微积分小论文——关于拉格朗日乘数法的方程组解法讨论
《拉格朗日乘子法的应用》论文
《拉格朗日乘子法的应用》论文
《拉格朗日乘子法的应用》
拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）是一种有效的
优化方法，其可以用于求解多元函数的极值问题。
该方法最初由拉格朗日在十九世纪中期提出，并得到广泛的应用，如求解微分方程、线性系统、多元函数和约束优化等问题。
本文将讨论拉格朗日乘子法在约束优化、最小化和寻求函数的极值问题中的应用。
首先，拉格朗日乘子法在约束优化问题中的应用。
约束优化问题是一类重要的操作研究问题，它解决的是如何有效的将计算机的资源发挥到最大效率。
拉格朗日乘子法能有效的帮助我们解决这一类问题，它将原来的优化问题转化为求解一组不等式，而这些不等式系数就是拉格朗日乘子。
根据不同的约束条件，拉格朗日乘子法能够求解各种有约束条件的多元函数问题。
其次，拉格朗日乘子法在最小化问题中的应用。
最小化问题是一类典型的优化问题，它需要求解一组变量使函数值得到最小。
拉格朗日乘子法可以帮助我们实现这一目的，将原来的最小化问题转化为求解一组相应的不等式，即拉格朗日乘子，通过求解这一组不等式可以得到最小值。
最后，拉格朗日乘子法在寻求函数的极值问题中的应用。
函数的极值问题涉及到函数的最大值和最小值的查找，拉格朗日乘子法可以有效的应用于此。
通过将极值问题转化为求解一组不等式，由拉格朗日乘子可以有效的求解函数的极值问题。
综上所述，拉格朗日乘子法是一种简单有效的优化方法，它可以用于解决多元函数的约束优化问题，最小化问题以及极值问题。
它的有效性和灵活性可以满足不同的应用情况，使得优化问题得到有效解决。
拉格朗日乘子法
拉格朗⽇乘⼦法拉格朗⽇乘数法（Lagrange multiplier）有很直观的⼏何意义。
举个2维的例⼦来说明：假设有⾃变量x和y，给定约束条件g(x,y)=c，要求f(x,y)在约束g下的极值。
我们可以画出f的等⾼线图，如下图。
此时，约束g=c由于只有⼀个⾃由度，因此也是图中的⼀条曲线（红⾊曲线所⽰）。
显然地，当约束曲线g=c 与某⼀条等⾼线f=d1相切时，函数f取得极值。
两曲线相切等价于两曲线在切点处拥有共线的法向量。
因此可得函数f(x,y)与g(x,y)在切点处的梯度（gradient）成正⽐。
于是我们便可以列出⽅程组求解切点的坐标(x,y)，进⽽得到函数f的极值。
想法就是：能够碰到极⼤极⼩值点的必要条件是：梯度场与切空间垂直，也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量，否则在切空间⽅向有分量，在流形上沿分量⽅向⾛，函数值会增加，沿反⽅向⾛，函数值会减少，不可能为局部极⼩或者极⼤值点。
⼀.⼀个基本的例⼦：假设你⽣活在三维欧⽒空间中，z⽅向的坐标数值上代表海拔⾼度。
如果你会飞，那么anyway，你想飞多⾼飞多⾼，所以你的海拔可以任意⾼也可以任意⼩，根本就没有最⼤值。
假定你是⼀个普通⼈类，你在⼀座⼭上，你的⽬标是爬到⼭顶，也就是说你希望⾃⼰的海拔⾜够⾼：当你真正到达⼭腰时，很容易“只缘⾝在此⼭中，不识此⼭真⾯⽬”，这时候如何判断是真的在往上爬呢，还是在往下⾛呢？在⾁眼所能看见的⼩范围内，你可以通过周边的局部地形来判断，假设它⼤概是这样：你就知道应该往⾼处（⼤概为红箭头⽅向）⾛，⽽不是绿箭头⽅向。
当然不⼀定⼀直沿这个⽅向直线式上升，可能还需要⾛到某个地⽅，再次做⼀下这种局部的考察，调整⼀下⽅向，保证⾃⼰能向⾼处⾛。
不过，什么是“⾼”的⼀边？这个概念究竟是如何形成的？我们知道，海拔，我们希望能够找到⼭⾯上的海拔最⾼点（⼭顶）。
梯度关于梯度⼀个很⾃然的结论就是：沿梯度⽅向是f增长最快的⽅向，反⽅向是下降最快的⽅向。
浅谈拉格朗日乘数法的应用
“高观点”下的初等数学许高峰11数本一班摘要拉格朗日乘数法是一种对于解决条件极值问题非常有效的方法，在大学的各类微积分教材中都有介绍，对于初学者可能看不到这种方法的具体作用，以致在学习的过程中难免忽略了它，本文透过拉格朗日乘数法的介绍，以及它在一些问题上的具体应用，让无论是数学专业的本科生，以及将来从事数学师范专业的学生，都能从中获取一些启发。
关键词拉格朗日乘数法最大值最小值约束条件例一：设实数y x ，满足554422=++xy y x ，设22y x S +=，则S 的最小值为.（浙江省杭州市2012届高三上学期期中七校联考数学（理））证明：因为5)(2135)(25445544022222222−+=−+++≤−++=y x y x y x xy y x 所以有05)(21322≥−+y x 成立，即131022≥+y x ，所以S 的最小值为1310，当且仅当y x=时成立.说明：一看到这类题，高中学生的第一反应一般是用不等式的知识去解决，这种思路是对的，但是用不等式的方法是有局限性的，不等式一般能解出最大值或最小值中的其中一个，却不一定能同时解出最大和最小值，比如，我把上述题目改为求S 的最大值是多少，显然改完之后，题目的难度就增加了，所以，这类题目需要我们进一步的研究，去寻找更一般的方法，从而更有效地解决这一类问题。
如果把上述题目改为求最大值，显然，如果在用不等式的知识就有点困难了，但是在高中生的知识水上，还是可以用初等数学的知识加以解决的。
容易想到把上述等式凑成平方项之和以及完全平方的形式，从直观上便可以判断出所求未知量的最大值.考虑化成如下形式：222222)(55)()(By Bx Ay Ax By Bx Ay Ax +−=+⇔=+++用待定系数法求得23=A ，210=B .不难发现当x y −=时，22Ay Ax +取得最大值，最大值S 为310.同理，很自然的，我们可以想到在求最小值的时候，也可以用待定系数法，只不过要把等式化成另一种形式，即：5)''()''(222=−−+y B x B y A x A ；按照上述的方法也可以求出最小值为1310.例二：设y x ，为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是.（2011年浙江理科数学高考试题）证明：因为222222)2(8522(23)2()2(23)2(41y x y x y x y x y x xy y x +≥+−+≥⋅−+=++=从而解得y x +2的最大值为5102，且最小值为5102−.说明：实际上，上述的两个例子均可用拉格朗日乘数法求解，虽然拉个朗日乘数法的重要作用在这两个例子中并没有充分的体现，但是，拉格朗日乘数法是一种解决这类问题的普遍方法，也就是说，如果碰到更复杂的问题，高中的知识技巧就很难“胜任”，而这时，我们就可以看到拉格朗日乘数法的巨大威力了，下面具体介绍拉格朗日的方法及应用。
