7.Hamilton力学(中科大朱界杰)

合集下载

力学概论

力学概论
6
亥姆霍兹
亥姆霍兹说：“一切自然科学的最后目的，是把自己变成力学。”“只要把自然现象归结为简单的力这件事完成了，并证明了自然现象只能这样来归结，那么科学的任务将就此终结了。”
Hermann von Helmholtz 1821－1894
力学概论
7
19世纪末英国科学家开尔 Lord Kelvin 文说：“我的目标就是要证 (William Thomson) 明，如何建造一个力学模型， 1824－1907 这个模型在我们所思考的无论什么物理现象中，都将满足所要求的条件。在我没有给一种事物建立起一个力学模型之前，我是永远也不会满足的。如果我能够成功地建立起一个模型，我就能理解它，否则我就不能理解。”
力学概论 33

托勒密的观察很精细，而且制造过不少好的天文仪器，他发现了天球北极的易位，即岁差现象。他还发现了星球在近地平线时的快速升高，即光折射的影响。托勒密的系统是：地球处于天球的中心；各行星与日、月绕地球作等速圆周运动，而且还进行沿着绕自己平均位置为中心的小圆（本轮）作等速运动。对行星的轨道圆来说，地球的位置是偏心的；星空是一个以地球为中心的 24 小时旋转一周的球体。
力学概论 40
哥白尼自画像
力学概论 41
力学概论
42

哥白尼在30岁时回到波兰，那时他舅父在一个大教堂里当教士，他也就在舅父的教堂里当一名博学教士。此后他就一直在那里工作到去世。在教堂里，他的任务是记帐、看病等教堂事务，在余下的时间就去思考他的宇宙模式。 1512年，他的舅父去世了，他继续在那里工作，并且在教堂附近的平台上安装了一些简陋的天文仪器，以供他观察之用。哥白尼最大的贡献是他积数十年如一日撰写的著作《天体运行论》，这本书提出了日心说，从而结束了一千多年的地心说的统治。

材料力学中的名人

上述缺陷，包括光干涉测量法、光导热塑全息
照相法、数字散斑面内相关法(DSCM)等。
罗伯特·胡克Robert Hooke
英国物理学家、天文学家。1635年7月18
日生于威特岛的弗雷施瓦特。1662年起
直到逝世一直担任皇家学会实验管理员。
1663年胡克获得了牛津大学文学学士学
位，并被选为皇家学会会员。1665年胡
理问题，并由此得到数学上的发现。他对
积分理论、行星运动理论、热物理、弹性
理论、电磁理论、位势理论和概率论都有
重要贡献。
材料力学方面的贡献
泊松比(Poisson ratio)：材料在单向受拉或受
压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的
比值。
• 泊松比µ作为基本的弹性常数，可以由体积
模量K和剪切模量G的比值来确定，满足如下
细胞。用自己制造的显微镜观察植物组织，
于1665年发现了植物细胞（实际上看到的是
细胞壁），并命名为“cell”，至今仍被使用。
光学贡献
在光学方面，胡克是光的波动说的支持
者。1655年，胡克提出了光的波动说，他认
为光的传播与水波的传播相似。1672年胡克
进一步提出了光波是横波的概念。在光学研
究中，胡克更主要的工作是进行了大量的光
导出弹性体的运动方程,发现在弹性介质中可
以传播纵波和横波,并且从理论上推演出各向
同性弹性杆在受到纵向拉伸时，横向收缩应
变与纵向伸长应变之比是一常数，其值为四
分之一。
常用材料弹性模量&泊松比
泊松比的测试方法
1.1 机械方法
运用机械方法测定材料泊松比一般属于接触式测量。
弹性泊松比的测试已经标准化。ASTM规定采用两对引

4.部分习题参考答案(中科大朱界杰)

第四章部分习题参考答案
1．抛物运动
作用量为
��
=
��
∫
0
1 {2
��(��̇ 2
+
��̇ 2)
−
��}
��
=
��
∫
0
��
1 {(2
��
+
2
��)
+
1 (2
Hale Waihona Puke ��
+∫
��1
{�� + �� } ��
��2 ��
��
��
��
∫
0
1 2
��[��(��,
��)]2��
��
+
��2
∫
��1
1 2
��[��(��,
��)]2��
��(��⃗��),
��⃗��(��⃗��),
��)��
��1
��1
��2 ��

