历届全国大学生数学竞赛预赛试题
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
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前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。
)2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5分)1.计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,⎰-=12d 1u uu (*) 令u t -=1,则21t u -=dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3.曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====, 即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历届大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类14页
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前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。
)2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算=--++⎰⎰y x y x x yy x Dd d 1)1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,令u t -=1,则21t u -=2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3.曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面 2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历届全国大学生数学竞赛预赛试卷
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全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2.设)(x f 是连续函数,且满足220()3()d 2f x x f x x =--⎰,则()f x =____________.3.曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d x y________________. 二、(5分)求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,10()()g x f xt dt =⎰,且A xx f x =→)(lim 0,A 为常数,求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证:(1)⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ;(2)2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe.五、(10分)已知xxe xe y 21+=,xxexe y -+=2,xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.七、(15分)已知)(x u n 满足1()()1,2,n x nn u x u x x e n -'=+=L ,且neu n =)1(,求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、(10分)求-→1x 时,与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、(25分,每小题5分)(1)设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++L ,其中||1,a <求lim .n n x →∞(2)求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(3)设0s >,求0(1,2,)sx nn I e x dx n ∞-==⎰L .(4)设函数()f t有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求2222g g x y ∂∂+∂∂.(5)求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离. 二、(15分)设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0f x ''>,lim ()0x f x α→+∞'=>,lim ()0x f x β→-∞'=<,且存在一点0x ,使得0()0f x <. 证明:方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、(15分)设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,且22d 3d 4(1)y x t =+,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切,求函数()t ψ. 四、(15分)设10,nn n kk a S a=>=∑,证明:(1)当1α>时,级数1nn na S α+∞=∑收敛; (2)当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、(15分)设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,(其中2221)αβγ++=的直线,均匀椭球2222221x y z a b c++≤(其中0c b a <<<,密度为1)绕l 旋转. (1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值.六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线积分422d ()d 0L xy x x y x y ϕ+=+⎰Ñ的值为常数.(1)设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=,证明422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰Ñ;(2)求函数()x ϕ;(3)设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422d ()d C xy x x y x y ϕ++⎰Ñ.2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)(1)求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭;(2).求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭; (3)已知()2ln 1arctan tt x e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d d y x .二、(本题10分)求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、(本题15分)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()0,0,0f f f '''均不为0,证明:存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h →++-=.四、(本题17分)设2221222:1x y z a b c ∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、(本题16分)已知S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分(0z ≥)(取上侧),∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面,(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算:(1)()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰;(2)()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰ 六、(本题12分)设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x '<,其中01m <<,任取实数0a ,定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==,证明:11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、(本题15分)是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ,满足(0)(2)1f f ==,()1f x '≤,2()d 1f x x ≤⎰?请说明理由.2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)解答下列各题(要求写出重要步骤). (1)求极限21lim(!)n n n →∞.(2)求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π和2π,使其中一个平面过点(4,3,1)-.(3)已知函数(,)ax byz u x y e+=,且20ux y∂=∂∂. 确定常数a 和b ,使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂. (4)设函数()u u x =连续可微,(2)1u =,且3(2)d ()d Lx y u x x u u y +++⎰在右半平面与路径无关,求(,)u x y . (5)求极限1lim x xx t +.二、(本题10分)计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、(本题10分)求方程21sin 2501x x x=-的近似解,精确到0.001.四、(本题12分)设函数()y f x =二阶可导,且()0f x ''>,(0)0f =,(0)0f '=,求330()lim ()sin x x f u f x u→,其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、(本题12分)求最小实数C ,使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x 都有10f dx C ≤⎰.六、(本题12分)设()f x 为连续函数,0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面 2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰,求()F t 的导数()F t ''.七、(本题14分)设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数,证明:(1)若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->,则级数1n n a ∞=∑收敛;(2)若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<,且级数1n n b ∞=∑发散,则级数1n n a ∞=∑发散.2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、解答下列各题(每小题6分,共24分,要求写出重要步骤) 1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明广义积分0sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定,求()y x 的极值.4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线,使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34,求点A 的坐标. 