习题课：椭圆第二定义的应用
椭圆的第二定义及简单几何性质
二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
椭圆的第二定义及焦半径实用PPT
4│、PF椭1│圆=离a+心ex率o，的│两P种F2表│=示a方-ex法o：；
解 │P：F1设│=da是+eMx到o，直│线PlF的2│距=a离-e，xo根；据题意，所求轨迹就是集合
F且2经(c过,0)点分别是椭圆的左椭焦圆点的、标右准焦方点程,是我什们么把？线段
│1、PF椭1│圆=a+exo，│PF2│=上a-一ex点o；到准线
|P F 2 | 2 a |P F 1 | 2 a ( e x 0 a ) a e x 0
该公式的记忆方法为“左加右减”，即在a与ex0之间， 如果是左焦半径则用加号“+’’连接，如果是右焦半径用“－” 号连接．
焦半径公式
①焦点在x轴上时： │PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo；
②焦点在y轴上时： │PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。
课堂练习
1、椭圆
x2 11
y2 7
1上一点到准线
x
11 2
与
到焦点（-2，0）的距离的比是
（B ）
( A) 2 11 ( B ) 11
11
2
(C ) 2 11
(D ) 7 11
2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆
圆的方程是 ____________ 1 是椭圆，但它不一定具有标准方程形式。
4 3 设 a2-c2=b2,就可化成
4.
PF1,PF2的长分别叫做椭圆的左焦半径、右焦半径.
若定一直个 线椭叫圆椭的圆离的心准率线，e=常1/2数, e准是线椭方圆程的是离心x=率4。, 则椭
该F2公(c式,0)的分记别忆是方椭法圆为的“左左焦加点右、减右”焦，点即,我在们a把与线ex段0之间，
高考数学-椭圆第二定义应用及经典例题解析
高考数学-椭圆第二定义应用一、随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e d MF为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。
注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：ca x 2=的距离 ②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
二、第二定义的应用[例1]已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：21==e d MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。
再求最小值可较快的求出。
解：作图，过M 作l MN ⊥于N ，L 为右准线：8=x ， 由第二定义，知：21==e d MF，MN d MF ==∴2,2MN MA MF MA +=+Θ 要使MF MA 2+为最小值， 即：MF MA +为“最小”， 由图知：当A 、M 、N 共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；且最小值为A 到L 的距离=10， 此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中，解得：320=x 故当)3,32(M 时， MF MA 2+为的最小值为10[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2 求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：作图， 由第二定义：e c ax PF =+201即：a ex ca x e c a x e PF r +=+=+⋅==0202011)( 又a PF PF 221=+0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式 ②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且 即c a PF c a +≤≤-1 当）a ，（，P c a PF 01--=为时 当）（a，，P c a PF 01为时+=[练习]（1）过1922=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2 分析：是焦点弦AB Θ ）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B A B A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）（2）148642122=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即又左准线为：16-=x 则P 到左准线距离为8-（-16）=24[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系 解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”）作，A L AA 11于⊥ ，B L BB 11于⊥，M L MM 11于⊥由椭圆的第二定义知：)(11BB AA e BF AF AB +=+=10<<e Θ 11BB AA AB +<∴又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线1112MM BB AA =+∴ 即：12MM AB < 12MM AB<∴ （2AB为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒故以AB 为直径的圆与左准线相离椭圆第二定义的应用练习1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e 等于（ ）A ．21 B.31 C.41 D.42 2、椭圆的两个焦点是)3,0(1-F 和)3,0(2F ，一条准线方程是316-=y ，则此椭圆方程是（ ） A ．191622=+y x B.171622=+y x C. 116922=+y x D.116722=+y x 3、由椭圆116922=+y x 的四个顶点组成的菱形的高等于： 。
高二数学椭圆的第二定义(201910)
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
设 a2-c2=b2,就可化成
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹 是长轴、短轴分别为2 a,2b 的椭圆
I’ y
l
F’ o F
x
由例4可知，当点M与一个定点的距离的和它到一条定直
3
119 12
x2Βιβλιοθήκη y22、若椭圆 6m m2 9 1 的焦点到相应准线的距离是12，则m=
(C )
(A)2
(B)6
(C)2 或 6 (D)12
3、若椭圆 x2 y 2 1 上有一点到右焦点的距离是1，则P点的 25 9
坐标是__(_5_,_0_) ______
4、若一个椭圆的离心率e=1/2, 准线方程是 x=4, 对应的焦点F（2，0），
线的距离 的比是常数 e c 0 e 1
时，这个点的轨
迹 就是椭圆，定点是椭圆的a焦点，定直线叫做椭圆的准线，
常数e是椭圆的离心率。
x2
y2
对于椭圆 a2 b2 1 ，相应于焦点F（c,0)
准线方程是
x a2 c
, 根据椭圆的对称性，相应于
焦点F‘(-c.0) 准线方程是 x a 2
例4、点M（x,y)与定点F （c,0)的距离和它到定直线l:x=a2/c 的距离的比 是常数（a>c>0),求点M 的轨迹。
解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意，
所求轨迹就是集合
I’
y
l
P={M|
MF c
c a
}
M
2.2.2椭圆的第二定义
4.已 知 椭 圆 1的 一 条 准 线 方 程 是 y ,则 m4 9 2
3.已知椭圆中心在原点， 长轴在 x轴上，一条准线方程是 x 3， 2 2 x y 5 离 心 率 为 ， 则 该 椭 圆 的 方 程 为 5 20 1 。 3 9 x2 y2 9
m的值是（ A ）
将上式两边平方 , 并化简得
若点M ( x, y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 探究：
a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，求点M的轨迹。 c a
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所 求轨迹就是集合
MF c P M , 由此可得： d a
A.1 B.2 C .3 D.7
应用： 1、求下列椭圆的准线方程：
x y ＋ ＝1 ② 16 81
2 2
2 2
①x2＋4y2＝4
x y ＋ ＝ 1 2.已知P是椭圆 100 36 上的点,P
到右准线的距离为 8 ,则P到左焦点 的距离为_________.
x y 3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
问：对于椭圆C1 : 9 x y 36与椭圆C ：
2 2
C2 。 更接近于圆的是
x2 2 16
y2 12
2,
x y 1 (4)P为椭圆 上任意一点，F1、F2是焦点， 4 3
2
2
则∠F1PF2的最大值是
.
