矢量方程图解法作速度加速度分析
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第3.3节 用矢量方程图解法作运动分析
c
速度多边形的用途 由两点的速度求构件上任意点的速度 C A 例如，求BC中间点E的速度VE 时，bc上 中间点e为E点的影像，连接pe就是VE a p ω E B
e b
c
2、同一构件上两点加速度之间的关系 设已知角速度ω ，A点加速度,求B点的加速度 A B两点间加速度之间的关系有： A
BA
C ω B aB
2 2 2
方向：顺时针
+ω +ω +ω
4 4 4
＝ μ aa’b’ ＝ μ a a’c’ ＝ μ a b’c’ A p’ ω α aA C
B
aB
得：a’b’/ lAB＝b’c’/ lBC＝ a’ c’/ lCA
∴△a’b’c’∽△ABC
p’a’b’c’－加速度多边形（或速度 图解）， p’－极点 加速度多边形的特性： ①联接p’点和任一点的向量代表该 点在机构图中同名点的绝对加速 度，指向为p’→该点。
VB B
2
VB B
2
1
1
VB
2
2
B（B1，B2）
vB2 vB1 vB2B1
VB
1
1
A
ω1
VB B
2
VB B
2
1
1
VB
：
aB2 aB1 a k B2B1 a r B2B1
2
2
B（B1，B2）
VB
aB1 a n B1 a t B1
等速
1
1
A
ω1
④极点p’代表机构中所有加速度为零的点。 用途：根据相似性原理由两点的加速度求任 意点的加速度。 例如，求BC中间点E的加速度aE 时，b’c’上中间
机械原理第七版第三章
（二）、用解析法对平面连杆机构进行运动分析 用解析法对平面连杆机构进行运动分析又可分为：矢 量方程解析法、杆组法和矩阵法等。 矢量方程法是将机构中各种构件视为矢量，并构成封 闭矢量多边形，列出矢量方程，进而推导出未知量的表达 式。
复数矢量法 图示四杆机构，已知机构各构 件尺寸及原动件1的角位移θ 1和 角速度ω 1 ，现对机构进行位置、 速度、加速度分析 1、位置分析 矢量方程式：
第三章
平面机构的运动分析
§3-1 机构运动分析的任务、目的和方法 §3-2 用速度瞬心法作机构的速度分析
§3-3 用矢量方程图解法作机构的速度及 加速度分析
§3-4 综合运用瞬心法和矢量方程图解法 对复杂机构进行速度分析 §3-5 用解析法作机构的运动分析 返回
§3-1 机构运动分析的任务、目的和方法
i
2
l33e
i
3
l11 cos 1 l22 cos 2 l33 cos 3 l11 sin 1 l22 sin 2 l33 sin 3
3l3 sin( 3 2 ) 1l1 sin( 1 2 )
1L1 sin( 1 2 ) 3 L3 sin( 3 2 )
1L1 sin( 1 3 ) 2 L2 sin( 2 3 )
1L1 sin( 1 3 ) 2 L2 sin( 2 3 )
3、加速度分析
l11e i l22e i l33e i
1 2
3
2 i il1 1 e1
1
i l2 2e 2
1．任务 根据机构的尺寸及原动件已知运动规律，求构件中从动件上 某点的轨迹、位移、速度及加速度和构件的角位移、角速度及角 加速度。 2．目的 了解已有机构的运动性能，设计新的机械和研究机械动力性 能的必要前提。 3．方法 主要有图解法和解析法。图解法又有速度瞬心法和矢量方程 图解法（又称相对运动图解法）。 图解法： 形象、直观，用于平面机构简单方便，但精度 和求解效率较低。 解析法： 计算精度和求解效率高。可借助计算机计算。
机械原理 第二章-2相对运动图解、解析
速度影像原理： 同一构件上若干点形成的几 何图形与其速度矢量多边形 中对应点构成的多边形相似.
c p
极点
e b
速度多边形的特性：
1） 在速度多边形中，由极点 p
向外放射的矢量代表构件上相应 点的绝对速度，方向由极点 p 指 极点 向该点。
速度多边形
c
p
b
2）在速度多边形中，联接绝对速度矢端两点的矢量，代 表构件上相应两点的相对速度，例如 : bc 代表
1. 速度分析：
1) 依据原理列矢量方程式 将构件1扩大至与C2点重合。
B
vC2 2 C
VC 2 VC1 VC 2C1
ω1
1
大小： ？ √ ? 方向： ⊥CD ⊥AC ∥AB
1
vC1 c2 (c3)
3
D 4
A
4
2) 取速度比例尺 v , 作速 度多边形，由速度多边 形得：
vC 3 vC 2 pc2 v vC 2C1 c1c2 v vC 3 pc2 v 3 lCD lCD
P
c1
( 顺时针 ）
2. 加速度分析：
1) 依据原理列矢量方程式 分析：
aC2 = aC1 + aC2C1
B
2 C akC2C1
当牵连点系（动参照系）为 转动时，存在科氏加速度。 3
D 4
ω1
1
1
c2 (c3)
r k aC2C1 aC2C1 aC2C1
科氏加速度
A
4 P c1
k r a 2 v
(4) 求aE6和6
2
A
ω3 a3 5
akE6E5 =
n3
b
考研机械原理第二讲 机构的运动分析
第二讲平面机构的运动分析一用速度瞬心法作机构的速度分析1 速度瞬心的定义：作平面相对运动两构件上任一瞬时其速度相等的点，称为这个瞬时的速度中心。
分类：相对瞬心－重合点绝对速度不为零绝对瞬心－重合点绝对速度为零2 瞬心数目 K＝N(N-1)/23 机构瞬心位置的确定直接观察法：适用于求通过运动副直接相联的两构件瞬心位置。