二、(满分12分)计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、(满分12分)设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f '',且()lim0x f x x→=.证明:级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛. 四、(满分12分)设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤,证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 五、(满分14分)设∑是一个光滑封闭曲面,方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑,使积分I 的值最小,并求该最小值.六、(满分14分)设22d d ()()a a C y x x yI r x y -=+⎰,其中a 为常数,曲线C 为椭圆222x xy y r ++=,取正向.求极限lim ()a r I r →+∞.七、(满分14分)判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑L 的敛散性,若收敛,求其和. 2014年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(共有5小题,每题6分,共30分)1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是 .2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L . 则与L 平行的S 的切平面方程是 .3.设函数()y y x =由方程21sin d 4y x t x t π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰所确定.求d d x y x == .4.设1(1)!nn k kx k ==+∑,则=∞→n n x lim .5.已知130()lim 1x x f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭,则=→20)(lim x x f x . 二、(本题12分)设n 为正整数,计算21d 1cos ln d d ne I x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、(本题14分)设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数,且有正常数,A B 使得()f x A ≤,|"()|f x B ≤. 证明:对任意]1,0[∈x ,有22|)('|BA x f +≤. 四、(本题14分)(1)设一球缺高为h ,所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π,球冠面积为Rh π2;(2)设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω,记球缺上的球冠为∑,方向指向球外,求第二型曲面积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++⎰⎰.五、(本题15分)设f 在],[b a 上非负连续,严格单增,且存在],[b a x n ∈,使得⎰-=b a nn n dx x f ab x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、(本题15分)设2222212n n n nA n n n n =++++++L ,求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π.2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(每小题6分,共5小题,满分30分)(1)极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭L . (2)设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定,其中(),F u v 具有连续偏导数,且0u v xF yF +≠则z zxy x y∂∂+=∂∂ . (3)曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是 . (4)函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 . (5)设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2xt u x e dt +∞-=⎰,则()u x 的初等函数表达式是 .二、(12分)设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程.三、(12分)设()f x 在(),a b 内二次可导,且存在常数,αβ,使得对于(),x a b ∀∈,有()()()f x f x f x αβ'=+,则()f x 在(),a b 内无穷次可导.四、(14分)求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、(16分)设函数()f x 在[]0,1上连续,且()()110,1f x dx xf x dx ==⎰⎰. 试证:(1)[]00,1x ∃∈使()04f x >; (2)[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、(16分)设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数,且2222xx xy yy f f f M ++≤. 若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===,证明:()221,4x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2016年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(每小题5分,满分30分)1、若()f x 在点x a =可导,且()0f a ≠,则()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎪= ⎪⎪⎝⎭__________. 2、若()10f =,()1f '存在,求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数,且()12f =,记()2x z f e y =,若zz x∂=∂,求()f x 在0x >的表达式.4、设()sin 2x f x e x =,求02n a π<<,()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、(14分)设()f x 在[]0,1上可导,()00f =,且当()0,1x ∈,()01f x '<<,试证当()0,1a ∈,()()()230d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、(14分)某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++,密度函数为222x y z ++,求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、(14分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数,()00f =,()11f =, 证明:()10111lim 2n n k k n f x dx fn n →∞=⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、(14分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,且()1d 0I f x x =≠⎰,证明:在()0,1内存在不同的两点12,x x ,使得()()12112f x f x I+=. 六、(14分)设()f x 在(),-∞+∞可导,且()()(2f x f x f x =+=.用Fourier 级数理论证明()f x 为常数.2017年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、1. 已知可导函数f (x )满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ,则()f x =_________.2. 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数,且==+u x cy v x cy -,,其中c 为非零常数. 则21xx yy w w c -=_________. 4. 设()f x 有二阶导数连续,且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===,则240(sin )lim x f x x →=____.5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰=________. 6. 记曲面222z x y =+和z =围成空间区域为V ,则三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰=___________.二、(本题满分14分) 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α,定义一元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值. 三、(本题满分14分) 设曲线Γ为在2221x y z ++=,1x z +=,0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(本题满分15分) 设函数()0f x >且在实轴上连续,若对任意实数t ,有||()1t x ef x dx +∞---∞≤⎰,则,()a b a b ∀<,2()2bab a f x dx -+≤⎰. 五、(本题满分15分) 设{}n a 为一个数列,p 为固定的正整数。
2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案(最完整版)
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。
dx 2
二、(本题满分 5 分)求极限 lim( e x + e2x +
+
e nx
)
e x
,其中
n
是给定的正整数。
x→0
n
∫ 三、(本题满分 15 分)设函数 f (x) 连续, g(x) = 1 f (xt)dt ,且 lim f (x) = A , A 为常
0
x→0 x
数,求 g′(x) 并讨论 g′(x) 在 x = 0 处的连续性。
L
2
五、(本题满分 10 分)已知 y1 = xex + e2x , y2 = xex + e−x , y3 = xe x + e2x − e−x 是某二
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程。
六、(本题满分 10 分)设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点。当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已