微积分小论文——关于拉格朗日乘数法的方程组解法讨论
关于拉格朗日乘数法方程组的解法讨论 作者信息：通信工程 201201916005雷志坤摘要本文针对求解条件极值问题时运用的拉格朗日乘数法，归纳总结了一些在求解方程组的过程中所运用的方法技巧。
从而，在我们遇到相关问题时，能系统、快速地得出方程的解以及可能极值点。
关键词：地位对等、统一化过程、拉格朗日乘数法问题的提出在学到多元函数微分学时，会涉及多元函数极值与最值问题。
而我们在研究分析此类问题中的条件极值问题时，常使用拉格朗日乘数法，在运用该方法过程中势必会解一个多元方程组。
如果用常规方法解该方程组会显得比较麻烦，于是便思考有无简便通用的方法能迅速得出答案。
方法的发现及其证明首先，引入拉格朗日乘数法步骤：（1）、作辅助函数F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)（2）、根据方程组000(,,)0x x x y y y zz z F f F f F f F x y z λλϕλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪==⎩ 解出可能极值点(x0,y0,z0)以及λ（3）、根据实际意义判断可能极值点是否为真正极值点现给出方法发现过程：在我们教材中实际遇到该种问题时，常常得到的方程组很有规律。
例如：题目1：求w=lnx+lny+3lnz 在球面x^2+y^2+z^2=5R^2上的极大值(x>0,y>0,z>0)，并利用这个结果证明当a>0,b>0,c>0时，恒有35()527a ab b c c ++≤) (辅导教程P250，例5.48)在此题中运用拉格朗日乘数法得到的方程组为： F(x,y,z,)=lnx+lny+3lnz+(x^2+y^2+z^2-5R^2)222212012053200x y z F x x F y y F z y z z x F R λλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪==⎩++- 我们的目的是用尽量简便的方法求解该方程组。
拉格朗日条件极值的方程组怎么解
拉格朗日条件极值的方程组怎么解拉格朗日条件极值的方程组怎么解在微积分中，我们经常会遇到求极值的问题。
当我们要求一个函数在一定条件下取得最大值或最小值时，就需要用到拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法是一种利用拉格朗日乘数来处理带有约束条件的极值问题的方法，它的核心是通过引入拉格朗日乘数，将带有约束条件的问题转化为无约束条件的问题。
在实际应用中，求解拉格朗日条件极值的方程组是一个非常重要的问题，下面我将对这个问题进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章来帮助你更好地理解这个问题。
一、概念解析1. 拉格朗日乘数法我们先来了解一下拉格朗日乘数法的基本概念。
拉格朗日乘数法是用来求解带有约束条件的最优化问题的一种常用方法。
通常情况下，约束条件可以写成g(x, y, z) = k的形式，其中k为常数。
而最优化问题的目标就是极小化或者极大化一个多元函数f(x, y, z)。
利用拉格朗日乘数法，我们可以通过构造拉格朗日函数L(x, y, z, λ)来转化求极值的问题。
其中，λ为拉格朗日乘数，通过对L(x, y, z, λ)对x, y, z, λ分别求偏导，然后解方程组来求得极值点。
这就是拉格朗日乘数法的基本思想。
2. 拉格朗日条件在应用拉格朗日乘数法求解极值问题时，我们需要考虑拉格朗日条件。
拉格朗日条件是指，对于最优化问题的解，约束条件和目标函数的梯度（或导数）应当在最优解点成比例。
这个条件在数学上可以用方程组来表示，通常称为拉格朗日条件方程组。
解这个方程组就是求解拉格朗日条件极值的方程组，是非常重要的一步。
二、具体示例为了更好地理解拉格朗日条件极值的方程组怎么解，我们来看一个具体的示例。
假设我们要求函数f(x, y) = x^2 + y^2在条件g(x, y) = x + y - 1 = 0下的极小值。
这个问题可以通过拉格朗日乘数法来解决。
我们构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)，其中λ为拉格朗日乘数。
拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法是一种用于求解约束最优化问题的方法。
它通过引入拉格朗日乘子，将约束条件融入目标函数，从而将原问题转化为不带约束的问题。
拉格朗日乘数法的基本思想是，在满足约束条件的前提下，寻找目标函数的最优解。
假设有一个目标函数f(x)和一组约束条件g(x)=0，其中x是待求解的自变量。
根据拉格朗日乘数法，我们可以构建一个拉格朗日函数L(x,λ)，它由目标函数和约束条件共同决定：
L(x,λ) = f(x) + λg(x)
在拉格朗日函数中，λ称为拉格朗日乘子，用于表示约束条件的重要程度。
通过求解拉格朗日函数的驻点，即对x和λ同时求导并令导数为0，可以得到原问题的最优解。
具体而言，拉格朗日乘数法的求解步骤如下：
1. 构建拉格朗日函数：根据目标函数和约束条件，构建拉格朗日函数L(x,λ)。
2. 对拉格朗日函数求偏导数：对拉格朗日函数L(x,λ)分别对x 和λ求偏导数，得到如下方程组：
∂L/∂x = ∂f/∂x + λ∂g/∂x = 0
∂L/∂λ = g(x) = 0
3. 解方程组：求解上述方程组，得到x和λ的值。
4. 检验解的有效性：根据解得的x和λ，验证解是否满足约束条件。
通过以上步骤，就可以求解约束最优化问题，得到目标函数的最优解。
拉格朗日乘数法的优势在于能够将约束条件与目标函数相结合，通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为在优化过程中考虑的因素。
这样一来，原问题可以转化为简单的无约束优化问题，更容易求解。
拉格朗日乘数法的原理说明
拉格朗日乘数法相关理论--------陈小胖整理于20190413中午问题：设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 .分析：当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =。
（注意到此时(,)()(,)x y x y g x x y φφ'=-）。