１）两构件组成转动副时，转动副中心即是它们的瞬心。
２）若两构件组成移动副时，其瞬心位于移动方向的垂直无穷远处。
３）若两构件形成纯滚动的高副时，其高副接触点就是它们的瞬心。
４）若两构件组成滚动兼滑动的高副时，其瞬心应位于过接触点的公法线上。
不直接形成运动副的两构件利用三心定理来确定其具体位置。
三心定理：三个彼此作平面平行运动的构件共有三个瞬心，且它们位于同一条直线上。
此法特别适用于两构件不直接相联的场合。
4传动比的计算ωi /ωj＝P1j P ij / P1i P ij两构件的角速度之比等于绝对瞬心至相对瞬心的距离之反比5.角速度方向的确定相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧，两构件转向相同相对瞬心位于两绝对瞬心之间，两构件转向相反。
常见题型：1.速度瞬心的求解（会用正多形法）2利用速度瞬心求解速度。
ωi /ωj ＝P 1j P ij / P 1i P ij例题：在图示四杆机构中，AB l =60mm ，CD l =90mm ，AD l =BC l =120mm ，2ω=10rad/s ，试用瞬心法求： (1)当ϕ=45°时，点C 的速度C v；(2)当ϕ=165°时，构件3的BC 线上(或其延长线上)速度最小的一点E 的位置及其速度大小；(3)当C v =0时，ϕ角之值(有两个解)。
P 13C(a)解：以选定的比例尺0.005/l m mm μ=作机构运动简图如图3-2所示。
（1）定瞬心P 13的位置，求v c 。
131331 6.07rad /AP DP l l s ωω==30.547/c l v CD m s μω==（2）如图（b ）所示，定出构件2的BC 线上速度最小的一点E 位置及速度的大小。
第3章机构的运动分析-1
E
an EB
C 3 4
ω3
aE e'
b'
ω2
A
2
aB
1
w4
D
a
t EB
a
n EB
(P12 )
以曲柄滑块机构为例，进一步说明用矢量方程图 解法作机构的速度分析和加速度分析的具体步骤。
例 : 已知曲柄滑块机构原动件 AB 的运动规律和各构件尺寸。求： (1)图示位置连杆BC的角速度和 其上各点速度。 (2)连杆BC的角加速度和其上C点 加速度。 ω2 2
极点
C
vEC
vCB vEB
b
bc 代表 vCB 。
e
3）在速度多边形中,极点p 代表机构中速 度为零的点。 4）已知某构件上两点的速度 ,可用速度影 像法求该构件上第三点的速度。
速度多边形
E B
A
C
vC x
p
极点
C
vEC e
vCB
vB
vEB
b
△bce ~ △BCE
已知连杆上两点的速度vB 、vC 用速度影像法可以确定vE 。
④确定点的轨迹（连杆曲线）。
V型发动机运动简图
D
E
C B
A
3-1
机构运动分析的任务、目的及方法
1.机构运动分析的任务与目的
（2）速度分析
5 4
①掌握从动件的度变化规律 是否满足工作要求。如牛 头刨床； ②为加速度分析作准备。
2
1 3
6
3-1 机构运动分析的任务、目的及方法
1.机构运动分析的任务与目的
用三心定理可以确定ω3、ω4 的大小。
平面铰链四杆机构
例2：用三心定理分析凸轮机构速度 (v3)。 1
an EB
C 3 4
ω3
aE e'
b'
ω2
A
2
aB
1
w4
D
a
t EB
a
n EB
(P12 )
以曲柄滑块机构为例，进一步说明用矢量方程图 解法作机构的速度分析和加速度分析的具体步骤。
例 : 已知曲柄滑块机构原动件 AB 的运动规律和各构件尺寸。求： (1)图示位置连杆BC的角速度和 其上各点速度。 (2)连杆BC的角加速度和其上C点 加速度。 ω2 2
极点
C
vEC
vCB vEB
b
bc 代表 vCB 。
e
3）在速度多边形中,极点p 代表机构中速 度为零的点。 4）已知某构件上两点的速度 ,可用速度影 像法求该构件上第三点的速度。
速度多边形
E B
A
C
vC x
p
极点
C
vEC e
vCB
vB
vEB
b
△bce ~ △BCE
已知连杆上两点的速度vB 、vC 用速度影像法可以确定vE 。
④确定点的轨迹（连杆曲线）。
V型发动机运动简图
D
E
C B
A
3-1
机构运动分析的任务、目的及方法
1.机构运动分析的任务与目的
（2）速度分析
5 4
①掌握从动件的度变化规律 是否满足工作要求。如牛 头刨床； ②为加速度分析作准备。
2
1 3
6
3-1 机构运动分析的任务、目的及方法
1.机构运动分析的任务与目的
用三心定理可以确定ω3、ω4 的大小。
平面铰链四杆机构
例2：用三心定理分析凸轮机构速度 (v3)。 1
第三章平面机构的运动分析
A。以转动副直接相联的---------在转动副中心 B。以移动副直接相联的---------在垂直于移动方向的无穷远处 C。以高副直接相联的：纯滚动----- --在接触点 非纯滚动-----在接触点的公法线上
•不以运动副直接相联的构件
三心定理：三个彼此作平面平行运动的构件共有
三个瞬心，且必在同一直线上。 例1：求图3-3所示机构的瞬心 N=n（n-1）/2 =4（4-1）/2 =6
上例中：构件4、5形成移动副，该两构件上的重合点D的 速度关系如下： VD5 = VD4+ VD5D4 大小 ？ √ ？ 方向 ⊥DF √ ∥移动方向
ω5= VD5/LDF
构件4、5形成移动副，该两构件上的重合点D的 加速度关系如下：
