状态空间描述的概念
状态空间的名词解释
状态空间的名词解释状态空间是指描述系统或物体各种可能状态的一个抽象概念。
它在各个领域中都有着重要的应用，包括数学、物理学、计算机科学等。
在这篇文章中，我们将探讨状态空间的概念、性质和应用，并尝试借助一些具体的例子来说明。
首先，让我们来解释一下状态空间的基本定义。
状态空间通常可以被看作是一个多维空间，其中每个维度代表一个状态变量，而每个点则表示一个具体的状态。
例如，对于一个简单的二维状态空间，其中的一个维度可以表示对象的位置，而另一个维度则可以表示对象的速度。
在这个状态空间中，每个点都可以唯一地确定对象的位置和速度。
状态空间的一个重要性质是维数，即它包含的状态变量的个数。
维数的多少直接决定了状态空间的复杂程度。
一个低维的状态空间可能只包含很少的状态变量，而高维的状态空间则可能包含众多的状态变量。
这决定了系统在状态空间中的行为和演化方式。
例如，在物理学中，一个简谐振子的状态空间只有一维，因为只需要考虑物体的位置；而一个复杂的天气预测系统的状态空间可能包含数十个甚至数百个维度，因为需要考虑众多的气象参数。
状态空间的另一个重要概念是状态转移。
状态转移指的是系统在不同状态之间的切换过程。
在状态空间中，状态转移通常由一些规则或方程来描述。
这些规则可以是离散的，例如一个棋盘游戏中的走子规则，也可以是连续的，例如牛顿力学中的运动方程。
通过这些规则，我们可以预测系统在状态空间中的演化和变化。
状态转移的过程也可以被称为系统的动力学，它描述了系统状态的发展轨迹。
除了描述系统的状态和演化，状态空间还可以用于解决一些实际问题。
一个典型的例子是路径规划问题。
在这种问题中，我们需要找到一条从起点到终点的最短路径。
可以将路径规划问题转化为在状态空间中寻找一个状态转移序列的问题。
通过定义合适的状态转移规则和评估函数，我们可以通过在状态空间中搜索来解决这个问题。
类似地，状态空间可以用于机器学习中的强化学习问题、物理系统的建模和仿真等。
状态空间描述
状态空间描述
状态空间可以简单地理解为描述系统所处状态的一种抽象概念，它把一个复杂的系统抽象成多个独立状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化规律。
状态空间描述了系统之间状态的可能变化，从而表明了每个状态之间的连接情况。
1. 什么是状态空间
状态空间是描述系统所处状态的一种抽象概念，它能够将一个复杂的系统抽象成多个独立的状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化情况。
2. 状态空间的概念
状态空间是一种用于描述系统状态变化的空间，它通过多个状态表达了一个系统的演化情况，并将一个复杂的系统变化的规律映射到状态变化的空间中。
因此，它是表达某个系统演化情况的一种理想方法。
3. 状态空间的总体结构
状态空间是有限的，它由一个特定的状态集合构成，包括一组状态及其间的连接关系，这些连接关系通过不同的操作表示出来。
因此，状态空间的总体结构可以概括为包含了状态和连接情况的一维空间。
4. 状态空间变化
状态空间随着操作的不断变化，其所描述的系统也会不断变化，这就
形成了一个动态的状态空间，这里面存在着状态之间的连接关系，这
些连接关系是由可调整转移概率和操作决定的。
5. 对应建模
状态空间模型将状态空间中的各状态映射到离散时间模型，从而对模
型问题进行建模，通过状态空间模型可以计算出每个状态的概率，从
而能够较为准确地表述系统的状态情况，以找出问题的解决途径。
6. 状态空间可视化
状态空间可以使用可视化图像，将各状态之间的连接关系图示出来，
常见的可视化表示方法有马尔科夫网络图像，状态树图像和拓扑图像，这些可视化图像能够清晰地展示出状态空间的总体结构，从而简化问
题的解决过程。
第一章线性控制系统的状态空间描述lyq
X3
X0 X(t)
状态变量 完全表征系统运动状态的
X2
最小一组变量 X1
状态向量 以状态变量为分量所构成的向量
状态空间 以状态变量x1(t), x2(t)… xn(t)为坐标轴构成的 n维空间称为状态空间。系统在任何时刻的状 态都可用状态空间中的一个点来表示。随着时 间的推移，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹， 称为状态轨迹。
和古典控制理论不同，状态空间描述考虑了“输入 －状态－输出”这一过程，它注意到了被输入－输 出描述所忽略了的状态。输入引起了状态的变化， 而状态才决定了输出的变化。因此状态空间描述是 对系统的结构特性的反映，而输入－输出描述只是 对系统的端部特性的反映。然而具有相同端部特性 的系统，都可以具有不同的结构特性经。这表明状 态空间描述是对系统的一种完全的描述。
