电力系统基频铁磁谐振谐波平衡分析

求解基频谐振仅取基频分量 ,忽略其他频率 :
φ( t) = Φ1 sin (ωt +θ1 ) 。
(5)
将式 (5) 、(1) 代入式 (2) 可得
d2Φ1 sin (ωt +θ1 ) / d t2 +dΦ1 sin (ωt +θ1 ) / RCd t + ( aΦ1 sin (ωt +
θ1 ) + b(Φ1 sin (ωt +θ1 ) ) n) / C = ω Eco sωt 。
方程组 ,从而求得方程的解 。设有非线性方程
d2 x/ d t2 + f ( d x/ d t , x) = F( t) 。
(3)
若 F( t) 为 t 的周期为 T 的函数 , 则方程存在周期为
T 或 T 倍数的解 ,将其展开成傅立叶级数 :
∞
∑ x ( t) = a0 + ( anco s ( nω t) + bn sin ( nω t) ) 。 (4) n=1
通常非线性电感磁化特性不易直接测量 , 一般是通
过试验测得电感的 V2I 特性后 , 再经过转换获得磁 化特性[10 ,11 ] 。在图 1 中 , 当电源电压 e ( t) = Esin (ω
t) 时 ,根据基尔霍夫定理得到电路方程 :
d2φ/ d t2 + dφ/ RCd t + i/ C = ωEco sωt 。 (2)
ZHAN G Bo , L U Tiecheng , DU Xiaolei ( School of Elect rical Engineering , Wuhan U niver sit y , Wuhan 430072 , China)
Abstract : The overvoltage and overcurrent generated by t he ferroresonance will lower t he power quality , and endan2 ger t he facilities in t he power system. Choo sing a p roper parameter of t he power system is t he key to p revent and supp ress t he ferroreso nace. In t his paper , an adapted harmonic balance algorit hm is applied to analyze t he f unda2 mental resonance of a typical ferroreso nance circuit . The f undamental reso nance regio n and safety region of t he cir2 cuit can be fo und by using t his algorit hm. On t he base of t he harmo nic balance t heory , t he p roper parameter of t he power system can be chosen and the ferroresonance can be efficiently avoided. It is helpful for the power system design. Key words : ferro resonance ; f undamental reso nance ; harmo nic balance ; nonlinear circuit
kV ;ω = 314 rad/ s ,由式 (8) 得
8. 332 ×10- Φ 9 10 - 17. 987Φ6 + 9. 714 ×109Φ2 -
7. 246 ×1012 = 0 。
(9)
用数值计算方法求解式 (10) , 仅保留该方程的
实数解 ,Φ1 = 27. 3 V·s , Φ2 = 173. 7 V·s , Φ3 = 187. 6
1 铁磁谐振基本原理
在电力系统中 ,铁磁谐振电路通常由变压器 、互 感器等设备的电感 ,以及电力电缆 、输电线路或母线 等设备杂散电容组成 ,图 1 为典型铁磁谐振电路 。
图 1 典型铁磁谐振电路图 Fig1 1 Typical circuit of ferroresonance
图 1 中 L 为带铁心的非线性电感 ,C 为系统电 容 ,R 为电路损耗等值电阻 。忽略 R ,由基尔霍夫定 理可得 E = UL ( I) + UC 。若已知非线性电感的 V2I 特性 ,用作图法可求出该电路的解 (见图 2) 。
摘 要 : 应用谐波平衡法分析了典型铁磁谐振电路基频谐振及其影响因素 ,确定了该电路的基频谐振区域 。该法
能较全面的分析非线性电路基频铁磁谐振 ,也能用于分频 、倍频铁磁谐振分析 。在电力系统设计时 ,可先用该法找
出系统运行的安全区和谐振区 ,合理选择系统参数 ,使系统运行在安全区域内以抑制铁磁谐振 。
将式 (4) 代入式 (3) , 若取到第 n 次谐波 , 令方
程两边各次谐波系数相等可得含未知系数的方程
组 ,求解该方程组便可确定各次谐波的振幅系数近
似解 。在正弦电源作用下 ,图 1 电路中非线性电感磁
通量φ的稳态解可表示为一系列正弦分量之和 :
φ( t)
∞
∑ = Φ1 sin (ωt +θ1 ) + (Φ2n+1 sin ( (2 n + 1)ωt + n=1 θ2 n+1 ) Φ + 1/ (2 n+1) si n (ωt / (2 n + 1) θ + 1/ (2 n+1) ) ) 。
3. 2 电路方程求解
当 n = 5 时将式 (6) 展开 ,根据谐波平衡原理得 到简化后方程为
25 b2Φ10 + 80 b( a - ω2 C)Φ6 + 64 (ω2 R- 2 + C2ω4 +
a2 - 2 aCω2 )Φ2 - 64 C2ω2 E2 = 0 。
(8)
设图 1 电路中 R = 1 MΩ; C = 1μF ; E = 8. 57
求解式 (2) 可确定该电路工作状态以判断电路
