待定系数法
《待定系数法》课件
化学中的反应速率方程
总结词
研究化学反应过程
详细描述
在化学领域，待定系数法常用于构建反应速率方程，以描述化学反应的动力学过程。通 过设定待定系数，可以量化反应速率常数、反应级数等关键参数，从而深入了解化学反
应的机理和特性。
06
总结与展望
待定系数法的优缺点 优点 01
通过待定系数法，可以将复杂问题分解为 多个简单问题，简化计算过程。
二次函数析二次函数的开口方向、顶点坐标和对 称轴。
详细描述
首先将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为顶点式 $f(x) = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是二次函数的顶点坐标。 然后通过待定系数法，令 $f(x) = a(x - h)^2 + k$，从而得 到 $a$、$h$ 和 $k$ 的值，进而分析二次函数的开口方向、 顶点坐标和对称轴。
在工程问题中，待定系数法可以用于求解 物理、化学、生物等领域的复杂问题，如 振动分析、电路分析、流体动力学等。
02
待定系数法的基本原理
线性方程组与多项式
线性方程组
由一组线性方程组成，描述了变 量之间的线性关系。
多项式
数学中一个非常基础的概念，表 示一串数字、字母通过有限次乘 法和加法得到的表达式。
《待定系数法》ppt课件
• 引言 • 待定系数法的基本原理 • 待定系数法的应用实例 • 待定系数法的扩展与深化 • 待定系数法的实际应用 • 总结与展望
01
引言
什么是待定系数法
待定系数法是一种数学方法，通过引入待定的系数来简化复杂数学表达式的求解过 程。
它通过将未知数与已知数进行组合，形成具有特定形式的表达式，从而方便求解未 知数的值。
2.待定系数法
2.待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即 mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵ t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵ m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．例7．已知函数y＝mx x nx22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
高中数学待定系数法
高中数学待定系数法
摘要：
一、待定系数法的基本概念
二、待定系数法的应用
三、待定系数法的优缺点
四、总结
正文：
一、待定系数法的基本概念
待定系数法是数学中一种常用的方法，主要运用于函数的解析和求解。
它通过设定一个待定系数，然后利用已知的条件来求解这个系数，从而得到函数的解析式。
二、待定系数法的应用
待定系数法可以广泛应用于各种数学问题，包括求解二次方程、求解函数的极值、求解最值问题等。
它最大的优点是可以将复杂的数学问题转化为简单的代数运算，使得问题变得容易求解。
三、待定系数法的优缺点
待定系数法的优点在于它的通用性和灵活性，可以应用于各种数学问题。
同时，它也存在一些缺点，比如在求解一些复杂数学问题时，可能需要设定多个待定系数，使得问题变得复杂。
四、总结
待定系数法是一种非常有用的数学方法，可以用于解决各种数学问题。
它
的优点在于它的通用性和灵活性，而缺点在于在解决一些复杂问题时可能需要设定多个待定系数。
高数待定系数法
高数待定系数法高等数学中的待定系数法是一种非常有用的数学解题方法，它在求解线性齐次和非齐次常微分方程、解线性代数方程组等数学问题中发挥着重要的作用。
通过对方程中的未知系数进行合理的设定和推导，待定系数法能够得到方程的特解，从而解决问题。
待定系数法常用于求解形如$y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} +\cdots + a_0y = f(x)$的线性齐次或非齐次常微分方程，其中$n$为正整数，$a_{n-1}, \cdots, a_0$为已知常数，$f(x)$为已知函数。
待定系数法的基本思想是假设方程的特解是一个符合特定形式的函数，然后通过代入方程并求解未知系数，得到特解。
为了有效应用待定系数法，我们需要根据$f(x)$的类型选择相应的形式来设定待定系数。