于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极值点（同时也必然是驻点） , 有 0)(='+=x g f f dx dz y x .代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ, 简写成 x f -y ϕy f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)垂直. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)垂直, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)平行, 即存在实数λ,使 (x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0 , 0y yx x f f λϕλϕ 由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的可能的条件极值点应是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.引进所谓Lagrange 函数：),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 此时该方程的解即为约束条件0),(=y x ϕ之下，函数=z ),(y x f 的可能的极值点。
拉格朗日乘数法解方程技巧
拉格朗日乘数法解方程技巧（原创实用版3篇）目录（篇1）1.引言2.拉格朗日乘数法的基本原理3.拉格朗日乘数法解方程的步骤4.拉格朗日乘数法解方程的优点和限制5.结论正文（篇1）一、引言拉格朗日乘数法是一种常用的数学方法，用于解决包含一个或多个约束条件的优化问题。
该方法起源于18世纪法国数学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的研究成果，具有广泛的实用价值。
二、拉格朗日乘数法的基本原理拉格朗日乘数法的基本思想是将约束条件转化为等式，并通过求解优化问题的函数来求解方程。
这种方法基于一个基本公式：对于一个包含n 个变量和m个约束条件的优化问题，其目标函数可以表示为：f(x1, x2, ..., xn) = f(x1, x2, ..., xn, lambda1, lambda2, ..., lambdam)其中，lambda1, lambda2, ..., lambdam是约束条件。
通过求解这个函数，可以得到一组方程，这些方程包含了变量和约束条件的信息。
三、拉格朗日乘数法解方程的步骤1.定义目标函数和约束条件。
2.将约束条件转化为等式，并添加到目标函数中。
3.求解目标函数，得到一组方程。
4.解方程得到变量的取值。
5.检查解是否满足约束条件。
如果不满足，则重新求解目标函数，直到得到满足约束条件的解。
四、拉格朗日乘数法解方程的优点和限制1.优点：拉格朗日乘数法提供了一种简洁的方法来处理包含约束条件的优化问题。
这种方法允许我们在优化过程中同时考虑约束条件，避免了传统方法中需要额外求解子问题的缺点。
此外，拉格朗日乘数法还可以处理具有多个变量和约束条件的复杂问题。
2.限制：拉格朗日乘数法虽然可以处理包含多个约束条件的优化问题，但它的计算复杂度较高。
对于大规模的问题，可能需要使用数值优化算法来加速计算过程。
此外，对于一些特殊类型的约束条件，例如非线性约束条件，拉格朗日乘数法可能无法直接应用。
拉格朗日乘数法的原理
拉格朗日乘数法的原理拉格朗日乘数法是一种优化问题求解的方法，通过引入拉格朗日乘子，将约束条件融入目标函数，从而将约束问题转化为无约束问题。
它的原理是基于最优化理论中的凸优化和约束优化的相关知识。
在实际问题中，我们经常会遇到带有约束条件的最优化问题，例如在生产中最大化利润的同时满足资源的限制，或者在投资中最小化风险的同时达到一定的收益要求。
这类问题的求解需要考虑约束条件对目标函数的影响，而拉格朗日乘数法提供了一种有效的方法。
拉格朗日乘数法的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将约束问题转化为无约束问题。
具体来说，对于一个带有约束条件的优化问题，我们可以构建一个拉格朗日函数，将目标函数和约束条件整合在一起。
拉格朗日函数的构建方式是将目标函数与约束条件的乘积相加，乘积部分由拉格朗日乘子进行调节。
拉格朗日乘子起到了一个权重的作用，它决定了约束条件在优化过程中的重要性。
通过调整拉格朗日乘子的取值，我们可以得到不同权重下的最优解。
在求解过程中，我们需要对拉格朗日函数进行求导，得到一组方程，称为拉格朗日方程。
这组方程包含目标函数和约束条件的导数，通过求解拉格朗日方程可以得到最优解的候选点。
然后，我们将候选点带入目标函数和约束条件，通过对比得到最优解。
需要注意的是，拉格朗日乘数法在求解最优化问题时，要求目标函数和约束条件满足一定的光滑性和凸性条件。
这是因为拉格朗日乘数法是基于凸优化理论的方法，只有在目标函数和约束条件满足凸性条件时，才能得到可靠的最优解。
总结一下，拉格朗日乘数法是一种优化问题求解的方法，通过引入拉格朗日乘子，将约束条件融入目标函数，从而将约束问题转化为无约束问题。
它的原理是基于最优化理论中的凸优化和约束优化的相关知识。
在实际问题中，我们可以利用拉格朗日乘数法来求解带有约束条件的最优化问题，得到最优解。
拉格朗日乘数法中方程组的解法
拉格朗日乘数法中方程组的解法作者：孔祥凤来源：《价值工程》2011年第27期The Solutions of the Equations in Lagrange Multiplier MethodKong Xiangfeng（西安邮电学院理学院，西安 710121）（Xi'an Institute of Posts and Telecommunications College of Science，Xi'an 710121，China）摘要：拉格朗日乘数法依极值必要条件得到的方程组一般都是非线性的。
本文主要介绍此类方程组的解法。
Abstract: In the paper, the skills is introduced how to solve the nonlinear solutions in Lagrange multiplier method.关键词：拉格朗日乘数法条件极值非线性方程组Key words: Lagrange multiplier method；conditional extreme value；nonlinear solutions 中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）２7-0211-010引言利用拉格朗日乘数法求条件极值，依极值必要条件得到的方程组一般都是非线性的。
