角为120"»OA 与况的夬他为3『『且I 631=I 面1=1,I 龙|=鮎仔，若OC =mOA+nOB f+n 的值为夕卜的点Q.^OC^mOA+nOB.则加十但的取值范圉为例14在平ffll/fj 坐标系中’双曲找「的中心&原点’它的一个焦点坐标为 (75,0)T et=(2^＞忑=(2.-1)分别是两条渐近贱的方向向虽任恥观曲统「上的点儿若丽=亦+意(口"左尺人则°』满足的一个等式是__例15已知石=1亦=石+鬲•亦=0*点C 在厶(9B 内*且厶OC =30叫设 ■-——一™■=F ?TOC =mOA+nOB ・则一的讥如.n答案:3邀心浅沛梢 答鑒：(-ho)」•汝心渤瑞 M 16如IU 倾斜角対B 的宜线°尸号肚偷圆左第一彖限的部分交于点尸・单位 园与坐标轴交于怎心忆点占®"J 旳与F 轴交于詁、阳与工轴龙于 点M,设tyPN^yeR}^求x+y 的最屮值‘例门如国・在扇形ZAOB=60Q ,C 为弧AR 上且不与」B 重合的一个动点，OC=itOA^yOS 9若«=.u+2yU>0）存在最大值，则丸的取值范围为-的区域而职为. 答案：4^3例19已知和是两个互相垂直的单位向星且c-a =H =l t 则对任意的正实 数f*|t'+fa+-6的最小值头F . 答案：2^2 鋼洽住平面直角坐标系中，O 为坐标原点*两足点』』满足。
高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》
衡阳市数学学会高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》衡东一中朱亚旸一、问题的提出平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高．近年，高考、模考中有关“等和线定理”（以下简称等和线）背景的试题层出不穷．学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高．在平时教学中，我们能不能给出一个简单、有效的方法解决此类问题呢？带着这个问题，笔者设计本微型专题．二、等和线定理平面内一组基地 OA, OB 及任一向量 OC ，OC = λOA + μOB(λ，μ ∈ R)，若点C 在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则λ + μ = k （定值），反之也成立，我们把直线 AB 以及直线 AB 平行的直线称为“等和线”．（1）当等和线恰为直线 AB 时， k =1；（2）当等和线在 O 点和直线 AB 之间时， k ∈(0,1)；（3）当直线 AB 在 O 点和等和线之间时， k ∈(1,+∞)；（4）当等和线过 O 点时， k =0；（5）若两等和线关于 O 点对称，则定值 k 互为相反数；（6）定值 k 的变化与等和线到 O 点的距离成正比；⎛ x y ⎫简证，如图1若 OC = λOD ，那么 OC = xOA + yOB = λ OA + OB⎪ = λOD ，λ λ⎝ ⎭从而有x+y= 1 ，即x+y= λ．另一方面，过C点作直线l // AB，在l上任作一λ λ点 C'，连接 OC'⋂ AB = D'，同理可得，以 OA, OB 为基底时，OC'对应的系数和依然为λ .三、定理运用（一）基底起点相同例1：（2017年全国Ⅲ卷理科第12题）在矩形 ABCD中， AB =1， AD =2，动点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ的最大值（）A .3B .22C . 5D .2【分析】如图2，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 l与圆相切时，λ + μ最大，此时λ + μ =AF=AB+BE+EF=3AB=3,故选 A .AB AB AB练习 1：(2006年湖南卷15题)如图3所示，OM // AB ，点 P 在由射线 OM 、射线段 OB 及 AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且 OP = xOA + yOB（1）则 x 的取值范围是；（2）当 x = - 1 时， y 的取值范围是.2【分析】(1),根据题意，很显然 x <0；（2）由平面向量基底等和线定理可知，0< x + y <1，结合 x = -12，可得12< y <32.练习2：(衡水中学 2018届高三二次模拟)如图4，边长为 2 的正六边形ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为1，圆心在线段 CD （含短点）上运动， P 是圆 Q 上及其内部的动点，设向量 AP = m AB + n AF(m, n ∈ R)，则 m + n 的取值范围是（）A .(1,2] B .[5,6] C .[2,5] D .[3,5]【分析】如图5，设 AP = m AB + n AF ，由等和线结论，m + n = AG = 2 AB = 2 .此为m+n1 AB AB的最小值；同理，设 AP = m AB + n AF ，由等和线结论，m + n = AH = 5 .此为m+n2 AB的最大值.综上可知 m + n ∈[2,5].（二）基底起点不同例 2：（2013 年江苏高考第 10 题）设 D , E 分别是 ∆ABC 的边 AB , BC 上的点，且有 AD =12 AB , BE = 23 BC , 若 DE = λ1 AB + λ2 AC (λ1 , λ2 ∈ R )，则 λ1+ λ2 的值为【分析】过点 A 作 AF = DE ,设 AF , BC 的延长线交于点 H ，易知 AF = FH ，即 AF = FH ，即 DF 为 BC 的中位线，因此 λ1 + λ2 =12 .练习 3：如图 7，在平行四边形 ABCD 中，M , N 为 CD 的三等分点，S 为 AM 与 BN 的交点，P 为边 AB 上一动点，Q 为 ∆SMN 内一点（含边界），若 PQ = x AM + y BN ，则 x + y 的取值范围是 .【分析】如图 8 所示，作 PS = AM ，PT = BN ，过 I 作直线 MN 的平行线，由等和线定理⎡3 ⎤可知， x + y ∈ ⎢ ,1⎥ .4 ⎣ ⎦（三）基底一方可变例 3：在正方形 ABCD 中，如图 9， E 为 AB 中点， P 以 A 为圆心， AB 为半径的圆弧上的任意一点，设 AC = x DE + y AP ，则 x + y 的最小值为 .【分析】由题意，作 AK = DE ，设 AD = λ AC ，直线 AC 与直线 PK 相交与点 D ，则有AD = λx AK + λy AP ，由等和线定理，λx + λy =1，从而 x + y =λ1，当点 P与点 B 重合时，如图10，λmax= 2 ，此时，(x+y)min=1 2．练习4：在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 P 在曲线Γ：y = 1 -x42(x≥ 0)上，曲线Γ与 x 轴相交于点 B ，与 y 轴相交于点 C ，点 D(2,1)和 E(1,0)满足OD = λCE + μOP(λ,μ ∈ R)则λ + μ的最小值为___.【分析】作CE = OA ，令 OD1= xOD ,有 OD1= xλOA + xμOP ，由等和线定理， xλ + xμ =1，所以λ + μ =1x，如图11，再由等和线定理，得(λ + μ)min=12 .