以下是一些常见的$f(x)$类型及其相应的设定方式：1. 当$f(x)$为常数、多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数等特殊类型时，可以设定特解为与$f(x)$相同类型的函数，其中系数为待定系数。
2. 当$f(x)$为多项式与指数函数、正弦函数、余弦函数等的线性组合时，可以设定特解为相应类型的函数的线性组合，其中系数为待定系数。
3. 当$f(x)$为幂函数乘以一个特殊函数，如多项式函数乘以指数函数、正弦函数、余弦函数等，可以设定特解为乘积形式，并设定相应的待定系数。
通过设定合适的待定系数并将其代入方程后，我们可以得到一组关于待定系数的方程。
解此方程组即可得到待定系数的具体值，从而得到方程的特解。
需要注意的是，待定系数法只能得到非齐次方程的特解，而对于齐次方程的解需要采用其他的方法求解。
此外，在选择待定系数时，需要根据题目要求和方程的类型灵活设定，以获得精确且符合实际的特解。
待定系数法是高等数学中一种重要而实用的解题方法，对于提高解决问题的效率和准确性具有重要的指导意义。
熟练掌握待定系数法的原理和应用，可以帮助我们更好地解决线性齐次和非齐次常微分方程、解线性代数方程组等数学问题，并在实际应用中发挥重要的作用。
待定系数法(通用)
发展趋势分析
算法优化
随着计算能力的提升，待定系数法在算法优 化方面将有更大的发展空间，以提高求解效 率和精度。
扩展应用领域
随着科学研究的不断深入，待定系数法有望在更多 领域得到应用，例如材料科学、生物医学等。
智能化发展
结合人工智能和机器学习技术，待定系数法 有望实现智能化求解，自动选择最优算法和 参数。
微分方程求解
在求解微分方程时，待定系数法 可以用于确定方程的解的形式， 通过设定待定系数，将微分方程 转化为代数方程组进行求解。
历史与发展
历史
待定系数法起源于18世纪，最初用于多 项式展开和函数展开。随着数学的发展 ，待定系数法逐渐扩展到更广泛的领域 ，如微分方程求解、变分法等。
VS
发展
近年来，随着数学研究的深入和应用领域 的拓展，待定系数法在解决复杂数学问题 方面取得了重要进展。同时，随着计算机 技术的发展，待定系数法的计算效率和精 度也得到了显著提高。
改进与优化建议
加强理论基础
进一步深入研究待定系数法的理论基础，提高方法的 可靠性和稳定性。
提高计算效率
优化算法和计算过程，减少计算时间和成本，提高计 算效率。
加强数据质量控制
严格控制数据来源和质量，确保数据具有较好的代表 性和可靠性，以提高模型拟合效果和准确性。
06 待定系数法的未来发展与 展望
02 待定系数法的基本原理
原理概述
1
待定系数法是一种数学方法，通过引入待定的系 数，将一个复杂的问题分解为若干个简单的问题， 从而思想是将一个多项式表示为另一种 易于处理的形式，以便于求解多项式的根、因式 分解、求导等操作。
3
待定系数法广泛应用于数学、物理、工程等领域， 是解决复杂问题的一种有效手段。
待定系数法
三、解答题
6.已知二次函数的图象经过（0，1）、（2，4）、（3， 10）三点，求这个二次函数的关系式.
解：设函数关系式为：y=ax2+bx+c(a≠0),则有
c 1 4a + 2b+c=4 9a+3b+c=10
∴y=1.5x2-1.5x+1
a=1.5 b=-1.5 c=1
求二次函数解析式的一般方法：
已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式
已知图象的顶点坐标(对称轴和最值） 通常选择顶点式
已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择两根式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
信念是生活的太阳，面对它时，酸楚的泪 滴也会折射出绚丽的色彩。
A.y 1 x2 2x + 5 B.y 1 x2 + 2x + 5
3
3
3
3
C.y 1 x2 + 2x 5 D.y 1 x2 2x 5
3
3
3
3
二、填空题 4.若函数f(x)=x2+mx+1在[1，+∞）上是增函数，则实数 m的最小值为__-_2____. 5.2011﹒牟平一中高一检测）已知a,b为常数， f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b=__2_____.