解法的难度和技巧较高，需视具体方程组的特征采用特殊的处理方法。
下面举例说明常见的解题技巧和方法。
1拉格朗日乘数法中方程组的解法例1求函数u=xyz在下列约束条件下的极值■+■+■=■（x>0，y>0，z>0，a>0）。
解：设L（x，y，z，?姿）=xyz+?姿■+■+■-■.令L■=yz-■=0 （1）L■=xz-■=0 （2）L■=xy-■=0 （3）L■=■+■+■-■=0 （4）下面仅就此方程组的解法进行讨论，不具体求极值。
拉格朗日乘数法
拉格朗⽇乘数法拉格朗⽇乘数法通常我们求函数极值的时候，通常我们会求导，并求出导函数等于0时变量的取值，例如求⼀下函数的极值：f(x)=x2+x求导得：f′(x)=2x+1使f′(x)=0f′(x)=2x+1=0x=−1 2所以当x=−12时，f(x)有最值。
但如果在约束条件下求最值呢？例如在双曲线xy=3上找出距离原点最近的点。
⽬标函数为f(x,y)=√x2+y2，约束条件为g(x,y)=xy=3注意：这两个函数的变量之间是不独⽴的，也就是说他们之间存在某种关系，从⽽限制了各变量的取值，例如这⾥的函数g=3就限制了各变量的取值我们现在要求f的最⼩值，因为x2+y2恒⾮负，所以我们可以求f(x,y)=x2+y2的最⼩值。
当f取不同的值时，与g会有不同的交点，或者没有交点。
当f与g相切时，f就能取最⼩值。
看其中⼀个交点因为f与g相切，所以他们的法向量是互相平⾏的，在这些法向量中，其中⼀个就是函数在该点的梯度。
在这⾥，蓝⾊为f在该点的梯度，红⾊为g在该点的梯度。
∵\therefore \triangledown f= \lambda \triangledown g\therefore \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y}即2x=\lambda y2y=\lambda x结合约束条件xy=3解得(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}),(\sqrt{3}, \sqrt{3})(\lambda可以为负，只是这⾥正好\lambda为负是⽆解⽽已)这种⽅法具有⼀般性吗？证明：举三个变量的例⼦。
在g=c这⼀⽔平集上（我不知道为什么称为⽔平集，因为它并不⽔平，只是表⽰g=c这⼀曲⾯）的⼀动点P，当P保持横坐标不变时，\frac{\partial f}{\partial x}也是不变的，那么当\frac{\partial f}{\partial y}=0时，该点就是这⼀曲线上的最值，如果我们把极值连成⼀曲线，再求导数（即\frac{\partial f}{\partial x}）为0的点，不就是曲⾯的极值吗？当然，这⾥只是简单地讲了x,y两个⽅向，动点P在曲⾯运动时可以取⽆数个⽅向（就像零向量有⽆数个⽅向），这些⽅向都与曲⾯相切(切平⾯)，当P任⼀⽅向(\widehat{u})的偏导数都为0时，P就是我们要求的点。
拉格朗日乘数法与条件极值
淮北煤炭师范学院信息学院2005 级学士学位论文拉格朗日乘数法与条件极值系别:数学系专业:数学与应用数学学号: 200518440039姓名: 刘志华指导教师: 陈昊指导教师职称: 讲师2009年04月05日拉格朗日乘数法与条件极值刘志华（淮北煤炭师范学院信息学院，淮北，235000）摘要拉格朗日乘数法是数学分析中的基本方法。
在数学分析中,它作为一种基本方法在计算中起着非常重要的作用，在解决实际问题过程中,它对一些实际问题的分析、并利用微积分这一工具去解决问题,具有重要实际意义。
众所周知,在现实生活中，许多实际问题都归结为极值问题，解决条件极值有许多种方法，而拉格朗日乘数法是解决条件极值的一个有效工具。
正文的内容部分包括：第一章是引言部分；第二章、第三章介绍了拉格朗日乘数法定理和条件极值的概论及它们在数学中的应用；第四章主要介绍了用拉格朗日乘数法去解决实际生活中的条件极值问题。
关键词拉格朗日乘数法，条件极值，多元函数Lagrange Multiplier Method and the Conditional ExtremeLiu Zhihua(Huaibei Coal Industry Teachers College Information Institute, Huaibei, 235000)AbstractLagrange multiplier method is a basic method of the mathematical analysis. In the mathematical analysis,it plays an important role as a basic method in the calculation, in the process of solving practical problems, its analysis of a number of practical issues and use the tools of calculus to solve the problem, is of great practical significance.As we all known, in real life, many practical problems are reduced to extremal problems solving the extreme conditions have a lot of ways, and lagrange multiplier method to is an effective tool of solving extremal conditions. The contents of the text include: Chapter I is the summary;Chapter II, Chapter III introduced the Lagrange multipliers and introduction to the extreme conditions,and their application of mathematics; Chapter IV introduces extreme conditions by lagrange multiplier method to solve the real-life problem.Keywords Lagrange multiplier method,extremal conditions,multi-function目录一引言 (1)（一）问题提出 (1)（二）拉格朗日乘数法概述 (1)二拉格朗日乘数法概论及其应用 (1)（一）拉格朗日乘数法定理 (1)（二）用拉格朗日乘数法证明对称不等式 (5)（三）拉格朗日乘数法在几何中的几点应用 (6)三条件极值问题及其应用 (10)（一）条件极值 (10)（二）条件极值的两个应用 (13)四条件极值与拉格朗日乘数法的实际应用 (16)（一）用拉格朗日乘数法求实际气体任意过程温度的最值 (16)（二）条件极值在生产者行为决策中的应用 (17)参考文献 (20)一 引言(一) 问题提出拉格朗日乘数法是一种基本的数学方法，它来自生产实践应用于生产实践。
