微积分小论文——关于拉格朗日乘数法的方程组解法讨论

关于拉格朗日乘数法方程组的解法讨论 作者信息：通信工程 201201916005雷志坤

摘要

本文针对求解条件极值问题时运用的拉格朗日乘数法，归纳总结了一些在求解方程组的过程中所运用的方法技巧。从而，在我们遇到相关问题时，能系统、快速地得出方程的解以及可能极值点。

关键词：地位对等、统一化过程、拉格朗日乘数法

问题的提出

在学到多元函数微分学时，会涉及多元函数极值与最值问题。而我们在研究分析此类问题中的条件极值问题时，常使用拉格朗日乘数法，在运用该方法过程中势必会解一个多元方程组。如果用常规方法解该方程组会显得比较麻烦，于是便思考有无简便通用的方法能迅速得出答案。

方法的发现及其证明

首先，引入拉格朗日乘数法步骤：

（1）、作辅助函数F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)

（2）、根据方程组

000(,,)0

x x x y y y z

z z F f F f F f F x y z λλϕλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪==⎩ 解出可能极值点(x0,y0,z0)以及λ

（3）、根据实际意义判断可能极值点是否为真正极值点

现给出方法发现过程：

在我们教材中实际遇到该种问题时，常常得到的方程组很有规律。 例如：

题目1：

求w=lnx+lny+3lnz 在球面x^2+y^2+z^2=5R^2上的极大值(x>0,y>0,z>0)，并利用这个结果证明当a>0,b>0,c>0时，恒有

35(

)5

27a ab b c c ++≤) (辅导教程P250，例5.48)

在此题中运用拉格朗日乘数法得到的方程组为： F(x,y,z,)=lnx+lny+3lnz+(x^2+y^2+z^2-5R^2)

2222120

12053200

x y z F x x F y y F z y z z x F R λλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪==⎩++- 我们的目的是用尽量简便的方法求解该方程组。而对于该方程组，我们可以划分为两个部分:A 、Fx=0,Fy=0,Fz=0 B 、F λ=0 。可以这样想：A 部分用以求解x,y,z 之间的关系，B 部分用以给x,y,z 定值。所以，求解该方程组的关键在于A 部分的求解。现在剔出A 部分观察分析：

222120120120120320320x x y y z z F x x F x F y F y y F z F z z

λλλλλλ⎧=+=⎪⎧=+=⎪⎪⎪=+=⇒=+=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪=+=⎪⎩ 可以发现上述方程组很有规律。即x 与y

分别与z 地位对等。怎样解释这种地位对等的关系呢？可以这样说，所谓地位对等关系，即是：假设以x 变量以及等式Fx=0为标准，若进行变量代换y=kx 后得到等式Fy=0形式上与前面的Fx=0相同，则称kx 与y 地位对等。

我们假设x=t,则观察易得

（~表示地位对等），同时上述方程组可划为：

112020

1112020201200t t t t t t t t t

t t t t λλλλλλ⎧⎧+=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=⇒+=⇒+=⎨⎨⎪⎪+=+=⎪⎩ 我们可以把这个过程叫做统一化过程。因而易知，能进行统一化过程的充分条件是：方程组中多元变量之间相互存在地位对等关系。

经验证可以发现：若一个方程组能进行统一化过程，且有对等关系x~k1y~k2z~…，则此方程组中多元变量关系为x=k1y=k2z=…。（结论）

现给出方法证明过程：

证：

00

1,2x x x y y y z z z x x x F f F f F f F f y k x z k x

λϕλϕλϕλϕ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=+=⎩=+=∴==对于方程组：

若观察发现x,y,z 间存在关系k1x~y,k2x~z 。

则易知，对于y=k1x,z=k2x

带入方程组后，符合原方程组条件：即y=k1x,z=k2x 客观成立

若有y~ k1x,z~ k2x

则存在解

同理，可推广到更多变量的方程组中

证毕

结论：

若一个方程组能进行统一化过程，且具有对等关系x~k1x1~k2x2~…~knxn ，则此方程组中多元变量关系为x=k1x1=k2x2=…=knxn 。

总结：

首先，不得不说的是，虽然该方法看起来很麻烦，其实很简单（主要是要讲清楚很麻烦）。只用观察，就能非常轻松地发现变量之间的倍数关系，非常方便。而且由于决定x,y,z 等变量关系的方程是由同一方程求偏导得到，因而很多时候该方法都很适用，能大大减少计算量以节约时间。

但是，也有部分问题不适用，例如：

题目2：

求曲面z=4-x^2-y^2平行于平面pi:2x+2y+z=8的切平面，并求曲面到平面pi 的最短距离。（辅导教程P251，例5.49）

该题后一问运用拉格朗日乘数法解决时，有：

G(x,y,z, λ)=(2x+2y+z-8) ^2+λ(x^2+y^2+z-4)

224(228)204(228)202(228)040x y z G x y z x G x y z y G x y z G x y z λ

λλλ=++-+=⎧⎪=++-+=⎪⎨=++-+=⎪⎪=++-=⎩

但是对于此种方程组方法就不适用了，原因在于：

对原方程组A 部分

4(228)204(228)202(228)0x y z x x y z y x y z λλλ++-+=⎧⎪++-+=⎨⎪++-+=⎩

我们无法找到x ，y 与z 之间的地位对等关系。但是很明显可以看出x,y 之间是存在x~y ，即一定有解x=y ，这样虽然没能直接看出x,y,z 间关系，但是对于方程组来说也解决了23的问题，余下工作量也会少一些。

其次，也不得不说的是，虽然该结论方法原理十分简单，但是我觉得这种根据外在形式观察并推测结果，然后进行验证证明猜想的思维过程值得记录。最后想说的是，很遗憾，该题经抽象后得到的方法的原理十分简单，但由于知识所限也实在想不出如何进行更为广泛的推广了。

参考文献

[1] 傅英定，谢云荪. 《微积分下册》. 第二版. 高等教育出版社.2009.7

[2] 傅英定. 彭年斌. 《微积分学习指导教程》.高等教育出版社.2005.6