六、(本题满分 12 分)设 f (x) 是在 (−∞, +∞) 内的可微函数,且 f ′(x) < mf (x) ,其中
+∞
∑ 0 < m < 1 。任取实数 a0 ,定义 an = ln f (an−1), n = 1, 2, ,证明: (an − an−1) 绝对收敛。 n =1
七、(本题满分 15 分)是否存在区间[0, 2]上的连续可微函数 f (x) ,满足 f (0) = f (2) = 1,
第一届(2009)全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
(x + y) ln(1 + y )
1.计算 ∫∫D
历届全国大学生数学竞赛预赛试卷
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全国大学生数学比赛初赛试卷(非数学类)2009 年第一届全国大学生数学比赛初赛试卷(非数学类) 一、填空题(每题5 分,共 20 分)( x y)ln(1y)1.计算xdxdy ____________,此中地区D 由直线 x y 1 与两坐标轴D1 x y所围成三角形地区 .2.设 f ( x) 是连续函数,且知足f ( x) 3 x22f ( x)dx 2 ,则 f ( x) ____________.3.曲面 zx 2 y 22 平行平面 2x2 y z0 的切平面方程是 __________.24.设函数 yy( x) 由方程 xe f ( y )e yln 29 确立,此中 f 拥有二阶导数,且 f1 ,则d 2 y ________________.dx2二、( 5 分)求极限 lim (e xe 2 xe nxen) x,此中 n 是给定的正整数 .x 01 三、( 15 分)设函数 f ( x) 连续, g ( x)f ( xt)dt ,且 limf (x)A , A 为常数,求 g (x) 并x 0x议论 g (x) 在 x 0处的连续性 .四、(15 分)已知平面地区 D {( x, y) | 0x, 0 y} , L 为 D 的正向界限,试证:(1) xe sin y dyye sin x dx xe sin y dyye sin x dx ;LL(2) xe sin y dyye sin y dx 5 2 .L2五、( 10 分)已知 y 1 xe x e 2 x , y 2 xe x e x , y 3 xe x e 2 x e x 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、( 10 分)设抛物线 y ax 2 bx 2 ln c 过原点 . 当 0 x 1时, y 0 ,又已知该抛物线与 x 轴及直线 x 1所围图形的面积为1. 试确立 a, b, c ,使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小 .3七、( 15 分) 已知 u n ( x) 知足 u n ( x)u n (x)x n 1e x n 1,2,L,且 u n (1)e,求函数项级数nu n ( x) 之和 .n 1八、( 10 分)求 x1 时,与x n 2 等价的无量大批 .n 02010 年第二届全国大学生数学比赛初赛试卷(非数学类)一、( 25 分,每题5 分)( 1)设 x n (1 a)(1 a 2 )L (1 a 2 n ) ,此中 | a | 1, 求 lim x n .n1 x 2( 2)求 lim e x 1 .xx( 3)设 s 0 ,求 I ne sx x n dx(n1,2,L ) .( 4)设函数 f (t) 有二阶连续导数, rx2y 2, g(x, y)f 1,求2g2g .rx 2y 2( 5)求直线 l 1 : xy 0与直线 l 2 : x 2y 1z3的距离 .z 0421二、( 15 分)设函数 f (x) 在 ( ,) 上拥有二阶导数,而且f (x) 0 , lim f (x)0 ,xlim f ( x)0 ,且存在一点 x 0 ,使得 f ( x 0 )0 . 证明:方程 f ( x)0 在 (,) 恰有两个实x根 .x 2t t 223三、( 15 分)设函数 yf ( x) 由参数方程d yy(t ) (t1) 所确立,且 dx 24(1 t ),此中 (t) 拥有二阶导数,曲线y(t ) 与 yt 2eu 2du3在 t 1出相切,求函数(t) .12e四、( 15 分)设 a nn0, S na k ,证明:k1(1)当1时,级数a n 收敛;n 1 S n(2)当1且 s n( n) 时,级数a n 发散 .n 1 S n五、( 15 分)设 l 是过原点、方向为 ( , , ) ,(此中2221) 的直线,平均椭球x 2y 2 z 2 1(此中 0c b a ,密度为1)绕 l 旋转 .a2b2c2( 1)求其转动惯量;( 2)求其转动惯量对于方向 ( , , ) 的最大值和最小值 .六、 (15 分) 设函数 ( x) 拥有连续的导数,在环绕原点的随意圆滑的简单闭曲线C2 xydx ( x)dy 0 的值为常数 .上,曲线积分?Lx 4y 2(1)设 L 为正向闭曲线 (x 2) 2y 21 ,证明 ?L2xydx(x)dy ;x 4y 2( 2)求函数 ( x) ;( 3)设 C 是环绕原点的圆滑简单正向闭曲线,求?C 2xydx ( x)dy .x 4y 22011 年第三届全国大学生数学比赛初赛试卷(非数学类)一、计算以下各题(此题共3 小题,每题各5 分,共 15 分)1( 1)求 limsin x 1 cosx ;x 0x( 2). 求 lim1 1 (1);nn 1n 2n n2t,求 d 2y 2.( 3)已知xln 1eytdxt arctane二、(此题 10 分)求方程2x y 4 dx x y 1 dy 0的通解 .三、(此题 15 分)设函数 f (x) 在 x 0 的某邻域内拥有二阶连续导数,且 f 0 , f 0 , f 0均不为 0,证明:存在独一一组实数k 1,k 2 , k 3 ,使得lim k 1 fh k 2 f 2h 2 k 3 f 3hf 00 .h 0h222 四、(此题 17 分)设1 :xyz1 ,此中 a b c0 , 2 : z 2x22, 为 1 与2的222yabc交线,求椭球面 1 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、(此题 16 分)已知 S 是空间曲线x 2 3y21绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部分z 0( z 0 )(取上侧), 是 S 在 P( x, y, z) 点处的切平面,(x, y, z) 是原点到切平面 的距离,,, 表示 S 的正法向的方向余弦 . 计算:( 1)z dS ;( 2) z x3 ydz SSx, y, zS六、(此题 12 分)设 f ( x) 是在 ( ,) 内的可微函数,且f (x)mf (x) ,此中 0 m 1 ,任取实数 a 0 ,定义 a nln f (a n 1), n 1,2,... ,证明:(a na n 1 ) 绝对收敛 .n 1七、(此题 15 分)能否存在区间0,2上的连续可微函数f ( x) ,知足 f (0) f (2)1,f ( x) 1 ,2f (x)d x 1?请说明原因 .2012 年第四届全国大学生数学比赛初赛试卷(非数学类)一、(本大题共 5 小题,每题6 分,共 30 分)解答以下各题 (要求写出重要步骤) .1( 1)求极限 lim( n!) n 2 .n( 2)求经过直线 l :2 x y 3z 2 0 的两个相互垂直的平面 1和 2 ,使此中一个平面5x 5 y 4z 3 0过点 (4, 3,1).( 3)已知函数 zu( x , y)eaxby,且2u0 . 确立常数 a 和 b ,使函数 z z(x , y) 知足方程 xy2z zz. x yxzy( 4)设函数 uu( x) 连续可微, u(2) 1 ,且 ( x 2 y)udx ( xu 3 )udy 在右半平面与路径无L关,求 u (x , y) .( 5)求极限 lim 3xx 1sin tdt .xxt cost二、(此题 10 分)计算e 2x sin x dx .三、(此题 10 分)求方程 x 2sin12x 501的近似解,精准到 0.001.x四、(此题 12 分)设函数 yf (x) 二阶可导,且 f ( x)0 , f (0)0 , f(0) 0 ,求3limx f (u )3 ,此中 u 是曲线 y f (x) 上点 P( x , f ( x)) 处的切线在 x 轴上的截距 .x 0f ( x)sin u五、(此题 12 分)求最小实数 C ,使得知足1f (x) dx 1 的连续函数 f ( x) 都有1f ( x )dxC .六、(此题 12 分)设 f ( x) 为连续函数, t 0 . 地区 是由抛物面 zx 2 y 2 和球面x 2y 2 z 2t 2 ( z 0) 所围起来的部分 . 定义三重积分 F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 )d v ,求 F (t) 的导数 F (t) .七、(此题 14 分)设a n 与b n 为正项级数,证明:n 1n 1( 1)若( 2)若lima n1 ,则级数a n 收敛;na n 1b n b n 1n 1lima n1 ,且级数b n 发散,则级数a n 发散 .na n 1b nb n 1n 1n 12013 年第五届全国大学生数学比赛初赛试卷(非数学类)一、解答以下各题(每题 6 分,共 24 分,要求写出重要步骤)1. 求极限 lim 12nsin1 .4nn2. 证明广义积分sin x dx 不是绝对收敛的 .x3. 设函数 y y(x) 由 x 33x 2 y 2 y 32 确立,求 y( x) 的极值 .4. 过曲线 y3x (x0) 上的点 A 作切线,使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为3,求点 A4的坐标 .x二、(满分 12 分)计算定积分Ixsin x arctane2dx .1 cos x三、(满分 12 分)设 fx 在 x 0 处存在二阶导数 f (0) ,且 limf x0 . 证明:级数1 收敛 .fx 0xn 1n四、(满分 12 分)设 f ( x), f (x)m 0(a xb) ,证明b2 .a sin f ( x)dxm五、(满分 14 分 ) 设是一个圆滑关闭曲面,方向朝外.给定第二型的曲面积分Ix 3x dydz2 y3 y dzdx3 z 3 z dxdy . 试确立曲面 ,使积分 I 的值最小,并求该最小值 .六、(满分 14 分)设 I a (r )ydx xdy ,此中 a 为常数,曲线 C 为椭圆x 2 xy y 2r 2 ,取正向 . 求极C( x2y 2 )a限 lim I a (r ) .r11L1七、(满分14 分)判断级数2 n的敛散性,若收敛,求其和 .n 1 n 1 n22014 年第六届全国大学生数学比赛初赛试卷(非数学类)一、填空题(共有 5 小题,每题 6 分,共 30 分)1. 已知 y 1e x 和 y 1 xe x 是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是.2. 设有曲面 S : z x 2 2y 2 和平面 L : 2x 2 y z 0 . 则与 L 平行的 S 的切平面方程是 .3. 设函数 yy x t dt 所确立 . 求 dy.y(x) 由方程 xsin 214 dx x 04. nk ,则 lim x n设 x n.1)!k 1(kn1f (x)5. 已知 lim1 xf ( x)x3.e ,则 limx 2x 0xx 01二、(此题 12 分)设 n 为正整数,计算Ie 2 nd 1 cos lndx.dxx三、(此题 14 分)设函数 f (x) 在 [0,1] 上有二阶导数,且有正常数A, B 使得 f (x)A ,| f "( x) |B . 证明:对随意 x[ 0,1] B,有 | f '(x) | 2 A.2四、(此题 14 分)( 1)设一球缺高为h ,所在球半径为 R . 证明该球缺体积为(3R h)h 2 ,球冠面积3为 2 Rh ;( 2)设球体 ( x 1) 2 ( y 1) 2 ( z 1) 2 12被平面 P : xy z 6 所截的小球缺为,记球缺上的球冠为 ,方向指向球外,求第二型曲面积分I xdydz ydzdx zdxdy .五、(此题 15 分)设 f 在 [ a,b] 上非负连续,严格单增,且存在 x n [a,b] ,使得[ f ( x n )]n1b[ f (x)]n dx . 