（四）基底合理调节例题4：（2013 年高考安徽理科卷）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A, B 满足 OA = OB = OA⋅OB =2，则点集{P OP = λOA + μOB,λ + μ ≤1,λ,μ ∈ R}所表示的区域面积是（）A .22B .23C .42D .4 3【分析】由 OA = OB = OA⋅OB =2可知，OA, OB = π3 .如图 12 所示，当 λ ≥ 0，μ ≥ 0 时，若λ + μ = 1 ，则点P位于线段AB上；当λ ≥ 0，μ ≤ 0 时，若λ - μ = 1，则点P位于线段 AB'上；当λ ≤0，μ ≥0时，若- λ + μ =1，则点 P 位于线段 A' B 上；当λ≤ 0，μ ≤ 0 时，若- λ - μ = 1 ，则点P位于线段A'B'上；又因为λ + μ ≤ 1 ，由等和线定理可知，点 P 位于矩形 ABA' B'内（含边界）.其面积 S =4S∆AOB=4 3 .衡阳市数学学会练习5：如图13所示， A, B, C 是圆 O 上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D ,若 OC = mOA + nOB ，则 m + n 的取值范围是.【分析】作 OA, OB 的相反向量 OA1, OB1，如图14所示，则 AB // A1 B1，过 O 作直线 l // AB ，则直线 l ， A1 B1为以 OA, OB 为基底的平面向量基本定理系数等和线，且定值分别为0，-1 ，由题意CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，所以点C在直线 l 与直线 A1 B1之间，所以 m + n ∈(-1,0).练习6：如图15，在扇形 OAB 中，∠AOB =π3， C 为弧 AB 上的一个动点，若OC = xOA + yOB ，则 x +3 y 的取值范围是．【分析】，令 OB'=OB，依题意， OC = xOA +3 y OB⎪⎛ ⎫⎪3⎝ 3 ⎭重新调整基底 OA, OB'.显然，当 C 在 A 点时，经过 k =1的等和线， C 在 B 点时经过 k =3的等和线，这两个分别是最近跟最远的等和线，所以系数和x+ 3 y∈[1,3].（五）“基底+”高度融合例 5 ：已知三角形∆ABC 中， BC =6 ， AC =2 AB ，点 D 满足AD = 2x AB + y AC ，设f(x,y)= AD ， f (x, y)≥ f (x , y )恒成立，2(x+y)x + y 0 0则 f (x0, y0)的最大值为.【分析】衡阳市数学学会本题为“基底+阿氏圆”交汇命题.思路1：如图16所示，以 BC 为 x 轴，中垂线为 y 轴建立直角坐标系，易知点 B 的轨迹方程是(x -5)2+ y 2 = 16 ．取AC中点F，延长AB 到 E ，且 AB = BE .于是，AD =2xAB +yAC ，∴ AD =x (2 AB)+ y ⎛ 1 AC ⎫⎪ ，即有x + y 2(x+y) x + y (x + y)⎝2 ⎭AD =xAE +yAF ，从而 D ∈ EF ，进一步得到x + y x + yf (x, y)≥ f (x0, y0)= AK ,且有 AK =2 BG ，因为EF恒过∆ACE重心H，所以AK =2 BG ≤2 BH =4，即 f (x0, y0)max=4.思路2：如图17所示，同上分析， D ∈ EF .当 AD ⊥ EF 时，f(x,y)=AD取得最小值，此时 f (x0, y0)= AD .易知∆ABC ≅ ∆AEF ，则AD=AH≤r=4.四、解题总结1、确定等值线为 1 的直线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值.五、后记等和线定理巧妙的将代数问题转化为图形关系，将具体的代数式运算转化为距离的长短比例关系问题，这是数形结合思想的非常直接的体现。
平面向量基本定理系数等值线
平面向量基本定理系数等值线潘成银(江苏省南京民办实验学校,210019) 平面向量基本定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这个平面内的任一向量a ,有且仅有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2,我们称λ1,λ2为平面向量基本定理系数.1 三点共线定理 定理1 平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB (λ1,λ2为实数),则A ,P ,B 三点共线的充要条件是λ1+λ2=1,如图1.设线段AB 中点为C ,由平面向量加法平行四边形法则可知图 1当P 在点C 时,λ1=λ2=12;当P 在点A 时,λ1=1,λ2=0;当P 在点B 时,λ1=0,λ2=1;当P 在线段AC 上(除端点)时,0<λ2<λ1<1;当P 在线段BC 上(除端点)时,0<λ1<λ2<1;当P 在线段AB 延长线上时,λ1<0,λ2>1; 当P 在线段BA 延长线上时,λ1>1,λ2<0.借助上面的结论,我们可以对平面向量基本定理系数的性质作进一步研究.2 等和线 图 2如图2,平面内一组基底OA ,OB ,作直线l ∥AB ,直线OA ,OB 分别与l 交于A 1,B 1,设OA 1=k OA (k ∈R ),则OB 1=k OB ,若P 为l 上任意一点,OP =OA 1+A 1P =OA 1+t A 1B 1=OA 1+t (OB 1-OA 1)=(1-t )k OA +tk OB (t 为实数),设λ1=(1-t )k ,λ2=tk ,则λ1+λ2=k ,显然k 只与l 和直线AB 相对位置有关,而与P 在l 上的位置无关,所以,对于直线l 上任意一点P ,以O A ,OB 底的向量OP 的平面向量基本定理的系数和为定值.反之,对于任意两个向量OP 1,OP 2,OP 1=λ1OA +λ2OB ,OP 2=λ3OA +λ4OB (λ1,λ2,λ3,λ4为实数),若λ1+λ2=λ3+λ4,移项得λ3-λ1=点处的切线平行于这些弦.(2)椭圆焦点弦两端点处的两条切线相交在准线上.(3)设椭圆的中心为C ,如果CP 平分平行于CD 的弦,那么CD 也平分平行于CP 的弦.(4)若椭圆在其点P 处的切线交长轴延长线于T ,PN 垂直于长轴,垂足为N ,C 是中心,A 是长轴的一个端点,则CN ·CT =CA 2.[1]等等.3 结语 今天,变换的基本观点与基本思想为中学数学教学,特别是解析几何的教学提供了十分有益的指导.显然,平面上的变换就是到自身的一个对应.或者说,“变换无非是简单的函数概念的推广.”[2]本文表明,在高中数学内容中引入变换的观点是非常必要的.变换观点与变换思想的引入是对高中数形结合思想的进一步提升,也使高中阶段用代数方法研究几何问题达到了一个更高的层次.特别地,对于解析几何的问题解决来说,一切都变得简单而又自然.参考文献:[1] [英]A .科克肖特,F .B .沃尔特斯著,蒋声译.圆锥曲线的几何性质[M ].上海:上海教育出版社,2002.[2] [德]F .克莱因著,舒湘芹等译.高观点下的初等数学(第二册)[M ].上海:复旦大学出版社,2007.(收稿日期:2012-10-23)-(λ4-λ2),所以P 1P 2=OP 2-OP 1=(λ3-λ1)O A +(λ4-λ2)OB =(λ3-λ1)(O A -OB )=(λ3-λ1)BA ,从而P 1P 2∥AB .