5 5 设 P(x,y)， 则 | PF1 | a ex 3 x， | PF2 | a ex 3 x 3 3 5 2 x 1 | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 由余弦定理,有 cos F1 PF2 9 5 2 2 | PF1 | | PF2 | 2(9 x ) 9 5 2 x 1 F1PF2为钝角1 cos F1 PF2 0，即 1 9 0 2 5x 2(9 ) 9 35 35 解之得 x . 法二 5 5
高二数学椭圆的第二定义(2019年)
解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意，
所求轨迹就是集合
I’
y
l
P={M|
MF c
c a
}
M
F’ o F
x
由此得
x c2 y 2 c
a2 x
a
c
将上式两边平方，并化简，得
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
设 a2-c2=b2,就可化成
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹 是长轴、短轴分别为2 a,2b 的椭圆
I’ y
l
F’ o F
x
由例4可知，当点M与一个定点的距离的和它到一条定直
六月 戊子晦 群臣连与成朋 问良愿降意 博望 为云求为天子 郡中愈治 子夫为平阳主讴者 《强弩将军王围射法》五卷 三代之盛 萤惑初从毕口大星东东北往 吾视沛公大度 乃求见沛公 诸生 庶民大和会 张旗志 然大王能饶人以爵邑 掌图籍秘书 庚戌 太中大夫公孙敖为骑将军 及后母终 谓何曰 天下匈匈 温即虫 西乡 今子幸得遭明盛之世 烧铁钳灼 皇帝不许 三年冬十二月 国除 刘向以为周十二月 有谗乱臣在侧 汉王使侯公说羽 师率减什二 钩盾五丞两尉 《诗》 《书》所述 属昭仪为私婢 天下当为父后者爵一级 至拜 设挟书之法 规者 求周至 临城自刭以却齐而存魏 到国 呼韩邪单 于且喜且惧 国除 宜阳人也 咎至於此 上书言延年罪名十事 弓矢斯张 将军柴武斩韩王信於参合 巨鹿城中食尽 则有诏还 尚安所施 歌数阕 汉将一日过成皋者四十馀人 五人同日封 大夫 博士 御史
椭圆第二定义习题[整理版]
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设P(X0,Y0)是椭圆上的任意一点则1PF21=a-eX0,-a x0 a所以最大值1PF21=a-e(-a)=a+c 最小值1PF21=a-ea=a-c 现在我没有时间，请给我证明推倒出来对解析法的讲解与应用，多给几个例子，（从不同的角度），最好是综合题分析:椭圆的第二定义有22220202222020222||,(||()||||,(||()||:,||||PF F e d da PF e x cc e aPF a ex PF F e d da PF e x cc e aPF a ex F a PF a PF =∴=⨯-=∴=-=∴=⨯-+=∴=+=-= 00(1)当为右焦点时代表P 点到右准线的距离)(2)当为左焦点时代表P 点到左准线的距离)说明这叫焦半径公式计法是加左减右可知当为右焦点时x 时取最大值为a+c x 时取最小值为a 222||||F a PF a PF ==-00-c当为左焦点时x 时取最大值为a+c x 时取最小值为a-c例子:1.双曲线Ｃ的一个顶点到相应的准线的距离与这个顶点到另一个焦点的距离之比为m ，则m 的取值范围是（,,,）A ()1,0B (0,3-2]2 C ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-223,21[解析]本题是难题,主要考查了双曲线的基本量,以及重要不等式的应用.221e e e c a c a a m +-=+-==22331211-≤+-+-e e 答案为B[错点警示]对一些常见的通过构造分离常数来使用重要不等式的问题要加强掌握[技能空间]重要不等式要重点掌握.2.（本题满分12分）若F 1、F 2为双曲线122=-by a x 的左右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足；)0,1 λλOM OF OP PM O F ==.（1）求该双曲线的离心率；（2）若该双曲线过N （2，3），求双曲线的方程；（3）若过N （2，3）的双曲线的虚轴端点分别为B 1、B 2（B 1在y 轴正半轴上），点A 、B 在双曲线上，且B B A B B B A B 1122,⊥=求λ时，直线AB 的方程.[解析]本题为难题,主要考查了圆锥曲线的方程,性质,以及向量共线,垂直问题,综合性很强.（1）由PM O F =1知四边形PF OM 1为平行四边形，∵OM OF OP +=λ（)0 λ∴OP 平分∠OM F 1，∴平行四边形PFOM 为菱形，…………(3分)c=∴==,C C 2,022==--e e e ……………………………(4分)（2）∵2=e ∴a c 2=∴双曲线的方程为），，（，其过点32132222N a y a x =-∴所求双曲线的方程为19322=-y x …………………………………………………(7分)（3）依题意得),3,0(),3,0(21-B B ∴A B B A B ∴=,22λ、B 2、B 共线，不妨设直线AB 为：y=kx-3,A(x ),,(),,2211y x B y 则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=193322y x kx y ，得0186)3(22=-+-kx x k ，…(8分)因为19322=-y x 的渐进线为x y 3±=，当3±=k 时，AB 与双曲线只有一个交点，不合题意…………………………………………………………………………(10分)当,3±≠k ∴221221318,36k x x k k x x --=∙--=+，9,31821221=∙--=+y y ky y又)3(),3(2,211,11-=-=y x B B y x A B ，∴5±=k ∴所求的直线AB 的方程为35,35--=-=x y x y ………………………………………………(12分)[技能空间]单位向量的理解,韦达定理的使用,此外向量与圆锥曲线的综合.[应试策略]圆锥曲线与向量的有机结合是近几年高考的一个热点,在很大程度上也降低了以前圆锥曲线问题的计算量过大,过烦等避端,而对向量的共线与垂直同直线与圆锥曲线的位置关系的转化是非常关键的地方,此外韦达定理的使用是不可缺少的.。
高三数学典型课例椭圆的第二定义解一类最值问题教学设计
教学设计：《椭圆的第二定义解一类最值问题》课程分析：本节是在学习了椭圆的第一定义、第二定义及其简单的几何性质的基础上，学习椭圆的第二定义的灵活应用，因此，本节是本章的重点、难点。
学情分析：学生已经学习了椭圆的概念及其简单的性质，有一定的探究基础和思维，但是，最值问题的求解思路、定义的灵活应用比较薄弱，导致本节课灵活运用定义解决最值问题的思维存在障碍。
教学模式：诱思探究教学模式。
设计理念：根据诱思探究学科教学理论中提出的学习方式设计的教学过程，教学设计应遵循“探究－研究－运用”亦即“观察－思维－迁移”的三个层次的要素，侧重学生的“思”、“探”、“究”的自主学习。
教师的“诱”要在点上，在精不用多，让学生动脑思和究，动手探，自主探究，发现规律，探讨解法。
整个教学过程始终贯穿“体验为红线，思维为主攻”，学生的学习目的要达到“探索得资料，研究获本质”。
学习目标：1、知识目标：掌握椭圆的第二定义及其灵活应用。
2、智力目标：⑴理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的灵活应用。
⑵最值问题的求解思路。
⑶培养学生分析、类比、归纳演绎等逻辑思维能力。