最优化拉格朗日方程公式推导
最优化拉格朗日方程公式推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最优化问题是在约束条件下寻找一个函数的最大值或最小值的问题，通常会涉及到拉格朗日乘子法来求解。
拉格朗日乘子法是一种常用的最优化方法，通过引入拉格朗日乘子来将带约束的最优化问题转化成不带约束的问题，从而求得最优解。
本文将详细介绍拉格朗日乘子法的原理和推导过程。
1. 拉格朗日乘子法的原理设有一个最优化问题：\[\begin{cases}\min f(x)\\s.t. g(x) = 0\end{cases}\]\(f(x)\)是需要最小化的函数，\(g(x)\)是约束条件。
为了将带约束的最优化问题转化为不带约束的问题，我们引入拉格朗日乘子\(\lambda\)，构造拉格朗日函数：\[L(x, \lambda) = f(x) - \lambda g(x)\]然后求解关于\(x\)和\(\lambda\)的偏导数，并令其等于零，得到拉格朗日方程组：\[\begin{cases}\frac{\partial L(x, \lambda)}{\partial x} = \frac{\partialf(x)}{\partial x} - \lambda \frac{\partial g(x)}{\partial x} = 0\\\frac{\partial L(x, \lambda)}{\partial \lambda} = g(x) = 0\end{cases}\]通过求解这个方程组，就可以得到带约束的最优化问题的解。
假设最优化问题的目标函数\(f(x)\)和约束条件\(g(x) = 0\)都是实数值可微函数，在满足一定的正则性条件下，通过拉格朗日乘子法可以得到最优化问题的解。
接下来，我们将详细推导拉格朗日乘子法的过程。
构造拉格朗日函数：将上面两式联立起来，得到拉格朗日方程组：拉格朗日乘子法是一种非常有效的最优化方法，在很多优化问题中都可以得到广泛的应用。
拉格朗日乘数法 多个解 -回复
拉格朗日乘数法多个解-回复拉格朗日乘数法是一种求解带约束条件的极值问题的数学工具，它基于拉格朗日函数的概念，并通过引入拉格朗日乘子来处理约束条件。
在许多实际问题中，我们需要考虑多个解的情况，因为可能存在多个最优解或者存在特殊的解集。
本文将详细介绍拉格朗日乘数法的多个解的问题，并逐步解答。
首先，我们来回顾一下拉格朗日乘数法的基本概念和公式。
设有一个极值问题，即要求解一个函数的最大值或最小值，而受到一些约束条件的限制。
假设我们有一个目标函数f(x1, x2, ..., xn)，以及一组约束条件g1(x1, x2, ..., xn) = c1, g2(x1, x2, ..., xn) = c2, ..., gm(x1, x2, ..., xn) = cm。
为了解决这个问题，我们定义拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm) = f(x1, x2, ..., xn) + ∑(λi * (gi(x1, x2, ..., xn) - ci))，其中λ1, λ2, ..., λm是拉格朗日乘子。
接下来，我们需要求解拉格朗日函数的极值问题。
首先，对于每个变量xi，我们通过求偏导数来计算其在极值点的值。
即∂L/∂xi = 0。
然后，对于每个约束条件的拉格朗日乘子λi，我们有gi(x1, x2, ..., xn) = ci，即约束条件成立。
根据约束条件的特点，我们可以通过等式或者不等式对问题进行分类。
对于等式约束条件，我们有两种情况。
一种是满足约束条件的点到达最值点的斜率与约束条件的法向量相等。
另一种是满足约束条件的点处于最值点附近，但是斜率与法向量不相等。
对于不等式约束条件，我们有两种情况。
一种是约束条件为不等式，但没有等号，即gi(x1, x2, ..., xn) < ci或gi(x1, x2, ..., xn) > ci。
另一种是约束条件为不等式，且有等号，即gi(x1, x2, ..., xn) ≤ci或gi(x1, x2, ..., xn) ≥ci。
浅谈拉格朗日乘数法在条件极值的应用
浅谈拉格朗日乘数法在条件极值的应用作者：李强来源：《现代职业教育.高职本科》 2018年第7期［摘要］求多元函数最值问题和一元函数很类似，一元函数是通过求导数来判断函数的走势，找出极值，进一步找出最值，类似的，多元函数的最值也是通过求多元函数的极值，进一步找出最值。
以二元函数为例，先来讨论多元函数的无条件极值问题，再考虑有附加条件的极值，无条件极值问题往往讨论的是其极值点的搜索范围是目标函数的自然定义域，但是在生产实际中还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制，例如，一个直角三角形斜边长为l，自变量为两个直角边长x，y，现在要求直角三角形的周长最大值为多少，所以自变量x，y 之间还必须满足x2+y2=l2这个附加条件。
像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值，无附加条件的极值为无条件极值。
考虑到将条件极值化为无条件极值并不是很容易，更多的条件极值还无法变成无条件极值，所以要寻找一种“万能”的求条件极值的方法，该方法可以直接寻求条件值的方法，可以不必先把条件极值化为无条件极值的问题，这种方法就是拉格朗日乘数法。