aD5 = aD5n + a D5t =aD4 + aD5D4k （哥氏加速度） + aD5D4r 大小 ω52* LDF ？ √ 2ω4* VD5D4 ？ 方向 D→F ⊥DF √ VD5D4方向沿ω4转过900 ∥移动方向 构件4、5形成移动副，两构件间无相对转动， 则： ω5= ω4
3-4 综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复杂机构 进行速度分析
例3-2,求图示齿轮--连杆组合机构中构件6的角速度。 解：
K点为构件2、4的瞬心，VK= ω2*LOK E点为构件1、4的瞬心，VE=0 构件4上已知两点K、E的速度，第三点B的速度可用影象法求 用矢量方程VC = VB + VCB可求出VC，则ω6=VC/LCD
例2:求图3-4中从动件3的移动速度。
解:
1 .先求出构件2、3的瞬心 2.V3=VP23= ω2*P12P23 P13∞
例3：求图示机构中构件6的移动速度。 解：V6=VP26= ω2*P12P26
•不以运动副直接相联的构件
三心定理：三个彼此作平面平行运动的构件共有
三个瞬心，且必在同一直线上。 例1：求图3-3所示机构的瞬心 N=n（n-1）/2 =4（4-1）/2 =6
上例中：构件4、5形成移动副，该两构件上的重合点D的 速度关系如下： VD5 = VD4+ VD5D4 大小 ？ √ ？ 方向 ⊥DF √ ∥移动方向
ω5= VD5/LDF
构件4、5形成移动副，该两构件上的重合点D的 加速度关系如下：
aD5 = aD5n + a D5t =aD4 + aD5D4k （哥氏加速度） + aD5D4r 大小 ω52* LDF ？ √ 2ω4* VD5D4 ？ 方向 D→F ⊥DF √ VD5D4方向沿ω4转过900 ∥移动方向 构件4、5形成移动副，两构件间无相对转动， 则： ω5= ω4
3-4 综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复杂机构 进行速度分析
例3-2,求图示齿轮--连杆组合机构中构件6的角速度。 解：
K点为构件2、4的瞬心，VK= ω2*LOK E点为构件1、4的瞬心，VE=0 构件4上已知两点K、E的速度，第三点B的速度可用影象法求 用矢量方程VC = VB + VCB可求出VC，则ω6=VC/LCD
例2:求图3-4中从动件3的移动速度。
解:
1 .先求出构件2、3的瞬心 2.V3=VP23= ω2*P12P23 P13∞
例3：求图示机构中构件6的移动速度。 解：V6=VP26= ω2*P12P26
机械原理包含课后答案
第一章绪论一、教学要求（1）明确本课程研究的对象和内容，及其在培养机械类高级工程技术人才全局中的地位、任务和作用。
（2）对机械原理学科的发展现状有所了解。
二、主要内容1．机械原理课程的研究对象机械原理（Theory of Machines and Mechanisms）是以机器和机构为研究对象，是一门研究机构和机器的运动设计和动力设计，以及机械运动方案设计的技术基础课。
机器的种类繁多，如内燃机、汽车、机床、缝纫机、机器人、包装机等，它们的组成、功用、性能和运动特点各不相同。
机械原理是研究机器的共性理论，必须对机器进行概括和抽象内燃机与机械手的构造、用途和性能虽不相同，但是从它们的组成、运动确定性及功能关系看，都具有一些共同特征：1）人为的实物（机件）的组合体。
2）组成它们的各部分之间都具有确定的相对运动。
3）能完成有用机械功或转换机械能。
机构是传递运动和动力的实物组合体。
最常见的机构有连杆机构、凸轮机构、齿轮机构、间歇运动机构、螺旋机构、开式链机构等。
它们的共同特征是：（1）人为的实物（机件）的组合体。
（2）组成它们的各部分之间都具有确定的相对运动。
2．机械原理课程的研究内容1、机构的分析1）机构的结构分析（机构的组成、机构简图、机构确定运动条件等）；2）机构的运动分析（机构的各构件的位移、速度和加速度分析等）；3）机构的动力学分析（机构的受力、效率、及在外力作用下机构的真实运动规律等）；2、机构的综合（设计）：创新的过程1）常用机构的设计与分析（连杆机构、凸轮机构、齿轮机构、常用间歇机构等）；2）传动系统设计（选用、组装、协调机构）通过对机械原理课程的学习，应掌握对已有的机械进行结构、运动和动力分析的方法，以及根据运动和动力性能方面的设计要求设计新机械的途径和方法。
3 机械原理课程的地位和作用机械原理是以高等数学、物理学及理论力学等基础课程为基础的，研究各种机械所具有的共性问题；它又为以后学习机械设计和有关机械工程专业课程以及掌握新的科学技术成就打好工程技术的理论基础。
用矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析
b2
ω3=v pb3/LBC，顺时针方向
加速度关系a ① 加速度关系
A
r B3B2
aB3 = a
大小 方向 ak
n B3
+a
t B3
= aB2 + a
+a
k B3B2
1 2 B
ω1
? ω23LBC ? ω21LAB ? 2vB3B2ω3 ? B→C ⊥CB B→A // //BC √ 转过90 沿ω3转过 °
方程不可解 方程可解 G C F E
D
vG = vB + vGB ＝ vC + vGC = vG 大小 ? √ ? ? √ ? 方向 ? √ √ √ √ ?