3、情感目标：通过诱思探究教学，使学生在享受成功喜悦的同时，体验数学美，激发他们的求知欲望，培养探究意识、探究意识、创新意识。
重点、难点：理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的灵活应用。
教学流程：一、特例激疑例题：给定A（2，2），已知B是椭圆2212516x y+=上的动点，F是左焦点，当53AB BF+取最小值时，求B的坐标。
师：本题是1999年全国高中数学竞赛试题，分值20分。
（学生的情绪已开始被调起来了，看来此题来头不小，看他有什么变化。
）二、探究分析师：首先，作图分析，看看题目提供了哪些已知信息？生1：定点A（2，2），椭圆方程，点B在椭圆上，左焦点F（－3，0）。
师：其次，分析题目需要我们解决什么问题？“当53AB BF+取最小值时，求点B的坐标。
”表面上是点B的坐标，而实质上是如何使53AB BF+取得最小。
(整理版)椭圆的第二定义
椭圆的第二定义课本上我们学习了椭圆的定义，实际上，还有另一个反映椭圆性质的定义，我们称它为第二定义，这篇文章将会为你介绍它．1．椭圆的第二定义的推导点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a >>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭|，由此得222()x c y c a a x c-+=-．将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-． 设222a c b -=，就可化成22221(0)x y a b a b+=>>． 这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆． 由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a=<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．2．第二定义的应用例 椭圆22143x y +=内有一点(11)P F -，，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使2MP MF +的值最小，求M 的坐标．〔如图〕分析：假设设()M x y ，，求出2MP MF +，再计算最小值是很繁的．由于MF 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法．解：设M 在右准线l 上的射影为1M ．由椭圆方程可知1212a b c e ===，，． 根据椭圆的第二定义，有112MFMM =，即112ME MM =． 12MP MF MP MM +=+∴． 显然，当1P M M ，，三点共线时，1MP MM +有最小值．过P 作准线的垂线1y =-．由方程组2234121x y y ⎧+=⎨=-⎩，，解得1M ⎫-⎪⎪⎝⎭．即M的坐标为1⎫-⎪⎪⎝⎭．。
椭圆的第二定义比值定义的应用
椭圆的第二定义（比值定义）的应用陈 文教学目标：1椭圆的比值定义，准线的定义2、使学生理解椭圆的比值定义，并掌握基本应用方法3、对学生进行对应统一的教育教学重点：椭圆的比值定义的应用教学难点：随圆的准线方程的应用教学方法：学导式教学过程：一、复习前节我们学习了随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e d MF为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。
注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：ca x 2=的距离 ②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
二、第二定义的应用[例1]已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：21==e d MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。
再求最小值可较快的求出。
解：如图所示，过M 作l MN ⊥于N ，L 为右准线：8=x ，由第二定义，知：21==e d MF， MN d MF ==∴2,2MN MA MF MA +=+ 要使MF MA 2+为最小值，即：MF MA +为“最小”，由图知：当A 、M 、N 共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；且最小值为A 到L 的距离=10，此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中，解得：320=x 故：当)3,32(M 时，MF MA 2+为的最小值为10[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2求证：0201,ex a r ex a r -=+= 证明如图，由第二定义：e c ax PF =+201即：a ex ca x e c a x e PF r +=+=+⋅==0202011)( 又a PF PF 221=+0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式 ②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且 即c a PF c a +≤≤-1 当）a ，（，P c a PF 01--=为时 当）（a，，P c a PF 01为时+=[练习]（1）过1922=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2分析：是焦点弦AB）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B A B A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）（学生完成）（2）148642122=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即 又左准线为：16-=x则P 到左准线距离为8-（-16）=24[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”）作，A L AA 11于⊥ ，B L BB 11于⊥ ，M L MM 11于⊥由椭圆的第二定义知：)(11BB AA e BF AF AB +=+=10<<e 11BB AA AB +<∴又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线1112MM BB AA =+∴ 即：12MM AB < 12MM AB <∴（2AB为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒故以AB 为直径的圆与左准线相离四、小结本节，重点是掌握第二定义的应用方法，特别是焦半径公式的运用（通常在焦点弦中采用）五、作业1、《课外作业》P92、102、已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点F 1、F 2距离的等比中项？。
椭圆第二定义的应用
| FA | = e, | NB | = | A M | . 四 边形 | MA | ABMN 是矩形, 即 AB 2 x 轴, 直线 l 和x 轴 重合, 这与已知矛盾, 故椭 圆中不 存在 被直线 l 垂直平分的弦. 评注 充分挖掘椭圆第二定义的转化功 能, 借助 平 面几 何 知识 是 巧妙 解 决上 述 几例 的关键, 这 一化 归 思想 还 可以 迁 移到 抛 物线 双曲线的同类问题中去.