求 lim x n . b a a n六、(此题 15 分)设 A nnnLn,求 lim nA n . 22222n 1 n2n nn42015 年第七届全国大学生数学比赛初赛试卷(非数学类)一、填空题(每题6 分,共 5 小题,满分 30 分)sinsin 2sin( 1)极限 lim n nn.Lnnn 2 1 n 2 2 n 2( 2)设函数 zz x, y 由方程 Fxz, y z0 所决定,此中 F u,v 拥有连续偏导y x数,且 xF uyF v0 则 x z y z .xy( 3)曲面 z x 2y 2 1在点 M 1, 1,3 的切平面与曲面所围地区的体积是 .( 4)函数 fx3,x 5,0 在5,5 的傅立叶级数在 x0 收敛的是 .0, x 0,5( 5)设区间 0,上的函数 u x 定义域为 u xe xt 2 dt ,则 u x 的初等函数表达式是 .二、( 12 分)设 M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程.三、( 12 分)设 fx在 a,b 内二次可导,且存在常数, ,使得对于x a,b ,有f xf xfx,则 f x 在 a, b 内无量次可导 .四、( 14 分)求幂级数n 3 2 x 1 n的收敛域及其和函数 .n 0n 1 !五、( 16 分)设函数 f x 在 0,1 上连续,且1f x dx11 . 试证:0 0, xf x dx( 1) x 0 0,1 使 f x 0 4 ;( 2) x 10,1 使 f x 14 .五、( 16 分)设f x, y 在x2y21上有连续的二阶偏导数,且f xx2 2 f xy2 f yy2M .若f 0,0 0, f x 0,0 f y 0,0 0 ,证明: f x, y dxdy M .x2 y 2 142016 年第八届全国大学生数学比赛初赛试卷(非数学类)一、填空题(每题 5 分,满分 30 分)1nf a1、若f x在点 x a 可导,且f a0,则lim n__________.f an2、若f10, f1存在,求极限 I lim f sin 2 x cosx tan3 x2.x 0x1 sin xe3、设f x有连续导数,且 f 1 2 ,记 z f e x y2,若zz ,求f x 在x 0的表达式. x4、设f x e x sin2 x ,求 0a n, f40.25、求曲面z x2y2平行于平面 2 x 2 y z0 的切平面方程.2二、( 14 分)设f x在0,1上可导, f00 ,且当 x0,1,0f x1,试证当 a0,1 ,a 2a3x dx .0 fx dx0f三、( 14 分)某物体所在的空间地区为: x2y22z2x y2z,密度函数为 x2y2z2,求质量 M x2y2z2dxdydz .四、( 14 分)设函数f x在闭区间0,1上拥有连续导数,f00 , f 1 1 ,证明: lim n1f x dx1n k 1.n0n k 1n2五、( 14 分)设函数f x在闭区间0,1 上连续,且 I 10 ,证明:在0,1内存0f x dx在不一样的两点 x1, x2,使得11 2 .f x1 f x2I六、( 14 分)设f x 在,可导,且 f x f x 2 f x3. 用 Fourier 级数理论证明 f x 为常数.2017 年第九届全国大学生数学比赛初赛试卷(非数学类)一、1.已知可导函数() 知足cos xf (x)2x f (t) sin tdt x1,则 f ( x) =_________.????0.求lim sin2n2n .2n3. 设w f (u, v) 拥有二阶连续偏导数,且u=x cy,v=x+cy ,此中c为非零常数.则wxx1=_________.c2wyy4.设f (x)有二阶导数连续,且 f (0) f '(0)0, f "(0) 6 ,则 lim f (sin2 x)=____.x4x 05. 不定积分I e sin x sin 22x dx=________.(1 sin x)6.记曲面 z2 x2 y2和z4 x2 y2围成空间地区为 V ,则三重积分zdxdydz=___________.V二、(此题满分14 分 ) 设二元函数 f ( x, y)在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度,定义一元函数g (t ) f (t cos , t sin ) .若对任何都有dg (0)0且 d 2 g(0) 0 .证明f (0,0)是 f ( x, y) 的极小值. dt dt 2三、 ( 此题满分 14 分 ) 设曲线为在x2y2z21,x z1, x 0, y 0, z 0上从 A(1,0,0) 到 B(0,0,1) 的一段.求曲线积分I ydx zdy xdz .四、 ( 此题满分 15 分 ) 设函数f ( x)0 且在实轴上连续,若对随意实数t ,有e |t x|f ( x) dx 1 ,则 a, b( a b) ,b b a 2 .f (x)dxa2五、 ( 此题满分 15 分 ) 设{ a n}为一个数列,p 为固定的正整数。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
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全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算 $\iint_D \frac{y}{x+y-1} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$,其中区域$D$ 由直线$x+y=1$ 与两坐标轴所围成三角形区域。
2.设 $f(x)$ 是连续函数,且满足 $f(x)=3x^2-\intf(x)\mathrm{d}x-2$,则 $f(x)=\underline{\hspace{2em}}$。
3.曲面 $z=\frac{x^2+y^2-2}{2}$ 平行于平面 $2x+2y-z=$ 的切平面方程是 $\underline{\hspace{2em}}$。
4.设函数 $y=y(x)$ 由方程 $xe^{f(y)}=\ln 29$ 确定,其中$f$ 具有二阶导数,且 $f'\neq 1$,则$y''=\underline{\hspace{2em}}$。
二、(5分)求极限 $\lim\limits_{x\to n}\frac{e^{ex+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}}{x}$。
三、(15分)设函数 $f(x)$ 连续,$g(x)=\intf(xt)\mathrm{d}t$,且 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=A$,$A$ 为常数,求 $g'(x)$ 并讨论 $g'(x)$ 在 $x=1$ 处的连续性。
四、(15分)已知平面区域 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq\pi,0\leq y\leq\pi\}$,$L$ 为 $D$ 的正向边界,试证:1)$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x=\int_L xe^{-\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x$;2)$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x\geq \frac{\pi^2}{2}$。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
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前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。
)2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu (*) 令u t -=1,则21t u -=dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3.曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历届全国大学生数学竞赛数学类试卷及解析
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评阅人
⎛0
⎜ ⎜
1
0 0
# #
0 0
−an −an−1
⎞ ⎟ ⎟
的复数域 C 上的线性空间, F = ⎜ 0
⎜ ⎜
#
1 #
# #
0 #
−
an−2 #
⎟ ⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 0 # 1 −a1 ⎟⎠
(1)假设
A
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
a11
a21 "
a12
a22 "
" " "
a1n
a2n "
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
,若
AF
G
G
n = (1,1,1) , 且圆柱面经过点 O(0, 0, 0) , 过点 O(0, 0, 0) 且垂直于 n = (1,1,1) 的平
面π 的方程为: x + y + z = 0 .
……………………………(3 分)
π 与三已知直线的交点分别为 O(0, 0, 0), P(1, 0, −1),Q(0, −1,1) ………… (5 分)
年级: 线
封
所在院校:
密
身份证号:
得分
一 、( 15 分 ) 求 经 过 三 平 行 直 线 L1 : x = y = z ,
评阅人
L2 : x −1 = y = z +1 , L3 : x = y +1 = z −1的圆柱面的方程.
解: 先求圆柱面的轴 L0 的方程. 由已知条件易知,圆柱面母线的方向是
=
FA ,证明:
⎜⎜⎝ an1 an2 " ann ⎟⎟⎠
A = an1F n−1 + an−11F n−2 +" + a21F + a11E ;
2023年历届全国大学生数学竞赛预赛试卷
![2023年历届全国大学生数学竞赛预赛试卷](https://img.taocdn.com/s3/m/1f03404d26284b73f242336c1eb91a37f111320b.png)
全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)2023年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2.设)(x f 是连续函数,且满足220()3()d 2f x x f x x =--⎰,则()f x =____________.3.曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =拟定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d x y________________. 二、(5分)求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,10()()g x f xt dt =⎰,且A xx f x =→)(lim,A 为常数,求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证:(1)⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ;(2)2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe.五、(10分)已知xxe xe y 21+=,xxexe y -+=2,xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试拟定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.