②反比例函数关系: y k（k 0） x
二次函数解析式有哪几种表达式？ 一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 两根式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)
待定系数法拆分分母
待定系数法拆分分母摘要：一、待定系数法的基本概念1.待定系数法的定义2.待定系数法在数学中的作用二、待定系数法的应用1.拆分分母的基本原理2.拆分分母的具体步骤三、待定系数法的实际案例1.案例介绍2.案例分析3.案例总结四、待定系数法的优缺点1.优点2.缺点正文：一、待定系数法的基本概念待定系数法，作为一种数学方法，主要通过设定一些待定系数，来解决一些复杂的数学问题。
这种方法广泛应用于数学、物理、化学等各个领域，尤其在解决一些复杂数学公式和方程时，具有非常重要的作用。
二、待定系数法的应用1.拆分分母的基本原理待定系数法在拆分分母时，主要是通过设定一些待定系数，将复杂的分母进行简化。
这种方法能够大大简化运算过程，提高运算效率。
2.拆分分母的具体步骤（1）观察分母，找出可以拆分的部分。
（2）设定待定系数，将分母进行拆分。
（3）根据已知条件，求解待定系数。
（4）将求得的待定系数代入原式，得出结果。
三、待定系数法的实际案例1.案例介绍例如，当遇到这样一个分母时：x+2x+1，我们可以通过待定系数法进行拆分。
2.案例分析我们可以设定一个待定系数a，将分母进行拆分：x+2x+1 = (x+a)+b。
接下来，我们需要求解待定系数a和b。
根据平方公式，我们可以得出a=1，b=0。
3.案例总结通过待定系数法，我们将原分母x+2x+1成功拆分为(x+1)，大大简化了运算过程。
四、待定系数法的优缺点1.优点待定系数法能够简化复杂的运算过程，提高运算效率。
同时，它具有较强的通用性，可以应用于各种数学问题。
2.缺点待定系数法在解决某些问题时，可能需要设定较多的待定系数，导致计算过程较为繁琐。
此外，如果待定系数的设定不准确，可能会影响最终的结果。
高中数学方法篇之待定系数法
高中数学方法篇之待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
一、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. 52, －2 B. －52，2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。
A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。
待定系数法
3c . 2
b ) |) 2a | c| + | b | 2a
即
2a c = 3c , 所以 a2 = 3b 2 . 2 a + b 2
2
c=
a - b =
2
2
6a , 3
f ( 1) - f (- 1 ) | 4
故离心率 e = c = 6 . a 3 ( Ⅱ) 证明 : 由 ( Ⅰ) 知 a = 3 b , 所以椭圆
2 2 2
a= 1 b= 3
(- 5) + 24 = - 1 x = - 2.
由 f ( x ) = x + 4x + 3 = - 1, 即 f (- 2 ) = f (- 5a + b) = - 1. 5 a- b = 2, 故填 2.
评注: 方法 1 利用对应系数相等列方程 , 是解 决此类问题的基本方法 , 比较常用. 方法 2 任意值 法 , 解法灵活, 运算简捷, 但具有一定的思维能力. 例2 x x 已知二次函数 f ( x ) = ax + bx + c, 当 1 时, 有 - 1 2 时, 有 - 7 f ( x) f (x ) 1, 求证: 当 7.
2 2
2 + y 2 = 1 可化为 x 2 + 3y 2 = 3b 2 . 设 OM = ( x , y ) b
由已知得 ( x , y) = x= y= ( x1+ 即
2 2
( x 1, y 1) +
( x 2 , y 2)
x1 + y1+
2 2
x2 y2
2
M ( x , y ) 在椭圆上, y 2 ) = 3b
待定系数法
待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等．待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ① 利用对应系数相等列方程；② 由恒等的概念用数值代入法列方程；③ 利用定义本身的属性列方程；④ 利用几何条件列方程．比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程．Ⅰ、再现性题组：1. 设f(x)＝＋m ，f(x)的反函数f (x)＝nx －5，那么m 、n 的值依次为_____． A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2 2. 二次不等式ax ＋bx ＋2>0的解集是(－,)，则a ＋b 的值是_____． A. 10 B. －10 C. 14 D. －143. 在(1－x )（1＋x ）的展开式中，x 的系数是_____． A. －297 B.－252 C. 297 D. 2074. 函数y ＝a －bcos3x (b<0)的最大值为，最小值为－，则y ＝－4asin3bx 的最小正周期是_____．5. 与直线L ：2x ＋3y ＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L ’的方程是_______________． ≡≡x 2-15252525221213310532126. 与双曲线x －＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________．【简解】1小题：由f(x)＝＋m 求出f (x)＝2x －2m ，比较系数易求，选C ； 2小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax ＋bx ＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a 、b 的方程组，易求得a ＋b ，选D ；3小题：分析x 的系数由C 与(－1)C 两项组成，相加后得x 的系数，选D ；4小题：由已知最大值和最小值列出a 、b 的方程组求出a 、b 的值，再代入求得答案； 5小题：设直线L ’方程2x ＋3y ＋c ＝0，点A(1,-4)代入求得C ＝10，即得2x ＋3y ＋10＝0；6小题：设双曲线方程x －＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1． Ⅱ、示范性题组：例1. 已知函数y ＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式． 【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m 、n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”．【解】 函数式变形为： (y －m)x －4x ＋(y －n)＝0， x ∈R, 由已知得y －m ≠0 ∴ △＝(－4)－4(y －m)(y －n)≥0 即： y －(m ＋n)y ＋(mn －12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y －(m ＋n)y ＋(mn －12)＝0的两根， 代入两根得： 解得：或 ∴ y ＝或者y ＝ 此题也可由解集(-1,7)而设(y ＋1)(y －7)≤0,即y －6y －7≤0，然后与不等式①比较系数而得：，解出m 、n 而求得函数式y ． 【注】 在所求函数式中有两个系数m 、n 需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m 、n 的关于y 的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m 、n ．