高等数学第12章第12章D12_6一致收敛PPT课件

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考研高数讲义新高等数学下册辅导讲义——第十二章

1 n11
学习笔记：
必要条件：若
un 收敛，则
lim
n
un
0。
n1
逆否命题：若级数的一般项不趋于 0，则级数必发散。
1234
【例】
2345
un
n1
( 1)
n
，当 n
n1
( 1) n 1 n n1
，其一般项为
时， un 不趋于 0，因此这个级数发散。
注： lim un 0 并非级数收敛的充分条件 n
学习笔记：
定义：对任意项级数
un ，若
un 收敛，则称原级数
un 绝对
n1
n1
n1
收敛；若原级数收敛 , 但取绝对值以后的级数发散
, 则称原级数
un 条件收敛。
n1
【例】 (
n1
1)n 1 1 条件收敛； n
1 n 1 n 2 为绝对收敛。
定理 7 绝对收敛的级数一定收敛。【例 11】判断级数的敛散性。
和
vn2 都收敛，则
(un vn ) 2 收敛 .
n1
n1
n1
（ B）若
unvn 收敛，则
u
2 n
与
vn2 收敛 .
n1
n1
n1
（ C）若正项级数
un 发散，则 un
n1
1
.
n
（ D）若级数 un 收敛，且 un vn( n 1,2, ) ，则级数 vn 也收敛 .
n1
n1
【答案】（A ）
【重点小结】级数敛散性判别总结 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
un ，则各项乘以常数 c 所得

数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质

详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在每个点的某个邻域内，函数列或级数的每一项都是有界的。这意味着在每个点的附近，函数列或级数的变化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函数项级数在每个点的邻域内都是连续的。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在每个点的某个邻域内，函数列或级数的每一项都是连续的。这意味着在每个点的附近，函数列或级数的值是平滑变化的，没有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中，一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表明实数具有某些理想的完备性。利用一致收敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套定理等。这些定理在实数理论中起着至关重要的作用，为实数性质的研究提供了重要的理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。

函数项级数的一致收敛性及基本性质ppt课件

闭区间 [a,b]上一致连续，
.
故幂级数 anxn在 [a,b]上适合定理3条件，从 n1
而可以逐项求导．由 [a ,b ]在 ( R ,R )内的任意性，
即得幂级数 a n x n 在 ( R ,R )内可逐项求导 . n 1
区间上的一致收敛性．
cos nx
1.
n1
2n
,
x ;
2. x2enx , 0 x .
n1
.
练习题答案一1、 .取自然 N数 x．
二、一致收敛．
.
由比值审敛法可知级数 nn 1 q 收敛， n 1
于是 nn 1 q 0 (n ),
.
故数列nn q1有界，必有 M0，使得
nn q 11M (n1,2,) x1
又 0x 1R ，级数a nx 1 n收敛， n 1
由比较审敛法即得级数 nn x a n 1收敛． n 1 由定理4，级数 nnaxn1在 (R,R)内的任意 n1
致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数anxn在收敛 n1
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包含端点．
.
定理5 如果幂级数 a n x n 的收敛半径为 n1
R 0 ，则其和函数s(x) 在( R, R) 内可导，且
有逐项求导公式
s( x )
an xn
n1
na n x n1 ,
n1
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
.
证先证级数 nanxn1在(R,R)内收敛． n1