时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整系统的Noether理论

时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整系统的Noether理论祖启航;朱建青;宋传静【摘要】研究了时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether 理论.首先,基于Hamilton原理,建立了时间尺度上非Chetaev型非完整力学系统的Hamilton方程;其次,根据时间尺度上Hamilton作用量在无限小变换下的广义准不变量,得到了时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether 等式和守恒量;最后,举例说明结果的应用.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(051)001【总页数】5页(P23-27)【关键词】时间尺度;相空间;非完整系统;Noether等式;守恒量【作者】祖启航;朱建青;宋传静【作者单位】苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009;苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009;南京理工大学理学院,江苏南京210094【正文语种】中文【中图分类】O3161988年德国学者Hilger在他的博士论文[1]中提出测度链上的微积分理论，其主要思想就是把连续和离散进行统一[2-3].时间尺度作为测度链的一种特殊形式，非常具有代表性.目前，时间尺度在动态方程、变分原理、最优控制和经济等相关领域都得到了广泛的应用[4-11]．近年来，国内外学者对时间尺度上力学系统的变分问题及其对称性与守恒量进行了研究.Bohner研究了时间尺度上Lagrange方程表达形式及变分问题[12]，Barosiewicz等研究了时间尺度上Lagrange系统的Noether理论[13]，Cai等研究了时间尺度上非保守和非完整力学系统的Noether理论[14]，Song和Zhang建立了时间尺度上Birkhoff方程，给出了Birkhoff系统的Noether等式与守恒量[15].本文基于时间尺度上Hamilton原理，建立了时间尺度上非Chetaev型非完整力学系统的Hamilton方程.根据Hamilton作用量在无限小变换下的准不变量，得到了系统的Noether定理．时间尺度上的微积分理论可参阅文献[6]．假设力学系统的位形由n个广义坐标来确定，其运动受时间尺度上g个双面理想非Chetaev型非完整约束非完整约束(1)加在虚位移上的限制条件为时间尺度上Lagrange函数为则有时间尺度上Lagrange非完整力学系统的微分方程[14]其中,为非势广义力，λβ是约束乘子.假设系统非奇异，即对约束条件(1)求Δ导数，并将方程(4)显示形式表示出来[7],.由(6)式解得代入(7)式，则可解出约束乘子λβ作为t，qσ，qΔ的函数.方程(4)可表示为其中，引进时间尺度上广义动量和Hamilton函数[9]于是在正则变量p，qσ下，(1)、(2)和(9)式变为时间尺度上非保守力学系统的Hamilton原理为其中,，满足以下交换关系和端点条件将(13)式两边同时乘以，代入(15)式，可得对(11)式两边关于广义动量求偏导数，得到将(19)式代入(18)式，根据Dubois-Reymond定理[12]，可得对(20)式求Δ导数，可得方程(19)和(21)称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的运动方程.由(14)式，方程(19)和(21)可进一步表示为称方程(22)为与时间尺度上相空间中非完整系统(12)，(19)和(21)相应时间尺度上相空间中完整系统的运动方程．首先，考虑只含有qs，ps变分的情况.相空间中Hamilton作用量表示为定义1称作用量(23)式在变换下为广义准对称不变量，当且仅当对任意区间[ta，tb]⊆[t1，t2],有，其中，ε为无限小参数，ξs和ηs为无限小变换的生成函数，为全变分，为规范函数并且有G=εG．定理1如果作用量(23)式是变换(24)式下的广义准对称不变量，对所有，那么.证明由定义1，方程(25)在任意区间[ta，tb]⊆[t1，t2]上均成立，则(25)式等价于，对(27)式两边同时关于ε求偏导数并令ε=0，则可以得到(26)式．定理2如果作用量I是定义1下的广义准对称不变量，那么系统的守恒量为证明由(22)和(26)式，可得于是得到(28)式.下面将讨论含时间t的无限小变换下的广义准对称不变量．令U是右稠连续可微函数和的集合.对任意qs，ps∈U和ε，映射∈是右稠连续的，而且它是在新的时间尺度上带有前跳算子σ*和导数Δ*的一个象.同时有交换关系[6]:定义2如果作用量I是变换(30)式下的广义准对称不变量，当且仅当对任意的区间[ta，tb]⊆[t1，t2].t.定理3如果作用量I是变换(30)式下的广义准对称不变量，那么.证明由定义2，可得，由于区间[ta，tb]是[t1，t2]的任意子区间，所以有，对(34)式两边同时关于ε求偏导数并令ε=0，则可得等式(32)．(32)式就称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether等式．定理4如果作用量I是定义2下的广义准对称不变量，那么系统的守恒量为证明令，当时，则根据等式(33)有，t.由于=t，则有，).由定义1可知，泛函是在={}上的无限小变换的准不变量.因此当=t，由定理2可得.又因为，其中，∂1H表示对函数H中第一个变量求偏导数.将(41)、(42)式代入(40)式，则可得(35)式．定理4称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整系统的广义Noether定理，根据这个定理可由已知的广义准对称不变量得到系统的守恒量．定义时间尺度，假设系统的Lagrange函数为所受的非完整约束为该约束为非Chetaev型的，虚位移满足根据(10)式和(11)式，有广义动量和Hamilton函数，将Hamilton函数代入(21)式，则有由(44)，(46)和(47)式，求得于是有根据(32)式和(2)式，可得对(50)和(51)式进行求解所以根据定理4，可得到守恒量时间尺度将离散和连续进行了统一，研究时间尺度在分析力学的应用并寻求相应的守恒量.本文通过时间尺度上Hamilton原理，建立时间尺度上非Chetaev型非完整Hamilton方程.定义了时间尺度上相空间中的广义准不变量，得到系统的Noether等式和守恒量.本文结果具有普遍性，当约束条件时，结论可退化为时间尺度上相空间中Chetaev型非完整力学系统的Noether的理论.同时，可进一步拓展到时间尺度最优控制，约束Birkhoff力学系统等．致谢：作者对张毅教授的悉心指导深表感谢!【相关文献】[1] HILGER S. Ein maβkettenkalkul mit anwendung auf zentrumsmannigfaltigkeiten[D]. Wurzburg:Universität Wurzburg， 1988．[2] HILGER S. Analysis on measure chains-a unified approach to continuous and discrete calculus[J]. Results Math， 1990， 18(1-2):18-56．[3] HILGER S. Differential and difference calculus-unified[J]. Nonlinear Anal， 1997，30(5):2683-2694．[4] AGARWAL R P， BOHNER M. Basic calculus on time scales and some of its applications[J]. Results Math， 1999， 35(1-2):3-22．[5] AGARWAL R P， BOHNER M， PETERSON A. Inequalities on time scales: a survey [J]. J Math Inequ Appl， 2001， 4(4):535-557．[6] BOHNER M， PETERSON A. Dynamic equations on time scales， An Introduction with applications[M]. Boston: Birkhäuser， 2001．[7] BOHNER M， GUSEINOV G SH. Partial differentiation on time scales[J]. Dyn Syst Appl，2004， 13(3): 351-379．[8] ATICI F M， BILES D C， LEBEDINSKY A. An application of time scales to economics[J]. Math Comput Model， 2006， 43(7-8): 718-726．[9] AHLBRANDDT C D， BOHNER M， RIEDNHOUR J. Hamiltonian systems on time scales[J]. J Math Appl Anal， 2000， 250(2): 561-578．[10] HILSCHER R， ZEIDAN V. Weak maximum principle and accessory problem for control problems on time scales[J]. Nonlinear Anal， 2009， 70(9):3209-3226．[11] HILSCHER R， ZEIDAN V. Calculus of variations on time scales: Weak local piecewise solutions with variable endpoints[J]. J. Math Anal Appl， 2004， 289(1):143-166．[12] BOHNER M. Calculus of variations on time scales[J]. Dyn Syst Appl， 2004，13(12):339-349．[13] BARTOSIEWICZ Z， TORRES D F M. Noether theorem on time scales[J]. J Math Anal Appl， 2007， 342(2): 1220-1226．[14] CAI P P， FU J L， GUO Y X. Noether symmetries of the nonconservative and nonholonomic system on time scales[J]. Sci China: Phys Mech Astron， 2013，56(5):1017-1028．[15] SONG C J， ZHANG Y. Noether theorem for Birkhoffian systems on time scales[J]. J Math Phys， 2015， 56(10): 102701(1-7)．。