于是有:定理2 平面内一组基底O A ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB λ1,λ2为实数),若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上,则λ1+λ2=k (定值),反之也成立.我们把直线AB 以及与AB 平行的直线叫平面向量基本定理系数的等和线,如图3.根据证明过程可知:图 3(1)当等和线即为直线AB 时,k =1;(2)当等和线在点O 与直线AB 之间时,k ∈(0,1);(3)当直线AB 在点O 与等和线之间时,k ∈(1,+∞);且以上定值的变化与等和线到点O 的距离成正比.(4)当等和线过点O 时,k =0;由相反向量概念可知:(5)若两等和线关于O 点对称,则相应的定值互为相反数.3 等差线 图 4如图4,平面内一组基底O A ,OB ,C 为线段AB 的中点,OC =12(OA +OB ),设P ′为直线OC 上任意一点,则OP ′=λOC =λ2O A +λ2OB ,此时λ1=λ2=λ2,λ1-λ2=0.作直线l ∥OC ,直线OA 与l 交于点M ,直线AB 与l 交点为N ,显然■OAC ∽■M AN ,设AM =k OA ,则OM =(1+k )OA ,NM =k OC =k 2(OA +OB ),若P 为直线l 上任意一点,则OP =O M +MP =(1+k )OA +t NM =(1+k )OA +kt OC =(1+k +kt 2)OA +kt 2OB (t 为实数),此时λ1=1+k +kt 2,λ2=kt 2,λ1-λ2=1+k ,由于k 只与l 和OC相对位置有关,而与P 在l 上的位置无关,所以对于直线l 上任意一点P ,以OA ,OB 基底的向量OP 的平面向量基本定理的系数差为定值.反之,对于任意两个向量OP 1,OP 2,OP 1=λ1OA +λ2OB ,OP 2=λ3OA +λ4OB (λ1,λ2,λ3,λ4为实数),若λ1-λ2=λ3-λ4,移项得λ3-λ1=λ4-λ2,所以P 1P 2=OP 2-OP 1=(λ3-λ1)OA +(λ4-λ2)OB =(λ3-λ1)(OA +OB )=2(λ3-λ1)OC ,从而P 1P 2∥OC .于是有:定理3 平面内一组基底O A ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB (λ1,λ2为实数),C 为线段AB 中点,若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上,则λ1-λ2=k (定值),反之也成立.我们把直线OC 以及与OC 平行的直线叫平面向量基本定理系数的等差线,如图5.根据证明过程和定理1可知:图 5(1)当等差线过AB 中点C 时,k =0;(2)当等差线过点A 时,k =1;(3)当等差线在直线OC 与点A 之间时,k ∈(0,1);(4)当等差线与B A 延长线相交时,k ∈(1,+∞);由相反向量概念和平面几何知识易证:(5)若两等差线关于OC 对称,则相应的定值互为相反数.4 等商线 图 6如图6,平面内一组基底OA ,OB ,设直线l 是过点O 不与OA ,OB 重合的任意直线,设P 1,P 是直线l 上不同于O 的任意两点,则存在实数t ,使得OP 1=t OP ,若OP =λ1OA +λ2OB (λ1,λ2为实数),则OP 1=t (λ1OA +λ2OB )=t λ1OA +t λ2OB ,所以t λ1t λ2=λ1λ2,所以对于是直线l 上任意点P (非点O ),以OA ,OB 基底的向量OP 的平面向量基本定理的系数的比值为定值.反之,对于任意两个向量OP 1,OP 2,OP 1=λ1O A +λ2OB ,OP 2=λ3O A +λ4OB (λ1,λ2,λ3,λ4为实数且非零),若λ1λ2=λ3λ4,则λ3λ1=λ4λ2,设λ3λ1=λ4λ2=k ,所以P 1P 2=OP 2-OP 1=(λ3-λ1)O A +(λ4-λ2)OB =(k λ1-λ1)OA +(k λ2-λ2)OB =(k -1)(λ1OA +λ2OB )=(k -1)OP 1,P 1P 2∥OP 1,即O ,P 1,P 2三点共线.于是有:定理4 平面内一组基底OA ,OB 及任一非零向量OP ,OP =λ1O A +λ2OB (λ1,λ2为实数),若点P 在过点O (不与OA 重合)的直线l 上,则λ1λ2=k (定值),反之也成立.我们把过点O 的直线(除O A 及不含点O )叫平面向量基本定理系数的等商线,如图7.根据证明过程和定理1可得:图 7(1)当等商线过AB 中点C 时,k =1;(2)当等商线与线段AC (除端点)相交时,k ∈(1,+∞);(3)当等商线与线段BC (除端点)相交时,k ∈(0,1);(4)当等商线即为OB 时,k =0;(5)当等商线与B A 延长线相交时,k ∈(-∞,-1);(6)当等商线与AB 延长线相交时,k ∈(-1,0);(7)当等商线与直线AB 平行时,k =-1.5 等积线 平面内一组基底OA ,OB ,以O 为原点,∠AOB 平分线所在直线为x 轴,建立直角坐标系,如图8,设OA =(a ,b ),OB =(c ,d ),若点A 关于x 轴对称点为B 1,则OB 1=(a ,-b ),且OB =λOB 1(λ为正实数),设P (x ,y )是直线OA ,OB 外任意一点,根据平面向量基本定理,存在非零实数λ1,λ2,使得OP =λ1O A +λ2OB =λ1OA +λλ2OB 1=λ1(a ,b )-λλ2b ).x y 两式相乘得x 2a 2-y 2b2=4λ(λ1λ2),图 8设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=4λ(λ1λ2),它的渐近线为y =±b ax ,即为直线OA ,OB ,若当λ1λ2为定值,点P 在以OA ,OB 为渐近线的双曲线上;反之,若P 在以OA ,OB 为渐近线的某双曲线上,则x 2a 2-y 2b2的值为非零常数,所以4λ(λ1λ2)为常数,即λ1λ2为定值.于是有:定理5 平面内一组基底O A ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB ,若λ1λ2为定值,则点P 在以直线OA ,OB 为渐近线的某条双曲线上;反之,点P 在以直线O A ,OB 为渐近线的某条双曲线上,则λ1λ2为定值.我们把以直线O A ,OB 为渐近线的双曲线叫平面向量基本定理系数的等积线,根据证明过程可知以下结论:(1)当双曲线有一支在∠AOB 内时,λ1λ2为正值;(2)当双曲线都不在∠AOB 内时,λ1λ2负值;(3)特别地,OA =(a ,b ),OB =(a ,-b ),点P 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上时,λ1λ2=14.应用平面向量基本定理系数等值线,可以直观、简捷、快速解决一些问题:图 9例1 (2009年安徽理科试题)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为120°,如图9,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动,若OC =x OA +y OB ,其中x ,y ∈R ,则x +y 的最大值是.解析 连接AB ,过C 作直线l ∥AB ,则直线l 为以O A ,OB 为基底的平面向量基本定理系数的等和线,显然当l 与圆弧相切于C 1时,定值最大,因为∠AOB =120°,所以OC 1=OA +OB ,即x =y =1,所以x +y 的最大值为2.