是否会发生铁磁谐振 。直接求解非线性微分方程通
常较困难 ,本文将用谐波平衡法求解此方程 。
2 谐波平衡法的基本原理
谐波平衡法是将非线性方程的解设为各次谐波
叠加的形式 ,再将方程的解带入非线性方程 ,消去方
程中正弦项和余弦项即可得到含有相应未知系数的
关键词 : 铁磁谐振 ; 基频谐振 ; 谐波平衡 ; 非线性电路
中图分类号 : TM864
文献标识码 : A
文章编号 : 100326520 (2006) 0120094203
Analysis of Harmonic Balance Based Fundamental Resonance of the Ferroresonance Circuit in Po wer System
2006 年 1 月
高 电 压 技 术
第 32 卷第 1 期 ·95 ·
感器励磁回路的磁化特性 。工程上非线性电感的磁
化特性常用多项式表示 :
i = f (φ) = aφ + bφn ,
(1)
式 (1) 中的系数 n 由变压器 、互感器容量决定 。大容
量变压器的 n 取 9 、11 ; 小容量变压器的 n 取 3 、5 。
第 32 卷 第 1 期
·94 · 2006 年 1 月
高 电 压 技 术
High Voltage Engineering
Vol . 32 No . 1 J an. 2006
电力系统基频铁磁谐振谐波平衡分析
张 博 , 鲁铁成 , 杜晓磊 (武汉大学电气工程学院 ,武汉 430072)
0 引 言
铁磁谐振是电力系统中经常出现的现象 ,其原 因主要有 :投切主变 、断线等 ,所用对策常为改变系 统参数 、改进设备操作手段 、安装消谐器等 ,系统参 数及消谐元件的参数是其效果的关键 。但铁磁谐振 电路通常为含有铁心电感或其他非线性元件的非线 性电路 ,分析起来存在一定难度 ,这给确定合理的系 统参数抑制铁磁谐振带来困难 。目前 ,对铁磁谐振 的研究多通过实验室试验进行 ,其研究受实验设备 的限制 ,难以直接应用于实际系统 。尽管运用电路 仿真软件也可以对铁磁谐振电路仿真分析 ,但要充 分了解电路全局特性 ,分析各系统参数对铁磁谐振 的影响 ,确定其发生条件并不容易[1～4] 。本文用谐 波平衡法 ,结合数值计算法研究电力系统中典型铁 磁电路基频谐振 ,从原理上对铁磁谐振电路进行数 学分析 ,确定了基频铁磁谐振的发生条件及谐振区 域 。该法能确定合理的系统参数以有效地抑制铁磁 谐振 ,为电力系统设计提供理论依据[7～9] 。
3. 1 变压器模型 由于试验变压器等值电感磁化特性不易直接得
到 ,一般先测量变压器等值电感电压和电流的 V2I
特性 ,经转换得出其磁化特性 。由试验得到该变压
器的 V2I 特性测试数据见表 1 。
表 1 试验变压器 V2I 特性的测试值 Tab. 1 V2I characteristic test of the test transformer
用表 1 数据经转换求得 a = 3. 85 ×10- 5 , b =
1. 46 ×10- 10 ,则试验变压器的磁化特性为 i = f (φ) = 3. 85 ×10- 5φ + 1. 46 ×10- φ 10 5 。 (7)
图 3 为试验变压器磁化特性曲线 ,可见 ,当 Φ=
22. 5 V . s 时变压器磁通进入非线性区域 ,铁心趋向 饱和 ,此时电流为 1. 84 mA 。
图 1 中 R 决定回路损耗 ,设 G =1/ R ,解式 (8) 得
G2 = 25 b2Φ8ω- 2 / 64 + 5 b(ω2 C - aω- 2 )Φ4 / 4 + C2 E2Φ- 2 (ω2 C2 - 2 Ca + a2ω- 2 ) = - 8. 45 ×10 - 26Φ8 + 1. 82 × 10 - 16Φ4 + 7. 35 ×10 - 5Φ- 2 - 9. 85 ×10 - 8 。
图 2 铁磁谐振电路图解 Fig1 2 Graphic solution of a ferroresonance circuit
在图 2 中 ,图 1 电路存在 3 个解 ,其中 1 点为不 稳定解 ;2 、3 点为稳定解 ,2 、3 点分别位于电感特性 曲线的线性区和饱和区 ,此时该电路将在 3 点处发 生铁磁谐振 。要确定图 1 电路方程 ,首先应确定非 线性电感的磁化特性 ,通常为电力系统中变压器 、互
(6)
将式 (6) 展开后保留基频分量 ,忽略其他谐波分
量 ;根据谐波平衡原理可得方程组 ,由此解出式 (2)
所确定的非线性电路 。同理 ,用谐波平衡原理也可
求出铁磁谐振电路倍频及分频谐振解[7] 。
3 实 例
用一台试验变压器代替非线性电感构建图 1 电 路 ,并用谐波平衡法分析其基频铁磁谐振 。
V·s 。其中Φ1 、Φ3 分别为处于试验变压器磁化特性线
性区和饱和区的稳定解 ;Φ2 为不稳定解 。因此图 1 非
线性电路在以上电路参数条件下有可能发生基频铁
磁谐振 。
4 铁磁谐振影响因素分析
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含有非线性元件的电路是否会发生铁磁谐振 , 以及发生铁磁谐振时的过电压 、过电流大小 ,与非线 性元件特性 、回路损耗 、电源电压及回路电容等因素 关系密切 。在电力系统中 ,变压器 、互感器等非线性 元件特性一般是确定的 ,以下将讨论回路损耗 、电源 电压及回路电容等因素对电路方程解 Φ 和基频铁 磁谐振区域的影响 。 4. 1 回路损耗的影响
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High Voltage Engineering
Vol. 32 No . 1
电压/ kV 4. 243 7. 071 8. 160 9. 899 12. 728 15. 556 电流/ A 0. 001 0. 002 0. 003 0. 005 0. 018 0. 045
对于小容量的试验变压器磁化特性模型 ,式 (1) 中系数 n 可取为 5 即 i = f (φ) = aφ + bφ5 。