［关键词］多元函数；条件极值；拉格朗日条件极值；数学建模［中图分类号］O172 ［文献标志码］A ［文章编号］2096-0603（2018）19-0110-02一、无条件极值的求法通常我们利用偏导数来解决多元函数的极值问题.下面我们首先用《高等数学》中多元函数微积分的两个重要定理，推导无条件极值的求法.定理1 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）具有偏导数，且在点（x0，y0）处有极值点，则有fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0；定理2 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）某邻域内连续且具有一阶及二阶连续偏导数，又fx=（x0，y0），fy （ x0，y0）=0 令fx（x x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fy（y x0，y0）=C，则z=f（x，y）且在点（x0，y0）处是否取极值条件如下:（1）AC-B2跃0 时具有极值，且当A跃0 时有极小值，当A 约0 时有极大值；（2）AC-B2约0 时没有极值；（3）AC-B2=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论.[1]通过上述定理我们给出具有的多元函数无条件极值的求法，下面我以二元有连续偏导数的多元函数z=f（x，y）为例叙述如下：首先，解方程组fx （x，y）=0，fy （x，y）=0 求同时满足两个方程的解称为驻点.通过定理1 可知极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点.其次，对每一个驻点（x0，y0），利用定理2 求出它们的二阶偏导数的值A，B 和C.最后，判断出AC-B2的符号，利用定理2的结论判定驻点（x0，y0）是不是极值、是极大值还是极小值，再代入z=f（x，y）求出极值大小.下面我们分别用一个数学例子和一个经济学例子来说明这种方法.a.求函数f（x，y）=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极值.解：fx （x，y）=3x2+6x-9=0fy （x，y）=-3y2+6y=0，求出的驻点为（1，2），（-3，0），（1 ，0 ），（-3，2）.再二阶偏导数为：fx（x x，y）=6x+6，fx（y x，y）=0，fy（y x，y）=-6y+6=0；1.点（1，2）处，AC-B2约0 所以（1，2）不是极值；2.点（-3，0）处，AC-B2约0所以（-3，0）不是极值；3.点（1，0）处，AC-B2跃0，A跃0 所以函数在（1，0）处有极小值（f 1，0）=-5；4.点（-3，2）处，AC-B2跃0，A 约0 所以函数在（-3，2）处有极大值f（-3，2）=31.下面我再考虑条件极值在实际生产中的应用，华为技术有限公司生产的一款手机，同时在国内和国外两个市场销售，销售价格分别为p1，p2销售量分别为q1，q2，根据经济学的知识我们知道需求函数分别为:q1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2，总利润函数为C=35+40（q1+q2）.试问:华为技术有限公司如何确定国内外的销售价格，能使其获得利润最大？最大总利润为多少？解:总收入函数为R=p1q1+p2q2=24p1-0.2p21+10p2-0.05p22，总利润函数L=C-R=32p1-0.2p21+12p2-0.05p22-1395，分别对q1，q2 求偏导数得方程组Lp1=32-0.4p1=0，Lp2=12-0.1p2=0，解得：q1=80，q2=120，由问题可知，华为技术有限公司获得利润最大的市场售价必定存在，故当q1=80，q2=120 时大家获得利润最大，为605.二、拉格朗日乘数法求条件极值上面所讨论的极值问题，对函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，并无其他条件，所以有时候称为无条件极值.但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题.例如，一个直角三角形斜边长为l，自变量为两个直角边长x1，y，现在要求直角三角形的周长最大值为多少？所以自变量x，y之间还必须满足x2+y2=l2这个附加条件，这种加了附加条件的问题我们称条件极值问题.下面我们先考虑化为无条件极值问题来求解，再考虑拉格朗日乘数法来求极值.三、拉格朗日乘数法在生产生活中的应用下面，我们利用拉格朗日乘数法建立一个在经济学中关于市场最优价格的数学模型。
关于拉格朗日乘数法的两点思考_戎海武
ｉ＝１
当 函数ｆ 的极值在区域Ｄ 的边界 Ｄ 上取到时 ， 需要对每个边界 （ …， ： …， ｝ Ｄ ｘ ｘ ｘ ｘ ＝０ ｉ ＝ ｛ １， ｎ） ｉ（ １， ｎ） φ 进行讨论 ， 即求条件极值 …， ， ｉ ｎ ｘ ｘ ｘ ｍ ｆ（ １， ２， ｎ） …， ｓ ． ｔ ． ｘ ｘ ｘ ＝ ０． φ ｉ（ １， ２， ｎ） 束条件 …， ） ， ｘ ｘ ｊ ≠ｉ １， ｎ） ≤０ （ ｊ（ φ 则此点有可能 是 所 求 的 极 值 点 ． 求出所有边界 Ｄ ｉ 上的可能的极值点后 ， 总体比较就可以求出原问题 的极值 ． ） 当函数ｆ 的极值在区域Ｄ 的内部取到时 ， 式（ ５ 就转化为一般的无条件极值问题 …， （ ） ｍ ｉ ｎ ｘ ｘ ｘ ． ６ ｆ（ １， ２， ｎ） ）和 式 （ ）的 解 ， 这样 ， 只要 求 出 式 （ 就可以求 ５ ６ ）的解 ． 出式 （ ４ 例 １ 求函数
满足条件
Ｄ２ 的距离 ｘ ＋ｙ －ｚ－１ ≤ ０，
２ ２
ｘ ＋ｙ ＋ｚ－３ ≤ ０
的极值 ． 解 待求极值问题的几何意义是求原点到空 间区域
２ ２ （ ： Ｄ＝｛ ｘ， ｚ） ｘ ＋ｙ －ｚ－１ ≤ ０， ｙ， ｝ ｘ ＋ｙ ＋ｚ－３ ≤ ０
）＝ 槡 ｄ ＝ ｆ（ １， １， １ ３． ， 根据问题的几 何 意 义 可 以 知 道 此 时 函 数 在 交 线ｌ 上取到极大值 ）＝ 槡 ７ ５ ７． －２， －２， ｆ（ 这样 ， 在边界 Ｄ２ 的极小值和极大值分别为 ）＝ 槡 １， １， １ ３， ｆ（ ）＝ 槡 ７ ５ ７． －２， －２， ｆ（ 综上可 知 ， 待求极值问题的最小值和最大值分 别为 ）＝ ０， ０， ０， ０ ｆ（ ）＝ 槡 ７ ５ ７． －２， －２， ｆ（ ， 从上面 的 例 子 可 以 看 到 在 不 等 式 约 束 下 函 数 的极值问题比较复杂 ， 有时需要利用问题的几何意 义． 但是可以转化为 无 条 件 函 数 极 值 问 题 和 等 式 约 这也是一种化未知为 束下函数极值问题两 种 情 况 ， 已知的数学方法 ， 不妨称之为 “ 化难为易法 ” 上面的 ． 解法也适用于部分约束为等式约束而其它约束为不 等式约束的情形 ．
拉格朗日乘数法之我观
不成立的，所以假设不成立， 2x y 3 得证.