两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m 、n 的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m 、n 的方程组求解．本题要求对一元二次不等式的解2y 24x 2-11213121325105102523π2y 24x 23y 212mx x n x 22431+++2332221120497120+++-=-++-=⎧⎨⎩()()m n mn m n mn m n ==⎧⎨⎩51m n ==⎧⎨⎩155431122x x x +++x x x 224351+++2m n mn +=-=-⎧⎨⎩6127集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y 视为参数，函数式化成含参数y 的关于x 的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y 的不等式，解出y 的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程．例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－，求椭圆的方程．【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a 、b 、c 之值，问题就全部解决了．设a 、b 、c 后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a －c 的值后列出第二个方程． 【解】 设椭圆长轴2a 、短轴2b 、焦距2c ，则|BF ’|＝a ∴ 解得： ∴所求椭圆方程是：＋＝1 也可有垂直关系推证出等腰Rt △BB ’F ’后，由其性质推证出等腰Rt △B ’O ’F ’，再进行如下列式：，更容易求出a 、b 的值．【注】 圆锥曲线中，参数（a 、b 、c 、e 、p ）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式．在曲线的平移中，几何数据（a 、b 、c 、e ）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a －c 的等式．一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入．例3. 是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n ＋1)＝(an ＋bn ＋c)对一切自然数n 都成立？并证明你的结论． （89年全国高考题）【分析】是否存在，不妨假设存在．由已知等式对一切自然数n 都成立，取特殊值n ＝1、2、3列出关于a 、b 、c 的方程组，解方程组求出a 、b 、c 的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n 都成立．【解】假设存在a 、b 、c 使得等式成立，令：n ＝1，得4＝(a ＋b ＋c)；n ＝2，得22＝(4a ＋2b ＋c)；n ＝3，得70＝9a ＋3b ＋c ．整理得： ,解得，105a b c a a b a c 2222222105=++=-=-⎧⎨⎪⎩⎪()a b ==⎧⎨⎪⎩⎪105x 210y 25b c a c a b c=-=-=+⎧⎨⎪⎩⎪105222222n n ()+11221612a b c a b c a b C ++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪2442449370a b c ===⎧⎨⎪⎩⎪31110 y B’于是对n ＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n ＋1)＝(3n ＋11n ＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n ，该等式都成立： 假设对n ＝k 时等式成立，即1·2＋2·3＋…＋k(k ＋1)＝(3k ＋11k ＋10)；当n ＝k ＋1时，1·2＋2·3＋…＋k(k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)＝(3k ＋11k ＋10) ＋(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋2)（3k ＋5）＋(k ＋1)(k ＋2)＝（3k ＋5k ＋12k ＋24）＝[3(k ＋1)＋11(k ＋1)＋10]， 也就是说，等式对n ＝k ＋1也成立．综上所述，当a ＝8、b ＝11、c ＝10时，题设的等式对一切自然数n 都成立．【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到．此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法．对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行．本题如果记得两个特殊数列1＋2＋…＋n 、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n ＋1)＝n ＋2n ＋n 得S ＝1·2＋2·3＋…＋n(n ＋1)＝(1＋2＋…＋n )＋2(1＋2＋…＋n )＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n ＋11n ＋10)，综上所述，当a ＝8、b ＝11、c ＝10时，题设的等式对一切自然数n 都成立．例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm ，宽为14cm ，要从四角上剪掉边长为xcm 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x 为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究．【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm ，底边宽为(14－2x)cm ，高为xcm ． ∴ 盒子容积 V ＝(30－2x)(14－2x)x ＝4(15－x)(7－x)x ，显然:15－x>0，7－x>0，x>0．设V ＝(15a －ax)(7b －bx)x (a>0,b>0） 要使用均值不等式，则 解得：a ＝， b ＝ ， x ＝3 ． 从而V ＝(－)(－x)x ≤()＝×27＝576． 222n n ()+1122222k k ()+11222222k k ()+11222k k ()+1122()()k k ++12122()()k k ++12122333222232n 222333222n n 2214()+n n n ()()++1216n n ()+12n n ()+11224ab--+=-=-=⎧⎨⎩a b a ax b bx x 101571434643154x 4214346431542143+3643所以当x ＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm ．【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求．本题解答中也可以令V ＝(15a －ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a －ax)bx ，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”．Ⅲ、巩固性题组：1. 函数y ＝log x 的x ∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则a 的取值范围是_____．A. 2>a>且a ≠1B. 0<a<或1<a<2C. 1<a<2D. a>2或0<a< 2. 