说明 原解是利用向量坐标表示,借助向量数量积及三角函数知识求解,是典型的向量问题代数化,应用平面向量定理系数的等和线解决,尤显直观、简捷、快速!例2 如图10所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ,若OC =m OA +n OB ,则m +n的取值范围是.图 10图 11解析 作O ,的相反向量OA 1,OB 1,如图11,则AB ∥A 1B 1,过O 作直线l ∥AB ,则直线l ,A 1B 1为以O A ,OB 为基底的平面向量基本定理系数的等和线,且定值分别为0,-1,由题意CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ,所以C 在直线l 与直线A 1B 1之间,即过C 点的等和线在直线l 与直线A 1B 1之间,所以m +n ∈(-1,0).例3 (2010上海高考文科试题)在平面直角坐标系中,双曲线C 的中心在原点,它的一个焦点坐标为(5,0),e 1=(2,1),e 2=(2,-1)分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线C 上的点P ,若OP =a e 1+b e 2(a ,b ∈R ),则a ,b 满足的一个等式是.解 因为e 1=(2,1),e 2=(2,-1)是渐进线的方向向量,所以双曲线渐近线方程为y =±12x ,又它的一个焦点坐标为(5,0),c =5,双曲线C 的方程为x 24-y 2=1,ab =14.(收稿日期:2012-09-02)一个不等式猜想的简证及推广戴志祥(浙江省绍兴市高级中学,312000)1 引言 文[1]的最后提出了四个不等式猜想,文[2]中用构造函数再结合导数的方法给出了猜想1的肯定性证明与推广.本文应用柯西不等式与均值不等式给出猜想1的简证,并在此基础上给出猜想1的进一步推广.猜想1 若a ,b ,c 都是正实数,且满足abc =1,则a 22+a +b 22+b +c 22+c ≥1.2 猜想1的证明证明 由柯西不等式得,(2+a +2+b +2+c )(a 22+a +b 22+b +c 22+c) ≥(a +b +c )2,∴a 22+a +b 22+b +c 22+c≥(a +b +c )2a +b +c +6=(a +b +c )2-36a +b +c +6+36a +b +c +6=a +b +c -6+36a +b +c +6=49(a +b +c +6)+36a +b +c +6 +59(a +b +c +6)-12。
(完整word版)平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a 、b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.选择题：设e 1，e 2是平面内一组基底，那么( ) A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b 解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83C.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43 解析 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，∴c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.已知向量OA→＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23 B.43 C.12 D.13解析 AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB→＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14)解析 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)，由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，∴m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A已知在□ABCD 中，AD→＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝( )A ．(－1，－12)B ．(－1,12)C ．(1，－12)D ．(1,12) 解析 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD→＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( )A.23B.43 C ．－3 D ．0解析 ∵CD→＝2DB →，∴CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC→＝2AE →，则向量EM →＝( )A.12AC →＋13AB →B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB → 解析 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21) 解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45解析 ∵AB→＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，∴AB→＝85AN →－45AM →，∴λ＋μ＝45.填空题：已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. 解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________.解析 ∵(x,1)＋(2，y )＝(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴x ＋y ＝－3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，∴u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又∵u ∥v ，∴3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________解析 AB→＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54在□ABCD 中，AC 为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．已知□ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________ 解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为_______解析 ∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，∴DC→＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )，AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．