● 重合点应选已知参数较多的点(一般为铰链点) 。 重合点应选已知参数较多的点(一般为铰链点) 选C点为重合点 点为重合点 v C 3 = v C 4 + v C 3C 4 ? ? 大小 ? 方向 ? √ √
c b
p
角速度 ω=vBA/LBA=v ab/l AB，顺时针方向 / ， 同理 ω=v ca/l CA / ω=v cb/lCB / 因此 ab/AB=bc/BC=ca/CA / / / 于是 abc∽ABC
速度多边形 c b 速度极点 速度零点) (速度零点) C A
ω
a
B
p
●
●
●
●
速度多边形( 速度多边形(Velocity polygon)的性质 ) 联接p点和任一点的向量代表该点在 联接 点和任一点的向量代表该点在 机构图中同名点的绝对速度， 机构图中同名点的绝对速度 ， 指向 C 为p→该点。 →该点。 A 联接任意两点的向量代表该两点 ω 机构图中同名点的相对速度， 在 机构图中同名点的相对速度 ， 指向与速度的下标相反。 指向与速度的下标相反 。 如 bc代 代 a 表 vCB 而不是vBC 。 常用相对速度 而不是 来求构件的角速度。 来求构件的角速度。 abc∽ABC，称abc为ABC的速 ∽ ， 为 的速 c 度影像( ) 度影像(Velocity image)，两者相似 b 且字母顺序一致， 且字母顺序一致 ， 前者沿 ω方向转 过90。 速度极点 极点p代表机构中所有速度为 速度极点 代表机构中所有速度为 零的点的影像。 零的点的影像。
机械原理(2015春)矢量方程图解法 两构件上重合点间的速度和加速度分析
a = a + a + a 则
k
r
c1
c2
c1c2
c1c2
w a = 2 V k
c1c2
2 c1c2
4 例题：已知构件1的运动，求： vC 、vD及 w2、w5和a5
（1）速度分析
v D = v B + v DB
大小 ? √
?
方向 ? √
√
v C = v B + v CB
?
√
?
√
√
√
vC = mv pc (m s) vCB = mv bc (m s)
.
p
VB3
b3
VB2
VB3B2
b1(b2)
w1 1
A
3
C
（2）
加
速
度
分
析
a n B3 a B3
大
小
：
w 32 l BC
方向： B C
⊥BC
顺时针
w12l AB
2w2VB 3 B 2
VB 3 B 2沿w 2转90°
a3
=
a
t B
3
l BC
=
m a n 'b3 ' l BC
?
∥BC
a B2
n ' atB3 b3'
当牵连运动为平动（ w1 = 0）则无科氏加速度。
v CB = w 2 l BC
p w 2
=
v CB l BC
=
m v bc l BC
（逆）
这里用速度影像求vD
选重合点：E(E4、E5)
VC
VD d
VB
b
矢量方程图解法作速度加速度分析
其中：B2 点对 B1 点的相对加速度 B2 点对 B1 点的科氏加速度 2、作图方法 具体方法为图解矢量方程。 基础知识：一个矢量有大小和方向两个要素。 用图解的方法一个矢量方程可以求出两个未知要素 （包括大小和 方向均可以） 。 例题：
r aB 2 B1
k aB 2 V 2 B1 1 B 2 B1
n a BA 2 l AB
t a BA l AB
如图构件 1 和 2，B 点此时构件 1 和 2 的重合点，根据理论力学的知识我 们可以得到：
(B B )
1 2
B
1 2
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
VB 2 VB1 VB 2 B1
r k a B 2 a B1 a B 2 B1 a B 2 B1
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
解：1、求速度和角速度
VC VB VCB
大小 ？ lABω ？ 方向 ⊥CD ⊥AB ⊥BC → VC
VE VB VEB VC VEC
大小 方向 ？
1l AB ？
√
? → VE
？ √
⊥BE √ ⊥EC
2
VCB V , 方向：顺时针 3 C ,，逆时针 (方向判定采用矢量平移) l BC lCD
E
a a n a B EB EB
√ E→B √
2 2 l BE
？ ？
⊥BE
2 l BE
加速度多边形中：
n 2 2 4 2 aCB (aCB ) 2 (aCB )2 (2 2 l CB ) ( 2 l CB ) l CB 2 2
r aB 2 B1
k aB 2 V 2 B1 1 B 2 B1
n a BA 2 l AB
t a BA l AB
如图构件 1 和 2，B 点此时构件 1 和 2 的重合点，根据理论力学的知识我 们可以得到：
(B B )
1 2
B
1 2
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
VB 2 VB1 VB 2 B1
r k a B 2 a B1 a B 2 B1 a B 2 B1
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
解：1、求速度和角速度
VC VB VCB
大小 ？ lABω ？ 方向 ⊥CD ⊥AB ⊥BC → VC
VE VB VEB VC VEC
大小 方向 ？
1l AB ？
√
? → VE
？ √
⊥BE √ ⊥EC
2
VCB V , 方向：顺时针 3 C ,，逆时针 (方向判定采用矢量平移) l BC lCD
E
a a n a B EB EB
√ E→B √
2 2 l BE
？ ？
⊥BE
2 l BE
加速度多边形中：
n 2 2 4 2 aCB (aCB ) 2 (aCB )2 (2 2 l CB ) ( 2 l CB ) l CB 2 2