方程x ＋px ＋q ＝0与x ＋qx ＋p ＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____．A. 1B. －1C. p ＋qD. 无法确定3. 如果函数y ＝sin2x ＋a ·cos2x 的图像关于直线x ＝－对称，那么a ＝_____． A. B. － C. 1 D. －14. 满足C ＋1·C ＋2·C ＋…＋n ·C <500的最大正整数是_____．A. 4B. 5C. 6D. 75. 无穷等比数列{a }的前n 项和为S ＝a － , 则所有项的和等于_____． A. － B. 1 C. D.与a 有关6. (1＋kx)＝b ＋b x ＋b x ＋…＋b x ，若b ＋b ＋b ＋…＋b ＝－1，则k ＝______．7. 经过两直线11x －3y －9＝0与12x ＋y －19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________．8. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________．9. 设y ＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值．10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y ＝2x ＋7和抛物线截得的线段长是4, 求抛物线的方程．34ab 4aba 12121222π822n 0n 1n 2n nn n 1212129012299012910。
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中的未知的系数，从而写出这个式子的方法，叫待定系数法。
用待定系数法确定解析式的步骤：①设函数表达式为：y=k某或y=k某+b②将已知点的坐标代入函数表达式，得到方程(组)③解方程或组，求出待定的系数的值。
④把的值代回所设表达式，从而写出需要的解析式。
注意;正比例函数y=k某只要有一个条件就可以。
而一次函数y=k某+b需要有两个条件。
初中数学知识点解析：构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1、一些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程"求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于某的方程a某+b=2(2某+7)+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少?解：原方程整理得(a-4)∵此方程有无数多解，∴a-4=0且分别解得a=42、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3：已知3，5，2某，3y的平均数是4、20，18，5某，-6y的平均数是1、求的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出某、y的值，再求出的值。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为某轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
待定系数法-高考理科数学解题方法讲义
方法三待定系数法一、待定系数法：待定系数法是根据已知条件，建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式，得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组，解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法．待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.二、待定系数法解题的基本步骤：使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，从以下四个方面总结高考中的待定系数法.1．用待定系数法求曲线方程确定曲线方程常用的方法有定义法、直接法、待定系数法等，当已知曲线类型及曲线的几何性质时，往往利用待定系数法，通过设出方程形式，布列方程（组），使问题得到解决. 例1.【2018届江苏省镇江市高三上学期期末】已知圆与圆相切于原点，且过点，则圆的标准方程为__________．【答案】【解析】设圆的标准方程为，其圆心为，半径为∵可化简为∴其圆心为，半径为∵两圆相切于原点，且圆过点∴解得∴圆的标准方程为故答案为例2.【2018届山西省孝义市高三下学期名校最新高考模拟卷（一）】已知椭圆的左、右焦点分别为、，且点到椭圆上任意一点的最大距离为3，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在斜率为的直线与以线段为直径的圆相交于、两点，与椭圆相交于、，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）.解析：(1)设，的坐标分别为，，根据椭圆的几何性质可得，解得，，则，故椭圆的方程为.(2)假设存在斜率为的直线，那么可设为，则由(1)知，的坐标分别为，，可得以线段为直径的圆为，圆心到直线的距离，得，，联立得，设，，则，得，，，解得，得.即存在符合条件的直线.2．用待定系数法求函数解析式利用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，在教材中有系统的介绍，通过练习应学会“迁移”，灵活应用于同类问题解答之中.例3.【2018届湖南省长沙市长郡中学高三】已知函数的图象过点，且点是其对称中心，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的解析式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函数f（x）过点（，2），（﹣，0）得：解得：∴f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴g（x）=2sin2x，故答案为：A.例4.【2018届天津市耀华中学高三上学期第三次月考】若幂函数在上为增函数，则实数的值为_________.【答案】2例5.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且．（Ⅰ）的表达式；（Ⅱ）若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值．【答案】（I）；（II）．【解析】试题分析：（1）由已知设，由，求出的值，由有两个相等实根有，求出的值，得出的表达式；（2）由题意有，解方程求出的值。
待定系数法
待定系数法，一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
用法是：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。
扩展资料
从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
21.2(6)待定系数法
（3）特别的，给出抛物线与x轴的两个交点 (x1,0)、(x2,0)，应把二次函数设成交点式： y=a(x-x1)(x-x2)，这样再代入第三个条件解起来最 简便。
试一试：
1.已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于 （0,1）求其解析式. 2.二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为-1、3， 且经过点（1，-5），求其解析式. 3.已知抛物线的对称轴为直线 x=-0.5，且过点（1， -2）和析式 例3 已知二次函数的图象经过（3,0）， （4,0）,（0,12）三点,求这个二次函数的表达 式.