如图，在△ABC 中，AN→＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________． 解析：设BP→＝kBN →，k ∈R .∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 且AP→＝mAB →＋211AC →，∴1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.在□ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示)解析 如图，MN→＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2如图，已知AB→＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝____________解析 AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB→＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，则(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，∴1a ＋1b ＝12.设OA→＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________解析 由题意得AB→＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)，又AB →∥AC →，∴(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，∴1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.解析 设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________解析 若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB→，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴sin2θ×1－cos 2θ＝0，∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0， ∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12解答题：已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC→＝2AB →，求点C 的坐标．解析 (1)由已知得AB→＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →，∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC→＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴AM→与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．能力提升题组已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12 解析 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)， ∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn 的值为( )A ．2 B.52 C ．3 D ．4 解析 ∵OA →·OB→＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14 解析 由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，∴O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A →－O B →)＝23O A →＋13O B →，∴x ＝23，y ＝13.已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC→＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD→＝(－2，－4)．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________解析 由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为|OP |＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 解析∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心． 如图所示，连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点． ∴AM→＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA→＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
平面向量等和线与极化恒等式及答案
等和线与极化恒等式知识点1 三点共线结论根据平面向量基本定理，如果P A →，PB →为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量PC →都可以由P A →，PB →唯一线性表示：PC →=xP A →＋yPB →．特殊地，如果点C 正好在直线AB 上，那么x ＋y =1，反之如果x ＋y =1，那么点C 一定在直线AB 上．于是有三点共线结论：已知P A →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →=xP A →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y =1．知识点2 等和线的定义及性质以上讨论了点C 在直线AB 上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C 不在直线AB 上的情况．如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →=xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )．1．平面向量等和线定义(1)当直线DE 经过点P 时，容易得到x ＋y =0．(2)当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →=λP A →＋μPB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ=1．由△P AB 与△PED 相似，知必存在一个常数k ∈R ，使得PC →=kPF →(其中k =|PC ||PF |=|PE ||P A |=|PD ||PB |)，则PC →=kPF →=kλP A →＋kμPB →．