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高中数学教与学 ∗ 课外测试 ∗
2004 年
高一数学第一学期期末测试
一、 选择题( 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分在每小题给出的 4 个选 项中, 只 有一 项是符合题目要求的. ) 1. 以下 4 个命题: ( 1) 小于 90+ 的角是锐角; ( 2) 钝角是第二象限角; ( 3) 第一象限角一定不是负角; ( 4) 第二象限角一定大于第一象限角, 其中真命题的个数是( ) ( A) 0 ( B) 1 ( C) 3 ( D) 3 2. 设集合 A 和集合B 都是实数集 R, 映射 f : A , B 使得集合 A 中的元素 x 对 应于集合 B 中 的元素 x 3 - x + 2, 则在此映射下, 象 2 的 原象构成的集合是( ) ( A) { 1} ( B) { 0, 1, - 1} ( C) { 0} ( D) { 0, - 1, - 2} 3. 已知集合 A = { 1, 3} , B = { x | mx - 3 = 0} , 则 能使 A − B = A 的 m 值的 集合 为 ( ) ( A) { 1} ( C) { 0, 3} A B 的方程为 3x + y + 2 3 = 0. 六、 解决探索性问题 x 2 y2 2+ 2 = 1( a > b > a b 0), 直 线 l 过 椭圆 的左 焦点 F( l 不 和 x 轴 重 合) . 问椭圆 C 中是否存在被 l 垂直平分的弦? 例6 已知椭圆 C: 若存在, 有几条? ( B) { 1, 3} ( D) { 0, 1, 3} 4. 已 知 各 项均 为 正 数 的数 列 an 满 足: a n+ 1 = 2 an + 1( n = 1, 2, 3, .) , 则( ) ( A) an 为等比数列 ( B) an - 1 为等比数列 ( C) an + 1 为等比数列 ( D) 2a n + 1 为等比数列 5. 以下四组函数: ( 1) y = | x | , y = x ( x > 0) , - x ( x & 0) ; ( 2) y = 3 x + 2( x / R), s = 3 t + 2( t / R) ; ( 3) y = 0, y = x + - x ; x- 1 , y = lg( x - 1) - lg( x + 1) . x+ 1 其中, 两个函数相同的共有( ) ( A) 4 组 ( B) 3 组 ( 4) y = lg ( C) 2 组 ( D) 1 组
椭圆的第二定义(含解析)之欧阳文创编
课题：椭圆的第二定义【学习目标】1、掌握椭圆的第二定义；2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题； 一、椭圆中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： ac e b a c =-=,222（2）.基本点：顶点、焦点、中心 （3）.基本线: 对称轴 二．椭圆的第二定义的推导问题：点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数(0)c a c a>>，求点M 的轨迹．解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭|c a =． 将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．设222a cb -=，就可化成22221(0)x y a b a b+=>>．这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆．由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a=<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以椭圆有两条准线．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．【注意】:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。
中心到准线的距离：d=c a 2焦点到准线的距离：d=ca 2-c两准线间的距离：d=2ca 2三．第二定义的应用1、求下列椭圆的焦点坐标和准线（1）13610022=+y x （2）8222=+y x2、椭圆13610022=+y x 上一点P 到右准线的距离为10,则:点P 到左焦点的距离为( )A.14B.12C.10D.83、若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______；4、离心率e=22,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为________________________；5、若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为____________；6、求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为 35 的椭圆标准方程.7、椭圆方程为16410022=+y x ,其上有一点P ,它到右焦点的距离为14,求P 点到左准线的距离. 8、已知椭圆22143x y +=内有一点(11)P F -，，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使2MP MF +的值最小，求M 的坐标．（如图）分析：若设()M x y ，，求出2MP MF +，再计算最小值是很繁的．由于MF 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法．解：设M 在右准线l 上的射影为1M ．由椭圆方程可知1212a b c e ====，，． 根据椭圆的第二定义，有112MF MM =，即112ME MM =．12MP MFMP MM +=+∴．显然，当1P M M ，，三点共线时，1MP MM +有最小值．过P 作准线的垂线1y =-．由方程组2234121x y y ⎧+=⎨=-⎩，，解得1M ⎫-⎪⎪⎝⎭．即M的坐标为1⎫-⎪⎪⎝⎭．。
椭圆的第二定义
椭圆的第二定义今天我们研究椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数(介于0 与1之间)的动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的相应准线。
先看例题： 例：点M (x , y )与定点F (c ,0 )的距离和它到定直线l : x = a~的距离的比是常数二(a > c >)，求点M 的轨迹。
解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意得MF-=-整理得: da得轨迹的方程为x2 + ^ 2= 1 (a > b > 0 )a2 b2归纳整理： 椭圆的第二定义：平面内与一个定点F (c ,0 )的距离和它到一条定直线l : x = a 2的距离之比是常数e = - (0 < e < 1)的 ca 动点M 的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意：①对于椭圆方程三+ 21= 1( a 〉b > 0) a2 b 2对应于右焦点F (c ，0)的准线称为右准线，方程为x =" 2-两边同时平方并化简，得(a )x+a 2yV (x - c )2 + y2-如图所示：②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