◇ 归纳总结：用待定系数法求二次函数解
析式 运用待定系数法求二次函数的解析式时，应根据 条件把二次函数设成不同的形式，具体地：
（1）条件为任意三点，应把二次函数设成一 般式：y=ax2+bx+c; （2）条件涉及到顶点，应把二次函数设成顶 点式：y=a(x+h)2+k;
◇ 知识回顾：
待定系数法：
先设出函数解析式，然后将所给条件代 入解析式，得出方程（或方程组），从而求 出待定系数的值，确定函数关系的方法。
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已知图象上三点求二次函数解析式 例1 已知二次函数的图象经过（-1,10）， （1,4）,（2,7）三点,求这个二次函数的表达式.
已知抛物线的顶点求二次函数解析式 例2 已知抛物线的顶点坐标是（-1,-1）， 且经过点（1,-3）,求它的解析式.
待定系数法
4ac－4a2 代入③得 ＝－3，即 c－a＝－3.⑤ 4a 把④代入①得 c＝0. 代入⑤得 a＝3. 代入④得 b＝－6. ∴函数的解析式为 y＝3x2－6x.
4ac－b2 评析：用 列方程解较麻烦，因此一般尽量不 4a 用．
解法三：设所求函数的解析式为y＝a(x－h)2 ＋k，则顶点坐标为(h，k)， 由已知顶点为(1，－3)，可得h＝1，k＝－3. 即所求的二次函数为y＝a(x－1)2－3. ∵图象经过点P(2,0)，∴0＝a(2－1)2－3. ∴a＝3. ∴函数的解析式为y＝3(x－1)2－3. 即y＝3x2－6x.
解：设抛物线与x轴的两交点为(x1,0)，(x2,0)，
Δ>0， 由题意得 |x1－x2|＝2.
c 又x1＋x2＝－3，x1x2＝ ，(x1－x2)2＝4. 2 ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝4. 9 c<2， 36－8c>0， ∴ ∴ 9－2c＝4. c＝5. 2 5 ∴c＝ . 2
分析：求此解析式关键是求m的值，若设A(x1,0)、 B(x2,0)，由题中已知，可找到
Δ>0 x1x2<0
的条件．在此条件
中，可求出m的取值范围，从m的取值范围中，找出m的 非负整数，从而求出m的值．
解：Δ＝(2m＋2)2－4(m2＋4m－3)>0，解得 m<2. ∵m为非负整数，∴m＝0或m＝1. 设A(x1,0)、B(x2,0)． ∵x1<0，x2>0，∴x1·x2<0，即m2＋4m－3<0. 当m＝0时，m2＋4m－3＝－3<0，∴m＝0适 合； 当m＝1时，m2＋4m－3＝2>0，∴m＝1舍 去． ∴m＝0. ∴故所求解析式为y＝－x2＋2x＋3.