中科大林子靖高等量子力学课件2013

4）关于学习本高量课程的基本建议
• 物理-自然的科学-研究物质运动最一般的规律及物质的基本结构的学科 • 量子力学：反映微观世界中物质运动规律性的理论；介观和宏观物质体系性质与现象的基础 • 物质世界的基本规律通过数学理论表述：数学形式/物理解释 • Paradox/interpretation • Richard Feynman: “A paradox is only a confusion in our own understanding.” 实用性原则： • 学习量子力学的数学理论基础与应用，不为“非本征” 解释带来的哲学困惑所干扰
3）实践是重大物理发现的源泉
• 经典物理、相对论、量子力学
量子力学的发展对人类的物质文明有巨大贡献：宏观现象与性质有其微观起源 • 物质的宏观形态的性质及化学基本结构与现象的基础众多的技术应用与进步对哲学思想影响深刻而长远
• Jordan & Wigner对所有场进行量子化的方法：真空不空 • 客观实在与否：认知的主观性（测量的作用） • 理论完备性（纠缠态非局域性/隐变量） • 现象新奇性（“非波非粒，亦波亦粒”）（相对论对时空观、宇宙学影响重大，理论思想得到广泛接受）
教材
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised edition, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, 1994 (Editor: San Fu TUAN); ISBN: 0-201-53929-2
• de Broglie波提供了适用于所有物理基本单元的新原理：将世界看做由多场而非多点粒子作用组成而使所有物理得到统一（量子场论/粒子物理）（一种消除电磁力与其所作用粒子区分的二象性） • 直接启发了薛定谔波方程，也比海森堡思想自洽

中科大力学课件

中科大力学课件一、教学内容本节课的教学内容出自中科大力学课件，主要涉及力学的基本概念、牛顿三定律、能量守恒定律等。

具体内容包括：1. 力学基本概念：力、质量、速度、加速度等；2. 牛顿三定律：第一定律（惯性定律）、第二定律（加速度定律）、第三定律（作用与反作用定律）；3. 能量守恒定律：动能、势能、机械能的转化与守恒。