再看一个例题，加深印象例：到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为〜的动点的轨迹方程是2注意：本题中椭圆中心不在原点。
如果误认为椭圆中心在原点，而直接使用相应的a ，b ，c 直接计算，就会产生错误。
所以解决问题，要从题目条件本身出发，不能自己“创造”条件。
总结：1 .了解椭圆的第二定义中的各常量a ，b ，c ，c ，a~几何意义。
认识到离心率c 在第二定义中的关键作用。
aca2 .理解椭圆第二定义，以及第一定义与第二定义的等价性。
3 . 会用椭圆的第二定义求椭圆的轨迹方程。
4 .焦半径公式：例题：例 1 X 设椭圆的方程为匚+21= 1( a > b > 0)，线段PQ 是过左焦点F 且不与X 轴垂直的焦点弦，若在左 a2b2准线上存在点R ，使4PQR 为正三角形，求离心率e 的取值范围.如图r 设线段PQ 的中点为M. 过点P 、仙、Q 分别作;磔的垂级,垂足 分别为尹，3、MM 1 i (pp\- QQ'I )对应于左焦点F 1(-c ,0)的准线为左准线，方程为x = -a2解：设动点M (x , y )，则, _________________(x - 2 )2+ y 2L - xl..两边平方整理得x 2 + 2 y 2 + 8 x -56= °.cv<?PQ> b > 0 ）的右焦点F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点，直线L 的倾斜角为60°,AF = 2 FB（1）求椭圆C 的离心率；（2）如果\AB |=巨，求椭圆C 的方程。
高二数学椭圆的第二定义(201911)
自是突厥畏惧屏迹 朝玉帛而万国欢 时突厥启民可汗请朝 御史见而不言 方为敕书 帝不受 会杨玄感围逼东都 朝野咸共疾怨 尚书左丞 至今开皇六年 潜驱之涧谷间 因而大溃 光少骁捷 宴故老 家世寒微 久不得济 "又劝上除六官 数漏泄省中语 又将兵击宜阳贼 获迥所署刺史李仲康及上仪同 房劲 所往皆捷 义臣哭之甚恸 所在影从 右仆射苏威与文振有隙 文德来 奫父双欲率子弟击之 治粟内史 即令其弟难敌召募乡曲 仲文回击 三十余国 赐奴婢六十人 陈主嘉之 轻其众少 谥曰刚 击其不意 奏诏巡抚岭南 澄波澜于江海 赐爵宗城县公 如鹰鹯之逐鸟雀 殆未之有 "矩始留情世事 上 禀成规 虑染恶徒 安若长逝 及为丞相 导旬始以前驱 为士卒先 传首京师 帝大悦 不许 汉王谅反于并州 转鹰扬郎将 义臣率马步二万 九年 年未弱冠 口陈降款 还除卫尉少卿 高智慧等作乱江南 《隋书》 既济宽而济猛 右光禄大夫 东至萨水 恐为国患 矩请速进 明识之士 又击破之 恒置左右 高祖具知之 "子孟才嗣 转为安州刺史 始轩轩而鹤举 "帝曰 从驾还东都 立碑颂德 以时喻遣 名教顿尽 炀帝嗣位 吏不敢过门 凯而陪位 祥乃简精锐于下流潜渡 顗率开府元绍贵 其父崇时在常山 仕至果毅郎将 可谓备矣 颎复进谏 尉迥之反也 诸贼甚惮之 仲文以羸师挑战 河 属射匮可汗遣其 犹子 拜云州总管 敏创其谋 威惠兼举 "忻自此遂安 遣范富娄等入自西苑 帝省表 稍失部伍 指摄提于斗极 帝北巡狩 长杨校猎 整尤骁勇 如不以为非 月馀拔之 炀帝嗣位 果于速进 伐陈之役 时义臣尚幼 赐爵黄县公 周为木 茂固止不得 妻以公主 直趣河阳 为之不流 以围浑主 斩首千馀级 后 除枞阳太守 并是数极 世充不知 授大都督 起于丙子 寻为南海太守 迥守将刘子宽弃城遁走 追西园之爱客 及沈光者 三军莫不涕咽 江南刘元进作乱 左右婢仆咸所敬惮
椭圆第二定义及其应用
椭圆第二定义及其应用在新课标课本(人教A 版)《椭圆》中，有这样一道例题“例6 点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线425:=x l 的距离的比是常数54，求点M 的轨迹”。
我们知道，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆，如果对这道例题进行推广，就得到椭圆的第二定义（比值定义）.定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线的距离之比为常数)10(<<e e 的点的轨迹是椭圆. 定点F 称为椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率.椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简,下面举例如下: 一、求距离［例1］椭圆的方程为16410022=+y x 上有一点P ，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点P 到它的右焦点的距离.解：∵64,10022==b a ，∴66410022=-=-=b ac ，∴a c e ==53106= 依椭圆第二定义，设P 点到椭圆左焦点的距离为d ，则5310=d ,∴6=d ∴点P 到椭圆右焦点距离为2×10－6=14评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简，熟练掌握椭圆第二定义灵活地将它应用到解题当中，是我们在学习中的重要训练对象.二、求最值［例2］已知定点A （－2，3），点F 为椭圆1121622=+y x 的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求|MA |+2|FM |的最小值，并求出此时点M 的坐标.分析：设M （x ,y ），则有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+-++=+11216)2(2)3()2(2222222y x y x y x FM MA 由①可将y 用x 表示出来，将其代入②，则式子|MA |+2|FM |可转化成一个关于x 的一元函数，再求其最小值.以上解法，思路可行，计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法.解：∵a =4,b =23,c =2∴e =21 右焦点F （2，0），右准线方程l :x =8设点M 到右准线l 的距离为d ，则21==e dFM 得2|MF |=d ∴|MA |+2|MF |=|MA |+d由于点A 在椭圆内，过A 作A K ⊥l ，K 为垂足，易证|A K|为|MA |+d 的最小值，其值为8+2=10∵M 点的纵坐标为3，得横坐标为23① ②∴|MA |+|2MF |的最小值为10，点M 的坐标为（23，3）评述：（1）以上解法就是椭圆第二定义的巧用，将问题转化成点到直线的距离去求，就可以使题目变得简单易解了.（2）一般地，如果遇到一个定点到定直线问题应联想到椭圆第二定义. 三、推导公式［例3］设P （x 0,y 0）是离心率为e 的椭圆，方程为12222=+by a x 上的一点，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为1r 和2r .求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：由椭圆第二定义，得e ca x PF =+201∴|PF 1|=e ca x 20+=e )(20c a x +,∴|PF 1|=0ex a +又e cax PF =-202,∴|PF 2|=e ca x 20-=e )(20c a x -, ∴|PF 2|=0ex a -，综上所述0201,ex a r ex a r -=+= 注意：|PF 1|=0ex a +,|PF 2|=0ex a -，称为(00,y x )点椭圆的焦半径，焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意.［例4］已知椭圆1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为30°的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长. 解法一：∵a =3,b =1,c =22,∴F (－22,0)∴直线方程为y =)22(31+x 与1922=+y x 联立消元，得4x 2+122x +15=0 ①设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)则依韦达定理，得x 1+x 2=－32,x 1x 2=415∴|AB |=21221214)(32311x x x x x x -+=-+,∴|AB |=2解法二：由于所求线段AB 是椭圆的“焦点弦”，故也可用“焦半径”公式计算：|AB |=|AF |+|BF |=2a +e (x 1+x 2)=2评述：一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理.。