待定系数法例题
待定系数法例题（原创实用版）目录1.待定系数法概述2.待定系数法的基本步骤3.待定系数法的例题及解析4.待定系数法的应用领域和优缺点正文一、待定系数法概述待定系数法，又称待定常数法，是一种求解数学模型中未知参数的方法。
它是通过设定一些待定的常数，将复杂的问题转化为简单的问题，从而求解未知参数的值。
待定系数法广泛应用于微分方程、积分方程、概率论等领域。
二、待定系数法的基本步骤1.设定待定系数：根据问题的实际情况，设定适当的待定系数。
2.建立方程：将待定系数代入原问题，得到一个包含待定系数的新方程。
3.求解方程：解出新方程中的未知参数。
4.确定系数：将求得的未知参数代入原问题，验证待定系数的正确性。
三、待定系数法的例题及解析例题：求解微分方程 y" + 2y = 0。
解析：1.设定待定系数：设 y = Ce^(-2x)。
2.建立方程：将 y 代入原方程，得到 Ce^(-2x) - 2Ce^(-2x) = 0。
3.求解方程：化简得到 C(1 - 2e^(-2x)) = 0。
因为 C 不为 0，所以 1 - 2e^(-2x) = 0，解得 x = 0。
4.确定系数：将 x = 0 代入原方程，得到 y = 0，符合原方程的解。
四、待定系数法的应用领域和优缺点待定系数法在微分方程、积分方程、概率论等领域有广泛的应用。
其优点在于能够简化问题，便于求解；缺点在于对于一些非线性、不稳定的问题，待定系数法可能无法得到正确的解。
综上所述，待定系数法是一种有效的求解数学问题的方法，通过设定待定系数，将复杂的问题转化为简单的问题，从而求解未知参数的值。
待定系数法例题
待定系数法例题
（原创版）
目录
1.待定系数法的概念
2.待定系数法的应用
3.待定系数法的例题解析
正文
待定系数法是一种求未知数的方法，它通常用于解决数学问题。
该方法的基本思路是，将某个多项式的全部或部分系数设为未知数，然后利用恒等原理或其他已知条件来确定这些系数，从而得到待求的值。
待定系数法被广泛应用于多项式的因式分解、求函数的解析式和曲线的方程等领域。
例如，我们曾经遇到过这样一道高考题：分解因式 xx2xyyy2x2y3。
这个问题可以用待定系数法来解决。
我们首先假设这个多项式可以分解成两个关于 x、y 的一次因式的乘积，即（xy）?（xy）的形式。
那么，这
两个因式必定是（xym）（xyn）的形式，其中 m、n 为待定系数。
接下来，我们建立待定系数的方程组，并解出 m 和 n 的值，从而得到分解后的结果。
在初中数学中，待定系数法也是一个重要的方法。
比如，用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的。
由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
总的来说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
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初中数学竞赛专题选讲（初三.7）待定系数法一、内容提要1. 多项式恒等的定义：设f(x) 和g(x)是含相同变量x 的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x 在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式. 例如：（x+3）2=x 2+6x+9, 5x 2－6x+1=(5x －1)(x －1),x 3－39x －70=(x+2)(x+5)(x －7).都是恒等式.根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值. 例如：已知：恒等式ax 2+bx+c=2(x+1)(x －2).求：①a+b+c ； ②a －b+c.解：①以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c ＝－4.②以x=－1，代入等式的左右两边，得a －b+c ＝0.2. 恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即 如果 a 0x n +a 1x n －1+……+a n －1x+a n = b 0x n +b 1x n －1+……+b n －1x+b n那么 a 0=b 0 ， a 1=b 1， …… ， a n －1=b n －1 ， a n =b n .上例中又解： ∵ax 2+bx+c=2x 2－2x －4.∴a=2, b=－2, c=－4.∴a+b+c ＝－4， a －b+c ＝0.3. 待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.二、例题例1. 已知：23)2)(3(22++-+=+-+-x C x B x A x x x x x 求：A ，B ，C 的值.解：去分母，得x 2－x+2=A(x －3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x －3).根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A ，B ，C 的值），当x=0时， 2＝－6A. ∴A ＝－31. 当x=3时， 8＝15B. ∴B ＝158. 当x=－2时， 8＝10C. ∴C ＝54. 本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x 的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）.例2. 把多项式x 3－x 2+2x+2表示为关于x －1的降幂排列形式.解：用待定系数法：设x 3－x 2+2x+2=a(x －1)3+b(x －1)2+c(x －1)+d把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得 x 3－x 2+2x+2=ax 3－3ax 2+3ax －a+bx 2－2bx+b+cx －c+d用恒等式的性质，比较同类项系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+--=+-=2223131d c b a c b a b a a 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4321d c b a∴x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4.本题也可用换元法：设x －1=y, 那么x=y+1.把左边关于x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y 换成x －1.例3. 已知：4x 4+ax 3+13x 2+bx+1是完全平方式.求： a 和b 的值.