矢量方程图解法作速度加速度分析
取基点 p，按比例尺作速度图如图（b）所示 ∴3
VB3 ，顺时针 l BC
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
3、求角加速度
K r a B3 a B 2 a B 3B 2 a B3B 2 n k r aB 3 a B3 a B 2 a B3B 2 a B3B 2
方向 B→C
大小
⊥BC
？
B→A ⊥BC
∥BC
32 l BC
12 l Hale Waihona Puke B2 2VB 3 B 2 ？
取基点 p’，按比例尺作加速度图如图（c）所示
k aB 3 B 2 2 2VB 3 B 2 sin ； 90 °
2与VB3B 2
方向：将 VB 3 B 2 沿 2 转动 90°。
2
V
B2 B3
a
B
a ∴ 3 B3 ， 逆时针 l BC
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
2、对于某些含有移动副的机构，采用扩大构件找重合点、杆块对调或导路 平移的方法，往往可以使问题简化。如下图所示：
3、 同一构件上的两点的速度在其两点的连线上投影相等； 组成移动副两构 件重合点处的速度在垂直导路方向的投影相等。如下图所示：
教
一、 二、 三、 组织课堂
学
内
容
与
教
学
过
程
提示与补充
复习上次课内容 讲授新课
1、 两构件重合点间的速度和加速度求解 2、 运用瞬心法和矢量方程图解法对机构速度进行分析 3、 小结 4、 作业
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
利用课件对上节课讲过的内容进行简单的回顾
§3-3 用矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析
用矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析
v B v A v BA
? √
C vA A B
大小 方向
√ √
?
BA
vB
选 速 度 比 例 尺 v(msmm) ， a 在任意点p作图，使vA v pa 由图解法得到 B点的绝对速度 vBv pb，方向p→b B点相对于 A点的速度 vBAvab ，方 向a→b b
大小 ? 方向 √ √ √ ? √
D 4
方程可解
取C为重合点 v C 3 v C 4 v C 3C 4
大小 ? 方向 ? ? √ ? √
方程不可解 3
t B t 2 1 A
取构件3为研究对象 C vC 3 v B 3 vC 3 B 3 4 D 大小 ? √ ? 方程不可解 方向 ? √ √ 将构件4扩大至包含B点，取B点为重合点 v B4 v B3 v B4B3
p
vC v A vCA
√ ? √ CA
大小 方向
? ?
方程不可解
vC v B vCB
大小 方向 ? ? √ ? √ CB
方程不可解 C A B a
联立方程 v C v A v CA v B v CB
大小 方向 ? ? √ ? √ CA √ ? √ CB
方程可解
由图解法得到 C点的绝对速度
vCv pc，方向p→c vCAvac，方向 vCBvbc，方向
b
c
p
C点相对于A点的速度 a→c C点相对于 B点的速度 b→c
角速度 =vBALBA=v abl AB，顺时针方向
同理 =v cal CA =v cblCB 因此 abAB=bcBC=caCA 于是 abc∽ABC
矢量方程图解法
pb vB V
v
(
ms mm
)
p
vCB 2l BC
2
vCB l BC
v bc
l BC
（逆）
VC
VD d
c
VB
VCB
b
vD vB vDB
? 2lBD
? BD
vD vC vDC
或 ? 2lCD
? CD
这里用速度影像求
机械原理
第3章 平面机构的运动分析
p
c
(d4) d
d5’
b
aD5t
c’
P’
k’
n5’ d’
n’ b’
机械原理
第3章 平面机构的运动分析
作业： 3-13
若以C1 为动点，以C2 为牵连点，
则
ac1
ac2
ak c1c2
ar c1c2
a 2 V k
c1c2
2 c1c2
机械原理
第3章 平面机构的运动分析
已知构件1的运动，求 vC 、vD及 2 5和5 1。速度分析
分析构件2上的B、C两点间的速度
大小 方向
vC v pc (m s) vCB v bc (m s)
2）连接两绝对速度矢端的矢量（例 bc 、ce、be)代表 构意件：上下相标应相点反的，相bc对代速表度VC（B）例VCB、VEC、 VEB)；（注
3)速度影像：△bce ∽△BCE，
且角标顺序方向一致
机械原理
第3章 平面机构的运动分析
(2)加速度分析
加速度多边形的特点: 1）由极点p’向外放射的矢量代表构件相应点的绝对加速度。
机械原理矢量方程图解法
2。加速度分析
加速度分析必须在速度分析之后进行
p'b' aB
a aC a p'c' (m s2 )
b'n' 22lBC a
2
aCt B l BC
a n'c'
l BC
(逆)
aD
aB
a
n DB
a
t DB
大小 ？ 22l BD 2l BD
方向 ?
D B BD
加速度多边形的特点
1）由极点p’向外放射的矢量代表构 件相应点的绝对加速度。
' 5
l DF
方向：顺时针
重合点的选取:
重合点的选取应能使所列矢
量方程具有足够的已知要素并能
求解，为此可考虑将构件扩大， 包含所选的重合点。 如左图：
若取C(C2、C3)为重合点: 则：
VC2 VC3 VC2C3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ？0
？
？V
V
若取B(B2、B3)为重合点:
则：VB2 VB3 VB2B3
V?
?