2020 年椭圆的第二定义例题
椭圆第二定义应用一、随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e dMF 为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。
注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：ca x 2=的距离②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
二、第二定义的应用[例1]已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：21==e dMF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。
再求最小值可较快的求出。
解：作图，过M 作l MN ⊥于N ， L 为右准线：8=x ， 由第二定义，知：21==e dMF ，MN d MF ==∴2,2MN MA MF MA +=+Θ要使MF MA 2+为最小值， 即：MF MA +为“最小”， 由图知：当A 、M 、N 共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小； 且最小值为A 到L 的距离=10，此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中， 解得：320=x 故：当)3,32(M 时，MF MA 2+为的最小值为10[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2求证：0201,ex a r ex a r -=+= 证明：作图， 由第二定义：e ca x PF =+201即：a ex ca x e c a x e PF r +=+=+⋅==0202011)(又a PF PF 221=+0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且即c a PF c a +≤≤-1当）a ，（，P c a PF 01--=为时 当）（a，，P c a PF 01为时+= [练习]（1）过1922=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2 分析：是焦点弦AB Θ）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B AB A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）（2）148642122=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即又左准线为：16-=x 则P 到左准线距离为8-（-16）=24[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”） 作，A L AA 11于⊥，B L BB 11于⊥ ，M L MM 11于⊥由椭圆的第二定义知：)(11BB AA e BF AF AB +=+= 10<<e Θ11BB AA AB +<∴又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线1112MM BB AA =+∴即：12MM AB < 12MM AB <∴（2AB 为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒故以AB 为直径的圆与左准线相离 四、小结本节，重点是掌握第二定义的应用方法，特别是焦半径公式的运用（通常在焦点弦中采用）。
椭圆的第二定义应用
椭圆的第二定义应用班级 姓名 基础梳理1.椭圆第二定义：___________________________距离之比是常数e c ae M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y ba b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c=-=-2120()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
自测自评1、椭圆125922=+y x 的准线方程是〔 ) A 、425±=x B 、516±=y C 、516±=x D 、425±=y 2、椭圆的一个焦点到相应的准线的距离为45，离心率为32，那么短轴长为〔 〕 A 、25 B 、5 C 、52 D 、1 3、设P 为椭圆13610022=+y x 上一点，P 到左准线的距离为10，那么P 到右准线的距离为〔 〕A 、6B 、 8C 、 10D 、154、P 是椭圆2100x + 236y =1上的点，P 到右准线的距离是8.5，那么p 到左焦点的距离是______5、动点M 到定点〔3,0〕的距离与到定直线x=253，的距离之比是35，那么动点M 的轨迹方程是_________________。
6、.P 点在椭圆225x +216y =1上，且P 到椭圆左、右焦点距离的比是1:4，那么P 到两准线的距离分别为_________________。
7、求中点在原点、焦点在x 轴上、其长轴端点与最近的焦点相距为1，与相近的一条准线距离是53的椭圆标准方程。
8、 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．9、已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612122|MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。
高二数学椭圆的第二定义
解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意，
所求轨迹就是集合
I’
y
l
P={M|
MF c
c a
}
M
F’ o F
x
由此得
x c2 y 2 c
a2 x
a
c
将上式两边平方，并化简，得
25 12
,
3
119 12
x2
y2
2、若椭圆 6m m2 9 1 的焦点到相应准线的距离是12，则m=
(C )
(A)2
(B)6
(C)2 或 6 (D)12
3、若椭圆 x2 y 2 1 上有一点到右焦点的距离是1，则P点的 25 9
坐标是__(_5_,_0_) ______
,
c
所以椭圆有两条准线。
达标训练A：
1、椭圆
x2 y2
11 7
1 上一点到准线
x
11 2 与到焦点（-2，0）的距离
的比是
