概率统计教案

概率统计（ZYH）
一个正态总体参数的区间估计表（置信度为 1 ）
估计法 待估参数
抽样分布
G (P(G) 1 - )
置信区间
(双侧)
U法 (单侧) U X ~ N (0,1)
( 2已知)
/ n
(单侧)
| U | u / 2
U u U u
(X
u
/
/2
n)
(X u / n,+)
重量X服从正态分布且标准差为 10, 试求糖包的平均重量
的置信度为0.95的置信区间.
解 因为 未 1已0已知知,故,故用用TU估计法,由
TU XX ~~t N(n(0,11)) S// nn
得的置信度为 1 的置信区间为
XX
S
nn
ut // 22 ,
X
Snnut//22
附附表表34
将 0.05, n=12, x 502.92, u u t/ 2/ 2 t0.0250(.01215) 21.29061, S 12.50
(, X u / n)
(双侧)
T法 (单侧)
( 2未知)
(单侧)
T X ~ t (n 1) S/ n
| T | t / 2
T t T t
(X S t / 2/ n) (X St / n,+) (, X St / n)
2法
2 (双侧)
2
(单侧)
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
代入可得的置信度为 0.95的置信区间为（497.26, 508.58）
（502.92 7.94）
概率统计（ZYH）
例2 从某批灯泡中抽取5只做寿命试验,其寿命 (单位:小 时)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280 . 设寿命服从正态分布,求
其均值 的置信度为0.95的置信下限.
(
,
)(
,
)
2 /2
2 1 / 2
10000 10000
从而得的置信度为 0.95的置信区间为
( 0.00029 / 10000, 0.0125 / 10000 ) (0.017%, 0.112%)
概率统计（ZYH）
二、非正态总体均值的区间估计
如果 X1 , X2 ,L , Xn 是来自总体 X的样本, EX , DX 2 ,
P{U u } 1
即
P
X
n u / 2 X
n
u
/
2
1
PX
n u
1
这样, 我们就获得了的一个置信度为 1 的置信区间
X
n u / 2 , X
n
u / 2
X
n
u
,
概率统计（ZYH）
例1 包糖机某日开工包了12包糖,称得重量 (单位:克) 分 别为 506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485 . 假设
t / 2 =t0.025 (3)=3.182,
2
/
2
=
2 0.025
(3)=9.35,
2 1
/
2
=
2 0.975
(3)=0.216
故由T法知的置信度为 0.95的置信区间为
(X
S
t
/
/
2
n,
X
S t
/
/2
n) （8.292%, 8.388%）
而由 2法知 2的置信度为 0.95的置信区间为
(n 1)S2 (n 1)S2 0.00029 0.0125
P{ˆ1 ˆ2 } 1
则称(ˆ1, ˆ2)是 的置信区间, 称ˆ1和 ˆ2分别为置信下限和置信上限, 称 1 为置信度（或置信水平）.
区间估计的本质含义：
以置信度 1 保证所求的置信区间(ˆ1 , ˆ2 )（随机区间）包含 真值（非随机数）, 这时, 置信度 1 反映了区间估计的可靠性, 而 置信区间的长度ˆ2 - ˆ1则反映了区间估计的精度.
的置信度为
1
的单侧置信区间为
X
S n
t，
概率统计（ZYH）
例3 为确定某种溶液的甲醛浓度, 取样得4个独立测定值的 平均值x 8.34%,样本标准差s 0.03%,设被测总体X ~ N (, 2 ), 求参数, 2及的置信度为0.95的置信区间.
解 x 8.34%, s 0.03%,再由n 4, 0.05查表可知
2 1 / 2
2
2 /2
0 2 2
(n 1)S2 (n 1)S2
(
,
)
2 /2
2 1 / 2
( (n 1)S 2 / 2 , )
2 (单侧)
2
2 1
(0,
(n
1)S
2
/
2 1
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
概率统计（ZYH）
例1续包糖机某日开工包了12包糖,称得重量 (单位:克) 分 别为 506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485 . 假设
重量X服从正态分布且标准差为 10, 试求糖包的平均重量
的置信度为0.95的置信区间.
解 因为 10已知,故用U估计法,由
U X ~ N (0,1) / n
得的置信度为 1 的置信区间为
X
n u / 2 , X
n
u
/2
附表3
将 0.05, n=12, x 502.92, u /2 u0.025 1.96 代入可得的置信度为 0.95的置信区间为（497.26, 508.58）
概率统计（ZYH）
一、一个正态总体参数的区间估计
设 X1 , X2 ,L , Xn 是来自总体 X ~ N (, 2 )的样本, X , S 2分别
是样本均值和样本方差. 则由7.3节的抽样分布知
U估计法（ 2已知）
X
U
~ N (0,1)
/ n
2
2
故对于给定的置信度1- , 有
P{| U | u / 2 } 1
8.3 参数的区间估计
一、一个正态总体参数的区间估计 二、非正态总体均值的区间估计 三、两个正态总体参数的区间估计 四、非正态总体均值差的区间估计
概率统计（ZYH）
区间估计的定义
设 X 是以 为未知参数的总体, X1, X2 ,L , Xn 是来自总体的 样本, 如果对于小概率 (一般取 为0.1, 0.05等), 存在统计量 ˆ1 ˆ1(X1 , X2 ,L , Xn ) 和 ˆ2 ˆ2 ( X1 , X2 ,L , Xn ) ,使
解 因为 未知,故用T估计法,由
T X ~ t (n 1)
S/ n
得的置信度为 1 的单侧置信下限为 X
S n t
将 0.05, n 5, x 1160, S 99.75，t t0.05(4) 2.132
附表4
代入可得的置信度为 0.95的单侧置信下限为 1065(小时).