解：设4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝（2x 2+mx ±1）2 （设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝4x 4+4mx 3+(m 2±4)x 2±2mx+1.比较左右两边同类项系数，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=m b m m a 213442； 或⎪⎩⎪⎨⎧-==-=m b m m a 213442. 解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==172174 172174612612b a b a b a b a －或或或. 例4. 推导一元三次方程根与系数的关系.解：设方程ax 3+bx 2+cx+d=0(a ≠0)的三个根分别为x 1, x 2, x 3.原方程化为x 3+02=++ad x a c x a b . ∵x 1, x 2, x 3是方程的三个根.∴x 3+=++ad x a c x a b 2(x －x 1) (x －x 2) (x －x 3). 把右边展开，合并同类项，得x 3+=++ad x a c x a b 2=x 3－( x 1+x 2+x 3)x 2+(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)x －x 1x 2x 3. 比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：x 1+x 2+x 3=－a b ， x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝a c ， x 1x 2x 3＝－ad .例5. 已知：x 3+px+q 能被（x －a ）2整除.求证：4p 3+27q 2=0.证明：设x 3+px+q ＝（x －a ）2（x+b ）.x 3+px+q=x 3+(b －2a)x 2+(a 2－2ab)x+a 2b. ⎪⎩⎪⎨⎧==-=-③②①q b a p ab a a b 22202由①得b=2a ， 代入②和③得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=3223aq a p ∴4p 3+27q 2＝4（－3a 2）3+27(2a 3)2=4×（－27a 6）+27×（4a 6）=0. （证毕）.例6. 已知：f (x)=x 2+bx+c 是g (x)=x 4 +6x 2＋25的因式，也是q (x)=3x 4+4x 2+28x+5的因式.求：f (1)的值.解：∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.为了消去四次项，设g (x)－q (x)＝kf (x), (k 为正整数).即14x 2－28x+70＝k (x 2+bx+c)14（x 2－2x+5）＝k (x 2+bx+c)∴k=14, b=－2, c=5.即f (x)=x 2－2x+5.∴f (1)=4 .例7. 用待定系数法，求（x+y ）5 的展开式解：∵展开式是五次齐次对称式，∴可设（x+y ）5＝a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3) (a, b, c 是待定系数.) 当 x=1,y=0时， 得a=1；当 x=1,y=1时， 得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16当 x=－1,y=2时， 得31a －14b+4c=1.得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=141431161c b a c b a a解方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧===1051c b a∴（x+y ）5＝x 5+5x 4y+10x 3y 2+10x 2y 3+5xy 4+y 5.三、练习511. 已知4286322+-+=++-x b x a x x x . 求a, b 的值. 2. 已知：2)1(1)2()1(534222++-+-=+-+-x C x B x A x x x x . 求：A ，B ，C 的值. 3. 已知： x 4—6x 3+13x 2－12x+4是完全平方式.求：这个代数式的算术平方根.4. 已知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除.求证：ad=bc.5. 已知：x 3－9x 2+25x+13=a(x+1)(x －2)(x －3)=b(x －1)(x －2)(x －3)=c(x －1)(x+1)(x －3)=d(x －1)(x+1)(x －2).求：a+b+c+d 的值.6. 试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.7. 用x －2的各次幂表示3x 3－10x 2+13.8. k 取什么值时，kx 2－2xy －y 2+3x －5y+2能分解为两个一次因式..9. 分解因式：①x 2+3xy+2y 24x+5y+3；②x 4+1987x 2+1986x+1987.10. 求下列展开式：① (x+y)6； ② (a+b+c)3.11. 多项式x 2y －y 2z+z 2x －x 2z+y 2x+z 2y －2xyz 因式分解的结果是( )(A) (x+y)(y －z)(x －z) . (B) (x+y)(y+z)(x －z).(C) (x －y)(y －z)(x+z). (D) (x －y)(y+z)(x+z).12. 已知( a+1)4=a 4+4a 3+6a 2+4a+1, 若S=(x －1)4+4(x －1)3+6(x －1)2+4x －3.则S 等于( )(A) (x －2)4 . (B) (x －1)4 . (C) x 4 . (D) (x+1)4.(1988年泉州市初二数学双基赛题)13． 已知：4310252323-+-++-x x x c bx x ax 的值是恒为常数求：a, b, c 的值.练习题参考答案1. a=－27,b=－211 2. A=1,B=2,C=33. ± (x 2－3x+2)4.由 (x 2+p)(ax+pd )… 5. 17. 3(x －2)3+8(x －2)2－4(x －2)－38. 先整理为关于x 的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。
9. ①(x+y +1)(x+2y+3) ②(x 2+x+1)(x 2－x+1987)10. ①x 6+6x 5y+15x 4y 2+20x 3y 3+15x 2y 4+6xy 5+y 6.②x 3+y 3+z 3+3(x 2y+y 2z+z 2x+x 2z+y 2x+z 2y)+6xyz.11. (A)12.(C)13. a=1, b=1.5, c=－2.。