P
m
x,v
f
1.1 线性控制系统的状态空间表达
例2 系统如图所示，输入为u，输出uc，列写 其动态方程
L
R2
u
iL
R1
uc
1.选择状态变量：
x1 iL , x2 u C ,
1.1 线性控制系统的状态空间表达
2 列写一阶微分方程组
iL
(uLdiL) 1CduC dt R1 dt
L
u
iL
R2 R1
t t0
yq gq(x1, ,xn;u1, ,up;t)
D(t)
u(t)
B(t)
•
X (t)
++
dt
X(t)
C(t)
+
+ Y(t)
A(t)
1.1 线性控制系统的状态空间表达
1.1.3 系统的状态空间描述列写举例
人工智能导论状态空间表示open表close表例题
人工智能导论状态空间表示open表close表例题人工智能导论：状态空间表示与open表、close表在人工智能领域，状态空间表示是一种描述问题的形式化模型，它以状态为基本单位，通过状态之间的转移关系来描述问题的结构及其解空间。
而open表和close表则是在搜索问题解空间时常用的数据结构，用于记录搜索过程中的状态和路径信息，以便进行有效的搜索和剪枝。
本文将介绍状态空间表示的基本概念，以及open表和close 表的作用和例题应用。
一、状态空间表示1. 什么是状态空间表示？状态空间是指问题的所有可能状态的集合，而状态空间表示则是将问题中的状态、动作和转移关系用数学形式表示出来，以便进行问题分析、求解和模拟。
状态空间表示有助于我们更好地理解问题的结构、约束和解空间，从而选择合适的搜索策略和算法进行求解。
2. 怎样表示状态空间？状态空间表示通常使用图或者矩阵等形式进行表达，其中节点代表问题的状态，边或者转移函数表示状态之间的转移关系。
在八数码问题中，每个状态都可以用一个3x3的矩阵表示出来，矩阵中的数字代表每个位置的数码，而移动操作则对应着矩阵中数码的交换操作。
3. 状态空间表示的意义和价值状态空间表示可以帮助我们更好地理解问题的结构和特性，有助于问题分析和算法设计。
通过状态空间表示，我们可以清晰地描述问题的起始状态、目标状态和状态转移规则，为搜索和规划提供了明确的方向和约束。
二、open表和close表1. open表和close表的作用在搜索问题的解空间时，我们通常需要记录已访问的状态以及其相关信息，以便进行有效的搜索和避免重复访问。
这就引出了open表和close表这两种数据结构，它们分别用于记录待访问状态和已访问状态，以保证搜索的完整性和高效性。
2. open表和close表的结构和操作open表通常采用队列、堆栈或者优先队列等数据结构来实现，用于存储待访问状态及其相关信息，并根据搜索策略进行状态的出队和入队操作。
现代控制理论第二章
1 s 1 1 s
Y(s)
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
方块图导出状态空间模型的步骤 （1）将系统方块图中的每一环节都分解为积分环节和 惯性环节的组合。 （2）以所有惯性环节和积分环节的输出作为状态变量 的拉氏变换。 （3）列出所有惯性环节和积分环节输入输出的拉氏变 换关系式。 （4）对所有（3）中的拉氏变换关系式求拉氏反变换 得到一阶微分方程组。 （5）把（4）中的一阶微分方程组化成向量矩阵表示 的状态方程与输出方程。
例2.7
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
（一）方块图方法的思路 当系统的描述以方块图形式给出时，常常无须求 出系统的总传递函数和状态变量图，可以直接由方块 图导出其相应的状态空间模型. 方法：把系统中二阶以上的环节化为由惯性环节 和积分环节组成。
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
（二）典型二阶系统状态空间描述
2.6
习题课
2.7 系统状态空间描述与传递函数
设线性连续定常系统的状态空间模型为
x Ax Bu y C x Du
对以上两式分别做拉氏变换,得
sX s AX s BU s
Y s CX s DU s
从以上两式中消去 X s , 则
s a1 s
n 1
k1 s s1
k2 s s2
kn s sn
k i lim W s s s i
例2.5
s si
2.3 系统的频域描述化为状态空间描述
（二）控制系统传递函数的极点为重根 （1） 传递函数的极点为一个重根
W s Y s U s k 11 k 12 k 1n s s1