又PC →=xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )，所以x ＋y =kλ＋kμ=k ．以上过程可逆．在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．2．平面向量等和线定理平面内一组基底PA →，PB →及任一向量PF →满足：PF →=λPA →＋μPB →(λ，μ∈R )，若点F 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ=k （定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．3．平面向量等和线性质(1)当等和线恰为直线AB 时，k =1；(2)当等和线在点P 和直线AB 之间时，k ∈(0，1)； (3)当直线AB 在点P 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点P 时，k =0；(5)若两等和线关于点P 对称，则定值k 互为相反数．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →=xAB →＋yAC →，则有点P 在直线BC 上⇔x ＋y =1；点P 与点A 在直线BC 异侧⇔x ＋y >1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越大；点P 与点A 在直线BC 同侧⇔x ＋y < 1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越小． 平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和． 知识点3 极化恒等式a ·b =14[(a ＋b )2－(a －b )2]1.公式推导：()()()()222222222142a b a ab b ab a b a b a b a ab b ⎫+=++⎪⎡⎤⇒=+−−⎬⎢⎥⎣⎦⎪−=−+⎭2.几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．4.三角形模式：如图，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →=|AD |2－|BD |2．（1）推导过程：由()()222222111222AB AC AB AC AB AC AD CB AD DB ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+−−=−=− ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭.（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．考点一 根据等和线求基底系数和的值(1)确定值为1的等和线；A B C图(2)(2)平移(旋转或伸缩)该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值．例1（2022·河南高三月考）在平行四边形中ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 边上的中点，且AC AE AF λμ=+,其中λμ∈R ，，则=λμ+___________.例2 （2022·陕西·交大附中模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →=λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ=__________． 【跟踪精练】1. （2022·山东·山师附中模拟预测）直角梯形中ABCD ,ABD BC AD CD CB ∆⊥，，//是边长为2的正三角形，P 是平面上的动点，1||=CP ，),(R AB AD AP ∈+=μλμλ设，则μλ+的值可以为（ ）A. 0B.1C.2D.32. （2022·云南玉溪·高三月考）如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →=λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A ．1B ．34C ．23D ．123. (2013江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC ，若DE →=λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2∈R )，则λ1＋λ2的值为________．考点二 根据等和线求基底的系数和的最值（范围）(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值．例3给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的弧AB 上运动，若OC →=xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________．例4（2022·福建泉州·模拟预测）在△ABC 中，AC AB ⊥，AB =3，AC =1，点P 是△ABC 所在平面内一点， 2||||AB ACAP AB AC =+，且满足||2PM =，若AM xAB y AC =+，则3x ＋y 的最小值是( )．A ．3+BC ．1D ．3− 【跟踪精练】1.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →=λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．22. （2022·苏州中学高三月考）如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →=mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．考点三 极化恒等式处理数量积的定值问题(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值． 例5（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）如图，在△ABC 中，D 是BC的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →=4，BF →·CF →=－1则BE →·CE →的值是____．例6（2022·山东日照市·高三二模）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP →=3PD →，AP →·BP →=2，则AB →·AD →的值是( )A ．44B ．22C ．24D ．72 【题型精练】 1．（2022·河北武强中学高三月考）如图，在平面四边形ABCD中，O 为BD 的中点，且OA =3，OC =5，若AB →·AD →=－7，则BC →·DC →的值是________．2. (2022·全国福建省漳州市高三期末) 在△ABC 中，|AB →＋AC →|=|AB →－AC →|，AB =2，AC =1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．