七、(15分)已知)(x u n 满足1()()1,2,n x nn u x u x x e n -'=+=,且neu n =)1(,求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、(10分)求-→1x 时,与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2023年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、(25分,每小题5分) (1)设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++,其中||1,a <求lim .n n x →∞(2)求21lim 1x xx ex -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (3)设0s >,求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞-==⎰.(4)设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求2222g g x y ∂∂+∂∂.(5)求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离. 二、(15分)设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0f x ''>,lim ()0x f x α→+∞'=>,lim ()0x f x β→-∞'=<,且存在一点0x ,使得0()0f x <. 证明:方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、(15分)设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所拟定,且22d 3d 4(1)y x t =+,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切,求函数()t ψ. 四、(15分)设10,nn n kk a S a=>=∑,证明:(1)当1α>时,级数1nn na S α+∞=∑收敛; (2)当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、(15分)设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,(其中2221)αβγ++=的直线,均匀椭球2222221x y z a b c ++≤(其中0c b a <<<,密度为1)绕l 旋转. (1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值.六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简朴闭曲线C 上,曲线积分422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰的值为常数.(1)设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=,证明422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰;(2)求函数()x ϕ;(3)设C 是围绕原点的光滑简朴正向闭曲线,求422d ()d C xy x x y x y ϕ++⎰.2023年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)(1)求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭;(2).求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭; (3)已知()2ln 1arctan tt x e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d d y x .二、(本题10分)求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、(本题15分)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()0,0,0f f f '''均不为0,证明:存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=. 四、(本题17分)设2221222:1x y z a b c ∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、(本题16分)已知S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分(0z ≥)(取上侧),∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面,(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表达S 的正法向的方向余弦. 计算:(1)()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰;(2)()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰ 六、(本题12分)设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x '<,其中01m <<,任取实数0a ,定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==,证明:11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、(本题15分)是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ,满足(0)(2)1f f ==,()1f x '≤,2()d 1f x x ≤⎰?请说明理由.2023年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)解答下列各题(规定写出重要环节). (1)求极限21lim(!)n n n →∞.(2)求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π和2π,使其中一个平面过点(4,3,1)-.(3)已知函数(,)ax byz u x y e+=,且20ux y∂=∂∂. 拟定常数a 和b ,使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂. (4)设函数()u u x =连续可微,(2)1u =,且3(2)d ()d Lx y u x x u u y +++⎰在右半平面与途径无关,求(,)u x y . (5)求极限1lim x xx t +.二、(本题10分)计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、(本题10分)求方程21sin 2501x x x=-的近似解,精确到0.001.四、(本题12分)设函数()y f x =二阶可导,且()0f x ''>,(0)0f =,(0)0f '=,求330()lim ()sin x x f u f x u→,其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、(本题12分)求最小实数C ,使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x 都有10f dx C ≤⎰.六、(本题12分)设()f x 为连续函数,0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面 2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰,求()F t 的导数()F t ''.七、(本题14分)设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数,证明:(1)若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->,则级数1n n a ∞=∑收敛;(2)若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<,且级数1n n b ∞=∑发散,则级数1n n a ∞=∑发散.2023年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、解答下列各题(每小题6分,共24分,规定写出重要环节) 1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明广义积分0sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=拟定,求()y x 的极值.4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线,使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34,求点A 的坐标. 二、(满分12分)计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、(满分12分)设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f '',且()lim0x f x x→=.证明:级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、(满分12分)设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤,证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 五、(满分14分)设∑是一个光滑封闭曲面,方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-⎰⎰.试拟定曲面∑,使积分I 的值最小,并求该最小值.六、(满分14分)设22d d ()()a a C y x x yI r x y -=+⎰,其中a 为常数,曲线C 为椭圆222x xy y r ++=,取正向.求极限lim ()a r I r →+∞.七、(满分14分)判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑的敛散性,若收敛,求其和.2023年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(共有5小题,每题6分,共30分)1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是 .2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L . 则与L 平行的S 的切平面方程是 .3.设函数()y y x =由方程21sin d 4y xt x t π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰所拟定.求d d x y x == .4.设1(1)!nn k kx k ==+∑,则=∞→n n x lim .5.已知130()lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭,则=→20)(lim x x f x .二、(本题12分)设n 为正整数,计算21d 1cos ln d d n eI x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、(本题14分)设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数,且有正常数,A B 使得()f x A ≤,|"()|f x B ≤. 证明:对任意]1,0[∈x ,有22|)('|BA x f +≤. 