现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版
(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2－8） 式中，各个系数矩阵分别为 （2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
状态空间名词解释
状态空间名词解释所谓状态空间就是一个动态的，随时间变化的，随着时间进行收缩、扩张或延长。
我们可以将其描述为一个数学对象，其中描述了状态之间的关系，由此形成了一个有序的变换系统。
在研究拓扑流形的同胚时，经常会涉及到它的状态空间。
但它不同于布朗运动或路径积分，后者仅仅改变原点的位置，而状态空间可能还会有新的变量，这些变量与所考虑的微分对象相关，比如质量等。
状态空间与物理现实有着密切的联系。
状态空间的另一个重要性质，就是同态映射（或同态射）：若某个变量A关于另外一个变量B是等价的，则称二者有相同的状态空间，称A为B的同态变量。
可以证明，状态空间上的映射是同态映射。
一般来说，一个等价关系不只是局部等价的。
它必须能够延伸到整个流形上，否则不是真正的等价关系。
比如一个三维的平面对象（圆，直线，圆锥）与二维的球面对象之间的映射就不是真正的等价关系。
它也不同于伽辽金图形，因为当它们变形时，不一定满足平移和旋转的条件。
在物理学中，物体的尺寸并不一定随时间连续地变化。
不同点，状态空间的拓扑结构具有明显的特征。
状态空间是流形研究中最重要的一个概念，与外微分形式密切相关。
特别是，任何可微流形都是它的完备子空间。
实际上，伽辽金图形是欧拉示性数流形的完备子空间，当它们被作为微分流形对待时，就可以构造出许多种具有自己特征的伽辽金图形，比如辛流形、幂零流形、正交补流形、双曲流形、 C^*-*等。
在这些基本概念的基础上，人们又发展出许多不同的概念，比如稳定度、坚实性、上同调等。
总之，有许多概念存在于微分流形的同伦理论和同调理论之中。
在流形研究中，微分形式的性质往往要通过对状态空间的分析获得。
比如，微分形式在X中可能的拓扑等价，在X中可能的几何不变量等。
另外，利用状态空间也可以建立一套很有用的对应关系，这些对应关系可以帮助人们更深入地理解外微分形式。
在数学中，有许多函数的性质直接与微分形式相关，例如，集合的并、交、投影、对称性等等。
《状态空间描述法》课件
案例二：飞行器姿态控制系统设计
总结词
飞行器的姿态控制是保证飞行安全的关键环 节。通过状态空间描述法，可以建立飞行器 姿态控制系统的数学模型，为控制系统设计 提供依据。
详细描述
飞行器的姿态控制涉及多个动态变量，如角 速度、角位移、俯仰角、偏航角等。状态空 间描述法能够全面地描述这些变量之间的关 系，建立起飞行器姿态控制的数学模型。基 于这个模型，可以设计各种控制器，如PID 控制器、模糊控制器等，以实现对飞行器姿 态的精确控制。
PART 05
状态空间描述法的应用实 例
REPORTING
案例一：倒立摆控制系统设计
要点一
总结词
要点二
详细描述
倒立摆是一个不稳定的系统，其控制目标是使摆杆保持稳 定，避免倒塌。状态空间描述法在倒立摆控制系统中被广 泛应用，通过建立状态方程和输出方程，对系统进行精确 的数学描述，为控制系统设计提供基础。
状态空间图
• 状态空间图：以图形方式表示系统状态变量、输 入和输出的关系，有助于直观理解系统的动态行 为。
PART 03
状态空间描述法的实现
REPORTING
建立状态方程和输出方程
状态方程
描述系统内部状态变量的动态关系，通 常表示为x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)。
VS
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入的关系， 通常表示为y(t)=Cx(t)+Du(t)。
如何克服局限性
降维处理
并行计算和分布式计算
对于高维系统，可以通过降维处理来 降低系统的维度，从而简化状态空间 描述法的计算。
采用并行计算和分布式计算技术可以 降低大规模系统的计算复杂性，提高 计算效率。
状态空间 描述的基本概念
状态空间描述的基本概念
1．状态和状态变量
【定义 9-1】 系统的状态是指系统在时间域中的动力学行为或运动信息的集合，
它表征了系统的动态特性。
通常，系统的状态可用一组数据、一条曲线、一个方程或更抽象的一组变量来 描述，而能够完全表征系统状态的数目最小的一组变量称为系统的状态变量，常