数学分析课件一致收敛性

.
22 充分性若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则,
{ fn }在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 f ( x),
前页后页返回
xD. 现固定(4)式中的n, 让m , 于是当n N时,
对一切 xD都有| fn( x) f ( x) | . 由定义1知,
fn( x) f ( x) (n ), x D.
每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列,
它在 D 上不一定一致收敛.
例2
中的函数列
sin nx
n
是一致收敛的,
因为对任意
前页后页返回
给定的正数 , 不论 x 取(-,+)上什么值, 都有
N
1 ,
当n
N 时,
恒有
sin nx n
,
所以函数列
sin nx n
在(-,+)上一致收敛于
收敛, 而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用较为方便. 如例2, 由于
lim sup sin nx 0 lim 1 0,
n n x(, )
n n
所以在(,
)上,
sin nx n
0
(n ).
前页后页返回
例3 定义在[0,1]上的函数列
2n2 x,
0 x 1 , 2n
fn ( x) 2n 2n2 x,
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E
上的函数列. (1) 也可记为
{ fn } 或 fn , n 1, 2, .
以 x0 E 代入 (1), 可得数列
f1( x0 ), f2( x0 ), , fn( x0 ), .
(2)
前页后页返回

级数的收敛性PPT课件

3
.
11
例3. 判别下列级数的敛散性:
(1 )n 1 ln n n 1;
解: (1)
(2 )n 1 n (n 1 1 ).
Sn
ln 2 1
ln
3 2
ln 4 3
lnn1 n
( 2 l l 1 ) ( n n 3 l l 2 ) n n l n 1 n ) l n n (
n(an an1)S,
n1
k(ak ak1)
k1
n1
( a 1 a 0 ) 2 ( a 2 a 1 ) n ( a n a n 1 ) ak nan
n1
n
k0
aknna k(akak1)
k0
k1
n 1
n
即 ln i k m 0a kln i n m n aln i k m 1k(a k a k 1 )AS
S n u 1 u 2 u 3 u n
级数 u n 是否收敛即 nlimSn 是否存在.ຫໍສະໝຸດ n 1当级数收敛时, 称差值
r n S S n u n 1 u n 2
为级数的余项. 显然 limrn 0
n .
8
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
1 2112(n1)1(n2)
进行拆项相消
limSn
n
1, 4
这说明原级数收(敛2),n 其1和n3为314 n1. 22n
.
26
(3)
Sn
12SnSn1 22322532
n 2
n
1
1 22 3 22 5 32n 2n 1 2 1 22 3 32 5 42 2 n n 1 1

高等数学-第七版-课件-12-1 级数的收敛性

则结果是1. 两个结果的不同向我们提出了两个基本问题:“无限个数相加”是否存在“和”; 如果存在, “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能
简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新的理论.
数学分析第十二章数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
定义1
给定一个数列{un}, 将其各项依次用“+”号连接起来的表达式 u1 u2 un (1) 称为常数项级数或数项级数(常简称级数),其中 un 称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也常记为
n
(iii) 当 q 1 时, Sn na, 级数发散. 当q 1 时,
S2 k 0, S2 k 1 a , k 0, 1, 2,, 级数发散.
1aq 时n , 级数 q 1 时, 级综合起来得到 a aq aq2: q (3)收敛; (3) 数(3)发散.
k
k
注从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号时也收敛. 例如
(1 1) (1 1) (1 1) 0 0 0 0,
收敛, 但级数 1 1 1 1
数学分析第十二章数项级数
高等教育出版社
却是发散的.
§1 级数的收敛性
数学分析第十二章数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
为此令 p = m, 则有
um 1 um 2 u2 m
1 1 1 m 1 m 2 2m
1 1 1 1 , 2m 2m 2m 2
1 故取 0 , 对任何正整数 N 只要 m > N 和 p = m 2 1 因此调和级数发散. 就有(7)式成立， n 1 n

一致收敛的概念和判别法

7.1第7讲一致收敛的概念与判别法所谓函数项级数是指级数的每项均为某一变量或多个变量的函数的级数，也就是说是无穷多个函数求和的问题，研究函数项级数主要回答下列几个问题：1. 收敛区域，即对于函数项级数：()1n n a x ∞=∑，x 在什么范围内级数是收敛的？这一问题是平凡的，因为对于给定x ，由数项级数之收敛性即可判别级数的收敛性，从而确定x 之收敛域。