二、教学目标1. 使学生掌握力学基本概念，理解牛顿三定律和能量守恒定律；2. 培养学生运用力学知识解决实际问题的能力；3. 增强学生对科学的兴趣，提高学生的科学素养。

三、教学难点与重点重点：力学基本概念、牛顿三定律、能量守恒定律；难点：牛顿第二定律的应用，能量守恒定律在实际问题中的运用。

四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔；学具：笔记本、文具。

五、教学过程1. 实践情景引入：讲解力的作用，如拉力、压力、摩擦力等，让学生感受力学在生活中的应用；2. 讲解力学基本概念，如力、质量、速度、加速度等，并结合实例进行解释；3. 阐述牛顿三定律，通过示例和练习使学生理解并掌握定律内容；4. 讲解能量守恒定律，引导学生理解动能、势能、机械能的转化与守恒；5. 针对教学难点，通过例题讲解和随堂练习，帮助学生掌握牛顿第二定律的应用和能量守恒定律在实际问题中的运用；6. 课堂互动：提问学生对力学知识的理解和应用，鼓励学生发表自己的观点和看法；六、板书设计板书内容主要包括：力学基本概念、牛顿三定律、能量守恒定律。

板书设计要求简洁明了，重点突出，方便学生理解和记忆。

七、作业设计作业题目：1. 解释力、质量、速度、加速度等力学基本概念，并结合实例进行说明；2. 运用牛顿三定律，分析并解答实际问题；答案：1. 力是物体之间相互作用的结果，质量是物体所具有的惯性大小，速度是物体在单位时间内移动的距离，加速度是物体速度变化的快慢；2. 实例：一个物体在水平面上受到一个恒定的力作用，根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比；3. 实例：一个物体从高处自由落下，重力势能转化为动能，根据能量守恒定律，重力势能的减少等于动能的增加。

高等流体力学1混沌-4

清华大学研究生课程
第一章流体中的混沌（4）
朱克勤彭杰
航天航空学院
2010年春季学期
2010-3-24
1
1.5 ABC 流和Lagrangian混沌
1.5.1 螺旋度密度 (Helicity density)
螺旋度(Moffatt 1969)
H
(t
)
=
G
∫∫∫V
⋅ωGdΩ
其中螺旋度密度场
h
(
G r,
速度分布代入Euler方程
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪
u u
∂u
∂x ∂v
∂x
+ +
v v
∂u
∂y ∂v
∂y
+ +
w w
∂u
∂z ∂v
∂z
= =
− −
1
ρ
1
ρ
∂p
∂x ∂p
∂y
2010-3-24
⎪⎪⎩u
∂w ∂x
+
v
∂w ∂y
+
w ∂w ∂z
=
−
1
ρ
∂p ∂z
8
得到
⎧ ⎪ ⎪
∂p ∂x
=
ρ
(BC
sin
y
⎝ 2 5 ⎠ ⎝ 2 5⎠
Z Z
2
1.5
z1
0.5
0 0
1 4
2 3
0.5
y1 Y
1.5
0
0.5
x1
1.5
2
2
X X
2
1.5
z1
5 6
8 7
0.5
0
0
0.5

2024年中科大理论力学课后习题答案

注意事项
在使用课后习题答案时，学生需要注意以下几点：一是不要完全依赖答案，要注重自己的思考和总结；二是要注意答案的适用范围和条件，避免盲目套用；三是要及时反馈和纠正答案中的错误或不足之处。
2024/2/29
6
02 质点与刚体运动学
2024/2/29
7
质点运动学基本概念
质点的定义
质点是一个理想化的物理模型，忽略物体的形状和大小，只考虑其质量。
2024/2/29
02
答案
根据牛顿第二定律，合外力$F_{ 合}=ma$，则合外力做的功 $W_{合}=F_{合}l=mal$，其中 $l=v_{0}t+frac{1}{2}at^{2}$为物体在t时间内的位移。功率 $P_{合}=F_{合}v=mav$，其中 v为物体在t时刻的瞬时速度， $v=v_{0}+at$。
15
实际应用举例及拓展
2024/2/29
01
应用一
汽车行驶过程中的动力学分析。汽车行驶时受到发动机的动力、地面的
摩擦力和空气阻力等作用，通过动力学分析可以优化汽车的设计和行驶
性能。
02
应用二
航空航天领域的动力学问题。航空航天领域涉及大量的动力学问题，如
火箭发射、卫星轨道计算等，需要运用动力学原理进行精确分析和计算
03 题目2
一轻绳跨过定滑轮，两端分别系有质量为m1和m2的物体，且 m1>m2，开始时两物体均静止，当剪断轻绳后，求两物体的加速度和速度变化。
25
04
答案
剪断轻绳后，两物体均做自由落体运动，加速度均为g。由于两物体初始时刻均静止，因此速度变化量相同，即$Delta v=gt$，其中t为物体下落的时间。