3）速度影像：速度多边形上的三角形bcd与 机构简图上的三角形BCD相似，且三角 形bcd是三角形BCD沿构件2的角速度方 向转90度的相似三角形，字母的顺序也 一致。速度影像适用于求同一构件上其 它点的速度。
4）构件 2 角速度的确定
大小：
2
VCB lBC
V bc
lBC
方向： 将bc移到机构简图的C点，根据bc 绕 B点转动的方向确定。
选重合点：E(E4、E5)
vE5 vE4 vE5E4 大小 ？ ？ ？
选重合点：D(D4、D5) 方向 EF ?
// EF
机械原理 第3章 平面机构的运动分析
VD5 = VD4+ VD5D4 大小 ？ √ ？
方向 ⊥DF √ ∥移动方向
ω5= VD5/LDF
aD5
= aD5n +
a
t D5
=aD4
+
aD5D4k （哥氏加速度） +
aD5D4r
大小 ω52* LDF ？ √ 2ω4* VD5D4
？
方向
√ D→F ⊥DF
VD5D4方向沿ω4转过900
∥移动方向
二.实例分析
1、矢量方程图解法的基本原理和作法 原理：相对运动原理 方法：对矢量方程进行图解 1）同一构件上两点间速度和加速度的关系 同一构件上一点的运动可看成是随该构件上另 一点的平动和绕该点的转动的合成。
VB=VA+VBA aB=aA+aBAn+aBAt
1 同一构件两点间的和关系
构件2：已知B和B
1)去除局部自由度； 2)剔除虚约束；（D？）
3)正确确定运动副的数目； 4)构件编号； 5) 列式计算 • F=3×5－2×6－1×2
•用速度瞬心作机构的速度分析
•用矢量方程图解法作机构的速度分 析及加速度分析
第三章 平面机构的运动分析
3-1 平面机构运动分析的任务目的和方法 平面机构的运动分析是指 ：
已知原动件的运动规律、机构尺寸，求其 它构件上某点的运动（s、v、a）
方法：
1 、图解法 特点： 形象直观，精度低，用于求个别
位置的运动特性
VC = VB + VCB
大小 ？ √
？
方向∥X-X ⊥AB ⊥BC
设速度比例尺，作速度图，
设p（小写）为速度极点，
速度极点的速度为零。
第三章 平面机构的运动分析
第三章 平面机构的运动分析
➢机构中瞬心的数目
因为每两个构件就有一个瞬心，所以由 m个构件（含机架）组成的机构，总的瞬 心数K为
k = m(m-1) / 2
m----机构中的构件（含机架）数。
第三章 平面机构的运动分析
➢机构中瞬心位置的确定
（1）通过运动副直接连接的两构件的瞬心
（2）不直接相连的两构件的瞬心
例6：如图所示为一导杆机构，其特点是铰链点B2不在
导杆3的导杆线上。已知原动件1以匀角速度1 转动。 试求导杆3的角速度3 和角加速度 3
第三章 平面机构的运动分析
例7 如图a所示为一平底摆动从动件盘形凸轮机构， 平底2与凸轮1在点K相切成高副。已知凸轮1的匀角
速度为1 ，求从动件2的角速度 2 和角加速度 2
va ve vr
第三章 平面机构的运动分析
牵连运动为平动时的加速度合成定理：当牵连运 动为平动时，动点在每一瞬时的绝对加速度等于牵连 加速度与相对加速度的矢量和。
aa ae ar
牵连运动为转动时的加速度合成定理：当牵连运动
。
为转动时，动点的每一瞬时的绝对加速度等于相对加 速度、牵连加速度与哥氏加速度三者的矢量和。
基本要求： (1)明确理解速度瞬心(绝对速度瞬心和相对 速度瞬心)的概念。并能运用“三心定理”确 定一般平面机构多瞬心的位置。 (2)能以相对运动图解法对一般平面机构进行 速度分析和加速度分析。 (3)能以解析法写出一般平面机构的位置方程、 速度方程和加速度方程。
第三章 平面机构的运动分析
重点： (1)速度瞬心以及“三心定理”的运用。 (2) 矢量方程图解法，一般平面机构的速度多 边形及加速度多边形的作法。 难点： 速度瞬心和矢量方程图解法求机构的加速度， 特别是哥氏加速度。
机械原理 西工大第八版第3.2节 用矢量方程图解法作运动分析
a
k
B3B2
2vB3B22
无科氏加速度的四种情况 （1）1、3、4重合； （2）B处在最高、低点； （3）1、3垂直，
三、机构运动分析中应注意的若干问题
1.建立速度或加速度向量方程时，一定要从已知速度 或加速度的点开始列方程 重合点的选取原则 ——选已知参数较多的点 （一般为铰链点）
C A 1 2
n5 G 5 B ω1 A 6 1 D p c V E5E4 e5 e′ 5 c′ n2 k E 4 C 2 3 e 2 (e 4 ) e 2′ (e′ 4 ) n3 b′ b p′
解：1）取μL，画出机构图如图 2）计算F：F=3×5-2×7=1 等于原动件数，可解。 3）结构分析：机构由机架和原动件、Ⅱ级杆组2-3、Ⅱ级 杆组4-5组成。 4）Ⅱ级杆组2-3的运动分析： 速度分析： VC = VB + VCB 大小 ？ ω1LAB ？ 方向 ⊥CD ⊥AB ⊥CB
方向计量为正。
举例:已知四杆机构各杆长度和θ1，ω1，确定构件1在回转一周的过程中 每 隔30o 时构件2、3的方位角θ2、θ3 , 角速度ω2、ω3 , 角加速度α2、α3。
解：将封闭矢量方程式 :
i1
第三章
平面机构的运动分析
l1 l2 l3 l4 0 表示为复数形式，有
2．加速度分析：
B3 点 的 aB3 由 B2 的 牵 连 加 速 度 aB2 、 相 对 加 速 度 arB3B2 、 科 氏 加 速 度 akB3B2