又当 x 2 3 ， y 3 时 2x y 3 ，所以 2x y 的最小值是 3 .解毕.
3
3
上述的解题过程基本上按照拉格朗日乘数法进行，分为两部分，前一部分是找出函数
F(x, y,)的极值点，并求出极值；后一部分证明这个值就是问题中目标函数的最值,在中学
最大值为 5 . 2
注 上面的两个例子都是二元函数在等式约束条件下的最值问题，下面看一个不等约束 条件下的二元函数最值问题
例 2 已知实数 x, y 满足 x2 y ，求 x2 y2 xy x y 的最小值. 4
解法 记 F(x, y,) x2 y2 xy x y (4y x2).
2
2
F(
x,
y)
x
3y z 6 0,
x3 y2 3z 37 ，它即是目标函数的最小值. 4
证明略.
三、补充说明 拉格朗日乘数法是一种运用范围较广的求条件最值的好方法，有时也是
比较简便的方法，在处理多元函数最值时优势较大，但它也有缺点，那就是方程组有时不好
解，还会涉及到高次方程求根.在中学阶段我们遇到的问题多数是二元或三元函数问题，在
x3 y2 3z 的最小值是
解 设 F(x, y,z,) x3 y2 3z (x 3y z 6).
Fx(
x,
y)
3x2
0,
由
Fy(x, y)
Fz(
x,
y)
2y 3
3 0,
0,
得 x 1, y 3 3 ,z 1 ， 此 时
关于拉格朗日乘数法的两点思考
关于拉格朗日乘数法的两点思考
戎海武
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2013(16)4
【摘要】研究等式约束条件下多元函数的极值问题,利用等价模型方法给出原问题与其拉格朗日乘数模型的等价性,并讨论在不等式约束下条件极值的求法.
【总页数】3页(P81-82,86)
【作者】戎海武
【作者单位】佛山大学数学系,广东佛山528000
【正文语种】中文
【中图分类】O172.1
【相关文献】
1.培养独立思考能力的两点思考 [J], 唐惠忠
2.文学的倾向性和历史性——对《对中专语文教材的两点思考》的两点思考 [J], 莫钊
3.关于拉格朗日乘数法的两点札记 [J], 张荣华;甘大旺
4.关于《静电场》教学的两点思考 [J], 林建华;任昭开;王英
5.关于拉格朗日乘数法的一点思考 [J], 吴元泽
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例谈拉格朗日乘数法在高中多元函数最值问题中的应用
例谈拉格朗日乘数法在高中多元函数最值问题中的应用
作者：周文建祖米热提·阿里木
来源：《福建中学数学》2023年第07期
针对高中某些具有一定难度的数学问题，“高观点中学数学”解决问题的优势得到凸显．利用拉格朗日乘数法，可以解决含约束条件的多元函数最值问题和不等式问题，操作方便，解法简单，可以帮助学生提升思维创新能力，提升數学学科核心素养．本文作者尝试从若干典型例题来阐述拉格朗日乘数法在多元函数最值问题和不等式问题中的使用．
3 反思与启示
波利亚说过，没有任何一道题目是彻底完成了的，总是还会有一些事情可以做．一道题用一种方法解决以后，就需要我们进一步进行研究，强化思考能力，真正进入深度学习，很多时候可以引入一些高等数学的数学思想和方法，以发展高阶思维，提升学生的数学核心素养．高考题立足基础而又充满创新，在近年的高考中，有限制条件的多元函数以不等式形式考查成为一种常态，部分试题难度相对较难，通过以上例题的尝试，发现在有限制条件的多元函数求最值的问题中，拉格朗日数乘法方法独到，运算简便，方式单一，可以作为通法来解决此类问题．
参考文献
[1]华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2001
[2]G·波利亚．怎样解题：数学思维的新方法[M]．涂泓，冯承天译．上海：上海科技教育出版社，2002
[3]甘大旺．拉格朗日乘数法的初等应用[J]．宁波教育学院学报，2017（1）：134-137。
拉格朗日乘数法求解约束线性回归问题研究
拉格朗日乘数法求解约束线性回归问题研究
张二艳;朱晓峰
【期刊名称】《北京印刷学院学报》
【年(卷),期】2013(021)002
【摘要】参数满足特定线性等式约束的最小二乘估计问题是在各种各样的应用问题中产生的.为了求解带有多个约束条件的多元线性回归的参数估计问题,基于广义逆矩阵理论,利用多元微积分求条件极值的拉格朗日乘数法,通过建立辅助函数,把带有多个约束条件的多元线性回归参数估计问题转化为计算无条件极值,并给出了矩阵解法的计算公式.