中国科技大学力学课件05动能定理

依能量守恒原理摆锤能够上升的高度与上升机制无关，即与上升路径无关。但动能一定等于初始自由下摆时的重力势能。为写出动能的形式，假如以最低点处同一速度竖直向上抛出这个物体，达同样高度，依运动学公式有关
系式。所以这个动能 Ek 可写为：
Ek
=
1 2
mv 2
动能
当然，物体因运动具有能量与物体是否处于重力场中无关。只要物体运动，均有动能。顺便指出，重力势能（重量与高度的乘积）的表达式 mgh 和动能表达式 mv2/2 都是近似公式。前者在高度很大时不正确，因为假定了重力为常量；后者在高速运动时要给予相对论性修正，因为假定了质量 m 是绝对量。然而，当考虑了这些因素，给出精确表达式后，能量守恒定律仍然正确。
重力势能
我们把各种机械装置分成可逆的和不可逆的两种。
所谓可逆装置，就是它既能够以重物 m 的高度降低 h 为代价，把重物 M 提升一个高度 h/，又能够以重物 M 的高度降低 h/ 为代价，把重物 m 提升一个高度 h。
我们说，理想的无摩擦装置是可逆的。显然，“可逆”和“不可逆”的概念可以推广到任何装置。
弹性势能和其它能量形式
m
dv dt
=
mg
−
k(x
−
x0 )
mvdv = mgdx − k(x − x0 )dx
对从 x = x0 到 x = x0+h 积分，在此过程的两头
速度 v 都等于零，有：
即：
∫ ∫ ∫ m
0
vdv = mg
0
x0+h d x − k
x0
x0 +h x0
(x
−
x0
)dx
mgh = 1 kh2

2.Lagrange力学(中科大) 拉格朗日力学

③伺服系统等控制问题中，非线性非完整约束很普遍；但是这里对速度的约束和对变分的约束，需要根据具体问题而定，一般没有确定的关系，没有必要满足 Chetaev 条件、Vacco 条件或者其它什么事先假定的条件。
关于非线性非完整系统力学，后面不再讨论。感兴趣的同学可以参考专著，例如
《非完整动力学研究》，梅凤翔著，北京工业学院出版社，1987。
虚位移为（Jourdain 变分）
⃗ ⃗ ( ) ⃗ ( ) ( ⃗ ( ) ⃗ ( ))
⃗
注意这里的 ⃗ 不需要是无穷小量， ⃗ 的物理意义也不是速度 ⃗̇ 。
(2) 约束条件完整约束和线性非完整约束对 Jourdain 变分的限制分别为
(⃗ ) ⃗ ⃗̇ 注意到 ⃗ 也是可能位移，可得
⃗⃗ ⃗⃗
《非完整系统的运动方程和力学的变分原理——新一类控制问题》，C. A. 杰格日达, Ш. X. 索尔塔哈诺夫, M. П. 尤士科夫著，北京理工大学出版社，2007。
(6) 例题例单摆垂直平面中运动，用 d’Alembert 原理推导运动方程。
解建立坐标系：以向下为轴，水平为轴。
设绳长为，约束条件是
̇
每一个完整约束减少一个位形自由度，非完整约束减少一个独立变分（即运动自由度）。
非线性非完整约束：力学中没有找到实例。在伺服控制问题中，需分析具体模型。位形的约束条件与变分的约束条件之间，没有固定
的关系。
关于非完整系统的说明*
①线性非完整约束在力学范围内没有歧义，这种约束一般来自滚动问题（以及冰刀）。这时从物
��
�� 可以取摆线与垂直方向的夹角为独立广义坐标，
̇
̇
̇
̇
̈
̈
̇
̈
̈
̇

国家自然科学奖推荐书-中科院力学所

一、提名项目：典型二维材料的力学行为二、提名专家：郑哲敏（国家最高科技奖获得者），中国科学院力学研究所，院士，力学三、提名意见该项目以典型二维材料石墨烯为研究对象，采用连续介质理论方法，结合第一性原理和分子动力学计算，深入系统地研究了二维材料中的典型缺陷、强度特征、关键弯曲参数、断裂失效规律、细胞毒性等力学行为。

首次给出了描述二维材料中典型5-7环晶体缺陷应力场的理论表达式，针对多晶石墨烯中晶界由5-7环构成的特点，给出了晶界角度与石墨烯强度的理论关系；首次给出石墨烯的高斯弯曲刚度系数；揭示了传统格林菲斯断裂理论在10 纳米以下尺度的适用特征；提出石墨烯侵入细胞膜的毒性机理。

这些科学问题的提出与解决促进了固体力学和相关交叉学科的发展，为二维材料的实际应用提供了科学理论引导。

该项目8篇代表性论文发表在固体力学和物理学顶级期刊（Nature Material、Nano Letters、JMPS等），共被Science、Chem. Soc. Rev.、Nature Nanotech.等权威SCI学术刊物他人引用556次，引用者包括国内外院士、相关领域知名学者等。