四、(本题14分)(1)设一球缺高为h ,所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π,球冠面积为Rh π2;(2)设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω,记球缺上的球冠为∑,方向指向球外,求第二型曲面积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++⎰⎰.五、(本题15分)设f 在],[b a 上非负连续,严格单增,且存在],[b a x n ∈,使得⎰-=b a nn n dx x f ab x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、(本题15分)设2222212n n nnA n n n n =++++++,求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π.2023年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(每小题6分,共5小题,满分30分)(1)极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭. (2)设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定,其中(),F u v 具有连续偏导数,且0u v xF yF +≠则z zxy x y∂∂+=∂∂ .(3)曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是 .(4)函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 . (5)设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2xt u x e dt +∞-=⎰,则()u x 的初等函数表达式是 .二、(12分)设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程.三、(12分)设()f x 在(),a b 内二次可导,且存在常数,αβ,使得对于(),x a b ∀∈,有()()()f x f x f x αβ'=+,则()f x 在(),a b 内无穷次可导.四、(14分)求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、(16分)设函数()f x 在[]0,1上连续,且()()110,1f x dx xf x dx ==⎰⎰. 试证:(1)[]00,1x ∃∈使()04f x >; (2)[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、(16分)设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数,且2222xx xy yy f f f M ++≤. 若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===,证明:()221,4x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2023年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(每小题5分,满分30分) 1、若()f x 在点x a =可导,且()0f a ≠,则()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎪= ⎪⎪⎝⎭__________. 2、若()10f =,()1f '存在,求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数,且()12f =,记()2x z f e y =,若zz x∂=∂,求()f x 在0x >的表达式.4、设()sin 2x f x e x =,求02n a π<<,()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、(14分)设()f x 在[]0,1上可导,()00f =,且当()0,1x ∈,()01f x '<<,试证当()0,1a ∈,()()()230d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、(14分)某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++,密度函数为222x y z ++,求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、(14分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数,()00f =,()11f =, 证明:()10111lim 2n n k k n f x dx fn n →∞=⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、(14分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,且()1d 0I f x x =≠⎰,证明:在()0,1内存在不同的两点12,x x ,使得()()12112f x f x I+=. 六、(14分)设()f x 在(),-∞+∞可导,且()()()23f x f x f x =+=+.用Fourier 级数理论证明()f x 为常数.2023年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、1. 已知可导函数满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ,则()f x =_________.2. 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数,且==+u x cy v x cy -,,其中c 为非零常数. 则21xx yy w w c-=_________. 4. 设()f x 有二阶导数连续,且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===,则240(sin )lim x f x x→=____. 5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e x I dx x -=-⎰=________. 6. 记曲面222z x y =+和z =围成空间区域为V ,则三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰=___________.二、(本题满分14分) 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α,定义一元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值. 三、(本题满分14分) 设曲线Γ为在2221x y z ++=,1x z +=,0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(本题满分15分) 设函数()0f x >且在实轴上连续,若对任意实数t ,有||()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰,则,()a b a b ∀<,2()2b a b a f x dx -+≤⎰. 五、(本题满分15分) 设{}n a 为一个数列,p 为固定的正整数。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
![全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)](https://img.taocdn.com/s3/m/5d081c8e05087632311212fa.png)
一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3.曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d xy_____.二、(5分)求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数.三、(15分)设函数)(x f 连续,⎰=10d )()(t xt f x g ,且A xx f x =→)(lim,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证:(1)⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、(15分)已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、(10分)求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、(25分,每小题5分)(1)设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞(2)求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)
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全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一. 计算下列各题(共3小题,每小题各5分,共15分)(1).求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭; (2).求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭; (3)已知()2ln 1arctan ttx e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d ydx。
二.(10分)求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。
三.(15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()'"0,0,0f f f 均不为0,证明:存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=。
四.(17分)设2221222:1x y z a b c∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五.(16分)已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分(0z ≥)取上侧,∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面,(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S的正法向的方向余弦。
计算:(1)(),,S zdS x y z ρ⎰⎰;(2)()3S z x y z dS λμν++⎰⎰六.(12分)设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x <、,其中01m <<,任取实数0a ,定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明:()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛。
七.(15分)是否存在区间[]0,2上的连续可微函数f(x),满足()()021f f ==,()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、?请说明理由。
(完整版)大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,推荐文档
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而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0 ,
5
3
27
得
即
因此
a 5 ,b 3 ,c 1.