用 x1，x2 ， Βιβλιοθήκη ，xn来表示。自动控制原理
（3）状态变量的选取不是唯一的。同一个系统应有多组变量可以选择，原因在 于系统内部变量的数目必然大于系统的独立储能元件数目，即系统的阶次n，而任意n 个线性无关的内部变量都可以组成一组状态变量。
2．状态向量和状态空间
【定义 9-2】 对于n阶系统，将描述系统状态的一组（n个）状态变量 x1(t)， x2 (t)，
状态变量主要具有以下特征。
（1）它能够完全表征系统的状态。当给定初始时刻 t t0时状态变量的值，以及 时系t 统输t0 入量的时间函数，就可以完全且唯一确定系统在任何时刻的运动信息。
（2）变量数目最小。在系统的一组状态变量中，各变量之间应是相互独立的， 如此才能保证变量数目最小。n阶系统应具有n个独立变量，分别对应于系统的n个独 立的储能元件，所以这n个独立变量就是系统的一组状态变量。状态变量通常选取储 能元件上与储能有关的变量，如电感上的电流、电容上的电压、弹性元件上的位移、 惯性元件上的速度和加速度等变量。
， xn (t) 作为分量，构成向量 x(t)来表示系统的状态，则向量 x(t)就称
为系统的状态向量。以状态向量 x的(t)各分量为坐标轴所组成的n维空间 称为系统的状态空间。
状态空间是状态向量的所有可能值的集合，系统的每一个状态对应于状态空间 中的一个点，如系统的初始状态对应状态空间中的起始点 x(t0 )，那么 t t0的各时 刻系统的状态在状态空间中将形成一条轨迹，这条轨迹称为系统的状态轨线。
2线性系统的状态空间描述
C m ia J
dt
2
f
转动惯量， 粘性摩擦常数， m 电磁转矩常数，e 电势常数 C C f
令 x1 , x 2 , x 3 i a
x1 x 2 x2 x3 f J Ce La x2 x2 Cm J Ra La x3 x3 u La
结构图
x2
状 态 轨迹
A
( x1 ( t 0 ), x 2 ( t 0 ))( x1源自( t1 ), x 2 ( t1 ))
B
0
x1 ( t ) x (t ) x 2 (t )
t
x1
状态空间分析法举例
例1求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u ( t )
K ---弹性系数 m
7.状态空间表达式(动态方程)：{A，B，C，D}
x f ( x, u , t) y (t ) g ( x , u , t )
x ( t k 1 ) f ( x , u , t k ) y (tk ) g ( x , u , tk )
f,g-线 性 函 数 线 性 系 统
u
y 1
0
例4. 一长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰 链安装在质量为M的小车上，小车受电机操纵， ，在水平方向施加控制力u，相对参考坐标系 产生位移x。要求建立该系统的状态空间表达 式。
m
x
l
u
M
设小车瞬时位置为 x 摆心瞬时位置为 ( x l s i n ) 在水平方向，由牛顿第二定律
yq
u [u1 , u 2 , , u p ]
T
y [ y1 , y 2 , , y q ]
控制系统的状态空间表达式
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AX bu 则可写为：X 1、状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一 组变量称为状态变量。如果给定了t=to时刻这组变量值， 和 t>=to时输入的时间函数，那么，系统在t>=to的任何 瞬间的行为就完全确定了。 2、状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态向量。 如x1(t)、x2(t)……xn(t)是系统一组状态变量。则状态 向量为： x1 (t )
自 动 控 制 理 论
b1
b2
U ( s) ( s)
n x
s 1
a1
n 1 x
s 1
1 x
s 1
x1
bn
Y ( s)
模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。
电气与新能源学院
2019/1/5 9
自 动 控 制 理 论
原则：系统的阶数等于积分器的个数，取每个积分器的输 出为状态变量。 a，由微分方程绘模拟结构图 a0 x bu x a2 x a1x 例： a0 x bu 移项： x a2 x a1x
2019/1/5
1 2 T
x1 0 x K u 2 T 2
18
（三） n阶线性系统的状态空间描述.