该项目工作获得了国内外学术科研领域的积极引用和高度认可。

提名该项目为国家自然科学奖二等奖。

四、项目简介该项目针对二维材料微结构和宏观力学行为关联这一科学问题开展研究，以石墨烯等为典型研究对象，通过理论分析并结合第一性原理计算，解析了二维材料中5-7环典型缺陷的应力场，计算给出单层石墨烯的关键弯曲参数，探索了二维材料的断裂失效和晶界方向、裂纹长度的关联机制等，主要科学发现包括以下四个方面。

1）提出二维材料中5-7环缺陷的力学问题并首次给出该类缺陷弹性场的理论解。

正确理解二维多晶材料的力学性能，首先需要解决两个关键问题：（1）构成晶界的典型缺陷5-7环的应力场，（2）多个5-7环组成的晶界对石墨烯强度的影响。

本项目通过连续介质理论分析，并结合原子尺度计算验证，首次给出了二维晶体中基本缺陷5-7环应力场的理论表达式，并导出了典型晶界中5-7环所形成的预应力与晶界角度的理论关系，进而发现石墨烯的强度不仅依赖于晶界角度、缺陷密度，也与缺陷的具体构型密切相关。

hamilton--jacobi 方程

hamilton--jacobi 方程Hamilton-Jacobi方程是经典力学中一种重要的变分原理，可以描述质点在势场中运动的轨迹。

这个方程由外尔在1927年提出，是经典力学的一个基本方程之一，与拉格朗日力学和哈密顿力学一起构成了经典力学的三大流派。

在经典力学中，质点在势场中运动的状态可以用质点的位置以及动量来描述。

在哈密顿力学中，系统的动力学演化由哈密顿函数来描述，而哈密顿函数可以通过广义动量和广义坐标构建得到。

在这个框架下，Hamilton-Jacobi方程可以被看作是一个与哈密顿函数相关的偏微分方程。

Hamilton-Jacobi方程的一般形式可以表示为：H(q_i, \frac{\partial S}{\partial q_i}) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0其中H是系统的哈密顿函数，q_i是广义坐标，S是所谓的作用量。

Hamilton-Jacobi方程的解S可以通过变量分离的方法得到。

对于一个自由粒子来说，作用量可以表示为：S(q_i, t) = -Et + \sum_i p_i q_i其中E是粒子的总能量，p_i是广义动量。

将这个作用量代入Hamilton-Jacobi方程，可以得到一组与时间无关的偏微分方程：H(q_i, \frac{\partial S}{\partial q_i}) + E = 0这个方程可以被看作是Hamilton-Jacobi方程的定态版本，它描述了系统在特定能量下的运动。

在一般情况下，Hamilton-Jacobi方程往往难以直接解析求解。

但是，可以采用一系列近似方法来求解，在实际物理问题中还有很多有效的数值求解方法。

此外，在量子力学中也存在一种相对称的方程，称为Wigner函数方程，与Hamilton-Jacobi方程相对应。

华清明等人在1996年发表的一篇文章中，讨论了关于广义Bertrand系统的Hamilton-Jacobi方程。

经典力学的哈密顿理论精课件

（1）
pr
L r
mr ,
r pr m
p
L
mr 2 ,
p mr 2
（2）
哈密顿函数
H T V (Why ?)
1 2m
(r 2
r 22 ) ( r
)
1 2m
( pr2
p2 r2
) r
于是得正则方程
r
H pr
pr m
p r
H r
p 2 mr 3
r2
m(r r2 )
（径向运动方程）
r
m
（3）
（2）
则哈密顿函数
H
p
•
L
[m
m(
r)]
[1 m 2 2
m
•
(
r)
1 m( 2
r
)2
V
（4）
1
m
2
1
m(
r
)
2
V
2
2
（3）式代入（4）式，得
H
p2
p
•
(
r)
V
2m
正则方程为
H P
p m
(
r)
p
H r
p
V r
（5）（6）
将
p
m
m
r
代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程
r2
（3）
H p
p mr 2
p
H
0
p mr 2 常数（角动量守恒）
（4）
[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。
解：取图7.3所示的转动参考系。粒子的L函数为（参见5.12式）
L