2. 设()()1n n S x a x ∞==∑是收敛的，若()n a x 均为连续函数，问()S x 是否连续？回答是不一定。

例如：当1x <时，()1n n a x x −=，则有()11S x x=−，()n a x 在1x =处左连续，但()S x 在1x =处不是左连续的。

问题还可以提为：什么时候()S x 连续？ 3. 可导性能否保持？即：若()n a x 均为可导函数，问()S x 是否可导？同样有问题：什么时候可导性可以保持？特别地，如果均可导，()S x 的导数与()n a x 的导数有何关系？4. 可积性问题。

即：若()n a x 均为可积函数，问()S x 是否可积？何时可积？它们的积分有何关系？为了研究上述几个问题，我们需要引进“一致收敛”的概念。

7.2§1 一致收敛的概念讨论级数的收敛性实质上是其部分和函数()n S x 的性质，因此我们先考虑极限过程()()lim n n S x S x →∞=的性质。

上面所说的关于和函数的连续性，可导性、可积性有一个共同的特点，就是某一点x 处的连续性与可导性均与函数在该点邻域的性质有关，而不仅仅只与该点函数值相关，而可积性则更是函数在某一区间内的性质了。

另一方面，函数序列()n f x 在0x x =处是否收敛实际上只是数列()0n f x 的性质，与0x 点邻域内的性质是不相干的，因此从这一角度看，我们知道收敛性是无法用来描述其极限函数之性质的，因而有必要引入新的概念来区分不同的收敛性，以刻画函数序列的极限函数的性质。

函数项级数的一致收敛性课件

一致收敛性的判定准则
柯西准则
如果存在常数$M$，使得对于任意的$x in I$和任意的$n in mathbb{N}$，都有 $|f_n(x)| leq M$，则该级数在区间$I$上一致收敛。
狄利克雷-阿贝尔准则
如果存在一个非零函数$g(x)$，使得对于任意的$x in I$和任意的$n in mathbb{N}$，都有$|f_n(x)| leq g(x)$，并且$sum_{n=0}^{infty} g(x)$在区间 $I$上收敛，则该级数在区间$I$上一致收敛。
微分方程求解
一致收敛的函数项级数可以用来求解某些微分方程，例如求解某些初值问题和边值问题。
在实变函数中的应用
测度论
一致收敛的函数项级数在测度论中有重要应用，例如在证明某些测度的可积性和可测性时需要用到一致收敛性。
积分方程
一致收敛的函数项级数可以用来求解某些积分方程，例如求解某些初值问题和边值问题。
Part
03
一致收敛性的判定方法
柯西准则
柯西准则
如果对于任意的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，对于所有的$x$，都有$left| sum_{k=n}^{m} a_k(x) right| < varepsilon$，则函数项级数$sum_{k=0}^{infty} a_k(x)$在$mathbf{R}$上一致收敛。
总结了几种常用的判别函数项级数一致收敛的方法，包括柯西准则、狄利克雷定理、阿贝尔定理等，并给出了相应的证明和实例。
探讨了函数项级数一致收敛性与函数项级数项的连续性的关系，证明了函数项级数一致收敛时，其项的极限函数是连续的。
通过几个具体的例子，展示了函数项级数一致收敛性在解决实际问题中的应用，如近似计算、积分计算等。

12第十二章无穷级数

第十二章无穷级数一、基本要求及重点、难点1．基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。

(2)了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与P —级数的收敛性，掌握正项级数的比值审敛法。

(3)了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。

了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。

(4)了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）。

了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（对幂级数的和函数只要求作简单训练）。

(5)会利用)1ln(,cos ,sin ,x x x e x+与α)1(x +的马克劳林（Maclaurin ）展开式将一些简单的函数展开成幂级数。

(6)了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。

(7)了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开成傅立叶（Fourier ）级数的狄利克雷（Dirichlet ）条件，会将定义在),(ππ-和),(l l -上的函数展开成傅立叶级数，会将定义在),0(l 上的函数展开为傅立叶正弦级数或余弦级数。