=2ω2×VB3B2组成。即 anB3 + atB3 = anB2 + atB2 + arB3B2 + akB3B2 大小 ω32LBC ？ ω12LAB 0 ？ 2ω2VB3B2 方向 B→C ⊥BC B→A ∥BC VB3B2 沿ω3转90 取定极点Pˊ及比例尺μa。图解如图得： arB3B2 = μa· kb3ˊ m/s2 方向 k→b3ˊ atB3 =α3LBC =μa· n3b3ˊ m/s2 方向 n3→b3ˊ α3 = atB3/LBC 1/s2 转向 ccw（按atB确定）
矢量方程图解法哥氏加速度
平面机构运动分析
（矢量方程图解法）
•矢量方程的图解法
•同一构件上各点间的运动关系
•两构件瞬时重合点间的运动关系
§3
用矢量方程图解法分析平面机构的运动 b
一、矢量方程的图解法
矢量：大小、方向
矢量方程
A
AB C
A C
a
B
x
一个矢量方程可以解两个未知量。
AB C
大小 √ √ 方向 √ √
？ √ √ √
点的复合运动=动系(重合点)的牵连运动+相对 (该重合点的)运动 选两构件重合点
DEBiblioteka 5CVC VB VCB
？ 1LAB ？
水平 AB BC
1 1
A
B
1
2
F
6 VB 作速度多边形 以速度比例尺 V pb VC 得： P•
c VCB b
VCB bc V
VCB 2 VC pc V LBC
VB
（逆时针）
B
aB aA a a
大小
aB •
A
？ 方向 ？
√ 2LAB LAB √ BA AB
•
aBA
2）两构件重合点之间的运动关系
（动点的运动=牵连点的运动+动点相对牵连点的运动）
VB1 VB 2 VB1B 2
？
？
aB1B2
1
√ √
√ √
k B1B 2
•
2
VB1B2 B 哥氏
a
r D5 D 4
d 5' c'
52 LDF
√ DF DF √
t D5
？
24VD5D4
（矢量方程图解法）
•矢量方程的图解法
•同一构件上各点间的运动关系
•两构件瞬时重合点间的运动关系
§3
用矢量方程图解法分析平面机构的运动 b
一、矢量方程的图解法
矢量：大小、方向
矢量方程
A
AB C
A C
a
B
x
一个矢量方程可以解两个未知量。
AB C
大小 √ √ 方向 √ √
？ √ √ √
点的复合运动=动系(重合点)的牵连运动+相对 (该重合点的)运动 选两构件重合点
DEBiblioteka 5CVC VB VCB
？ 1LAB ？
水平 AB BC
1 1
A
B
1
2
F
6 VB 作速度多边形 以速度比例尺 V pb VC 得： P•
c VCB b
VCB bc V
VCB 2 VC pc V LBC
VB
（逆时针）
B
aB aA a a
大小
aB •
A
？ 方向 ？
√ 2LAB LAB √ BA AB
•
aBA
2）两构件重合点之间的运动关系
（动点的运动=牵连点的运动+动点相对牵连点的运动）
VB1 VB 2 VB1B 2
？
？
aB1B2
1
√ √
√ √
k B1B 2
•
2
VB1B2 B 哥氏
a
r D5 D 4
d 5' c'
52 LDF
√ DF DF √
t D5
？
24VD5D4
机械运动原理
③确定构件(活塞)行程， 找出上下极限位置。
④确定点的轨迹（连杆曲线），如鹤式吊。
青岛科技大学专用
作者： 潘存云教授
2.速度分析 ①通过分析，了解从动件的速度变化规律是否满足 工作要求。如牛头刨 ②为加速度分析作准备。
3.加速度分析的目的是为确定惯性力作准备。
方法： 图解法－简单、直观、精度低、求系列位置时繁琐。 解析法－正好与以上相反。
1.作瞬心多边形圆
2.直接观察求瞬心 P24
3.三心定律求瞬心
∞
1 6
5 4
P36 2
3 P13
P26
P35
P25
2 作者：潘存云教授
P12
P46 P 作者：潘存云教授
45
4
P34 3
P23
5
青岛科技大学专用
P14 1
P15
∞ P16
6 P 作者： 5潘6存云教授
四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
P13
1 23
∵每两个构件就有一个瞬心
P12 P23
∴根据排列组合有 N＝n(n-1)/2
构件数 4 瞬心数 6
56
8
10 15 28
青岛科技大学专用
作者： 潘存云教授
3）机构瞬心位置的确定
1.直接观察法 适用于求通过运动副直接相联的两构件瞬心位置。
P12
1
2
P12 ∞
1
n
1
2
2
P12 t
1t 2 V12
③∵△a’b’c’∽△ABC，称a’b’c’
为ABC的
C
加速度影象，称p’a’b’c’为PABC
E
的加特速别 注 意 ： 影 象 与 构 件 相 似 而 不
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2、作图方法
具体方法为图解矢量方程。
基础知识：一个矢量有大小和方向两个要素。
用图解的方法一个矢量方程可以求出两个未知要素（包括大小和
方向均可以）。
例题：
C B
A P
A BC
大小 ？ √ ？
方向 √ √ √
A BC
大小 √ √ ？
方向 √ √ ？
二、同一构件上两点之间的速度和加速度关系
8
8
B
3
P23 (P24)
2
4
C P34