269考点四 极化恒等式处理数量积中的最值范围问题(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．例7 (全国Ⅱ高考)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1例8 （2022·海南海口·二模）在 正三角形ABC 中，点E ，F 是线段AB,AC 的中点，点P 在直线EF 上，若三角形ABC 的面积为2，则2PC PB BC ⋅+的最小值是 【题型精练】1. （2022•南通期末）在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．2. (天津高考)如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD →=λBC →，AD →·AB →=－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|=1，则DM →·DN →的最小值为________．培优专题2 等和线与极化恒等式答案考点一 根据等和线求基底系数和的值例1.【答案】43【解析】连接EF ，交AC 于G∵E ，F ，G 共线，则AG xAE y AF =+，且=1x y + 记t AC AG =，则tx ty t λμ+=+=，4t =3AGAC =例2 【答案】43 【解析】如图，EF 为值是1的等和线，过C 作EF 的平行线，设λ＋μ=k ，则k =|AC ||AM |．由图易知，|AC ||AM |=43，故选B ．A【跟踪精练】 1.【答案】BC 【解析】如图 2.【答案】B【解析】如图，AD 为值是1的等和线，过E 作AD 的平行线，设λ＋μ=k ，则k =|BE ||BF |．由图易知，|BE ||BF |=34，故选B ．A3.答案 12解析 如图，过点A 作AF →=DE →，设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF =FH ，∴DF =12BH ，因此λ1＋λ2=12．考点二 根据等和线求基底的系数和的最值（范围）例3【答案】2【解析】令x ＋y =k ，所有与直线AB 平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k 取得最大值，结合角度，不难得到k =|DO ||OE |=2．1，2），M 在以P 为圆心，半径为2的圆上xAD y AC +， ，则有3=x y t +max =111AM MN MG t AN AN AH =+=+≥++min =1113AM MN MG t AN AN AH =−=−≥=−【跟踪精练】1.答案 A 解析 建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2，1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ．因为CD =1，BC =2，所以BD =12＋22=5，EC =BC ·CD BD =25=255，所以P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2=45．设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →=(x 0，y 0)，AB →=(0，1)，AD→BB=(2，0)．因为AP →=λAB →＋μAD →=λ(0，1)＋μ(2，0)=(2μ，λ)，所以μ=12x 0=1＋55cos θ，λ=y 0=1＋255 sin θ．两式相加，得λ＋μ=1＋255 sin θ＋1＋55cos θ=2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ=π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3．故选A ．等和线法 过动点P 作等和线，设x ＋y =k ，则k =|AM ||AB |．由图易知，当等和线与EF 重合时，k 取最大值，由EF ∥BD ，可求得|AE ||AB |=3，∴λ＋μ取得最大值3．故选A ．2.【答案】 (－1，0)【解析】 如图，作OA →，OB →的相反向量OA 1→，OB 1→，则AB ∥A 1B 1，过O 作直线l ∥AB ，则直线l ，A 1B 1分别为以OA →，OB →为基底的值为0，－1的等和线，由题意线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，所以点C 在直线l 与直线A 1B 1之间，所以m ＋n ∈(－1，0)．考点三 极化恒等式处理数量积的定值问题例5【解析】78【解析】极化恒等式法设BD =DC =m ，AE =EF =FD =n ，则AD =3n ．根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →=AD →2－DB →2=9n 2－m 2=4，FB →·FC →=FD →2－DB →2=n 2－m 2=－1．联立解得n 2=58，m 2=138．因此EB →·EC →=ED →2－DB →2=4n 2－m 2=78．即BE →·CE →=78．例6【答案】B 【解析】如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ， AP →·BP →=EP 2－AE 2=EP 2－16=2，∴EP =32，又∵CP →=3PD →，AE →=EB →，AB →=DC →，∴AE =2DP ，即△F AE 中，DP 为中位线，AF =2AD =10，AE =12AB =4，FE =2PE =62，AP 2=40，AD →·AB →=AF →·AE →=AP 2－EP 2=40－(32)2=22． 【题型精练】1．【答案】9 【解析】因为AB →·AD →=AO →2－OD →2=9－OD →2=－7⇒OD →2=16，所以BC →·DC →=CO →2－OD →2=25－16=9．2.【答案】B 【解析】取EF 中点M ，连接AM ，则AE →·AF →=|AM |2－|EM |2=54－536=109．考点四 极化恒等式处理数量积中的最值范围问题例7 【答案】B【解析】解析法: 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →=(－x ，3－y )，PB →=(－1－x ，－y )，PC →=(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)=(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )=2(x 2＋y 2－3y )=2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34=－32．当且仅当x =0，y=32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．极化恒等式法: 设BC 的中点为D ，AD 的中点为M ，连接DP ，PM ，∴P A →·(PB →＋PC →)=2PD →·P A →=2|PM →|2－12|AD →|2=2|PM →|2－32≥－32．当且仅当M 与P 重合时取等号．