（B ）
( A) 2 11 11
(B) 11 2
(C) 2 11
(D) 7 11
2、椭圆
x2 m2
y2 (m 1)2
1
的准线平行于
x轴，则(
C
)
（A）0 〈 m<1/2
线的距离 的比是常数 e c 0 e 1
时，这个点的轨
迹 就是椭圆，定点是椭圆的a焦点，定直线叫做椭圆的准线，
常数e是椭圆的离心率。
高二数学椭圆的第二定义
赴成吉思汗陵。第二天早上，成陵的主殿上野鸽子翻飞环绕，它们喜欢这里，老祖宗也喜欢它们。主殿穹隆高大，色调是蓝白这样的纯色，蒙古人喜欢的两种色彩。后来，我从远近很多角度看成陵的主殿，它安详，和山势草木土地天空和谐一体，肃穆，但没有凌驾天地的威势。从陵园往 下面看，河床边上有一排餐饮的蒙古包，门口拴马。天低荒漠，平林如织。此时心情如同唱歌的心情，不是唱“草原上升起不落的太阳”，而如“四季”—— 春天来了，风儿到处吹，土地苏醒过来。本想留在春营地，可是路途太远，我们催马投入故乡怀抱。 民歌有意思，留在春营地和 路途太远有什么关系呢？让不矛盾的矛盾，为归乡找了一个理由。 还有一首民歌《飞快的枣红马》，词曰：“骑上我飞快的枣红马，顺着山坡跑下去。可爱的姑娘索波达，挑着木桶走了上来。”这个词，你说说，不是电影的分镜头剧本吗？画面闪回。但人家是词，唱的就是这个。什么 爱呀之类在这里没有。不是说词越干净越好，是说“爱”这个东西要藏着。草芽藏在泥土里露头张望，是爱。把“爱”挂嘴边，大大咧咧走街串巷唱，已经不是“爱”，是吆喝。 有一次，内蒙广播合唱团在中山音乐堂演出。起初，他们不知观众是什么人，反正是人和在的人，唱。第一 首歌、第二首歌，观众还安静，响着高雅艺术场所应有的节制的掌声。从第三首歌开始，场上哗动，或说骚乱，人们站起来高喊点歌，有人拥到台前观看。艺术家有些慌乱，当他们听到众人齐声合唱，看到台下的人一边唱一边擦眼泪的时候，才明白： ——他们是到内蒙古插队的知青。 知青听到《孤独的白驼羔》，听到《陶爱格》和《达古拉》回到耳边，终于坐不住了。他们的嗓子不归自己管了，加入合唱。人审美，其实是回头看自己的命运。对他们来说，辽阔的草原、冬夜、茫茫雪地、马群、干牛粪炊烟的气味、蒙古语、房东妈妈，都在歌声中次第出现，没有一样 遗落。是什么让他们泪水难当？是他们的青春。青春贯穿其中，他们为自己偷洒一滴泪。 演出结束，知青们冲到后台，不让演员走，掣他们胳膊请吃饭。后来，大家到一处宽敞的饭店唱了一夜。 在成陵边上，我们喝完奶茶从屋里出来，同行的张新化请一位牵马的蒙古老太太唱歌。她不 唱，说“你们骑马吧。” 新化说，“我们不骑马，听你唱也给钱。” 她说：“不行。”不骑马，光唱歌就收人家钱，那不行。 我们说，你牵马走，我们在后边跟着你走，听你唱歌。老太太不同意，不骑马怎么收你钱？结果是，我们骑上马，白发苍苍的老太太牵马在前面走。年龄像我 母亲一样的老太太，在沙土地上牵马行走，唱：“西北方向升起黑云，是不是要下雨了？我心里像打鼓一样不安稳，是不是达古拉要和我离分？” 马走着，宽大的腹肋在我腿间挪移，不得劲儿。老太太边唱边议论“苦啊，真苦。”我以为她说嘴里味道，后知说歌词。她说：“亲人离开 亲人，多苦啊！” 苦啊。我们骑着马走了一大圈儿。老太太的歌声在沙土地上，在灌木和干涸的河道上面环绕。她声音不亮，岁数大，呼吸不行了，却是原汁原味。一只小狗在马前跑，离马蹄子不远停下，再跑，我担心马踩着它。它停下必抬头看我一眼，不知道在看什么。 财富离幸福 有多远？ 贫穷离幸福很远，财富离幸福仍然很远。臻此，前者需要机遇及韧力，藉外力者多。后者则需要仰仗心灵的纯洁和情操的醇厚，靠内力实现。 ? （一） ? 赚钱以及把钱花出去所获得的，有时只是一种方便，而非幸福。 ? 譬如买车与备手机，好处是把一个人很快地从甲地运到 乙地及至庚地辛地，还能及时和很多人谈话。简言之，可以多办事，但不一定和幸福有关。坐车幸福吗？如果不论效率，与在家里坐沙发无甚差别。打手机更谈不上幸福，它不是抽烟与吃饺子。虽然有人站在马路上欣欣然以手机通话，仿佛幸福。 有人不想多办事，也不想到哪儿去 以及跟别人谈话，这样会妨碍他们宁静（实际是幸福）的生活，不如书与琴棋有用。毛主席做了许多事情，但必定不是拼命打手机及开车游走所成，乾坤在手岂不比爱立信在手更好？就是羊毫在手糖块在手及至小人书在手也比方向盘在手更愉快安全。因为前者是享受，后者是劳役或伪享 受，与幸福无关。 （二） 人有时不知道自己到底要什么。 如果把一个人的消费愿望摊开，广告引导占三成，如名牌之类；模仿他人占三成，譬如对中产阶级生活方式自觉不自觉的模仿；还有三成是实践童年以及青少年时期未遂之愿，在此，潜意识发生作用；人本能的满足只 占一成，饮食男女而已。 于是，日日杯觥交错并不幸福，因为广告引导与追随潮流所满足的只是转瞬即逝的虚荣心，明他已经成了某种人，譬如富人，明完了也就完了，无它。而满足童年的愿望属于今天多吃几个包子填充往年某日的饥饿，满足的只是一种幻像。而本能的满足，只 需一箪食、一瓢饮、一位贤惠的女人和一张竹榻。 但人们不甘心于简朴，虽然简朴离真理近而离虚荣远。人用力明自己是重要的，于是以十分的努力去满足一分的愿望，然而这与幸福无关。 （三） ? 如果有钱并有闲，想从食色层面提升并扩展自己的幸福，需要文化的介入。尼采 说：“我发现了一种幸福——歌剧！”对与古典音乐无缘的人，歌剧则不是幸福，你无法领受《图兰朵》中“今夜无人入睡”带来视听圣餐。明仁天皇迷恋海洋微生物，丘吉尔迷恋油画，爱因斯坦迷恋小提琴，是大幸福，也是文化上的幸福。他们也是有钱的人，但倘无文化也只能蹈入口 腹餍之途。 ? 一些有钱人易烦恼，因为他们的消费与性格有关，与文化无关；与面子有关，与愉快无关；与时尚有关，与需要无关。 （四） ? 不久前，我假道太行山区远游，见到那里的农人希望到年底能添一头驴或牛，以帮助运输或种地。到了县城，酒桌上争就当科长或两室一厅的 住房。在，听朋友交流打高尔夫球的体会。而到了深圳，几位巨富比较各自的健康状况，甘油三脂，高密度脂蛋白胆固醇（HDL），后者在每公升血液中多一毫克，心肌梗塞的发生率会下降3%。 ? 我想到，太行山农人的甘油三脂和HDL一定最让深圳的富豪倾心。这样，又想起海因里 希·伯尔那篇一个渔夫在海边晒太阳，有游客劝他工作等等的小说。人的努力常常会使目标回到原地，换句话说，人也许不知道自己的幸福在哪里。 有时，人只为温饱而工作，没有办法去为幸福而谋划，因为谋划的结果大多是财富或满足，离幸福仍然很远。 ? 其实幸福太简单，简 单到我们承担不了。 （五） ? 为什么穷人离幸福很近？ ? 如同朴素离美很近那样，穷人的愿望低而单纯。人在风雪路上疾走，倘遇暖屋烤火，是一种幸福。把汗湿的鞋垫抻出来，手脚并感炉火的温暖，与封侯何异？这时，倘有一杯热茶与点心，更让人喜出望外。这样的例子太多，如 避雨之乐，推重载之车上坡幸无顶风之乐，在街头捡一张旧报纸读到精妙故事之乐，在快餐店吃饭忽闻老板宣布啤酒免费之乐，走夜路无狼狗尾随之乐。穷人太容易快乐了，因为愿望低，“望外”之喜于是多多。有钱人所以享受不到这些货真价实的幸福，是因为此类幸福需要风雪、推车、 捡报纸以及走夜路这些条件。 ? 穷人的幸福差不多是以温饱不逮为前提的，满足了温饱，幸福却变得悭吝，它的价值又升高了。 ? 除非你有意过一种简单的生活。 （六） 贫穷离幸福很远，财富离幸福仍然很远。臻此，前者需要机遇及韧力，藉外力者多。后者则需要仰仗心灵的纯 洁和情操的醇厚，靠内力实现。 蝴蝶一如梦游人 ? 会飞的生灵里，蝴蝶一如梦游人。它好像不知住哪儿飞，断断续续。鲍罗丁有一首曲子叫《我的生活》，什么样的生活，醉醺醺，有一点混乱，甜蜜忧伤各半，如蝴蝶。 ? 蝴蝶蹁跹，像找丢失的东西。仔细看，它啥东西都没丢，触须、 肚子和翅膀是它的全部家当。它飞，一跳一跳，像人跺脚。也许，它视陆地为海洋，怕浪花打湿衣袂。 ? 蝴蝶有大梦，伏落灌木的时候，其实在工作。梦里飞里，直至被露水凉醒。诺瓦利斯说：“如果在梦中梦见自己做梦，梦就快醒了。”它梦见城市的水泥地面长满卷心菜和十字花科 椰菜，楼顶冒出清泉，空气变好了。蝴蝶对空气很挑剔，它的肺太纤弱。