2．重点及难点（1）重点：掌握正项级数的审敛法，能对幂级数审敛及会把某些函数展开成幂级数。

（2）难点：一般项级数的审敛法，求幂级数的和函数，将函数展开成幂级数。

二、内容概述1．常数项级数（1）一般概念定义给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式++++n u u u 21，称为级数，记为∑∞=1n n u ，其中第n 项n u 叫做级数的一般项；级数的前n 项和∑==+++=nk kn n uu u u s 121 称为级数的第n 个部分和，简称部分和。

定义如果级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n s 有极限s ，即若s s n n =∞→lim ，则称无穷级数∑∞=1n nu收敛，这时极限s 叫做该级数的和，并写成 =s ∑∞=1n nu; 如果{}n s 没有极限，则称级数∑∞=1n nu发散。

高数同济六版课件D122数项级数及审敛法

*
令因此收敛, 绝对收敛.
四、绝对收敛级数的性质
高数同济六版
其和分别为
*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.
(P263 定理9)
(证明见 P263～P266)
*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )
则对所有乘积
按任意顺序排列得到的级数
也绝对收敛,
设级数
与
都绝对收敛,
发散 .
发散 ,
*
2) 若
高数同济六版
因为当
故
考虑强级数
的部分和
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
时,
*
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在对一切
证明级数
高数同济六版
发散 . 证: 因为而级数发散根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2.
*
定理3. (比较审敛法的极限形式)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
*
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
高数同济六版
例如 , p – 级数说明 : 但级数收敛 ; 级数发散 .
*
例6. 证明级数
高数同济六版
收敛于S ,
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
由定理5可知该级数收敛 .
01
3 (1), (2) ; (1), (3), (5), (6) ; (2), (3), (5)
02
作业
备用题
高数同济六版
判别级数的敛散性: 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . 不是 p–级数发散 , 故原级数发散 .

《收敛定理的证明》PPT课件

sin
nx
dx
-
a0 2
m
an
n1
cos nx
bn
2
sin nx
dx
9
f 2(x)dx -
2 -
a0 2
f (x)
m n1
an
f
(
x)
cos
nx
bn
f
(
x)
sin
nx
dx
a0 2
2
-
dx
m n1
an2
-
cos
2
nxdx
bn2
-
sin
2
nxdx
f 2 (x)dx
f 2 (x)dx
a02 2
(
n1
an2
bn2
)
事实上,
令
Sn ( x)
a0 2
n
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx),
由Sn(x)一致收敛于f (x),
对 0 , N , n N,对 x [ , ],有:
| f (x) Sn(x) |
2
因此,
dx 2
f
(
x)
Sn
(
其中
F1 ( x)
f (x)cos x 0,
2,
0 x , x 0,
F2 (x)
f (x)sin x 0,
2, 0 x , x 0
13
f 在[ , ]上可积, F1与F2在[ , ]上可积.
由(12)式与推论1,知 :
0 f (x)sin(n 1 2)xdx
0 F1(x)sin nxdx 0 F2(x)cos nxdx 0

一致收敛性.ppt

一致收敛性是研究函数列极限函数解析性质的重要概念。为了证明函数列的一致收敛性，我们首先需要对任给的ε>0，找到一个正整数N，使得当n>N时，对所有x属于定义域D，函数列的第n项与极限函数之间的差的绝对值小于ε。例如，对于函数列fn(x)=sinnx/n，我们可以通过取N=1/ε，证明其在整个实数域上一致收敛于0。反之，如果存在某个ε0>0，对任何N>0，都能找到n0>N和x0∈D，使得fn0(x0)与f(x0)之差的绝对值大于等于ε0，则函数列在D上不一致收敛。此外，函数列一致收敛的柯西准则提供了一个充要条件：对任给的ε>0，存在N>0，当n,m>N时，对所பைடு நூலகம்x∈D，fn(x)与fm(x)之差的绝对值小于ε。最后，文档还介绍了函数项级数及其一致收敛性的概念，以及相关的定理和证明方法。