【总页数】3页(P76-78)
【作者】张二艳;朱晓峰
【作者单位】北京印刷学院,北京102600;北京印刷学院,北京102600
【正文语种】中文
【中图分类】O212
【相关文献】
1.拉格朗日乘数法求解极值点的讨论 [J], 刘剑锋;李宏伟;刘智慧
2.拉格朗日乘数法求解条件极值问题 [J], 罗棋;朱珊珊
3.利用拉格朗日乘数法求解一个条件极值问题 [J], 曲政
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关于拉格朗日乘数法方程组的解法讨论 作者信息：通信工程 201201916005雷志坤
摘要
本文针对求解条件极值问题时运用的拉格朗日乘数法，归纳总结了一些在求解方程组的过程中所运用的方法技巧。
从而，在我们遇到相关问题时，能系统、快速地得出方程的解以及可能极值点。
关键词：地位对等、统一化过程、拉格朗日乘数法
问题的提出
在学到多元函数微分学时，会涉及多元函数极值与最值问题。
而我们在研究分析此类问题中的条件极值问题时，常使用拉格朗日乘数法，在运用该方法过程中势必会解一个多元方程组。
如果用常规方法解该方程组会显得比较麻烦，于是便思考有无简便通用的方法能迅速得出答案。
方法的发现及其证明
首先，引入拉格朗日乘数法步骤：
（1）、作辅助函数F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)
（2）、根据方程组
000(,,)0
x x x y y y z
z z F f F f F f F x y z λλϕλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪==⎩ 解出可能极值点(x0,y0,z0)以及λ
（3）、根据实际意义判断可能极值点是否为真正极值点
现给出方法发现过程：
在我们教材中实际遇到该种问题时，常常得到的方程组很有规律。
例如：
题目1：
求w=lnx+lny+3lnz 在球面x^2+y^2+z^2=5R^2上的极大值(x>0,y>0,z>0)，并利用这个结果证明当a>0,b>0,c>0时，恒有
35(
)5
27a ab b c c ++≤) (辅导教程P250，例5.48)
在此题中运用拉格朗日乘数法得到的方程组为： F(x,y,z,)=lnx+lny+3lnz+(x^2+y^2+z^2-5R^2)
2222120
12053200
x y z F x x F y y F z y z z x F R λλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪==⎩++- 我们的目的是用尽量简便的方法求解该方程组。
而对于该方程组，我们可以划分为两个部分:A 、Fx=0,Fy=0,Fz=0 B 、F λ=0 。
可以这样想：A 部分用以求解x,y,z 之间的关系，B 部分用以给x,y,z 定值。
所以，求解该方程组的关键在于A 部分的求解。
现在剔出A 部分观察分析：
222120120120120320320x x y y z z F x x F x F y F y y F z F z z
λλλλλλ⎧=+=⎪⎧=+=⎪⎪⎪=+=⇒=+=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪=+=⎪⎩ 可以发现上述方程组很有规律。
即x 与y
分别与z 地位对等。
怎样解释这种地位对等的关系呢？可以这样说，所谓地位对等关系，即是：假设以x 变量以及等式Fx=0为标准，若进行变量代换y=kx 后得到等式Fy=0形式上与前面的Fx=0相同，则称kx 与y 地位对等。
我们假设x=t,则观察易得
（~表示地位对等），同时上述方程组可划为：
112020
1112020201200t t t t t t t t t
t t t t λλλλλλ⎧⎧+=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=⇒+=⇒+=⎨⎨⎪⎪+=+=⎪⎩ 我们可以把这个过程叫做统一化过程。
因而易知，能进行统一化过程的充分条件是：方程组中多元变量之间相互存在地位对等关系。
经验证可以发现：若一个方程组能进行统一化过程，且有对等关系x~k1y~k2z~…，则此方程组中多元变量关系为x=k1y=k2z=…。
（结论）
现给出方法证明过程：
证：
00
1,2x x x y y y z z z x x x F f F f F f F f y k x z k x
λϕλϕλϕλϕ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=+=⎩=+=∴==对于方程组：
若观察发现x,y,z 间存在关系k1x~y,k2x~z 。
则易知，对于y=k1x,z=k2x
带入方程组后，符合原方程组条件：即y=k1x,z=k2x 客观成立
若有y~ k1x,z~ k2x
则存在解
同理，可推广到更多变量的方程组中
证毕
结论：
若一个方程组能进行统一化过程，且具有对等关系x~k1x1~k2x2~…~knxn ，则此方程组中多元变量关系为x=k1x1=k2x2=…=knxn 。
总结：
首先，不得不说的是，虽然该方法看起来很麻烦，其实很简单（主要是要讲清楚很麻烦）。
只用观察，就能非常轻松地发现变量之间的倍数关系，非常方便。
而且由于决定x,y,z 等变量关系的方程是由同一方程求偏导得到，因而很多时候该方法都很适用，能大大减少计算量以节约时间。
但是，也有部分问题不适用，例如：
题目2：
求曲面z=4-x^2-y^2平行于平面pi:2x+2y+z=8的切平面，并求曲面到平面pi 的最短距离。
（辅导教程P251，例5.49）
该题后一问运用拉格朗日乘数法解决时，有：
G(x,y,z, λ)=(2x+2y+z-8) ^2+λ(x^2+y^2+z-4)
224(228)204(228)202(228)040x y z G x y z x G x y z y G x y z G x y z λ
λλλ=++-+=⎧⎪=++-+=⎪⎨=++-+=⎪⎪=++-=⎩
但是对于此种方程组方法就不适用了，原因在于：
对原方程组A 部分
4(228)204(228)202(228)0x y z x x y z y x y z λλλ++-+=⎧⎪++-+=⎨⎪++-+=⎩
我们无法找到x ，y 与z 之间的地位对等关系。
但是很明显可以看出x,y 之间是存在x~y ，即一定有解x=y ，这样虽然没能直接看出x,y,z 间关系，但是对于方程组来说也解决了23的问题，余下工作量也会少一些。
其次，也不得不说的是，虽然该结论方法原理十分简单，但是我觉得这种根据外在形式观察并推测结果，然后进行验证证明猜想的思维过程值得记录。
最后想说的是，很遗憾，该题经抽象后得到的方法的原理十分简单，但由于知识所限也实在想不出如何进行更为广泛的推广了。
参考文献
[1] 傅英定，谢云荪. 《微积分下册》. 第二版. 高等教育出版社.2009.7
[2] 傅英定. 彭年斌. 《微积分学习指导教程》.高等教育出版社.2005.6。