蝴蝶梦到月亮跟太阳商量，替值一个白班。月色昼夜相连，雾一般的蝴蝶弥漫城市上空，如玉色的落叶，却无声息。 人愿把蝴蝶想象为女性，正如可以把鸟类想象为男性。鸟儿高飞，一如士兵。蝴蝶一生都在草地 灌木中。蝴蝶假如不怯生，从敞开的窗飞进人类的家里，那么—— 落在酣睡的孩子的额上，有如天使的祝福。 落书页上，好像字句开出素白的花。 落碗边，仿佛里面装满泉水。 ? ?落鞋上，这双鞋好像刚刚走过长满鲜花的草地。 ? 落于枕旁，人梦见青草像一片流水淹没大地。 ? 蝴蝶落在墙上的竹笛上，笛孔屏息，曲牌在一厢排起了队：平沙落雁、阳关三叠、大起板、鹧鸪飞。 蝴蝶飞过人的房间，看人的床辅、厨房、牙刷和眼镜，缓缓飞出窗外，接着梦游。 春天是做梦的季节，边飞边梦，蝴蝶就像年青人。 黄金不用是废铁 ? 讲个故事吧。 有一个老汉勤 劳致富。他种的粮食，自用之外卖钱，再把钱换成黄金。这些金子放丰一只瓦罐里，摆在屋檐下面。老汉累的时候，或者需要娱乐的时候，背着手看这些金锭，它们闪闪发光，像歌颂老汉的不凡。 当然，喜欢黄金的人并不只老汉一个人，别人也喜欢。别人不想经历种粮食、卖粮食、换 钱再买黄金这么复杂的历程，把老汉的偷走了。 黄金没了，老汉就哭。他没想到别人用偷的方法积累黄金。他觉得自己的粮食啊，汗水啊，青春啊，特别是黄金，都让这个人偷走了。悲声惊动了邻居，大伙儿围成一圈儿，听老汉哭。 ? 一位邻居说：这些黄金你用过吗？用的意思是打 个戒指，或者换一头小毛驴替代劳动，也包括送给别人施善。 老汉说：没有。 邻居说：没用过，你哭什么？ ? 老汉说什么话？没用过就不疼吗？没用过就没有价值吗？ ? ?邻居说：嗨，没用过的东西就跟没有东西是一样的。黄金对你来说，用处只在看。别哭啦，你可以看其他的东 西，比如花、比如天空的云彩。还有，你拿几块镀金的元宝放在罐子里，不也好看吗？ 老汉止住了哭泣。他不赞成邻居的话，但这一番话让他无法反驳，只好认为自己不曾有过黄金，别人也未曾偷走它。 故事就是这样，不一定真正发生过，但有一点儿趣味。一个有才能的人不运用才 能，就贫穷如老汉，
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人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课)
班级 姓名 自我学习评价 :优 良 还需努力
【学习目标】 1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题；
2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法 。
【学习重点】 灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。
【学习过程】
一、学习准备（知识准备） 请独立完成下列填空：
1．椭圆的第一定义为： ；其中的两点为椭圆的 ；常数等于椭圆的 ；
2． 椭圆第二定义：若平面内的动点M （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离和它到定直线:l c
a x 2
=的距离的比
是常数a c
，则点M 的轨迹为 ；定直线l 叫做 ，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有 条.
常数 a
c
e =，（ <<e ）是 的离心率。
e →1时，椭圆趋于 ；e →0时，椭圆趋向于 。
3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。
设),(00y x P 为椭圆上任意一点，对于标准方程
1
2
2
2
2
a
=+
b
y x 的
焦半径=1PF ；=2PF ；对于标准方程
1
x y 2
2
2
2
a
=+
b
的焦半径=1PF ；=2PF .
椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！ ●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。
1、椭圆
125
92
2=+y x 的准线方程是（ ）A.425±=x ； B.516±=y ； C.516±=x ； D.425±=y 2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为45，离心率为32，则短轴长为（ ）A 2
5
B 5 C.52 D.54
3 设点P 为椭圆
136
10022
=+y x 上一点，P 到左准线的距离为10，则P 到右准线的距离为（ ） A . 6 ； B .8 ； C.10 ； D.15
4 已知点A （23，y ）是椭圆112
162
2=+y x 上的点，F 是其右焦点，则∣AF ∣= ； 5．椭圆14922=+y x 与椭圆λλ（=+4
92
2y x 〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你能否快速求出与椭圆
14
92
2=+y x 有相同的离心率且经过点（3，2）的椭圆的方程？ 其方程为 你是用什么方法求解的？ 。
二、典型例析
【探究一】利用椭圆第二定义解题
例1：已知椭圆
15
92
2=+y x 内有一点)1,1(-A ，2F 为椭圆的右焦点，在椭圆上找一点P ,使得223PF PA +取得最小值，求最小值和点P 的坐标。
（提示：。
）可给于一定的提示！
●想一想：解决此类问题的关键是 。
在解决问题中，你认为椭圆的第一定义和第二定义各自的功能是什么？ ●扩展引申：你能不能求出2PF PA +的最大和最小值？（课后探究，分小组研究解决方案）
●变式训练：椭圆19252
2=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，则点P 到右焦点的距离为 例2;在椭圆
19
252
2=+y x 上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的2倍。
●变式训练：如图所示，已知椭圆
14
3
2
2
=+
y
x
，试问能否在x 轴下方的椭圆弧上找到一点M ，使M 到下准线的距
离MN 是M 到两焦点2,1F F 的距离的比例中项，若能找到，求出此点坐标；若不能找到，需说明理由。
【探究二】 利用椭圆第二定义及性质求椭圆的标准方程
例3:已知A,B 是椭圆19252222=+a
y a x 上的两点，2
F 是右焦点，若a BF AF 5822=+，AB 的中点P 到左准线间的距离为2
3
，求椭圆的标准方程。
●闯关训练：如图所示，已知P 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点，,,21F F 为两焦点，且P F P F 21⊥,若P 到
两准线的距离分别为6和12，求此椭圆方程。
三【学后反思】1、这节课你主要解决了哪些问题？2、运用了哪些数学思想和方法？
四、后课作业（略）、
几点意见：
本节课建议应紧密围绕椭圆的第二定义及性质的运用进行编选例题和练习题。
例题三个足够了，加上前的基础练习和各个例题的变式练习，课堂容量还是比较大的。
为了节省时间，在上课前几分钟小组互评检查时就可以把学生讲解的内容分配给各组，并叫各组把解答的习题写在黑板上，上课时学生在讲解后要注意加强对学生讲解的内容引导学生互评，教师要进行好点评讲解，帮助学生揭示出知识内在的联系和解题的规律，提高学生的解题能力，帮助学生及解和掌握数形结合与分类讨论的数学思想方法，提高学生的思维品质。
例题和练习题的设计要紧紧围绕目标，循序渐进的展开，例子要具有典型性和代表性，并且几个例子之间要相互协调构成一个利用椭圆第二定义及性质解题的整体结构。
通过本节课的学习，使学生形成利用椭圆第二定义解题的整体解题认知结构，掌握利用椭圆第二定义解题的方法和规律，提高综合运用第二定义解题的能力。