42
七、(15
分)已知 un (x)
满足 un (x)
un (x)
xn1e x (n
1,2,)
,且 un (1)
e n
,
求函数项级数
收敛;
(2)当
1且 sn
(n ) 时,级数
n1
an Sn
发散。
解:
(1) an >0, sn 单调递增
当
n1
an
收敛时,
an sn
an s1
,而 an
s1
收敛,所以 an
sn
收敛;
当
n1
an
发散时,
lim
n
sn
所以, an s n1 n
a1 s1
n2
sn sn1
dx x
a1 s1
(1) xesin ydy yesin xdx
L
D
x
( xesin
y
)
y
(
ye sin
x
)dxdy
而 D 关于 x 和 y 是对称的,即知
因此
(2)因
故
由
知
即 xesin ydy yesin ydx 5 2
L
2
五、(10 分)已知 y1 xex e2x , y2 xex ex , y3 xex e2x ex 是某
zy 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 zy (x0 , y0 ) 2 y0 , 即 x0 2, y0 1,又 z(x0 , y0 ) z(2,1) 5 ,于是曲面 2x 2 y z 0 在 (x0 , y0 , z(x0 , y0 )) 处的切平面方程是
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
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高数竞赛预赛试题(非数学类)(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。
)2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算____________,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令,则,,(*)令,则,,,2.设是连续函数,且满足, 则____________.解: 令,则,,解得。
因此。
3.曲面平行平面的切平面方程是__________.解: 因平面的法向量为,而曲面在处的法向量为,故与平行,因此,由,知,即,又,于是曲面在处的切平面方程是,即曲面平行平面的切平面方程是。
4.设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则________________.解: 方程的两边对求导,得因,故,即,因此二、(5分)求极限,其中是给定的正整数.解 :因故因此三、(15分)设函数连续,,且,为常数,求并讨论在处的连续性.解 : 由和函数连续知,因,故,因此,当时,,故当时,,这表明在处连续.四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证:(1);(2).证 :因被积函数的偏导数连续在上连续,故由格林公式知(1)而关于和是对称的,即知因此(2)因故由知即五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解设,,是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,则和都是二阶常系数线性齐次微分方程的解,因此的特征多项式是,而的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为,由和,知,二阶常系数线性非齐次微分方程为六、(10分)设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线过原点,故,于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积即令,得即因此,,.七、(15分)已知满足, 且, 求函数项级数之和.解,即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由知,,于是下面求级数的和:令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令,得,因此级数的和八、(10分)求时, 与等价的无穷大量.解令,则因当,时,,故在上严格单调减。
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
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高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。
〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分,共20分〕1.计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,,那么v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,令u t -=1,那么21t u -=2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ,那么23)(2--=A x x f , 解得。
因此。
3.曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,那么.解:方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得 因)(29ln y f y xe e =,故,即,因此二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 解:因 故 因此三、〔15分〕设函数)(x f 连续,⎰=10d )()(t xt f x g ,且,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解:由与函数)(x f 连续知,0)(limlim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x 因⎰=10d )()(t xt f x g ,故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g , 因此,当0≠x 时,,故 当0≠x 时,这说明)(x g '在0=x 处连续.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证:〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ;〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续,故由格林公式知 〔1〕y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 与y 是对称的,即知 因此 〔2〕因 故 由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、〔10分〕x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解设x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,那么x x e e y y 212-=--与x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解,因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ,而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ,由)(2111x f y y y =-'-''与 知,1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点,故1=c ,于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 得 即 因此七、〔15分〕)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且, 求函数项级数之与.解 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由知,0=C , 于是下面求级数的与:令 那么 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 令0=x ,得C S ==)0(0,因此级数的与 八、〔10分〕求-→1x 时, 与等价的无穷大量.解令2)(t x t f =,那么因当10<<x ,(0,)t ∈+∞时,2()2ln 0t f t tx x '=<,故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。
大学生高等数学竞赛试题汇总与答案
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上式可以得到一个微分方程,求解即可。
四、(15分)设
n
a0,Sa,证明:
nnk
k1
(1)当1时,级数
a
n
S
nn
1
收敛;
(2)当1且()
sn时,级数
n
a
n
S
nn
1
发散。
解:
(1)
a>0,
n
s单调递增
n
当
n1
a收敛时,
n
aa
nn
ss
n1
,而
a
n
s
1
收敛,所以
a
n
s
n
收敛;
当
n1
a发散时,lim
n
解:
(1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
由轮换对称性,
(2)abc
当1时,
4
22
Iabc(ab)
max
15
当1时,
4
22
Iabc(bc)
min
15
六、(15分)设函数(x)具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的
简单闭曲线C上,曲线积分
c
2xydx(x)dy
42
xy
的值为常数。
(1)设L为正向闭曲线
1kk...
12
使得
k
i
1a1
n
2
s
kn
i
成立,所以
k
N
1
a
n
s
n
N
1
2
当n时,N,所以
a
n
s
nn
1
发散
五、(15分)设l是过原点、方向为(,,),(其中
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
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一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3.曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d xy_____.二、(5分)求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数.三、(15分)设函数)(x f 连续,⎰=10d )()(t xt f x g ,且A xx f x =→)(lim,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证:(1)⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、(15分)已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、(10分)求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、(25分,每小题5分) (1)设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞(2)求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
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若对任何 都有 且 .证明 是 的极小值.
三、(本题满分14分)设曲线 为在
, ,
上从 到 的一段.求曲线积分 .
四、(本题满分15分)设函数 且在实轴上连续,若对任意实数 ,有 ,则 , .
五、(本题满分15分)设 为一个数列, 为固定的正整数。若
,
其中 为常数,证明 .
一、填空题(共有5小题,每题6分,共30分)
1.已知 和 是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是.
2.设有曲面 和平面 .则与 平行的 的切平面方程是.
3.设函数 由方程 所确定.求 .
4.设 ,则 .
5.已知 ,则 .
二、(本题12分)设 为正整数,计算 .
三、(本题14分)设函数 在 上有二阶导数,且有正常数 使得 , .证明:对任意 ,有 .
其中 具有二阶导数,曲线 与 在 出相切,求函数 .
四、(15分)设 ,证明:
(1)当 时,级数 收敛;
(2)当 且 时,级数 发散.
五、(15分)设 是过原点、方向为 ,(其中 的直线,均匀椭球
(其中 ,密度为1)绕 旋转.
(1)求其转动惯量;
(2)求其转动惯量关于方向 的最大值和最小值.
六、(15分)设函数 具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 上,曲线积分 的值为常数.
(4)设函数 连续可微, ,且 在右半平面与路径无关,求 .
(5)求极限 .
二、(本题10分)计算 .
三、(本题10分)求方程 的近似解,精确到0.001.