自 动 控 制 理 论
n阶线性系统传递函数为:
b1s n 1 bn 1s bn Y (s) W (s) n U ( s ) s a1s n 1 an 1s an b1s bn 1s bn s n 1 a1s 1 an 1s ( n 1) an s n
系统矩阵 n×n方阵
第二章 状态空间描述
Page: 7
2-2 状态空间的几个重要概念
x (k 1) Gx (k ) Hu(k ) y(k ) Cx (k ) Du(k )
Modern Control Theory
Page: 8
2-3
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
一、不同系统状态空间表达式的特点——又称动态方程
Modern Control Theory
状态方程
输出方程
Y (t )
U(s)
G(s)
Y(s)…Biblioteka 状态空间描述法示意图…
Page: 6
2-2 状态空间的几个重要概念
线性离散时间系统状态空间表达式
x (k 1) G (k ) x (k ) H (k )u(k ) y ( k ) C ( k ) x ( k ) D ( k ) u( k )
y 6 41 y 7 y 6u y
选择状态变量 令： x 1 y x2 y x 3 y
xn y
( n 1)
Modern Control Theory
Page: 19
2-3
则:
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
1 0 0 0 X 0 u(t ) 0 X 0 1 7 41 6 6 y 1 0 0X
Modern Control Theory
Page: 2
2-1 线性系统的数学描述
5.线性: 一个松弛系统,当且仅当对任何输入u1 和 u 2 及任意常数 , 均有 H ( u1 u2 ) Hu1 Hu2
(可加性) (齐次性)
H ( u1 ) H ( u1 )
线性系统的状态空间描述
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量 称为n维状态向量。 状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组成的 n 维空间称为状态空间Rn。 状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
状态方程（※）：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。 状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为： 或 线性系统的状态空间描述
对角型实现和约当标准型实现，需要计算系统的极点(特征值)和特征向量，很不方便。
总结：
由系统微分方程建立状态空间表达式（自学P405-409）
01
由系统微分方程建立状态空间表达式的整个思路与由系统传递函数建立状态空间表达式的思路是类似的，所以这里不再详细介绍，请参看教材P405-407。 另外，当给定系统微分方程时，可先求出其传递函数，然后按照前面推导的公式直接写出其可控标准型和可观测标准型实现，例如我们在例1-2种所做的那样。
状态变量组选取上的不唯一性： 由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。
系统的状态空间描述
系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。
状态变量是时间域的。
状态变量有时是不可测量的。
状态变量不是所有变量的总和。
1.5 组合系统的状态空间描述
1.4 线性系统等价的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述
2021
2023
1.1 线性系统状态空间描述
一．系统数学描述的基本类型
1．几个基本定义
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1.1状态空间描述的概念
系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。
经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。
因此传递函数不能包含系统的所有信息。
由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。
于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法
12
要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续信号，必须满足：
（1）信号是频带受限的；
（2）采样率至少是信号最高频率的两倍
那么理想采样频谱中，基带频谱以及各次谐波调制频谱彼此是不重迭的，用一个带宽为 s/2的理想低通滤波器，可以将各次谐波调制频谱滤除，保留不失真的基带频谱，从而不失真地还原出原来的连续信
号
1.PID的参数对系统性能的影响
（1）比例系数K P对系统性能的影响增大比例系数K P一般将加快系统的响应，在有静差的情况下有利于减小静差。
但过大的比例系数会使系统有较大的超
调，并产生振荡，使稳定性变坏。
（2）积分时间T I对系统性能的影响：增大积分时间T I有利于减小超调，减小
振荡，使系统更加稳定，但系统静差的消除将随之减慢。
（3）微分时间T D对系统性能的影响：增大微分时间T D，也有利于加快系统响应，使超调量减小，稳定性增加，但系统对扰动的抑制能力减弱。