数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质.ppt

*例4
确定函数项级数
n1
x
1 n
n
的收敛域并讨论
和函数的连续性.
前页后页返回
解首先利用连续性定理(或极限交换定理)建立一个
判别法: 若函数项级数 un( x) 的每一项在 [a, b)上
有定义, 且 (i) n, un( x) 在点 a 右连续;
(ii) x (a, b), un( x) 收敛; (iii) 级数 un(a) 发散, 则 un( x) 在 (a, b) 上不一致收敛. 理由是, 如果 un( x) 在 (a, b) 上一致收敛, 则由(i)
y
(其图象如图13－6所示).
n
显然 { fn( x)}是[0, 1] 上的
fn
图13 6
连续函数列, 且对任意
x [0, 1] ,
lim
n
fn(
x)
0.
O
11
1x
2n n
前页后页返回
又 sup | fn( x) 0 | n, 因此{ fn( x)} 在 [0, 1]上一致 x[0, 1]
b
b
lim
n
a
fn( x) dx
a
lim
n
fn( x)
dx.
(3)
前页后页返回
证设 f 为函数列{ fn }在 [a, b]上的极限函数. 由定理 13.9知 f 在 [a, b] 上连续, 从而 fn (n 1,2, )与 f 在
[a, b]上都可积. 于是(3)变为
b
b
lim
§2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要.

高等数学课件数项级数及收敛准则ppt课件

n
1
p 1
的部分和
n
n k 1
k
1
p 1
(k
1 1) p1
1
(n
1 1) p1
n 1
故级数收敛 , 由比较判别法知 p 级数收敛 .
6
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在N Z , 对一切 n N ,
7
例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
11 n (n 1) (n 1)2
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较判别法可知, 所给级数发散 .
8
定理3. (比较判别法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
9
(l ) vn un (l ) vn
一般项：wn
uiv j
30
i jn1
条件收敛级数柯西乘积不一定收敛.
例如， n1 (1)n1
1 n
n 1
(1)n1
1 n
发散.
wn
(
1)n
1
1 n
1 1
1 1 n 1 2
1 n2
1 ... 3
1 1
1 n
wn
1 n
1 n
1 n
1 ... n
1 n
1 n
1
wn发散.
rn un1 .
19
证: S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n ) S2n u1 (u2 u3) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1) u2n

高数数学课件-D12_6一致收敛-精选文档

取正数
1 x [ 0 , 1 ] , 而 r ( x ) , 因此级数在 [0, 1] 上不 0 N 10 2
1 , 对无论多么大的正数 N , 取 1 N 1 x ( ) , 0 2 2
1
一致收敛 .
目录上页下页返回结束
S x )x n(
n
y
(1,1)
几何解释 : (如图)
N N ,当n > N 时, S 0 , ( x ) S ( x ) 表示 n S ( x )总位于曲线 y 曲线 y S ( x ) 与 y S x )

y S ( x )
目录上页下页返回结束
1 1 1 lim ( ) S ( x ) lim S ( x ) n x 1x n 1 x 1 n n ( 0 x ) 余项的绝对值: 1 1 r ( x ) S ( x ) S ( x ) n n x n 1 n 1 ( 0 x )
y S ( x )
y S ( x ) n
I
x
目录上页下页返回结束
例1. 研究级数 1 1 1 ( x 1 )( x 2 )( x 2 )( x 3 ) ( x n )( x n 1 )
在区间 [0, +∞) 上的收敛性. 1 1 1 解: ( k 1 , 2 , ) ( x k )( x k 1 ) x kx k 1 1 1 1 1 S ( x ) ( ) ( ) n x 1 x 2x 2 x 3 1 1 ( ) x n x n 1 1 1 x 1 x n 1