四、(本题12分)设函数 二阶可导,且 , , ,求 ,其中 是曲线 上点 处的切线在 轴上的截距.
五、(本题12分)求最小实数 ,使得满足 的连续函数 都有 .
四、(14分)设函数 在闭区间 上具有连续导数, , ,
证明: .
五、(14分)设函数 在闭区间 上连续,且 ,证明:在 内存在不同的两点 ,使得 .
六、(14分)设 在 可导,且 .用Fourier级数理论证明 为常数.
2017年第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
一、1.已知可导函数 满足 ,则 =_________.
一、(25分,每小题5分)
(1)设 ,其中 求
(2)求 .
(3)设 ,求 .
(4)设函数 有二阶连续导数, ,求 .
(5)求直线 与直线 的距离.
二、(15分)设函数 在 上具有二阶导数,并且 , ,
,且存在一点 ,使得 .证明:方程 在 恰有两个实根.
三、(15分)设函数 由参数方程 所确定,且 ,
六、(本题12分)设 为连续函数, .区域 是由抛物面 和球面
所围起来的部分.定义三重积分 ,
求 的导数 .
七、(本题14分)设 与 为正项级数,证明:
(1)若 ,则级数 收敛;
(2)若 ,且级数 发散,则级数 发散.
2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
一、解答下列各题(每小题6分,共24分,要求写出重要步骤)
全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
一、填空题(每小题5分,共20分)
1.计算 ____________,其中区域 由直线 与两坐标轴所围成三角形区域.
2.设 是连续函数,且满足 ,则 ____________.
3.曲面 平行平面 的切平面方程是__________.
七、(本题15分)是否存在区间 上的连续可微函数 ,满足 , ,
请说明理由.
2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
一、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)解答下列各题(要求写出重要步骤).
(1)求极限 .
(2)求通过直线 的两个互相垂直的平面 和 ,使其中一个平面过点 .
(3)已知函数 ,且 .确定常数 和 ,使函数 满足方程 .
(1)设 为正向闭曲线 ,证明 ;
(2)求函数 ;
(3)设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求 .
2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
一、计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)
(1)求 ;
(2).求 ;
(3)已知 ,求 .
二、(本题10分)求方程 的通解.
三、(本题15分)设函数 在 的某邻域内具有二阶连续导数,且 均不为0,证明:存在唯一一组实数 ,使得
.
四、(本题17分)设 ,其中 , , 为 与 的交线,求椭球面 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.
五、(本题16分)已知 是空间曲线 绕 轴旋转形成的椭球面的上半部分( )(取上侧), 是 在 点处的切平面, 是原点到切平面 的距离, 表示 的正法向的方向余弦.计算:
(1) ;(2)
六、(本题12分)设 是在 内的可微函数,且 ,其中 ,任取实数 ,定义 ,证明: 绝对收敛.
一、填空题(每小题6分,共5小题,满分30分)
(1)极限 .
(2)设函数 由方程 所决定,其中 具有连续偏导数,且 则 .
(3)曲面 在点 的切平面与曲面所围区域的体积是.
(4)函数 在 的傅立叶级数在 收敛的是.
(5)设区间 上的函数 定义域为 ,则 的初等函数表达式是.
二、(12分)设 是以三个正Fra bibliotek轴为母线的半圆锥面,求其方程.
四、(本题14分)(1)设一球缺高为 ,所在球半径为 .证明该球缺体积为 ,球冠面积为 ;(2)设球体 被平面 所截的小球缺为 ,记球缺上的球冠为 ,方向指向球外,求第二型曲面积分
.
五、(本题15分)设 在 上非负连续,严格单增,且存在 ,使得 .求 .
六、(本题15分)设 ,求 .
2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
4.设函数 由方程 确定,其中 具有二阶导数,且 ,则 ________________.
二、(5分)求极限 ,其中 是给定的正整数.
三、(15分)设函数 连续, ,且 , 为常数,求 并讨论 在 处的连续性.
四、(15分)已知平面区域 , 为 的正向边界,试证:
(1) ;
(2) .
五、(10分)已知 , , 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
五、(满分14分)设 是一个光滑封闭曲面,方向朝外.给定第二型的曲面积分 .试确定曲面 ,使积分 的值最小,并求该最小值.
六、(满分14分)设 ,其中 为常数,曲线 为椭圆 ,取正向.求极限 .
七、(满分14分)判断级数 的敛散性,若收敛,求其和.
2014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
三、(12分)设 在 内二次可导,且存在常数 ,使得对于 ,有 ,则 在 内无穷次可导.
四、(14分)求幂级数 的收敛域及其和函数.
五、(16分)设函数 在 上连续,且 .试证:
(1) 使 ;
(2) 使 .
五、(16分)设 在 上有连续的二阶偏导数,且 .若
,证明: .
2016年第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
一、填空题(每小题5分,满分30分)
1、若 在点 可导,且 ,则 __________.
2、若 , 存在,求极限 .
3、设 有连续导数,且 ,记 ,若 ,求 在 的表达式.
4、设 ,求 , .
5、求曲面 平行于平面 的切平面方程.
二、(14分)设 在 上可导, ,且当 , ,试证当 , .
三、(14分)某物体所在的空间区域为 ,密度函数为 ,求质量 .
1.求极限 .
2.证明广义积分 不是绝对收敛的.
3.设函数 由 确定,求 的极值.
4.过曲线 上的点 作切线,使该切线与曲线及 轴所围成的平面图形的面积为 ,求点 的坐标.
二、(满分12分)计算定积分 .
三、(满分12分)设 在 处存在二阶导数 ,且 .证明:级数 收敛.
四、(满分12分)设 ,证明 .
六、(10分)设抛物线 过原点.当 时, ,又已知该抛物线与 轴及直线 所围图形的面积为 .试确定 ,使此图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积 最小.
七、(15分)已知 满足 ,且 ,求函数项级数 之和.
八、(10分)求 时,与 等价的无穷大量.
2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
2.求 .
3.设 具有二阶连续偏导数,且 ,其中 为非零常数.则 =_________.
4.设 有二阶导数连续,且 ,则 =____.
5.不定积分 =________.
6.记曲面 和 围成空间区域为 ,则三重积分 =___________.
二、(本题满分14分)设二元函数 在平面上有连续的二阶偏导数.对任何角度 ,定义一元函数