三角函数的有关计算导学案 (2)

第一章 直角三角形的边角关系

§1.1 从梯子的倾斜程度谈起

学习目标

1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程

2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明

3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比

4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算

学习重点和难点

重点：理解正切、正弦、余弦函数的定义 难点：理解正切、正弦、余弦函数的定义

学习过程

第一单元

一、引入课题

直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。 二、自主学习

1、梯子的倾斜程度

梯子是我们是日常生活中常见的物体。

（1）在图1-1中，梯子AB 和EF 哪个更陡？

你是怎样判断的？你有几种判断方法？

（2）在图1-2中，梯子AB 和EF 哪个更陡？

你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 归纳小结：

如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值 ，则梯子越陡； 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值 ，则梯子越陡； 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值 ，则梯子越陡； 2、想一想

如图1-3,小明想通过测量11C B 及1AC ，算出它们的比，来说明 梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量22C B 及2AC ，算出它们 的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？ （1）直角三角形11C AB 和直角三角形22C AB 有什么关系？

(2)

111AC C B 和2

2

2AC C B 有什么关系？ （3）如果改变2B 在梯子上的位置呢？比值 。由此我们得出结论：当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也 。 二、明确概念

通过对前面的问题的讨论，我们知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的 有关，而与直角三角形的大小 。

正切函数

（1）明确各边的名称 （2）的邻边

的对边

A A A ∠∠=

tan

（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）A tan 表示的是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。

（4）通常用倾斜角的正切值来表示一个物体的倾斜程度，也经常用坡角的正切来描述山坡的坡度（山坡坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度，也称坡比）．

tanA 的值越大，梯子越陡 ☆巩固练习一 1、如图1，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；

2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ； 3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； 2、如图2，在△ACB 中，tanA = 。（不是直角三角形） 三、例题学习

例1 图1－5中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。

解：甲梯中，==αtan ，乙梯中，=

=βtan ，

因为αtan βtan 所以 梯更陡。 例2

如图，在△ACB 中，∠C = 90°，AC = 6，4

3

tan =

B ，求B

C 、AB 的长。 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

例3 有一山坡，它在水平方向上每前进100米就升高60米，这个山坡的坡度是 。 三、随堂练习

1、在直角△ACB 中，∠C = 90°，AC = 5，AB= 13，求A tan 和B tan

2、在直角△ACB 中，∠C = 90°，BC = 5，求12

5

tan =A ,求AC. 四、课堂小结

正切函数的定义及应用。

A

B

C

∠A 的对边

∠A 的邻边

斜边

A B

C 8m

α

5m

5m

β

13m A

B C A C

B

图1－5

乙

甲

第二单元

一、复习引入

正切：锐角Ａ的 与 之比叫做∠Ａ的正切。即=A tan 。

二、明确概念

1、正弦、余弦函数 正弦：斜边的对边

A A ∠=

sin ，余弦：斜边

的邻边A A ∠=cos

☆巩固练习一

（1）如图，在△ACB 中，∠C = 90°，

①sinA = ；cosA = ；sinB = ；

②若AC = 4，BC = 3，则sinA = ；cosA = ；③若AC = 8，AB = 10，则sinA = ；cosB = ；（2）如图，在△ACB 中，sinA = 。（不是直角三角形2、三角函数

锐角A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数。 3、梯子的倾斜程度与三角函数的关系

sinA 的值 ，梯子越陡；cosA 的值 ，梯子越陡 三、例题学习

例4、如图，在Rt △ABC 中，∠B = 90°，AC = 200，6.0sin =A ，求BC 的长。

分析：本例是利用正弦的定义求对边的长。

例5、如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，13

12

cos =

A ，求A

B 的长及sinB 。 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

三、随堂练习

1、在Rt △ABC 中，∠B ＝900

，AB ＝3，BC ＝4，则2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900

，AB ＝5BC cm =SinA= cosA= 3、Rt △ABC 中，∠C ＝900

，SinA=

5

4

,AB=10,则BC ＝

四、课堂小结

正弦、余弦函数的定义及应用。

A

B

C

A

B

C A

B

C

∠A 的对边

∠A 的邻边

斜边