1.2任意角的三角函数知识点

2.1任意角的三角函数

课前复习：

1. 特殊角的三角函数值记忆

新课讲解：

任意点到原点的距离公式：

1．三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=

+>，那么 （1）比值y r

叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r

α=； （3）比值y x

叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y

叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α

的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z π

απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等

于0，所以tan y x α=

无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值

y r 、x r 、y x 、x y

分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y

1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

有向线段：带有方向的线段。

2．三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点

P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .

由四个图看出：

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

（Ⅳ） （Ⅲ）

说明：

（1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线 在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆 内，一条在单位圆外。

（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点。

（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值。

（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

题型一：求解三角函数值

一般角：利用三角函数的定义

特殊角：先化为0至360度之间的角

)

Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()

Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ

例1．求下列各角的四个三角函数值：

（1）0； （2）π； （3）

32

π．

例2．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的四个函数值。

变式训练1：已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。

变式训练2：角α的终边上有一点P （a ，a ），a ∈R ，a ≠0，则sin α的值是( ) A.

22B.－22C.22或－22D.1

例3．求下列三角函数的值：

（1）9cos

4π （2）11tan()6

π-，

变式训练1：.____________tan600o 的值是 D 3.D 3.C 3

3.B 33.A --

题型二：判断三角函数值在不同象限内的正负性

例4．确定下列三角函数值的符号：

（1）cos 250； （2）sin()4π

-； （3）tan(672)-； （4）11tan 3

π． 变式训练1：.________,0cos sin 在则若θθθ> B

第二、四象限 第一、四象限第一、三象限

第一、二象限.D .C .B .A

变式训练2：____0sin20cos 的终边在则若 θθ<>θ，且

第二象限 第四象限 第三象限 第一象限.D .C .B .A 变式训练3：若θ是第二象限角，则( ) A.sin 2θ＞0B.cos 2θ＜0C.tan 2θ＞0D.cot 2

θ＜0 变式训练4： 若角α、β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( )

A.sin α=sin β

B.cos α=cos β

C.tan α=tan β

D.cot α=cot β

变式训练5：sin2·cos3·tan4的值( )

A.小于0

B.大于0

C.等于0

D.不存在

例5．求函数x x x x y tan tan cos cos +=

的值域

变式训练1：若x x sin |sin |+|cos |cos x x +x

x tan |tan |=－1，则角x 一定不是( ) A.第四象限角 B.第三象限角

C.第二象限角

D.第一象限角

例6．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

（1）

3

π； （2）56π； （3）23π-； （4）136π-．