BC例8 【答案】2【解析】取BC 中点D ，由三角形ABC 的面积为2，所以边长BC 的平方为3 ，PD 的最小值为高的一半，所以22316=PD BC ， 所以22222213=44⋅+−+=+PC PB BC PD BC BC PD BC23383158353==16431632=+⨯⨯BC . 【题型精练】 1.【答案】23【解析】取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2=PD →2－BC →24＋BC →2=PD →2＋3BC →24≥AD→24＋3BC →24，此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC→24≥2AD →24·3BC →24=23．2.【答案】16 132【解析】因为AD →=λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD =120°，所以AD →·AB →=|AD →|·|AB →|·cos 120°=－32，解得|AD →|=1．因为AD →，BC →同向，且BC =6，所以AD →=16BC →，即λ=16．如图，取MN的中点P ，连接PD ，则DM →·DN →=PD →2－MP →2=PD →2－14，当PD →⊥BC →时，|PD →|2取最小值274，所以DM →·DN →的最小值为132．BC。
沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量等值线 课件 最新课件PPT
• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不断 己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你如 着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总会 为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一定 全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界那 带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受尽 有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不会 会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说三 一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么不 岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平，但 ，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊才会 会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努力 不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风雨 律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高一 一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。你 的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律约 成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净的 自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去金 ，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比现 谎言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你丢 风轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。成 的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前，财 后面。不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算对 小动作多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚持 别人开始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些 习会使你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是一 向前推动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热， 种的人一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施， 司员工的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是运
平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等
平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平而向量搖本崖理的表达式中.若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时.可以用等值线法・二基本理论（一）平面向*共线定理已知鬲=久西+“況.若久十“ = I, UIUB.C三点共线：反之亦然（二）等和线平面内一俎慕底oNoS及任一向量亦.亦二人花+ 〃亦（人若 0 P在直线朋上或在平行于肋的直线上，则2+“ =尿定值）仮Z也成孙我们把直线*〃以及与宜线.4B 平行的直线成为等和线。
（1）当等和线恰为直线时.A=l：⑵ 当等和线在O点和直线朋之间时.仁（0,1）；（3）当住线M在O点和等和线之间时"＜仏+00）；（4＞当等和线过O点时.^ = 0；（5）若两等和线关于O点对称.则左值《互为相反数：（6）泄值人-的变化与等和线到O点的師离成正比：（三）等差仪平面内一组慕底OA,OB及任一向量帀・帀“鬲+ “亦亿C为线段的中点.若点P在直线0C上或在平行于CC的買线上.则八戸=灿上值八反Z也成匕我们把fL线"以及线OC半行的直线称为等差线.（1）当等荃线恰为直线OC时，A=0：（2）斗等差线过X点时.A=l：（4）当等差线与阳延长线相交时.2（1卄8）；⑶ 当等差线在直线0C与点/之何时.JtG（0,l）:（5＞若两等差线关于直线OC对称.则两足为相反数:（四）等积线平面内一组基底OA.OBJ^任一向&OP ・ 丽=几刃+ “亦（入“wR ）・若 点P 在以苴线OA.OB 为渐近线的女曲线上.则“为足值I 反Z 也成必 我们 把以直线OA.OB 为渐近线的双曲线称为%积线（1） 当双曲线有一支金厶103内时，k>0t（2） 当双曲线的两支都不在乙4OB 内时.X <0：（3） 特别的.若tU=（a 上讥加= （“,"），点P 住双曲线（五）等商线点P 在过O 点（不与0/1重合〉的直线上，则虫=川定值），反之也成立。