1
A P12
（b） P13
8
P23 B 3 P34
2
A P12
1
4
P24 C P14
8
（d）
P13
3
A
M P23B
Vm
P24
2 A P12
1
C4
P14 P34
8
青岛滨海学院教师教案 §3-3 用矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析
一、矢量方程图解法的基本原理及作图法
注意：速度影像只能应用于同一构件上的各点。 总结：
1） 一个矢量方程最多只能求解两个未知量； 2） P 称为极点，它代表机构中所有构件上绝对速度为零的点；
青岛滨海学院教师教案
（速度多边形中仅此一点，它可能对应机构中多个点：机架上的点或构件的绝 对瞬心点）
3）由 P 点指向速度多边形中任一点的矢量代表该点的绝对速度大小和方 向；
们可以得到：
(B1 B2 ) B
1 2
VB2 VB1 VB2B1
青岛滨海学院教师教案
aB2
a B1
aBr 2B1
aBk 2B1
其中：B2 点对 B1 点的相对加速度
a
r B
2
B1
B2 点对 B1 点的科氏加速度
aBk 2B1
2 1
VB 2 B1
青岛滨海学院教师教案 课 题 §3-3 用矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析
教学 目的 要求
1、掌握矢量方程图解法的基本原理及作图方法 2、熟练掌握相对运动图解法对机构进行速度、加速度分析
教学 重 点 相对运动图解法对机构进行速度、加速度分析
教学 难点
相对运动图解法矢量方程、速度和加速度多边形
教学内容与教学过程
法的基本原理和作图方法，接着用例题讲解了同一构件上两点之间的速度和加 速度关系的求解方法和步骤。
作业：P44 3-6 （利用 3-6 原题的已知条件，采用这节课讲解的矢量方 程图解法的方法来求解本题。）
已知：四杆机构 ABCDE 机构的位置如图所示，各个构件的长度已知，原
动件
1
的角速度
1
，求：
VC
、
VE
、
aC
、
a
E
、
2
、
3
、
2
、
3
？
青岛滨海学院教师教案
解：1、求速度和角速度
VC VB VCB
大小 ？ lABω ？ 方向 ⊥CD ⊥AB ⊥BC
→ VC
VE VB VEB VC VEC
大小 ？ 1lAB ？ √ ?
方向 ？ √ ⊥BE √ ⊥EC
→ VE
2
VCB l BC
,
方向：顺时针 3
VC lCD
,，逆时针
(方向判定采用矢量平移)
在速度多边形中，△bce 和 △BCE 相似，图形 bce 为 BC’E 的速度影像。
在速度多边形中：P→极点， bc V CB
原理找到对应的点。 8）多杆机构的运动分析通常按杆组的装配顺序进行。 2、求加速度和角加速度
青岛滨海学院教师教案
aC aB aCB
或 acn act aBn atB aCnB aCB
大小
2 3
lCD
?
2 1
l
AB
1l AB
22lBC
?
方向
C→D ⊥CD B→A ⊥AB C→B ⊥BC
aB
aA
aBA
aA
a
n BA
aBt A
其中：B 点对 A 点的相对法向加速度
a
n BA
2
l AB
B 点对 A 点的相对切向加速度
a
t BA
l AB
（2）两构件重合点间的运动关系
如图构件 1 和 2，B 点此时构件 1 和 2 的重合点，根据理论力学的知识我
4）除 P 点之外的速度多边形上其它两点间的连线，则代表两点间的相对速 度（注意 b→c = VCB）
5）角速度的求法：ω =VCB/LBC 方向判定采用矢量平移;该角速度就是绝
对角速度，(随同基点平动+相对转动) 6）同一构件上，已知两点的运动求第三点时才可以使用速度影象原理。（机
构整体不存在影象） 7）随意在速度矢量图上指定一点，可能在机构图中的每一个构件上按影象
求 aE ： aE aB aEnB aEB
方向 ？ √ E→B ⊥BE
大小
？
√
2 2
l
BE
加速度多边形中：
2lBE
aCB
(aCnB ) 2 (aC B ) 2
(
2 2
lCB
)
2
( 2lCB ) 2
lCB
4 2
2 2
同理： aEB lEB
4 2
矢量方程图解法又称相对运动图解法。
1、矢量方程图解法基本原理：用相对运动原理列出构件上点与点之间的
相对运动矢量方程，然后作图求解矢量方程。也就是理论力学中的运动合成原
理。
（1）同一构件上两点间的运动关系
如图构件 AB，根据理论力学的知识我们可以
得到：
B
VB VA VBA
A
其中：B 点对 A 点的相对速度 VBA lAB
2 2
aEC lEC
4 2
2 2
∴ aCB : aEB : aEC lCB : lEB : lEC
∴ bc : be : ce BC : EB : EC 即 bce 和 BCE 相似，称 bce 为
BCE 的加速度影像。 注意：只用于同一构件上。 小结：首先讲解上次作业中出现问题较多的部分；然后讲授矢量方程图解
一、 组织课堂 二、 讲解作业题 三、 讲授新课
1、 矢量方程图解法的基本原理及作图法 2、 同一构件上两点之间的速度和加速度关系 3、 小结 4、 作业
需 2 课时
教案编写日期 年月日
提示与补充
讲解课后作业题
青岛滨海学院教师教案
3-3 求作图示机构在所在位置时的全部的速度瞬心。 解：（a）
P13 P14