流体力学讲义-中国科技大学

一、动网格方法 1. ALE 方法及其在直行波壁与圆柱动波浪壁流动控制中的应用； 2. ZETA 程序及其在动波浪壁翼型绕流控制中的应用； 3. 有限体积动网格方法及其在动波浪壁圆柱绕流控制、最优智能物面流动控制和摆动波浪板最优摆动规律研究中的应用； 4. 有限元动网格方法及其在颗粒流直接数值模拟中的应用；
surface, J. Fluid Mech., 2007, 574:365-391. 18.Wu, C. J., Wang, M. & Wang L., Large-eddy simulation of formation of three-
dimensional aeolian sand ripples in a turbulent field, Science in China(G)， 2008, 51(8):945-960. 19.张淑君; 吴锤结, 气泡之间相互作用的数值模拟, 《水动力学研究与进展》（A 辑）, 2008 年 06 期. 20.关晖; 吴锤结; 涂善东, Y 形冲击射流微混合器流场结构和分割强度的数值模拟, 《华东理工大学学报》(自然科学版), 2008 年 03 期. 21.王亮; 王明; 吴锤结, 涡量控制对自主推进俯仰振荡翼型推进效率的影响, 《河海大学学报》(自然科学版), 2008 年 03 期. 22.李霞, 吴锤结, 孙芦忠, 不同底坡有流流场中单个气泡运动的三维数值模拟，《解放军理工大学学报》（自然科学版），2009，10(3):290-296. 23.吴锤结；陈剑, 沙漠地貌演化过程的湍流大涡模拟研究,《计算力学学报》, 2009, 26(3):358-363(368). 24.Wu, C. J. & Wang, L., Numerical simulations of self-propelled swimming of 3D bionic fish school, Science in China(E), 2009, 52(3):658-669. 25.Wu, C. J. & Wang, L., Adaptive Optimal Control of the Flapping Rule of a Fixed Flapping Plate, Advances in Applied Mathematics and Mechanics, 2009, 1(3):402-414. 26.Wu, C. J. & Wang, L., Where is the rudder of a fish?-The mechanism of swimming and control of self-propelled fish school, Acta Mechanica Sinica, 26(1):(2010) 45-65. 27.张淑君; 吴锤结，气泡群动力特性模拟分析，《河海大学学报》(自然科学版)，2010 年 02 期. 28.WANG, Liang & Wu, C. J., An adaptive version of ghost-cell immersed boundary method for incompressible flows with complex stationary and moving boundaries, Science in China(G), 2010，53(5):1-10. 29.王亮, 吴锤结, “槽道效应”在鱼群游动中的节能机制研究, 《力学学报》，2010（已录用，正在出版）.

力学牛顿力学哈密尔顿力学拉格朗日力学量子力学-概述说明以及解释

力学牛顿力学哈密尔顿力学拉格朗日力学量子力学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对整篇文章的主题进行简要介绍，为读者提供背景信息和基本了解。

以下是一个可能的概述部分的内容:引言:力学是自然科学中研究物体运动规律的一个重要分支。

它涉及到如何描述、分析和预测物体在受力作用下的运动状态。

牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学是力学领域的几个重要理论体系，它们对于我们理解和解释物质世界中的运动现象具有重要意义。

牛顿力学是经典力学的基础，由伊萨克·牛顿在17世纪提出。

它通过牛顿三定律和牛顿运动定律，描述了宏观物体受力运动的规律，并对大多数日常物理现象提供了简单而直观的解释。

哈密尔顿力学是经典力学发展的重要阶段，由威廉·哈密尔顿在19世纪提出。

它通过哈密尔顿原理和哈密尔顿方程，以广义坐标和广义动量为描述变量，建立了描述物体运动的一种更为普遍和优雅的数学形式。

拉格朗日力学是另一种重要的经典力学形式，由约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出。

它通过拉格朗日方程和虚功原理，利用拉格朗日函数来描述系统的动力学行为，适用于多体系统和复杂的约束情况。

量子力学是20世纪物理学的重大突破，研究微观领域中的粒子行为。

它提出了波粒二象性和薛定谔方程，对微观粒子的运动和性质进行了深入研究。

量子力学的基本概念和数学形式与经典力学截然不同，为我们理解微观世界的奇特现象提供了新的视角。

本文旨在探讨牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学这四个力学理论的基本原理和应用。

通过对这些理论的比较和分析，我们可以更全面地了解力学在不同尺度和领域中的应用，以及它们对我们对物质世界的理解和探索的贡献。

在结论部分，我们将对力学的发展和未来的展望进行综合总结。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：首先，文章将按照牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学的顺序进行组织。

一类二阶非标准广义力学的正则变换和第一积分

一类二阶非标准广义力学的正则变换和第一积分
朱琳;张毅
【期刊名称】《动力学与控制学报》
【年(卷),期】2024(22)4
【摘要】研究带有指数Lagrange函数的二阶非标准广义力学的正则变换以及关于第一积分的Poisson理论.首先,建立二阶非标准广义力学的Hamilton原理,导出Euler-Lagrange方程,并由Legendre变换定义Hamilton函数,建立正则方程;其次,建立二阶非标准广义力学的正则变换的判别条件,并通过母函数的不同选择给出四种基本形式的正则变换;最后,验证二阶非标准广义力学具有Lie代数结构,建立关于第一积分的Poisson理论.文中通过算例演示结果之应用.
【总页数】7页(P16-22)
【作者】朱琳;张毅
【作者单位】苏州科技大学数学科学学院;苏州科技大学土木工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O316
【相关文献】
1.基于非标准Lagrange函数的动力学系统的广义能量积分与Whittaker降阶法
2.高维增广相空间中广义力学系统的第一积分和积分不变量
3.一类二阶中立型广义Emder-Fowler阻尼方程的振动准则
4.广义余弦函数及一类二阶抽象柯西问题研究
5.一类二阶广义Emden-Fowler型微分方程的振动性
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

科大凝聚态物理复试试卷(回忆版)

中科大凝聚态物理专业复试笔试试卷（回忆版）作者：王0飞一、固体物理部分1．名词解释：1）布洛赫定理2）声子态密度2．二维立方布喇斐点阵如下图：1）画出原胞，基矢，并写e 出基矢的矢量表达式；2）画出倒格子点阵，倒格子基矢，倒格子原胞，并写出倒格子基矢的表达式；3）画出第一布里渊区，并·指出第一布里渊区边界和布拉格衍射的关系。

3．已知紧束缚近似下的能带公式为：n R k i n s at J J k E ∙∑--=e)(0ε（n 为近邻原子）1）写出体心立方晶格的s 能带表达式；2）给出[100]方向的E-k 关系式，并画图；3）求出带顶和带底电子的有效质量。

4．对于掺杂的金属和掺杂的半导体，二者的电阻率随温度的变化是怎样的？请给出二者物理上的解释。

二、大学物理实验部分1．请画出惠斯通电桥侧电阻实验中的电路图，并指出在什么情况下电桥平衡。

如果被测电阻的阻值不能改变，问可以用什么方法测得该电桥的灵敏度。

2．写出下面几个物理实验在改变我们对世界的认识中起到的重大作用（只要写出作用，不用写具体的实验过程）1）卢瑟福等人的α粒子散射实验：2）密立根油滴实验：3）迈克尔逊—莫雷实验：3．在测量氢原子的光谱实验中如何才能区分那些光谱是氢原子发出的，那些是氢分子发出的？三、理论物理部分1．一个刚体是由一个平面S和xoy、yoz、zox三个平面为成的在第一挂限的部分，请给出转动惯量张量的表达式，并写出惯量主轴。

（这个内容在科大出版社杨维弘的《力学》中有关刚体转动的部分有涉及。

原试卷中该平面在xyz轴的截距是给出具体数值的，但我忘掉了，大家自己写个差不多合适的练练吧）2．（量子力学题，有关高等量子力学中的Dirac矩阵和电子自旋波函数，基本可以放弃，我也记不得了．．．．．．）3．对于有N个氧气分子组成的系统，回答下面问题：1）在常温下，该系统的内能，焓，等容和等压热容量各为多少；2）如果温度为几千K，那么该系统的内能，焓，等容和等压热容量又该为多少。

一类整星隔振器的等强度设计方法_张针粒

摘要: 航天发射振动环境幅值大、频带宽, 并带有随机性, 安全系数的提高对航天发射的高可靠性要求意义重大, 尤其对于整星隔振器。针对一类整星隔振器, 首次引入等强度梁理论建立了相应的设计方法。首先, 在总结分析了国内外相关典型整星隔振器结构特点的基础上 , 建立了对应于这类隔振器的超静定组合梁模型。然后, 基于小变形假设、莫尔定理及等强度梁理论, 建立了联系隔振器结构参数与性能参数的等强度力学模型, 并推导了迭代设计方法。等强度设计方法能够由结构参数直接预测性能参数, 并且可按需要的安全系数设计具有等强度特性的整星隔振器。最后, 设计了示例非等强度与等强度隔振器, 分析表明所提方法可使隔振器支架应力分布均匀性显著改善, 安全系数明显提高。
isolato r
注意到梁模型的对称性, 可以只研究其四分之一模型, 如图 5 所示。
图 2 CSA Soft Ride 系列 M ultiF lex 型整星隔振器 F ig . 2 CSA SoftR ide series of M ult iFlex w hole-
spacecraft isolato r
1 整星隔振器超静定组合梁模型
首先, 为便于表述, 隔振器的长度、高度、宽度方向分别定义为坐标轴x , y 和z 向, 如图1～3 中所示。分析这类典型整星隔振器, 可知它们的结构都非常相似, 其特点如下:
的隔振器金属支架所决定; ( 3) 单向整星隔振器阻尼特性主要由粘附在金
属支架水平部分( x 向) 的约束阻尼层所决定; ( 4) 为便于加工, 隔振器支架在平行于 x -y 平面
本文针对一类整星隔振器, 首次引入等强度梁理论建立了相应的设计方法。首先, 总结分析了典型整星隔振器的结构特点, 在此基础上, 建立了整星隔振器超静定组合梁模型, 由对称性进一步建立了一次超静定四分之一组合梁模型。然后, 基于小变形假设、莫尔定理及等强度梁理论, 建立了隔振器支架设计参数与支架扰度、转角、应力、固有频率之间的等强度力学模型。为解所建立的含微分的隐式力学模